1. Chöông 1Chöông 1Chöông 1Chöông 1
KHAÙI NIEÄM VEÀKHAÙI NIEÄM VEÀKHAÙI NIEÄM VEÀKHAÙI NIEÄM VEÀ
SOÁ GAÀN ÑUÙNGSOÁ GAÀN ÑUÙNGSOÁ GAÀN ÑUÙNGSOÁ GAÀN ÑUÙNGSOÁ GAÀN ÑUÙNGSOÁ GAÀN ÑUÙNGSOÁ GAÀN ÑUÙNGSOÁ GAÀN ÑUÙNG
VAØ SAI SOÁVAØ SAI SOÁVAØ SAI SOÁVAØ SAI SOÁ

2. Trong caùc baøi toaùn kyõ thuaät
thöôøng chuùng ta khoâng theå xaùc ñònh
ñöôïc giaù trò chính xaùc cuûa 1 ñaïi löôïng
I. KHAÙI NIEÄM SAI SOÁ :I. KHAÙI NIEÄM SAI SOÁ :I. KHAÙI NIEÄM SAI SOÁ :I. KHAÙI NIEÄM SAI SOÁ :
ñöôïc giaù trò chính xaùc cuûa 1 ñaïi löôïng
maø chæ laøm vieäc vôùi giaù trò gaàn ñuùng
cuûa noù. Ñoä sai leäch giöõa giaù trò gaàn
ñuùng vaø giaù trò chính xaùc goïi laø sai soá.

3. Ta coù 4 loaïi sai soá :Ta coù 4 loaïi sai soá :Ta coù 4 loaïi sai soá :Ta coù 4 loaïi sai soá :
Sai soá giaû thieátSai soá giaû thieátSai soá giaû thieátSai soá giaû thieát
Sai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàu
Sai soá phöông phaùpSai soá phöông phaùpSai soá phöông phaùpSai soá phöông phaùp
Sai soá tính toaùnSai soá tính toaùnSai soá tính toaùnSai soá tính toaùn

4. Sai soá giaû thieát :Sai soá giaû thieát :Sai soá giaû thieát :Sai soá giaû thieát : Caùc giaû thieát duøng ñeå moâ hìnhCaùc giaû thieát duøng ñeå moâ hìnhCaùc giaû thieát duøng ñeå moâ hìnhCaùc giaû thieát duøng ñeå moâ hình
hoùa baøi toaùn thöôøng thieáu chính xaùc, caùc giaû thieáthoùa baøi toaùn thöôøng thieáu chính xaùc, caùc giaû thieáthoùa baøi toaùn thöôøng thieáu chính xaùc, caùc giaû thieáthoùa baøi toaùn thöôøng thieáu chính xaùc, caùc giaû thieát
naøy ñöôïc chaáp nhaän khi xaây döïng moâ hình. Sai soánaøy ñöôïc chaáp nhaän khi xaây döïng moâ hình. Sai soánaøy ñöôïc chaáp nhaän khi xaây döïng moâ hình. Sai soánaøy ñöôïc chaáp nhaän khi xaây döïng moâ hình. Sai soá
naøy goïi laø sai soá giaû thieátnaøy goïi laø sai soá giaû thieátnaøy goïi laø sai soá giaû thieátnaøy goïi laø sai soá giaû thieát
Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu : Caùc soá lieäu ban ñaàuCaùc soá lieäu ban ñaàuCaùc soá lieäu ban ñaàuCaùc soá lieäu ban ñaàuSai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu :Sai soá soá lieäu ban ñaàu : Caùc soá lieäu ban ñaàuCaùc soá lieäu ban ñaàuCaùc soá lieäu ban ñaàuCaùc soá lieäu ban ñaàu
duøng ñeå giaûi baøi toaùn thöôøng thu ñöôïc thoâng quaduøng ñeå giaûi baøi toaùn thöôøng thu ñöôïc thoâng quaduøng ñeå giaûi baøi toaùn thöôøng thu ñöôïc thoâng quaduøng ñeå giaûi baøi toaùn thöôøng thu ñöôïc thoâng qua
ño ñaïc hay thöïc nghieäm. Caùc soá naøy phuï thuoäcño ñaïc hay thöïc nghieäm. Caùc soá naøy phuï thuoäcño ñaïc hay thöïc nghieäm. Caùc soá naøy phuï thuoäcño ñaïc hay thöïc nghieäm. Caùc soá naøy phuï thuoäc
vaøo duïng cuï ño, thöïc nghieäm neân khoâng ñöôïcvaøo duïng cuï ño, thöïc nghieäm neân khoâng ñöôïcvaøo duïng cuï ño, thöïc nghieäm neân khoâng ñöôïcvaøo duïng cuï ño, thöïc nghieäm neân khoâng ñöôïc
chính xaùc goïi laø sai soá soá lieäu ban ñaàu.chính xaùc goïi laø sai soá soá lieäu ban ñaàu.chính xaùc goïi laø sai soá soá lieäu ban ñaàu.chính xaùc goïi laø sai soá soá lieäu ban ñaàu.

