1. T NG H P M T S KINH NGHI M GI I TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN Năm h c: 2000- 2011
T NG H P M T S KINH NGI M GI I TOÁN
HÌNH KHÔNG GIAN
Sinh vieân : Phan Syõ Taân
Lôùp : k16kkt3
***
GOOD LUCKD
OOD
i. ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng .
1.T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (C¸ch 1)
Phương pháp ::
- Tìm ñi m chung c a 2 m t ph ng
- ðư ng th ng qua hai ñi m chung ñó là giao tuy n c a hai m t ph ng
gChú ý : ð tìm ñi m chung c a hai m t ph ng ta thư ng tìm hai ñư ng th ng ñòng ph ng l n lư t
n m trong hai m t ph ng ñó . Giao ñi m , n u có c a hai ñư ng th ng này chính là ñi m chung c a
hai m t ph ng .
2.T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (C¸ch 2)
Phương pháp :
ð tìm giao ñi m c a ñư ng th ng a và m t ph ng (P) , ta tìm trong (P) m t ñư ng th ng c c t A t i
ñi m A nào ñó thì A là giao ñi m c a a và (P) .
gChú ý N u c chưa có s n thì ta ch n m t m t ph ng (Q) qua a và l y c là giao tuy n c a (P) và (Q)
.
3. Chøng minh 3 ®iÓm th¼ng hµng, chøng minh 3 ®−êng ®ån quy.
Phương pháp :
- Mu n ch ng minh 3 ñi m th ng hàng ta ch ng minh 3 ñi m ñó là các ñi m chung c a hai m t
ph ng phân bi t.Khi ñó chúng s th ng hàng trên giao tuy n c a hai m t ph ng ñó .
- Mu n chúng minh 3 ñư ng th ng ñ ng quy ta ch ng minh giao ñi m c a hai ñư ng nàylà ñi m
chung c a hai m t ph ng mà giao tuy n là ñư ng th ng th ba .
4. T×m tËp hîp giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng di ®éng.
Phương pháp :
M là giao ñi m c a hai ñư ng th ng di ñ ng d và d' . Tìm t p h p các ñi m M.
* Ph n thu n : Tìm hai m t ph ng c ñ nh l n lư t ch a d và d'. M di ñ ng trên giao tuy n c ñ nh
c a hai m t ph ng ñó .
* Gi i h n (n u có)
* Ph n ñ o
gChú ý :n u d di ñ ng nhưng luôn qua ñi m c ñ nh A và c t ñư ng th ng c ñ nh a không qua A
thì d luôn n m trong m t ph ng c ñ nh (A,a)
Cách h c t t môn Toán là ph i làm Baøi taäp nhi u , bên c nh ñó ( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang1/16-LTðH-2010

2. T NG H P M T S KINH NGHI M GI I TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN Năm h c: 2000- 2011
5. ThiÕt diÖn
Thi t di n c a hình chóp và m t ph ng (P) là ña giác gi i h n b i các giao tuy n c a (P) v i các m t
hình chóp .
Phương pháp :
Xác ñ nh l n lư t các giao tuy n c a (P) v i các m t c a hình chóp theo các bư c sau :
- T ñi m chung có s n , xác ñ nh giao tuy n ñ u tiên c a (P) v i m t m t c a hình chóp (Có th là
m t trung gian)
- Cho giao tuy n này c t các c nh c a m t ñó c a hình chóp ta s ñư c các ñi m chung m i c a (P)
v i các m t khác . T ñó xác ñ nh ñư c các giao tuy n m i v i các m t này .
- Ti p t c như th cho t i khi các giao tuy n khép kín ta ñư c thi t di n .
ii.®−êng th¼ng song song
1. Chøng minh hai ®−êng th¼ng song song
Phương pháp ::
Có th dùng m t trong các cách sau :
- Ch ng minh hai ñư ng th ng ñó ñ ng ph ng , r i áp d ng phương pháp ch ng minh song song
rong hình h c ph ng (như tính ch t ñư ng trung bình, ñ nh lý ñ o c a ñ nh lý Ta-lét ...)
- Ch ng minh hai ñư ng th ng ñó cùng song song song v i ñư ng th ng th 3 .
- Áp d ng ñ nh lý v giao tuy n .
2 . T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (c¸ch 2 / d¹ng 1)
Thi t diÖn qua mét ®−êng th¼ng song song víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc .
