Presentation Bisnis Teknologi Modern Biru & Ungu_20240429_074226_0000.pptx
G09phu
1. PENGENDALIAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN
UMPAN-BALIK STATE DAN OUTPUT
PUTRANTO HADI UTOMO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
2. ABSTRACT
PUTRANTO HADI UTOMO. Inverted Pendulum Control System with State and Output
Feedbacks. Supervised by TONI BAKHTIAR and JAHARUDDIN
Automatic control system has played a vital role in science and technology. One of problems in
automatic control system is how to control an unstable system. Broom stick balancing problem, or
so called the inverted pendulum system, is one example of automatic control system problem. This
paper studies the control of an inverted pendulum system by means of state and output feedbacks.
Using mathematical model, it is shown that inverted pendulum is unstable system.
Furthermore, the system is stabilized using state and output feedbacks. The result of the analysis
shows that a controller which stabilize the system is obtained by using the pole placement method.
3. ABSTRAK
PUTRANTO HADI UTOMO. Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik dengan Umpan-balik
State dan Output. Dibimbing oleh TONI BAKHTIAR dan JAHARUDDIN
Sistem pengendalian automatis memainkan peran yang sangat penting di bidang ilmu
pengetahuan dan teknologi. Salah satu masalah dalam sistem pengendalian automatis adalah
bagaimana menstabilkan suatu sistem yang takstabil. Salah satu contoh sederhana masalah sistem
pengendalian automatis adalah broom stick balancing problem (pengendalian sistem pendulum
terbalik). Karya ilmiah ini membahas pengendalian sistem pendulum terbalik dengan
menggunakan umpan-balik state dan output.
Dengan menggunakan model matematis, dapat ditunjukkan bahwa pendulum terbalik
merupakan sistem yang takstabil. Lebih lanjut, dilakukan upaya penstabilan sistem pendulum
terbalik tersebut dengan menggunakan umpan balik state dan output. Dari analisis yang dilakukan,
pengendali yang menstabilkan sistem diperoleh dengan menggunakan metode pole placement.
4. PENGENDALIAN SISTEM PENDULUM TERBALIK DENGAN
UMPAN-BALIK STATE DAN OUTPUT
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
PUTRANTO HADI UTOMO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
5. Judul Skripsi : Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik dengan Umpan-balik
State dan Output
Nama : Putranto Hadi Utomo
NRP : G54050220
Menyetujui :
Pembimbing I
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.
19720627 199702 1 002
Pembimbing II
Dr. Jaharuddin, MS.
19651102 199302 1 001
Mengetahui :
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor
Dr. drh. H. Hasim, DEA
19610328 198601 1 002
Tanggal Lulus :
6. PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga skripsi
ini dapat diselesaikan. Judul skripsi ini adalah Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik Dengan
Umpan-balik State dan Output. Skripsi ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada
Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian
Bogor.
Terima kasih penulis ucapkan kepada :
1. Bapak Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc., Bapak Dr. Jaharuddin, MS., dan Bapak Drs. Ali
Kusnanto, Msi selaku dosen pembimbing dan penguji yang telah memberi bimbingan,
masukan, dorongan, nasihat serta segala bantuan sehingga tugas akhir ini dapat
terselesaikan.
2. Ayah, ibu, dan adik yang selalu memberi kasih sayang, perhatian, dukungan moril dan
materi.
3. Semua staf dan dosen pengajar Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu
yang bermanfaat selama menuntut ilmu di Departemen Matematika.
4. Sahabat yang selalu memberi kebahagiaan, semangat, tantangan, perhatian, bantuan,
inspirasi, doa, dan kasih sayang.
5. Teman-teman mahasiswa departemen Matematika, terutama angkatan 42. Terimakasih
atas segala persahabatan yang telah kita jalin selama empat tahun ini.
Penulis menyadari bahwa tulisan ini masih jauh dari kesempurnaan dan penulis sangat
menghargai segala saran dan kritik yang membangun dari pembaca. Penulis juga mengharapkan
tulisan ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan. Terimakasih.
Bogor, Juni 2009
Penulis
7. RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 7 September 1986 sebagai anak pertama dari 4
bersaudara pasangan Bapak Hadi Sumarno dan Ibu Dwi Ananingsih.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN Panaragan 2 Kodya Bogor lulus pada
tahun 1999, SLTPN 1 Darmaga Kab. Bogor lulus pada tahun 2002, SMAN 5 Bogor lulus pada
tahun 2005, dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut pertanian Bogor melalui jalur
USMI (Undangan seleksi Masuk IPB). Pada tahun 2006, penulis diterima di Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi asisten praktikum Algoritma dan
Pemograman pada tahun 2007 dan asisten praktikum Analisis Numerik S2 pada tahun 2008.
Penulis juga aktif di GUMATIKA dan pernah mengikuti beberapa kepanitiaan diantaranya adalah
Pesta Sains 2007 dan Pelatihan Komputer 2007.
8. DAFTAR ISI
1 PENDAHULUAN ...............................................................................................................1
1.1 Latar Belakang ............................................................................................................1
1.2 Tujuan .........................................................................................................................1
1.3 Sistematika Penulisan..................................................................................................1
2 LANDASAN TEORI...........................................................................................................2
2.1 Transformasi Laplace..................................................................................................2
2.2 Sistem..........................................................................................................................2
2.3 Sistem Umpan-balik....................................................................................................2
2.4 Persamaan Ruang Keadaan .........................................................................................3
2.5 Fungsi Transfer ...........................................................................................................4
2.6 Pole dan Zero ..............................................................................................................4
2.7 Bentuk Kanonik...........................................................................................................5
2.8 Keterkontrolan.............................................................................................................6
2.9 Kestabilan....................................................................................................................6
2.10 Step Response..............................................................................................................7
2.11 Ramp Response ...........................................................................................................7
3 MODEL PENDULUM TERBALIK....................................................................................8
3.1 Pendulum Terbalik ......................................................................................................8
3.1.1 Daftar lambang dan istilah ......................................................................................8
3.1.2 Asumsi ....................................................................................................................9
3.1.3 Formulasi Model.....................................................................................................9
3.1.4 Representasi Matriks.............................................................................................10
3.2 Kestabilan Model Pendulum Terbalik.......................................................................11
3.2.1 Umpan-balik State dan Pole Placement................................................................11
3.2.2 Umpan-balik State dan Output..............................................................................15
4 SIMULASI.........................................................................................................................17
4.1 Tanpa Umpan-balik...................................................................................................17
4.2 Dengan Umpan-balik ................................................................................................17
4.2.1 Umpan-balik State ................................................................................................17
4.2.2 Umpan-balik State dan Output..............................................................................19
5 KESIMPULAN DAN SARAN..........................................................................................21
DAFTAR PUSTAKA................................................................................................................22
LAMPIRAN..............................................................................................................................23
9. DAFTAR GAMBAR
1 Contoh skema dari sebuah sistem .................................................................................................2
2 Contoh skema dari sistem kontrol otomatis ..................................................................................3
3 Grafik step response untuk persamaan (2.22) ...............................................................................7
4 Grafik ramp response untuk persamaan (2.22) .............................................................................7
5 Model dari pendulum terbalik.......................................................................................................8
6 Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state..................................................................12
7 Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output................................................15
8 Solusi untuk posisi tanpa adanya reference input .......................................................................17
9 Step response untuk sistem awal dari pendulum terbalik............................................................17
10 Ramp response untuk sistem awal dari pendulum terbalik .......................................................17
11 Solusi untuk posisi tanpa adanya reference input .....................................................................18
12 Step response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state ........................18
13 Ramp response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state......................19
14 Solusi untuk posisi tanpa adanya reference input .....................................................................19
15 Step response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output.......20
16 Ramp response untuk sistem dari pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output.... 20
17 Sintaks matlab untuk pole placement........................................................................................39
18 Sintaks matlab untuk menghasilkan Gambar 9 .........................................................................40
DAFTAR LAMPIRAN
1 Bukti Sifat-Sifat Transformasi Laplace.......................................................................................24
2 Proses Penjabaran ............................................................................................................26
3 Bukti Teorema 1..........................................................................................................................27
4 Bukti Teorema 2..........................................................................................................................28
5 Bukti Teorema 3..........................................................................................................................30
6 Proses Pencarian Fungsi Transfer Pendulum Terbalik................................................................31
7 Sistem Pendulum Terbalik dalam Bentuk Kanonik ....................................................................32
8 Pemilihan umpan-balik state dengan menggunakan formula Ackermann ..................................34
9 Proses perhitungan/pencarian vektor .......................................................................................36
10 Sintaks MATLAB yang digunakan untuk mencari vektor K dan simulasi. ..............................39
11 Bukti Teorema Cayley-Hamilton ..............................................................................................41
12 Penjabaran ........................................................................................................................42
13 Interpolasi Lagrange-Sylvester..................................................................................................43
10. 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sistem pengendalian (control system)
memainkan peran yang penting di bidang ilmu
pengetahuan dan teknologi, khususnya dalam
bidang industri.
