2015年度秋学期 統計学 第１４回 分布についての仮説を検証する ― 仮説検定 (2016. 1. 13)
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関西大学総合情報学部 「統計学」（担当：浅野晃）
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- 22. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn 母集団 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわかっているものとする （説明の都合です） 標本平均 X
- 23. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)［性質２］ 正規分布の［性質１］により 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば，それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから， す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質１」から，Z は標準 は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 24. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)［性質２］ 正規分布の［性質１］により X 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば，それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから， す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質１」から，Z は標準 は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 25. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)［性質２］ 正規分布の［性質１］により X 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば，それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから， す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質１」から，Z は標準 は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 26. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)［性質２］ 正規分布の［性質１］により X 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば，それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから， す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質１」から，Z は標準 は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 27. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 正規分布の場合の区間推定 考え方 標本は，母集団分布と同じ確率分布にしたがう 正規分布N(μ, σ2) 標本平均は，やはり正規分布にしたがうが，分散 が1/nになる 正規分布N(μ, σ2/n)［性質２］ 正規分布の［性質１］により X 規分布 N(µ, σ2) にしたがうならば，それらの う 質の X1, ..., Xn にあてはまっていますから， す。 Z = ¯X − µ σ2/n で述べた「正規分布の性質１」から，Z は標準 は標準正規分布にしたがう N(0, 1)
- 28. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この例題は 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 標本平均 X
- 29. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この例題は 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわか 標本平均 X
- 30. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この例題は 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわか 標本平均 X らないので，
- 31. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この例題は 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 （受験者全体） 母平均μ 母平均μの95%信頼区間が 知りたい 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわか 標本平均 X らないので， 不偏分散s2で代用
- 32. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布 は t(n-1) 。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算され t = ¯X − µ s2/n t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし ？ 布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度 右対称の形になっています。 自由度(n-1)のt分布にしたがう t統計量 （「スチューデントのt分布」という） 発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム
- 33. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95%とすると は自由度(n-1)のt分布にしたがう t(n-1)の 確率密度関数 が 面積=95% 境界の値はいくら？ しょう。このとき，(3) 式には µ と σ の２つの未知の量がある で，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが，t はどのよ 標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも，標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める しょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で，またこの 10 人の点数の不偏分 平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取り出したと Z = ¯X − µ σ2/n ( (0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では，Z のこの 定を行いました。 るとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未知の量があ ん。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえ t = ¯X − µ s2/n ( を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが，t はどの ？ t(n-1)
- 35. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1)
- 36. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布を用いた区間推定 式で書くと が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% μの式に直すと しょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未知の量がある で，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが，t はどのよ 標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（スチューデント n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも，標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で，またこの 10 人の点数の不偏分 t 0 t0.025(n –1)–t0.025(n –1) tが入る確率95%の区間 図 2: t 分布と区間推定 あるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 立ちます（図 2）。この式から， P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 ますから，µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 t 0 t0.025 (n –1)–t0.025 (n –1) 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 tが入る確率95%の区間 図 2: t 分布と区間推定 であるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 立ちます（図 2）。この式から， P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95
