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CHAPTER – 7 INTEGRALS Basic
Concepts and Formulae : 1.List of Some Standard Integrals : (i) 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 𝑛+1 + 𝐶 (𝑛 ≠ 1) (ii) 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝐶 (iii) 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 (iv) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶 (v) 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 (vi) 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶 (vii) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶 (viii) 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶 (ix) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶 (x) 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 (xi) 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑎 + 𝐶 (xii) (a) 1 1−𝑥2 𝑑𝑥 = sin−1 𝑥 + 𝐶 (b) 𝑑𝑥 𝑎2−𝑥2 = sin−1 𝑥 𝑎 + 𝐶 (xiii) (a) 1 1+𝑥2 𝑑𝑥 = sin−1 𝑥 + 𝐶 (b) 1 𝑎2+𝑥2 dx = 1 𝑎 tan−1 𝑥 𝑎 + 𝐶 (xiv) 1 𝑥 𝑥2−1 𝑑𝑥 = sec−1 𝑥 + 𝐶 (xv) − 𝑑𝑥 𝑥 𝑥2−1 = cosec−1 𝑥 + 𝐶 (xvi) − 1 𝑎2−𝑥2 𝑑𝑥 = 1 𝑎 cot−1 𝑥 𝑎 + 𝐶 (xvii) 1 𝑥 𝑥2−𝑎2 𝑑𝑥 = 1 𝑎 sec−1 𝑥 𝑎 + 𝐶 (xviii) − 1 𝑥 𝑥2−𝑎2 𝑑𝑥 = 1 𝑎 cosec−1 𝑥 𝑎 + 𝐶 1. More Standard Results : 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑙𝑜𝑔 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶, provided x is not an odd multiple of 𝜋 2 . 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝐶. 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑒𝑐 𝜋 4 + 𝑥 2 + 𝐶 . 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶 = 𝑙𝑜𝑔 𝑡𝑎𝑛 𝑥 2 + 𝐶 2. Results of Some Special Integrals : 𝑑𝑥 𝑎2 + 𝑥2 = 1 𝑎 tan−1 𝑥 𝑎 + 𝐶 𝑑𝑥 𝑥2 − 𝑎2 = 1 2𝑎 log 𝑥 − 𝑎 𝑥 + 𝑎 + 𝐶 𝑑𝑥 𝑎2 − 𝑥2 = 1 2𝑎 log 𝑎 + 𝑥 𝑎 − 𝑥 + 𝐶 1 𝑎2+𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥+ 𝑥2+𝑎2 𝑎 + 𝐶 𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2 +C 1 𝑥2−𝑎2 𝑑𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑥+ 𝑥2−𝑎2 𝑎 + 𝐶 𝑜𝑟 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2 +C 1 𝑎2 + 𝑥2 𝑑𝑥 = sin−1 𝑥 𝑎 + 𝐶
2.
𝑎2 − 𝑥2
𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑎2 − 𝑥2 + 𝑎2 2 sin−1 𝑥 𝑎 + 𝐶 𝑎2 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑥2 + 𝑎2 + 𝑎2 2 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑥2 + 𝑎2 +C 𝑥2 − 𝑎2 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑥2 − 𝑎2 - 𝑎2 2 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑥2 − 𝑎2 +C 3. Properties of Definite Integrals : (i) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑧 𝑑𝑧 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 (change of variable) (ii) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 (change of limits) (iii) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑐 𝑐 𝑎 𝑏 𝑎 where a < c < b (iv) 𝑎 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 − 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 0 𝑎 0 (b) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑎 + 𝑏 − 𝑥 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 (v) (a) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥, 𝑎 0 2𝑎 𝑎 if f (2a – x) = f(x) (b) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 2𝑎 𝑎 , if f (2a – x) = - f(x) 1 Mark Questions 1. Integrate the following w.r.t.x. (i) 1 𝑥3 𝑑𝑥. (ii) 1 𝑥 dx. (iii) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥. (iv) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 (v) 𝑐𝑜𝑡2 𝑥 𝑑𝑥 (vi) 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 . (vii) 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥. (viii) 2 𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 3 𝑐𝑜𝑡 𝑥 2 𝑑𝑥. (ix) 𝑥3 𝑠𝑖𝑛 𝑥4 𝑑𝑥 (x) 𝑠𝑒𝑐 2 𝑙𝑜𝑔 𝑥 𝑥 dx (xi) 𝑥 𝑒 𝑥2 dx (xii) 1+𝑙𝑜𝑔𝑥 2 𝑥 dx (xiii) 𝑥2 1+𝑥3 dx (xiv) 𝑥+𝑐𝑜𝑠 6𝑥 3𝑥2+ 𝑠𝑖𝑛 6𝑥 dx (xv) 2𝑥 + 4 𝑥2 + 4𝑥 + 3 dx (xvi) 1+𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑥+𝑠𝑖𝑛2 𝑥 dx (xvii) 1+𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑥+𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑒𝑐𝑥 dx (xviii) 𝑑𝑥 𝑥+ 𝑥 (xix) 𝑑𝑥 4𝑥2−9 (xx) 𝑥3 1+𝑥8 dx (xxi) 𝑥2+4𝑥 𝑥3+6𝑥2+5 dx (xxii) 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 3+𝑡𝑎𝑛 𝑥 dx 2. Evaluate the following integrals : (𝑖) 𝑠𝑖𝑛7 𝑥 𝜋 2 − 𝜋 2 dx (ii) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑥 dx (iii) 𝑠𝑒𝑐2 (7 − 4𝑥) 𝑑𝑥
3.
