Zadachi na smesi_i_splavy

1. ЗАДАЧИ
НА СМЕСИ И СПЛАВЫ
В 13
МКОУ «Зыряновская СОШ»
Заринский район Алтайский край
Учитель математики
Степина Татьяна Сергеевна
золото
серебро
2
3
ЕГЭ

2. Способы решения задач
на смеси и сплавы
Арифметический
Применение уравнения
Применение систем уравнений
10%
никель

3. В сосуд, содержащий 5 литров 12 процентного
водного раствора некоторого вещества, добавили
7 литров воды. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
.)(6,012,05 л=⋅
%5100
12
6,0
=⋅
Ответ: 5%
Решение
I способ
=+
5 л. 7 л.
12 %
0 %
0,6л 0,6л.
.)(1275 л=+
12 л.
II способ
21
2211
VV
VpVp
p
+
+
=
(%)5
12
60
75
70512
==
+
⋅+⋅
=p
Ответ: 5%
III способ
Объем раствора увеличился в 2,4 раза
(было 5 л., стало 12 л. 12:5 = 2,4),
содержание вещества не изменилось, поэтому
процентная концентрация получившегося
раствора уменьшилась в 2,4 раза.
12:2,4=5(%)
Ответ: 5%

4. Сколько литров воды нужно добавить в 2 л водного
раствора, содержащего 60% кислоты, чтобы
получить 20 процентный раствор кислоты?
Решение
Объем чистой кислоты в растворе не меняется,
процентное содержание кислоты в растворе
уменьшится в 3 раза (60:20=3)
Объем раствора увеличится в 3раза:2·3=6(л)
6 – 2 = 4 (л) воды нужно добавить
Ответ: 4 л.

5. Смешали 4 литра 15 процентного водного раствора
с 6 литрами 25 процентного водного раствора
этого же вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
Решение
21
2211
VV
VpVp
p
+
+
=
(%)21
10
210
64
625415
==
+
⋅+⋅
=p
Ответ: 4 л.
+ =
6л.4л.
15% 25%0,6л. 1,5л. 2,1л.
.)(1064 л=+
%21:Ответ10л.
.)(6,0415,0 л=⋅
.)(5,1625,0 л=⋅
.)(1,25,16,0 л=+
%21100
10
1,2
=⋅

6. Влажность сухой цементной смеси на складе
составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей
влажность смеси повысилась на 2%. Найдите
массу привезенной смеси, если со склада было
отправлено 400 кг.
водыкг −=⋅ .)(7218,0400
..)(32872400 цемкг −=−
.328(%)8020100 кг−=−
массакг −= .)(4108,0:328
смесиойпроивезенн
.410: кгОтвет
Решение
?
Было Стало
400кг.
18% 20%
80%
328кг. 328кг.
72кг.
Вода
Цемент
Вода
Цемент

7. Решение
Сколько надо взять 5 процентного и
25 процентного раствора кислоты, чтобы
получить 4 л 10 процентного раствора кислоты?
5%
10%
+ =25%
х л
0,25 · (4 - х) л – кислоты во втором растворе
4 л(4-х) л
0,4л
(1-0,2х)л0,05х 0,25(4-х)л
0,05 х ( л )– кислоты в первом растворе0,1 · 4 = 0,4 л – кислоты в полученном растворе0,05+0,25(4-х)=(1- 0,2х) л – кислоты в полученном растворе
Получим уравнение 1 - 2х = 0,4
х = 3
3л – надо взять 5процентного раствора
4 – 3 = 1(л) – 25 процентного
Ответ: 1л; 3л.

8. Решение
В сосуд емкостью 6л налито 4л 70% раствора серной
кислоты. Во второй сосуд той же емкости налито 3л 90%
раствора серной кислоты. Сколько литров раствора нужно
перелить из второго сосуда в первый, чтобы в нем получился
74% раствор серной кислоты? Найдите все допустимые
значения процентного содержания раствора серной кислоты
в 6л раствора в первом сосуде.
+ =
4л 3лхл
90%
74%
70%
−=⋅ )(8,27,04 л кислоты в I сосуде
2,8л 0,9хл
−)(9,0 лх кислоты нужно
перелить( ) −+ )(9,08,2 лх кислоты в новом
растворе
(2,8+0,9х)л
(4+х)л
0,74(4+х)л
( ) −+⋅ )(474,0 лх кислоты в новом
растворе
Получим уравнение
( )хх +⋅=+ 474,09,08,2 1=х
70%2,8л 90%
1,8л
4л 2л 6л
Допустимые значения
процентного содержания
Из второго сосуда в первый
можно перелить максимальное
количество раствора кислоты 2л
+ =
−=⋅ )(8,129,0 л кислоты в 2 литрах
−=+ )(6,48,18,2 л кислоты в 1 сосуде
4,6л
%
3
2
76100
6
6,4
=⋅
Ответ: 1л; ][ %
3
276%;70

9. Ответ: 9 кг.
медь
медь
медь10% 40% 30%
х кг. (х+3) кг. (х+(х+3)) кг.
0,4(х+3)кг 0,3(2х+3)кг
Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди.
Масса второго сплава больше массы первого на 3кг.
Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий
30% меди. Найдите массу третьего сплава.
Ответ дайте в килограммах.
0,1х кг
( ) ( )323,034,01,0 +=++ ххх
9,06,02,14,01,0 +=++ ххх
2,19,06,05,0 −=− хх
3=х
)(9332 кг=+⋅
Решение
Масса меди в первом сплаве 0,1х(кг)
Во втором – 0,4(х+3)(кг)
В третьем – 0,3(2х+3)(кг)
Получим уравнение