Di bidang industri, sistem pengendalian
merupakan sebuah sistem yang meliputi
pengendalian variabel-variabel seperti
temperatur, tekanan, aliran, dan kecepatan.
Variabel-variabel ini merupakan keluaran
yang harus dijaga tetap sesuai dengan
keinginan yang telah ditetapkan terlebih
dahulu oleh operator. Suatu sistem
dikendalikan agar variabel keluaran dijaga
tetap pada kondisi tertentu.
Sistem pengendalian dapat
diklasifikasikan menjadi dua sistem. Pertama
adalah sistem pengendalian secara manual
(open loop controls). Dalam sistem ini, proses
pengaturannya dilakukan secara manual oleh
operator dengan mengamati keluaran secara
visual, kemudian dilakukan koreksi terhadap
variabel-variabel kontrolnya untuk
mempertahankan hasil keluarannya. Sistem
pengendalian tersebut bekerja secara open
loop, artinya sistem pengendalian tidak dapat
melakukan koreksi variabel untuk
mempertahankan hasil keluarannya.
Perubahan ini dilakukan secara manual oleh
operator setelah mengamati hasil keluarannya
melalui alat ukur atau indikator.
Sistem ke dua adalah sistem pengendalian
otomatis (closed loop controls). Dalam sistem
ini, dilakukan koreksi variabel-variabel
kendalinya secara otomatis, dikarenakan ada
untai tertutup (closed loop) sebagai umpan-
balik (feedback) dari hasil keluaran, kembali
menuju ke masukan setelah dikurangkan
dengan nilai setpointnya. Pengaturan secara
untai tertutup ini (closed loop controls), tidak
memerlukan operator untuk melakukan
koreksi variabel-variabel kendalinya,
melainkan dilakukan secara otomatis dalam
sistem pengendalian itu sendiri. Dengan
demikian keluaran akan selalu dipertahankan
berada pada kondisi stabil sesuai dengan
setpoint yang ditentukan.
Dalam tulisan ini akan dikaji masalah
pengendalian sistem pendulum terbalik
(inverted pendulum system). Ilustrasi yang
sederhana untuk menjelaskan pendulum
terbalik adalah ketika seseorang bermain
dengan tongkat dan berusaha untuk
menegakkan dan menyeimbangkannya di
ujung jari.
Dewasa ini pendulum maupun pendulum
terbalik merupakan alat yang sangat penting
dalam pendidikan dan penelitian di bidang
teknik pengendalian (control engineering).
Berbagai teori pengendalian (control theory)
banyak dievaluasi dan dibandingkan melalui
pengujian sistem pendulum dan dibandingkan
melalui studi terhadap sistem pendulum. Hal
tersebut dikarenakan sistem pendulum
memiliki karakteristik sebagai berikut:
1. Tak linear dan takstabil.
2. Dapat dilinearkan di sekitar titik
kesetimbangan.
3. Kompleksitasnya dapat ditingkatkan.
4. Mudah diterapkan dalam sistem aktual.
Di bidang teknik, pendulum biasa dan
terbalik dipakai untuk memantau pergerakan
pondasi bangunan seperti bendungan,
jembatan dan dermaga. Cara kerja pengangkat
peti kemas (cranes) juga didasarkan pada
pendulum biasa. Selain itu, pendulum terbalik
dapat dimanfaatkan untuk mengkaji
keseimbangan gerak manusia.
(Ogata 1997)
1.2 Tujuan
Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk
mengkaji pengendalian sistem pendulum
terbalik dengan umpan-balik state dan output.
1.3 Sistematika Penulisan
Secara umum, tulisan ini membahas
tentang teori pengendalian (control system).
Di dalam tulisan ini, akan dijelaskan terlebih
dahulu teori-teori yang berkaitan dengan
sistem pengendalian (control system). Setelah
itu, dalam Bab 3 akan diberikan contoh kasus
pengendalian sistem pendulum terbalik
dengan menggunakan umpan-balik state dan
output.
Selanjutnya, dilakukan simulasi dengan
menggunakan software MATLAB untuk
memverifikasi hasil yang diperoleh. Terakhir,
diberikan kesimpulan dan saran untuk tulisan
ini.
11. 2 LANDASAN TEORI
2.1 Transformasi Laplace
Tranformasi Laplace adalah suatu metode
yang dapat digunakan untuk mempermudah
menyelesaikan persamaan diferensial. Dengan
menggunakan transformasi Laplace,
persamaan diferensial dapat ditransformasi ke
dalam persamaan aljabar.
Didefinisikan f t adalah fungsi terhadap
waktu t, s adalah variabel kompleks, dan
adalah transformasi Laplace dari .
Dengan syarat f t adalah fungsi yang bernilai
nol ketika t<0.
Transformasi Laplace memiliki sifat-sifat
sebagai berikut:
Misalkan dan
, maka:
1. =
2. ;
3. 0
4. 0 0 .
Bukti: Lihat Lampiran 1
(Farlow 1994)
2.2 Sistem
Sistem adalah suatu kesatuan yang terdiri
atas komponen atau elemen yang
dihubungkan bersama untuk memudahkan
aliran informasi, materi, atau energi. Istilah ini
sering dipergunakan untuk menggambarkan
suatu kumpulan entitas yang berinteraksi, di
mana suatu model matematika seringkali bisa
dibuat. Gambar 1 menunjukkan suatu contoh
skema dari sebuah sistem.
Gambar 1. Contoh skema dari sebuah sistem
Suatu sistem dikatakan sistem kontinu
(continous-time system) apabila sistem
tersebut dapat menerima input berupa
continous-time signal dan menghasilkan
output yang berupa continous–time signal
pula. Sistem diskret (discrete-time system)
dicirikan dengan input yang berupa discrete-
time signal dan menghasilkan output yang
berupa discrete–time signal. Kedisktretan
suatu sistem dapat pula dilihat dari perubahan
keadaan sistem dari waktu ke waktu. Jika
perubahan keadaan yang terjadi hanya pada
waktu tertentu, bukan pada setiap titik waktu,
maka dikatakan sistem diskret, dalam hal lain
dikatakan sistem kontinu.
Sistem kontinu dapat dituliskan dalam
bentuk persamaan diferensial. Sebagai contoh,
Hukum Newton ke-2, yang menyatakan
bahwa sebuah benda dengan massa m konstan
akan dipercepat sebanding dengan gaya f yang
bekerja padanya dan berbanding terbalik
dengan massanya , dengan v
adalah kecepatan benda. Sistem diskret
direpresentasikan dalam bentuk persamaan
beda. Sebagai contoh adalah banyaknya uang
setelah k+1 periode adalah P(k+1)=(1+i)P(k),
dengan i adalah suku bunga yang berlaku.
2.3 Sistem Umpan-balik
Sistem yang mengatur hubungan antara
nilai output dan reference input sehingga
perbedaan di antara keduanya kecil disebut
sistem umpan-balik (feedback control system).
(DiStefano 1990)
Sebagai contoh adalah pendingin ruangan
(AC). Dengan mengukur suhu ruangan dan
membandingkannya dengan suhu yang
diinginkan (reference temperature), sistem
AC akan mengaktifkan/menonaktifkan
pendingin/pemanas sedemikian rupa sehingga
suhu ruangan menjadi nyaman.
Umpan-balik digunakan sebagai sinyal
yang memengaruhi pengendalian sistem.
Umpan-balik merupakan ciri khusus dari
sistem yang mempunyai sasaran
pengendalian. Contoh konfigurasi dari sebuah
sistem kontrol otomatis (closed-loop control
system) dapat dilihat pada Gambar 2.
Sistem umpan-balik yang paling sederhana
melibatkan tiga komponen, yaitu plant atau
sistem P yang akan dikendalikan, controller
atau pengendali K yang harus didesain
sehigga menghasilkan input kendali tertentu,
dan sensor F yang mencatat states dari sistem
sebagai umpan-balik.
Masalah utama dalam sistem umpan-balik
adalah mendesain pengendali K sedemikian
sehingga sistem menjadi stabil. Pemilihan
umpan-balik u dapat bervariasi, di antaranya
adalah , dengan adalah variabel
keadaan. Umpan-balik u yang sedemikian
rupa dinamakan umpan-balik state (state
feedback). Selain itu, umpan-balik u dapat
pula berupa kombinasi linear dari output
pada sistem tersebut, yang dinamakan umpan-
balik output (output feedback).
12. 3
Gambar 2. Contoh skema dari sistem kontrol otomatis
2.4 Persamaan Ruang Keadaan
Keadaan (state) dari sistem dinamik
adalah himpunan dari variabel keadaan di
mana informasi dari variabel tersebut pada
saat 0 dan informasi dari input pada saat
0 cukup untuk menggambarkan perilaku
dari sistem tersebut pada suatu waktu 0.
