จัดทำโดย นางสาวจารุวรรณ แก้วประเสริฐ นางสาวพศินา ขวัญอ่อน มหาวิทยาลัยรังสิต

1. ทฤษฎีหลักการสร้างภาพ
บทที่ 3

2. จากข้อสังเกตในระยะแรกของการพัฒนาซีที ซึ่งคาดหมายกันว่า การศึกษา
การจำแนกหรือการกระจายของสัมประสิทธิ์การลดลงภายในของผู้ป่วยใน
ระนาบใดระนาบหนึ่ง สามารถทำได้ถ้านำความเข้มของเอกซเรย์ที่วัดได้ใน
ทิศทางต่างๆ ที่มันวิ่งทะลุผ่านระนาบของผู้ป่วยนั่นออกมาไปวิเคราะห์อย่าง
เหมาะสมตามที่กล่าวไปแล้วในบทที่ 1 ทำให้คอร์แม็กและเฮานสฟิลด์ต่างก็
ประสบความสำเร็จในเรื่องนี้น่าสนใจอยู่ตรงที่คอมพิวเตอร์สามารถนำความ
เข้มของเอกซเรย์ไปคำนวณสร้างภาพได้อย่างไร ดังนั้น ในบทนี้จะได้กล่าวถึง
รายละเอียดของทฤษฎีการสร้างภาพ (image reconstruction theory) ของ
ซีที โดยจะหลีกเลี่ยงการนำเสนอความซับซ้อนในเชิงคณิตศาสตร์ แต่จะเน้น
ให้เข้าถึงแนวคิดของทฤษฎีเป็นหลัก

3. 3.1 พจน์พื้นฐานที่เกี่ยวข้อง
การทำความเข้าใจทฤษฎีการสร้างภาพของซีที ในเบื้องต้นจำเป็นต้องมีความเข้าใจพื้นฐานของพจน์ต่างๆที่เกี่ยวข้อง เช่น สัมประสิทธิ์การ
ลดลง เรย์ซัม(ray-sum) โพรไฟล์เป็นต้น
3.1.1 สัมประสิทธิ์การลดลง
รังสีเอกซ์เป็นคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าที่มีความถี่สูง และเป็นรังีที่สามารถทำให้อะตอมของตัวกลางแตกตัว ขณะที่มันเคลื่อนที่ผ่านไปในตัวกลาง
นั้น เมื่อยิงรังสีเอกซ์ที่มีพลังงานอยู่ในช่วงการวินิจฉัยโรคเข้าไปในตัวกลางใดๆ เช่น ร่างกายมนุษย์ เป็นต้น จะเกิดปรากฏการณ์ที่สำคัญ ได้แก่
ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กตริก (photoelectric effect) และปรากฏการณ์คอมพ์ตัน (Compton effect) (รายละเอียดของปรากฏการณ์ทั้ง
สองไม่ขอกล่าวในที่นี้) ทำให้มีการสูญเสียพลังงานไปบางส่วน เมื่อรังสีเอกซ์ทะลุผ่านตัวกลางออกมาแล้วจึงมีความเข้มลดลง

4. สมมติยิงรังสีเอกซ์ซึ่งมีพลังงานค่าเดียวและมีความเข้ม I0 เข้าไปยังตัวกลางที่มีเนื้อเดียวตลอดและมีความหนาเท่ากับ X เมื่อรัง
สีเอกซ์ทะลุผ่านตัวกลางออกมาแล้วความเข้มลดลงเป็น I ดังรูปที่ 3.1 ความสัมพันธ์ระหว่างI0,I และ X จะเป็นไปตามกฎของแล
มเบิร์ด-เบียร์(Lambert-beerlaw) ดังสมการ (3.1)
รูปที่ 3.1 ยิงรังสีเอกซ์ความเข้ม I0 ทะลุผ่านตัวกลาง X ออกมาแล้วมีความเข้มลดลงเป็น I
เมื่อ µ คือ สัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้น(Linear attenuation coeffician) ของรังสีเอกซ์ e คือ ค่าคงตัวยูเลอร์(Euler’s
contant) มีค่าเท่ากับ 2.718 สำหรับเทอม e-µX แสดงถึงการลดลงของความเข้มของรังสีเอกซ์ที่ทะลุผ่านตัวกลางออกมา ซึ่ง
จะเห็นว่าค่าความเข้มของรังสีเอกซ์ที่ทะลุผ่านออกมาขึ้นกับ µ และ X
(3.1)
(3.1)

5. ตารางที่ 3.1 แสดงค่าสัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้นของเนื้อเยื่อต่างๆในร่างกายมนุษย์ที่พลังงานเอกซเรย์เท่ากับ
60keV,84 keV และ 122 keVตามลำดับ

