Strategi memecahkan permasalahan matematika secara elegan dan efisien meliputi 10 strategi utama yaitu bekerja mundur, mencari pola, mengadopsi sudut pandang berbeda, menyelesaikan dengan analogi yang lebih sederhana, meninjau kasus ekstrim, membuat gambar, terkaan cerdas dan pengujian, menghitung semua kemungkinan, mengorganisasi data, dan penalaran logis. Strategi-strategi ini dapat memudahkan pemec

1. Problem Solving
Strategi Menyelesaikan Permasalahan Matematika dengan Elegan
dan Efesien

2. Rudi Hartono
International Master Program on Mathematics Education
(IMPoME)
PASCASARJANA UNIVERSITAS SRIWIJAYA-PALEMBANG 2013

3. Peran Problem Solving
1. Problem Solving sebagai subjek untuk dipelajari.
2. Problem Solving sebagai pendekatan terhadap permasalahan.
3. Problem Solving sebagai cara dalam mengajar (way of teaching).

4. Pengertian
Problem (masalah) adalah situasi yang dihadapi seseorang yang menuntut suatu
penyelesaian sedangkan cara untuk memperoleh penyelesaian tersebut belum
diketahui secara pasti.
Sedangkan pengertian problem solving atau pemecahan masalah adalah suatu
aktivitas yang berhubungan dengan pemilihan jalan keluar atau cara yang cocok
bagi tindakan dan pengubahan kondisi sekarang (present state) menuju kepada
situasi yang diharapkan.
Kaitan dengan matematika, problem solving berarti aktivitas mental untuk
mencari penyelesaian dari suatu permasalahan matematika.

5. Proses Pemecahan Masalah
Menurut Polya, terdapat empat fase pemecahan masalah, yaitu:
-Memahami masalahnya. Pemecah masalah harus mengetahui apa yang
diketahui dan apa yang ditanyakan.
-Merencakan cara penyelesaian.
-Memecahkan masalah sesuai dengan rencana.
-Melakukan pengecekan kembali terhadap semua langkah yang telah dikerjakan.

6. 1 2 3 4 5
10
9
8
7
6
STRATEGI MEMECAHKAN PERMASALAH MATEMATIKA

7. 1. Bekerja Mundur
Cara ini digunakan ketika pemecah masalah mendapati suatu masalah yang
memiliki titik akhir (end-point) namun mendapati terlalu banyak/rumit cara
untuk menyelesaikan masalah ketika melalui titik awal permasalahan.

8. Contoh Soal
Evelyn, Henry, dan Al bermain suatu permainan. Pemain yang kalah pada setiap rondenya harus
memberikan uang sebanyak uang lawan pada saat itu kepada masing-masing pemain tersebut.
Pada ronde pertama, Evelyn kalah dan memberi Henry dan Al uang sejumlah yang mereka punya.
Pada ronde kedua, Henry kalah, dan memberi Evelyn dan Al uang sebanyak yang mereka punya
masing-masing. Al kalah pada ronde ketiga, dan memberi Evelyn dan Henry uang sebanyak yang
mereka punya. Mereka memutuskan untuk berhenti bermain pada saat itu dan menemukan
bahwa uang mereka masing-masing adalah $24.
Berapa banyak uang mereka masing-masing pada awal permainan?

9. Penyelesaian
Pemecah masalah biasanya memulai mengerjakan soal ini dengan membuat sistem persamaan
tiga variabel. Namun, soal menuntut banyak peran dari pengurangan dan penyederhanaan tanda
kurung sehingga dikhawatirkan kemungkinan terjadi kesalahan menjadi lebih besar.
Lain halnya jika dikerjakan dengan cara mundur. Pemecah masalah tidak perlu berhadapan
dengan sistem aljabar.
Akhir ronde 3
Akhir ronde 2
Evelyn
24
12
Henry
24
12
Al
24
48
Akhir ronde 1
Awal bermain
6
39
42
21
24
12

10. 2. Mencari Pola
Salah satu kecantikan matematika adalah kelogisan dan keteraturan yang
menjadi sifat alaminya. Kelogisan tersebut dapat terlihat secara ‘fisik’
sebagai pola maupun serangkaian pola.
Bergitupula permasalahan matematika, dengan meluangkan sedikit waktu
untuk berpikir, pola dari permasalahan akan muncul dan memberi jalan
bagi pemecah masalah untuk menyelesaikan soal tersebut.