- 37. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 前回のプリントの例題 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます（図 2）。この式から， P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から，µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには，一緒に配布した数表（t ができます。数表では，各自由度 ν（縦軸）と定数 α（横軸）に対して，tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合，標本平均 ¯X = 50，不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから，µ の 95%信頼区間は「46.4（点）以上 53.6（点）以下」 のように，母分散が 25 とわかっているときには，µ の 95%信頼区間は「46.9（点 でしたから，今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは，不偏分散は母分散そのものではな t0.025(10-1)=2.262
- 38. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 前回のプリントの例題 μの95% 信頼区間の 下限 μの95% 信頼区間の 上限 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 るような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ます（図 2）。この式から， P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 から，µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 なわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには，一緒に配布した数表（t ができます。数表では，各自由度 ν（縦軸）と定数 α（横軸）に対して，tα(ν) が 読むことで求められます。この問題の場合，標本平均 ¯X = 50，不偏分散 s2 = 2 − 1) = 2.262 ですから，µ の 95%信頼区間は「46.4（点）以上 53.6（点）以下」 のように，母分散が 25 とわかっているときには，µ の 95%信頼区間は「46.9（点 でしたから，今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い 不確かであることを意味しています。これは，不偏分散は母分散そのものではな t0.025(10-1)=2.262 で，信頼区間を求めるのは， 今日の本題ではありません。
- 41. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t分布を用いた区間推定 この区間に入っている確率=95% が 面積=95% 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1)
- 42. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この式の意味は （t統計量）が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未知の量がある こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが，t はどのよ ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（スチューデント (n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも，標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 布であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で，またこの 10 人の点数の不偏分
- 43. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この式の意味は 式で書くと （t統計量）が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未知の量がある こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが，t はどのよ ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（スチューデント (n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも，標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 布であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で，またこの 10 人の点数の不偏分
- 44. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この式の意味は 式で書くと （t統計量）が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% t 0 t0.025(n –1)–t0.025(n –1) tが入る確率95%の区間 図 2: t 分布と区間推定 あるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 立ちます（図 2）。この式から， P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 ますから，µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未知の量がある こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが，t はどのよ ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（スチューデント (n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも，標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 布であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で，またこの 10 人の点数の不偏分
- 45. 2015 A.Asano,KansaiUniv. この式の意味は 式で書くと （t統計量）が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の間に入って いる確率が95% t 0 t0.025(n –1)–t0.025(n –1) tが入る確率95%の区間 図 2: t 分布と区間推定 あるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 立ちます（図 2）。この式から， P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 ますから，µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 t統計量が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の 間に入っている， という記述は，確率95%で当たっている ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未知の量がある こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 でおきかえた t = ¯X − µ s2/n (4) 計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが，t はどのよ ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（スチューデント (n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正規分布とよく の形になっています。 合でも，標準正規分布の場合と同様に母平均の信頼区間を求める ましょう。 布であるとします。この試験の受験者から 10 人の標本を無 を平均したところ 50 点で，またこの 10 人の点数の不偏分
- 48. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 見方を変えてみると この区間に入っていない確率=5% が 面積=95% 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1)
- 49. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 見方を変えてみるとあるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ちます（図 2）。この式から， P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 すから，µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 すなわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには，一緒に配布した数表（t 分 とができます。数表では，各自由度 ν（縦軸）と定数 α（横軸）に対して，tα(ν) が縦 を読むことで求められます。この問題の場合，標本平均 ¯X = 50，不偏分散 s2 = 25 0 − 1) = 2.262 ですから，µ の 95%信頼区間は「46.4（点）以上 53.6（点）以下」 例のように，母分散が 25 とわかっているときには，µ の 95%信頼区間は「46.9（点 下」でしたから，今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い t統計量が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の 間に入っている，という記述は， 確率95%で当たっている
