Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van Download luận văn thạc sĩ ngành hình học và topo với đề tài: Về đa thức jones của nút, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
***
DƯ THÀNH HƯNG
VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012

2. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
***
DƯ THÀNH HƯNG
VỀ ĐA THỨC JONES CỦA NÚT
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số : 60 46 10
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. VŨ THẾ KHÔI
Hà Nội - 2012

3. Mục lục
Mục lục i
Lời cảm ơn ii
Lời mở đầu iii
Chú dẫn lịch sử v
1 Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Nút và Link . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Đẳng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Biểu đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Các phép dịch chuyển Reidemeister . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Sự nhân tử hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6 Đồ thị phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Đa thức Jones 18
2.1 Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Đa thức Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Đa thức Jones của link thay phiên 33
Kết luận 43
Tài liệu tham khảo 44
i

4. Lời cảm ơn
Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của TS.
Vũ Thế Khôi (Viện Toán Học). Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải
đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến người thầy của mình.
Tôi xin cảm ơn phòng Hình học và Tô pô, Viện Toán học, đã giúp đỡ tạo điều kiện
rất nhiều cho tôi hoàn thành khoá học này. Và tôi cũng xin cám ơn nhóm seminar của
phòng Hình học và Tô pô, Viện toán học, đã giúp tôi bổ sung, củng cố các kiến thức về
Lý thuyết nút.
Qua đây, tôi xin gửi tới các thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy
khóa cao học 2007-2009, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt
quá trình giáo dục đào tạo của Nhà trường.
Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạo điều kiện,
động viên cổ vũ tôi để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình.
Hà nội, tháng 7 năm 2012
Người viết luận văn
Dư Thành Hưng.
ii

5. Lời mở đầu
Các nút (tổng quát hơn là các link) là những thứ hết sức phổ biến trong cuộc
sống hằng ngày, được quan sát và nghiên cứu ở các mức độ và góc nhìn khác nhau.
Chúng có thể được ngắm nhìn như là những sản phẩm tinh xảo của các nghệ nhân,
hoặc như là giới hạn cuối cùng của sự phức tạp hình học, những cái mà có lẽ chẳng bao
giờ gặp trong cuộc sống. Nghiên cứu các nút cũng có thể được gán cho những mục đích
ứng dụng, chẳng hạn như trong sinh học phân tử, trong Vật lý thống kê, hay trong Lý
thuyết trường lượng tử Tôpô. Nhưng cơ bản nhất, Lý thuyết nút thuộc về Tôpô hình
học. Mục đích của các nghiên cứu Tôpô của các nút xuất phát từ cố gắng tìm hiểu các
tính chất hình học của không gian ba chiều thông qua các cấu hình thắt nút ở bên
trong nó. Điều này dẫn tới một số việc như nghiên cứu các tính chất hình học của nút,
tìm hiểu sự liên quan giữa các nút với lĩnh vực Tôpô và hình học ba chiều, và đặc biệt
là xây dựng các bất biến để phân biệt hai nút cho trước. Đối tượng của Luận án này
là một trong những bất biến quan trọng nhất trong Lý thuyết nút: Đa thức Jones của
link định hướng.
Bố cục luận văn gồm có ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị về Lý thuyết nút và
link trong không gian ba chiều, tập trung vào khía cạnh tổ hợp của nút và link. Ngoài
ra, một số khái niệm sơ cấp về đồ thị phẳng cũng được đưa vào mục cuối cùng.
Chương 2: Đa thức Jones.
Chương này gồm hai phần. Phần đầu là về ngoặc Kauffman của biểu đồ không định
hướng và dạng hiểu chỉnh của chúng: Đa thức Kauffman của link định hướng. Một số
tính toán với các biểu đồ quan trọng được trình bày. Phần hai là về Đa thức Jones, thu
được từ đa thức Kauffman bằng một phép đổi biến. Các tính chất cơ bản của Đa thức
Jones được chứng minh chi tiết. Trong phần này chúng tôi cũng nhấn mạnh việc đa
thức Jones có thể tính toán mà không cần thông qua ngoặc Kauffman.
Chương 3: Đa thức Jones của link thay phiên.
Mục đích của chương này là giải quyết một giả thuyết cổ điển trong Lý thuyết nút đã
tồn tại gần 100 năm: Giả thuyết Tail thứ nhất. Đây được xem là một trong những ứng
iii

6. dụng đẹp nhất của đa thức Jones. Cuối chương là một ví dụ minh họa cho ý nghĩa của
giả thuyết Tait thứ nhất trong việc phân loại các link thay phiên.
Vì thời gian và trình độ có hạn, chúng tôi đã không thể trình bày các chủ đề rất lý
thú và sâu sắc của đa thức Jones như mối liên hệ của nó với bất biến Arf, với đa thức
Conway, định nghĩa đa thức Jones thông qua biểu diễn nhóm bện, các sự tổng quát
hóa khác nhau của đa thức Jones và ứng dụng, ... . Đó là những chủ đề mà chúng tôi
sẽ tập trung nghiên cứu trong tương lai.
iv