11. Contoh Soal
Tentukan besar digit satuan dari jumlah 1325 + 481 + 5411 .

12. Penyelesaian
Untuk perpangkatan dari 13, ditemukan:
Nilai satuan dari perpangkatan bilangan 13 akan berulang yaitu 3,9,7,1,3,9,7,1,. . . setiap 4
periode. Oleh karena itu 135 akan sama bilangan satuannya dengan 131 yaitu 3.

13. Untuk perpangkatan dari 4, ditemukan:
Nilai bilangan satuan dari perpangkatan bilangan 4 akan terulang, yaitu 4,6,4,6,4,6 . . . Setiap 2
periode. Oleh karena itu, 481 akan sama bilangan satuannya dengan 41, yaitu 4.

14. Nilai satuan dari perpangkatan 5 pastilah 5. ( 5, 25, 125, 625, . . .)
Jadi nilai satuan dari 1325 + 481 + 5411 adalah 3 + 4 + 5 = 12, yang mempunyai
nilai satuan 2.

15. 3. Mengadopsi sudut pandang
berbeda
Mengerjakan soal matematika dengan menyelesaikan secara
langsung memang memberikan solusi tetapi belum tentu cara
tersebut efesien. Terkadang, akan sangat menguntungkan bagi
pemecah masalah ketika mencoba mengadopsi sudut pandang yang
berbeda dari suatu permasalahan.

16. Contoh Soal
Pada gambar dibawah, ABCD adalah sebuah persegi, P dan Q adalah titik tengah
dari sisi-sisinya. Berapakah perbandingan dari luas segitiga DPQ terhadap luas
persegi.

17. Penyelesaian
Penyelesaian umum terhadap permasalahan ini yaitu dengan meninjau sebuah
persegi dengan sisi x, kemudian mencari luas daerah dari 3 segitiga siku-siku dan
menjumlahkannya
serta
mengurangkannya
dengan
luas
persegi
untuk
memperoleh luas segitiga DPQ.
Namun, jika kita lihat dari sudut pandang yang lain, soal ini akan lebih mudah
dikerjakan

19. 4. Menyelesaikan dengan analogi
yang lebih sederhana
Sekarang kita telah mengetahui bahwa terdapat banyak cara dalam memecahkan masalah
matematika. Namun, yang menjadi fokus dalam setiap permasalahan adalah bagaimana
menemukan dan menentukan metode yang terbaik, dan paling efesien.
Salah satu metode yang kadangkala dapat memunculkan jawaban adalah dengan
mengubah soal dalam bentuk yang lebih mudah untuk dikerjakan. Dengan mengerjakan
soal ini diharapkan pemecahan masalah mendapatkan pengetahuan untuk mengerjakan
soal yang sebenarnya. Metode ini digunakan ketika suatu masalah tidak menuntut
jawaban yang exact.

20. Contoh Soal
Diberikan 4 bilangan berikut:
7895
13127
51873
7356
Berapa persen kah rata-rata bilangan tersebut terhadap jumlah bilangannya?

21. Penyelesaian

22. 5. Meninjau Kasus Ekstrim
Beberapa soal dapat dipecahkan dengan mudah dengan meninjau
kasus ekstrim dalam soal tersebut. Dengan meninjau kasus ekstrim
kita mungkin merubah variabel tetapi hanya variabel yang tidak
mempengaruhi soal awal.

23. Contoh Soal

24. Penyelesaian

25. 6. Membuat Gambar (visualisasi
masalah)
Membuat gambar/visualisasi dalam geometri bukanlah suatu hal yang baru.
Namun bagaimana jika dibuat untuk jenis soal lain? Gambar/visualisasi akan
berfungsi sebagai fasilitator untuk menyelesaikan masalah dibanding sebagai
unsur-unsur dari permasalahan.

26. Contoh soal
Seorang ahli perhiasan membuat anting perak dari lempengan-lempengan perak.
Setiap lempengan dapat dibuat 1 anting. Hasil sisa dari 6 lempengan kemudian
dapat dilelehkan dan disatukan kembali membentuk 1 lempengan perak. Ahli
perhiasan tersebut memesan 36 lempengan perak untuk memenuhi permintaan
pelanggannya. Berapa banyak anting yang dapat dibuat dari 36 lempengan perak ?