6. พิจารณา µ จะสามารถสรุปได้ว่า เมื่อ
µ มีค่าสูงตัวกลางนั้นจะสามรถดูดกลืนรัง
สีเอกซ์ไว้ได้มากรังสีเอกซ์จึงทะลุผ่านออก
มาได้น้อยและในทางกลับกันเมื่อ µ มีค่า
น้อยตัวกลางนั้นจะสามารถดูดกลืนรังสี
เอกซ์ไว้ได้น้อยรังสีเอกซ์จึงทะลุผ่านออก
มาได้มาก นอกจากนี้พบว่า µ ขึ้นกับชนิด
ของตัวกลางและพลังงานของรังสีเอกซ์
กล่าวคือ ถ้าพลังงานของรังสีเอกซ์คงตัว
µ จะมีค่ามากขึ้นถ้าตัวกลางมีความหนา
แน่นสูงขึ้นหรือเลขอะตอมสูงขึ้น และ
สำหรับตัวกลางชนิดหนึ่ง µ จะมีค่าลดลง
ถ้าพลังงานของรังสีเอกซ์เพิ่มขึ้น(2-4) ดู
ตารางที่ 3.1 ประกอบ
ตามปกติร่างกายของมนุษย์ประกอบด้วยสารหลายชนิด จึงไม่เป็นตัวกลางที่มีเนื้อเดียว
ตลอด ดังนั้นเมื่อยิงรังสีเอกซ์ที่มีความเข้ม I0 ไปยังร่างกายมนุษย์รังสีเอกซ์จะเคลื่อนที่
ผ่านเข้าไปในร่างกายมนุษย์และค่อยๆสูญเสียพลังงาน จนเมื่อทะลุผ่านออกมาแล้วมี
ความเข้มลดลงกลายเป็น I การที่ร่างกายมนุษย์ไม่เป็นตัวกลางที่มีเนื้อเดียวตลอด ทำให้
ต้องปรับปรุงกฎของแลมเบิร์ต-เบียร์ โดยพิจารณาแบ่งซอยร่างกายมนุษย์ออกเป็นแท่งที่
มีขนาดเล็กมาก dx ตามเส้นทางที่รังสีเอกซ์เคลื่อนที่ผ่านเข้าไปในร่างกายมนุษย์ และ
กำหนดโดยอนุโลมให้แต่ละแท่งเป็นตัวกลางที่มีเนื้อเดียวและมีค่าสัมประสิทธิ์การลดลง
เป็น µ แต่ละแท่งซึ่งมีจำนวนมากมายนั้น ไม่จำเป็นต้องมีค่า µ เท่ากัน ขึ้นอยู่กับเส้น
ทางการเคลื่อนที่ของรังสีเอกซ์ผ่านเข้าไปในอวัยวะส่วนใด ดูรูปที่ 3.2 ประกอบเมื่อ
พิจารณาเช่นนี้ กฎของแลมเบิร์ต-เบียร์จะกลายเป็น
รูปที่ 3.2 ยิงรังสีเอกซ์ความเข้ม I0 ทะลุผ่าน
ร่างกายมนุษย์ออกมาแล้วมีความเข้มลดลงเป็น I
(3.2)

7. เมื่อเทอม ∫ µdx คือ อินทิกรัลเชิงเส้น(line integral) ที่รังสีเอกซ์เคลื่อนที่ผ่านเข้าไปในร่างกายของมนุษย์ สมการ (3.2) เป็น
สมการที่มีความสำคัญมาก เพราะใช้ในการคำนวณการแจกแจง(distribution) ของสัมประสิทธิ์การลดลง µ บนระนาบของสไลซ์
ของร่างกายมนุษย์ที่ยิงรังสีเอกซ์ผ่านเข้าไป เมื่อทราบการแจกแจงของสัมประสิทธิ์การลดลงแล้วจะสามารถสร้างเป็นภาพที่มี
ประโยชน์ในการวินิจฉัยต่อไปได้
3.1.2 เรย์ซัม
เนื่องจากสมการ (3.2) เป็นสมการที่มีความสำคัญต่อการคำนวณสร้างภาพ เพื่อความสะดวกจึงเขียนสมการ (3.2) ใหม่ โดยจะ
เขียนให้อยู่ในรูปของลอกอริทึมธรรมชาติ (natural logaithm) ดังนี้
เมื่อ p คือ เรย์ซัมหรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่าเรย์โพรเจกชัน (ray-projection) หมายถึงอินทิกรัลเชิงเส้นตามเส้นทางของรังสี
เอกซ์ที่ยิงผ่านเข้าไปในร่างกายมนุษย์ตามรูปที่ 3.2 เรย์ซัมสะท้อนให้เห็นถึงการดูดกลืนของตัวกลางตามเส้นทางที่รังสีเอกซ์
เคลื่อนที่ผ่านไป ถ้าเรย์ซัมมีค่ามากแสดงว่ามีการดูดกลืนรังสีเอกซ์มาก และในทางกลับกัน ถ้าเรย์ซัมมีค่าน้อยแสดงว่ามีการดูด
กลืนรังสีเอกซ์น้อย ค่าเรย์ซัม(3.3) จะเป็นบวกเสมอ เช่น ถ้าอัตราส่วน I/I0 มีค่าเท่ากับ 0.5 ค่าเรย์ซัมจะเท่ากับ 0.693 เป็นต้น
(3.3)

8. 3.1.3 โพรไฟล์
เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจ จะพิจารณาการแสวงหาข้อมูลของซีทีรุ่นหนึ่ง ซึ่งมีการเคลื่อนที่แบบเลื่อน
ที่และหมุนผสมกัน หลอดเอกซเรย์จะปล่อยรังสีเอกซ์ลำแคบออกมาแล้วเคลื่อนที่แบบเลื่อนที่ตัดผ่านไปในระนาบ
ที่ต้องการสร้างภาพ
รูปที่ 3.3 การสแกนของซีทีรุ่นที่หนึ่งเพื่อให้เห็นโพรไฟล์ที่ได้จากการเคลื่อนที่
แบบเลื่อนที่ 1 ครั้ง

9. ตาราง 3.2 ค่าเรย์ซัมและโพรไฟล์ที่เฮานสฟิลด์ใช้สำหรับการสแกน 1 สไลซ์
หัวข้อเอกซเรย์อ่านค่าความเข้มของรังสีเอกซ์แล้ว ถูกเปลี่ยนให้เป็นเรย์ซัม เมื่อนำค่าเรย์ซัมที่ได้มาพิจารณาเทียบกับระยะทางที่
หลอดเอกซเรย์และหัววัดเอกซเรย์เคลื่อนที่แบบเลื่อนที่ไป จะได้ความสัมพันธ์ทีมีลักษณะตามรูปที่ 3.3 เซท (set) ของเรย์ซัมที่นำ
มาเรียงกันดังนี้เรียกว่า โพรไฟล์หรือโพรเจกชัน เครื่องซีทีที่เฮานสฟิลด์สร้างขึ้นครั้งแรกนั้น จะกำหนดให้ 1 สไลซ์จะใช้จำนวน
โพรไฟล์อย่างน้อย 180 โพรไฟล์ ดูตาราง 3.2 ประกอบ

