Chuyen de

1. Ngµy so¹n: 15/3/2009
Ngµy gi¶ng: 17/3/2009
Chuyªn ®Ò: D·y c¸c ph©n sè viÕt theo quy luËt
I/ NhËn xÐt më ®Çu:
Khi gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè, ta thêng gÆp c¸c bµi to¸n tÝnh tæng c¸c
ph©n sè mµ tö vµ mÉu cña chóng ®îc viÕt theo quy luËt. VD:
3 + 3 + 3 + .... + 3
4.7 7.10 10. 13 73.76
DÔ nhËn thÊy c¸c ph©n sè cã tö kh«ng thay ®æi vµ ®óng b»ng hiÖu
hai thõa sè ë díi mÉu, thõa sè cuèi ë mÉu tríc b»ng thõa sè ®Çu ë mÉu
sau.
Ph¬ng ph¸p chung ®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n d¹ng nµy lµ dïng c«ng thøc:
m = 1 _ 1
b. ( b+m) b b+m
Khi ®ã ta cã thÓ viÕt mçi sè h¹ng thµnh hiÖu cña hai ph©n sè , sè trõ
cña nhãm tríc b»ng sè bÞ trõ cña nhãm sau råi khö liªn tiÕp. KÕt qu¶
cßn l¹i sè bÞ trõ ®Çu tiªn vµ sè trõ cuãi cïng, khi ®ã phÐp tÝnh thùc hiÖn
®îc dÔ dµng.
NÕu mçi sè h¹ng phøc t¹p h¬n, ch¼ng h¹n:
2m
b. ( b+m ).(b+ 2m )
th× ta dïng c«ng thøc:
2m = 1 _ 1
b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Tuy nhiªn kh«ng ph¶i bµi to¸n nµo ta còng ph¸t hiÖn ®îc ngay quy luËt
mµ ph¶i qua mét sè phÐp biÕn ®æi dùa trªn tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n
sè nh nh©n c¶ tö vµ mÉu víi cïng mét sè ®Ó t×m quy luËt cña mÉu, ¸p
dông hîp lý tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng ®Ó
biÕn ®æi tö ®óng b»ng hiÖu hai thõa sè díi mÉu...
II/ C¸c vÝ dô :
VD1: TÝnh tæng 100 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y sau:
a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4 ..........
b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176..........
Giải
Tríc hÕt ta cã nhËn xÐt sau:
Tæng 100 sè h¹ng ®Çu tiªn cña d·y lµ:
a/ 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +.........+ 1/ 100.101
C¸c ph©n sè trong tæng cã tö b»ng nhau vµ ®óng b»ng hiÖu hai thõa sè
díi mÉu nªn ta dïng c«ng thøc biÕn ®æi:
m/ b. ( b+ m ) = 1/ b - 1/ b+m
VËy 1/ 1.2 + 1/ 2.3 + 1/ 3.4 +.........+ 1/ 100.101 = 1 – 1/ 101 = 100/
101
b/ Tríc hÕt ta viÕt c¸c mÉu thµnh tÝch theo quy luËt:
6 = 1.6 ; 66 = 6. 11 ; 176 = 11. 16......
sè h¹ng thø n cña d·y cã d¹ng : ( 5n – 4 ) ( 5n + 1 )

