3. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 3
• Els sistemes que treballen amb senyals de tipus continu amb un marge
de variació determinat s’anomenen sistemes analògics.
Els senyals analògics són els que poden variar d’una manera
progressiva sobre un interval continu de valor. Són senyals analògics la
temperatura, la pressió, el soroll, el pes, la velocitat,...
SISTEMES ANALÒGICS I DIGITALS
Ex: apagada i encesa de llums
halògens mitjançant un
potenciòmetre,...
• El principal avantatge dels
sistemes analògics és que la
informació analògica conté infinits
valors instantanis i, per tant,
resulta molt completa.
4. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 4
• Els sistemes que treballen amb senyals de tipus tot o res (anomenats
binaris) s’anomenen sistemes digitals.
Els senyals digitals són els que poden presentar dos estats o nivells:
obert o tancat, activat o desactivat, connexió o desconnexió,... Aquests
nivells o estats se solen representar per variables lògiques o bits, el
valor dels quals pot ser 0 o 1.
SISTEMES ANALÒGICS I DIGITALS
Ex: apagada i encesa de llum
mitjançant un interruptor,...
• Els principals avantatges dels
sistemes digitals són la comoditat
d’ús, senzillesa en la transmissió,
facilitat en el processament i en
l’emmagatzematge.
5. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 5
• La majoria de paràmetres físics de l’univers són analògics, per tant la
majoria de sistemes són mixtos, formats per blocs analògics i blocs
digitals, depenent del treball que han d’efectuar.
SISTEMES ANALÒGICS I DIGITALS
6. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 6
Ex: termòmetre clínic digital per mesurar la Tª corporal de persones.
SISTEMES ANALÒGICS I DIGITALS
1. La captació de la Tª (magnitud analògica) es realitza mitjançant
un transductor que proporciona un senyal elèctric analògic
proporcional al valor de la Tª mesurada.
2. S’amplifica el senyal obtingut pel transductor (encara analògic).
3. Es converteix el senyal analògic en digital.
4. Es processen les dades, es memoritza el resultat i es visualitza
per mitjà d’un visualitzador de cristall líquid.
7. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 7
• Un sistema de numeració és un conjunt de símbols i regles emprats
per representar dades numèriques o quantitats.
Els sistemes més utilitzats són el decimal (de base 10 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8 i 9) i el binari (de base 2 0 i 1).
SISTEMES DE NUMERACIÓ
EL SISTEMA DECIMAL
• Qualsevol nombre decimal es pot descompondre en potències de 10:
Ex1: 3056 = 3*103 + 0*102 + 5*101 + 6*100
ja que: 3 x 103 = 3 x 1000 = 3000
0 x 102 = 0 x 100 = 0
5 x 101 = 5 x 10 = 50
6 x 100 = 6 x 1 = ___6
Total 3056
Ex2: 384,27 = 3·102 + 8·101 + 4·100 + 2·10-1 + 7·10-2
8. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 8
SISTEMES DE NUMERACIÓ
EL SISTEMA BINARI
• És el sistema que s’utilitza internament els circuits digitals. Utilitza
únicament dos bits: 0 absència de senyal
1 presència de senyal
El bit, de l’expressió
anglesa binary digit, és
la unitat d’informació
bàsica.
CONVERSIÓ DEL SISTEMA BINARI AL DECIMAL
• Ex: 111001012 = 1·27 + 1·26 + 1·25 + 0·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 =
128 + 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 22910
9. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 9
SISTEMES DE NUMERACIÓ
CONVERSIÓ DEL SISTEMA BINARI AL DECIMAL
10. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 10
SISTEMES DE NUMERACIÓ
CONVERSIÓ DEL SISTEMA BINARI AL DECIMAL
11. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 11
SISTEMES DE NUMERACIÓ
CONVERSIÓ DEL SISTEMA DECIMAL AL BINARI
• Ex: 4710 = 1011112
12. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 12
SISTEMES DE NUMERACIÓ
CONVERSIÓ DEL SISTEMA DECIMAL AL BINARI
13. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 13
• Les operacions aritmètiques binàries es fan de la mateixa manera que
les operacions amb el sistema decimal.
