ครูวิโรจน์ เยี่ยมสวัสดิ์ วิชาคณิตศาสตร์(เพิ่มเติม) ชั้นม.5

1. กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์
รายวิชา ค32202 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 4
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5
โดย ครูวิโรจน์ เยี่ยมสวัสดิ์

2. กราฟ เป็นตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ ซึ่งใช้
สาหรับจาลองปัญหาบางอย่างด้วยแผนภาพที่
ประกอบด้วย จุด และเส้นเชื่อมจุด ตัวอย่าง เช่น
แผนภาพที่แสดงเส้นทางที่เชื่อมเมืองต่าง ๆ
แผนภาพแสดงโครงสร้างทางเคมีของสารต่าง ๆ
วงจรไฟฟ้ า เป็นต้น

3. วิชาที่ศึกษาเกี่ยวกับคุณสมบัติต่าง ๆ
ของกราฟ เรียกว่า ทฤษฎีกราฟ (Graph Theory)
ปัจจุบันทฤษฎีกราฟมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้าง
ขวางในศาสตร์แขนงต่าง ๆ เช่น วิทยาศาสตร์
สังคมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ เป็นต้น

4. กราฟ (Graph) G ประกอบด้วย
เซตจากัด ที่ ไม่เป็นเซตว่าง ของจุด แทนด้วยสัญลักษณ์ V(G)
2. เซตจากัดของเส้นที่เชื่อมระหว่างจุด แทนด้วยสัญลักษณ์ E(G)
ตัวอย่าง ให้กราฟ G : (V(G) , E(G)) ประกอบด้วย
V(G) = { A , B , C }
E(G) = { {AB} , {BC} }
เขียนภาพแทนกราฟ G ได้ดังนี้
A
B
C
G :

5. * กราฟอย่างง่าย (simple graph)

6. * มัลติกราฟ (multigraph)
จุดบางคู่มีมากกว่าหนึ่งเส้น

7. * กราฟเทียม (pseudograph)
บางจุดมีห่วง (loop)

8. * กราฟแบบบริบูรณ์ (complete graph) แทนด้วย Kn
1K
2K
3K
4K
5K

9. * สัปกราฟ (sub graph)
กำหนด G และ H เป็นกรำฟ H เป็นสับกรำฟของ G
เมื่อ V(H) V(G) และ E(H) E(G) 
กำหนด G และ H เป็นกรำฟ H เป็นสับกรำฟแผ่ทั่ว
ของ G เมื่อ V(H) = V(G) และ E(H) E(G)

กำหนด G และ H เป็นกรำฟ H และ G เป็นกรำฟ
เหมือนกัน เมื่อ V(H) = V(G) และ E(H) = E(G)

10. กราฟใดเป็นสับกราฟของ G
3G
G :
a b
c
d
ce ce
c
e
c
d
a ba b
a b a b
e e
d
4G
1G 2G

11. ดีกรีของจุด
เส้น e ของกราฟ G จะเรียกว่า เกิดกับ จุด A ถ้าจุด A
เป็นจุดปลายจุดหนึ่งของเส้น e
ดีกรี (degree) ของจุด V ในกราฟ คือ จานวนเส้นทั้งหมดที่
เกิดกับจุด V
a
b
c
G : deg (a) = 3
deg (b) = 7
deg (c) = 2

12. ทฤษฎี
จานวนเส้น e ของกราฟ G เท่ากับ ครึ่งหนึ่งของ
ผลรวมดีกรีของกราฟ G
a
b
c
G :
deg (a) = 3
deg (b) = 7
deg (c) = 2
1
( ) deg( )
2 1
n
E G Vi
i



deg( ) 12
1
n
Vi
i



( ) 6E G 

13. ตัวอย่างของเส้นที่เกิดกับจุดในกราฟ
A
B
C
G :
D
จากรูป เส้นที่เกิดกับจุด A คือ AB และ BA
เส้นที่เกิดกับจุด B คือ BA , AB และ BC , CB
เส้นที่เกิดกับจุด C คือ CB , BC และ CC
เส้นที่เกิดกับจุด D ไม่มี
หมายเหตุ เส้นที่เกิดกับจุด C ( CC ) ให้ถือเป็น 2 เส้น เรียกว่า
วงวน ( loop )