27. Penyelesaian
Untuk mempermudah
pengerjaan, penggunaan visualisasi
layak untuk dipertimbangkan.
Sehingga didapat bahwa terdapat
43 anting perak dapat dibuat.

28. 7. Terkaan cerdas dan pengujian
Dalam strategi ini kita akan membuat terkaan kemudian mengetesnya
ke dalam soal. Meskipun demikian, metode ini cukup berbeda
dengan trial-and-error karena terjadi pembatasan nilai variabel yang
pada akhirnya terfokus kepada jawaban yang dicari. Dalam metode
ini, jawaban akan terlihat lebih teratur.

29. Contoh soal
Jumlah dari suatu bilangan bulat, kuadratnya dan akar kuadratnya adalah 276.
Tentukan bilangan tersebut.

30. Penyelesaian

31. 8. Menghitung semua kemungkinan
Strategi ini seringkali disebut dengan “mengeliminasi/menghilangkan kemungkinan” yakni
strategi di mana pemecah masalah menghilangkan kemungkinan jawaban sampai menyisakan
jawaban yang benar.
Tentunya cara ini membutuhkan waktu lebih lama daripada cara-cara lainnya. Tapi ada kalanya
suatu permasalahan lebih baik diselesaikan dengan cara ini ketika cara yang lain tidak
menjanjikan sebuah jawaban atau terlalu abstrak.
Terkadang proses pengeliminasian kemungkinan jawaban dapat terjadi secara mental (tanpa
melibatkan tulisan).

32. Contoh Soal
Jika 4 koin dilempar, berapakah peluang bahwa paling sedikit 2 angka
muncul ?

33. Penyelesaian
Satu-satunya cara yang dapat dilakukan adalah dengan mendata semua kemungkinan kejadian karena
akan terlalu rumit untuk mencoba memformulasi permasalahan ini. Adapun semua kemungkinannya
adalah sebagai berikut:
AAAA
AAAG
AAGA
AGAA
GAAA
GGAA
AGAG
GAAG
AGGA
GAGA
GGAA
AGGG
GAGG
GGAG
GGGA
GGGG
Terdapat 11 kemungkinan kejadian bahwa minimal 2 angka muncul. Oleh karena itu, peluang kejadiannya
adalah 11/16.

34. 9. Mengorganisasi data
Beberapa orang kadang kebingungan mengerjakan soal yang memuat
atau
mengandung
unsur-unsur
informasi
seperti
data
dsb.
Mengorganisasi ulang data yang diberikan mungkin bisa menjadi
alternatif dalam memandang suatu soal/permasalahan secara visual.

35. Contoh soal
Berapa banyak segitiga pada gambar berikut:

36. Penyelesaian
Mulai dengan segitiga ABC, terdapat 1 segitiga.
Kemudian perhatikan segitiga ABC dengan 1 garis dalam, AD. Terdapat 2
segitiga. (ABD, ADC)
Kemudian tambahkan garis BE, maka terdapat 5 segitiga.
(ABG, BGD, AGE, BEC, ABE)
Lanjutkan dengan menambahkan garis CF, maka terdapat 9.
(FBH, AFC, BHC, AFK, KDC, AKC, FBC, HKG, EHC)
Sehingga total segitiga adalah 17

37. 10. Penalaran Logis
Tanpa kita sadari kita sering melakukan penalaran secara logis. Kemampuan melakukan
penalaran logis bergantung pada banyak latihan maupun pengalaman yang telah didapat. Karena
materi matematika salng berhubungan, maka dalam permasalahan matematika, valid-nya suatu
penalaran akan sangat bergantung terhadap keluwesan dan penguasaan materi-materi
matematika tersebut.

38. Contoh soal:

39. Penyelesaian

40. Sumber :
Posamentier, Alfred S. & Krulik, Stephen. 1998. Problem-Solving Strategies
For Efficient And Elegant Solutions: A resource for the mathematics teacher.
California: Corwin Press,Inc.
Isi slide mungkin berubah atau mengalami reduksi dari buku aslinya.
Mohon pembaca merujuk pada sumber di atas.