5. Sai soá phöông phaùp :Sai soá phöông phaùp :Sai soá phöông phaùp :Sai soá phöông phaùp : Caùc phöông phaùp duøngCaùc phöông phaùp duøngCaùc phöông phaùp duøngCaùc phöông phaùp duøng
ñeå giaûi caùc baøi toaùn kyõ thuaät thöôøng laø caùcñeå giaûi caùc baøi toaùn kyõ thuaät thöôøng laø caùcñeå giaûi caùc baøi toaùn kyõ thuaät thöôøng laø caùcñeå giaûi caùc baøi toaùn kyõ thuaät thöôøng laø caùc
phöông phaùp giaûi xaáp xæ gaàn ñuùng, moãiphöông phaùp giaûi xaáp xæ gaàn ñuùng, moãiphöông phaùp giaûi xaáp xæ gaàn ñuùng, moãiphöông phaùp giaûi xaáp xæ gaàn ñuùng, moãi
phöông phaùp coù 1 sai soá nhaát ñònh naøo ñoù, saiphöông phaùp coù 1 sai soá nhaát ñònh naøo ñoù, saiphöông phaùp coù 1 sai soá nhaát ñònh naøo ñoù, saiphöông phaùp coù 1 sai soá nhaát ñònh naøo ñoù, sai
soá naøy goïi laø sai soá phöông phaùpsoá naøy goïi laø sai soá phöông phaùpsoá naøy goïi laø sai soá phöông phaùpsoá naøy goïi laø sai soá phöông phaùp
Sai soá tính toaùn :Sai soá tính toaùn :Sai soá tính toaùn :Sai soá tính toaùn : Tính toaùn baèng maùy tínhTính toaùn baèng maùy tínhTính toaùn baèng maùy tínhTính toaùn baèng maùy tính
thöôøng chæ söû duïng 1 soá höõu haïn caùc chöõ soáthöôøng chæ söû duïng 1 soá höõu haïn caùc chöõ soáthöôøng chæ söû duïng 1 soá höõu haïn caùc chöõ soáthöôøng chæ söû duïng 1 soá höõu haïn caùc chöõ soá
hoaëc laøm troøn soá, caùc sai soá naøy tích luõyhoaëc laøm troøn soá, caùc sai soá naøy tích luõyhoaëc laøm troøn soá, caùc sai soá naøy tích luõyhoaëc laøm troøn soá, caùc sai soá naøy tích luõy
trong quaù trình tính toaùn goïi laø sai soá tínhtrong quaù trình tính toaùn goïi laø sai soá tínhtrong quaù trình tính toaùn goïi laø sai soá tínhtrong quaù trình tính toaùn goïi laø sai soá tính
toaùn hay sai soá laøm troøn.toaùn hay sai soá laøm troøn.toaùn hay sai soá laøm troøn.toaùn hay sai soá laøm troøn.

6. IIIIIIII.... CAÙCHCAÙCHCAÙCHCAÙCH BIEÅUBIEÅUBIEÅUBIEÅU DIEÃNDIEÃNDIEÃNDIEÃN SAISAISAISAI SOÁSOÁSOÁSOÁ ::::
Goïi A laø soá chính xaùc cuûa baøi toaùn
Soá a goïi laø soá gaàn ñuùng cuûa A neáu noù xaáp xæ A
kyù hieäu a ≈ Akyù hieäu a ≈ A
Ñaïi löông ∆ = | a – A |
goïi laø sai soá thöïc söï cuûa soá gaàn ñuùng a

7. 1. Sai soá tuyeät ñoái1. Sai soá tuyeät ñoái1. Sai soá tuyeät ñoái1. Sai soá tuyeät ñoái
Trong thöïc teá do khoâng tính ñöôïc A, ta tìm
1 soá döông ∆a caøng beù caøng toát thoaû
| a| a| a| a –––– A |A |A |A | ≤ ∆∆∆∆aaaa
∆a goïi laø saisaisaisai soásoásoásoá tuyeättuyeättuyeättuyeät ñoáiñoáiñoáiñoái cuûa soá gaàn ñuùng a
Kyù hieäu A = a ±∆a

