More Related Content More from Laongphan Phan (14) 1. ทฤษฎีกราฟเบองต้น
ื้
ครูบัญญัติ ศรีประเสริฐ
กลุ่มสาระคณิตศาสตร์
โรงเรียนเตรียมอุดมศกษาภาคใต้
ึ
2. สารบัญ
• ทฤษฎีกราฟเบ้ืองตน้
• ลักษณะของเส้นเชื่อม จุดยอดประชิด
• ดีกรี ของจุดยอด ทฤษฎีบทที่สาคัญ ํ
• กราฟออยเลอร์ กราฟเช่ือมโยง วงจรออยเลอร์
• การประยกตของกราฟ
ุ ์ วิถีส้ นที่สุด,วฏจกร,ตนไม ้
ั ั ั ้
• กราฟยอย ่ ้ ้ ่ ่ั
ตนไมแผทว
• การแปลงปัญหาเป็นกราฟถ่วงน้ าหนก
ํ ั
4. ตัวแบบเชิงคณตศาสตร์ ( mathematical model )
ิ
สมการ ความสัม เซต ตรรกศา ทฤษฎี
เชิงเส้น พันธ์ และ สตร์ กราฟ
แผนภาพ
กราฟ ฟังก์ ช้ัน เวนน์ออย ตารางค่า
เส้นตรง เลอร์ ความ
จริง
6. ส่วนประกอบของกราฟ (G)
• เซตของ จุดยอด (vertices) แทนด้วย V(G)
• เซตของ เส้นเช่อม (edges) แทนด้วย E(G)
ื
G = (V, E)
V(G) = {A, B, C, D}
E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5}
7. ข้ อสังเกต
• V(G) = ∅ ได้ หรื อไม่
ไม่ ได้ เพราะถ้ าไม่ มีจุดยอดเลย ก็ไม่ มีอะไร
ให้พจารณาเป็นกราฟได้เลย
ิ
• E(G) = ∅ ได้ หรื อไม่
ได้
10. แบบฝึ กทักษะ
ํ
จงหา V(G) และ E(G) เมื่อกาหนด G ดงน้ ี
ั
1. a b 2. a b
d e1
c
c
f
e2
e4
e3
13. กราฟไม่ ระบุทศทาง
ิ
G H R
สังเกต
กราฟ H มเส้นเช่ ือมขนาน
ี
กราฟ R มีวงวน
กราฟ G ไม่มเส้นเช่ อมขนาน ไม่มวงวน
ี ื ี
14. นิยาม
G H R
กราฟท่ ไม่มเส้นเช่ ือมขนาน และไม่มีวงวน
ี ี
กราฟเชงเดยว (simple graph)
ิ ี
กราฟท่ ีมเส้นเช่ อมขนาน หรือมีวงวน
ี ื
กราฟหลายเชง (multi graph)
ิ
17. G
สรุ ปว่ า
G และ H เป็ น
H
กราฟเดียวกัน
19. a
f
b
d
c
จุดยอด a และจุดยอด b เป็นจุดยอดประชิด
จุดยอด a และจุดยอด d เป็นจุดยอดประชิด
จุดยอด c และจุดยอด f เป็นจุดยอดประชิด
20. v
นิยาม
u
จุดยอด u และจุดยอด v เป็นจุดยอดประชิด
ก็ต่ อเมื่อ มเส้นเช่ อมระหว่างจุดทงสอง
ี ื ั้
21. a
f
b
d
c
ab และ ad เป็นเส้นเช่ อมท่ ีเกดกับจุดยอด a
ื ิ
ba และ bc เป็นเส้นเช่ อมท่ ีเกดกับจุดยอด b
ื ิ
cb,cf และ cd เป็นเส้นเช่ ือมท่เกิดกับจุดยอด
ี
c
fc เป็นเส้นเช่ อมท่ เกดกับจุดยอด f
ื ี ิ
22. v
นิยาม e
เส้นเช่ ือม e เกิดกับจุดยอด v ถ้า
จุดยอด v เป็นจุดปลายจุดหน่ ึงของเส้นเช่ อม e
ื
23. พจารณากราฟต่อไปนี ้
ิ
จุดยอด จานวนครังทงหมดท่ ี
ํ ้ ั้
เส้ นเชื่อมเกิดกับจุดยอด
a 2
b 4
c 4
d 2