Phương pháp ::
* Tìm m t ñi m chung c a hai m t ph ng
* Áp d ng ñ nh lý v giao tuy n ñ tìm phương c a giao tuy n (t c ch ng minh giao tuy n song
song v i m t ñư ng th ng ñã có)
Giao tuy n s d là ñư ng th ng qua ñi m chung và song song v i ñư ng th ng y .
Ghi chú : Ta có 2 cách ñ tìm giao tuy n :
Cách 1(2 ñi m chung) và cách 2 (1 ñi m chung + phương giao tuy n) ta thư ng s d ng ph i h p 2
cách khi xác ñ nh thi t di n c a hình chóp .
3. TÝnh gãc gi÷a hai ®−êng th¼ng a,b chÐo nhau
Phương pháp :
Tính góc :
L y ñi m O nào ñó .
Qua O d ng a' // a và b' // b
Góc nh n ho c góc vuông t o b i a',b' g i là góc gi a a và b .
Tính góc : S d ng t s lư ng giác c a góc trong tam giác vuông ho c dùng ñ nh lý hàm s côsin
trong tam giác thư ng .
iii ®−êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng
1.Chøng minh ®−êng th¼ng (d) song song víi mp (P)
Phương pháp :
Ta ch ng minh d không n m trong (P) và song song v i ñư ng th ng a ch a trong (P) .
Ghi chú : N u a không có s n trong hình thì ta ch n m t m t ph ng (Q) ch a d và l y a là giao tuy n
Cách h c t t môn Toán là ph i làm Baøi taäp nhi u , bên c nh ñó ( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang2/16-LTðH-2010

3. T NG H P M T S KINH NGHI M GI I TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN Năm h c: 2000- 2011
c a (P) và (Q) .
2. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng(C¸ch 2 / d¹ng 2)
Thi t di n song song v i m t ñư c th ng cho trư c
Phương pháp :
Nh c l i m t h qu : N u ñư ng th ng d song song v i m t m t ph ng (P) thì b t kỳ m t ph ng (Q)
nào ch a d mà c t (P) thì s c t (P) theo giao tuy n song song v i d .
T ñây xác ñ nh thi t di n c a hình chóp c t b i m t ph ng song song v i m t ho c hai ñư ng th ng
cho trư c theo phương pháp ñã bi t .
iv. MÆt ph¼ng song song
1. Chøng minh hai ®−êng th¼ng song song
Phương pháp :
* Ch ng minh m t ph ng này ch a hai ñư ng th ng c t nhau l n lư t song song v i hai ñư ng th ng c t
nhau n m trong m t ph ng kia .
gChú ý :S d ng tính ch t
( P ) //( Q )
 ⇒α //( P )
 α ⊂ (Q )
ta có cách th 2 ñ chưngs minh ñư ng th ng a song song v i m t ph ng (P) .
2 . T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (c¸ch 2 / d¹ng 3)
Thi t diÖn qua mét ®−êng th¼ng song song víi mét ®−êng th¼ng cho tr−íc .
Phương pháp :
- Tìm phương c a giao tuy n c a hai m t ph ng b ng ñ nh lý v giao tuy n :"N u hai m t ph ng song
song b c t b i m t m t ph ng th ba thì hai giao tuy n song song v i nhau " .
- Ta thư ng s d ng ñ nh lý này ñ xác ñ nh thi t di n c a hình chóp c t b i m t m t ph ng song song
v i m t m t ph ng cho trư c theo phương pháp ñã bi t .
gChú ý :: Nh tính ch t
( P ) //( Q )
 ⇒α //( P )
 α ⊂ (Q )
v. ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng
1.Chøng minh ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng.
Chøng minh hai ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi nhau
Phương pháp :
* Ch ng minh ñư ng th ng a vuông góc v i m t ph ng (P)
- Ch ng minh a vuông góc v i hai ñư ng th ng c t nhau ch a trong (P).
- Ch ng minh a song song v i ñư ng th ng b vuông góc v i (P) .
* Ch ng minh hai ñư ng th ng vuông góc v i nhau .
- Ch ng minh hai ñư ng th ng này vuông góc v i m t m t ph ng ch a ñư ng th ng kia .
- Nêú hai ñư ng th ng y c t nhau thì có th áp d ng các phương pháp ch ng minh vuông góc ñã
h c trong hình h c ph ng .
2. ThiÕt diÑn qua 1 ®iÓm cho tr−íc vµ vu«ng gãc víi 1 ®−êng th¼ng cho trø¬c
Cách h c t t môn Toán là ph i làm Baøi taäp nhi u , bên c nh ñó ( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang3/16-LTðH-2010

4. T NG H P M T S KINH NGHI M GI I TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN Năm h c: 2000- 2011
Cho kh i ña di n (S) , ta tìm thi t di n c a (S) v i m t ph ng (P) , (P) qua ñi m M cho trư c và
vuông góc v i m t ñư ng th ng d cho trư c .