10. 3.1.4 ขั้นตอนวิธีหรือแอลกอริทึม (Algorithm)
คำว่า แอลกอริทึม ในปัจจุบันเป็นคำที่แพร่หลากหลายมากในทางรังสีวิทยา เนื่องจากมีการนำคอมพิวเตอร์มาใช้ทั้งใน
กระบวนการการสร้างภาพเพื่อวินิจฉัยโรคและกระบวนการในการรักษาโรคด้วยรังสี แอลกอริทึมหมายถึง ขั้นตอนวิธีดำเนินการ
โดยคอมพิวเตอร์ซึ่งประกอบด้วยข้อกำหนดตามกฎเกณฑ์เป็นชุดที่สามารถนำข้อมูลที่มีลักษณะเฉพาะตัวมาทำให้ได้สิ่งที่ต้องการ
ตามข้อกำหนด ในซีทีมีการใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อคำนวณปัญหาทางคณิตศาสตร์เพื่อให้ได้คำตอบ โปรแกรมคอมพิวเตอร์
เหล่านั้นจำเป็นต้องประกอบด้วยขั้นตอนวิธีการคำนวณสร้างภาพหรือแอลกอริทึมการคำนวณสร้างภาพ
3.1.5 การแปลงฟูเรียร์ (Fourier Transform)
รูปที่ 3.4 รูปภาพฟูเรียร์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

11. การแปลงฟูเรียร์เป็นวิธีทางคณิตศาสตร์ ซึ่งฟูเรียร์นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสเป็นผู้คิดค้นขึ้นตั้งแต่ ค.ศ.1807 ปัจจุบัน
ได้มีการนำการแปลงฟูเรียร์มาใช้กันอย่างแพร่หลายทั้ง ในด้านวิทยาศาสตร์และด้านวิศวกรรมศาสตร์ สำหรับทางด้าน
การแพทย์ ได้มีกระบวนการแพทย์ได้มีการนำการแปลงฟูเรียร์มาใช้ในการคำนวณสร้างภาพอวัยวะภายในร่างกายผู้ป่วย
ในเครื่องซีทีและเครื่องเอ็มอาร์ไอ เป็นต้น
การแปลงฟูเรียร์คือ ฟังก์ชัน(function) ทางคณิตศาสตร์ที่สามารถแปลงสัญญาณที่อยู่ในเมนเชิงระยะ (spatial
domain) ให้กลายเป็นสัญญาณที่อยู่ในโดเมนเชิงความถี่(frequency domain) ในธรรมชาติมีการแปลงฟูเรยร์เกิดขึ้น
ได้เช่น การรับฟังเสียงของหู เป็นต้น กล่าวคือเมื่อเสียงเคลื่อนที่เข้ามาที่หู หูจะทำหน้าที่แยกเสียงนั้นออกเป็นความถี่
และความเข้มต่างๆทำให้ประสาทหูสามารถรับรู้เสียงจากต้นกำเนิดได้ แสดงว่ามีการแปลงฟูเรียร์เกิดขึ้นในหู

12. 3.1.6 การประมาณค่าในช่วง
การประมาณค่าในช่วงคือ เทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการประมาณค่าของฟังก์ชันจากค่าที่อยู่ใกล้เคียงกับค่าที่ต้องการทราบ
พิจารณารูปที่ 3.5 ซึ่งเป็นกราฟเส้นตรงที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร 2 ตัวคือ x และ y ค่าที่ทราบคือ (x1,y1),(x2,y2),… ซึ่ง
เป็นค่าที่มีการเว้นช่วงไม่ต่อเนื่อง สมมติเมื่อต้องการทราบค่า y ในขณที่แกน x มีค่าเป็น x โดยที่ค่า y อยู่ระหว่างจุดที่ทราบค่าคือ
(x1,y1),(x2,y2) จะสามารถคำนวณค่า y ได้จากสมการ(3.4)
รูปที่ 3.5 เส้นกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่าง
ตัวแปร x และ y เพื่อแสดงตัวอย่างหนึ่งของการ
ประมาณค่าในช่วง
(3.4)

13. ในขั้นตอนวิธีการคำนวณสร้างภาพของซีที มีการใช้การประมาณค่าในช่วงเพื่อหาข้อมูลที่ต้องการมราบค่า ซึ่งจะมีราย
ละเอียดแตกต่างออกไป โดยเฉพาะสำหรับสไปรอลซีทีและมัลติสไลซ์ซีทีนั้นใช้การประมาณค่าในช่วงที่มีความซับซ้อนมาก
ขึ้นตามที่ได้กล่าวไปแล้วในบทที่2
3.2 แบ็กโพรเจกชัน (Back-Projection)
การคำนวณสร้างภาพมีหลายวิธี ขั้นตอนวิธีการคำนวณสร้างภาพอันดับแรกที่จะกล่าวถึงเรียกว่า แบ็กโพรเจกชัน ซึ่งเป็น
วิธีที่ง่ายที่สุด ความยุ่งยากในทางคณิตศาสตร์มีน้อย คูห์ล (Kuhl) และเอดเวิร์ลดส์ (Edwards) นำวิธีนี้ไปใช้ในการสร้างภาพ
ของระนาบในตัวผู้ป่วยได้สำเร็จ
เพื่อความสะดวกในการทำความเข้าใจ จะได้พิจารณาจากหลักการแสวงหาข้อมูลของซีทีรุ่นที่หนึ่ง ซึ่งการแสวงหาข้อมูล
จะประกอบไปด้วยการเคลื่อนที่แบบเลื่อนที่และการเคลื่อที่แบบหมุน ตามรูปที่ 3.6 แสดงให้เห็นว่าการเก็บข้อมูลความเข้ม
ของรังสีเอกซ์ใน 2 ทิศทางหรือเก็บข้อมูลที่เป็นโพรไฟล์ได้ 2 โพรไฟล์ (โพรเจกชัน) คือ โพรไฟล์ 1 และโพรไฟล์ 2 ข้อมูลนี้ได้
จากการยิงรังสีเอกซ์ทะลุผ่านชิ้นวัตถุบางๆ (สไลซ์) และสมมติว่าวงกลมเล็กสีเข้มเป็นบริเวณที่มีค่าสัมประสิทธิ์การลดลง (µ)
สูง ดังนั้นในแต่ละโพรไฟล์ที่ได้ตำแหน่งที่สอดคล้องกับวงกลมเล็กสีเข้มจะมีค่าเรย์ซัมสูงและมีค่าเป็นบวก