8. 2. sai soá töông ñoái :2. sai soá töông ñoái :2. sai soá töông ñoái :2. sai soá töông ñoái :
Sai soá töông ñoái cuûa soá gaàn ñuùng a laø soá
döông δa tính theo coâng thöùc
δδδδaaaa ==== ∆∆∆∆aaaa / |a|/ |a|/ |a|/ |a|
Ví dụ :
Giaû söû A = π;
a = 3.14 laø soá gaàn ñuùng cuûa π
Xaùc ñònh sai soá

9. • Giaûi
• Ta coù
• π =
3.14159265358979323846264338327…
• ⇒ 3.14 –0.01 < π < 3.14 + 0.01
• ⇒ | 3.14 - π | < 0.01 δ = 0.3185%• ⇒ | 3.14 - π | < 0.01
• ⇒ ∆a = 0.01
Maëc khaùc
3.14–0.002 < π < 3.14+0.002
⇒ ∆a = 0.002
δa = 0.3185%
δa = 0.0637%

10. Do ñoù cuøng 1 giaù trò gaàn ñuùng coù theå
coù nhieàu sai soá tuyeät ñoái khaùc nhau, trong
ví duï naøy, sai soá 0.002 laø toát hôn
Ví duï :Ví duï :Ví duï :Ví duï : Cho a = 1.85 vôùi sai soá töông ñoái
laø 0.12%, tính sai soá tuyeät ñoái
Ví duï :Ví duï :Ví duï :Ví duï : Cho a = 1.85 vôùi sai soá töông ñoái
laø 0.12%, tính sai soá tuyeät ñoái
∆a = |a| * δa
= 1.85 * 0.12 /100 = 0.00222

11. 3. Sai soá cuûa moät haøm :3. Sai soá cuûa moät haøm :3. Sai soá cuûa moät haøm :3. Sai soá cuûa moät haøm :
• Cho haøm y = f (x1, x2, . . . , xn)
• Moãi bieán xi coù sai soá ∆xi
Sai soá tuyeät ñoái
n
f∂n
f∂
1
| |
i
n
y X
i i
f
x=
∂
∆ = ∆
∂
∑
Sai soá töông ñoái
1
| |
i
n
y X
i i
f
x=
∂
∆ = ∆
∂
∑
1
(ln )
| |
| | i
n
y
y x
i i
f
y x
δ
=
∆ ∂
= = ∆
∂
∑

12. Ví dụ : Cho A = 15.00±0.002
B = 0.123 ± 0.001 C = 13.00 ± 0.05
Tính sai soá tuyeät ñoái
1. x = a + b
2. y = 20a – 10b + c
3. z = a + bc3. z = a + bc
• Giaûi
• 1. ∆x = ∆a + ∆b = 0.002 + 0.001 = 0.003
• 2. ∆y = 20∆a + 10 ∆b + ∆c = 0.1
• 3. ∆z = ∆a + |c| ∆b + |b| ∆c = 0.02115

13. Ví dụ : Dieän tích ñöôøng troøn S = πR2
vôùi π = 3.14 ± 0.002 vaø R = 5.25 ± 0.001 m
Tính sai soá cuûa S
Giaûi :
S = 3.14 x (5.25)2 = 86.54625S = 3.14 x (5.25) = 86.54625
sai soá tuyeät ñoái
∆S = R2 *∆π + 2πR*∆R
= (5.25)2x0.002 + 2x3.14x5.25x0.001
= 0.088095

14. IIIIIIIIIIII.... BIEÅUBIEÅUBIEÅUBIEÅU DIEÃNDIEÃNDIEÃNDIEÃN SOÁSOÁSOÁSOÁ THAÄPTHAÄPTHAÄPTHAÄP PHAÂNPHAÂNPHAÂNPHAÂN
Soá thaäp phaân a ñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng
a = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ... a-n
= ∑ak10k= ∑ak10
1. Laøm troøn soá1. Laøm troøn soá1. Laøm troøn soá1. Laøm troøn soá
Laøm troøn soá laø boû 1 soá caùc chöõ soá leû beân
phaûi ñeå ñöôïc 1 soá ngaén goïn hôn vaø gaàn ñuùng
vôùi a.

