111. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニング
図形Xの構造要素Bによるオープニング
うは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま
合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B
表します。
XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2
}.
動したもの (translation) で，次のように定義されます。
Bz = {b + z | b ∈ B}.
学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.
うひとつの画像集合を考え，これを構造要素 (structuring elemen
処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定しています。
とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B によるオ
ます。
XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2
}.
もの (translation) で，次のように定義されます。
Bz = {b + z | b ∈ B}.
第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ
Bをzだけ移動
２次元座標平面の
格子点
112. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニング
図形Xの構造要素Bによるオープニング
うは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま
合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B
表します。
XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2
}.
動したもの (translation) で，次のように定義されます。
Bz = {b + z | b ∈ B}.
学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.
うひとつの画像集合を考え，これを構造要素 (structuring elemen
処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定しています。
とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B によるオ
ます。
XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2
}.
もの (translation) で，次のように定義されます。
Bz = {b + z | b ∈ B}.
第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ
Bをzだけ移動
２次元座標平面の
格子点
BがXの内部を移動するときの
B自身の軌跡
113. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニング
図形Xの構造要素Bによるオープニング
うは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま
合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B
表します。
XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2
}.
動したもの (translation) で，次のように定義されます。
Bz = {b + z | b ∈ B}.
学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.
うひとつの画像集合を考え，これを構造要素 (structuring elemen
処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定しています。
とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B によるオ
ます。
XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2
}.
もの (translation) で，次のように定義されます。
Bz = {b + z | b ∈ B}.
第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ
Bをzだけ移動
２次元座標平面の
格子点
BがXの内部を移動するときの
B自身の軌跡
これが
114. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニング
図形Xの構造要素Bによるオープニング
うは処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定していま
合 X とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B
表します。
XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2
}.
動したもの (translation) で，次のように定義されます。
Bz = {b + z | b ∈ B}.
学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.
うひとつの画像集合を考え，これを構造要素 (structuring elemen
処理対象の画像よりもずっと小さいものを想定しています。
とし，構造要素を集合 B とします。このとき，X の B によるオ
ます。
XB = {Bz | Bz ⊆ X, z ∈ Z2
}.
もの (translation) で，次のように定義されます。
Bz = {b + z | b ∈ B}.
第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/ 1/5 ペ
Bをzだけ移動
２次元座標平面の
格子点
BがXの内部を移動するときの
B自身の軌跡
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X}
ことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまな
います。
ープニング XB は，次のように分解されます
XB = (X ⊖ ˇB) ⊕ B.これが であることを示す
？？？？
115. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
116. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
117. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
118. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
119. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
120. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
121. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
122. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
x
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
123. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
x
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
124. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
‒b
x
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
125. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
‒b
x
x‒b
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
126. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
‒b
x
x‒b
x ‒ b ∈ X
であるならば
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
127. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
‒b
x
x‒b
+b
x ‒ b ∈ X
であるならば
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
128. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
‒b
x
x‒b
+b
x ‒ b ∈ X
であるならば
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
129. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
‒b
x
x‒b
+b
Xbはこうなるから
x ‒ b ∈ X
であるならば
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
130. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
‒b
x
x‒b
+b
Xbはこうなるから
x ‒ b ∈ X
であるならば
x ∈ Xb
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
131. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
‒b
x
x‒b
+b
Xbはこうなるから
x ‒ b ∈ X
であるならば
x ∈ Xb
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
どんなbに対してもXbに含まれる
xの集まり
132. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：Minkowski集合差
Minkowski集合差
と同値
Bの形にそって
が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
次のように定義します。
B b
‒b
X
‒b
x
x‒b
+b
Xbはこうなるから
x ‒ b ∈ X
であるならば
x ∈ Xb
もし，このxが
と書ける。なぜなら
on) とダイレーション (dilation) という演算に分解します。
スキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
ます。
，あるベクトル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈ X で
式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のよ
は
Minkowski差は
Xが移動
どんなbに対してもXbに含まれる
xの集まり
つまり
1）。オープニングは，構造要素よりも小さい構造や小さな白い点を
力を持っています。また，X と XB との差は，B の軌跡では描く
のうち構造要素よりも小さな構造ということになります。
オープニングを分解
(1) 式によるオープニングの表現は，直観的にはわかりやすいので
とになっているため，各画素に対して 1 または 0 を出力する形には
グをさらに簡単な画素毎の演算に分解します。ここでは，オープニ
set subtraction) と Minkowski 集合和 (Minkowski set addition)，
ジョン (erosion) とダイレーション (dilation) という演算に分解し
ミンコフスキー集合差は
X ⊖ B =
b∈B
Xb,
と定義され，集合和は
X ⊕ B =
b∈B
Xb.
133. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：反転と集合差
x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈
定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
= {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
tion) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっ
す。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係
くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています
b∈B
Xb = {x + b|x ∈ X, ∀
b ∈ B}
3 年度春学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/
をBの反転
，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
B の反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること
∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得
が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である
和については，
Minkowski集合差
を使って表すと，
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
式から，X ⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となる
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で
} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の
の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌
134. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：反転と集合差
x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈
定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
= {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
tion) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっ
す。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係
くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています
b∈B
Xb = {x + b|x ∈ X, ∀
b ∈ B}
3 年度春学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/
をBの反転
，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
B の反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること
∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得
が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である
和については，
Minkowski集合差
を使って表すと，
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
式から，X ⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となる
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で
} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の
の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌
135. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：反転と集合差
x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈
定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
= {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
tion) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっ
す。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係
くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています
b∈B
Xb = {x + b|x ∈ X, ∀
b ∈ B}
3 年度春学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/
をBの反転
，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
B の反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること
∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得
が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である
和については，
Minkowski集合差
を使って表すと，
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
式から，X ⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となる
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で
} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の
の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌
136. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：反転と集合差
x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈
定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
= {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
tion) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっ
す。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係
くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています
b∈B
Xb = {x + b|x ∈ X, ∀
b ∈ B}
3 年度春学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/
をBの反転
，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
B の反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること
∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得
が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である
和については，
Minkowski集合差
を使って表すと，
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
式から，X ⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となる
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で
} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の
の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌
137. 2015
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オープニングの分解：反転と集合差
x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈
定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
= {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
tion) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっ
す。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係
くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています
b∈B
Xb = {x + b|x ∈ X, ∀
b ∈ B}
3 年度春学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/
をBの反転
トル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x −
差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
ion) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわ
，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
B の反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること
∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得
が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である
和については，
Minkowski集合差
を使って表すと，
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
式から，X ⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となる
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で
} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の
の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌
138. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：反転と集合差
x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x − b ∈
定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
= {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
tion) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差は次のように表
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわかります。よっ
す。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この関係
くまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示しています
b∈B
Xb = {x + b|x ∈ X, ∀
b ∈ B}
3 年度春学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneko.jp/
をBの反転
トル x が Xb に含まれる，すなわち x ∈ Xb のとき，x −
差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せます。
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
ion) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集合差
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であることがわ
ところで，あるベクトル
使うと，(3) 式の集合差の
また，B の反転 (reflectio
上の２つの式から，X ⊖B
なぜならば，(6) 式の反転
{x−b|b ∈ B} となります
は， ˇB が X の内部をくま
集合和については，
がXの内部を動くときの，
ところで，あるベクトル x が Xb に含まれる，すな
使うと，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎
X ⊖ B = {x|x −
また，B の反転 (reflection) ˇB を，次のように定義し
ˇB = {−b
上の２つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b
X ⊖ B = {
なぜならば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b +
{x−b|b ∈ B} となります。この式を (5) 式に代入する
は， ˇB が X の内部をくまなく動き回ったときの，B
集合和については，
の原点の軌跡
，(3) 式の集合差の定義は，次のような画素毎の演算に書き直せま
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈ B}.
B の反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
つの式から，X ⊖B = {x|(−b)+x ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となるので，集
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
らば，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} であること
∈ B} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得
が X の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡である
和については，
Minkowski集合差
を使って表すと，
X ⊖ B = {x|x − b ∈ X, ∀
b ∈
反転 (reflection) ˇB を，次のように定義します。
ˇB = {−b|b ∈ B}.
式から，X ⊖B = {x|x+(−b) ∈ X, ∀(−b) ∈ ˇB} となる
X ⊖ B = {x| ˇBx ⊆ X}.
，(6) 式の反転の定義から， ˇBx = {−b + x|b ∈ B} で
} となります。この式を (5) 式に代入すると，(7) 式の
の内部をくまなく動き回ったときの， ˇB の原点の軌
139. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：集合和
すなわち
X ⊕ B = {b + x|b ∈ B, x ∈ X} =
x∈X
Bx.
は，X ⊕ B は，B のコピーを X 内部のすべての点に貼付ける
て，X の B によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーシ
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X}
す。このことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回
の式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この
く動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい
b∈B
Xb = {x + b|x ∈ X, ∀
b ∈ B}
学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneX ⊕ B = {b + x|b ∈ B, x ∈ X} =
x∈X
Bx.
は，X ⊕ B は，B のコピーを X 内部のすべての点に貼付け
て，X の B によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレー
Minkowski集合和は
140. 2015
A.Asano,KansaiUniv.
オープニングの分解：集合和
すなわち
X ⊕ B = {b + x|b ∈ B, x ∈ X} =
x∈X
Bx.
は，X ⊕ B は，B のコピーを X 内部のすべての点に貼付ける
て，X の B によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレーシ
X ⊖ ˇB = {x|Bx ⊆ X}
す。このことは，X ⊖ ˇB は，B が X の内部をくまなく動き回
の式を (5) 式に代入すると，(7) 式の関係が得られます。この
く動き回ったときの， ˇB の原点の軌跡であることを示してい
b∈B
Xb = {x + b|x ∈ X, ∀
b ∈ B}
学期） 第１０回 (2013. 6. 12) http://racco.mikeneX ⊕ B = {b + x|b ∈ B, x ∈ X} =
x∈X
Bx.
は，X ⊕ B は，B のコピーを X 内部のすべての点に貼付け
て，X の B によるエロージョンを X ⊖ ˇB と，またダイレー
BのコピーをXを構成する各画素に
くまなく貼付ける
Minkowski集合和は