Variabel keadaan (state variable) dari
sistem dinamik adalah variabel yang dapat
menggambarkan keadaan sistem pada waktu
tertentu jika diberikan input dan nilai awal.
Vektor keadaan adalah kumpulan dari
variabel keadaan yang dapat menjelaskan
perilaku sistem secara keseluruhan.
Ruang keadaan (state space) adalah ruang
berdimensi-n yang memiliki koordinat
, , … , .
Persamaan ruang keadaan (state-space
equation) dari sistem dinamik mengandung
tiga hal, yaitu variabel input (input variable),
variabel output (output variable) dan variabel
keadaan (state variable).
Persamaan ruang keadaan dari suatu
sistem dapat bervariasi, sesuai dengan definisi
awal dari variabel-variabel dari suatu sistem.
Misalkan suatu sistem memiliki state
sejumlah n (persamaan diferensial biasa
berdimensi n), input sebanyak r, dan output
sebanyak m. Misalkan pula
, , … , , , , … , . Maka,
sistem tersebut dapat dituliskan sebagai
berikut:
, , ,
, , ,
(2.1)
, , .
Sedangkan output dari sistem diberikan
sebagai berikut:
, , ,
, , ,
(2.2)
, , .
Persamaan (2.1) dan (2.2) dapat dituliskan
dalam notasi vektor sebagai berikut:
, , (2.3)
, , (2.4)
dengan
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
.
Jika vektor fungsi f, g bergantung kepada
peubah t, maka persamaan (2.3) dan (2.4)
disebut sistem time-variying. Jika sistem
tersebut dilinearkan, maka persamaan linear
ruang keadaan dan persamaan outputnya dapat
dituliskan sebagai berikut:
(2.5)
(2.6)
dengan , , , merupakan
matriks-matriks yang bergantung waktu t. Jika
vektor f dan g tidak bergantung terhadap
waktu t, maka persamaan (2.3) dan (2.4)
disebut sistem time-invariant. Dalam kasus
ini, sistem tersebut dapat dituliskan sebagai
berikut:
(2.7)
(2.8)
dengan , , , adalah matriks-matriks
bernilai real, x adalah vektor peubah keadaan
(state variable), y adalah output sistem, dan u
adalah input kendali.
13. 4
Sistem pada persamaan (2.7) dan (2.8)
dapat ditulis dalam bentuk ∑ , , , ,
dengan , , ,
.
Misalkan sebuah sistem dengan model
matematika
2
2
d z dz
m b kz u
dtdt
+ + = (2.9)
akan dimodelkan dalam bentuk persamaan
ruang kedaan. Persamaan (2.9) dapat
dituliskan
.
Didefinisikan peubah keadaan
dan , serta output .
Secara eksplisit, persamaan (2.9) dapat
dituliskan
(2.10)
= − − +2 1 2
1
.
k b
x x x u
m m m
(2.11)
Dalam bentuk matriks, persamaan (2.10)
dan (2.11) menjadi
1 1
2 2
0 1 1
1
x x
uk b
x x
m m m
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2.12)
dan output
1 0 . (2.13)
Persamaan (2.12) dan (2.13) dapat pula
dituliskan
(2.14)
(2.15)
dengan
0 1
,
0
1 ,
1 0 , 0.
(Ogata 1997)
2.5 Fungsi Transfer
Fungsi transfer (transfer function) adalah
suatu fungsi yang menghubungkan antara
output sistem dengan input sistem.
Hasil transformasi Laplace dari persamaan
(2.7) dan (2.8) adalah
.
Fungsi transfer didefinisikan sebagai rasio
antara fungsi output terhadap fungsi input,
atau
1( )
( ) ( ) .
( )
Y s
P s C sI A B D
X s
−
= = − + (2.16)
Sebagai contoh, akan dicari fungsi transfer
untuk sistem pada persamaan (2.9).
Dari definisi fungsi transfer dan dari
persamaan (2.14) dan (2.15), diperoleh
1 0
0
0
0 1
0
1 0
1 0
1 0
1
1 0
1 1
0
1
2
1
ms bs k
=
+ +
. (2.17)
Fungsi transfer pada persamaan (2.17)
dapat diperoleh tanpa harus mencari
persamaan ruang keadaan terlebih dahulu.
Dengan melakukan transformasi Laplace
terhadap persamaan (2.9), fungsi transfer
dapat diperoleh. Hasil transformasi Laplace
untuk persamaan (2.9) adalah
0 0
0 . (2.18)
Dengan mengasumsikan nilai awal dari
sistem pada persamaan (2.9) sama dengan nol
( 0 0, 0 0), persamaan (2.18) dapat
dituliskan
.
.
Berdasarkan definisi fungsi transfer, yaitu
rasio terhadap , diperoleh
1
.
2.6 Pole dan Zero
Fungsi transfer pada persamaan (2.16)
dapat dituliskan dalam bentuk fungsi rasional
sebagai berikut
14. 5
dengan pembilang dan penyebut .
Pole dari sistem didefinisikan sebagai
akar dari persamaan 0. Jika nilai real
dari akar persamaannya ada yang positif,
sistem tersebut tidak stabil, sedangkan jika
semua akar persamaannya bernilai negatif,
sistem tersebut merupakan sistem yang stabil.
Sedangkan zero dari sistem didefinisikan
sebagai akar dari persamaan 0.
Dari pole dan zero dari suatu sistem,
sistem dapat dibedakan menjadi minimum-
phase system dan nonminimum-phase system.
Suatu sistem dikatakan minimum-phase
system jika fungsi transfernya tidak memiliki
pole maupun zero yang bernilai positif.
sedangkan suatu sistem disebut sebagai
nonminimum-phase system jika memiliki pole
atau zero yang bernilai positif.
(Ogata 1997)
2.7 Bentuk Kanonik
Suatu sistem linear yang bersifat time-
invariant dikatakan dalam bentuk kanonik
(canonical form), jika persamaan ruang
keadaannya dalam bentuk
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0
0
0
1
dan
.
Sistem dapat ditransformasi
ke dalam bentuk kanonik dengan cara
memilih matriks transformasi sedemikian
sehingga memiliki bentuk yang
identik dengan koefisien dan
memiliki bentuk yang identik dengan
koefisien .
(Warwick 1996)
Misalkan suatu sistem yang terkontrol
didefinisikan sebagai berikut
dengan adalah matrks berukuran 3 3.
Didefinisikan matriks dan , yaitu:
,
1
1 0
1 0 0
dengan adalah koefisien dari persamaan
karakteristik
| | .
Didefinisikan pula
.
Selanjutnya, akan ditunjukkan
0 1 0
0 0 1 . (2.19)
Dengan mensubstitusikan
0 0
1 0
0 1
(lihat Lampiran 2),
persamaan (2.19) dapat dituliskan
0 0
1 0
0 1
0 1 0
0 0 1 .
Selanjutnya, perlu ditunjukkan
0 0
1 0
0 1
0 1 0
0 0 1 .
Dapat dilihat bahwa
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
0 1
1
1 0
1 0 0
0 0
0 1
0 1 0
1
1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 1 0
0 0 1 .
Selanjutnya akan ditunjukkan pula
15. 6
0
0
1
. (2.20)
Persamaan (2.20) sama dengan
0
0
1
0
0
1
1
1 0
1 0 0
0
0
1
1
0
0
.
2.8 Keterkontrolan
State dikatakan reachable dari
sembarang state pada waktu , jika ada
sehingga
, , .
Suatu sistem controllable jika ada variabel
kontrol yang mampu mentransfer sistem
dari state ke state yang lain ,
dengan .
(Ogata 1997)
Misalkan diberikan sistem dengan
persamaan berikut:
2 (2.21)
dengan nilai awal 0 0 dan 0 0.
Misalkan , dengan konstan.
Solusi umum dari persamaan (2.21) adalah
1
2
.
Dari nilai awal yang diberikan, maka
diperoleh solusi khusus persamaan diferensial
(2.21) sebagai berikut
1
6
1
3
1
2
.
Misalkan , maka
1
6
1
3
1
2
dengan
1
6
1
3
1
2
.
Karena terdapat input pengendali
sedemikian sehingga state dapat dicapai
dari sembarang state , maka sistem pada
persamaan (2.21) merupakan sistem yang
terkontrol.
Untuk dapat melihat kekontrolan dari
suatu sistem, dapat pula dilakukan dengan
melihat pangkat dari matriks , yaitu matriks
controllability, yang didefinisikan sebagai
berikut
.
Teorema 1
Jika pangkat dari dari matriks penuh,
maka suatu sistem controllable, jika tidak,
maka sistem tersebut uncontrollable.
Bukti: Lihat Lampiran 3
Misalkan diberikan sistem dengan model
1 1
0 1
1
0
.