- N u có hai ñư ng th ng c t nhau hay chéo nhau a,b cùng vuông góc v i d thì :
(P) // a (hay ch a a)
(P) // b (hay ch a b)
Phương pháp tìm thi t di n lo i này ñã ñư c trình bày nh ng bài trên .
- D ng m t ph ng (P) như sau :
D ng hai ñư ng th ng c t nhau cùng vuông góc v i d , trong ñó có ít nh t m t ñư ng th ng qua M .
m t ph ng ñư c xác ñ nh b i hai ñư ng th ng trên chính là (P) .
Sau ñó xác ñ nh thi t di n theo phương pháp ñã h c .
vi. ®−êng vu«ng gãc vµ ®−êng xiªn
1. Dùng ®−êng th¼ng qua 1 ®iÓm A cho tr−íc vµ vu«ng gãc víi mp (P) cho tr−íc
Tính kho ng cách t m t ñi m ñ n m t m t ph ng
Phương pháp :
Th c hi n các bư c sau :
*Ch n trong (P) m t ñư ng th ng d, r i d ng m t ph ng (Q) qua A vuông góc v i d (nên ch n d sao
cho (Q) d d ng ).
*Xác ñ nh ñư ng th ng
* D ng AH vuông góc v i c t i H
- ðư ng th ng AH là ñư ng th ng qua A vuông góc v i (P) .
- ð dài c a ño n AH là kho ng cách t A ñ n (P)
gChú ý :
- Trư c khi ch n d và d ng (Q) nên xét xem d và (Q) ñã cío s n trên hình v chưa.
- N u ñã có s n ñư ng th ng m vuông góc v i (P), khi ñó ch c n d ng Ax // m thì
- N u AB // (P) thì d(A,(P)) = a(B, (P))
- N u AB c t (P) t i I thì d(A,(P) : d(B, (P)) = IA : IB
2. øng dông cña trôc ®−êng trßn
ð nh nghĩa : ðư ng th ng vuông góc v i m t ph ng ch a ñư ng tròn t i tâm c a ñư ng tròn ñó .
Ta có th dùngn tính ch t c a tr c ñư ng tròn ñ ch ng minh ñư ng th ng vuông góc v i m t ph ng
và tính kho ng cách t m t ñi m ñ n m t m t ph ng .
- N u O là tâm ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC và M là m t ñi m cách ñ u 3 ñi m A,B,C thì
ñư ng th ng MO là tr c c a ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC; khi ñó MO vuông góc v i m t
ph ng (ABC) và MO = d(M,(ABC))
- N u MA=MB=MC và NA=NB=NC trong ñó A,B,C là ba ñi m không th ng hàng thì ñư ng th ng
MN là tr c ñư ng tròn qua ba ñi m A,B,C; khi ñó MN vuông góc v i m t ph ng (ABC) t i tâm O
c a ñương tròn qua ba ñi m A,B,C .
3. TËp hîp h×nh chiÕu cña 1 ®iÓm cè ®Þnh trªn 1 ®−êng th¼ng di ®éng
Ta thư ng g p bài toán : Tìm t p h p hình chi u vuông góc M c a ñi m c ñ nh A trên ñư ng th ng
d di ñ ng trong m t ph ng (P) c ñ nh và luôn ñi qua ñi m c ñ nh O .
Phương pháp :
Cách h c t t môn Toán là ph i làm Baøi taäp nhi u , bên c nh ñó ( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang4/16-LTðH-2010

5. T NG H P M T S KINH NGHI M GI I TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN Năm h c: 2000- 2011
- D ng , theo ñ nh lý ba ñư ng vuông góc ta có
- Trong m t ph ng (P), nên M thu c ñư ng tròn ñư ng kính OH ch a trong (P) .
4. T×m tËp hîp h×nh chiÕu vu«ng gãc cña 1 ®iÓm cè ®Þnh trªn mp di ®éng
Ta thư ng g p bài toán : Tìm t p h p hình chi u vuông góc H c a m t ñi m c d nh A trên m t
ph ng (P) di ñ ng luôn ch a m t ñư ng th ng d c ñ nh .
Phương pháp :
- Tìm m t ph ng (Q) qua A vuông góc v i d
- Tìm
- Chi u vuông góc A lên c, ñi m chi u là H thì H cũng là hình chi u c a A trên (P) .
