saya ambil dari oleh endang listyani dari https://www.google.co.id/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=3&ved=0ahUKEwjK88v-zsbLAhXTHo4KHR_lAb8QFggmMAI&url=http%3A%2F%2Fstaff.uny.ac.id%2Fsites%2Fdefault%2Ffiles%2Fpendidikan%2FEndang%2520Listyani%2C%2520MS.%2FBAHAN%2520AJAR%2520KALKULUS%2520LANJUT.docx&usg=AFQjCNGrHtRYE_2Zl9Uv66fCmNCO6CU7yQ&sig2=8jC4AiC5h78CAxHgnn134g&bvm=bv.117218890,d.c2E

1. BAHAN AJAR KALKULUS LANJUT
Oleh:ENDANGLISTYANI
KALKULUS LANJUT
A. INTEGRAL RANGKAP DUA
1. Integral Rangkap Dua Atas Daerah Persegi Panjang
Konsep integral tentu untuk fungsi satu peubah dapat kita perluas untuk
fungsi dua variabel. Integral untuk fungsi dua variabel disebut integral integral
rangkap dua. Untuk integral rangkap dua dari fungsi dua variabel daerah
batasnya terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Berikut ini apabila
fungsi dua variabel terdefinisi pada daerah persegi panjang.
Gambar 1
Misalkan R berupa daerah persegi panjang dengan sisi-sisi sejajar
sumbu-sumbu koordinat, yakni: R : {(x,y) : ,bxa  dxc  }. Dibentuk
x
b
a
dc
kR
),( kk yx
z
y

2. suatu partisi dengan cara membuat garis-garis sejajar sumbu x dan y. Ini
membagi R menjadi n persegi panjang kecil , yang ditunjukkan dengan k =
1,2,...n. Tetapkan kx dan ky adalah panjang sisi-sisi kR dan kA = kx .
ky adalah luas. Pada kR ambil sebuah titik misal ),( kk yx dan bentuk
penjumlahan Riemann k
n
k
kk Ayxf 
),(
1
.
Definisi :
Integral Rangkap dua
Andai suatu fungsi dua peubah yang terdefinisi pada suatu persegi
panjang tertutup R, jika :
0
lim
IpI
k
n
k
kk Ayxf 
),(
1
ada . maka f dapat diintegralkan pada R, lebih lanjut
R
dAyxf ),( , yang disebut integral rangkapdua dan pada R diberikan oleh
R
dAyxf ),( =
0
lim
IpI
k
n
k
kk Ayxf 
),(
1
Sifat-sifat Integral Rangkap Dua :
1. Jika f(x,y) dan g(x,y) masing-masing kontinu dalam daerah R maka:
 
R R
dAyxfkdAyxkf ),(),(
  
R R R
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ),(),()],(),([
2.   
R R R
dAyxfdAyxfdAyxf
1 2
),(),(),(
3. Sifat pembanding berlaku jika f(x,y)  g(x,y) untuk semua (x,y) di R, maka
:

3.  
R R
dAyxgdAyxf ),(),(
Contoh Soal
1. Misalkan f didefinisikan sebagai berikut
f(x,y) =








32,30,3
21,30,2
10,30,1
yx
yx
yx
hitung R
dAyxf ),( dengan R = { }30,30:),(  yxyx
jawab :
misal persegi panjang R1, R2, R3
R1 = { }10,30:),(  yxyx
R2 = { }21,30:),(  yxyx
R3 = { }32,30:),(  yxyx ,
gunakan sifat penjumlahan di integral rangkap dua, diperoleh :
 
R
dAyxf ),( 
1
),(
R
dAyxf + 
2
),(
R
dAyxf +
3
),(
R
dAyxf
= 1.A(R1) + 2. A(R2) + 3.A(R3)
= 1.3 + 2.3 + 3.3
= 18
2. TentukanR
dAyxf ),( dengan
16
864
),(
2
yx
yxf

 ,
R = { }80,40:),(  yxyx , dengan menghitung jumlah Riemann
Jawab :