Sistem di atas dikatakan tidak terkontrol,
karena
1 1
0 0
singular.
Contoh untuk sistem yang terkontrol
adalah
1 1
2 1
0
1
,
karena
0 1
1 1
nonsingular, atau
dengan kata lain berpangkat penuh.
2.9 Kestabilan
Sistem yang didefinisikan pada persamaan
(2.7) dan (2.8) dikatakan
• Stabil, jika lim sup ∞
untuk setiap solusi dari persamaan
.
• Stabil asimtotik, jika
lim sup ∞ untuk setiap
solusi dari persamaan .
• Takstabil, jika ada solusi dari persamaan
dengan
lim sup ∞ atau
lim sup ∞.
(Edisusanto 2008)
Ada dua teorema yang berkaitan dengan
nilai eigen dan poles dari suatu sistem, yaitu:
Teorema 2
Misalkan matriks dari sistem Σ pada
persamaan (2.7) dan (2.8) memiliki nilai eigen
, , … . Pernyataan-pernyataan berikut
berlaku:
• Sistem Σ stabil jika dan hanya jika
Re 0 untuk semua i.
• Sistem Σ stabil asimtotik jika dan hanya
jika Re 0 untuk semua i.
16. 7
• Sistem Σ takstabil jika dan hanya jika
Re 0 untuk suatu i.
Bukti: lihat Lampiran 4
Teorema 3
Misalkan suatu sistem Σ pada persamaan
(2.7) dan (2.8) memiliki pole , , … .
Pernyataan-pernyataan berikut berlaku:
• Sistem Σ stabil jika dan hanya jika
Re 0 untuk semua i.
• Sistem Σ stabil asimtotik jika dan hanya
jika Re 0 untuk semua i.
• Sistem Σ takstabil jika dan hanya jika
Re 0 untuk suatu i.
Bukti: lihat Lampiran 5
2.10 Step Response
Unit step function adalah suatu fungsi
yang tidak kontinu yang bernilai nol pada saat
variabelnya bernilai negatif dan bernilai satu
jika variabelnya bernilai positif. Fungsi
berikut adalah fungsi tangga satuan,
0, 0
1, 0
.
Transformasi Laplace dari fungsi tangga
satuan adalah
1
1
.
Step response dari suatu sistem adalah
nilai dari perubahan output terhadap waktu
dengan input berupa unit step function.
Misalkan sebuah sistem ∑ didefinisikan
dengan fungsi transfer sebagai berikut
( ) 1
( ) 1
C s
R s Ts
=
+
(2.22)
dengan input berupa unit step dan adalah
konstanta waktu.
Dengan mensubstitusikan transformasi
Laplace untuk fungsi unit step ke dalam
persamaan (2.22), diperoleh
1
1
1
1 T
1
1 1
.
(1/ )s s T
= −
+
(2.23)
Dengan melakukan inverse dari
transformasi laplace untuk persamaan (2.23),
diperoleh
1 /
.
Dengan memisalkan 1, grafik step
response untuk sistem ∑ dapat dilihat pada
Gambar 3
Gambar 3. Grafik step response untuk
persamaan (2.22)
2.11 Ramp Response
Ramp function didefinisikan
0, 0
, 0
.
Ramp response dari suatu sistem adalah
nilai dari perubahan output terhadap waktu
dengan input berupa ramp function.
Misalkan akan dicari ramp response untuk
fungsi transfer pada persamaan (2.22). Karena
Transformasi Laplace untuk ramp function
adalah 2
1
s
, maka
2
1 1
( ) .
1
C s
Ts s
= ×
+
(2.24)
Inverse transformasi laplace untuk
persamaan (2.24) adalah
( ) .
t
T
c t t T e T
−
= − +
Dengan memisalkan 1, grafik ramp
response untuk sistem pada persamaan (2.22)
dapat dilihat pada Gambar 4.
Gambar 4. Grafik ramp response untuk
persamaan (2.22)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
17. 3 MODEL PENDULUM TERBALIK
3.1 Pendulum Terbalik
Pendulum terbalik (inverted pendulum)
adalah sebuah bandul di mana massa dari
bandul tersebut berada di atas titik tumpunya.
Dalam kasus ini titik tumpu tersebut
ditempatkan pada sebuah kereta yang dapat
digerakkan dalam arah mendatar (horizontal).
Berbeda halnya dengan pendulum normal
(tidak terbalik) yang bersifat stabil, pendulum
terbalik memiliki sifat yang tidak stabil,
sehingga harus diatur sedemikian rupa agar
pendulum tetap tegak dengan cara
memberikan gaya pada titik tumpunya atau
pada kereta.
Gambar 5 adalah sebuah contoh dari
pendulum terbalik. Dalam kasus ini, kereta
yang dilengkapi motor hanya dapat bergerak
dalam garis lurus (horizontal), dan pendulum
yang diletakkan di atas kereta bergerak
(berotasi) dalam bidang yang sama.
Gaya diberikan kepada mobil melalui
motor yang terdapat di kereta. Tanpa adanya
gaya yang sesuai, pendulum akan jatuh.
Dengan adanya umpan-balik, motor pada
kereta akan memberikan gaya yang sesuai
sehingga pendulum tetap dalam keadaan
tegak.
3.1.1 Daftar lambang dan istilah
Berikut ini lambang dan istilah yang
digunakan.
: sudut antara pendulum dengan
garis vertikal,
: berat kereta,
: berat pendulum,
,
Gambar 5. Model dari pendulum terbalik
18. 9
,
,
,
, : koordinat dari pusat gravitasi
pendulum,
: momen inersia,
: koefisien dari viscous friction
antara pendulum dan kereta,
: koefisien dari viscous friction
antara kereta dengan lantai,
: vertical reaction force pada
pendulum,
: horizontal reaction force pada
pendulum,
: gaya/input yang diberikan pada
kereta,
: rasio antara massa dan panjang
pendulum.
3.1.2 Asumsi
Berikut adalah asumsi-asumsi dalam
memodelkan pendulum terbalik:
1. Gaya gesek yang diamati hanya viscous
friction (gaya gesekan).
2. dan kecil.
3. Pendulum berbentuk bola pejal.
4. Pendulum homogen (rapat massa di
setiap titik pada pendulum sama),
sehingga (momen inersia) 1
3 .
5. Perbandingan massa dan panjang
pendulum adalah konstan .
3.1.3 Formulasi Model
Berikut ini akan diturunkan model
matematik untuk sistem pendulum terbalik.
Setelah mendapatkan model matematik untuk
sistem pendulum terbalik, akan dilihat
kestabilan dari sistem tersebut. Kemudian,
akan dilakukan pengendalian terhadap sistem
pendulum terbalik.
Dari Gambar 5, diperoleh:
sin (3.1)
cos . (3.2)
Berdasarkan Hukum Newton, persamaan
gerak pada pendulum dapat dibagi menjadi:
1. Rotational motion (gerak rotasi) dari
pendulum di sekitar pusat gravitasi
pendulum (center of gravity).
sin cos
. (3.3)
2. Gaya yang bekerja pada kereta dalam
sumbu x.
. (3.4)
3. Gaya yang bekerja pada pendulum dalam
sumbu x di sekitar pusat gravitasi
pendulum.
sin
. (3.5)
4. Gaya yang bekerja pada pendulum dalam
sumbu y di sekitar pusat gravitasi
pendulum.
cos
0 . (3.6)
Jika persamaan (3.5) disubstitusikan ke
persamaan (3.4), maka diperoleh
. (3.7)
Jika persamaan (3.6) disubstitusikan ke
persamaan (3.3), maka diperoleh
. (3.8)
Agar diperoleh persamaan state space
linear untuk , persamaan (3.7) harus
merupakan fungsi dari turunan yang lebih
rendah (function of lower order terms) saja.
Untuk itu, harus dieliminasi dari persamaan
(3.7), dan diperoleh
.
atau
.
atau
19. 10
2
2 2
2
2
( )
( ) ( )
.
( )
( )
ml g ml
x u
I ml I ml
x
ml
M m
I ml
η
ζ θ θ
⎛ ⎞
− − + +⎜ ⎟
+ +⎝ ⎠=
⎡ ⎤
+ −⎢ ⎥+⎣ ⎦
(3.9)
Persamaan berikut diperoleh dengan cara
mengeliminasi dari persamaan (3.8)
1
.
(3.10)
3.1.4 Representasi Matriks
Misalkan vektor
dan sebagai output dari sistem.
Berdasarkan pemisalan vektor dan dari
persamaan (3.9) dan (3.10), diperoleh
1
1
,
sehingga sistem dinamik dari pendulum
terbalik dapat dirumuskan dalam bentuk
matriks sebagai berikut
( )
2
2
2
2
0
( )
( )
0
1
( )
ml
M m
ml
I ml
M m
u
ml
M m
I ml
⎡ ⎤
⎢ ⎥−⎢ ⎥+
⎢ ⎥
⎡ ⎤⎢ ⎥
+ −⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦⎢ ⎥+
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥+ −
⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦⎣ ⎦
(3.11)
dengan
0, 1, 0, 0,
,
,
0,
,
0, 0, 0, 1,
,
,
0,
.