7. Chú dẫn lịch sử
Về mặt lịch sử, các câu hỏi thô sơ về nút đã xuất hiện từ thời Hy Lạp cổ đại. Đến
thế kỉ 19, do những yêu cầu trong vật lý, Gauss, Kelvin, Listing, và một số người khác
đã có những nghiên cứu nghiêm túc về các nút, nhưng tất cả chỉ dừng ở mức trực giác.
Nói riêng, Gauss đã tìm ra số liên kết giữa các thành phần của link khi nghiên cứu lý
thuyết điện từ. Cuối thế kỉ 19, một học trò của Kelvin là Tait đã đưa ra hai giả thuyết
nhằm phân loại các nút thay phiên. Từ đầu thế kỉ 20 cho đến đầu những năm 1980,
cùng với sự ra đời và phát triển của Tôpô, Lý thuyết nút đã có những thành tựu đáng
kể theo các hướng đã nói trong Lời mở đầu. Ở khía cạnh phân loại, các bất biến như
đa thức Alexander, đa thức Conway, bất biến Arf ... đã được tìm ra. Tuy nhiên, họ vẫn
không thể chứng minh được các giả thuyết của Tait, dù nó được phát biểu khá đơn
giản.
Năm 1984, Vaughan Jones tạo ra một cuộc cách mạng trong Lý thuyết nút bằng
việc tìm ra một bất biến đa thức mới mà ngày nay mang tên ông (công bố năm 1985).
Sử dụng bất biến này, các nhà toán học nhanh chóng chứng minh được giả thyết Tait
thứ nhất (giả thuyết thứ hai được chứng minh sau đó ba năm, nhưng không sử dụng
đến đa thức Jones). Sự thực, lĩnh vực nghiên cứu của Jones không phải là Tôpô, mà là
Lý thuyết các đại số toán tử. Ông tìm ra bất biến đa thức mang tên mình một cách khá
tình cờ và phức tạp, dựa vào các đại số Von Neumann và Lý thuyết biểu diễn nhóm
bện. Sau đó không lâu, một chuyên gia về Lý thuyết nút là Kauffman tìm ra một cách
định nghĩa đơn giản đa thức Jones dựa vào cấu trúc tổ hợp của biểu đồ, công bố năm
1987 ([3]). Ý tưởng của Kauffman đến từ Vật lý thống kê. Sự đơn giản của cách định
nghĩa này khiến cho việc xuất hiện muộn màng của đa thức Jones trở nên đáng ngạc
nhiên, vì những nhà toán học khác đã bỏ công tìm nó trong hơn 50 năm, và một số bất
biến họ tìm thấy như đa thức Conway, đa thức Alexander, bất biến Arf, ... có mối liên
hệ mật thiết với nó. Với việc tìm ra bất biến đa thức mang tên mình, Jones được trao
huy chương Fields năm 1990.
Như vây, đa thức Jones liên quan đến khá nhiều lý thuyết trong Toán học và Vật
lý: Tôpô hình học, Đại số toán tử, Lý thuyết biểu diễn, Vật lý thống kê. Nhưng vẫn
chưa hết, khi xét sự tương giao giữa Lý thuyết nút với Tôpô ba chiều và Lý thuyết
trường lượng tử, đa thức Jones trở thành điểm xuất phát của một Lý thuyết có tên là
v

8. Bất biến lượng tử. Theo hướng này, năm 1988, Witten đã tìm ra một sự tổng quát hóa
cho đa thức Jones dựa vào tích phân đường Feynman. Công trình này góp phần đem
lại huy chương Fields cho Witten năm 1990.
Đa thức Jones không chỉ có một sự tổng quát hóa của Witten, mà còn có nhiều sự
tổng quát hóa khác. Sớm nhất là khoảng bốn tháng sau khi Jones công bố công trình
về đa thức Jones, sáu nhà toán học là Hoste, Ocneanu, Millett, Freyd, Lickorish, và
Yetter độc lập với nhau công bố một sự tổng quát hóa tự nhiên của đa thức Jones.
Đó là một đa thức hai biến, được gọi là đa thức HOMFLY theo chữ cái đầu tiên của
tên của sáu nhà toán học. Đến năm 2000, Khovanov đưa ra một tổng quát hóa đại số
cho đa thức Jones, gọi là đối đồng điều Khovanov. Với mỗi link định hướng, ông xây
dựng được một phức đối xích phân bậc có đặc trưng Euler phân bậc chính là đa thức
Jones chuẩn hóa. Nếu hai link giống nhau thì hai phức tương ứng sẽ đồng luân. Sau
đó Bar-Natan đơn giản hóa đáng kể Lý thuyết của Khovanov vào năm 2002. Năm 2007,
lại là Khovanov, cùng với Rozansky, mở rộng lý thuyết của mình lên cho một trường
hợp đặc biệt của đa thức HOMFLY, gọi là đối đồng điều Khovanov-Rozansky. Và rất
gần đây, năm 2010, Peter Kronheimer và Tomas Mrowka đã chứng minh đối đồng điều
Khovanov hệ số nguyên phân biệt được nút tầm thường. Với đa thức Jones, điều tương
tự vẫn là một câu hỏi mở quan trọng. Chứng minh của Kronheimer và Mrowka được
công bố trong một bài báo dài 125 trang, sử dụng những công cụ Toán học có nguồn gốc
trong Vật lý, cụ thể là Lý thuyết Gauge. Hiện nay, cùng với việc cố gắng giải quyết bài
toán trên trong trường hợp đa thức Jones, người ta đang tìm kiếm một chứng minh
đại số hoặc tổ hợp cho định lý của Kronheimer và Mrowka.
vi

9. CHƯƠNG 1
Kiến thức chuẩn bị
Mục đích của chương này trình bày một số khái niệm, định lý cơ bản của Lý thuyết
nút. Các chứng minh dài và khó sẽ được bỏ qua kèm theo trích dẫn tài liệu tra cứu
cho nó. Ngoài ra, một vài khái niệm trong Lý thuyết đồ thị, những thứ cần thiết cho
chương ba, cũng được trình bày vắn tắt. Cuối mục 6 là một bảng các nút nguyên tố có
số điểm cắt không lớn hơn 8. Ngoài trừ mục cuối, nội dung chương này chúng tôi chủ
yếu dựa vào ba tài liệu [2], [8] và [9].
1.1 Nút và Link
Các nút là những thứ hết sức quen thuộc trong cuộc sống chúng ta. Nó xuất hiện khi
chúng ta buộc những kiện hàng, thắt dây giầy, hay các công việc tương tự khác. Các
nút có thể tháo ra, buộc lại theo các cách giống nhau hoặc khác nhau. Để nghiên cứu
tính thắt nút, phần bị thắt nút của sợi dây cần được làm nổi bật. Một cách làm điều
đó là phần bên ngoài chỗ thắt nút là một đoạn dây dài thẳng. Một cách tốt hơn là ta
gắn hai đầu của phần bên ngoài nút đó để tạo thành một vòng dây.
Lý thuyết nút nghiên cứu các tính chất Tôpô của các vòng bị nhúng vào trong
không gian ba chiều. Ta cho phép một nút có thể làm cho bị biến dạng giống như ta
tác động lên một sợi dây mảnh, mềm mại, co giãn với hai đầu dính liền nhau.
Bây giờ là định nghĩa chính xác của nút:
Định nghĩa 1.1 Một nút là ảnh của một phép nhúng trơn S1 vào trong R3.
Như vậy một nút là một đa tạp con một chiều trong R3 vi phôi với S1, do đó có hai
phép định hướng trên nó. Một nút cùng với một phép định hướng được gọi là nút định
hướng. Nếu K là nút định hướng thì ta kí hiệu −K là nút định hướng nhận được từ K
bằng cách đảo hướng. Hiển nhiên −(−K) = K.