14. จุดคู่ / จุดคี่
จุดที่มีดีกรี เป็นจานวนคู่ เรียกว่า จุดคู่ (even vertex)
จุดที่มีดีกรี เป็นจานวนคี่ เรียกว่า จุดคี่ (odd vertex)
A
B
C
G :
D
จุด A และ C เป็นจุดคี่ (odd vertex)
จุด B และ D เป็น จุดคู่ (even vertex)

15. A
B
C
G :
D
ในกราฟ G มีจุดคี่ 2 จุด ได้แก่ จุด A และ C เป็นจุดคี่
ทฤษฎี
กราฟใด ๆ จะมีดังนี้
1. มีจุดคู่ทั้งหมด หรือ
2. มีจานวนจุดคี่ เป็นจานวนคู่

16. แนวเดิน U - V ( U - V walk) คือ ลาดับจากัดของจุดและเส้น
สลับกัน โดยเริ่มต้นด้วยจุด U และสิ้นสุดด้วยจุด V และแต่ละเส้น
ในลาดับจะเกิดกับจุดที่อยู่หน้าและหลังของเส้นนั้น
ความยาวของ U - V คือ จานวนเส้นในแนวเดิน U - V
รอยเดิน U - V ( U - V trail)
คือ แนวเดิน U - V ที่มี เส้นเชื่อมทั้งหมดต่างกัน
วิถี U - V (U - V path)
คือ แนวเดิน U - V ที่มี จุดยอด ทั้งหมดต่างกัน

17. A , B , C , D , E เป็น รอยเดิน (trial) , วิถี (path)
A
B
C
G :
D
A , B , C , B , D เป็น แนวเดิน (walk)
E
B , C , D , B , A เป็น รอยเดิน (trial)

18. วงจร ( circuit ) คือ รอยเดินที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็น
จุดเดียวกัน (รอยเดินปิด)
วัฎจักร ( cycle ) คือ วงจรที่ไม่มีจุดซ้ากันยกเว้นจุดเริ่มต้นและ
จุดสิ้นสุด (รอยเดินปิดที่มีจุดภายในไม่ซ้ากัน)
A , B , C , A เป็น วงจร (circuit) , วัฏจักร (cycle)
A
B
CG :
D
A , B , C , D , E , C , A เป็น วงจร (circuit)
E

19. กราฟเชื่อมโยง ( connected graph )
กราฟ G เป็น กราฟเชื่อมโยง ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ 2 จุด ใด ๆ ในกราฟ
มีเส้นเชื่อม
กราฟไม่เชื่อมโยง ( disconnected graph )
กราฟ G เป็นกราฟเชื่อมโยง ก็ต่อเมื่อ ทุก ๆ 2 จุด ใด ๆ ในกราฟ
ไม่มีเส้นเชื่อม

20. กราฟมีน้าหนัก ( weighted graph ) มีความหมายดังนี้
1. กราฟ G เป็นกราฟมีน้าหนัก เมื่อ แต่เส้นแต่ละเส้น ( e )
กาหนดด้วยจานวนจริงที่ไม่เป็นลบ เรียกจานวนจริงว่า
น้าหนักของเส้น แทนด้วย w(e)
2. วิถีที่สั้นที่สุดจากจุด U ถึงจุด V ในกราฟมีน้าหนัก
คือ วิถี U - V ที่มีผลรวมของค่าน้าหนักของทุกเส้นใน
วิถี U - V มีค่าน้อยที่สุด

21. การแก้ปัญหาสถานการณ์ต่าง ๆ โดยใช้กราฟเป็นแบบจาลองนั้น
บางครั้งจาเป็นต้องกาหนดแบบจาลองที่มีความชัดเจน เพื่อจะช่วย
ในการแก้ปัญหาได้ง่ายขึ้น เช่น ปัญหาเกี่ยวกับการเดินทาง ที่เกี่ยว
ข้องกับระยะทาง ค่าใช้จ่าย เป็นต้น อาจกาหนดเป็นเงื่อนไขในกราฟ
ได้
เช่น
A
B
G :
C
3
6
5
กราฟลักษณะนี้เรียกว่า กราฟมีน้าหนัก (weighted graph)