หมายเหตุ: วงวนมีจานวนครั งที่เส้ นเชื่อมเกิดกับจุดเป็ น 2
ํ ้
24. นิยาม
• ดก รี (degree) ของจุดยอด v ในกราฟ คือ
ี
จานวนครังทงหมดท่ เส้นเช่ อมเกดกับจุดยอด v
ํ ้ ั้ ี ื ิ
• ใช้สัญลักษณ์ deg v แทน ดีกรีของ v
26. deg A = 2
deg B = 3
deg C = 2
deg D = 3
deg E = 0
ผลรวมของดกรีของจุดยอดทุกจุด = 2+3+2+3+0
ี
∑ deg v = 10
v∈V (G )
29. จานวนเส้นเช่ อม = 6
ํ ื
∑
v∈V ( G )
deg v = 12
พจารณากราฟอ่ ืน ๆ จากเอกสาร และหาจานวน
ิ ํ
เส้นเช่ ือมผลรวม และผลรวมของดกรีของจุดยอด
ี
ทุกจุดในกราฟแต่ ละกราฟ
ท่านได้ข้อค้นพบอะไรบ้าง
31. ให้ G เป็นกราฟท่ มจานวนเส้นเช่ อมเป็น m
ี ี ํ ื
จะได้
∑
v∈V ( G )
deg v =
2m
∑
v∈V ( G )
deg v เป็ นจํานวนค่ ูเสมอ
32. ตวอย่าง 1 มเส้นเช่ อมก่ ีเส้นในกราฟท่ มจุดยอด
ั ี ื ี ี
10 จุด แต่ ละจุดยอดมีดีกรีเป็ น 6
แนวคิด ∑
v∈V ( G )
deg v = 2m
6 x 10 = 2m
60 = 2m
m = 30
33. ตวอย่าง 2 จงหาจานวนจุดยอดของกราฟท่ มี
ั ํ ี
เส้นเช่ ือม 15 เส้น และมจุดยอด 3 จุด ที่มีดีกรี 4
ี
ส่วนจุดยอดท่ เหลือมดกรี 3
ี ี ี
แนวคิด ให้ n เป็นจานวนจุดยอดท่ มดกรี 3
ํ ี ี ี
(3x4)+ 3n = 2x15
3n = 30 - 12
n = 6
ดังนัน กราฟนีมีจานวนจุดยอด 3+6 = 9 จุด
้ ้ ํ
37. ตวอย่าง 1 ในห้องประชุมแห่งหน่ ึงมีผ้ ูเข้าร่วม
ั
ประชุมทงหมด 23 คน เป็ นไปได้ หรือไม่ ว่า
ั้
ผ้ ูเข้าร่วมประชุมแต่ ละคนจบมอทกทายผ้ ูเข้าร่วม
ั ื ั
ประชุมคนอ่ ืนเพยง 7 คนเท่านัน
ี ้
แนวคิด ให้จุดยอดแทนผ้ ูเข้าร่วมประชุม และ
เส้นเช่ ือมแทนการจบมอทกทาย
ั ื ั
จะได้ กราฟมีจุดยอด 23 จุด แต่ ละจุดมีดีกรี 7
น่ ันคือ กราฟมจุดยอดค่ ีเป็นจานวน 23 จุด
ี ํ
23 เป็นจานวนค่ ี ขัดแย้งกับทฤษฎบทท่ ี 2
ํ ี
41. นิยาม
เรียกลาดบ (ท่ ประกอบด้วยจุดสลับกบเส้น) ดัง เช่ น
ํ ั ี ั
C, e7,B, e6,D
C, e1, A, e3,D
C, e7,B, e5, A, e3,D
ว่า แนวเดน C–D
ิ
42. นิยาม
กราฟ G เรียกว่า กราฟเช่ อมโยง (connected graph)
ื
ก็ต่อเม่ ือสาหรับจุดยอด u และ v ท่ เป็นจุดยอดต่างกัน
ํ ี
ในกราฟ G จะมแนวเดน u-v
ี ิ
หรือพูดง่ ายๆได้ ว่า ทกๆจุดยอดมแนวเดนถงกัน
ุ ี ิ ึ
46. นิยาม
วงจร คือ แนวเดนท่ เส้นเช่ อมทงหมดแตกต่างกัน
ิ ี ื ั้
โดยมีจุดเริ่มต้ นและจุดสุดท้ ายเป็ นจุดยอดเดียวกัน
หรือ
วงจร คือ แนวเดนซ่ งเร่ ิมและจบท่ จุดยอดเดยวกัน
ิ ึ ี ี
โดยไม่ใช้เส้นเช่ อมซากันเลย
ื ํ้
47. แนวเดิน A-A
(ลําดับ A, e2, C, e7, B, e6, D, e4 ,A)