14. รูปที่ 3.6 โพรไฟล์ที่ได้จากการสแกน 2 ทิศทาง
ในการคำนวณสร้างภาพตามวิธีแบ็กโพรเจกชัน สามารถแสดงให้เห็นหลักการได้ตามรูปที่ 3.7 กล่าวคือ ค่าเรย์ซัมจากโพร
ไฟล์ 1 และโพรไฟล์ 2 จะถูกนำมารวมกันบนระนาบของภาพที่เตรียมไว้ บริเวณที่สอดคล้องกับวงกลมเล็กสีเข้มจะได้ค่าผล
รวมของเรย์ซัมสูงมาก (ตามรูปที่ 3.7 คือตำแหน่งA) ในทางตรงกันข้ามบริเวณที่อยู่นอกวงกลมเล็กสีเข้มจะได้ค่าของผลรวม
ของเรย์ซัมต่ำซึ่งเมื่อมองภาพโดยรวมจะเห็นความสอดคล้องกันระหว่างภาพที่สร้าง (รูปที่3.7) กับวัตถุ (รูปที่3.6)

15. เพื่อให้เกิดความเข้าใจมากยิ่งขึ้น สามารถพิจารณาการคำนวณสร้างภาพแบบแบ็กโพรเจกชันได้ตามรูปที่ 3.8 โดยสมมติว่า มีวัตถุที่
เป็นชิ้นบางๆประกอบด้วยเซลล์เล็กๆจำนวน 4 เซลล์ภายในแต่ละเซลล์มีค่า -1,5,9,และ0 ตามลำดับ สมมติว่าค่าเหล่านี้
แปรผันโดยตรงกับค่าสัมประสิทธิ์การลดลงของวัตถุ เมื่อสแกนในทิศทางต่างๆจะไข้อมูลเรย์ซัมเท่ากับ -1,8,5,14,4 และ 9 ตามลำดับ
ซึ่งข้อมูลเรย์ซัมเหล่านี้สามารถวัดได้ แต่ค่าภายในแต่ละเซลล์ไม่สามารถวัดได้ต้องใช้วิธีการคำนวณ
รูปที่ 3.7 การเกิดภาพตามวิธีแบ็กโพรเจกชัน รูปที่ 3.8 ขั้นตอนการำนวณสร้างภาพตามวิธีแบ็กโพร
เจกชัน

16. ตามรูปที่ 3.8 แบ่งการคำนวณออกเป็น 5 ขั้น มีรายละเอียดดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1 กำหนดให้ระนาบของภาพที่ต้องการสร้างประกอบด้วยเซลล์เล็กๆ 4 เซลล์เท่ากับวัตถุ กำหนดให้แต่ละเซลล์มีค่าเริ่มต้นเท่ากับ
0 จากนั้นนำค่าเรย์ซัมที่วัดได้ในแนวตั้งรวมเข้าไปในแต่ละเซลล์ให้สอดคล้อง
ขั้นที่ 2 นำค่าเรย์ซัมที่วัดได้ในแนวทแยงมุมทั้งสองแนวไปรวมกับค่าที่ได้ในแต่ละเซลล์จากขั้นที่1 โดยให้สอดคล้องตามแนวทแยงมุม
ด้วย
ขั้นที่ 3 นำค่าเรย์ซัมที่วัดได้ในแนวราบทั้งหมด ไปรวมกับค่าที่ได้แต่ละเซลล์จากขั้นที่ 2 โดยให้สอดคล้องตามแนวราบของแต่ละแถว
ขั้นที่ 4 ค่าที่ได้ในแต่ละเซลล์จากขั้นที่ 3 นำมาลบด้วย k โดยที่ k มีค่าเป็นไปตามสมการ(3.5)
เมื่อ ∑ p คือ ผลรวมของค่าเรย์ซัมที่วัดได้ทั้งหมดทุกทิศทาง(ซึ่งกรณีนี้มีค่าเท่ากับ -1+8+5+14+4+9 = 39) n คือจำนวนทิศทางที่มี
การสแกนเก็บข้อมูลเรย์ซัมหรือหมายถึงจำนวนโพรไฟล์ทั้งหมด(ซึ่งกรณีนี้มีค่าเท่ากับ 3 โพรไฟล์) ดังนั้น k จึงมีค่าตามสมการ (3.5)
เท่ากับ 1.3
ขั้นที่ 5 ค่าที่ได้ในแต่ละเซลล์จากขั้นที่ 4 จะถูกหารด้วยตัวเลขที่ทำให้ค่าในแต่ละเซลล์ลดลงอย่างเหมาะสม ซึ่งในที่นี้ตัวเลขที่นำไปหาร
คือ 2
(3.5)

17. หลังจากการคำนวณในขั้นที่ 5 เสร็จแล้ว จะได้ค่าภายในแต่ละเซลล์สอดคล้องหรือตรงกับวัตถุ หมายความว่าเมื่อแปลงเป็นภาพ
จะได้ภาพที่เหมือนวัตถุนั่นเอง ที่กล่าวมานี้คือขั้นตอนวิธีของการคำนวณสร้างภาพแบบแบ็กโพรเจกชัน อย่างไรก็ตามการคำนวณ
สร้างภาพแบบแบ็กโพรเจกชันมีข้อเสียที่สำคัญคือ อาร์ติแฟ็คต์แบบดาว (star artifact) กล่าวคือ เนื่องจากการคำนวณตามวิธีนี้ได้
นำค่าเรย์ซัมที่วัดได้ย้อนกลับมารวมกันตามเส้นทางที่รังสีเอกซ์เคลื่อนที่ผ่านไปในวัตถุ หรือตัวผู้ป่วยดังนั้นตำแหน่งที่อยุ่นอก
บริเวณที่มีค่าความหนาแน่นสูง ก็จะปรากฏให้เห็นบนภาพว่ามีความหนาแน่นสูงไปด้วย เช่นตามรูปที่ 3.7 บริเวณที่มีความหนา
แน่นต่ำ คือตำแหน่งที่อยู่นอกบริเวณจุด A จะปรากฏว่ามีค่าความหนาแน่สูงด้วย เหตุนี้ทำให้ขอบภาพของวัตถุไม่คมชัดมีลักษณะ
คล้ายแฉกดาวกระจายออกไป