10. 1.2. Đẳng luân
Định nghĩa 1.2 Một m-link (m ∈ N) là một tập con của R3 có đúng m thành phần liên
thông, mỗi thành phần liên thông là một nút. Một m-link định hướng là một m-link
với mỗi thành phần là một nút định hướng.
Như vậy, các nút là các link một thành phần. Với mỗi m-link, ta có cả thảy 2m cách
định hướng trên nó.
Một số ví dụ về các nút và link quan trọng được cho trong hình 1.1.
Hình 1.1: Vài ví dụ về nút và link.
Với mỗi link L cho trước, ta có thể xây dựng một link mới bằng phép đối xứng qua
mặt phẳng Oxy. Cụ thể ta ký hiệu L là ảnh của L qua ánh xạ: (x, y, z) → (x, y, −z).
Rõ ràng L cũng là một m-link và được gọi là link gương của L.
1.2 Đẳng luân
Trong mục này chúng ta định nghĩa thế nào là hai nút tương đương. Một cách trực
giác, hai nút là tương đương nếu chúng có thể biến đổi thành nhau mà không cần phải
tháo nút ra rồi thắt nút lại theo một kiểu khác. Định nghĩa toán học của hình ảnh
trên như sau:
2

11. 1.2. Đẳng luân
Định nghĩa 1.3 Link L1 được gọi là đẳng luân không gian với link L2 nếu tồn tại một
vi phôi trong R3 biến L1 thành L2, và vi phôi này phải đồng luân trơn với ánh xạ đồng
nhất theo lớp các vi phôi trong R3. Một vi phôi như thế được gọi là một phép đẳng
luân từ L1 tới L2.
Từ đây về sau, ta sẽ dùng từ "đẳng luân" thay cho cụm từ "đẳng luân không gian".
Theo định nghĩa, link L1 đẳng luân với link L2 khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ trơn
F : R3 × [0, 1] → R3 thỏa mãn hai điều kiện:
i) Với mỗi t ∈ [0, 1], ánh xạ ft := F( , t) : R3 → R3 là vi phôi.
ii) f0 = idR3 và f1(L1) = L2
Một họ vi phôi ft như thế được gọi là một dải đẳng luân từ L1 đến L2.
Mệnh đề 1.4 Quan hệ đẳng luân là quan hệ tương đương trên tập các link.
CHỨNG MINH. Hiển nhiên mọi link đều đẳng luân với chính nó.
Giả sử ta có một link L1 đẳng luân với một link L2 . Theo định nghĩa, tồn tại dải
đẳng luân ft từ L1 tới L2. Ta sẽ chứng minh họ f −1
t là một dải đẳng luân từ L2 tới L1.
Muốn thế ta chỉ cần chứng minh f −1
t trơn theo biến t.
Xét ánh xạ G : R3 × [0, 1] → R3 × [0, 1] cho bởi công thức: G(x, t) = (ft(x), t).
Vì ft là vi phôi với mọi t nên G là một song ánh trơn với ánh xạ ngược G−1(y, t) =
(f −1
t (y), t). Tại một điểm (p, t) ∈ R3 × [0, 1] bất kì, đạo hàm D(p, t)G có ma trận chính
tắc là ma trận: 





∂ f1,t
∂x1
(p)
∂ f1,t
∂x2
(p)
∂ f1,t
∂x3
(p) 0
∂ f2,t
∂x1
(p)
∂ f2,t
∂x2
(p)
∂ f2,t
∂x3
(p) 0
∂ f3,t
∂x1
(p)
∂ f1,t
∂x2
(p)
∂ f3,t
∂x3
(p) 0
0 0 0 1






(fi,t là hàm tọa độ thứ i của ft)
Vì ft là vi phôi với mọi t nên det(D(p, t)G) = det(Dp ft) = 0, tức là đạo hàm tại (p, t)
là song ánh. Theo định lý hàm ngược, ánh xạ ngược G−1(y, t) = (f −1
t (y), t) phải là
ánh xạ trơn trong một lân cận của G(p, t) = (q, t). Từ đó ta có f −1
t là ánh xạ trơn
trong một lân cận của (q, t), và vì q chạy trên toàn bộ R3 nên f −1
t là ánh xạ trơn trên
R3 × [0, 1].
Cuối cùng, giả sử L1, L2, L3 là ba link tùy ý sao cho L1 đẳng luân với L2, L2 đẳng
luân với L3. Khi đó, theo định nghĩa, tồn tại các dải đẳng luân ft, gt từ L1 tới L2 và từ
L2 tới L3. Khi đó ánh xạ H : R3 × [0, 1] → R3 xác định bởi:
H(x, t) =