(iv) 𝑥 𝑒−1+𝑒 𝑥−1 𝑥
𝑒+𝑒 𝑥 dx (v) 𝑙𝑜𝑔 3+5𝑐𝑜𝑠 𝑥 3+5 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝜋 2 0 dx (vi) 𝑐𝑜𝑠5 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 0 (vii) 𝑑𝑥 1+𝑥2 1 0 (viii) 2𝑥 5𝑥2+1 1 0 dx (ix) 𝑥 𝑥 1 −2 dx (x) 𝑒3 𝑙𝑜𝑔 𝑥 𝑥41 0 dx (xi) 𝑥 1.5 0 dx (xii) 𝑥 𝑥 2 0 dx (xiii) 1 1+𝑒 𝑥 dx (xiv) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝜋 2 0 dx (xv) 𝑥 𝑥2+1 4 2 dx (xvi) 𝑥(1 − 𝑥)2 𝑑𝑥 1 0 (xvii) 1−𝑡𝑎𝑛 𝑥 1+𝑡𝑎𝑛 𝑥 dx (xviii) 𝑑𝑥 𝑥2+1 ∞ 0 dx (xix) 𝑠𝑒𝑐4 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 (xx) 𝑥 2 −1 dx (xxi) 𝑒 𝑥 4−𝑒2𝑥 dx (xxii) 𝑙𝑜𝑔 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 2 0 (xxiii) 𝑠𝑖𝑛75 𝑥 + 𝑥125𝜋 −𝜋 dx (xxiv) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 𝜋 2 0 (xv) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝑥 dx (xvi) 𝑎 𝑥 𝑒 𝑥 dx (xvii) 1−𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑥+ 𝑙𝑜𝑔 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 dx (xviii) 𝑑𝑥 9−𝑥2 3 0 (xix) 𝑒 𝑥 1+𝑒2𝑥 1 0 dx 4 Marks Questions. 3. Evaluate the following: (i) 𝑥2+1 𝑥+1 2 dx (ii) 𝑑𝑥 1+𝑡𝑎𝑛 𝑥 (iii) 𝑑𝑥 1+𝑐𝑜𝑡 𝑥 (iv) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 𝑑𝑥 (v) 𝑐𝑜𝑠4 𝑥 𝑑𝑥 (vi) 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 +𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 dx (vii) 𝑐𝑜𝑠5 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 dx (viii) 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 dx (ix) 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 𝑠𝑖𝑛 (𝑥+𝛼) dx (x) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 (𝑥+𝑎) dx (xi) 𝑐𝑜𝑠 2𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝛼 dx (xii) 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑎 𝑐𝑜𝑠 (𝑥−𝑏) (xiii) 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 𝑐𝑜𝑠 6𝑥 𝑑𝑥 (xiv) 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑎2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑏2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 dx (xv) 𝑥+2 2𝑥2+6𝑥+5 dx (xvi) 𝑑𝑥 7−6𝑥−𝑥2 (xvii) 5𝑥+3 𝑥2+4𝑥+10) dx
4.
