2. Osserviamo in natura qualcosa che abbia un
asse di simmetria, per esempio una farfalla.
Ne disegniamo una metà [disegno di Davì] …
3.
4. Se appoggiamo un solo specchio,
che è come se appoggiassimo gli specchi
incidenti aprendoli di un angolo di 180°,
vediamo la farfalla intera!
5.
6. Se segniamo sul bordo del foglio un angolo da
90° e apriamo gli specchi su quest'angolo,
vediamo 4 mezze farfalle. La farfalla
raddoppiata!
7.
8. Allora, se pensiamo a qualcosa cha abbia più
assi di simmetria o una simmetria centrale.
Per esempio un fiore [disegno Davì]. Ne
disegniamo un quarto …
9.
10. Se apriamo gli specchi a 90° sui
lati che sono metà asse di
simmetria, vediamo il fiore intero!
13. Ora passiamo a disegnare figure
geometriche: i poligoni regolari.
Partiamo da un quadrato.
Apriamo gli specchi a 90°, sui lati
del quadrato …
14. Le riflessioni sugli
specchi ci danno
un quadrato intero
(quadruplo del
primo):
Osserviamo due
assi di simmetria,
le mediane!
E annotiamo:
Quadrato, 4 lati,
angolo di apertura
degli specchi: 90°
17. Ma vogliamo evidenziare gli altri due assi
di simmetria: le diagonali.
Queste passano per i vertici del quadrato.
Il quarto di quadrato lo dobbiamo
preparare diversamente: triangolare.
18. Un triangolo rettangolo isoscele: cateti uguali,
mezze diagonali. Appoggiamo gli specchi
sull’angolo retto …
19. Ecco il quadrato intero con le due diagonali, assi
di simmetria.
20. Ma se posizioniamo gli specchi
sull’angolo acuto (45°) dello stesso
triangolo rettangolo isoscele …
21. Ecco tutti gli assi di simmetria del quadrato: mediane e
diagonali!
22. Annotiamo anche:
apertura degli specchi a 45°, la figura di
partenza si è riflessa 7 volte.
Come se avessimo ottenuto un ottagono, 8 lati.
Ma i lati sono a due a due uno prolungamento
dell’altro e allora abbiamo un quadrato.
23. Cominciamo a capire che :
per ottenere un esagono, la
figura deve riflettersi 5 volte.
«Infatti, tutti diciamo subito,
possiamo costruire un triangolo
equilatero, che è 1/6
dell’esagono regolare»
27. Ma, come per il quadrato e per tutti i
poligoni regolari con numero pari di lati:
assi di simmetria sono diagonali e
mediane.
Per vedere le mediane con gli specchi,
costruiamo un triangolo rettangolo
metà del triangolo equilatero.
30. Questa è un’immagine dei tentativi, tracciando l’altezza del
triangolo equilatero… ma poi appoggiavamo gli specchi
sempre sull’angolo di 60°! Ma così abbiamo potuto vedere un
triangolo equilatero inscritto in un esagono: è la metà!
31. A questo punto, con commenti e osservazioni di …tanti di noi!
E con le annotazioni, abbiamo capito che:
per ottenere con gli specchi il pentagono regolare,
dobbiamo costruire un triangolo isoscele con
l’angolo al vertice di 72°: 360°/5
Abbiamo voluto fare le costruzioni con Geogebra. Simulando
gli specchi…
Le immagini sono la sintesi dei lavori di Igor, Stefano, Davì,
Davide D., Beatrice, Marco N., Daniele.
32. Appoggiando gli specchi
incidenti sui lati obliqui del
triangolo isoscele, angolo
da 72°, ecco il
pentagono regolare. I 5
triangoli isosceli sono
reciprocamente simmetrici
rispetto a uno dei lati obliqui.
Ma non vediamo gli assi di
simmetria del pentagono!
33. Ora lo sappiamo:
dividiamo in 2 parti uguali
il triangolo che riflesso
nello specchio forma il
pentagono. Otteniamo un
triangolo rettangolo, con
uno degli angoli acuti di
36°
34. Appoggiando gli specchi
incidenti sui lati che formano
l'angolo di 36° otteniamo il
pentagono
con tutti i suoi assi di
simmetria, sono tutte
mediane: 5!
Il poligono regolare ha un
numero dispari di lati.
35. Questo è l’ettagono, ottenuto dalle riflessioni di un
triangolo isoscele con angolo acuto di 51,42…° : 360/7
Non vediamo assi di simmetria. Succede come per il
pentagono, il poligono ha numero dispari di lati …
36. Come il triangolo equilatero, 3 lati, angolo di apertura degli
specchi: 120° [qualcuno ha usato uno specchio rotondo, si abbia
pazienza… ! ]
37. Abbiamo raccolto in una tabella la corrispondenza:
numero di lati del poligono visualizzato – angolo di
apertura degli specchi incidenti
Lati Gradi
3 120°
4 90°
5 72°
6 60°
7 51°,42
8 45°
9 40°
38. La tabella ci dice:
dimezzando l’ampiezza
Lati Gradi dell’angolo, raddoppia
il numero di lati, se
3 120° l’ampiezza diventa 1/3,
4 90° il numero di lati
triplica, ecc… Il
5 72° prodotto dei valori
6 60° corrispondenti delle due
7 51°,42 grandezze è costante: è
360!
8 45° Si tratta di una legge
9 40° matematica che
impareremo a
conoscere bene!
![Osserviamo in natura qualcosa che abbia un
asse di simmetria, per esempio una farfalla.
Ne disegniamo una metà [disegno di Davì] …](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)