- 50. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 見方を変えてみるとあるような値」とすると P −t0.025(n − 1) ¯X − µ s2/n t0.025(n − 1) = 0.95 ちます（図 2）。この式から， P ¯X − t0.025(n − 1) s2 n µ ¯X + t0.025(n − 1) s2 n = 0.95 すから，µ の 95%信頼区間は (6) 式のかっこ内の範囲となります。 すなわち自由度 ν の 100α パーセント点の値を知るには，一緒に配布した数表（t 分 とができます。数表では，各自由度 ν（縦軸）と定数 α（横軸）に対して，tα(ν) が縦 を読むことで求められます。この問題の場合，標本平均 ¯X = 50，不偏分散 s2 = 25 0 − 1) = 2.262 ですから，µ の 95%信頼区間は「46.4（点）以上 53.6（点）以下」 例のように，母分散が 25 とわかっているときには，µ の 95%信頼区間は「46.9（点 下」でしたから，今回の場合の方が信頼区間が広くなっています。信頼区間が広い t統計量が -t0.025(n-1) と t0.025(n-1) の 間に入っている，という記述は， 確率95%で当たっている t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 確率5%でしか当たっていない
- 55. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は
- 56. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50
- 57. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25
- 58. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10
- 59. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると さらに μ=54 とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10
- 60. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると さらに μ=54 とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 t = -2.53 である。
- 66. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t 0
- 67. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t 0
- 68. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， t 0
- 69. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 正しい t 0
- 70. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 正しい t 0 面積=95%
- 71. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると グレー以外に入る確率= あわせて5% t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 正しい t 0 面積=95%
- 73. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は，
- 74. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は，正しい
- 75. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は，正しい この記述は 確率5%でしか当たっていないはずでは？
- 76. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 確率5%でしか当たっていないはずの 記述が 当たっていることになってしまう 正しい この記述は 確率5%でしか当たっていないはずでは？
- 77. 2015 A.Asano,KansaiUniv. こんな推論ができる t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 確率5%でしか当たっていないはず
- 78. 2015 A.Asano,KansaiUniv. こんな推論ができる t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 確率5%でしか当たっていないはず μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53
- 79. 2015 A.Asano,KansaiUniv. こんな推論ができる t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 確率5%でしか当たっていないはず μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 n=10のとき t0.025(10-1)=2.262
- 80. 2015 A.Asano,KansaiUniv. こんな推論ができる 確率5%でしか当たっていないはずの 記述が，いま偶然当たっている と考えざるをえない t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 確率5%でしか当たっていないはず μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 n=10のとき t0.025(10-1)=2.262
- 100. A.Asano,KansaiUniv.
- 102. 2015 A.Asano,KansaiUniv. ここまでで説明した検定 t 0 この区間に入っていない確率=5% が 面積=95% 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1)
- 105. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 0 t 棄却域 面積=あわせて5% が 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1)
- 106. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 0 t 棄却域 このどちらかの区間に入っている確率=5% 面積=あわせて5% が 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1)
- 107. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 0 t 棄却域 このどちらかの区間に入っている確率=5% 面積=あわせて5% が 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) 入っているとき帰無仮説を棄却するので ［棄却域］という
- 110. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 こんな棄却域でもいいはず 面積=ここだけで5% が 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 -t0.05(n-1) t(n-1)
- 111. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 こんな棄却域でもいいはず この区間に入っている確率=5% 面積=ここだけで5% が 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 -t0.05(n-1) t(n-1)
- 112. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 こんな棄却域でもいいはず この区間に入っている確率=5% 面積=ここだけで5% が 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 -t0.05(n-1) t(n-1) 入っているとき帰無仮説を棄却する ［棄却域］
- 113. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定と片側検定 t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ ) = 0.025 域］ (b)
- 114. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定と片側検定 棄却域が両側に ある ［両側検定］ t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ ) = 0.025 域］ (b)
- 115. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定と片側検定 棄却域が両側に ある ［両側検定］ t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ ) = 0.025 域］ (b) 棄却域が片側に ある ［片側検定］