(xviii) 𝑠𝑖𝑛( 𝑥− 𝛼 𝑠𝑖𝑛
(𝑥+ 𝛼) dx (xix) 𝑥 𝑥4−𝑥2+1 dx (xx) 2𝑥 1−𝑥2−𝑥4 dx (xxi) 𝑒 𝑥 5−4𝑒 𝑥 −𝑒2𝑥 dx (xxii) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥−2 𝑠𝑖𝑛 𝑥−3 dx (xxiii) 𝑥 1−𝑥2+𝑥4 dx (xxiv) 2𝑥−1 𝑥−1 𝑥+2 𝑥−3) dx (xxv) 3𝑥−2 𝑥+1 2(𝑥+3) dx (xxvi) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 1−𝑐𝑜𝑠 𝑥 2−𝑐𝑜𝑠 𝑥 dx (xxvii) 𝑥 𝑥2+1 (𝑥+1) dx (xxviii) 𝑑𝑥 𝑥 𝑥5+1 dx (xxix) 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 (xxx) 2𝑥 𝑥2+1 (𝑥2+3) dx (xxxi) 𝑥2 1+𝑥3 (2+𝑥3) dx (xxxii) 𝑑𝑥 𝑥[6 𝑙𝑜𝑔 𝑥 2+7 𝑙𝑜𝑔 𝑥+2 dx 4. Integrate the following: (i) 𝑥2+1 𝑥4+1 dx (ii) 𝑑𝑥 1+𝑥+𝑥2+𝑥3 dx (iii) 𝑥 𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑥 𝑑𝑥 (iv) 𝑥 tan−1 𝑑𝑥(v) sin−1 𝑥 2 dx (vi) 𝑠𝑒𝑐3 𝑥 𝑑𝑥 (vii) 𝑒 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 (viii) sin −1 𝑥 𝑥2 dx (ix) 𝑒 𝑥 [tan−1 𝑥 + 1 1+𝑥2]dx (x) 𝑥 𝑥+1 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 (xi) 1 𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 1 𝑙𝑜𝑔 𝑥 2 dx (xii) 𝑒 𝑥 1 𝑥 − 1 𝑥2 dx (xiii) 𝑥2+1 𝑥+1 2 𝑒 𝑥 dx (xiv) 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 1 𝑙𝑜𝑔 𝑥 dx (xv) 𝑒 𝑥 1 𝑥2 − 1 𝑥3 dx (xvi) 𝑒 𝑥 1+𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 dx (xvii) 1− 𝑥 1+ 𝑥 dx (xviii) 2+𝑠𝑖𝑛 2𝑥 1+𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑒 𝑥 dx (xix) 𝑠𝑖𝑛8 𝑥−𝑐𝑜𝑠8 𝑥 1−2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 dx (xx) sin −1 𝑥−cos −1 𝑥 sin −1 𝑥+cos −1 𝑥 dx (xxi) 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 (xxii) 𝑑𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 (5−4 𝑐𝑜𝑠 𝑥) (xxiii) 𝑥 𝑥3−1 𝑑𝑥 (xxiv) 𝑥 sin−1 𝑥 𝑑𝑥 (xxv) 𝑥2 tan−1 𝑥 𝑑𝑥 (xxvi) 1−𝑥 1+𝑥 dx (xxvii) 1−𝑥2 𝑥(1−2𝑥) dx 4. Evaluate the following integrals : (i) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝜋 2 0 𝑑𝑥 (ii) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥+ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝜋 2 0 𝑑𝑥 (iii) 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥 1+ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝜋 2 0 𝑑𝑥
5.
(iv) 𝑑𝑥 1+ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝜋 3 𝜋 6 (v)
𝑥 + 2 5 −5 𝑑𝑥 (vi) 𝑙𝑜𝑔 1 + 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 4 0 (vii) (2 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑛 2𝑥)𝑑𝑥 𝜋 2 0 (viii) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 4 − 𝜋 4 (ix) 𝑑 𝑥 1+ 𝑡𝑎𝑛 3 𝑥 𝜋 2 0 (x) 𝑥 1+𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 (xi) 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑐𝑜𝑠 𝑥 1+𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝜋 2 0 𝑑𝑥 (xii) 𝑥 𝑥+ 𝑎−𝑥 𝑎 0 dx (xiii) 𝑥 − 1 4 0 𝑑𝑥 (xiv) 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝜋 3 𝜋 6 dx (xv) 𝑥 1+𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 (xvi) 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 (xvii) 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝜋 4 − 𝜋 4 𝑑𝑥 (xviii) 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥+𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝜋 0 𝑑𝑥 (xix) 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝜋 𝑥 1 −1 𝑑𝑥 (xx) 𝑒 𝑥 𝑠𝑖𝑛 4𝑥−4 1−𝑐𝑜𝑠 4𝑥 𝑑𝑥 6 Marks Questions : 5. Using properties of definite, evaluate. (i) 𝑥 𝑑𝑥 4−𝑐𝑜𝑠2 𝑥 𝜋 0 (ii) 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑒 𝑐𝑜𝑠 𝑥 +𝑒−𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝜋 0 dx (iii) 𝑥 𝑑𝑥 𝑎2 𝑐𝑜𝑠2 𝑥+ 𝑏2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝜋 0 (iv) 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥 9+16 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝜋 4 0 𝑑𝑥 (v) 𝑙𝑜𝑔 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 2 0 (vi) sin−1 2𝑥 1+𝑥2 1 0 dx (vii) 𝑑 𝑥 3+2 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝜋 2 0 (viii) Show that 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = 2 𝜋 𝜋 2 0 (ix) sin−1 𝑥 𝑎+𝑥 𝑎 0 (x) 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝜋 2 0 dx (xi) 𝑥 + 𝑥 + 2 + 𝑥 + 5 0 −5 dx (xii) 𝑙𝑜𝑔 𝑥 1−𝑥 1 0 dx (xiii) 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝜋 4 0 𝑑𝑥 6. Evaluate as the limit of sums : (i) 2𝑥2 − 5 𝑑𝑥 3 0 (ii) 𝑥2 + 5𝑥 𝑑𝑥 3 1 (iii) 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑑𝑥 2 0 (v) 3𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥 3 1 (vi) 𝑥2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑐𝑜𝑠 𝑥 2 dx
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