5

1. Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB III
MATRIKS HERMITIAN
Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian
dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks
Hermitian merupakan kelas dari matriks persegi khusus. Sebelum membahas
matriks Hermitian, ada konsep yang perlu diketahui, yaitu konjuget transpos.
Seperti yang telah dibahas pada bab sebelumnya, jika matriks ( )
berukuran dengan entri-entri bilangan kompleks, konjuget transpos yang
didefinisikan dengan ̅ adalah matriks berukuran dimana entri ke
nya adalah ̅̅̅̅.
Contoh 3.1 : Perhatikan matriks kompleks
( )
Konjuget transpos adalah
̅ ( )
3.1 Matriks Uniter
Definisi 3.1.1 (Anton & Rorres, 2005: 818). Suatu matriks persegi dengan
entri-entri bilangan kompleks disebut uniter jika .

2. 25
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Pernyataan dalam Definisi 3.1.1 ekuivalen dengan matriks disebut matriks
uniter jika . Berikut ini adalah contoh dari matriks uniter:
Contoh 3.1.2: Diberikan matriks
( )
Maka
( )
Akibatnya kita peroleh bahwa
( ) ( )
( )
( )
Sehingga matriks adalah matriks uniter.
Teorema 3.1.3 (Anton & Rorres, 2005: 819). Jika adalah matriks berukuran
dengan entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen
(a) adalah uniter
(b) vektor-vektor baris membentuk sebuah himpunan ortonormal di dengan
hasilkali dalam Euclidean

3. 26
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
(c) vektor-vektor kolom membentuk suatu himpunan ortonormal di dengan
hasilkali dalam Euclidean.
Definisi 3.1.4 (Anton & Rorres, 2005: 820). adalah matriks kompleks
berukuran . dikatakan secara uniter dapat didiagonalisasi jika terdapat
matriks uniter sedemikian sehingga adalah matriks diagonal;
matriks dikatakan secara uniter mendiagonalisasi .
3.2 Matriks Hermitian
Kajian mengenai matriks Hermitian menjadi sangat penting karena matriks
Hermitian memiliki beberapa karakteristik. Salah satu karakteristik yang paling
utama dari matriks Hermitian yaitu memiliki nilai eigen berupa bilangan real
sehingga kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi dari matriks Hermitian.
Definisi 3.2.1 (Anton & Rorres, 2005: 821). Suatu matriks persegi dengan entri-
entri bilangan kompleks disebut matriks Hermitian atau disebut juga self-adjoin
jika .
Contoh: Matriks
( )
adalah matriks Hermitian, sebab
( )

4. 27
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Definisi 3.2.2 (Anton & Rorres, 2005: 821). Matriks persegi dengan entri-entri
bilangan kompleks disebut normal jika
Setiap matriks Hermitian adalah normal karena dan
setiap matriks uniter adalah normal karena .
Teorema 3.2.3 (Anton & Rorres, 2005: 822). Jika matriks persegi dengan entri-
entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen
(a) secara uniter dapat didiagonalisasi.
(b) memiliki sebuah himpunan ortonormal yang terdiri dari vektor eigen.
(c) adalah matriks normal.
Kita perlu memperhatikan bahwa suatu matriks normal dapat
didiagonalisasi secara uniter dimana vektor-vektor kolomnya merupakan vektor
eigen dari dan vektor-vektor eigen yang berbeda dalam ruang eigen adalah
orthogonal.
Adapun prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks normal adalah
sebagai berikut:
Langkah 1. Tentukan basis dari setiap ruang eigen dari matriks .
Langkah 2. Gunakan proses Gram-Schmidt pada setiap basis dalam Langkah 1
untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.

5. 28
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Langkah 3. Bentuk matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis
yang diperoleh dari langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalisasi .
Contoh 3.2.4:
( )
Matriks adalah matriks Hermitian yang terdiagonalkan secara uniter. Perhatikan
bahwa polinomial karakteristik dari matriks adalah
( )
kemudian persamaan karakteristik dari matriks adalah
dan diperoleh nilai-nilai eigen , dan . Kemudian akan dicari vektor
eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan .
Perhatikan bahwa untuk ,
( ) ( ) ( )
Dengan proses eleminasi Gauss-Jordan diperoleh
Misalkan , maka diperoleh

6. 29
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah
( )
jadi, ruang eigen berdimensi 1 dengan basis
( )
Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh
‖ ‖
(
√
√ )
Dengan cara yang sama, dilakukan untuk nilai eigen dan diperoleh basis
( )
Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh
‖ ‖
(
√
√ )
Kemudian bentuk matriks , diperoleh

7. 30
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
(
√ √
√ √ )
Sehingga matriks yang diperoleh adalah matriks yang mendiagonalisasi
matriks .
3.3 Nilai Eigen pada Matriks Hermitian
Definisi 3.3.1 (Horn & Johnson, 1990: 35). Misalkan . Maka sebuah
vektor taknol pada disebut vektor eigen dari jika memenuhi persamaan
berikut
,
dimana adalah skalar real atau kompleks . Skalar disebut nilai eigen dari
dan disebut vektor eigen dari yang bersesuaian dengan nilai eigen .
Perhatikan bahwa
ekuivalen dengan
.
Agar nilai dapat menjadi nilai eigen, maka persamaan diatas harus memiliki
solusi yang taknol, yaitu yang disebut sebagai persamaan
karakteristik matriks .

8. 31
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Teorema 3.3.2 (Horn & Johnson, 1990: 170). Misalkan adalah matriks
Hermitian, maka
(a) adalah bilangan real untuk setiap ,
(b) nilai eigen dari adalah bilangan real
Bukti:
(a) Perhatikan bahwa 〈 〉 〈 〉 〈 〉.
kemudian ̅̅̅̅̅̅̅ 〈 〉
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 〈 〉. Karena ̅̅̅̅̅̅̅, maka
adalah bilangan real.
(b) Misalkan nilai eigen dari adalah dan adalah vektor eigen yang terkait
dengan nilai eigen . Maka . Kemudian perhatikan bahwa
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ̅〈 〉
Karena ̅, maka nilai eigen adalah bilangan real.
3.4 Konsep Urutan pada Matriks Hermitian
Konsep urutan pada matriks Hermitian ini merupakan konsep yang paling
penting dalam mendefinisikan sebuah fungsi monoton operator. Sifat urutan yang
digunakan adalah semidefinit positif atau positif.
Sebelum membahas konsep urutan pada matriks Hermitian, akan dibahas
terlebih dahulu mengenai hasilkali dalam standar pada . Misalkan .
Hasilkali dalam standar dari didefinisikan sebagai
〈 〉

9. 32
Irmatul Hasanah, 2013
Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
〈 〉
dimana adalah adjoin dari yang didefinisikan sebagai ̅ .
Definisi 3.4.1. Misalkan adalah suatu matriks Hermitian. Matriks dikatakan
semidefinit positif atau positif (ditulis ) jika 〈 〉 untuk setiap .
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa jika adalah matriks Hermitian,
maka untuk setiap berlaku 〈 〉 〈 〉. Perhatikan bahwa
〈 〉
〈 〉
Kemudian, akan dibahas mengenai konsep urutan pada matriks Hermitian.
Misalkan dan adalah Matriks Hermitian. Jika artinya adalah
positif atau ditulis dengan , maka berdasarkan Definisi 3.4.1 diperoleh
〈 〉 〈 〉
untuk setiap .