- 116. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定と片側検定 どう違う？ 棄却域が両側に ある ［両側検定］ t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ ) = 0.025 域］ (b) 棄却域が片側に ある ［片側検定］
- 117. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題のt統計量は いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は
- 118. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題のt統計量は いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50
- 119. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題のt統計量は いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25
- 120. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題のt統計量は いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10
- 121. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題のt統計量は さらに，帰無仮説が正しい ときμ=54とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10
- 122. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 例題のt統計量は さらに，帰無仮説が正しい ときμ=54とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 t = -2.53 である。 帰無仮説において μが大きいと，t統計量は小さくなる μが小さいと，t統計量は大きくなる
- 123. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5%
- 124. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら
- 125. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら
- 126. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら
- 127. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら
- 128. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず
- 129. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず
- 130. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず
- 131. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 右の棄却域に 入ったら棄却 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず
- 132. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 右の棄却域に 入ったら棄却 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず μはもっと 大きいはず
- 133. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 右の棄却域に 入ったら棄却 μが大きすぎても 小さすぎても棄却。 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず μはもっと 大きいはず
- 134. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 両側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左右どちらかの棄却域 に入ったら棄却 2.5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ t 0 t0.025(n –1)– t0.025(n –1) P(t ≥ t0.025(n –1)) = 0.025P(t ≤ –t0.025(n –1)) = 0.025 確率密度 ［棄却域］［棄却域］ (a) (b) 図 1: 検定の棄却域．(a) 両側検定，(b) 片側検定 は，図 1(a) のようにヒストグラムにおいて左右対称になっていました。 しかし，「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ ならない理由はありません。ですから，次の式で表される区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が 95%である区間」です。 P −t0.05(n − 1) ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) この場合をヒストグラムで表すと，図 1(b) のようになります。この区間を使った検定を考えてみましょう。 (3) 式は，「t 統計量が −t0.05(n − 1) 以下である」という記述が当たっている確率は，5%でしかないと 2.5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 右の棄却域に 入ったら棄却 μが大きすぎても 小さすぎても棄却。 対立仮説は「μは⃝⃝でない」 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず μはもっと 大きいはず
- 135. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 136. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 137. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 138. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 139. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 140. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 141. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 142. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 143. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 右には棄却域 はない 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 144. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 右には棄却域 はない 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず 棄却しない t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 145. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 右には棄却域 はない μが大きすぎる ときだけ棄却。 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず 棄却しない t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 146. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 右には棄却域 はない μが大きすぎる ときだけ棄却。 対立仮説は「μは⃝⃝よりもっと小さい」 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず 棄却しない t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。
- 147. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 片側検定では 帰無仮説が正しい時， t統計量が 左にある棄却域に入っ たら棄却 5% 大きすぎるとき （μ=70とか） 小さすぎて 左の棄却域に 入ったら棄却 小さすぎるとき （μ=30とか） 大きすぎて 右には棄却域 はない μが大きすぎる ときだけ棄却。 対立仮説は「μは⃝⃝よりもっと小さい」 帰無仮説のμが t統計量が 帰無仮説が 棄却されたら μはもっと 小さいはず 棄却しない t 確率密度 – t0.05(n – 1) P(t ≤ – t0.05(n – 1)) = 0.05 ［棄却域］ 0.025 (b) 側検定，(b) 片側検定 なっていました。 間」を求めるだけなら，別に左右対称でなければ れる区間も，やはり「t 統計量が入っている確率が ¯X − µ s2/n = 0.95 (3) ます。この区間を使った検定を考えてみましょう。 たとえ帰無仮説がμ=0であっても棄却しない。
- 150. 2015 A.Asano,KansaiUniv. くじびきの例でいうと くじをひく立場なら 帰無仮説：「当たり確率は50%である」 10回中1回も当たらなかったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率は小さいし， しかも結果に不満だから棄却したい
