Dokumen tersebut membahas tentang kompresi citra digital menggunakan transformasi wavelet Haar. Transformasi wavelet Haar digunakan untuk memecah citra menjadi bagian-bagian frekuensi rendah dan tinggi melalui proses dekomposisi dan rekonstruksi untuk mengkompresi ukuran citra. Algoritma Mallat digunakan untuk menghitung koefisien-koefisien wavelet Haar pada proses dekomposisi dan rekonstruksi citra.

1. P. Danurdoro
115060024

2. Latar Belakang
 Sebagai bentuk representasi data, kendala yang
dihadapi ketika menggunakan citra digital adalah
pada besarnya ukuran data yang dibutuhkan
untuk merepresentasikan citra tersebut. Untuk itu
dibutuhkan suatu teknik yang dapat mengecilkan
volume data, teknik ini dinamakan kompresi citra.

3. Citra
 Citra adalah suatu bentuk representasi dari suatu
objek atau benda. Citra dapat bersifat analog dan
digital.
Citra Digital
 Citra digital merupakan suatu larik dua dimensi atau suatu
matriks yang elemen–elemennya menyatakan tingkat
keabuan dari eleman gambar. Jadi informasi yang
terkandung bersifat diskret.

4. Jenis Citra Digital
 Grayscale
Citra grayscale merupakan citra digital yang hanya
memiliki satu nilai kanal pada setiap pixelnya.
 RGB
Suatu citra warna di mana setiap pikselnya merupakan
gabungan dari intensitas warna merah, hijau, dan
biru.

5. Kompresi Data
 Kompresi data adalah proses pengubahan sekumpulan data
menjadi bentuk kode dengan tujuan untuk menghemat
kebutuhan tempat penyimpanan data dan waktu untuk
transmisi data.
Kompresi Citra
 Kompresi Citra adalah suatu proses meminimalkan jumlah
bit yang merepresentasikan citra digital sehingga ukuran
citra menjadi lebih kecil.

6. Metoda Kompresi
 Lossless
Metoda ini merupakan algoritma kompresi data yang
memungkinkan data yang telah dikompresi dapat
dikembalikan seperti semula.
 Lossy
Kompresi lossy ini tidak memungkinkan untuk data
yang terkompresi dapat dikembalikan sperti semula.

7. Kegunaan Kompresi Citra
 transmisi data (data transmission)
 penyimpanan data (storage)
 penyiaran televisi,
 penginderaan jarak jauh (remote sensing),
 komunikasi militer,
 radar dan lain-lain.
Aplikasi Kompresi Citra

8. Teori Wavelet
 Teori wavelet adalah suatu konsep yang relatif baru
dikembangkan. Kata “Wavelet” sendiri diberikan
oleh Jean Morlet dan Alex Grossmann diawal
tahun 1980-an, dan berasal dari bahasa Prancis,
“ondelette” yang berarti gelombang kecil. Kata “onde”
yang berarti gelombang kemudian diterjemahkan ke
bahasa Inggris menjadi “wave”, lalu digabung dengan
kata aslinya sehingga terbentuk kata baru “wavelet”.

9. Transformasi Wavelet
 CWT (Continuous Wavelet Transforms)
 DWT (Discrete Wavelet Transforms)
1. Haar,
2. Daubechies,
3. dan lain-lain.

10. Haar Wavelet
 Wavelet Haar ini pertama kali diperkenalkan
oleh Alfréd Haar pada tahun 1909. Wavelet Haar
dapat dijelaskan dalam ruang vektor 4 dimensi.
 Wavelet Haar memiliki scaling function dengan
koefisien c0 = c1 = 1.
























































1
1
0
0
,
0
0
1
1
,
1
1
1
1
,
1
1
1
1
3210 hhhh

11. Vektor-vektor basis Haar

12. Kombinasi liniear Haar
x = a h0 + b h1 + c h2 + d h3




































































1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
1
0
dcba
x
x
x
x

13.  x0 = a + b + c
 x1 = a + b – c
 x2 = a – b + d
 x3 = a – b – d
 x2 – x3 = 2d
 x0 – x1 = 2c
 (x0 + x1) – (x2 + x3) = 4b
 (x0 + x1) + (x2 + x3) = 4a