18. 3.3 การสร้างภาพแบบอินเทอเรชัน
การคำนวณสร้างภาพแบบที่สองที่จะกล่าวคือ การสร้างภาพแบบอินเทอเรชัน ในอดีตนักคณิตศาสตร์ได้นำเทคนิคอินเทอเรชัน
ไปใช้ในการแก้สมการเมทริกซ์ (matrix equation) ในทางการแพทย์เฮานสฟิลด์ได้นำวิธีนี้ไปคำนวณสร้างภาพตัดขวางชิ้นบางๆ
ของร่างกายผู่ป่วย
เทคนิคของอินเทอเรชันมีหลายแบบ ได้แก่ ไอแอลเอสที (ILST: Iterative Least-Squares Technique) เออาร์ที (ART:
Algebraic Reconstruction Technique) และเอสไออาร์ที (SIRT: Simulteneous Iterative Reconstruction Technique)
เฮานสฟิลด์เลือกใช้วิธีเออาร์ที

19. สมมติว่า มีวัตถุที่เป็นชิ้นบางๆประกอบด้วยเซลล์เล็กๆจำนวน 4 เซลล์ ภายในแต่ละเซลล์มีค่า -1,5,9 และ 0 ตามลำดับเหมือนกับที่
ได้กำหนดมาแลวในการคำนวณสร้างภาพแบบแบ็กโพรเจกชัน เมื่อสแกนในทิศทางต่างๆจะได้ข้อมูลเรย์ซัมเท่ากับ -1,8,5,14,4 และ 9
ตามลำดับ เทคนิคของอินเทอเรชันแบบเออาร์ทีซึ่งเฮานสฟิลด์ใช้ในการคำนวณสร้างภาพมีหลักการดังต่อไปนี้
ขั้นที่ 1 กำหนดภาพให้มีจำนวนเซลล์สอดคล้องกับวัตถุดังรูปที่ 3.9 และเริ่มด้วยการสมมติให้แต่ละเซลล์มีค่าเป็น a=0,b=0,c=0,d=0
จากนั้นคำนวณค่าเรย์ซัมในแนวดิ่งซึ่งจะได้ 0,0
ขั้นที่ 2 นำค่าเรย์ซัมที่วัดได้ 8,5 ไปเปรียบเทียบกับค่าที่คำนวณได้ กรณีนี้จะได้ +8,+5 เครื่องหมายบวกแสดงว่าค่าที่วัดได้มากกว่า
ค่าที่คำนวณได้แล้วหาค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกัน นำค่าเฉลี่ยไปรวมกับค่าเดิมในคอลัมน์แรกและคอลัมน์สอง สุดท้ายคำนวณค่าเรย์ซัมใน
แนวราบจะได้ค่า 6.5,6.5 ตามลำดับ
ขั้นที่ 3 นำค่าเรย์ซัมที่วัดได้ในแนวราบ 4,9 ไปเปรียบเทียบกับค่าที่คำนวณได้ในแนวราบ 6.5,6.5 แล้วหาค่าเฉลี่ยที่แตกต่างกัน นำค่า
เฉลี่ยไปรวมกับค่าเดิมในแถวแรกและแถวที่สอง สุดท้ายของขั้นตอนนี้คือคำนวณค่าเรย์ซัมในแนวทแยงมุมจะได้ 6.5,6.5
ขั้นที่ 4 นำค่าเรย์ซัมที่วัดได้ในแนวทแยงมุม -1,14 ไปเปรียบเทียบกับค่าคำนวณได้ในแนวทแยงมุม 6.5,6.5 แล้วหาค่าเฉลี่ยที่แตกต่าง
กัน นำค่าเฉลี่ยไปรวมกับค่าเดิมในแนวทแยง ซึ่งจะได้ค่าในแต่ละเซลล์ตรงกับค่าในแต่ละเซลล์ของวัตถุ
เมื่อการคำนวณทั้ง 4 ขั้นจบลงเรียกว่า อินเทอเรชันครั้งที่ 1 จบลงอย่างสมบูรณ์และจะเห็นได้ว่าค่าในแต่ละเซลล์ตรงกับค่าในแต่ละ
เซลล์ของวัตถุการคำนวณจะหยุดแค่นี้

20. รูป 3.9 การคำนวณสร้างภาพแบบอินเทเรชันชนิดเออาร์ที
ปัจจุบันการคำนวณสร้างภาพอินเทเรชันเลิกใช้ในซีทีที่มีจำหน่ายโดยทั่วไป เพราะเวลาที่ใช้การคำนวณสร้าง
ภาพนานมาก เนื่องจากการคำนวณสร้างภาพจะเริ่มต้นเมื่อได้มีการสแกนเก็บข้อมูลครบถ้วนแล้ว