15. Giaû söû ta muoán laøm troøn ñeán chöõ soá leû
thöù k (1 ≤ k ≤ n).
xeùt 2 soá
a- = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ... a-k
a+ = amam-1 ... a1a0.a-1a-2 ...(a-k+1)
choïn soá laøm troøn laø a- hoaëc a+ theo ñieàu kieän
a- neáu |a- - a| < |a+ - a|
a+ neáu |a+ - a| < |a- - a|
ã = {

16. Ví dVí dVí dVí dụ :::: Cho a = 456.12345678
Laøm troøn vôùi 2 chöõ soá leû
a- = 456.12 | a- - a| = 0.00345678
a+ = 456.13 |a+ - a| = 0.00654322
Vaäy ã = a- = 456.12Vaäy ã = a- = 456.12
Laøm troøn vôùi 4 chöõ soá leû
a- = 456.1234 | a- - a| = 0.00005678
a+ = 456.1235 |a+ - a| = 0.00004322
Vaäy ã = a+ = 456.1235

17. Caùch laøm troøn ñôn giaûn hôn
Neáu a-k-1 (chöõ soá sau chöõ soá leû thöù k)
< 5 : ã = a-
≥ 5 : ã = a+

18. Sai soá laøm troøn
Ñaët
Ta coù aAaaaAa ∆+=−+−≤− θ|||~||~|
|~| aa −=θ
Vaäy sai soá laøm troøn :
a aθ∆ = + ∆ɶ
* NX : Ta coù ∆ã ≥ ∆a. Vaäy khi laøm troøn
sai soá seõ taêng leân, neân trong tính toaùn ta
traùnh laøm troøn caùc pheùp toaùn trung gian,
chæ laøm troøn keát quaû cuoái cuøng.

19. Sai soá
giaûi
Ví dụ : Cho số CX A, a = 187.123456 laø soá
gaàn ñuùng vôùi sai soá laø 0.0001. Goïi ã laø soá
laøm troøn cuûa a vôùi 4 chöõ soá leû. Tính sai số
cuûa ã so vôùi A
Sai soá a aθ∆ = + ∆ɶ
θ = | 187.1235 – 187.123456 | = 0.000044
Vaäy = 0.000044 + 0.0001 = 0.000144a∆ɶ

20. Chuù yù :Chuù yù :Chuù yù :Chuù yù :
Tröôøng hôïp laøm troøn trong baát ñaúng thöùc,
ta duøng khaùi nieäm laøm troøn leân vaø laøm troøn
xuoáng
°Laøm troøn leân : ã = a+ , aùp duïng cho caùc°Laøm troøn leân : ã = a+ , aùp duïng cho caùc
soá ôû veá lôùn hôn
°Laøm troøn xuoáng : ã = a- , aùp duïng cho
caùc soá ôû veá nhoû hôn

21. b > 78.6789
Ví duï :
a < 13.9236
laøm troøn leân vôùi 2 chöõ soá leû ta ñöôïc
a < 13.93
b > 78.6789
laøm troøn xuoáng ta ñöôïc
b > 78.67

22. 2. Chöõ soá coù nghóa :2. Chöõ soá coù nghóa :2. Chöõ soá coù nghóa :2. Chöõ soá coù nghóa :
laø nhöõng chöõ soá tính töø chöõ soá khaùc 0 ñaàu
tieân töø traùi sang.
Ví duï :
10.20003 coù 7 chöõ soá coù nghóa10.20003 coù 7 chöõ soá coù nghóa
001234.34 coù 6 chöõ soá coù nghóa
0.010203 coù 5 chöõ soá coù nghóa
10.20300 coù 7 chöõ soá coù nghóa

23. 3. Chöõ soá ñaùng tin :3. Chöõ soá ñaùng tin :3. Chöõ soá ñaùng tin :3. Chöõ soá ñaùng tin :
Cho a ≈ A vôùi sai soá ∆a .
Chöõ soá ak goïi laø chöõ soá ñaùng tin neáu
∆a ≤ 10k / 2∆a ≤ 10k / 2
hay k ≥ log (2∆a )

24. Ví duï : Tìm soá chöõ soá ñaùng tin cuûa a
1. a = 12.3456 vôùi ∆a = 0.0044
2. a = 12.3456 vôùi ∆a = 0.0062
1. Chöõ soá ak laø ñaùng tin neáu
∆ = 0.0044 ≤ ½ 10k
giaûi
∆a = 0.0044 ≤ ½ 10k
⇒ k ≥ log(0.0088) = -2.0555
vaäy ta coù 4 chöõ soá ñaùng tin 1, 2, 3, 4.
2. ∆a = 0,0062 ≤ ½ 10k
⇒ k ≥ log(0.0124) = -1.9065
vaäy ta coù 3 chöõ soá ñaùng tin 1, 2, 3