2. => sè h¹ng thø 100 cña d·y cã d¹ng : ( 5. 100 – 4 ) ( 5. 100 + 1 ) = 496 .
501
l¹i cã 1- 1/6 = 5/ 1.6 ; 1/6 – 1/11 = 5/ 6.11
Tõ ®ã: 1/6 + 1/ 66 + 1/ 176 + .... + 1/ 496. 501
= 1/5 .( 1 – 1/6 + 1/6 - 1/11 + 1/11 - .......+ 1/ 496 - 1/ 501 )
= 1/5 . ( 1 – 1/500) = 1/5 . 500/ 501 = 100/ 501
VD2: TÝnh tæng
B= 1/ 1.2.3 + 1/ 2.3 4 + 1/ 3.4.5 + .... + 1/ 48.49.50
NX: Mçi sè h¹ng cña tæng cã d¹ng
2m = 1 _ 1
b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Mµ ta cã : 1/ 1.2 - 1/ 2.3 = 2/ 1.2.3
1/ 2.3 - 1/3.4 = 2/ 2.3.4
Tõ ®ã => B = 1/2 . ( 2/ 1.2.3 + 2/ 2,3.4 + ... + 2/ 48. 49. 50 )
= 1/2 .( 1/ 1.2 – 1/ 2.3 + 1/ 2.3 - .....- 1/ 49.50)
= 1/2. ( 1/ 1.2 – 1/ 49.50 ) = 1/ 2 . 1224/ 2450 = 306/ 1225.
VD3: TÝnh tæng
C = 1/10 + 1/15 + 1/21 + ... + 1/ 120
Ta nhËn xÐt thÊy mÉu cña c¸c sè h¹ng trong tæng khi ph©n tÝch thµnh
tÝch th× kh«ng cã quy luËt nµo c¶ nªn kh«ng ¸p dông ®îc c«ng thøc. Tuy
nhiªn nÕu nh©n c¶ tö vµ mÉu cña mçi sè h¹ng trong tæng víi 2 ( Kh«ng
lµm thay ®æi gi¸ trÞ cña ph©n sè) th× sÏ dÔ dµng viÕt ®îc c¸c mÉu
theo quy luËt.
Nh©n c¶ tö vµ mÉu cña C víi 2, khi ®ã
C = 2/ 20 + 2/ 30 + 2/ 42 +... + 2/ 240
= 2/ 4.5 + 2/ 5.6 + 2/ 6.7 +... + 2/ 15.16
= 2. ( 1/ 4.5 + 1/ 5.6 + 1/ 6.7 + ... + 1/ 15.16)
= 2. ( 1/4- 1/5 + 1/5 - ... – 1/ 16)
= 2. ( 1/4 - 1/16) = 2. 3/16 = 3/ 8.
VD4 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
a/ P = 1+ 1/3 + 1/5 + ... + 1/97 + 1/99
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
NX: Tríc hÕt ta ghÐp c¸c ph©n sè ë sè bÞ chia thµnh tõng cÆp ®Ó lµm
xuÊt hiÖn mÉu chung gièng víi mÉu cña c¸c ph©n sè t¬ng øng ë sè chia
nh sau:
P = ( 1 + 1/99) + ( 1/3 + 1/97) + ... + ( 1/ 49 + 1/ 50)
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100/ 1.99 + 100/ 3.97 + 100/ 5. 95 + ... + 100/ 49.51
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100. ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + .... + 1/ 49. 51 )
2 . ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + .... + 1/ 49. 51 )
= 100/ 2 = 50
VËy gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = 50
b/ Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
99/1 + 98/2 + 97/3 +... + 1/99
NX: Trong VD nµy chóng ta l¹i ph¶i biÕn ®æi sè chia ®Ó lµm xu¸t hiÖn
c¸c biÓu thøc cã thÓ rót gän ®îc víi c¸c biÓu thøc trªn tö. Ta cã:

3. Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
100-1 + 100-2 + 100- 3 +... + 100- 99
1 2 3 99
= 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
(100/1 + 100/ 2 + 100/3 +... + 100/ 99) – ( 1/1 + 2/2 + 3/3 +... +
99/99)
= 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
100 + 100. ( 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/99) – 99
= 1/ 100
VËy gi¸ trÞ cña biÓu thøc Q = 1/ 100
VD 5: T×m tÝch cña 98 sè ®Çu tiªn cña d·y
3
1
1 ; 1 8
1
; 115
1
; 1
24
1
; 1 35
1
....
NX: Ta viÕt l¹i c¸c sã h¹ng cña d·y :
3
4
; 8
9
; 15
16
;
24
25
; 35
36
...
<=>
3.1
22
;
4.2
32
;
5.3
42
;
6.4
52
;
7.5
62
...
Sè thø 98 cã d¹ng :
100.98
992
Gäi tÝch cña 98 sè trong d·y lµ A, ta cã :
A=
100.98
99
....
7.5
6
.
6.4
5
.
5.3
4
.
4.2
3
.
3.1
2 222222
= )100....6.5.4.3).(98....4.3.2.1(
)99....5.4.3.2).(99....5.4.3.2(
TS thø nhÊt cña A TS thø 2 cña A
= 100
2
.
1
99
= 50
99
III/ ¸p dông:
Bµi 1: TÝnh tæng:
a, A= 18.15
6
+ 21.18
6
+ 24.21
6
+ ... + 90.87
6
b, B=
11.8
32
+
14.11
32
+
17.14
32
+ ... +
200.197
32
c, C= 27.25
1
+ 29.27
1
+ 31.29
1
+ ...+ 75.73
1
d, D= 94.90
15
+ 98.94
15
+ 102.98
15
+ ... + 150.146
15
*/Gi¶i
a, A= 18.15
6
+ 21.18
6
+ 24.21
6
+ ... + 90.87
6
= 2. 