21. 3.4 การสร้างภาพแบบแอ็นนาลิซิส (Analytic Reconstruction)
การสร้างภาพแบบแอ็นนาลิซิสเกิดขึ้นเพราะความพยายามในการแก้ปัญหาที่เกิดจากการคำนวณสร้างภาพในสองวิธีแรก
ที่ได้กล่าวไปแล้วตามปกติการคำนวณสร้างภาพมีวัตถุประสงค์เพื่อคำนวณหาค่าการกระจายสัมประสิทธิ์การลดลงของ
ตัวกลางหรือวัตถุที่ต้องการจะสร้างภาพ ภาพที่ปรากฏขึ้นจะแสดงความแตกต่างของค่าสัมประสิทธิ์การลดลงที่ใกล้เคียงกัน
สำหรับการสร้างภาพแบบแอ็นนาลิซิสที่ใช้ในซีทีมี 2 วิธีคือ การสร้างภาพแบบฟูเรียน์ (Fourier reconstruction) และฟิล
เตอร์แบ็กโพรเจกชัน (Filtered Back-Projection) ซึ่งจะได้กล่าวรายละเอียดของแต่ละวิธีดังต่อไปนี้
3.4.1 การสร้างภาพแบบฟูเรียร์
การคำนวณสร้างภาพด้วยวิธีนี้มีพื้นฐานมาจากคิดค้นของบราซเวลล์ ซึ่งเขาได้นำไปใช้ในการสร้างภาพทางด้าน
ดาราศาสตร์ หัวใจสำคัญของวิธีการนี้อยู่ที่การแปลงฟูเรียร์ ซึ่งเป็นวิธีทางคณิตศาสตร์ที่สามารถแปลงสัญญาณในโดเมนเชิง
ระยะให้กลายเป็นสัญญาณในโดเมนเชิงความถี่

22. รูปที่ 3.10 แผนภาพบล็อกแสดงขั้นตอนการคำนวณสร้างภาพแบบฟูเรียร์
จากรูปที่ 3.10 วัตถุอยู่ในโดเมนเชิงระยะ เมื่อทำการสแกนวัตถุจะได้ข้อมูลความเข้มของเอกซเรย์หรือโพรไพล์จำนวนมากพอสำหรับ
การคำนวณสร้างภาพ การคำนวณสร้างภาพแบบฟูเรียร์ จะเริ่มต้นจากการนำข้อมูลโพรไฟล์ ซึ่งเป็นข้อมูลในโดเมนเชิงระยะมาทำการ
แปลงฟูเรียร์ การแปลงฟูเรียร์ในขั้นนี้ใช้วิธีการที่เรียกว่า เอฟเอฟที (FFT: Fast Fourier Transform) ทำให้ข้อมูลถูกแปลงไปเป็นข้อมูล
ในโดเมนเชิงความถี่ขั้นต่อไปจึงนำข้อมูลที่อยู่ในโดเมนเชิงความถี่มาทำการประมาณค่าในช่วง ทำให้ได้ข้อมูลในโดเมนเชิงความถี่ที่จัด
เรียงไว้เป็นตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าเพื่อความรวดเร็วในการคำนวณการทำเอฟเอฟทีต้องการตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีขนาด 2n เมื่อ n คือ
เลขจำนวนเต็ม เช่นถ้า n=9 จะได้ตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีขนาด 512 เป็นต้น ต่อจากนั้นจึงทำการแปลงฟูเรียร์ผกผัน (inverse Fourier
transform) จะทำให้ได้ภาพที่ต้องการซึ่งอยู่ในโดเมนเชิงระยะ

23. การคำนวณตามวิธีนี้ไม่จำเป็นต้องปรับปรุงข้อมูลโพรไฟล์ด้วยการใส่ตัวกรองเชิงคณิตศาสตร์เข้าไป เพราะการทำการประมาณค่าใน
ช่วงให้ผลเหมือนกับการกรองเชิงคณิตศาสตร์
3.4.2 การสร้างภาพแบบฟิลเตอร์แบ็กโพรเจกชัน
การสร้างภาพแบบฟิลเตอร์แบ็กโพรเจกชัน คล้ายกับการสร้างภาพแบบแบ็กโพรเจกชัน แต่การสร้างภาพแบบฟิลเตอร์แบ็กโพรเจ
กชัน จะทำการกรองข้อมูลโพรไฟล์ด้วยวิธีการทางคณิตศาสตร์ก่อนดำเนินการทำแบ็กโพรเจกชัน ผลลัพธ์ทำให้สามารถแก้ปัญหาเกี่ยว
กับความไม่คมชัดของภาพที่เกิดขึ้นในการสร้างภาพแบบแบ็กโพรเจกชัน
รูปที่ 3.11 โพรไฟล์ที่ผ่านการรองเชิงคณิตศาสตร์

24. เมื่อข้อมูลโพรไฟล์ถูกเก็บบันทึกแล้ว ข้อมูลนั้นจะถูกกรองเชิงคณิตศาสตร์ ทำให้ข้อมูลโพรไฟล์เปลี่ยนไปมีลักษณะดังรูปที่ 3.11 ถ้า
เปรียบเทียบกับข้อมูลโพลไฟล์ที่ไม่ได้ถูกกรองเชิงคณิตศาสตร์ตามรูปที่ 3.6 จะพบความแตกต่างที่ชัดเจนคือ ข้อมูลโพรไฟล์ที่ถูกกรองเชิง
คณิตศาสตร์มีทั้งค่าบวกและค่าลบ ขณะที่ข้อมูลโพรไฟล์ที่ไม่ได้ถูกกรองเชิงคณิตศาสตร์มีเฉพาะค่าบวกท่านั้น การกรองเชิงคณิตศาสตร์มี
หลายวิธี เช่น การกรองแบบฟูเรียร์ (Fourier filtering) การกรองแบบราดอน (Radon filtering) การกรองแบบคอนโวลูชัน
(Convolution filtering) หรือเคอร์เนล (Kernel) เป็นต้น
หลังจากข้อมูลโพรไฟล์ถูกกรองเชิงคณิตศาสตร์หรือแบบคอนโวลูชันแล้ว การสร้างภาพแบบแบ็กโพรเจกชันจะเกิดขึ้น โดยการนำเรย์ซัม
ที่เหมาะสมมารวมกันตรงตำแหน่งที่ต้องการคำนวณ
รูปที่ 3.12 โพรไฟล์ 1 มีส่วนทำให้เซลล์ที่อยู่นอกวัตถุที่ตำแหน่ง X
แสดงค่าสูง แต่โพรไฟล์ 2 และ 3 จะมีส่วนในการทำให้ค่าลดลง

