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8.7 il teorema del limite centrale e la legge dei grandi numeri

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La probabilità dei corso di idrologia e costruzioni idrauliche a Trento. Il teorema del limite centrale e la legge dei grandi numeri.

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8.7 il teorema del limite centrale e la legge dei grandi numeri

  1. 1. Un ripasso di probabilità: Il teorema del limite centrale PaulKlee,GiardinodiTunisi,1919 Riccardo Rigon
  2. 2. R. Rigon 2 Perchè la distribuzione Normale è così importante ? -2 -1 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
  3. 3. R. Rigon 3 4 Simulazione 3 4 Simulazione 3 In un terzo esempio, considereremo la distribuzione campionaria della media nel caso di una variabile continua. 1. Verr`a utilizzata una popolazione teorica distribuita normalmente con media e varianza conosciute: N(125, 33). 2. Usando R, verranno estratti da questa popolazione 50000 campioni causali di grandezza n = 10. 3. Verr`a calcolata la media di ciascuno di questi campioni di grandezza n = 10; 4. Verranno calcolate la media e la varianza della distribuzione delle medie dei 50000 campioni di grandezza n = 10. Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 30 CorradoCaudek
  4. 4. R. Rigon 4 4 Simulazione 3 n <- 10 nSamples<- 50000 Mean <- 125 SD <- sqrt(33) SampDistr <- rep(0,nSamples) for (i in 1:nSamples){ samp <- rnorm(n, Mean, SD) SampDistr[i] <- mean(samp) } MeanSampDistr <- mean(SampDistr) VarSampDistr <- var(SampDistr)*(nSamples-1)/nSamples Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 31 CorradoCaudek
  5. 5. R. Rigon 5 4 Simulazione 3 Risultati della simulazione > Mean [1] 125 > Var [1] 33 > MeanSampDistr [1] 125.0029 > VarSampDistr [1] 3.277463 > Var/n [1] 3.300000 Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 32 CorradoCaudek
  6. 6. R. Rigon 6 4 Simulazione 3 • Popolazione: µ = 125, 2 = 33. • Distribuzione campionaria della media: µ¯x = 125, 2 ¯x = 3.3. • Risultati della simulazione: ˆµ¯x = 125.0029, ˆ2 ¯x = 3.277463. Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 33 CorradoCaudek
  7. 7. R. Rigon 7 4 Simulazione 3 110 120 130 140 0.00.20.40.6 Media di campioni di grandezza n = 2 Densità 110 120 130 1400.00.20.40.6 Media di campioni di grandezza n = 10 Densità 110 120 130 140 0.00.20.40.6 Media di campioni di grandezza n = 100 Densità Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 34 CorradoCaudek
  8. 8. R. Rigon 8 5 Simulazione 4 5 Simulazione 4 • Consideriamo ora una popolazione asimmetrica, ⇤2 =2. • La distribuzione ⇤2 con parametro = 2 ha una media µ = e una varianza uguale a ⇥2 = 2 . • A di erenza della distribuzione normale, la distribuzione ⇤2 =2 `e dotata di un’asimmetria positiva. Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 35 CorradoCaudek
  9. 9. R. Rigon 9 5 Simulazione 4 • Usando R, verranno estratti da questa popolazione 10000 campioni causali di grandezza n = 2, 5, 25, 100 e verr`a calcolata la media di ciascuno di questi campioni di grandezza n. • All’istogramma che rappresenta la distribuzione delle medie dei campioni di grandezza n verr`a sovrapposta la distribuzione normale con parametri µ = e ⇥2 = (2 )/n. Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 36 CorradoCaudek
  10. 10. R. Rigon 10 5 Simulazione 4 0 1 2 3 4 5 6 0.10.20.30.40.5 Chi quadrato Densità Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 37 CorradoCaudek
  11. 11. R. Rigon 11 5 Simulazione 4 0 1 2 3 4 5 6 0.00.51.01.52.0 Media di campioni di grandezza n = 2 Densità 0 1 2 3 4 5 6 0.00.51.01.52.0 Media di campioni di grandezza n = 5 Densità 0 1 2 3 4 5 6 0.00.51.01.52.0 Media di campioni di grandezza n = 25 Densità 0 1 2 3 4 5 6 0.00.51.01.52.0 Media di campioni di grandezza n = 100 Densità Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 38 CorradoCaudek
  12. 12. R. Rigon 12 6 Conclusioni 6 Conclusioni • Da questi esempi possiamo concludere le seguenti regole generali. Supponiamo che ¯x sia la media di un campione casuale estratto da una popolazione avente media µ e varianza 2 . – La media della distribuzione campionaria di ¯x `e uguale alla media della popolazione: µ¯x = µ. – La varianza della distribuzione campionaria di ¯x `e uguale a 2 ¯x = 2 n . Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 39 CorradoCaudek
  13. 13. R. Rigon 13 6 Conclusioni Legge dei grandi numeri • Di conseguenza, al crescere della numerosit`a del campione, la media del campione ¯x diventa via via pi`u simile alla media della popolazione µ. – In un campione molto grande, ¯x sar`a quasi certamente molto simile a µ. Tale fatto `e chiamato legge dei grandi numeri. Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 40 CorradoCaudek
  14. 14. R. Rigon 14 6 Conclusioni Teorema del limite centrale • Indipendentemente dalla forma della distribuzione della popolazione, la distribuzione campionaria di ¯x `e approssimativamente normale e quest’approssimazione `e tanto migliore quanto maggiori sono le dimensioni del campione: ¯x N(µ, n ). Tale fatto `e chiamato teorema del limite centrale. – Quanto debba essere grande n a nch´e questa approssimazione sia accettabile dipende dalla forma della distribuzione della popolazione – in generale, comunque, n = 30 `e su ciente. Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 41 CorradoCaudek
  15. 15. R. Rigon 15 6 Conclusioni Distribuzione campionaria nel caso di una popolazione gaussiana • Se la distribuzione della popolazione `e gaussiana allora la distribuzione campionaria di ¯x sar`a normale, indipendentemente dalla numerosit`a n del campione. Tecniche di Ricerca Psicologica e di Analisi dei Dati 42 CorradoCaudek
  16. 16. Riccardo Rigon Grazie per l’attenzione! G.Ulrici,2000?

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