1. LIMITS
Ide dasar kalkulus adalah konsep limit. Latihan di Bagian I dirancang untuk
meningkatkan pemahaman dan keterampilan Anda dalam bekerja dengan konsep
ini.Simbolisme yang terlibat adalah kontraksi / singkatan yang berguna dan pengenalan
"Bentuk" dari ini sangat penting dalam menghasilkan hasil yang dibutuhkan dengan
sukses. Sebelum anda memulai, jika Anda memerlukan peninjauan ulang fungsi, lihat
Lampiran A: Fungsi dasar dan Grafik mereka.
2. konsep limit
Definisi dan intuisi limit
Sebuah fungsi f (x ) Dikatakan memiliki limit A sebagai x Pendekatanas c ditulis
lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ) = ๐ด Memberikan kesalahan antara f (x ) dan A, ditulis |๐(๐ฅ) โ ๐ด|, dapat dibuat
kurang dari bilangan positif preassigned E setiap kali x mendekati, tapi tidak sama dengan,
c. Heu-ristically, "Batas f pada titik c adalah A jika nilai f mendekati A ketika x mendekati
c." kita akan mengeksplorasi definisi ini secara intuitif melalui contoh berikut.
Hitung nilai dari ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2
+ 5 untuk nilai x berikut yang mendekati, namun tidak
sama dengan 2 nilainya ; Dan kemudian melakukan pengamatan tentang hasilnya.
a) ๐ฅ = 2.07 ๐(๐ฅ) = 9.2849
b) ๐ฅ = 1.98 ๐(๐ฅ) = 8.9204
c) ๐ฅ = 2.0006 ๐(๐ฅ) = 9.00240036
Pengamatan: Tampaknya ketika x mendekati nilai 2, maka f(x) mendekati nilai 9.
Hitung nilai dari ๐(๐ฅ) =
4
๐ฅ
untuk nilai x berikut yang mendekati, namun nilainya
tidak sama dengan 0. Dan kemudian melakukan pengamatan intuitif tentang
hasilnya.
a) ๐ฅ = .01 ๐(๐ฅ) = 400
b) ๐ฅ = โ.001 ๐(๐ฅ) = โ4000
c) ๐ฅ = .001 ๐(๐ฅ) = 4000
Pengamatan: Tampaknya ketika x mendekati nilai 0, f (x) tidak
mendekati nilai tetap.
Dengan menggunakan notasi batas, Anda dapat mewakili pernyataan
pengamatan Anda untuk contoh di atas, masing-masing, seperti:
lim
๐ฅโ2
๐ฅ2
+ 5 = 9 dan lim
๐ฅโ0
4
๐ฅ
tidak ada.
3. 2.1 Hitung nilai f (x) bila x memiliki nilai ditunjukkan pada (a) dan (b). Untuk (c),
buatlah pengamatan berdasarkan hasil Anda dalam (a) dan (b).
1. ๐(๐ฅ) =
๐ฅ+2
๐ฅโ5
a. ๐ฅ = 3.001
b. ๐ฅ = 2.99
c. Pengamatan?______________________________________________
2. ๐(๐ฅ) =
๐ฅโ5
4๐ฅ
a. ๐ฅ = 1.002
b. ๐ฅ = .993
c. Pengamatan?______________________________________________
3. ๐(๐ฅ) =
3๐ฅ2
๐ฅ
a. ๐ฅ = .001
b. ๐ฅ = โ.001
c. Pengamatan?______________________________________________
Sifat limit
Teorema dasar yang dirancang untuk memudahkan kerja dengan batasan ada, dan
teorema ini adalah gagasan "tulang telanjang" yang harus Anda kuasai untuk berhasil
mengatasi konsep batas. Singkatnya, teorema yang paling berguna adalah sebagai
berikut:
Jika lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ) dan lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ) keduanya ada, maka
1. Limit penjumlahan (atau perbedaan) adalah jumlah (atau perbedaan) dari batas-
batasnya
lim
๐ฅโ๐
[๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ)] = lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ) + lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
2. Limit kali adalah perkalian dari batas-batasnya
lim
๐ฅโ๐
[๐(๐ฅ) . ๐(๐ฅ)] = lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ). lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
3. Limit hasil bagi adalah hasil bagi batas-batas yang ditentukan bahwa batas penyebut
bukan 0.
lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ)
=
lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)
4. Jika ๐(๐ฅ) โฅ 0, maka lim
๐ฅโ๐
โ๐(๐ฅ)
๐
= โlim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)๐
untuk ๐ > 0
5. lim
๐ฅโ๐
๐๐(๐ฅ) = ๐ lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ) dimana ๐ adalah konstanta
6. lim
๐ฅโ๐
[๐(๐ฅ)] ๐
= [lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ)] ๐
untuk setiap bilangan positif ๐
4. 7. lim
๐ฅโ๐
๐ฅ = ๐
8. lim
๐ฅโ๐
1
๐ฅ
=
1
๐
untuk ๐ โ 0
Anda harus waspada terhadap kesalahan penulisan atau pemikiran itu lim
๐ฅโ๐
๐(๐ฅ) = ๐(๐);
Artinya, itu kamu tentukan batasnya dengan cara mengganti ๐ฅ = ๐ ke dalam ekspresi yang
mendefinisikan ๐(๐ฅ) Dan kemudian mengevaluasi. Ingatlah bahwa dalam konsep limit, x
tidak dapat mengasumsikan nilai c. Penjelasan lengkap membutuhkan konsep kontinuitas,
yang dibahas pada Bab 3.