Sedangkan output dari sistem yang akan
diamati adalah posisi kereta, sehingga
0 0 1 0 . (3.12)
Sistem dengan representasi matriks seperti
pada persamaan (3.11) dan (3.12) dinamakan
sistem SISO (single input single output). Jika
sudut antara pendulum dengan garis vertikal
ingin diamati juga, output dari sistem dapat
ditambahkan menjadi
20. 11
1 0 0 0
0 0 1 0
.
Sistem dengan jumlah output lebih dari
satu dinamakan single input multiple output
system. Untuk selanjutnya, yang menjadi
perhatian utama adalah posisi kereta, sehingga
output sistem pendulum terbalik akan
menggunakan persamaan (3.12).
Persamaan (3.11) dan (3.12) merupakan
salah satu dari sekian banyak representasi
state space dari pendulum terbalik.
Sistem pendulum terbalik dapat pula
direpresentasikan dengan menggunakan
fungsi transfer. Fungsi transfer yang ekivalen
dengan persamaan (3.11) dan (3.12) adalah:
.
(Proses penurunan fungsi transfer diberikan
pada Lampiran 6)
Dalam kasus ini, beberapa parameter akan
dimisalkan untuk mempermudah perhitungan,
yaitu: 1, 0, 0, ,
1
3
.
Dengan menggunakan permisalan tersebut,
persamaan (3.11) dan (3.12) dapat dituliskan
sebagai berikut
(3.13)
dengan
0 1 0 0
3 1
4
0 0 0
0 0 0 1
3
4
0 0 0
,
0
3
4
0
4
4
,
0 0 1 0 .
3.2 Kestabilan Model Pendulum
Terbalik
Berikut ini akan dikaji kestabilan dari
sistem pendulum terbalik tersebut, dengan
melihat akar ciri (nilai eigen) atau poles dari
matrik pada persamaan (3.13). Jika semua
nilai eigennya bernilai negatif, maka sistem
tersebut merupakan sistem yang stabil, karena
0, pada saat ∞.
Akar ciri dari matriks adalah:
0,
,
3
4
1
.
3.2.1 Umpan-balik State dan Pole
Placement
Dari akar ciri yang diperoleh, dapat dilihat
bahwa sistem pendulum terbalik tidak stabil.
Sistem pada persamaan (3.13) tersebut dapat
distabilkan dengan cara memilih sinyal
input/kontrol yang tepat.
Persamaan sistem dinamik dari pendulum
terbalik adalah
. (3.14)
Dengan mensubstitusikan sinyal kontrol
, sistem pada persamaan (3.14) akan
menjadi
.
Diagram balok untuk sistem pada
persamaan (3.14) dapat dilihat pada Gambar
6. Selanjutnya, akan dipilih vektor yang
berukuran 1 4 sedemikian rupa sehingga
memiliki nilai eigen yang
dikehendaki. Proses mendapatkan
dinamakan pole placement.
Syarat agar pole placement dapat
dilakukan adalah dengan melihat apakah
sistem tersebut terkontrol ataukah tidak. Jika
suatu sistem terkontrol, maka pole placement
dapat dilakukan. Misalkan poles yang
dikehendaki dari suatu sistem untai tertutup
adalah , , … , . Dengan
memilih matriks penyesuai (gain matrix) yang
sesuai (dalam kasus ini vektor ),
dimungkinkan untuk memaksa sebuah sistem
yang takstabil memiliki poles yang
diinginkan.
Sebagai contoh, misalkan suatu sistem
didefinisikan sebagau berikut
x Ax u= + (3.15)
dengan
0 1 0
0 0 1
1 5 6
,
0
0
1
.
21. 12
Gambar 6. Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state
Sistem pada persamaan (3.15) memiliki
poles di 0.38 0.055 , dan
6,7614. Poles tersebut menunjukkan bahwa
sistem diatas tidak stabil. Dengan
menggunakan umpan-balik state ,
sistem tersebut akan dipaksa untuk memiliki
poles di 2 4 dan 10.
Selanjutnya, perlu dilihat keterkontrolan
dari sistem tersebut. Matriks dari sistem
tersebut adalah
0 0 1
0 1 6
1 6 41
.
Dapat dilihat bahwa matriks dari sistem
tersebut berpangkat penuh, sehingga pole
placement dapat dilakukan.
Selanjutnya, akan dicari vektor sehingga
| | sama dengan persamaan
karakteristik dari poles yang dikehendaki.
Persamaan karakteristik yang dikehendaki
adalah:
2 4 2 4 10
14 60 200.
Sedangkan
| |
1 0
0 1
1 5 6
6 5 1.
Oleh karena | | harus sama
dengan persamaan karakteristik yang
dikehendaki, maka
6 14,
5 60,
1 200.
Sehingga diperoleh
201 65 20 .
Dalam kasus sistem pendulum terbalik,
matriks controllability adalah sebagai
berikut:
(3.16)
dengan
0
3
4
0
4
4
,
3
4
0
4
4
0
,
0
9 1
4 4
0
9
4 4
,
9 1
4 4
0
9
4 4
0
.
Karena det 0, maka
matiks berpangkat penuh, sehingga
persamaan (3.13) merupakan sistem yang
terkontrol.
Agar persamaan (3.13) merupakan sistem
yang stabil, nilai dari | | dipaksa
22. 13
sama dengan nilai dari persamaan
karakteristik yang dikehendaki (dengan cara
menaruh pole di posisi stabil). Pole yang di
kehendaki adalah 1,2,3,4 ;
2 2√3i, 2 2√3i,
10, 10,
dengan dan adalah pasangan closed-
loop poles yang dominan. Sedangkan
dan ditempatkan di sebelah kiri
dan agar pengaruh dari respon
dan kecil. Persamaan karakteristik yang
dikehendaki dari sistem tersebut adalah
2 2√3i 2 2√3i
10 10
4 16 20 100
24 196 720 1600
0
dengan
24, 196, 720, 1600.
Untuk memudahkan percarian vektor ,
state equation pada persamaan (3.13) akan
ditransformasi ke dalam bentuk kanonik.
Untuk mentransformasi persamaan (3.13),
didefinisikan matriks transformasi , yaitu
dengan adalah matriks controllability,
yaitu:
dan
1
1 0
1 0 0
1 0 0 0
,
dengan adalah koefisien polinom dari
persamaan karakteristik
| | .
Dalam kasus ini persamaan karakteristik
dari sistem pendulum terbalik adalah:
| |
1 0 0
3 1
4
0 0
0 0 1
3
4
0 0
3 1 4
4
4 23 (1 )
0.
(4 )
g l
s s
l l
ϕ
ϕ
− +
= + =
+
(3.17)
Dari persamaan (3.17), diperoleh
0
3 1
4
0 1
3 1
4
0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
(3.18)
Didefinisikan pula vektor , dengan
.
Karena pangkat dari penuh, maka
memiliki inverse, sehingga persamaan (3.13)
dapat ditransformasi menjadi
. (3.19)
Misalkan persamaan karakteristik yang
dikehendaki adalah
0 (3.20)
sedemikian sehingga sistem pendulum
terbalik stabil. Misalkan pula
. (3.21)
Dipilih . Setelah sinyal
kontrol disubstitusikan ke persamaan (3.19),
persamaan pendulum terbalik menjadi
. (3.22)
Akan ditunjukkan bahwa persamaan
karakteristik dari sistem pada persamaan
(3.22) sama dengan persamaan karakteristik
dari sistem pada persamaan (3.13) yang
menggunakan .
Persamaan karakteristik dari sistem pada
persamaan (3.22) adalah
| | 0.
Sedangkan persamaan karakteristik dari
persamaan (3.13) (dengan ) adalah
| | | |
| | 0.
Sehingga persamaan karakteristik dari
sistem pendulum terbalik dapat dituliskan
| |
23. 14
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0
0
0
1
s -1 0 0
0 s -1 0
0 0 0 -1
an+δn an-1+δn-1 an-2+δ2 a1+δ1
0. (3.23)
Persamaan (3.23) adalah persamaan
karakteristik dari sistem yang disertai umpan-
balik state. Persamaan (3.23) harus sama
dengan persamaan (3.20) agar sistem tersebut
stabil. Dengan menyamakan koefisien dari
polinom pada persamaan (3.20) dan (3.23),
diperoleh
.
Jika nilai-nilai tersebut disubstitusikan ke
dalam persamaan (3.21), akan diperoleh
.
(3.24)
Dari persamaan (3.16) dan (3.18),
diperoleh
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
.
Secara explisit, sistem pendulum terbalik
yang telah ditransformasi ke bentuk kanonik
adalah sebagai berikut:
.
dengan , , disediakan di
Lampiran 7.