25. ค่าความหนาแน่นตามที่กล่าวไปแล้วในหัวข้อ 3.2 แต่ครั้งนี้ภาพขอบของวัตถุจะมีความคมชัดมากขึ้น ดูรูปที่ 3.12 ประกอบ
จะเห็นว่าในการคำนวณค่าความหนาแน่นตรง X ซึ่งอยู่นอกวัตถุ และเป็นตำแน่งที่ไม่ควรจะมีค่าความหนาแน่นเลย การ
คำนวณค่าจะนำเรย์ซัม p1,p2,p3 มารวมกัน เนื่องจาก p1 มีค่าเป็นบวกแต่ p2,p3 มีค่าเป็นลบ ดังนั้นเมื่อรวมกันแล้วจึง
ทำให้ค่าความหนาแน่นของตำแหน่ง X ต่ำมากจึงทำให้ภาพขอบของวัตถุมีความคมชัดขึ้น ไม่เกิดอาร์ติแฟ็คต์แบบดาวเหมือน
การคำนวณสร้างภาพตามวิธีแบ็กโพรเจกชัน
ซีทีส่วนมากนิยมใช้การกรองแบบคอนโวลูชันซึ่งมีให้เลือกใช้จนเกินพอถึง 20 ชนิด เช่น การกรองแบบคอนโวลูชันชนิด
ความถี่สูง (High-frequency convolution filtering) จะปิดกั้นสัญญาณความถี่สูง ซึ่งมีลทำให้ได้ภาพที่มีความนุ่มนวลและมี
คอนทราสต์ที่ดีขึ้น ในทางกลับกันถ้าเป็นการกรองแบบคอนโวลูชันชนิดความถี่ต่ำ (Low-frequency convolution filtering)
จะปิดกั้นสัญญาณความถี่ต่ำ ซึ่งมีผลทำให้ได้ภาพที่แสดงขอบของวัตถุชัดมากขึ้น

26. 3.5 ภาพซีที
ในหัวข้อ 3.2-3.4 ได้กล่าวถึงรายละเอียดของวิธีการคำนวณสร้างภาพ โดยสรุปแล้วคือการคำนวณหาค่าการกระจายของค่า
สัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้นในระนาบที่สนใจนั่นเอง จากรูป 3.13 ได้แสดงขั้นตอนที่สำคัญในกระบวนการสร้างภาพซีที เริ่มต้น
ด้วยการแสวงหาข้อมูล ตามด้วยขั้นตอนวิธีการคำนวณการสร้างภาพ ซึ่งจะประกอบด้วยขั้นตอนของการเปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์
การลดลงเชิงเส้นให้เป็นเลขซีที (CT number) ด้วย ดังนั้นในหัวข้อนี้จะได้กล่าวถึงรายละเอียดสำคัญที่เกี่ยวข้องกับภาพซีที เช่น
เลขซีที พิกซึล (pixel) ว็อกซึล ขนาดเมทริกซ์ (matrix size) เป็นต้น
รูปที่ 3.13 แสดงขั้นตอนสำคัญของกระบวนการสร้างภาพซีที

27. 3.5.1 เลขซีที
ภาพซีทีเป็นภาพที่มีลักษณะเฉพาะต่างจากภาพเอกซเรย์ทั่วไป เพราะภาพซีทีเป็นภาพที่แสดงการกระจายของสัมประสิทธิ์
การลดลงเชิงเส้นในระนาบหนึ่งของตัวผู้ป่วยที่เราสนใจ เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้นของเนื้อเยื่อต่างๆในร่างกาย
ผู้ป่วยมีค่าใกล้เคียงกันดังตัวอย่างที่แสดงในตาราง 3.1 ก่อนการแสดงภาพซีที จึงเปลี่ยนสัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้นให้เป็น
เลขซีทีเพื่อให้เห็นความแตกต่างมากขึ้น โดยนิยามเลขซีทีตามสมการ (3.6)
เมื่อ HN คือ เลขซีทีหรือเลขเฮานสฟิลด์ (Hounsfield number) µ คือ สัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้นของตัวกลางใดๆ µw
คือ สัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้นของน้ำ k คือ แฟคเตอร์สเกล (factor scale) จากสมการ 3.6 จะเห็นว่าเลขซีทีของน้ำมีค่า
เท่ากับศูนย์ หมายความว่าการเปลี่ยนค่าสัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้นของตัวกลางใดๆให้เป็นเลขซีทีจะใช้น้ำเป็นบรรทัดฐาน
ตัวกลางใดที่มีความหนาแน่นมากกว่าน้ำจะมีเลขซีทีเป็นบวกหรือมากกว่าศูนย์ ในทางตรงข้ามตัวกลางใดที่ความหนาแน่น
น้อยกว่าน้ำจะมีเลขซีทีเป็นลบหรือน้อยกว่าศูนย์ ดูตาราง 3.2 ประกอบ
(3.6)

28. เมื่อพิจารณาเลขซีทีในเฮานสฟิลด์สเกล (Hounsfiled scale) จะมีค่าในช่วงตั้งแต่ -1000 ถึง +1000 แต่มีซีทีบางรุ่นที่
ใช้เลขซีทีในช่วง -2000 ถึง +6000 จากตาราง 3.2 กระดูกมีค่าเลขซีทีใน
ตาราง 3.2 ตัวอย่างเลขซีทีของเนื้อเยื่อต่างๆในร่างกายมนุษย์