22. บทนิยาม ให้ G เป็นกราฟเชิงเดียว เรากล่าวว่า G เป็น ต้นไม้ (Tree)
เมื่อ G เป็นกราฟเชื่อมโยงที่ไม่มีวัฏจักร
G H T
G ไม่เป็นต้นไม้ เนื่องจาก G มีวัฏจักร
H ไม่เป็นต้นไม้ เนื่องจาก H เป็นกราฟไม่เชื่อมโยง
T เป็นต้นไม้ เนื่องจาก T เป็นกราฟเชื่อมโยง และไม่มีวัฏจักร

23. ถ้า G เป็นต้นไม้ ที่มีจุดยอด n จุด แล้วกราฟ G
จะมีจานวนเส้นเชื่อม n-1 เส้น แสดงดังรูป
|V(G) |= 1, |E(G) |= 0 |V(G ) |= 2 , |E(G) |= 1
|V(G) |= 7 , |E(G) |= 6
|V(G ) |= 8 , |E(G) |= 7

24. ทฤษฎีบท 1
1.1 ถ้ากราฟ G มีวงวน แล้วกราฟ G ไม่เป็นต้นไม้
1.2 ถ้ากราฟ G เป็นต้นไม้ แล้วจุดยอด 2 จุดใด ๆ ใน G เชื่อมโยงกัน
ได้ด้วย วิถีเพียงวิถีเดียว
1.3 ถ้ากราฟ G เป็นต้นไม้ ที่มีจุดยอด n จุด แล้ว กราฟ G
จะมีจานวนเส้นเชื่อม n – 1 เส้น
1.4 ถ้ากราฟ G เป็นต้นไม้ ที่มีจุดยอด n > 1 กราฟ G จะมีจุดยอด
ที่มีดีกรี 1 อย่างน้อย 2 จุด

25. บทนิยาม ต้นไม้แผ่ทั่ว (spanning tree) ของ กราฟ G คือ
สับกราฟแผ่ทั่วของ G ที่เป็นต้นไม้
G :

26. 4
A
B C
DE
F
4
4
5
1
23
1
2
ต้นไม้แผ่ทั่วของกราฟ ซึ่งมี
ผลรวมของน้าหนักของเส้นเชื่อม เท่ากับ
1+1+2+2+4 = 10

27. เรียก ต้นไม้แผ่ทั่วที่มีผลรวมของน้าหนักของ
เส้นเชื่อมน้อยที่สุด ว่า ต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด
(minimum spanning tree)

28. กราฟออยเลอร์ (Euler graph)
ในปี ค.ศ. 1736 มีปัญหาชื่อว่าสะพาน “Konigsberg Bridge
Problem” ซึ่งปัญหานี้ได้กล่าวถึง สะพานในเมือง Konigsberg ซึ่ง
มีอยู่ 7 แห่ง สะพานเหล่านี้ใช้ข้าม แม่น้า Pregel และเชื่อมเกาะสอง
เกาะ มีคาถามว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่ว่า ถ้าเริ่มต้นจากที่ใดที่หนึ่งของ
เมืองแล้วข้ามสะพานแต่ละแห่งเพียงครั้งเดียว แล้วสามารถกลับจุด
เริ่มต้นได้ ปัจจุบันเมืองนี้ชื่อ คาลินินกราด ของรัสเซีย

29. กราฟออยเลอร์ (Euler graph)
นักคณิตศาสตร์หลายคนได้พยายามแก้ปัญหานี้ โดยการทดลอง
จนได้คาตอบว่า เป็นไปไม่ได้ แต่ไม่มีใครสามารถแสดงข้อพิสูจน์ได้
จนกระทั่งมีนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ชื่อ Leonhard Euler
(ปี ค.ศ. 1736) แปลงปัญหาดังกล่าวเป็นกราฟ

30. กราฟออยเลอร์เรียน สามารถตรวจสอบโดยใช้ข้อตกลงดังนี้
ให้ G เป็นกราฟเชื่อมโยง ที่ไม่ใช่ กราฟทริเวียล
G เป็นกราฟออยเลอร์เรียน ก็ต่อเมื่อ ทุกจุดใน G
เป็น จุดคู่
กราฟทริเวียล คือ กราฟที่ไม่มีเส้นและมีเพียง 1 จุด