เป็ นวงจร
สังเกตว่า วงจรนีไม่ผ่านเส้นเช่ อม e1 และ e3
้ ื
49. ปัญหาสะพานนี ้ ถูกแก้โดย
นักคณิตศาสตร์ ช่ อ
ื
เลออนฮาร์ด ออยเลอร์
ในปี ค.ศ.1736
การแก้ ปัญหาก็เพียง
พจารณาว่ากราฟทางขวา
ิ
“เป็ นกราฟออยเลอร์หรือไม่”
50. ตวอย่าง 1 กราฟ G เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่
ั
B B
G
A C A C
F D F D
E E
มวงจรออยเลอร์
ี
เป็นกราฟออยเลอร์
51. G G G
1 2 3
จะทราบได้อย่างไรว่ากราฟใดเป็นกราฟออยเลอร์
54. กราฟใดเป็นกราฟออยเลอร์
G1 G2 G3
G1 เป็นกราฟออยเลอร์ เพราะทกจุดยอดเป็นจุดยอด
ุ
คู่ G2 ไม่เป็นกราฟออยเลอร์
G3 ไม่เป็นกราฟออยเลอร์ เพราะไม่ เป็ นกราฟเชื่อมโยง
55. การประยุกต์ของกราฟ
วถีท่ สันท่ สุด
ิ ี ้ ี
กราฟนีเ้ ป็นกราฟถ่วงนาหนัก ซึ่งจําลองจากแผนที่เมือง
ํ้
โดยให้จุดยอดแทนเมอง และเส้นเช่ อมแทน
ื ื
ถนน และค่านําหนักเส้นเช่ อมแทนระยะทางระหว่าง
้ ื
เมืองสองเมือง
56. วถีท่ สันท่ สุด
ิ ี ้ ี
ภารกิจ: ต้องการหาระยะทางท่ สันท่ สุดจาก
ี ้ ี
เมือง A ไปยังเมือง E (เขยนรูปลงกระดาษ)
ี
57. หาเส้ นทาง (แนวเดิน) ทงหมดจาก A ไป E
ั้
(ท่ ไม่ผ่านเมองซากน)
ี ื ํ้ ั
1: A, B, D, E 2+1+3 = 6 กม.
2: A, B, D, F, E 2+1+2+2 = 7 กม.
3: A, B, D, C, F, E 2+1+3+6+2 = 14 กม.
4: A, C, F, E 5+6+2 = 13 กม.
5: A, C, F, D, E 5+6+2+3 = 16 กม.
6: A, C, D, E 5+3+3 = 11 กม.
7: A, C, D, F, E 5+3+2+2 = 12 กม.
59. นิยาม
วัฏจักร คือ วงจรท่ ไม่มีจุดยอดซากัน
ี ํ้
ยกเว้ นจุดเริ่มต้ นและจุดสุดท้ าย
ต้นไม้ คือ กราฟเชื่อมโยงที่ไม่ มีวัฏจักร
63. ต้นไม้ จานวนจุดยอด
ํ จานวนเส้นเช่ อม
ํ ื
3 2
4 3
5 4
6 5
64. ต้นไม้ จานวนจุดยอด
ํ จานวนเส้นเช่ อม
ํ ื
7 6
8 7
9 8
65. ข้อสังเกต
1. ต้ นไม้ ไม่มเี ส้นเช่ือมขนาน และ ไม่มวงวน
ี
2. ต้ นไม้ ที่มี n จุด จะมี n – 1 เส้นเสมอ
67. นิยาม
กราฟย่ อย ของกราฟ G คือกราฟท่ ประกอบด้วย
ี
จุดยอดและเส้นเช่ ือมใน G
กล่าวคือ กราฟ H เป็ นกราฟย่ อยของกราฟ G
ถ้า V(H) ⊂ V(G) และ E(H) ⊂ E(G)
68. V(G) = { A, B, C, D } V(H) = { A, B, C, D }
E(G) = {AB, BC, CD, DA, BD} E(H) = {AB, BC, DA, BD}
จะได้ ว่า กราฟ H เป็ นกราฟย่ อยของกราฟ G
71. กราฟ H1, H2 , H3 , H4 และ H5 กราฟใดเป็น
กราฟย่อยของกราฟ G ท่ บรรจุทุกจุดของกราฟ G
ี
ท่ ีเป็นต้นไม้
G:
เขียนลงกระดาษไว้
76. a c a c a c
b d b d b d