Dari persamaan (3.24), umpan-balik state
untuk kasus pendulum terbalik adalah
| | |
1600 720 196 24
-
4l2
4+lφ
9g
0 -
l 4+lφ
3g
0
0 -
4l2
4+lφ
9g
0 -
l 4+lφ
3g
-
l 4+lφ
3
0 0 0
0 -
l 4+lφ
3
0 0
dengan
9 1 588 4
9
6400 4
9
,
8 40 4
,
1600 4
3
,
240 4
.
Sehingga sistem pendulum terbalik pada
Gambar 6 merupakan sistem yang stabil.
Untuk memperoleh umpan-balik state,
dapat pula digunakan formula Ackermann
yang disajikan dalam Lampiran 8.
24. 15
Gambar 7. Sistem pendulum terbalik dengan umpan-balik state dan output
3.2.2 Umpan-balik State dan Output
Dengan melihat posisi kereta sebagai
output dari sistem pendulum terbalik, akan
dicari umpan-balik state dan output.
Tujuannya adalah untuk mengontrol agar
output dari sistem bersesuaian dengan
reference input (nilai output yang
dikehendaki). Sistem seperti ini sering
dinamakan dengan servo system. Servo system
untuk pendulum terbalik digambarkan pada
Gambar 7.
Pada sistem pendulum terbalik, untuk
dapat mengatur output sesuai dengan
reference input, perlu ditambahkan sebuah
integrator dan mendefinisikan error state
yang merupakan output dari integrator,
dengan merupakan selisih (difference)
antara input dan output dari sistem pendulum
terbalik. Sistem pendulum terbalik menjadi:
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
dengan
vektor keadaan
sinyal pengontrol
output
reference input (step function,skalar)
output dari integrator (skalar)
0 1 0 0
3 1
4
0 0 0
0 0 0 1
3
4
0 0 0
0
3
4
0
4
4
0 0 1 0 .
Sistem dinamik pada persamaan (3.25)
sampai (3.28) dapat dituliskan
0
0 0
0
1
. (3.29)
Misalkan ∞ , ∞ , ∞ , dan ∞
adalah nilai , , , dan pada
saat ∞. Tujuan dari penentuan umpan-
balik state dan output adalah agar sistem
pendulum tersebut stabil, yaitu
∞ , ∞ , ∞ mendekati nilai konstan.
Selain itu, nilai t 0 dan ∞ .
Pada saat steady state,
∞
∞
0
0
∞
∞ 0
∞
0
1
∞ . (3.30)
Selanjutnya akan dicari state error
equation.
∞
∞
0
0
∞
∞
0
∞
∞ (konstan); untuk 0.
Misalkan
∞
∞
Integrator
25. 16
∞ .
State error equation dapat dituliskan
0
0 0
dengan
.
Misalkan
vektor berukuran 1 .
Maka sistem di atas dapat dituliskan
(3.31)
dengan
0
0
0 1 0 0 0
3 1
4
0 0 0 0
0 0 0 1 0
3
4
0 0 0 0
0 0 1 0 0
,
0
0
3
4
0
4
4
0
.
Sedangkan sinyal pengontrol
dengan
| |
Dengan cara yang serupa untuk mencari
vektor pada saat mencari sinyal pengontrol
untuk umpan-balik state, diperoleh sinyal
pengontrol sebagai berikut:
|
dengan
4 327 8800 4
9
34
3
4
1482018314400883 4
1235950581248
256000 4
27
8800 4
3
1482018314400883 4
1649267441664
64000 4
9
16000 4
3
.
(untuk proses pengerjaan, lihat Lampiran 9)
Dengan menggunakan nilai-nilai pada
vektor , sistem pendulum terbalik pada
Gambar 7 merupakan sistem yang stabil.
26. 4 SIMULASI
Untuk melihat apakah nilai-nilai dari
umpan-balik tersebut menstabilkan sistem
pendulum terbalik, dilakukan simulasi dengan
menggunakan MATLAB. Dengan
mensubtitusikan 0.5 , 9.8 /sec ,
dan 0.2 / , akan dilihat perilaku dari
sistem pendulum terbalik.
Dalam simulai yang dilakukan, diberikan
tiga situasi yang berbeda. Pertama, akan
dilihat perilaku sistem tanpa diberikannya
reference input. Selanjutnya akan dilihat
perilaku sistem jika diberikan reference input
berupa step function. Berikutnya, akan dilihat
perilaku sistem jika input yang diberikan
berupa ramp function.
4.1 Tanpa Umpan-balik
Tanpa adanya umpan-balik, hasil simulasi
dari ketiga situasi yang diberikan
menunjukkan bahwa sistem pendulum terbalik
tidak stabil. Hal ini dapat dilihat pada Gambar
8, Gambar 9, dan Gambar 10.
Gambar 8 diperoleh dengan cara mencari
solusi dari persamaan . Dengan
0 1 0 0
15,776 0 0 0
0 0 0 1
0,717 0 0 0
Gambar 8. Solusi untuk posisi tanpa adanya
reference input
Step response, dalam kasus ini adalah
posisi dari kereta, dapat di lihat dengan cara
memberikan matriks , , dan ke dalam
fungsi step pada software MATLAB, dengan
0 1 0 0
15,776 0 0 0
0 0 0 1
0,717 0 0 0
,
0
1,463
0
0,975
,
0 0 1 0 .
Gambar 9. Step response untuk sistem awal
dari pendulum terbalik.
Software MATLAB tidak mempunyai
fungsi built in untuk mencari ramp response
dari suatu sistem, oleh karena itu, perlu
didefinisikan variabel baru yang akan menjadi
output dari sistem yang diberikan input berupa
ramp function. Detailnya akan dijelaskan pada
Subbab 4.2.1. Berikut adalah ramp response
untuk sistem awal.
Gambar 10. Ramp response untuk sistem
awal dari pendulum terbalik
4.2 Dengan Umpan-balik
4.2.1 Umpan-balik State
Respon dari sistem pendulum terbalik
berubah ketika diberikan umpan-balik.
Perubahan tersebut dapat dilihat pada Gambar
11, Gambar 12, dan Gambar 13. Setelah
diberikan umpan-balik, sistem pendulum
terbalik bersifat stabil. Hal ini dapat diketahui
dengan melihat output dari sistem. Tanpa
adanya reference input, sistem akan
konvergen ke suatu bilangan, begitu pula
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-350
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
posisi vs t (original)
t Sec
Posisi
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x5 vs t
t Sec
x5
27. 18
ketika diberikan input berupa step function.
Namun, ketika diberikan input berupa ramp
function, output tidak konvergen, akan tetapi,
sistem tetap dapat dikatakan stabil karena
output yang dihasilkan sistem mengikuti input
yang diberikan.
Persamaan sistem pendulum terbalik
dengan umpan-balik state adalah sebagai
berikut
dengan
0 1 0 0
15,776 0 0 0
0 0 0 1
0,717 0 0 0
,
0
1,463
0
0,975
,
0 0 1 0
dengan
219,09
49,8694
111,565
50,2041.
Jika persamaan di substitusikan ke tate
equation, akan diperoleh
(4.1)
dengan
.
Tanpa adanya reference input, output
sistem dapat dilihat pada Gambar 11. Grafik
tersebut dapat diperoleh dengan cara mencari
solusi untuk persamaan terhadap .
Gambar 11. Solusi untuk posisi tanpa adanya
reference input
Step response, dalam kasus ini adalah
posisi dari kereta, dapat di lihat dengan cara
memberikan matriks , , dan ke dalam
fungsi step pada software MATLAB, dengan
0
0
0
0
2,23714
0
0
0
sebagai nilai awal
Gambar 12. Step response untuk sistem dari
pendulum terbalik dengan
umpan-balik state
Selanjutnya, akan dilihat Ramp-response
dari sistem pendulum terbalik. Dengan
memisalkan nilai awal sama dengan nol, ramp
response dapat dituliskan
0
.
t
z y dt= ∫ (4.2)
Dari persamaan (4.2), diperoleh
3.z y x= = (4.3)
Definisikan variabel baru, yaitu
5 .x z=
Persamaan (4.3) dapat dituliskan
5 3.x x= (4.4)
Dengan menambahkan persamaan (4.4) ke
sistem dinamik dari pendulum terbalik, akan
diperoleh persamaan
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
.
x x
x x
x A x Bu
x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(4.5)
1
2
3
4
5
x
x
y C x
x
x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
(4.6)
dengan
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
x3 vs t (state)
t Sec
Posisi
28. 19
[ ]
0 1 0 0 0
304,8 72,9 163,2 73,4 0
,0 0 0 1 0
213,03 48,65 108,8 48,98 0
0 0 1 0 0
2,23714
0
, 0 0 0 0 1 .0
0
0
A
B C
⎡ ⎤
⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥
⎢ ⎥=
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥= =
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Ramp response dari suatu sistem dapat
diperoleh dengan cara memberikan matriks
, , danA B C ke dalam fungsi step pada
MATLAB. Berikut adalah grafik dari ramp
response untuk sistem pendulum terbalik
dengan umpan-balik state.