31. D
B
เดินไปเที่ยวได้ทุกเกาะหรือไม่
ลองพิจารณา 1

32. D
B
จากเกาะใดเกาะหนึ่งเดินไปยังเกาะอื่น ๆ ได้หรือไม่
พิจารณา 2

33. พิจารณากราฟต่อไปนี้ ต่างกันอย่างไร
A
B
D
C
E
F
H
G

34. พิจารณากราฟต่อไปนี้ ต่างกันอย่างไร
A
B
D
C J
F
H
G
E I

35. พิจารณากราฟต่อไปนี้ ต่างกันอย่างไร
A
B
D
C
J
F
H
G
E
I
K

36. แผนภาพเมือง Konisgberg มีสะพานเชื่อมเกาะ 7 สะพาน ดังรูป
A
D
B C

37. โดยให้พื้นดินแทนจุด และสะพานแทนด้วยเส้น ดังรูป
A
B
D
C

38. ออยเลอร์ ตอบปัญหานี้ว่า เป็นไปไม่ได้ที่จะหาเส้นทางดังกล่าวได้
และได้เสนอแนวคิดไว้ในการตอบปัญหาประเภทเดียวกัน และแนะนา
ให้รู้จักกราฟ กราฟออยเลอร์เรียน
A
B
D
C

39. กราฟ เป็นกราฟออยเลอร์ เพราะทุกจุดมีดีกรีเป็นจานวนคู่
V1
V2
V3
V4 V5
G1 :
G1

40. กราฟ ไม่เป็นกราฟออยเลอร์ เพราะจุด มีดีกรีเป็นจานวนคี่
G2 : V1
V1
V2V4
V3
V5
G2

41. A
B
D
C
J
F
H
G
E
I
K
G : H :
G : เป็น H : ไม่เป็น

42. กราฟ ไม่เป็นกราฟออยเลอร์ เพราะ ไม่เป็นกราฟเชื่อมโยง
G3 :
G3 G3
V1
V2
V3
V4
V5
V6

43. ตัวอย่าง แผนผังของบ้านหลังหนึ่ง มีทางเดินระหว่างห้องแต่ละ
ห้องและด้านนอกของตัวบ้านเป็นไปได้หรือไม่ที่จะ
เดินจากที่ใดที่หนึ่งในบ้านหรือด้านนอกตัวบ้านผ่าน
ประตูต่าง ๆ แต่ละประตูเพียงครั้งเดียวและกลับมาที่เดิม
D E
A B C

44. ปัญหานี้แปลงเป็นกราฟได้ โดยกาหนดให้
จุด A,B,C,D,E แทนห้อง A,B,C,D,E และให้
จุด O เป็นจุดแทนบริเวณด้านนอกของตัวบ้าน
จะแสดงแต่ละเส้นทางเดินระหว่างห้องกับด้านนอก
ของตัวบ้านได้ดังกราฟ G ดังรูป
D E
A B C
O
G :

45. จะเห็นว่า กราฟ G มีจุด E และ O เป็น จุดคี่
ดังนั้นกราฟ G ไม่เป็น กราฟออยเลอร์
นั่นคือ เราไม่สามารถเดินจากที่ใดที่หนึ่งภายในบ้าน หรือ
ด้านนอกตัวบ้านโดยผ่านประตูต่าง ๆ เพียงครั้งเดียวแล้วกลับมาที่เดิมได้
D E
A B C
O
G :

46. จากที่นาเสนอมาทั้งหมดนี้
น่าจะได้สาระการเรียนรู้ของทฤษฎีกราฟเบื้องต้น
สาหรับชั้นมัธยมศึกษาตอนปลาย (ช่วงชั้นที่ 4)
อย่างพอเพียงแล้วละครับ
นักเรียนสนใจเพิ่มเติมศึกษาได้จาก web site ต่าง ๆ
หรือหนังสือ ตาราอื่น ๆ ได้อีก

47. ก่อนจากกัน กราฟอะไรเอ่ย
A B C
D
E F
G

48. ขอขอบคุณ
ครูธีระศักดิ์ เกิดทอง
โรงเรียนอุตรดิตถ์ดรุณี