Masalah Evaluasi limit berikut
a. lim
๐ฅโ2
3๐ฅโ5
5๐ฅ+2
b. lim
๐ฅโ4
3๐ฅ + โ16๐ฅ
c. lim
๐ฅโ4
๐ฅ2โ16
๐ฅโ4
Solusi a. lim
๐ฅโ2
3๐ฅโ5
5๐ฅ+2
=
lim
๐ฅโ2
3๐ฅโ5
lim
๐ฅโ2
5๐ฅ+2
=
1
12
b. lim
๐ฅโ4
3๐ฅ + โ16๐ฅ = lim
๐ฅโ4
3๐ฅ + lim
๐ฅโ4
โ16๐ฅ = 12 + โ64 = 20
c. lim
๐ฅโ4
๐ฅ2โ16
๐ฅโ4
= lim
๐ฅโ4
(๐ฅโ4)(๐ฅ+4)
๐ฅโ4
= lim
๐ฅโ4
(๐ฅ + 4) = 8
Perhatikan bahwa dalam contoh ini, Anda tidak dapat menggunakan teorema Quotient karena
batas dari penyebut adalah nol; itu adalah lim
๐ฅโ4
(๐ฅ โ 4) = 0. Namun, seperti yang ditunjukkan,
Anda bisa melakukan pendekatan aljabar untuk menentukan batasnya. Pertama, Anda faktor
pembilangnya. Selanjutnya, gunakan fakta bahwa untuk semua ๐ฅ โ 4,
(๐ฅโ4)(๐ฅ+4)
(๐ฅโ4)
= ๐ฅ + 4,
Anda bisa menyederhanakan fraksi dan kemudian mengevaluasi batasnya. Ini adalah sebuah
pendekatan berguna yang bisa diterapkan pada sejumlah batasan masalah.
d. lim
๐ฅโ1
โ6๐ฅ โ 12 tidak ada karena 6๐ฅ โ 12 < 0 ketika ๐ฅ mendekati 1.
2.2 Temukan batasan berikut atau tunjukkan tidak adanya.
1. lim
๐ฅโ3
๐ฅ2โ4
๐ฅ+1
2. lim
๐ฅโ2
๐ฅ2โ9
๐ฅโ2
3. lim
๐ฅโ1
โ๐ฅ3 + 7
4. lim
๐ฅโ๐
(5๐ฅ2
+ 9)
5. lim
๐ฅโ0
5โ3๐ฅ
๐ฅ+11
6. lim
๐ฅโ0
9+3๐ฅ2
๐ฅ3+11
7. lim
๐ฅโ1
๐ฅ2โ2๐ฅ+1
๐ฅ2โ1
8. lim
๐ฅโ4
6โ3๐ฅ
๐ฅ2โ16
9. lim
๐ฅโโ2
โ4๐ฅ3 + 11
10. lim
๐ฅโโ6
8โ3๐ฅ
๐ฅโ6
5. Limits khusus
Limit Penyebut Nol
Beberapa batasan yang paling berguna adalah batasan di mana denominator adalah 0, genap
meskipun teorema batas sebelumnya tidak diterapkan secara langsung dalam kasus ini.
Jenis batas ini bisa ada hanya jika ada semacam pembatalan yang akan datang dari pembilang
kuncinya adalah mencari faktor umum pembilang dan penyebut yang akan dibatalkan.
Masalah Evaluasi limit berikut ini
a. lim
๐ฅโ4
๐ฅ3โ8
๐ฅโ2
b. lim
โโ0
(5๐ฅ2+10โ+5โ2+2)โ(5๐ฅ2+2)
โ
c. lim
โโ0
โ๐ฅ+โโโ๐ฅ
โ
Solusi
a. lim
๐ฅโ4
๐ฅ3โ8
๐ฅโ2
= lim
๐ฅโ4
(๐ฅโ2)(๐ฅ2+2๐ฅ+4)
๐ฅโ2
= lim
๐ฅโ4
(๐ฅ2
+ 2๐ฅ + 4) = 28
b. lim
โโ0
(5๐ฅ2+10โ+5โ2+2)โ(5๐ฅ2+2)
โ
= lim
โโ0
(10๐ฅโ+5โ2)
โ
= lim
โโ0
(10๐ฅ + 5โ) = 10๐ฅ
c. lim
โโ0
โ๐ฅ+โโโ๐ฅ
โ
= lim
โโ0
(โ๐ฅ+โโโ ๐ฅ)(โ๐ฅ+โ+โ ๐ฅ)
โ(โ๐ฅ+โ+โ๐ฅ)
= lim
โโ0
(๐ฅ+โ)โ๐ฅ
โ(โ๐ฅ+โ+โ๐ฅ)
= lim
โโ0
โ
โ(โ๐ฅ+โ+โ๐ฅ)
= lim
โโ0
1
(โ๐ฅ+โ+โ๐ฅ)
=
1
2โ ๐ฅ
Masalah if ๐(๐ฅ) = 6๐ฅ2
+ 7 kemudian temukan lim
โโ0
๐(๐ฅ+โ)โ๐(๐ฅ)
โ
Solusi lim
โโ0
๐(๐ฅ+โ)โ๐(๐ฅ)
โ
= lim
โโ0
(6(๐ฅ+โ)2+7)โ(6๐ฅ2+7)
โ
= lim
โโ0
6๐ฅ2+12๐ฅโ+6โ2โ6๐ฅ2โ7
โ