Gambar 13. Ramp response untuk sistem
dari pendulum terbalik dengan
umpan-balik state
4.2.2 Umpan-balik State dan Output
Setelah dilakukan simulasi, penambahan
umpan-balik output tidak begitu berpengaruh
terhadap respon yang diberikan sistem. Hal ini
dapat dilihat pada Gambar 14, Gambar 15,
dan Gambar 16.
Perilaku dari sistem pendulum terbalik
untuk posisi kereta dapat diperoleh dengan
menyelesaikan persamaan
0
0 0
0
1
. (4.7)
Jika nilai disubstitusikan
ke dalam persamaan (4.2), persamaan tersebut
akan menjadi
0
0
1
(4.8)
dengan output
0 0 1 0 0 0 .
Jika nilai-nilai , dan disubstitusikan
ke persamaan (4.8), akan diperoleh
0 1 0 0 0
‐1019 ‐291 ‐898 ‐386 1633
0 0 0 1 0
689 194 599 257 ‐1088
0 ‐1 0 0 0
,
0
0
0
0
1
,
707,004,
199,143,
613,605,
263,865,
1115,65.
Dengan mencari solusi untuk persamaan
0
,
akan diperoleh solusi untuk sistem pendulum
terbalik. Gambar 14 merupakan solusi untuk
posisi kereta.
Gambar 14. Solusi untuk posisi tanpa adanya
reference input
Grafik dari step response dan ramp
response untuk posisi kereta dari sistem pada
persamaan (4.8) diberikan berturut-turut pada
Gambar 15 dan Gambar 16.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x5 vs t
t Sec
x5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
x3 vs t (state+output)
t Sec
Posisi
29. 20
Gambar 15. Step response untuk sistem dari
pendulum terbalik dengan
umpan-balik state dan output
Gambar 16. Ramp response untuk sistem
dari pendulum terbalik dengan
umpan-balik state dan output
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x6 vs t
t Sec
x6
30. 5 KESIMPULAN DAN SARAN
Suatu sistem yang tidak stabil dapat
distabilkan dengan mendesain sebuah struktur
umpan-balik. Namun, tidak semua model
dinamik dari suatu sistem dapat distabilkan.
Dalam contoh kasus kali ini, yaitu sistem
pendulum terbalik, hal tersebut dimungkinkan
karena sistem pendulum terbalik mempunyai
sifat controllable, sehingga penempatan pole
dimungkinkan.
Setelah melakukan penurunan model
pendulum terbalik, dilakukan pula
pengendalian terhadap sistem tersebut dengan
menggunakan umpan-balik state dan output.
Dari hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan
bahwa pemilihan input u yang tepat dapat
menstabilkan sistem pendulum terbalik.
Saran untuk penelitian lebih lanjut adalah
menentukan skema umpan-balik agar dapat
menstabilkan suatu sistem sekaligus
meminimumkan tracking error, yaitu integral
dari selisih reference input dengan output
yang dikuadratkan yang dieveluasi dari nol
sampai tak hingga.
31. DAFTAR PUSTAKA
DiStefano J J, Stubberud A R, Williams I J.
1990. Scaum’s outline of theory and
problem of feedback and control systems
(2nd
edition). New York: McGraw-Hill
Edisusanto B. 2008. Pemodelan sistem
pendulum terbalik dengan lintasan miring
dan karakterisasi parameter pada masalah
tracking error optimal. Tesis, Institut
Pertanian Bogor, Indonesia.
Farlow S J. 1994. An Introduction to
differential equations and their
applications. New York: McGraw-Hill,
Inc.
Ogata K. 1997. Modern Control Engineering
(3rd
edition). New Jersey: Pretice Hall
Warwick K. 1996. An Introduction to Control
systems (2nd edition). Singapore: World
Scientific.
33. 24
Lampiran 1. Bukti Sifat-Sifat Transformasi Laplace
Berikut adalah bukti dari sifat-sifat transformasi Laplace:
1. =
Bukti:
2. ;
Bukti:
3. 0
Bukti:
lim .
Misalkan dan turunannya kontinu dalam selang terbatas, dan misalkan pula:
,
, ,
maka, dengan integral parsial diperoleh:
0
0
Selanjutnya, akan ditunjukkan lim 0.
Karena merupakan fungsi eksponensial berorder , maka ada konstanta dan yang
memenuhi
untuk
Karena cukup besar , fungsi terbatas diantara dua fungsi untuk
mendekati 0 ketika ∞, sehingga juga mendekati 0 ketika ∞, maka
lim 0. Sehingga
0 0
0 .
35. 26
Lampiran 2. Proses Penjabaran
Pada Lampiran 2, akan diperlihatkan
0 0
1 0
0 1
.
0 0
1 0
0 1
. (L.1)
Penjabaran pada persamaan (L.1) adalah:
,
sedangkan
0 0
1 0
0 1
. (L. 2)
Teorema Cayley-Hamilton mengatakan bahwa matriks memenuhi persamaan
karakteristiknya sendiri, atau dalam kasus 3,
0 (L. 3)
(bukti: lihat Lampiran 11)
Dengan menggunakan persamaan (L.3), persamaan (L.2) menjadi:
.
Dari penjabaran diatas, dapat disimpulkan bahwa
0 0
1 0
0 1
.
36. 27
Lampiran 3. Bukti Teorema 1
Berikut akan disajikan penjelasan tentang observability.
Misalkan suatu sistem kontinu dituliskan sebagai berikut
(L.4)
dengan
= vektor keadaan (vektor berukuran n)
= sinyal pengontrol (skalar)
= matriks
= matriks 1
Sistem pada persamaan (L.4) dikatakan state controllable pada saat jika ada sinyal
pengontrol u yang dapat mentransfer nilai awal dari suatu keadaan ke nilai keadaan yang stabil di
dalam suatu interval waktu . Jika semua keadaan bersifat controllable, sistem tersebut
dikatakan complete state controllable.
Selanjutnya, akan dibuktikan jika pangkat matriks | | | penuh, maka sistem
pada persamaan (L.4) merupakan sistem yang bersifat complete state controllable. Diasumsikan
kondisi stabil berada di daerah asal (origin) dari ruang keadaan (state space) dan waktu pada saat
sistem diamati adah nol ( 0
Solusi dari persamaan (L.4) adalah
0 .
Bedasarkan definisi sistem yang terkontrol, solusi dari sistem pada persamaan (L.4) dapat
dituliskan
0 0
1
0
(0) ( ) .
t
At
x e Bu dτ τ−
= −∫ (L.5)
Dengan mensubtitusikan ∑ (lihat Lampiran 12) ke persamaan (L.6), akan
menghasilkan persamaan
11
0 0
(0) ( ) ( ) .
tn
k
k
k
x A B u dα τ τ τ
−
=
= −∑ ∫ (L.6)
Misalkan , persamaan (L.6) menjadi
0
(L.7)
Jika sistem pada persamaan (L.4) merupakan sistem yang bersifat complete state controllable,
maka persamaan (L.7) harus terpenuhi, sehingga haruslah matriks
berpangkat penuh.
37. 28
Lampiran 4. Bukti Teorema 2
Misalkan sistem ∑ , , , diberikan sebagai berikut:
Sistem ∑ , , , dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika setiap akar ciri dari matriks
mempunyai bilangan real negatif
Bukti:
Misalkan solusi dari definisi stabil asimtotik, yaitu:
; 0,
maka
| |
dengan
| |
matriks konstan
bilangan konstan
Diasumsikan bahwa , , , adalah akar ciri dari matriks A dengan multiplitas
, , , , maka:
| |
dan matriks resolvent
∏
Selanjutnya akan dilihat untuk masing-masing elemen, didapat
∏
; , 1,2, … ,
Pecahan parsial berlaku
∏
dengan , 1,2, … , .
Misalkan didefinisikan
matriks dengan , adalah elemen dari ,
matriks dengan , adalah elemen dari ,
dst.
38. 29
Dengan menggunakan notasi matriks, dapat ditulis
1
selanjutnya diperoleh
1
1 !
Dari persamaan di atas, dapat ditunjukkan bahwa jika Re( ) 0, maka terbatas pada
0, ∞ untuk suatu bilangan integer j.
