1. “La
sezione
aurea”
A cura diA cura di
Emanuela Ferlini ed Alessia LagomarsiniEmanuela Ferlini ed Alessia Lagomarsini
classe 2classe 2a
FF

2. Indice
 Introduzione
 Dimostrazione della sezione aurea
 La sezione aurea in alcune figure geometriche
 La sezione aurea nella natura
 La sezione aurea nell’uomo
 La successione di Fibonacci
 La sezione aurea nella pittura
 La sezione aurea nella musica

3. ““Introduzione”Introduzione”
La sezione aurea In arte e matematica, è una proporzione geometrica
basata su un rapporto specifico nel quale la parte maggiore sta alla
minore come l’intero sta alla parte maggiore. Viene espressa più
chiaramente in modo grafico come una linea intersecata in modo tale
che il rapporto che lega AC e CB è lo stesso di quello tra AB e AC. Vedi
figura.
Questo rapporto ha il valore numerico di 0.618…. Riconosciuta come un
rapporto esteticamente piacevole, la sezione aurea è stata utilizzata
come base per la composizione di elementi pittorici o architettonici. In
realtà, vari esperimenti suggeriscono che la percezione umana mostra
una naturale preferenza per le proporzioni in accordo con la sezione
aurea; gli artisti tenderebbero dunque, quasi inconsciamente, a
disporre gli elementi di una composizione in base a tali rapporti.
Platone è generalmente considerato il padre degli studi sulla sezione
aurea, la cui definizione è contenuta nel trattato sugli Elementi del
matematico greco Euclide (attivo nel III secolo a.C.). La sezione aurea
suscitò un profondo interesse tra gli artisti e i matematici del
Rinascimento, tra cui Leonardo da Vinci, Piero della Francesca, e Leon
Battista Alberti; era allora nota come “divina proporzione” e veniva
considerata quasi la chiave mistica dell’armonia nelle arti e nelle
scienze. De divina proportione è anche il titolo del trattato redatto dal
matematico rinascimentale Luca Pacioli e illustrato da 60 disegni di
Leonardo da Vinci, pubblicato nel 1509, che ebbe notevole influsso
sugli artisti e gli architetti del tempo, ma anche nelle epoche
successive. [1]

4. DimostrazioneDimostrazione
Se AB è il segmento dato, si conduca la per
perpendicolare ad AB nell’estremo B e si prenda
su di esso il segmento BO, metà di AB, indi col
centro in O si descriva la circonferenza di
raggio OB, che risulterà tangente in B alla retta
AB. Si unisca A con O e si chiamino C e D le
intersezioni della retta AO con la circonferenza;
si porti infine su AB il segmento AE congruente
ad AC. Proveremo che AE è il segmento cercato,
cioè che sussiste la proporzione:
AB : AE = AE : EB
Infatti per il teorema della secante e della
tangente (se da un punto si conducono ad una
circonferenza una secante e una tangente, il
segmento determinato dalla circonferenza sulla
tangente è medio proporzionale fra i segmenti
determinati sulla secante e aventi un estremo in
quel punto) si ha:
AD : AB = AB : AC
Da cui scomponendo si ottiene:
(AD – AB) : AB = (AB – AC) : AC
Ma siccome AB è congruente a CD e AC è
congruente ad AE si ha pure:
AD – AB = AD – CD = AC = AE
B – AC = AB – AE =EB
Perciò l’ultima proporzione diventa:
AE : AB = EB : AE
Da cui invertendo:
AB : AE = AE : EB

5. La sezione aurea nella natura
Troviamo la sezione aurea nelle
dimensioni di molte foglie, ad esempio in
quella di rosa: la larghezza della foglia è
sezione aurea della lunghezza.
Tornando poi alla sequenza di Fibonacci
possiamo dire che due scienziati Von
Ettingshausen e Prokorni, hanno
trasferito questo metodo in natura e
precisamente in botanica. Questi
scienziati sono arrivati alla conclusione
che, poiché la crescita delle piante avviene
mediante la divisione delle cellule, le
dimensioni fondamentali delle piante
delle diverse età, negli stessi periodi
dell'anno, devono per forza presentarsi
come
la successione di Fibonacci.In effetti, se
misuriamo lo stelo di una pianta da un
germoglio all'altro, troviamo i rapporti
AB : BC, BC: CD, CD : DE, che rimandano
al tasso di crescita della successione di
Fibonacci.Inoltre possiamo osservare che
le foglie crescono seguendo una spirale
nella quale il rapporto tra il passo e la