29. เฮานสฟิลด์สเกลสูงที่สุดเท่ากับ +1000 ในขณะที่อากาศมีค่าต่ำเท่ากับ -1000 และน้ำมีเลขซีทีอยู่ตรงกลางเท่ากับ 0 ถ้าพิจารณา
สัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้นของเกรย์แมตเตอร์เปรียบเทียบกับสัมประสิทธิ์การลดลงเชิงเส้นของเลือดจะมีค่าใกล้เคียงกันมากขึ้น แต่เมื่อ
เป็นเลขซีทีแล้วจะมีค่าต่างกันคือ 43 และ 40 ตามลำดับ ซึ่งเห็นความแตกต่างได้ชัดเจนขึ้น
3.5.2 พิกซึล ว็อกซึล ขนาดเทริกซ์และเอฟโอวี (FOV)
พิกซึล การสร้างภาพด้วยการคำนวณค่าเลขซีทีของตัวกลางในระนาบที่สนใจ กระทำโดยการนำเลขซีทีมาเรียงกันตามตำแหน่งที่เหมาะ
สม ภาพซีทีที่สร้างขึ้นจึงประกอบด้วยเซลล์เล็กๆและเป็นภาพดิจิทัล ดังรูป 3.14 เซลล์เล็กๆเหล่านั้นมีลักษณะบนระนาบ 2 มิติเป็น
สี่เหลี่ยมจัตุรัสจำนวนมากเรียงเป็นระเบียบทั้งในแนวนอนและแนวตั้ง และภายในเซลล์เล็กๆเหล่านั้นจะบรรจุค่าเลขซีทีซึ่งสามารถแสดง
ภาพเป็นเลขซีทีดังรูปที่ 3.15 และเมื่อเปลี่ยนค่าเลขซีทีให้เป็นความดำความขาวก็จะปรากฏเป็นภาพเหมือนภาพเอกซเรย์ทั่วไป โดยทั่วไป
บริเวณที่มีเลขซีทีสูงมากที่สุดจะแสดงความขาวมากที่สุด ในทางกลับกันบริเวณที่มีเลขซีทีต่ำที่สุดจะแสดงความดำมากที่สุด ดูตาราง 3.2
ประกอบ เมื่อมองลงไปตามแนวตั้งฉากกับระนาบของภาพซีที เซลล์เล็กๆแต่ละเซลล์ที่เห็นเรียกว่า พิกซึล (pixel มาจาก picture
element)

30. ขนาดเมทริกซ์ หมายถึงจำนวนพิกซึลทั้งหมดบนภาพซีที นิยามที่แสดงเป็นตัวเลขคูณกันเช่น 64×64, 128×128, 256×256,
512×512, 1024×1024, 2048×2048 เป็นต้น เมื่อกล่าวว่าภาพซีทีมีขนาดเมทริกซ์เท่ากับ 64×64 หรือ 642 หมายความว่า ภาพซี
ทีประกอบด้วยจำนวนพิกซึลในแนวนอนมีค่าเท่ากับ 64 และจำนวนพิกซึลทั้งหมดจึงมีค่าเท่ากับ 64×64 ถ้าภาพซีทีมีขนาดเมทริกซ์
มากจำนวนพิกซึลก็จะมากทำให้ภาพมีความละเอียดมากและใช้เวลาในการคำนวณสร้างภาพนาน แต่ถ้าภาพซีทีมีขนาดเมทริกซ์
น้อยจำนวนพิกซึลก็จะน้อยทำใหดภาพมีความละเอียดน้อยและใช้เวลาในการคำนวณสร้างภาพไม่นาน ปัจจุบันสามารถแสดงภาพซี
ทีให้มีความละเอียดสูงมากถึง 2048×2048 หรือ 20482
รูปที่ 3.14 ชิ้นภาพขนาดเล็กหรือพิกซึลจำนวนมากเรียงเป็นระเบียบทั้งแนวนอนและ
แนวตั้ง และแสดงว็อกซึลที่ได้รวมความหนาของชิ้นภาพด้วย
รูปที่ 3.15 ภาพซีทีหลังจากการคำนวณสร้างภาพ กรณีนี้แสดงตัวเลขค่าซีที

31. เอฟโอวี (FOV: field of view) หมายถึง บริเวณของวัตถุที่รังสีเอกซ์เคลื่อนที่ทะลุผ่านเพื่อเก็บบันทึกข้อมูลโพรไฟล์นำ
ไปคำนวณสร้างภาพ หรือกล่าวโดยย่อคือวงกลมของการสร้างภาพที่พิจารณาบนวัตถุ ในการพิจารณาเอฟโอวีจะ
พิจารณาจากขนาดเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมการสร้างภาพ ดังนั้นเอฟโอวีจึงมีหน่วยเป็น cm เอฟโอวี ขนาดเม
ทริกซ์และขนาดของพิกซึลมีความสัมพันธ์กันตามสมการ (3.7)
(3.7)
เมื่อ d คือขนาดองพิกซึล และ MS คือขนาดเมทริกซ์ ถ้าในการสแกนเลือกใช้ขนาดเมทริกซ์เท่ากับ 512 และเอฟโอวี
เท่ากับ 25 cm จะสามารถคำนวรค่าพิกซึลตามสมการ (3.7) ได้เท่ากับ 0.49 mm เป็นต้น การสแกนจำเป็นต้องกำหนด
เอฟโอวีและขนาดเมทริกซ์ซึ่งจะมีผลต่อความละเอียดของภาพซีที ถ้าเลือกให้ขนาดเมทริกซ์มีค่าคงตัว เมื่อปรับให้เอฟโอวีมี
ค่าสูงขึ้นหรือมีขนาดใหญ่ขึ้น จะมีผลทำให้ขนาดพิกซึลเพิ่มขึ้น สิ่งที่เกิดขึ้นตามมาคือความละเอียดของภาพจะลดลง

32. ในบทนี้ได้กล่าวถึง พจน์พื้นฐานที่เกี่ยวข้อง ได้แก่ สัมประสิทธิ์การลดลงเรย์ซัมโพรไฟล์ขั้นตอนวิธีหรือแอลกอริทึม การแปลงฟู
เรียร์และการประมาณค่าในช่วง จากนั้นได้กล่าวถึง ทฤษฎีการสร้างภาพของซีทีได้แก่วิธีแบ็กโพรเจกชัน วิธีการสร้างภาพแบบ
แอ็นนาลิซิส ซึ่งแบ่งออกเป็น การสร้างภาพแบบฟูเรียร์และการสร้างภาพแลลฟิลเตอร์แบ็กโพรเจกชัน ซึ่งวิธีการสร้างภาพแบบ
ฟิลเตอร์แบ็กโพรเจกชันเป็นที่นิยมใช้กันมาก สุดท้ายได้กล่าวถึงลักษณะสำคัญของภาพซีทีโดยกล่าวถึงพื้นฐานของ เลขซีทีพิกซึล
วอกซึล ขนาดแมทริกซ์และเอฟโอวี
สรุป