Selanjutnya, dengan menggunakan aturan Hospital, dapat dituliskan
lim 0
Misalkan tidak mempunyai bilangan real negatif, maka
lim 0, 0
diperoleh sedemikian sehingga
lim 0
Berdasarkan hasil tersebut, maka kestabilan dapat ditentukan dari letak akar karakteristik
polinomial | |, sehingga dapat disimpulkan:
• Suatu sistem dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika Re( ) 0, untuk setiap i
• Suatu sistem dikatakan takstabil jika dan hanya jika Re( ) 0, untuk suatu i
39. 30
Lampiran 5. Bukti Teorema 3
Misalkan
0
Diasumsikan bahwa akar-akar dari bernilai real atau kompleks, maka fungsi transfer
dapat ditulis menjadi:
∏
∏
,
Jika memiliki poles yang berlainan, maka dapat diuraikan menurut pecahan
parsialnya, yaitu:
dengan adalah konstanta dan selanjutnya disebut residu dari pole .
Dengan mengalikan kedua ruas dengan dan mensubtitusikan , diperoleh
Terlihat bahwa semua suku yang diuraikan bernilai nol, kecuali . Sehingga residu dapat
diperoleh dari:
Karena output atau merupakan fungsi bernilai real, maka , dan , saling
konjugat. Untuk kasus ini, hanya perlu mengitung atau , karena pasangannya dapat
diketahui.
Berdasarkan definisi invers dari transformasi Laplace dan dengan memperlihatkan bahwa
,
diperoleh
dengan adalah akar-akar dari dan nilai dari tergantung pada syarat awal dan zero atau
letak akar persamaan dari .
Terlihat bahwa jika Re( ) 0, maka berlaku 0 ketika ∞.
Jadi fungsi transfer akan bersifat
• Stabil jika dan hanya jika Re( ) 0 untuk semua i
• Stabil asimtotik jika dan hanya jika Re( ) 0 untuk semua i
• Takstabil jika dan hanya jika Re( ) 0 untuk suatu i
40. 31
Lampiran 6. Proses Pencarian Fungsi Transfer Pendulum Terbalik
Persamaan gerak untuk pendulum terbalik diberikan oleh persamaan:
Persamaan di atas dapat diubah kedalam bentuk persamaan aljabar dengan menggunakan
transformasi Laplace. Transformasi Laplace terhadap , , dan , dari kedua persamaan tersebut
adalah:
Θ
Θ
Θ Θ Θ
Θ Θ Θ 0
Jika direpresentasikan dalam bentuk matriks,
Θ 0
Θ 0
Θ 0
.
Misalkan:
,
maka:
Θ
1
0
Θ
.
Sehingga:
dan
Θ
.
43. 34
Lampiran 8. Pemilihan umpan-balik state dengan menggunakan formula Ackermann
Berikut adalah formula Ackermann untuk mencari umpan-balik state pada sistem pendulum
terbalik.
Misalkan sistem pendulum terbalik dituliskan
Dengan adanya kontrol umpan-balik , sistem tersebut dapat dituliskan
.
Misalkan
.
Persaman karakteristik yang diinginkan adalah
| |
0.
Berdasarkan teorema Cayley-Hamilton, memenuhi persamaan karakteristik dari , sehingga
0 (L.8)
(L.9)
Berdasarkan persamaan (L.8),
0. (L.10)
Sedangkan
0. (L.11)
Setelah persamaan (L.10) dan (L.11) di subtitusikan ke persamaan (L.9), diperoleh
0
0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0 1
44. 35
0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 0
0 0
Pole yang di kehendaki adalah 1,2,3,4 ;
2 2√3 , 2 2√3 , 10, 10
Dengan dan adalah pasangan closed-loop poles yang dominan. Sedangkan dan
ditempatkan di sebelah kiri dan agar pengaruh dari respon dan kecil.
Persamaan karakteristik yang dikehendaki dari sistem tersebut adalah
2 2√3 2 2√3 10 10
4 16 20 100
24 196 720 1600
Sehingga
24 196 720 1600
dan
45. 36
Lampiran 9. Proses perhitungan/pencarian vektor
Berikut adalah proses perhitungan untuk mencari .
Matriks controllability dari persamaan (3.31) adalah:
2 3 4
M B AB A B A B A B⎡ ⎤= =⎣ ⎦
0 0 0
0 0
0 0 0
0 0
0 0 0
.
Dapat dilihat bahwa det 0, sehingga sistem tersebut merupakan sistem yang
controllable, dan penempatan pole dapat dimungkinkan.
Persamaan karakteristik dari sistem tersebut adalah
| |
1 0 0 0
3 1
4
0 0 0
0 0 1 0
3
4
0 0 0
0 0 1 0
3 1 4
4
3 1
4
0
dengan
0,
3 1
4
, 0, 0
Persamaan karakteristik yang dikehendaki dari sistem tersebut adalah
2 2√3 2 2√3
10 10 10
4 16 30 300 1000
34 436 2680 8800 16000
s 0
dengan
34, 436, 2680, 8800, 16000.
Selanjutnya akan dicari matriks , yaitu:
dengan
di mana
48. 39
Lampiran 10. Sintaks MATLAB yang digunakan untuk mencari vektor K dan simulasi.
Berikut adalah lampiran program dalam bahasa MATLAB yang digunakan dalam simulasi.
Gambar 17. Sintaks matlab untuk pole placement
function K=poleplacement(A,B,J)
% Menentukan vektor umpan balik K dari sistem x_dot=Ax+Bu
% dengan J adalah matriks diagonal yang berisi poles yang diinginkan.
% contoh: J=[complex(-2,2*3^(1/2)) 0 0 0;0 complex(-2,-2*3^(1/2)) 0 0;0 0 -
% 10 0;0 0 0 -10]
n=max(size(A));
M=[B];
for i=1:n-1,
M=[M A^i*B];
end
if rank(M)~=max(size(M))
disp('Pole placement tidak dapat dilakukan karena sistem tersebut tidak
terkontrol')
end
JJ=poly(J);
z = eig(A);
n=max(size(A));
jj= sym([1 zeros(1,n)]);
for j = 1:n
jj(2:j+1) = jj(2:j+1)-z(j)*jj(1:j);
end
i=1;
for j=n:-1:1
W(i,j)=sym(1);
i=i+1;
end
k=n-1;
for j=1:n-1
l=k;
for i=1:k
W(j,i)=jj(l+1);
l=l-1;
end
k=k-1;
end
k=n;
for i=1:n
c(i)=jj(k+1)-JJ(k+1);
k=k-1;
end
T=M*W;
K=-1*c*inv(T);
disp('tambahkan perintah "double(ans)" jika diperlukan.')
50. 41
Lampiran 11. Bukti Teorema Cayley-Hamilton
Berikut adalah bukti dari teorema Cayley-Hamilton
Misalkan A matriks berukuran dan mempunyai persamaan karakteristik sebagai berikut
| | 0.
Teorema Cayley-Hamilton mengatakan bahwa matriks memenuhi persamaan
karakteristiknya sendiri, atau
0.
Bukti:
;
| |
| |
Jika matriks di substitusikan ke pada persamaan di atas, maka 0, sehingga
diperoleh
0.
51. 42
Lampiran 12. Penjabaran
Untuk menurunkan , diasumsikan pangkat tertinggi dari polinomial A adalah m.
Diasumsikan pula akar-akarnya tidak ada yang bernilai sama. Dengan menggunakan interpolasi
Lagrange-Sylvester, dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
1
1
1
…
0 (L.12)
Dengan menyelesaikan persamaan (L.12) untuk , dapat dituliskan sebagai berikut:
(L.13)
dengan (k=0,1,2,…,m-1) diperoleh dengan menyelesaikan sejumlah persamaan berikut:
.
52. 43
Lampiran 13. Interpolasi Lagrange-Sylvester
Didefinisikan polinomial dalam berderajat 1 dengan , , … , berbeda sebagai
berikut:
dengan 1,2, … , . Dapat dilihat bahwa
1, jika
0, jika
Maka, polinomial dengan derajat 1
bernilai dititik . Persamaan di atas sering disebut interpolasi Lagrange. Polinomial
dengan derajat 1 ditentukan oleh data yang berbeda , , … , .
Misalkan matriks dengan ukuran memiliki akar ciri yang berbeda. Dengan
mensubtitusikan terhadap ke dalam polinomial , akan diperoleh
Dapat dilihat bahwa adalah polinomial berderajat 1 dan
1, jika
0, jika
.
Didefinisikan
L. 14
Persamaan (L.14) dinamakan interpolasi Sylvester. Persamaan (L.14) sama dengan
1 1 1
0. (L.15)
Berikut ini akan ditunjukkan bahwa persamaan (L.14) sama dengan persamaan (L.15) (untuk
kasus 4). Misalkan
Δ
1 1 1 1
0.
Δ dapat dijabarkan sebagai berikut:
53. 44
Δ
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
0
Dengan menyelesaikan persamaan diatas terhadap , akan diperoleh
dengan 4.
Persamaan (L.14) dan (L.15) sering digunakan untuk mengevaluasi fungsi seperti
, , dan sebagainya. Persamaan (L.15) dapat pula dituliskan
1
1
1
…
0.
