1. ГЕОМЕТРИЯ
Е. Зудина
г. Москва
Журнал «Математика» № 1/2012
2. Задача В3
Задачи на нахождение площадей плоских фигур,
нарисованных на клетчатой бумаге или расположенных на
координатной плоскости.
Задача В6
Задачи на нахождение значений тригонометрических
функций углов по известным элементам геометрических
фигур и, наоборот, нахождение неизвестных элементов
геометрических фигур по известным значениям
тригонометрических функций.
Журнал «Математика» № 1/2012
3. Задача В3
Проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами,
координатами и векторами.
Для решения требуется
Для решения требуется
Знать формулы площадей треугольников,
параллелограммов, трапеций, круга и его частей.
Применять указанные формулы для нахождения
площадей фигур, находить площадь фигуры методом
разбиения ее на более простые фигуры.
Журнал «Математика» № 1/2012
4. S =ab
пр
b
a ab a
S =
∆ 2
b
Журнал «Математика» № 1/2012
5. Задача 1. Найдите площадь треугольника.
Размер каждой клетки 1см × 1см.
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Журнал «Математика» № 1/2012
6. Решение.
1. Построим прямоугольник, в вершинах и на
сторонах которого лежат вершины данного
треугольника.
Журнал «Математика» № 1/2012
13. Задача В6
Проверяемые умения
Проверяемые умения
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами,
координатами и векторами.
Для решения требуется
Для решения требуется
Знать определения тригонометрических функций и их
свойства.
Уметь работать с формулами, выполнять
арифметические действия и преобразования числовых
выражений.
Журнал «Математика» № 1/2012
14. противолежащий катет BC
sin A = =
гипотенуза AB
прилежащий катет AC B
cos A = =
гипотенуза AB
противолежащий
гипотенуза
AC + CB = AB
2 2 2
катет
sin A + cos A = 1
2 2
A прилежащий катет C
противолежащий катет BC
tg A = =
прилежащий катет AC
Журнал «Математика» № 1/2012
15. Задача 1. В треугольнике АВС угол С равен 90°,
3
sin A = , ВС = 12. Найдите АВ.
5
Решение. противолежащий катет
sin A =
гипотенуза
B
sin A = BC ,
противолежащий
гипотенуза
AB
AB ×sin A = BC ,
катет
AB = BC ,
sin A
A прилежащий катет C 3 = 12 ×5 = 20.
AB = 12 :
5 3
Журнал «Математика» № 1/2012
Ответ: 20.
16. Задача 2. В треугольнике ВСН угол Н равен 90°,
tg B = 5,
12 ВН = 24. Найдите СН.
Решение. противолежащий катет
tg B =
прилежащий катет
C
tg B = CH ,
противолежащий
BH гипотенуза
CH = BH ×tg B,
катет
CH = 24 × 5 = 10.
12
B прилежащий катет H
Ответ: 10.
Журнал «Математика» № 1/2012
17. Задача 3. В треугольнике KMP угол P равен
4
90°, sin K = . Найдите cos K .
5
Решение.
2 2
sin K + cos K = 1, 4 2 + cos 2 K = 1.
5 ( )
M 2 16 cos K = 1 − ,
противолежащий
25
гипотенуза
cos 2 K = 9 ,
катет
25
cos K = ± 3 .
K прилежащий катет P 5
∠K < 90°,значит, cos K > : cos K = 3
0 .
5
Журнал «Математика» № 1/2012
Ответ: 0,6.
18. Задача 4. В треугольнике ABC AC = BC, AB = 10,
высота AH равна 8. Найдите cos A.
Решение.
В прямоугольном треугольнике ABH катет BH
находим по теореме Пифагора: C
H
BH = 10 − 8 = 6. 2 2
BH , откуда cos B = 0,6. 8
cos B =
AB
A 10 B
Так как углы A и B треугольника ABC равны, то
cos A = 0,6.
Ответ: 0,6.
Журнал «Математика» № 1/2012
19. Задача 5. Найдите хорду, на которую опирается
угол 60°, вписанный в окружность радиуса 3.
Решение.
Рассмотрим треугольник ABC: C
60°
AB
= 2 R – теорема синусов.
sin C
Откуда AB = 2 R × C ,
sin A
B
3
AB = 2 × 3 ×sin 60° = 2 × 3 × = 3.
2
Ответ: 3.
Журнал «Математика» № 1/2012
20. Задача С4
Задачи на нахождение значений тригонометрических
функций углов по известным элементам геометрических
фигур и, наоборот, нахождение неизвестных элементов
геометрических фигур по известным значениям
тригонометрических функций.
Журнал «Математика» № 1/2012
21. Задача 1. На стороне BA угла ABC, равного 30°, взята
такая точка D, что АD = 2 и BD = 1. Найдите радиус
окружности, проходящей через точки A, D и касающейся
прямой BC.
Решение.
Пусть окружность и прямая ВС касаются в точке Х. Тогда
2
BX = BD ×AB = 3, т.е. BX = 3.
1. Если точка Х лежит на луче ВС,
то центр окружности – точка О – A
середина отрезка AD:
O
° D
BO ×cos30 = 3 = BX ;
R = 0,5 ×BO = 1.
C
B X=E
Журнал «Математика» № 1/2012
22. 2. Если точка X – на продолжении луча BC за точку B.
Пусть точка Q – центр окружности, F – точка касания.
Тогда BF = BX, OG = 2BO = 4, FG = OX = 1,
∠GQO = ∠FBG = 30°, QG = 2, GO = 8, R = QF =7.
A
O
D
C
X= F B X
G
Ответ: 1 или 7.
Журнал «Математика» № 1/2012
