main

R NHÁNH CHO H Đ NG L C TRƠN
T NG KHÚC
Th y hư ng d n: TS. Nguy n Ng c Doanh
Sinh viên:Vũ Qu c Uy
Vi n toán ng d ng & Tin h c - ĐH BKHN
Ngày 24 tháng 6 năm 2014
Vi n toán ng d ng & Tin h c - ĐH BKHN R NHÁNH CHO H Đ NG L C TRƠN T NG KHÚCNgày 24 tháng 6 năm 2014 1 / 24

N i dung
1 Khái ni m và ví d
Khái ni m
Ví d
2 n đ nh và r nhánh c a h đ ng l c trơn t ng khúc
n đ nh
R nhánh
3 K t lu n

Khái ni m và ví d Khái ni m
Khái ni m
V m t v t lý, m i h có s thay đ i đ t ng t theo m t tham s (v n
t c, v trí) ho c t i ngư ng, gi i h n.
V m t toán h c, m i h đ ng l c mà không gian pha đư c phân
ho ch b i các biên chuy n (switching boundary) thành các mi n khác
nhau, m i mi n ng v i các trư ng véc tơ (trơn) khác nhau.
Hình 1: Mô t qu đ o c a h đ ng l c trơn t ng khúc

H đ ng l c trơn t ng khúc
Đ nh nghĩa 1.1
H đ ng l c trơn t ng khúc đư c xác đ nh b i t p h u h n các
phương trình vi phân thư ng
˙x = Fi(x, µ), v i x ∈ Si, (1)
trong đó, ∪iSi = D ⊂ Rn
và Si có ph n trong khác r ng. Giao
Σij := Si ∩ Sj là m t đa t p Rn−1
n m trong biên ∂Sj và ∂Si ho c là
t p r ng. M i véc tơ Fi là trơn đ i v i tr ng thái x và tham s µ, và
xác đ nh dòng trơn ϕi(x, t) v i b t kì t p m U ⊃ Si. Đ c bi t, m i
dòng ϕi đ u xác đ nh hai phía c a biên ∂j.

Các lĩnh v c áp d ng
Mô hình sinh thái, h đ ng l c c nh tranh thú m i,...
M ng lư i lu t di truy n,
Chuy n m ch diode,
Bài toán đi u khi n (đi u khi n s ),
Phanh, kh i l c
Va ch m, ma sát
Kinh t ,...

H Filippov
Hình 2: Biên gián đo n đ c trưng c a h hai chi u Filippov mô t dáng
đi u c a trư ng véc tơ hai phía

H lai
Đ nh nghĩa 1.2
H lai trơn t ng khúc bao g m t p h p các h phương trình vi phân
thư ng
˙x = Fi(x, µ), n u x ∈ Si, (2)
cùng v i m t t p các ánh x tái thi t l p
x → Rij(x, µ), n u x ∈ Σij := Si ∩ Sj. (3)
Hình 3: (a) H lai và (b) l p các bài toán va ch m c a h lai

H lai va ch m
Đ nh nghĩa 1.3
H lai va ch m là h lai trơn t ng khúc v i Rij : Σij → Σij, và dòng
b ràng bu c đ a phương đ n m v m t phía c a biên, Si = Si ∪ Σij
Hình 4: M t Σ và qu đ o đa va ch m cho h lai va ch m v i m t biên
gián đo n

Khái ni m và ví d Ví d
B dao đ ng song tuy n tính
d2
u
dt2
+ ζ
du
dt
+ k1u = cos(ωt), n u u < 0, (Mi n S1)
và
d2
u
dt2
+ ζ
du
dt
+ k2u = cos(ωt), n u u > 0, (Mi n S2)
trong đó, u đ c trưng cho t a đ c a v t th . M t ví d v h song
tuy n tính có th đư c tìm hi u trong [7], nó đư c s d ng đ mô
hình hóa dáng đi u chuy n đ ng c a chi c thuy n đư c neo trên bi n.

B dao đ ng song tuy n tính
Và h song tuy n tính trên đư c vi t l i dư i d ng h đ ng l c b ng
cách đ t u = x1, v = x2 và t = x3 như sau



˙x1 = x2,
˙x2 = −2ζx2 − kix1 + cos(x3),
˙x3 = 1,
(4)
trong đó, giá tr c a ki ph thu c vào mi n Si, v i S1 = {x1 < 0},
S2 = x1 > 0.

