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張量是甚麼?

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十分鐘系列

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張量是甚麼?

  1. 1. 張量是甚麼? 陳鍾誠 2018 年 6 月 23 日 程式人《十分鐘系列》程式人《十分鐘系列》 本文衍生自維基百科
  2. 2. Tensor 的中文是《張量》 ● 對於程式人而言,通常就只把張量 當成 n 維向量 ● 像是 Tensor Flow 中的 Tensor 基本上可以是 1,2,3,4, ... 維
  3. 3. 但是 ● 數學上的張量是《線性代數》的延伸 ● 張量具有《代數、幾何、微積分》上的意義 ● 就像線性代數裏的《向量》具有空間幾何上的意 義,而且還能導出《梯度》這樣的微分向量
  4. 4. 張量的意義 ● 主要和《座標系統轉換》有關
  5. 5. 舉例而言 ● 以下是一個二維的歐氏平面座標系統 軸 x1 軸 x2 b a (a,b)
  6. 6. 但是在另一個座標系統裏 ● 其座標可能就變成 (a',b') 軸 x2 b a (a,b) 軸 x1 軸 x’1 軸 x’2
  7. 7. 因此 ● 座標值和你選擇的《基底向量》有關 ● 也就是用甚麼向量當《座標軸單元》有關 ● 而且這些《基底向量》可以不是正交的
  8. 8. 舉例而言 ● 在座標系統 e 裏 , 點 p0 的座標是 (1,1) ● 但是在座標系統 e' 裏 , 點 p0 的座標就變成了 (2,0) e e' p0
  9. 9. 如果我們希望找出一些公式 ● 讓這些公式在一群座標系統裏都適用 ● 也就是座標的轉換不會導致公式不成立 ● 那麼這樣的公式就成了適用於整群座標 系統的公式。 ( 或物理定律 )
  10. 10. 愛因斯坦的相對性原理 ● 就是要求物理公式在《等速座標系》裏 都要能一體適用
  11. 11. 張量的用途 ● 就是探討函數這種在座標系統轉換時的行 為,因而有助於找出其中的《不變公式》 或物理定律。
  12. 12. 讓我們回憶一下 ● 線性代數裏的向量拆解法
  13. 13. 對於座標系統 e 而言 ● 假如其基底為 n 個向量為 – (e1 ,e2 ,…,en ) 這些向量可以《張成》一個 n 維空間 ( 互相線性獨立 )
  14. 14. 那麼 ● 任意一個向量 v 都可以寫成 –v = x1 e1 +x2 e2 +...+xn en 其中的 xi 是純量, ei 是基底向量
  15. 15. 但是在另一個基底 e' 裏 ● 該向量則可能寫成 – v = y1 e'1 +y2 e'2 +...+yn e'n 因為基底 e,e' 不同,座標 x,y 也就不同
  16. 16. 兩者合併就得到 ● v = x1 e1 +x2 e2 +...+xn en = y1 e'1 +y2 e'2 +...+yn e'n 雖然用了不同的基底 e, e' 與座標系統 x,y 但是表達的卻是同一個向量 v
  17. 17. 讓我們用縮寫符號簡化之 ● 這種只要上下標名稱一樣就自動代表求和 的做法,就稱為《愛因斯坦求和約定》
  18. 18. 於是上下符號相同的時候 ● 預設就會自動執行求和動作
  19. 19. 於是那些被求和的變數名稱 就變得不重要了 ● 所以即使《改變名稱》也不會影響結果。
  20. 20. 更棒的是 ● 標架系統的變換可以用矩陣乘積表達 –從 ei 轉到 ei' –從 ei' 轉到 ei
  21. 21. 於是標架變換就成了矩陣運算
  22. 22. 而且正反轉換 只是上下標不同
  23. 23. 以上的標架轉換數學 ● 正式名稱是《仿射標架變換》
  24. 24. 但這還不是《張量》的概念 ● 不過有了標架轉換的概念 ● 張量就呼之欲出了 ...
  25. 25. 張量的輸出入如下 ● 也就是把一系列《向量空間 + 對偶空間》映射到 某個《數》上的函數,而且是線性映射。
  26. 26. 如果寫成張量符號 ● 就變成這樣: 向量空間對偶空間
  27. 27. 張量的幾何意義 是做一大堆座標轉換
  28. 28. 而這些座標轉換 ● 還可以用矩陣連乘來進行 這就是《張量的一般定義》了 ...
  29. 29. 如果把張量分類 ● 通常可以分為三類
  30. 30. 以上 ● 就是我目前對張量的理解了!
  31. 31. 今天的十分鐘系列 ● 就說明到這裏了!
  32. 32. 我們下回見!
  33. 33. Bye Bye!

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