++++
90.87
3
...
24.21
3
21.18
3
18.15
3
= 2. 





−++−+−
90
1
87
1
...
21
1
18
1
18
1
15
1
= 2. 





−
90
1
15
1
=2. 





90
5
= 9
1
b, B=
11.8
32
+
14.11
32
+
17.14
32
+ ... +
200.197
32
=3. 





++++
200.197
3
...
17.14
3
14.11
3
11.8
3
=3. 





−++−+−
200
1
197
1
...
14
1
11
1
11
1
8
1
= 3. 





−
200
1
8
1
= 25
9

4. c, C= 27.25
1
+ 29.27
1
+ 31.29
1
+ ...+ 75.73
1
= 





++++
75.73
2
...
31.29
2
29.27
2
27.25
2
.
2
1
= 





−+++−+−
75
1
73
1
...
31
1
_
29
1
29
1
27
1
27
1
25
1
.
2
1
= 





−
75
1
25
1
.
2
1
= 75
1
d, D= 94.90
15
+ 98.94
15
+ 102.98
15
+ ... + 150.146
15
= 





++++
150.146
4
...
102.98
4
98.94
4
94.90
4
.
4
15
= 





−++−+−+−
150
1
146
1
...
102
1
98
1
98
1
94
1
94
1
90
1
.
4
15
= 





−
150
1
90
1
.
4
15
= 60
1
Bµi 2: CMR: Víi mäi n ∈ N th× ta lu«n cã:
)65)(15(
1
...
176
1
66
1
6
1
++
++++
nn
= 65
1
+
+
n
n
*/Gi¶i
BiÕn ®æi VT ta cã:
)65)(15(
1
...
176
1
66
1
6
1
++
++++
nn
= 





++
++++
)65)(15(
5
...
16.11
5
11.6
5
6.1
5
.
5
1
nn
= 





++
++++−
65
1
-
15
1
...
16
1
-
11
1
11
1
-
6
1
6
1
1.
5
1
nn
= 





+
−
65
1
1.
5
1
n
= 





+
+
65
)1(5
.
5
1
n
n
= 65
1
+
+
n
n
=VP => ®pcm
Bµi 3: T×m x ∈N biÕt:
a, x - 55.53
20
...
17.15
20
15.13
20
13.11
20
−−−− =
11
3
b, )1(
2
...
36
1
28
1
21
1
+
++++
xx
= 9
2
*/Gi¶i:
a, x - 55.53
20
...
17.15
20
15.13
20
13.11
20
−−−− =
11
3
<=> x = 55.53
20
...
17.15
20
15.13
20
13.11
20
11
3
+++++
<=> x = 





+++++
55.53
2
...
17.15
2
15.13
2
13.11
2
10
11
3
<=> x = 





−+−+−+
55
1
53
1
...
13
1
13
1
11
1
10
11
3
<=> x = 





−+
55
1
11
1
10
11
3
=
11
8
11
3
+ =1
b, )1(
2
...
36
1
28
1
21
1
+
++++
xx
= 9
2
<=> 9
2
)1(
2
...
72
2
56
2
42
2
=
+
++++
xx