H đ ng l c thú m i t ng khúc
Xét h đ ng l c thú m i trong đó loài thú đư c chia làm hai nhóm,
m i nhóm s d ng m t lo i chi n thu t săn m i khác nhau chim ưng
ho c b câu.
Model I: n < C
a
,



dn
dt
= rn 1 − n
K
− anp,
dp
dt
= −µp + αa
2
np − αa2
2C
n2
p.
(5)
Model II: n > C
a
,
dn
dt
= rn 1 − n
K
− anp,
dp
dt
= −µp + αa
2
np − αC
2
p.
(6)

H đ ng l c thú m i t ng khúc
Hình 5: Trư ng h p αC > 8µ, (a) n∗
3 < K, (b) n∗
2 < K < n∗
3, (c)
n∗
1 < K < n∗
2 và (d) K < n∗
1.

n đ nh và r nhánh c a h đ ng l c trơn t ng khúc n đ nh
n đ nh
1 n đ nh ti m c n
2 n đ nh c u trúc
Hình 6: Hình nh pha c a hai h tương đương topo nhưng không tương
đương topo t ng khúc. Hình nh pha trong m i mi n Si, i = 1, . . . , 4 là
tương đương topo v i nhau gi a (a) và (b)

n đ nh và r nhánh c a h đ ng l c trơn t ng khúc R nhánh
R nhánh
Các trư ng h p r nhánh c m sinh gián đo n thư ng g p:
Hình 7: Ví d v r nhánh c m sinh gián đo n: (a) r nhánh v i đi m cân
b ng trên biên; (b) r nhánh lư t c a chu trình gi i h n; (c) r nhánh
trư t; (d) r nhánh biên giao nhau ch th p

Dáng đi u h đ ng l c trơn t ng khúc liên t c
Xét h hai chi u trơn t ng khúc liên t c sau
˙x1 = x2
˙x2 = −x1 + |x1 + µ| − |x1 − µ|
−x2 − |x2 + µ| + |x2 − µ|.
(7)
H x p x trơn đ i x ng c a h (7)
˙x1 = x2,
˙x2 = −x1 + 2
π
arctan(ε(x1 + µ))(x1 + µ)
−2
π
arctan(ε(x1 − µ))(x1 − µ)
−x2 − 2
π
+2
π
arctan(ε(x2 − µ))(x2 − µ),
(8)

H x p x trơn b t đ i x ng c a h (7)
˙x1 = x2,
˙x2 = −x1 + 2
π
−2
π
arctan(ε(x1 − µ))(x1 − µ)
−x2 − 2
π
+2
π
arctan(ε(x2 − µ))(x2 − µ) + 1
ε
,
(9)
Hình 8: Sơ đ r nhánh c a h trơn t ng khúc (7)

Hình 9: H r nhánh đa giao (7)

Hình 10: Đư ng tr riêng c a h (7)

(R nhánh đa giao v i đi m chuy n hư ng). Xét h
˙x1 = x1 + 2|x1| + x2,
˙x2 = x1 + 2|x1| + 1
2
x2 + µ,
(10)
là h tuy n tính t ng khúc, có biên chuy n Σ = {x ∈ R|x = 0}.
Hình 11: Hình nh pha và sơ đ r nhánh c a h x p x trơn đ i x ng c a
h (10) và đư ng tr riêng c a J(0)

Hình 12: Hình nh pha và sơ đ r nhánh c a h x p x trơn v i h (10)
và ε = 20

K t lu n
K t lu n
H t ng khúc có nh ng ng d ng r t r ng rãi trong nhi u lĩnh
v c sinh h c, kinh t , v t lý...
Đ án đã t ng h p các ki n th c cơ b n, các ví d đ giúp ti p
c n t i h đ ng l c t ng khúc
Chúng có dáng đi u h đ ng l c đ c đáo, duy nh t.
Có nhi u v n đ còn chưa đư c x lý, nghiên c u.

K t lu n
Tài li u tham kh o
A. J. van der Schaft, Johannes Maria Schumacher, An
Introduction to Hybrid Dynamical Systems, Front Cover Springer,
2000.
Bernardo, M., Budd, C.J., Champney, A.R, Bifurcations of
dynamical systems with sliding:derivation of normal formal
mappings, Physica 170,175-205,2001.
Bernardo, M., Budd, C., Champneys, A.R., Kowalczyk,P.,
Piecewise-smooth dynamical systems Theory and Applications,
Springer, Hardcover, 2008.
John Hogan, Piecewise dynamical systems presentation, 2012.
Jitka Kuhnova - Lenka Pribylova, A predator-prey model with
allee effect and fast strategy evolution dynamics of predators
using hawk and dove tactics, Mathematical publication, 2011.Vi n toán ng d ng & Tin h c - ĐH BKHN R NHÁNH CHO H Đ NG L C TRƠN T NG KHÚCNgày 24 tháng 6 năm 2014 22 / 24

K t lu n
Kuznetsov Yu-1.A, Elements of applied bifurcation theory, 1998.
R.I. Leine, Bifurcations of equilibria in non-smooth continuous
systems, 2006.
R.I. Leine, D.H.van Campen, Bifurcation phenomena in
non-smooth dynamical systems, 2006.
Pierre Auger, Rafael Bravo de la Parra, Serge Morand, Eva
Sáanchez, A predator–prey model with predators using hawk and
dove tactics, Mathematical Biosciences, Vol 9, 4: 307-329, 2001.
Z. Zhusubalyev, E. Mosekilde, Bifurcations and Chaos in
Piecewise-Smooth Dynamical Systems, World Scientific, 2003.
S. V. Drakunov and V. I. Utkin, Sliding mode control in dynamic
systems, Internat. J. Control, 55, 1029-1037, 1992.

K t lu n
Em xin chân thành c m ơn th y cô và các b n đã chú ý
l ng nghe!

main

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (10)

Similar to main

Similar to main (20)

main