14.  Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa
d = ½ (x2 – x3)
c = ½ (x0 – x1)
b = ½ ( ½ (x0 + x1) – ½ (x2 + x3))
a = ½ ( ½ (x0 + x1) + ½ (x2 + x3))

15. Algoritma Mallat (Dekomposisi)
 Diperkenalkan oleh Stephane Mallat untuk
menghitung koefisien a, b, c dan d.
021
021
...
ddd
aaaa
jj
HHH
LjLjLj




16. Matriks L dan H
 Matriks L dan H masing-masing adalah matriks
lowpass (averaging) dan highpass (differencing)
 Matriks L dan H untuk basis Haar dimana c0 = c1 = 1
adalah sebagai berikut :















2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
00
00
00
00
HL

17.  
 
 
 3
6
1
2
1
5
5
7
4
6
01
2
1
2
1
2
1
2
100
00
2
1
2
1
02
1
2
1
12
1
2
100
00
2
1
2
1
2













 

 





































dd
aaa
HH
L
L
Proses Dekomposisi

18. Nilai a, b, c dan d pada persamaan kemudian
dapat kita peroleh dengan melihat nilai
aproksimasi terakhir a0 dan semua nilai-nilai
detail d0,d1 dan d1 dimana
 a = ½ ( ½ (x0 + x1) + ½ (x2 + x3)) = a0 = 2
 b = ½ ( ½ (x0 + x1) – ½ (x2 + x3)) = d0 = 3
 c = ½ (x0 – x1) = d1(0) = 1
 d = ½ (x2 – x3) = d1(1) = -6.

19. Algoritma Mallat (Rekonstruksi)
110
***
*2*1*0
...


n
HHH
nLLL
ddd
aaaa

20. Matriks L* dan H*
 Isi dari L* dan H* untuk basisi Haar adalah sebagai
berikut :




























10
10
01
01
*
10
10
01
01
* HL

21. Proses Rekonstruksi
   
 





































































 



















 



























6
1
]3[
5
7
4
6
6
1
10
10
01
01
1
5
10
10
01
01
1
5
3
1
1
2
1
1
]2[
10
10
10
01
01
`*
1
1
*
210
10
01
01
*
11
1
*
dd
aaa
HH
l
L

22. Transformasi Citra lowpass kolom
lowpass baris
highpass kolom
Citra
lowpass kolom
highpass baris
highpass kolom

23. LL LH LL: hasil lowpass terhadap baris dan kolom
LH: hasil lowpass terhadap baris diteruskan dengan highpass
terhadap kolom
HL HH HL: hasil highpass terhadap baris diteruskan dengan lowpass
terhadap kolom
HH: hasil highpass terhadap baris dan kolom

24. LL2 LH2
LH1
LH1, HL1, dan HH1 merupakan hasil dekomposisi
level 1.
LL1 tidak diperlihatkan pada gambar karena
langsung didekomposisi lagi menjadi LL2, LH2,
HL2 dan HH2
HL2 HH2
HL1 HH1
bagian LL disebut bagian aproksimasi (A), bagian LH
disebut detail vertikal (V), bagian HL disebut detail
horizontal (H), dan bagian HH disebut detail diagonal (D).