SISTEMES DE NUMERACIÓ
OPERACIONS ARITMÈTIQUES AMB NOMBRES BINARIS
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1 0 (0 amb transport o ròssec 1)
ADDICIÓ BINÀRIA
110011
10111
01101
111
14. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 14
SISTEMES DE NUMERACIÓ
OPERACIONS ARITMÈTIQUES AMB NOMBRES BINARIS
ADDICIÓ BINÀRIA
15. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 15
SISTEMES DE NUMERACIÓ
OPERACIONS ARITMÈTIQUES AMB NOMBRES BINARIS
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = 1 (i 1 de préstec)
SUBTRACCIÓ BINÀRIA
110001
11
01101
100111
0100
1011
1111
16. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 16
SISTEMES DE NUMERACIÓ
OPERACIONS ARITMÈTIQUES AMB NOMBRES BINARIS
SUBTRACCIÓ BINÀRIA
17. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 17
SISTEMES DE NUMERACIÓ
OPERACIONS ARITMÈTIQUES AMB NOMBRES BINARIS
0 · 0 = 0
0 · 1 = 0
1 · 0 = 0
1 · 1 = 1
MULTIPLICACIÓ BINÀRIA
18. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 18
SISTEMES DE NUMERACIÓ
OPERACIONS ARITMÈTIQUES AMB NOMBRES BINARIS
DIVISIÓ BINÀRIA
19. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 19
• Quan s’han de representar nombres relativament grans en codi binari,
el nombre de bits augmenta considerablement, la qual cosa dificulta la
conversió a sistema decimal.
Per salvar aquest inconvenient s’utilitza, entre d’altres, el codi BCD,
basat en el sistema de numeració binari.
Consisteix en codificar cada xifra del nombre decimal, de forma
independent, amb el seu corresponent nombre binari.
SISTEMES DE NUMERACIÓ
CODI BCD (Binary Coded Decimal)
• Ex: 26810 = 0010 0110 1000
2 6 8
20. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 20
• Una funció lògica és una expressió algebraica formada per variables
binàries sobre les quals s’executen operacions lògiques. Els circuits
electrònics que efectuen directament les diferents funcions o
operacions lògiques s’anomenen portes lògiques.
• Per veure el resultat de la funció lògica segons els valors que prenen
les variables d’entrades, es fa servir la taula de veritat, que
representa de manera ordenada totes les combinacions possibles dels
valors d’entrada i la sortida que s’obté per a cadascuna.
Per a n variables el nombre de combinacions serà de 2n:
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
FUNCIONS I PORTES LÒGIQUES
2 variables taula amb 4 files (combinacions)
3 variables taula amb 8 files (combinacions)
4 variables taula amb 16 files (combinacions)
22. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 22
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
L’ADDICIÓ LÒGICA o FUNCIÓ OR
La regla general de la funció OR és:
0 + a = a
1 + a = 1
23. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 23
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
EL PRODUCTE LÒGIC o FUNCIÓ AND
La regla general de la funció AND és:
0 · a = 0
1 · a = a
24. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 24
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
EL COMPLEMENT, NEGACIÓ, INVERSIÓ o FUNCIÓ NOT
Les regles generals de la
funció NOT són:
aa
0aa
1aa
25. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 25
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
FUNCIÓ NOR (OR + NOT)
26. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 26
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
FUNCIÓ NAND (AND + NOT)
27. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 27
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
FUNCIÓ EXOR o OR-Exclusiva
1
0
0
1
28. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 28
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE (9)
FUNCIÓ EXNOR o NOR-Exclusiva (EXOR + NOT)
1
0
1
0
29. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 29
• La realització de circuits lògics es du a terme interconnectant portes
lògiques. Podem obtenir tant esquemes a partir d’equacions lògiques
com equacions a partir d’esquemes de circuits lògics.