6. ““La sezione aurea nell’uomo”La sezione aurea nell’uomo”
Già Vitruvio indicava la regola che l'uomo,
se in piedi con le gambe chiuse e le braccia
distese in orizzontale, può essere inscritto
in un cerchio (si veda l'immagine di
Leonardo), di cui il centro cade sulle parti
genitali; la lunghezza globale del corpo
viene tagliata dalla vita in due segmenti
di cui il più lungo è una sezione aurea.
L'uomo se in piedi con gambe divaricate e
braccia leggermente inclinate verso il
basso, può essere contenuto entro un
pentagono regolare, il cui centro coincide
nuovamente con le parti genitali. Lo
scultore greco Policleto (ca. 420 a.C.)
affermava che nell'uomo perfetto la
lunghezza complessiva del corpo viene
suddivisa dai fianchi secondo la sezione
aurea (canone). La distanza tra i genitali
e la laringe viene tagliata dall'ombelico in
un rapporto aureo, mentre quella tra la
testa e l'ombelico è analogamente tagliata
dalla laringe.

7. La successione di FibonacciLa successione di FibonacciNel diciannovesimo secolo, Eduard Lucas (studioso
francese di teoria dei numeri) chiamò con il nome di
Fibonacci una successione che si presenta in un facile
problema del Liber Abaci. Supponiamo che una coppia
di conigli adulti sia allevata in una conigliera.
Ammettiamo che i conigli comincino a prolificare all'età
di due mesi, generando una coppia maschio-femmina
alla fine di ogni mese. Se nessuno dei conigli muore,
quanti conigli si troveranno nella conigliera in capo a un
anno? Un grafo ad albero mostra ciò che avviene. Il
numero di coppie all'inizio di ogni mese è
successivamente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...... Ogni numero che
compare in questa successione è la somma dei due
numeri che lo precedono. Alla fine dei dodici mesi le coppie
di conigli saranno 377. La proprietà più importante della
successione di Fibonacci è costituita dal fatto che il
rapporto tra due numeri consecutivi di essa è
alternativamente maggiore e minore del rapporto aureo e
che, al procedere della successione, la differenza va
diminuendo sempre più, sicché la successione di questi
rapporti ammette come limite il rapporto aureo.

8. La sezione aurea nella pitturaLa sezione aurea nella pittura
Utilizzando la sezione aurea nei suoi
dipinti Leonardo inoltre scoprì che,
guardando le opere, si poteva creare un
sentimento di ordine.
In particolare Leonardo incorporò il
rapporto aureo in tre dei suoi capolavori:
La Gioconda, L’ultima cena e
L'Uomo di Vitruvio.
Nella Gioconda il rapporto aureo è stato
individuato:
• nella disposizione del quadro
• nelle dimensioni del viso
• nell’area che va dal collo a sopra le mani
• in quella che va dalla scollatura dell’abito
fino a sotto le mani.
Ne L’Ultima cena, Gesù, il solo
personaggio veramente divino, è dipinto
con le proporzioni divine, ed è racchiuso in
un rettangolo aureo.

9. La sezione aurea nella musicaLa sezione aurea nella musica
(Introduzione)(Introduzione)
Il suono viene captato dal nostro organo dell'udito, ossia vengono
sottoposti a vibrazioni gli organi di Corti, che possiamo paragonare alle
asticciole di un carillon. Siamo abituati a sud- dividere in sette note
(do,re,mi,fa,sol,la,si). I suoni sono in successione e la distanza tra un do
e il do successivo viene definita ottava. Un gruppo di otto note successive
si chiama "scala" e la sua ultima nota è la prima di un' eventuale ottava
più alta. La scala può cominciare con qualsiasi nota, ma quella che
comincia con do, per ragioni varie, è la più "naturale". Quando costruiamo
la scala di do, per esempio, sentiamo che le distanze tra i diversi suoni
non sono sempre uguali. Le distanze do-re, re-mi, fa-sol, sol-la, la-si sono
ognuna un tono, mentre le distanze mi-fa e si-do sono un semitono.
Raggruppando il numero di vibrazioni dei dodici semitoni che si
susseguono ricaviamo una proporzione continua.
Il numero delle variazioni che si differenziano per otto semitoni si
comporta quindi come la sezione aurea:
T1:T9=T9:T17=1:1,618