4. Penjumlahan Riemann yang diperoleh dengan membagi atas 8 bujur sangkar
yang sama dengan tiap-tiap pusat bujur sangkar sebagi titik. Titik-titik contoh
yang diperlukan dan nilai-nilai yang berpadanan dari fungsi itu adalah :
),( 11 yx = (1,1), f ),( 11 yx =
16
17
),( 22 yx = (1,3), f ),( 22 yx =
16
65
),( 33 yx = (1,5), f ),( 33 yx =
16
81
),( 44 yx = (1,7), f ),( 44 yx =
16
105
),( 55 yx = (3,1), f ),( 55 yx =
16
41
),( 66 yx = (3,3), f ),( 66 yx =
16
49
),( 77 yx = (3,5), f ),( 77 yx =
16
65
),( 88 yx = (3,7), f ),( 88 yx =
16
89
Jadi karena kA = 4, kA = kx ky = 2.2 = 4
R
dAyxf ),( ≈ k
k
kk Ayxf 
),(
8
1
= ),(4
8
1
k
kk yxf
4
8
(4,8)
(0,8,8)
(4,8,6)
(4,0,2)
(0,0,4)
x
y
z

5. =
16
89654941105816557(4 
= 138
3
2
Soal
Hitung :
a.   
4
0
3
1
])4([ dydxyx
b.   
3
1
2
0
])2([ dxdyyx
c.  
4
0
2
2
0
)432( dxdyyx
Volume dengan Integral Rangkap dua
Jika 0),( yxf pada R sehingga dapat kita tafsirkan integral lipat dua
sebagai volume dari benda pejal dibawah permukaan gambar 1
V = R
dAyxf ),( , R = { },:),( dycbxayx  .
Gambar 2
b
a
a b
R Gb. 1

6. Dibuat Irisan pada benda pejal itu menjadi kepingan-kepingan sejajar
terhadap bidang xz (gb. 3)
Irisan bidang y = k, kepingan volume yang berpadanan ≈ A(y) y
Volume v dari kepingan secara aproksimasi diberikan oleh v ≈ A(y) y ,
diintegralkan ,
V = 
d
c
dyyA )( , untuk y tetap kita hitung A(y) dengan integral tunggal biasa :
A(y) = 
b
a
dxyxf ),( , sehingga : V =  
d
c
b
a
dydxyxf ]),([ …….. (2)
Dari (1) dan (2) :
R
dAyxf ),( =  
d
c
b
a
dydxyxf ]),([ begitu juga R
dAyxf ),( =  
b
a
d
c
dxdyyxf ]),([
Contoh
LA(y)
y
x
y
z
y Gb. 3
Gb. 2b

7. Hitung volume V dari benda pejal diatas yang dibatasi oleh z = 4 – x2 –y dan
dibawah persegi panjang R = { }20,10:),(  yxyx
Jawab :
Jawab :
V = R
dAyxf ),(
=  
R
dAyx )4( 2
= dxdyyx )4(
2
0
1
0
2

= dyyxxx ]]
3
1
4[[ 1
0
3
2
0
 = dyy)
3
1
4(
2
0

=
3
16
satuan volum
1
2
(1,2)
(0,0,4)
(1,0,3)
(1,2,1)
(0,2,2)
y
z
x

8. Soal
1. Misalkan R = { }20,41:),(  yxyx .
, 31  x , 20  y , 43  x , 20  y
Hitung R
dAyxf ),(
2. Misalkan R = 20:),{(  xyx , 20  y }
:),{(1 yxR  20  x , 10  y }
:),{(2 yxR  20  x , 21  y }
Jika R
dAyxf ),( = 3, R
dAyxg ),( =5, 
1
),(
R
dAyxg = 2, tentukan :
a.  
R
dAyxgyxf )],(),(3[
b.  
1 1
3),(2
R R
dAdAyxg
c. 
2
),(
R
dAyxg
3. Hitung :
a. dydxyx )(
4
1
2
1
2






3
2
),( yxf

9. b. dxdyyx )sin(
0
1
0


4. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z
= x+y+1 diatas R = { }31,10:),(  yxyx
Soal-soal
1. Hitung  
R
dAyx )( 22
jika R = { }20,11:),(  yxyx !
2. Hitung volume benda pejal yang diberikan benda pejal dibawah bidang z =
2x + 3y atas R = { }40,21:),(  yxyx