F(x, 2t) t ∈ [0, 1
2 ]
G[F(x, 1), 2t − 1] t ∈ [1
2, 1]
(1.1)
3

12. 1.3. Biểu đồ
là một dải đẳng luân từ L1 tới L3. Do đó quan hệ đẳng luân có tính chất bắc cầu.
Dựa vào khái niệm đẳng luân, ta gọi các phần tử thuộc lớp đẳng luân của link gồm
m đường tròn đồng phẳng và đôi một rời nhau là các m-link tầm thường. Dễ thấy một
m-link là tầm thường khi và chỉ khi tất cả m thành phần của nó đều đẳng luân với
đường tròn và với hai thành phần bất kì đều tồn tại một hình cầu chứa một thành
phần và không giao với cái còn lại.
Với một tập hợp "quen biết" X có một quan hệ tương đương ∼ trên nó, ta gọi ánh
xạ
I : {tập các link} → X
là một bất biến đẳng luân của link nếu I(L) ∼ I(L ) nghiệm đúng với mọi cặp link
đẳng luân với nhau. Nếu bất biến I cũng là điều kiện đủ để hai link (nói riêng là hai
nút) đẳng luân thì nó được gọi là một bất biến (nút) hoàn hảo.
Như thế, để chứng minh hai link L và L không đẳng luân, cần và đủ là xây dựng
một bất biến I sao cho I(L) và I(L ) không tương đương. Bất biến thô sơ nhất chính là
số thành phần của link. Một bất biến khác ít thô sơ hơn một chút là phần bù của link.
Hiển nhiên hai link đẳng luân thì phần bù của chúng sẽ đồng phôi. Điều ngược lại
là không đúng trong trường hợp tổng quát. Nhưng với trường hợp các nút thì khẳng
định ngược lại cũng đúng, tức là "hai phần bù đồng phôi" là điều kiện cần và đủ để
hai nút đẳng luân (đây là một định lý với chứng minh rất khó). Như thế, phần bù là
một bất biến nút hoàn hảo. Trong chương sau, ta sẽ trình bày một trong những bất
biến quan trọng nhất trong Lý thuyết nút là Đa thức Jones. Tuy không phải bất biến
nút hoàn hảo, nó vẫn cho phép ta chứng minh một nút và nút gương của nó nói chung
không đẳng luân với nhau.
Cuối cùng, với hai link định hướng, quan hệ đẳng luân giữa chúng được định nghĩa
hoàn toàn giống như trường hợp không định hướng, chỉ thêm yêu cầu phép đẳng luân
phải là vi phôi phù hợp với định hướng trên chúng. Tất cả các định sự kiện về link
không định hướng vừa trình bày bên trên đều dễ dàng chuyển sang cho trường hợp
link định hướng.
1.3 Biểu đồ
Một trong những cách thông dụng nhất để biểu diễn nút và link là chiếu chúng lên
mặt phẳng. Dù có cung cấp một số thông tin về link, các phép chiếu là không đủ để ta
khôi phục lại link từ nó: chẳng hạn các thông tin về độ cao bị mất đi và ta không biết
sợi nào ở bên trên hay dưới một sợi dây khác. Hơn nữa, có một số phép chiếu là tốt hơn
so với các phép chiếu khác.
4

13. 1.3. Biểu đồ
Cho một link L và một phép chiếu song song từ R3 xuống R2 = Oxy. Với mong
muốn thu được nhiều thông tin nhất có thể, ta cần phép chiếu thỏa mãn bốn điều kiện
sau:
(i) Tiếp tuyến tại mọi điểm trên L qua phép chiếu vẫn phải là đường thẳng (tức là
không suy biến thành một điểm).
(ii) Với n > 2, không tồn tại n điểm phân biệt của L qua phép chiếu trở thành một
điểm.
(iii) Tại hai điểm phân biệt của L được chiếu thành một điểm, hai tiếp tuyến qua
phép chiếu không được trùng nhau. Nói cách khác, nếu hai cung rời nhau của L
qua phép chiếu trở thành hai cung giao nhau thì phép giao phải là giao hoành.
(iv) Tập các điểm trên mặt phẳng là ảnh của hai điểm phân biệt trên L phải hữu
hạn.
Định nghĩa 1.5 Một phép chiếu song song từ không gian xuống mặt phẳng Oxy thỏa
mãn bốn điều kiện trên được gọi là phép chiếu chính quy đối với link L.
Trong định nghĩa phép chiếu chính quy theo một link cho trước, nói riêng, có hai tình
huống không được phép xảy ra: Thứ nhất ba điểm phân biệt của link được chiếu lên
cùng một điểm (hình 1.2 a), thứ hai là hai cung rời nhau của link trở thành tiếp xúc
nhau qua phép chiếu (hình 1.2 b).
Hình 1.2: Hai tình huống vi phạm tính chính quy của phép chiếu.
Nếu p là một phép chiếu chính quy đối với link L, thì các điểm trong p(L) là ảnh
của hai điểm trong L được gọi là các điểm cắt. Theo định nghĩa phép chiếu chính quy,
tập điểm cắt phải là hữu hạn. Khi phép chiếu p thay đổi, số lượng điểm cắt của p(L)
nói chung cũng thay đổi, nhưng dĩ nhiên luôn bị chặn dưới bởi 0. Đại lượng
c(L) := minp{số lượng các điểm cắt của p(L)|p là phép chiếu chính quy theo L}
5

14. 1.3. Biểu đồ
được gọi là số điểm cắt của L.
Trong một lân cận mỗi điểm cắt, ta có hai cung giao nhau tại điểm cắt. Hai cung
này là ảnh của hai cung rời nhau trong L chứa hai điểm bị chiếu lên điểm cắt. Ảnh
của cung chứa điểm có tọa độ z lớn hơn gọi là cung trên tại điểm cắt, ảnh của cung còn
lại gọi là cung dưới tại điểm cắt.
Định nghĩa 1.6 Ảnh của link L qua một phép chiếu chính quy cùng với sự phân biệt
cung trên, cung dưới tại mỗi điểm cắt được gọi là một biểu đồ của L. Nếu L là link định
hướng thì ảnh của nó qua phép chiếu chính quy cũng có một định hướng cảm sinh.
Biểu đồ với hướng cảm sinh đó được gọi là biểu đồ của link định hướng của L.
Nhận xét 1.7 Như vậy link là một đối tượng hình học trong không gian ba chiều, còn
biểu đồ của link là một đối tượng trong không gian hai chiều, mặc dù nhìn chúng khá
giống nhau (hình 1.3).
Hình 1.3: Nút trefoil và biểu đồ.
Ta nêu ra hai tính chất đơn giản và quan trọng của biểu đồ link:
+ Nếu link L có một biểu đồ D thì link gương L có một biểu đồ giống hệt D, nhưng
tại mỗi điểm giao thì cung trên và cung dưới đổi chỗ. Ta gọi nó là biểu đồ gương
của D và ký hiệu là D
+ Ta gọi hai link L1 và L2 là rời nhau mạnh nếu tồn tại một hình cầu chứa L1 và
không giao với L2. Khi đó sẽ có một phép chiếu chính quy theo L1 ∪ L2, kí hiệu là
p, thỏa mãn: p(L1) ∩ p(L2) = ∅. Nói cách khác, L1 ∪ L2 sẽ có một biểu đồ là hợp
rời của hai biểu đồ của L1 và L2 cùng sinh ra từ phép chiếu ban đầu.
Định lý sau về sự tồn tại của các biểu đồ mà chứng minh có thể tìm trong [2]
6