- 151. 2015 A.Asano,KansaiUniv. くじびきの例でいうと くじをひく立場なら 帰無仮説：「当たり確率は50%である」 10回中1回も当たらなかったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率は小さいし， しかも結果に不満だから棄却したい 10回中10回当たったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率はやはり小さい
- 152. 2015 A.Asano,KansaiUniv. くじびきの例でいうと くじをひく立場なら 帰無仮説：「当たり確率は50%である」 10回中1回も当たらなかったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率は小さいし， しかも結果に不満だから棄却したい 10回中10回当たったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率はやはり小さい が，
- 153. 2015 A.Asano,KansaiUniv. くじびきの例でいうと くじをひく立場なら 帰無仮説：「当たり確率は50%である」 10回中1回も当たらなかったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率は小さいし， しかも結果に不満だから棄却したい 10回中10回当たったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率はやはり小さい 結果に不満はないから棄却しない が，
- 154. 2015 A.Asano,KansaiUniv. くじびきの例でいうと くじをひく立場なら 帰無仮説：「当たり確率は50%である」 10回中1回も当たらなかったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率は小さいし， しかも結果に不満だから棄却したい 10回中10回当たったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率はやはり小さい 結果に不満はないから棄却しない が， 片側検定
- 160. 2015 A.Asano,KansaiUniv. くじびきの例でいうと 賞品を出す立場なら 帰無仮説：「当たり確率は50%である」 10回中1回も当たらなかったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率は小さい 10回中10回当たったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率はやはり小さい それでは破産してしまうので棄却したい とくに損はしないから棄却しない が，
- 161. 2015 A.Asano,KansaiUniv. くじびきの例でいうと 賞品を出す立場なら 帰無仮説：「当たり確率は50%である」 10回中1回も当たらなかったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率は小さい 10回中10回当たったら → 帰無仮説が正しいとするとき， そんなことが起きる確率はやはり小さい それでは破産してしまうので棄却したい とくに損はしないから棄却しない が， やはり 片側検定
- 169. 2015 A.Asano,KansaiUniv. いつもの状況 標本X1, ... Xnをとりだす サイズn母集団 （受験者全体） 母平均μ 正規分布 と仮定する 母分散σ2がわか 標本平均 X らないので， 不偏分散s2で代用
- 170. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t分布 は t(n-1) 。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算され t = ¯X − µ s2/n t 統計量といいます。Z は標準正規分布にし ？ 布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 れを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度 右対称の形になっています。 自由度(n-1)のt分布にしたがう t統計量 （「スチューデントのt分布」という） 発見者ウィリアム・ゴセットのペンネーム
- 171. 2015 A.Asano,KansaiUniv. t 0 t統計量については この区間に入っていない確率=5% が 面積=95% 団分布が母平均 µ，母分散 σ2 の正規分布で，そこから n 個の標本を取 あるとき， Z = ¯X − µ σ2/n 正規分布 N(0, 1) にしたがうことを説明しました。これまでの例では µ の区間推定を行いました。 が不明であるとしましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つの未 ができません。そこで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分散 s2 t = ¯X − µ s2/n す。この t を t 統計量といいます。Z は標準正規分布にしたがいますが でしょうか？ たがう確率分布は，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分布（ス 率分布で，これを t(n − 1) と書きます。t 分布の確率密度関数は標準正 t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1)
- 173. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は
- 174. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50
- 175. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25
- 176. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10
- 177. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると さらに μ=54 とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10
- 178. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると さらに μ=54 とすると いました。 ましょう。このとき，(3) 式には µ と σ2 の２つ こで，母分散 σ2 を，標本から計算される不偏分 t = ¯X − µ s2/n 量といいます。Z は標準正規分布にしたがい ，標準正規分布ではなく，自由度 n − 1 の t 分 t統計量の値は 標本平均=50 不偏分散=25 標本サイズ=10 t = -2.53 である。
- 184. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 0 t 「μ=54である」とすると t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262
- 185. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 0 t 「μ=54である」とすると t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262
- 186. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 0 t 「μ=54である」とすると t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は，
- 187. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 0 t 「μ=54である」とすると t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 正しい
- 188. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 0 t 「μ=54である」とすると ここに入る確率= あわせて5% t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 正しい
- 189. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 0 t 「μ=54である」とすると ここに入る確率= あわせて5% t0.025(n-1)-t0.025(n-1) t(n-1) μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 t0.025(n-1) 標本サイズ=10 =2.262 =-2.262 t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 正しい ［棄却域］
- 190. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 「μ=54である」とすると t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 確率5%でしか当たっていないはずの 記述が 当たっていることになってしまう 正しい この記述は 確率5%でしか当たっていないはずでは？
- 191. 2015 A.Asano,KansaiUniv. こんな推論ができる 確率5%でしか当たっていないはずの 記述が，いま偶然当たっている と考えざるをえない t統計量が -t0.025(n-1) 以下か t0.025(n-1) 以上である，という記述は， 確率5%でしか当たっていないはず μ=54であるとすると t統計量 t = -2.53 n=10のとき t0.025(10-1)=2.262
- 194. A.Asano,KansaiUniv.
- 196. 2015 A.Asano,KansaiUniv. 有意水準1%とすると t統計量が -t0.005(n-1) と t0.005(n-1) の 間に入っている，という記述は， 確率99%で当たっている