25. Proses Kompresi Citra
 Citra berukuran 8x8 sbb:
74 79 76 75 80 80 78 81
77 78 75 77 82 76 73 81
78 76 77 79 75 75 79 75
80 72 82 78 74 80 74 75
82 70 86 77 73 83 71 77
82 73 83 78 74 80 73 76
78 81 74 81 77 71 81 72
76 82 70 80 77 68 84 72

26. Dekomposisi
 Tentukan filter dekomposisi LH, yaitu
½ ½ 0 0 0 0 0 0
½ - ½ 0 0 0 0 0 0
0 0 ½ ½ 0 0 0 0
0 0 ½ - ½ 0 0 0 0
0 0 0 0 ½ ½ 0 0
0 0 0 0 ½ - ½ 0 0
0 0 0 0 0 0 ½ ½
0 0 0 0 0 0 ½ - ½

27.  Kalikan setiap kolom dengan matriks dekomposisi di
atas. Contoh untuk kolom pertama:
½ ½ 0 0 0 0 0 0 74 75.5
½ - ½ 0 0 0 0 0 0 77 -1.5
0 0 ½ ½ 0 0 0 0 78 79
0 0 ½ - ½ 0 0 0 0 * 80 = -1
0 0 0 0 ½ ½ 0 0 82 82
0 0 0 0 ½ - ½ 0 0 82 0
0 0 0 0 0 0 ½ ½ 78 77
0 0 0 0 0 0 ½ - ½ 76 -1

28.  Hasil dekomposisi perkolom ini akan menghasilkan
matriks sebagai berikut:
75.5 78.5 75.5 76 81 78 75.5 81
-1.5 0.5 0.5 -1 -1 2 2.5 0
79 74 79.5 78.5 74.5 77.5 76.5 75
-1 2 -2.5 0.5 0.5 -2.5 2.5 0
82 71.5 84.5 77.5 73.5 81.5 72 76.5
0 -1.5 1.5 -0.5 -0.5 1.5 -1 0.5
77 81.5 72 80.5 77 69.5 82.5 72
1 -0.5 2 0.5 0 1.5 -1.5 0
Keterangan:
•warna biru adalah hasil aproksimasi
•warna merah adalah hasil detail

29.  Atur hasil supaya bagian aproksimasi berkumpul di
bagian atas dan bagian detail mengumpul di bagian
bawah
75.5 78.5 75.5 76 81 78 75.5 81
79 74 79.5 78.5 74.5 77.5 76.5 75
82 71.5 84.5 77.5 73.5 81.5 72 76.5
77 81.5 72 80.5 77 69.5 82.5 72
-1.5 0.5 0.5 -1 -1 2 2.5 0
-1 2 -2.5 0.5 0.5 -2.5 2.5 0
0 -1.5 1.5 -0.5 -0.5 1.5 -1 0.5
1 -0.5 2 0.5 0 1.5 -1.5 0

30.  Setelah itu lakukan hal yang sama dengan cara
mengambil tiap baris.
½ ½ 0 0 0 0 0 0 75.5 77
½ - ½ 0 0 0 0 0 0 78.5 -1.5
0 0 ½ ½ 0 0 0 0 75.5 75.75
0 0 ½ - ½ 0 0 0 0 * 76 = -0.25
0 0 0 0 ½ ½ 0 0 81 79.5
0 0 0 0 ½ - ½ 0 0 78 1.5
0 0 0 0 0 0 ½ ½ 75.5 78.25
0 0 0 0 0 0 ½ - ½ 81 -2.75

31.  Kemudian hasilnya diletakkan di matriks hasil
kembali dalam bentuk baris, sehingga hasilnya akan
sebagai berikut:
77 -1.5 75.75 -0.25 79.5 1.5 78.25 -2.75
76.5 2.5 79 0.5 76 -1.5 75.75 0.75
76.75 5.25 81 3.5 77.5 -4 74.25 -2.25
79.25 -2.25 76.25 -4.25 73.25 3.75 77.25 5.25
-0.5 -1 -0.25 0.75 0.5 -1.5 1.25 1.25
0.5 -1.5 -1 -1.5 -1 1.5 1.25 1.25
-0.75 0.75 0.5 1 0.5 -1 -0.25 -0.75
0.25 0.75 1.25 0.75 0.75 -0.75 -0.75 -0.75