15. 1.3. Biểu đồ
Định lý 1.8 Sai khác một phép đẳng luân, mọi link đều có một phép chiếu chính quy,
do đó nó có một biểu đồ.
Về trực giác, nếu một phép chiếu không chính quy với một linh, ta có thể sử dụng một
số phép nhiễu địa phương không làm thay đổi bản chất của link để phép chiếu thỏa
mãn ba yêu cầu đầu tiên trong định nghĩa phép chiếu chính quy. Yêu cầu thứ tư khó
hình dung hơn, và đó là lí do vì sao người ta không chỉ đòi hỏi nút là đồng phôi với
đường tròn. Đã có những ví dụ về những tập con trong R3 đồng phôi với S1 nhưng
không có phép chiếu chính quy, vì yêu cầu thứ tư không thể thỏa mãn được.
Từ đây về sau, khi nói đến "biểu đồ" mà không nói gì hơn, ta luôn hiểu đó là biểu
đồ của một link nào đó.
Hoàn toàn tương tự như với các link, ta cũng có thể định nghĩa quan hệ đẳng luân
giữa hai biểu đồ (định hướng hay không định hướng) D1 và D2, cụ thể ta chỉ việc thay
R3 bằng R2, thay L1, L2 bằng D1, D2 trong định nghĩa quan hệ đẳng luân của hai
link. Khi đó hai biểu đồ được gọi là đẳng luân phẳng với nhau. Một cách trực giác, ta
hình dung hai biểu đồ đẳng luân phẳng với nhau là hai biểu đồ có cùng một "cấu trúc
tổ hợp" (hình 1.4).
Hình 1.4: Các biểu đồ đẳng luân phẳng.
Nhận xét 1.9 Dễ thấy nút tầm thường có thể có biểu đồ với số điểm cắt tùy ý, do đó
biểu đồ link không phải là bất biến đẳng luân của link.
Mệnh đề sau đây là một tính chất tổ hợp khá thú vị của biểu đồ, sẽ được sử dụng
trong chương ba. Trước hết, ta cần định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.10 Với mỗi tập U trong mặt phẳng có hữu hạn thành phần liên thông
là U1, U2, ..., Un (n > 1), ta gọi một phép tô màu kiểu bàn cờ cho U là một phép tô mỗi
tập Ui bằng một trong hai màu đen hoặc trắng thỏa mãn điều kiện: Nếu (∂Ui ∩ ∂Uj)
có một thành phần liên thông gồm nhiều hơn một điểm thì chúng phải có màu khác
nhau.
Mệnh đề 1.11 Phần bù trong mặt phẳng của mọi biểu đồ đều có thể tô màu kiểu bàn
cờ.
CHỨNG MINH. Trước khi chứng minh mệnh đề, để cho gọn ta gọi một đường cong đơn
đóng là một vòng (như vậy một nút là một vòng trơn trong R3). Trong một tập các vòng
7

16. 1.4. Các phép dịch chuyển Reidemeister
phẳng, ta gọi một vòng là loại k (k = 0, 1, 2, ...) nếu nếu nó nằm trong đúng k miền
mở giới hạn bởi k vòng trong tập đang xét, và không tồn tại k + 1 miền mở giới hạn bởi
k + 1 vòng trong tập đang xét chứa α.
Bây giờ ta chứng minh mệnh đề bằng quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ. Nếu D
là một biểu đồ không có điểm cắt, thì nó là một số hữu hạn các vòng phẳng đôi một rời
nhau trên Oxy. Ta tô màu cho Oxy − D như sau: Chọn một màu bất kì bất kì, chẳng
hạn màu đen, tô lên thành phần không bị chặn (có duy nhất một thành phần không
bị chặn). Tiếp theo, tô màu trắng cho tất các thành phần nằm trong các miền bị giới
hạn bởi các vòng loại 0. Sau đó tô đè màu đen lên tất cả các thành phần nằm trong
các miền bị giới hạn bởi các vòng loại 1. Rồi lại tô đè màu trắng lên tất cả các thành
phần nằm trong miền bị giới hạn bởi các vòng loại 2, ... . Cứ tiếp tục như thế ta được
một cách tô màu kiểu bàn cờ cho Oxy − D.
Giả sử mệnh đề đúng với mọi biểu đồ có ít hơn n điểm cắt. Với mỗi biểu đồ D có n
điểm cắt, tại lân cận đủ nhỏ của một điểm cắt bất kì, ta dựng thêm hai cung như hình
bên dưới:
Tạm thời bỏ qua hai cung trên dưới của điểm cắt đó và sử dụng hai cung mới, ta được
một biểu đồ có n − 1 điểm cắt. Theo giả thiết quy nạp, phần bù của nó có thể tô màu
kiểu bàn cờ. Thực hiện điều này, sau đó xóa màu đã tô trên hai cung trên dưới tại điểm
cắt, rồi dùng màu của hai miền có biên chứa hai cung mới (hai miền này có màu giống
nhau) tô lên hai cung mới và tô đè lên hai miền đối nhau giới hạn bởi hai cung mới và
hai cung trên dưới tại điểm cắt. Dễ thấy đó là cách tô màu bàn cờ cho Oxy − D.
Ta kết thúc mục này bằng định nghĩa sau về một loại biểu đồ đặc biệt.
Định nghĩa 1.12 Một biểu đồ được gọi là liên thông nếu nó là tập liên thông trong
mặt phẳng. Một biểu đồ không liên thông được gọi là biểu đồ tách. Một link tách là
link có một biểu đồ tách.
Từ định nghĩa ta suy ra một link là tách khi và chỉ khi một số thành phần của link và
các thành phần còn lại là rời nhau mạnh.
1.4 Các phép dịch chuyển Reidemeister
Bài toán cơ bản trong Lý thuyết nút là phân lại các link theo quan hệ đẳng luân. Như
đã nói ở trên, để chứng minh hai link không đẳng luân với nhau, người ta sử dụng các
bất biến đẳng luân của link. Việc chứng minh hai link đẳng luân với nhau nói chung
là khó hơn, vì không dễ gì xây dựng được dải đẳng luân như định nghĩa. Một cách tự
8