a c a c a c
b b d b d
d
a c a c a c
b d b d b d
80. 1 H3 1 1+1+1 = 3
1
ดังนัน H3 เป็นต้นไม้แผ่ท่ วท่ น้อยท่ สุด
้ ั ี ี
81. ตวอย่าง ปัญหาการวางสายโทรศัพท์
ั
• บริษัทรับเหมาตดตงโทรศัพท์แห่งหน่ ึง ต้องการวาง
ิ ั้
สายโทรศัพท์เช่ ือมระหว่างหม่ ูบ้าน A, B, C, D, E
และ F โดยจะวางสายไปตามถนน ถ้าค่าใช้จ่ายใน
การวางสายโทรศัพท์ขนอย่ กับความยาวของสาย
ึ้ ู
โทรศพ ท์ บริษัทนีจะวางสายโทรศัพท์อย่างไรให้เสีย
ั ้
ค่าใช้จ่ายน้อยท่ ีสุด เม่ ือกาหนดตารางแสดง
ํ
ระยะทาง (กิโลเมตร) ของถนนท่ เช่ อมระหว่าง
ี ื
หม่ ูบ้านดังนี ้
82. หม่ บ้าน A
ู B C D E F
A - 30 - - - 40
B 30 - 10 - 50 20
C - 10 - 20 30 -
D - - 20 - 10 20
E - 50 30 10 - 60
F 40 20 - 20 60 -
84. ขันท่ ี 1
้
• จดลาดบเส้นเช่ ือม
ั ํ ั
• เรียงค่านําหนักของเส้นเช่ ือมจากน้อยไปมาก
้
• 10, 10, 20, 20, 20, 30, 30, 40, 50, 60
85. ขันท่ ี 2
้ 3 5
4
B C
10
20
30 30 D
50 10
A 20 20 E
40 60
F
86. ขันท่ ี 6
้
• เลือกเส้นเช่ ือมท่ เหลือท่ มีค่านําหนักต่าสุด
ี ี ้ ํ
• ในท่ ีนีเ้ หลือ BF ซ่ งมีค่านําหนัก 20
ึ ้
• แต่ เลือกไม่ ได้ เพราะถ้าเลือกแล้วจะเกิดวัฏจกรั
• จึงต้ องเลือกค่ านําหนักเส้ นเชื่อมเป็ น 30 แทน
้
• มีสองทางคือ AB และ CE
• แต่ ถ้าเลือก CE แล้วจะเกิดวัฏจกร จงเลือก AB
ั ึ
87. B C
10
20
30 30 D
50 10
A 20 20 E
40 60
F
และเลือกต่ อไปไม่ ได้ แล้ ว
88. ได้ ต้นไม้ แผ่ ท่ วน้ อยที่สุดที่มีผลรวมของค่ านําหนักเส้ นเชื่อม
ั ้
10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90
B C
10
20
30 D
A 10
20 E
F ดังนันบริษัทรับเหมาแห่ งนีต้องวาง
้ ้
สายโทรศัพท์ ตามถนน ซึ่งมีระยะทาง
90 กิโลเมตร
89. ข้ อสังเกต B 10
C
ต้นไม้แผ่ท่ วท่ น้อยท่ ีสุดของ
ั ี 30
20 D
20 10
กราฟอาจจะมีได้ มากกว่ า
1 แบบ E
A F
B C
10
30 D
20 10
A 20
E
F
90. ผลการเรียนร้ ูท่ คาดหวง
ี ั
1. เขยนกราฟเม่ อกาหนดจุดยอด (Vertex) และ
ี ื ํ
เส้นเช่ อม(Edge) ให้ และระบุได้ว่ากราฟท่ ี
ื
กาหนดให้เป็นกราฟออยเลอร์หรือไม่
ํ
2. นาความร้ ูเร่ ืองกราฟไปใช้แก้ปัญหาบาง
ํ
ประการได้
91. กราฟชนิดอ่ ืน ๆ ท่ น่าสนใจศกษา
ี ึ
• Complete graph กราฟบริบูรณ์
• Planar graph กราฟเชงระนาบ
ิ
• Bipartile graph กราฟสองส่วน
• Perfect graph กราฟสมบูรณ์
• Line graph กราฟเส้น
• Cograph โคกราฟ