G i E là giao ñi m c a d v i (Q). Trong m t ph ng (Q), nên H thu c ñư ng tròn ñương
kính AE .
5. Gãc gi÷a ®−êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng
Cách xác ñ nh góc gi a a và (P) .
Phương pháp :
- Tìm giao ñi m O c a a v i (P)
- Ch n ñi m và d ng
khi ñó
vii. MÆt ph¼ng vu«ng gãc
1. NhÞ diÖn gãc gi÷a hai mÆt ph¼ng
gi i các bài toán liên quan ñ n s ño nh di n hay góc gi a hai m t ph ng thì ta thư ng xác ñ nh góc
ph ng c a nh di n. N u góc này chưa có s n trên hình ta có th d ng nó theo phương pháp dư i ñây
Phương pháp
- Tìm c nh c c a nh di n (giao tuy n c a hai m t ph ng (P) và (Q) ch a hai m t c a nh di n )
- D ng m t ño n th ng AB có hai ñ u mút trên hai m t c a nh di n và vuông góc v i m t m t c a
nh di n .
- Chi u vuông góc A ( hay B ) trên c thành H .
ta ñư c là góc ph ng c a nh di n .
gChú ý :
- N u ñã có m t ñư ng th ng d c t hai m t c a nh di n t i A, B và vuông góc v i c nh c c a nh
di n thì ta có th d ng góc ph ng c a nh di n ñó như sau ; Chi u vuông góc A ( hay B hay m t ñi m
trên AB ) trên c thành H . Khi ñó là góc ph ng c a nh di n .
- N u hai ñư ng th ng a , b l n lư t vuông góc v i hai m t ph ng (P), (Q) thì .
- N u hai m t c a nh di n l n lư t ch a hai tam giác cân MAB và NAB có chung ñáy AB thì
( I là trung ñi m c a AB ) là góc ph ng c a nh di n ñó .
2. MÆt ph©n gi¸c cña nhÞ diÖn, c¸ch x¸c ®Þnh mÆt ph©n gi¸c.
Phương pháp :
C1 :
Cách h c t t môn Toán là ph i làm Baøi taäp nhi u , bên c nh ñó ( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang5/16-LTðH-2010

6. T NG H P M T S KINH NGHI M GI I TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN Năm h c: 2000- 2011
- Tìm m t góc ph ng c a nh di n .
- M t phân giác c a nh di n là m t qua c nh c c a nh di n và phân giác Ot c a góc
ph ng xOy .
C2 :
- Tìm m t ñi m A cách ñ u hai m t c a nh di n .
- M t phân giác c a nh di n trên là m t qua A và c nh c c a nh di n .
3. MÆt ph¼ng vu«ng gãc . Chøng minh ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng
* Ch ng minh hai m t ph ng vuông góc .
Phương pháp :
- Cách 1 : Ch ng minh m t ph ng này ch a m t ñư ng th ng vuông góc v i m t ph ng kia .
- Cách 2 : ch ng minh góc gi a hai m t ph ng có s ño b ng 90 .
* Ch ng minh ñư ng th ng vuông góc v i m t ph ng .
- Cách 1 : Ch ng minh a vuông góc v i hai ñư ng th ng c t nhau ch a trong (P) .
- Cách 2 : Ch ng minh a song song v i ñư ng th ng b vuông góc v i (P) .
- Cách 3 : Ch ng minh a là tr c ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC v i A, B, C thu c (P) .
- Cách 4 : S d ng ñ nh lý : " N u a ch a trong m t m t ph ng (Q) vuông góc v i (P) và a vuông góc
v i giao tuy n c a (P) và (Q) thì a vuông góc v i (P) " .
- Cách 5 : S d ng ñ nh lý : " N u a là giao tuy n c a hai m t ph ng cùng vuông góc v i (P) thì a
vuông góc v i (P) " .
4. X¸ch ®inh mÆt ph¼ng chøa 1 ®−êng th¼ng va vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng .ThiÕt diÖn.
Cho trư c m t ph ng (P) và ñư ng th ng a không vuông góc v i (P) . Xác ñ nh m t ph ng (Q) ch a
a và vuông góc v i (P) .
Phương pháp :
- T m t ñi m trên a d ng b vuông góc v i (P) thì (Q) là m t ph ng (a, b) .
gChú ý :N u có ñư ng th ng thì (Q) // d hay (Q) ch a d .
222HEÁT222
Cách h c t t môn Toán là ph i làm Baøi taäp nhi u , bên c nh ñó ( hehe...☺ )
Sytan1992@gmail.com Trang6/16-LTðH-2010