17. 1.4. Các phép dịch chuyển Reidemeister
nhiên, người ta mong muốn thông qua biểu đồ của hai link để chứng minh chúng là
đẳng luân. Công việc này đòi hỏi phải phân tích cấu trúc tổ hợp của biểu đồ một cách
kĩ lưỡng.
Trước hết, ta nhận thấy rằng trong quá trình đẳng luân, cấu trúc tổ hợp của biểu
đồ không bị thay đổi. Cụ thể, các tình huống sau không bao giờ xuất hiện:
(i) Một điểm cắt mất đi, hoặc một điểm cắt mới xuất hiện.
(ii) Xuất hiện hai cung trong biểu đồ tiếp xúc với nhau.
(iii) Xuất hiện ba cung trong biểu đồ giao nhau tại một điểm.
Tương ứng với ba tình huống trên là ba phép dịch chuyển Reidemeister được mô tả
trong hình dưới đây:
Phép dịch chuyển Reidemeister thứ nhất cho phép đưa thêm vào hoặc xóa đi một
điểm cắt trong biểu đồ. Phép dịch chuyển Reidemeister thứ hai cho phép thêm vào
hoặc xóa đi hai điểm cắt trong biểu đồ bằng cách "trượt" hai cung lại gần nhau hay
tách ra xa nhau. Trong khi dịch chuyển, sẽ có thời điểm hai cung tiếp xúc nhau. Phép
dịch chuyển Reidemeister thứ ba cho phép trượt một cung trong biểu đồ từ một phía
của điểm cắt sang phía bên kia. Trong khi dịch chuyển, sẽ có thời điểm cung trượt đi
qua điểm cắt.
Định lý Reidemeister nói rằng ba phép dịch chuyển nói trên cùng với phép đẳng
luân phẳng giữa các biểu đồ chính là điều kiện cần và đủ cho tính đẳng luân của link.
Chúng tôi không viết ra đây chứng minh định lý này vì nó khá phức tạp. Những ai
quan tâm có thể tìm thấy chứng minh trong hầu hết các giáo trình về Lý thuyết nút,
chẳng hạn như [2].
Định lý 1.13 (Reidemeister) Cho L1 và L2 là hai link không định hướng có hai biểu
đồ tương ứng là D1 và D2. Khi đó, L1 và L2 đẳng luân với nhau khi và chỉ khi D1 nhận
đươc từ D2 qua một số hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister và một phép đẳng
luân phẳng.
Ta lấy hai ví dụ để minh họa cho định lý Reidemeister. Đầu tiên là một ví dụ đơn
giản:
9

18. 1.4. Các phép dịch chuyển Reidemeister
Ví dụ thứ hai phức tạp hơn. Ta áp dụng định lý Reidemeister để chứng minh nút
số tám đẳng luân với nút gương của nó:
Định lý Reidemeister có thể viết dưới dạng ký hiệu:
{tập các link }/ quan hệ đẳng luân không gian = {tập các biểu đồ link}/ quan hệ
đẳng luân phẳng và ba phép dịch chuyển Reidemeister.
Đẳng thức trên cho phép ta xác định các lớp đẳng luân của link thông qua các lớp
đẳng luân phẳng của biểu đồ, modulo các phép dịch chuyển Reidemeister. Đối với việc
nghiên cứu hình học của các link, đẳng thức trên có một vai trò quan trọng. Lý do là
vế bên trái của nó có bản chất Tôpô, còn vế phải theo một nghĩa nào đó là mang bản
chất Tổ hợp. Do đó nó cho phép sử dụng các kỹ thuật của Tổ hợp để thu được các hiểu
biết về Tôpô của link. Đây cũng là một ý tưởng then chốt trong toàn bộ lý thuyết nút.
Với những phép dịch chuyển gần gũi với ba phép dịch chuyển trên, ta có mênh đề
sau:
Mệnh đề 1.14 Các phép biến đổi dưới đây đều suy ra từ ba phép dịch chuyển Reide-
meister.
CHỨNG MINH. Với phép dịch chuyển thứ nhất ta có:
Ta chứng minh phép dịch chuyển thứ hai:
10

19. 1.5. Sự nhân tử hóa
Phép dịch chuyển thứ ba chứng minh hoàn toàn tương tự như với phép dịch chuyển
thứ hai nên ta bỏ qua.
Tương tự, với trường hợp các link định hướng ta cũng có các phép dịch chuyển
Reidemeister định hướng như trong hình 1.5, cũng như định lý Reidemeister:
Hình 1.5: Các phép dịch chuyển Reidemeister định hướng.
Định lý 1.15 Cho L1 và L2 là hai link định hướng có hai biểu đồ tương ứng là D1 và
D2. Khi đó, L1 và L2 đẳng luân với nhau khi và chỉ khi D1 nhận đươc từ D2 qua một số
hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister định hướng và một phép đẳng luân giữa
hai biểu đồ định hướng.
1.5 Sự nhân tử hóa
Mục này ta sẽ trình bày một cách xây dựng các link mới từ hai link cho trước. Trong
trường hợp link là nút định hướng, cách xây dựng này rất giống cách lấy tích của hai
số nguyên.
Với hai nút K1, K2 bất kì, ta có thể thu được hai nút mới bằng cách xóa đi một cung
khá nhỏ trên hai nút K1, K2 rồi gắn đầu mút của chúng lại. Hiển nhiên có hai cách
gắn, mỗi cách gắn cho ta một nút mới, kí hiệu là K và K . Trong trường hợp tổng quát
K và K không đẳng luân với nhau. Rõ ràng cách xây dựng hai nút K1 và K2 không phụ
thuộc vào vị trí cung bị xóa, mà chỉ phụ thuộc vào cách gắn. Thủ tục vừa trình bày
được gọi là phép nhân hai nút K1 và K2. Cả hai nút K và K đều được gọi là tích của K1
với K , và được kí hiệu: K = K1#K2; K = K1#K2.
Để làm cho phép nhân hai nút trở thành đơn trị, ta chỉ việc định hướng cho K1, K2
và chọn cách gắn phù hợp với định hướng của K1 và K2. Khi đó nút tích sẽ là một nút
định hướng (hình 1.6). Dễ dàng kiểm tra lúc này phép nhân là giao hoán và kết hợp.
11