10. Имеется два сплава золота и серебра: в одном массы этих
металлов находятся в отношении 2:3, а в другом – в
отношении 3:7. Сколько килограммов нужно взять от
каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в
котором золото и серебро находились бы в отношении 5:11?
Решение
(8 – х)кг 8кгх кг
Ответ:1 кг. и 7 кг.
золото
серебро
5
11
золото
серебро
2
3
золото
серебро
3
7
золото
серебро
2
3
золото
серебро
3
7
)(718 кг=− -от 2 сплава
кг1 -от 1 сплава5,24,21,0 =+х
1=х
Получим уравнение ( ) 5,28
10
3
5
2
=−+ хх
3
/10 (8-х) кг
2
/5 х кг
Масса золота в новом сплаве кг5,2
16
5
8 =⋅Масса золота в первом куске .
5
2
кгх





2,5 кг
Масса золота во втором куске ( ) кгх 





−⋅ 8
10
3

11. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй-
30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав
массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько
килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Решение
200 кгх кг
Масса никеля в первом сплаве 0,1х кг
Масса никеля во втором сплаве 0,3у кг.
Ответ: на 100 кг.
;200=+ ух
у кг
30%
никель
25%
никель
0,3у кг
Масса никеля в новом сплаве 200·0,25=50 (кг).
50кг10%
никель
0,1х кг
.503,01,0 =+ ух 


=+
−=
⇔
.5003
;200
ух
ух



=+−
−=
⇔
.5003200
;200
уу
ух ⇔



=
=
⇔
.150
;50
у
х 50 кг - масса первого сплава.
150 кг - масса второго сплава.
150 – 50 = 100 (кг)

12. При смешивании 30 процентного раствора серной кислоты с
10 процентным раствором серной кислоты получилось 400 г
15 процентного раствора. Сколько граммов 30 процентного
раствора было взято?
+ =
х г
15%
30% 10%
Решение
400г.у г
;400=+ ух
.601,03,0 =+ ух
⇔
−)(3,0 гх кислоты в первом растворе
0,3х г
кислоты во втором растворе−)(1,0 гу
кислоты в новом растворе−=⋅ )(6015,0400 г
0,1у г 60 г
( )


=−+
−=
⇔
.604001,03,0
;400
хх
ху



=
=
⇔
.300
;100
у
х
Ответ: 100 г.
100 г – 30% раствора было взято.

13. Решение
Имеются два слитка сплава серебра и олова. Первый слиток
содержит 360г серебра и 40г олова, а второй слиток – 450г
серебра и 150г олова. От каждого слитка взяли по куску,
сплавили их и получили 200г сплава, в котором оказалось
81% серебра. Определите массу (в граммах) куска, взятого
от второго слитка.
200 г
серебро
олово
81%
х г у г
400г 600гсеребро
олово
серебро
олово
450 г
150 г
сереброоловосереброолово
360 г
40 г
Ответ:120 г.
серебра в новом сплаве−=⋅ )(16281,0200 г
162 г
−=⋅ %90100
400
360
серебра в первом слитке
75%
−=⋅ %75100
600
450
серебра во втором слитке
90%0,9х(г)
серебра в первом куске0,9х(г) -
0,75у(г)
серебра во втором куске0,75у(г)-
90% 75%
;200=+ ух
.16275,09,0 =+ ух



=+
−=−−
⇔
.16275,09,0
;1809,09,0
ух
ух( )( )9,0−⋅



=
=
⇔
.120
;80
у
х

14. Первый раствор содержит 40% кислоты, а второй - 60%
кислоты. Смешав эти растворы и добавив 5 л воды,
получили 20 процентный раствор. Если бы вместо воды
добавили 5 л 80 процентного раствора, то получился бы
70 процентный раствор. Сколько литров 60 процентного
раствора кислоты было первоначально?
Решение
60% 0%
20%
=++
5 л
40%
х л у л (х+у+5) л
0,4х (л) - кислоты в первом растворе
0,4х л
0,6у (л) - кислоты во втором растворе
0,6у л
0,2(х+у+5) (л) - кислоты в новом растворе
0,2(х+у+5) л
( );52,06,04,0 ++=+ ухух
70%
80%
4 л
0,7(х+у+5) л
( ).57,046,04,0 ++=++ ухух
кислоты в 5 литрах−=⋅ )(458,0 л0,7(х+у+5) (л) - кислоты в новом растворе



++=++
++=+
⇔
.5,37,07,046,04,0
;12,02,06,04,0
ухух
ухух
⇔



=+
=+
⇔
.5,01,03,0
;14,02,0
ух
ух



=
=
⇔
.2
;1
у
х
Ответ: 2 л

15. Литература и интернет-ресурсы
1. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. Единый
Государственный экзамен 2008. Математика.
Учебно-тренировочные материалы для подготовки
учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2007.
2. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе
Математики. М.: Педагогический университет
«Первое сентября», 2006.
3. Открытый банк заданий ЕГЭ 2012
http://www.nado5.ru/materials/novoe-v-yege-po-matematike