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
ESQUEMES DE CIRCUITS LÒGICS
TAULA DE VERITAT
EQUACIONS LÒGIQUES
ESQUEMES DE CIRCUITS LÒGICS
(LOGIGRAMA)
30. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 30
• Primerament es resolen els parèntesis, després els productes i
finalment les addicions.
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
OBTENCIÓ DEL LOGIGRAMA A PARTIR DE L’EQUACIÓ LÒGICA
31. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 31
• Es resol d’esquerra a dreta, és a dir, d’entrada a sortida. A cada porta
s’indiquen les variables d’entrada i l’equació lògica de la sortida, fins a
arribar a la sortida de la darrera porta del circuit.
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
OBTENCIÓ DE L’EQUACIÓ LÒGICA A PARTIR DEL LOGIGRAMA
32. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 32
• La taula de veritat ha de contemplar totes les combinacions possibles
de les variables d’entrada 2nº de variables. De vegades es convenient
obtenir prèviament les sortides de les etapes intermèdies.
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE (13)
OBTENCIÓ DE TAULA DE VERITAT A PARTIR DE L’EQUACIÓ LÒGICA
ENTRADES SORTIDES
a b c a·b b (a+c) b·(a+c) F
0 0 0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 1 0 0
1 0 0 1 1 1 1 0
1 0 1 1 1 1 1 0
1 1 0 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 1 0 1
33. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 33
• A partir de la taula de veritat podem obtenir la funció lògica de dues
maneres diferents:
Com a addició de productes o minterms (mx on x = nombre de fila)
Com a producte d’addicions o maxterms (Mx on x = nombre de fila)
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE (14)
OBTENCIÓ DE FUNCIONS A PARTIR DE LA TAULA DE VERITAT (1)
34. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 34
EXPRESSIÓ LÒGICA MINTERM
Aquesta expressió lògica s’obté addicionant tots els productes lògics de
les variables d’entrada de les files, la sortida de les quals val 1 (files 1, 4
i 6 de l’exemple). On hi ha un 0 posem l’entrada corresponent negada; on
hi ha un 1, de forma directa sense negar.
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE (15)
OBTENCIÓ DE FUNCIONS A PARTIR DE LA TAULA DE VERITAT (2)
3
641 mmm1,4,6S
cbacbacbaS
35. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 35
EXPRESSIÓ LÒGICA MAXTERM
Aquesta expressió lògica s’obté a
partir del producte de les
addicions de les combinacions de
les variables d’entrada, de les
files la sortida de les quals val 0
(files 0, 2, 3, 5 i 7 de l’exemple).
On hi ha un 0 posem l’entrada
directa; on hi ha un 1, de forma
negada.
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE (16)
OBTENCIÓ DE FUNCIONS A PARTIR DE LA TAULA DE VERITAT (3)
75320
3
MMMMM0,2,3,5,7S
cbacbacbacbacbaS
36. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 36
• La simplificació d’equacions permet d’obtenir circuits lògics més
simples i senzills, amb el conseqüent estalvi econòmic, d’espai, de
temps, de consum, d’avaries,.... Hi ha diferents mètodes per tal de
simplificar funcions lògiques, però nosaltres ens centrarem en dos
d’ells:
Simplificació algebraica a traves de les propietats bàsiques
de l’àlgebra de Boole.
Simplificació mitjançant el mètode de Karnaugh.
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE (17)
SIMPLIFICACIÓ DE FUNCIONS (1)
37. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 37
• Dualitat: qualsevol expressió algebraica en l’àlgebra de Boole continua
essent vàlida si intercanviem: + ↔ * 0 ↔ 1
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE (18)
PROPIETATS BÀSIQUES DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE
0bcaba1bcaba
Ex:
38. 27/04/2013 Unitat 7. Sistemes digitals 38
PRINCIPIS DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE (19)
PROPIETATS BÀSIQUES DE L’ÀLGEBRA DE BOOLE (2)