20. 1.5. Sự nhân tử hóa
Tổng quát hơn, nếu L1 và L2 tương ứng là m1-link và m2-link, ta xây dựng hai
(m1 + m2 − 1)-link, gọi là hai link tích của L1 và L2 và cũng được kí hiệu là L1#L2, như
sau: các thành phần của hai link này gồm (m1 − 1) thành phần của L1, (m2 − 1) thành
phần của L2, và một thành phần cuối cùng là tích của hai thành phần còn lại trong
L1 và L2. Như thế có thể sẽ có 2m1m2 link đôi một không đẳng luân là tích của L1, L2.
Nếu hai link L1, L2 đều định hướng thì sẽ có thể sẽ có m1m2 link định hướng đôi một
không đẳng luân là tích củaL1, L2.
Nếu L = L1#L2 ta cũng nói L1 và L2 là hai nhân tử của L.
Hình 1.6: Tích hai nút định hướng.
Một câu hỏi tự nhiên: Làm thế nào để nhận biết một link L cho trước là tích của
hai link nào đó? Để trả lời, ta lấy một mặt cầu S giao với L tại đúng hai điểm, và đều
là giao hoành. Chọn một cung đơn, trơn α trên S nối hai điểm đó lại (việc chọn α không
quan trọng vì những cung như thế đều đẳng luân với nhau). Đặt U1, U2 là hai thành
phần của R3 − S. Ta định nghĩa hai link mới như sau:
Li = (L ∩ Ui) ∪ α i = 1, 2.
Lúc này, rõ ràng L = L1#L2.
Thủ tục vừa trình bày bên trên gọi là sự nhân tử hóa link L. Ta cũng dễ thấy hai
link không đẳng luân vẫn có thể có cùng một khai triển thành tích các nhân tử.
Một ví dụ về sự nhân tử hóa của nút được cho trong hình 1.7.
Hình 1.7: Một nút phân tích được thành tích của nút trefoil và nút số tám.
12

21. 1.5. Sự nhân tử hóa
Hiển nhiên mỗi link đều là tích của nó với nút tầm thường. Một link không tầm
thường, không tách được gọi là link nguyên tố nếu nó không thể phân tích thành tích
của hai link không tầm thường. trang sau là một bảng liệt kê tất cả các nút nguyên tố
với số điểm cắt không quá 8, không kể các nút gương của chúng.
Áp dụng y nguyên thủ tục trên cho các biểu đồ, chỉ khác thay vì dùng một mặt
cầu thì ta dùng một đường cong đơn đóng trên mặt phẳng Oxy, ta đi đến định nghĩa
sự nhân tử hóa của biểu đồ. Ngoài ra ta không phải chọn cung nối hai điểm giao mà
dùng luôn một trong hai cung của đường cong đó. Một biểu đồ liên thông của một link
không tầm thường được gọi là biểu đồ nguyên tố nếu nó không thể viết thành tích của
hai biểu đồ khác biểu đồ link tầm thường. Một biểu đồ liên thông của một link không
tầm thường được gọi là nguyên tố rõ ràng nếu nó không thể viết thành tích của hai
biểu đồ có điểm cắt (tức là nếu viết nó dưới dạng tích hai biểu đồ thì một trong hai
nhân tử sẽ không có điểm cắt).
13

22. 1.5. Sự nhân tử hóa
14

23. 1.6. Đồ thị phẳng
1.6 Đồ thị phẳng
Ta kết thúc chương này bằng một số sự kiện trong Lý thuyết đồ thị phẳng, những
thứ sẽ được dùng trong chương ba. Vì mục đích sử dụng, những đối tượng và những
tính chất được định nghĩa trong mục này có thể kém tổng quát hơn so với những định
nghĩa thông thường của chúng.
Cho một đồ thị phẳng Γ là cho:
+ Một tập không rỗng V(Γ) gồm một số hữu hạn các điểm trên một mặt phẳng, gọi
là các đỉnh của Γ.
+ Một tập không rỗng E(Γ) gồm một số hữu hạn cung đơn trên mặt phẳng nối hai
đỉnh khác nhau của Γ và không đi qua một đỉnh nào khác, cùng với một số hữu
hạn các vòng trên mặt phẳng, mỗi vòng đi quá đúng một đỉnh của Γ. Các phần
tử của E(Γ) được gọi là các cạnh của đồ thị Γ. Khi cần phân biệt, các vòng sẽ được
gọi là cạnh khép kín.
Chú ý theo định nghĩa, hai đỉnh trong đồ thị có thể không có cạnh nối hoặc cũng có thể
có nhiều hơn một cạnh nối. Cũng vậy, một đỉnh có thể không có hoặc có nhiều hơn một
cạnh khép kín đi qua. Sử dụng thuật ngữ hình học, nếu giữa hai đỉnh có một cạnh nối
thì hai đỉnh đó cũng được gọi là hai đầu mút của cạnh đó. Nếu một đỉnh có một cạnh
khép kín đi qua thì ta cũng gọi đỉnh đó là đầu mút của cạnh khép kín. Một đồ thị con
của Γ là đồ thị với tập đỉnh là tập con của V(Γ), và tập cạnh là tập con của E(Γ).
Với mỗi đồ thị phẳng Γ, tập hợp (∪α∈E(Γ)α) được gọi là thể hiện hình học của Γ. Đó
là một tập hợp trong mặt phẳng. Từ đây về sau, ta sẽ đồng nhất các đồ thị phẳng
với thể hiện hình học của chúng.
Một đồ thị phẳng Γ được gọi là liên thông nếu nó là tập liên thông trong mặt phẳng.
Một đỉnh v của đồ thị phẳng liên thông Γ được gọi là đỉnh tách nếu Γ − v không phải
là tập liên thông trong mặt phẳng. Ta thấy ngay nếu Γ có số đỉnh lớn hơn một thì các
đỉnh là mút của cạnh khép kín luôn là đỉnh tách. Nếu đỉnh tách v không là mút của
một cạnh khép kín, thì Γ và v có dạng như trong hình 1.8, trong đó Γ1, ..., Γk là các đồ
thị con liên thông của Γ với Γi ∩ Γj = ∅ ∀ i = j, và giữa hai đỉnh bất kì thuộc hai đồ
thị khác nhau luôn không có cạnh nối.
Trong chương ba, ta sẽ cần một bổ đề đơn giản sau liên quan đến đỉnh tách của đồ
thị phẳng:
Bổ đề 1.16 Cho Γ là đồ thị phẳng liên thông không có đỉnh tách. Giả sử tồn tại một
cạnh của Γ có tính chất: Nếu xóa bỏ phần trong cạnh đó (tức là không xóa các đỉnh
trong cạnh đó) ta nhận được đồ thị mới vẫn liên thông nhưng có đỉnh tách. Khi đó việc
co rút cạnh này về một đỉnh sẽ thu được đồ thị mới vẫn không có đỉnh tách.
15