32.  Atur hasil supaya bagian aproksimasi berkumpul di
bagian kiri dan bagian detail mengumpul di bagian
kanan.
77 75.75 79.5 78.25 -1.5 -0.25 1.5 -2.75
76.5 79 76 75.75 2.5 0.5 -1.5 0.75
76.75 81 77.5 74.25 5.25 3.5 -4 -2.25
79.25 76.25 73.25 77.25 -2.25 -4.25 3.75 5.25
-0.5 -0.25 0.5 1.25 -1 0.75 -1.5 1.25
0.5 -1 -1 1.25 -1.5 -1.5 1.5 1.25
-0.75 0.5 0.5 -0.25 0.75 1 -1 -0.75
0.25 1.25 0.75 -0.75 0.75 0.75 -0.75 -0.75

33.  Hasil dekomposisi telah diperoleh. Matriks yang
dihasilkan dapat dilihat sebagai berikut:
77 75.75 79.5 78.25 -1.5 -0.25 1.5 -2.75
76.5 79 76 75.75 2.5 0.5 -1.5 0.75
76.75 81 77.5 74.25 5.25 3.5 -4 -2.25
79.25 76.25 73.25 77.25 -2.25 -4.25 3.75 5.25
-0.5 -0.25 0.5 1.25 -1 0.75 -1.5 1.25
0.5 -1 -1 1.25 -1.5 -1.5 1.5 1.25
-0.75 0.5 0.5 -0.25 0.75 1 -1 -0.75
0.25 1.25 0.75 -0.75 0.75 0.75 -0.75 -0.75
Keterangan:
-warna biru adalah bagian aproksimasi
-warna merah adalah bagian detail vertikal
-warna jingga adalah bagian detai horizontal
-warna hijau adalah bagian detail diagonal

34. Rekonstruksi
 Tentukan filter rekonstruksi L* dan H*, yaitu
1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 -1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
L*= 0 1 0 0 H* = 0 -1 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 0 -1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 -1

35.  Untuk setiap baris hasil dekomposisi, kalikan matriks
L* dan H* tersebut dengan bagian dari matriks hasil,
menjadi:
1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 0 0 -1 0 0 0
0 1 0 0 77 0 1 0 0 -1.5
0 1 0 0 * 75.75 + 0 -1 0 0 * -0.25
0 0 1 0 79.5 0 0 1 0 1.5
0 0 1 0 78.25 0 0 -1 0 -2.75
0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 1 0 0 0 -1

36.  Kemudian hasilnya kembali diletakkan secara perbaris
di matriks hasil.
77 -1.5 75.5
77 1.5 78.5
75.75 -0.25 75.5
= 75.75 + 0.25 = 76
79.5 1.5 81
79.5 -1.5 78
78.25 -2.75 75.5
78.25 2.75 81

37.  Dengan cara yang sama, lakukan perkalian pada tahap
2 terhadap setiap kolom dari matriks yang diperoleh
pada langkah sebelumnya. Langkah ini akan
menghasilkan kembali citra awal. Proses rekonstruksi
pun selesai.

38. Kesimpulan
 Kompresi citra RGB dengan transformasi wavelet
memperlihatkan proses kompresi yg dilakukan secara
bertahap mulai dari pemisahan layer RGB,
dekomposisi, rekonstruksi, lalu menyatukan kembali
layer-layer menjadi citra RGB.
 Citra yang telah terkompresi bersifat Lossless karena
tidak ada data yang hilang setelah dikompresi dan
dapat direkonstruksi kembali menjadi citra awal.
 Citra yang telah terkompresi memiliki dimensi dan
ukuran yang lebih kecil daripada citra sebelumnya.

39. Saran
 Kompresi dapat dilakukan dengan transformasi
wavelet selain Haar, seperti Daubechies, atau dengan
menggunakan metode LZW, Huffman, dan
sebagainya.
 Kompresi dapat dilakukan tanpa menggunakan
bantuan dari wavelet toolbox pada MATLAB.