10. La sezione aurea nella musicaLa sezione aurea nella musica
Negli organi di corti dell'apparato uditivo
umano, cui compete la selezione dei suoni,
si deve poter riscontrare il principio della
sezione aurea; non solo, ma essa è anche
punto di riferimento nella costruzione di
canne di organo e altri strumenti musicali.
Possiamo anche ipotizzare che negli organi
di Corti dell'apparato uditivo umano, che
reagiscono alle tonalità pure, operi il
principio dei numeri della seccessione di
Fibonacci.
In un violino, il cui timbro dipende dalle
dalle possibilità di vibrazione di tutte le
parti, la sezione aurea gioca sicuramente
un ruolo; in effetti se misuriamo uno
Stradivari vediamo che esso è contenibile
entro quattro pentagoni regolari i cui lati
fungono da tangenti, determinando una
linea estremamente armoniosa

11. Sezione aurea nelle opereSezione aurea nelle opere
Beethoven, Ludwing van , compositore tedesco
(Bonn 1770 -Vienna 1827). La sua vita,
trascorsa quasi per intera a Vienna, fu
travagliata da infelici esperienze sentimentali e
da ristrettezze economiche. A dodici anni già
componeva; divenne sordo a trentadue anni, e ciò
contribuì a imprimere nel suo animo una visione
drammatica della vita. Compositore fecondissimo,
fu con Haydn e Mozart il più grande esponente
del classicismo viennese, in una delle sue
opere:”33 variazioni sopra un valzer di
Diabelli”, Beethoven suddivide la sua
composizione in parti corrispondenti ai numeri di
Fibonacci. L’impulso a comporre quest’opera
venne dall’invito che nel 1821 Anton Diabelli
rivolse a quasi tutti i compositori di Vienna,
sollecitandoli a scrivere una variazione su un
Valzer da lui stesso composto. Beethoven ha posto
alla base della sue variazioni non la melodia e le
successioni armoniche, quanto piuttosto la
struttura formale e ritmica del tema, cosicché W.
Riezler parla di variazione di struttura. E quanta
esperienza personale entri in tutto ciò lo rivela la
22° variazione.

12. S.A. nelle altre figureS.A. nelle altre figure
geometrichegeometriche
Esiste uno speciale rettangolo le cui
proporzioni corrispondono alla sezione
aurea. Il suo nome è rettangolo aureo. Per
costruire il rettangolo aureo si disegni un
quadrato di lato a i cui vertici chiameremo,
a partire dal vertice in alto a sinistra e
procedendo in senso orario, AEFD. Quindi
dividere il segmento AE in due chiamando
il punto medio A'. Utilizzando il compasso
e puntando in A' disegnare un arco che da
F intersechi il prolungamento del segmento
AE in B. Con una squadra disegnare il
segmento BC perpendicolare ad AB. Il
rettangolo ABCD è un rettangolo aureo nel
quale Ab è diviso dal punto E esattamente
nella sezione aurea:
AE:AB=EB:AE

13. La Sezione Aurea
nelle altre figure geometriche
PENTAGONO E TRIANGOLI IN
ESSO CONTENUTI
All’interno di un pentagono, ogni
lato forma con due diagonali (il
segmento che unisce due punti non
adiacenti) un triangolo dagli angoli con
misura 72°, 72°, 36°, con le proprietà
spiegate in precedenza. Ogni lato
forma, con il punto d’incontro di due
diagonali consecutive, un triangolo
dagli angoli 36°, 36°, 108°, con le
proprietà descritte in precedenza.
Cioè il lato del pentagono regolare è
la sezione aurea di una sua diagonale e
il punto d' intersezione tra due
diagonali divide ciascuna di esse in
due segmenti che stanno nel rapporto
aureo.