5. <=> 2. 9
2
1
11
...
9
1
8
1
8
1
7
1
7
1
6
1
=





+
−++−+−+−
xx
<=> 2. 9
2
1
1
6
1
=





+
−
x
<=> 18
1
9
1
6
1
1
1
=−=
+x
<=> x+1 = 18
<=> x = 17
Bµi 4: CMR:
a, A= 20.19.18
1
...
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++ <
4
1
b, B= 29.27.25
36
...
9.7.5
36
7.5.3
36
5.3.1
36
++++ < 3
*/Gi¶i:
a, A= 20.19.18
1
...
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++ <
4
1
Ta cã:
A = 





++++
20.19.18
2
...
5.4.3
2
4.3.2
2
3.2.1
2
.
2
1
= 





−++−+−
20.19
1
19.18
1
...
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
.
2
1
= 380
189
.
2
1
20.19
1
2.1
1
.
2
1
=





− = 760
189
Mµ 4
1
756
189
760
189
=< => A <
4
1
b, B= 29.27.25
36
...
9.7.5
36
7.5.3
36
5.3.1
36
++++ < 3
Ta cã:
B = 9. 





++++
29.27.25
4
...
9.7.5
4
7.5.3
4
5.3.1
4
= 9. 





−++−+−+−
29.27
1
27.25
1
...
9.7
1
7.5
1
7.5
1
5.3
1
5.3
1
3.1
1
= 9. 87
260
783
260
.9
783
1
3
1
==





−
Mµ 3
87
261
87
260
=< =>B < 3
Bµi 5: CMR:
a, M = 1
1
...
4
1
3
1
2
1
2222
<++++
n
(n∈N; n≥2)
b, N = 4
)2(
1
...
8
1
6
1
4
1
2222
<++++
n
(n∈N; n≥2)
c, P = 1
!
!2
...
!5
!2
!4
!2
!3
!2
<++++
n
(n∈N; n≥3)
*/Gi¶i:
a, M = 1
1
...
4
1
3
1
2
1
2222
<++++
n
. ¸p dông ph¬ng ph¸p lµm tréi
Ta cã: M = nn.
1
...
4.4
1
3.3
1
2.2
1
++++ < nn ).1(
1
...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
−
++++
<=> M < nnn
1
1
1
1
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1 −=−
−
++−+−+−

6. Mµ 1
1
1 <−
n
=>M <1
b, N = 4
)2(
1
...
8
1
6
1
4
1
2222
<++++
n
Ta cã: N = 





++++ 22222
1
...
4
1
3
1
2
1
.
2
1
n
Mµ 2222
1
...
4
1
3
1
2
1
n
++++ <1 (theo phÇn a)
=> N < 2
2
1
.1=
4
1
c, P = 1
!
!2
...
!5
!2
!4
!2
!3
!2
<++++
n
Ta cã: P=2! 





++++
!
1
...
!5
1
!4
1
!3
1
n
=2!( nnn )1)(2(
1
...
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
−−
++++
=> P < 2. 





−
++++
nn ).1(
1
...
5.4
1
4.3
1
3.2
1
<=> P < 2. 1
2
1
1
2
1
<−=





−
nn
_________________________________________________

7. Mµ 1
1
1 <−
n
=>M <1
b, N = 4
)2(
1
...
8
1
6
1
4
1
2222
<++++
n
Ta cã: N = 





++++ 22222
1
...
4
1
3
1
2
1
.
2
1
n
Mµ 2222
1
...
4
1
3
1
2
1
n
++++ <1 (theo phÇn a)
=> N < 2
2
1
.1=
4
1
c, P = 1
!
!2
...
!5
!2
!4
!2
!3
!2
<++++
n
Ta cã: P=2! 





++++
!
1
...
!5
1
!4
1
!3
1
n
=2!( nnn )1)(2(
1
...
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
−−
++++
=> P < 2. 





−
++++
nn ).1(
1
...
5.4
1
4.3
1
3.2
1
<=> P < 2. 1
2
1
1
2
1
<−=





−
nn
_________________________________________________