24. 1.6. Đồ thị phẳng
Hình 1.8: Đỉnh tách v của đồ thị phẳng liên thông không có cạnh khép kín Γ.
Ở đây, trong trường hợp cạnh không khép kín, phép co rút một cạnh về một đỉnh là
phép xóa đi phần trong của cạnh rồi đồng nhất hai đỉnh. Nếu cạnh là khép kín thì chỉ
là việc xóa phần trong cạnh đó.
CHỨNG MINH. Hiển nhiên Γ không thể chỉ có một đỉnh vì khi đó xóa phần trong một
cạnh không làm đỉnh tách xuất hiện. Nếu Γ có hai đỉnh thì cũng dễ dàng chứng minh
nó không thể thỏa mãn hai điều kiện của bổ đề. Do đó, đồ thị Γ thỏa mãn điều kiện
bổ đề sẽ có ít nhất ba đỉnh, và do đó không có cạnh khép kín. Gọi cạnh bị xóa phần
trong là e, và gọi v là đỉnh tách xuất hiện sau khi xóa phần trong e. Khi đó, rõ ràng
Γ, v, e, phải có dạng như hình 1.9, trong đó Γ1, Γ2 là hai đồ thị con liên thông không
giao nhau của Γ, và v11, v20 là cặp đỉnh duy nhất thuộc Γ1, Γ2 mà có cạnh nối. Chú ý
v10 có thể trùng với một trong các đỉnh v11, ...., v1n1
, còn v20 có thể trùng với một trong
số các đỉnh v21, ...., v2n2
.
Từ dạng hình học của Γ ta thấy kết luận của bổ đề là hiển nhiên đúng.
Đồ thị phẳng mà ta quan tâm chính là biểu đồ link trong mặt phẳng Oxy. Để thu
được một đồ thị phẳng từ biểu đồ link, trên các thành phần có điểm cắt, ta lấy các
điểm cắt làm đỉnh, các cạnh sẽ là các cung trong biểu đồ. Với các thành phần của biểu
đồ là các vòng phẳng, ta lấy một điểm bất kì trên đó làm đỉnh. Đỉnh này là đầu mút
của một cạnh khép kín.
Từ cách xây dựng trên ta thấy ngay nếu mọi thành phần liên thông của biểu đồ đều có
điểm cắt, thì với đồ thị tương ứng, mọi lân cận đủ nhỏ của mọi đỉnh đều có dạng như
hình bên dưới:
16

25. 1.6. Đồ thị phẳng
Trong trường hợp này, có thể chứng minh dễ dàng bằng quy nạp theo số đỉnh rằng số
cạnh của đồ thị sẽ gấp hai lần số đỉnh.
17

26. CHƯƠNG 2
Đa thức Jones
Lý thuyết về đa thức Jones do Vaughan Jones tìm ra năm 1984 cho phép gắn mỗi link
định hướng (trường hợp nút thì không cần định hướng) với một đa thức Laurent hệ số
nguyên (là một biểu thức kiểu đa thức nhưng trong đó có cả lũy thừa âm và dương của
biến số). Ngay sau đó, Kauffman đã đưa ra cách định nghĩa khá đơn giản thông qua
cấu trúc tổ hợp của biểu đồ link. Và như đã nhấn mạnh chương 1 mục 1.4, phép gắn
này sẽ được chứng minh không phụ thuộc vào việc chọn biểu đồ, vì nó bất biến với ba
phép biến đổi Reidenmeister định hướng. Nói cách khác, nó là một bất biến đẳng luân
của link định hướng. Với hai link định hướng cho trước, bằng các tính toán trên các
biểu đồ, nếu đa thức Jones của chúng khác nhau thì hai link không đẳng luân. Đây
là công việc khá đơn giản với những biểu đồ không có nhiều điểm cắt. Nói riêng, ta sẽ
thấy nút trefoil và nút gương của nó không đẳng luân với nhau.
Chương này chúng tôi chủ yếu dựa vào bài báo gốc [4] và các tài liệu [5], [9] để trình
bày cách tiếp cận của Kauffman cũng như tính toán đa thức Jones cho một số trường
hợp đơn giản.
2.1 Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman
Định nghĩa 2.1 Ngoặc Kauffman, kí hiệu , là một ánh xạ từ tập biểu đồ link không
định hướng trong mặt phẳng đến tập các đa thức Laurent hệ số nguyên Z[A, A−1]
thỏa mãn ba đẳng thức:
(i) = 1
(ii) D = (−A2 − A−2) D
(iii) = A + A−1 .

27. 2.1. Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman
Trong định nghĩa trên, là biểu đồ của nút tầm thường không có điểm cắt (nó đơn
giản là một vòng trong Oxy), D là biểu đồ bao gồm biểu đồ D cùng với biểu đồ của
một nút tầm thường không có điểm cắt và không giao với D.
Ta liệt kê một số tính chất đơn giản của ngoặc Kauffman suy trực tiếp từ định
nghĩa:
+ Nếu biểu đồ bị biến đổi, ngoặc Kauffman nói chung cũng thay đổi. Tuy nhiên có
thể thấy rằng vì ngoặc Kauffman chỉ phụ thuộc vào cấu trúc tổ hợp của biểu đồ,
nên nếu hai biểu đồ đẳng luân phẳng với nhau thì ngoặc Kauffman của chúng
sẽ trùng nhau.
+ Nếu một biểu đồ không có điểm cắt, thì nó chỉ là một số hữu hạn các vòng trên
mặt phẳng Oxy đôi một rời nhau. Khi đó, từ hai đẳng thức (i) và (ii), ngoặc
Kauffman của nó sẽ là (−A−2 − A2)m−1 với m là số lượng các vòng.
+ Đẳng thức (iii) cho biết ngoặc Kauffman của một biểu đồ n điểm cắt sẽ được biểu
diễn bằng một tổng tuyến tính của 2n ngoặc Kauffman của các biểu đồ không có
điểm cắt, và với các biểu đồ không có điểm cắt thì ta đã tính được.
+ Trong vế trái của đẳng thức (iii), nếu hai cung trên và cung cung dưới đổi vị trí
cho nhau thì ở vế phải, A và A−1 cũng sẽ đổi chỗ cho nhau. Ta thu được điều này
bằng cách áp dụng đẳng thức (iii) sau khi quay biểu đồ một góc π/2. Do đó, nếu
D là biểu đồ gương của biểu đồ D, là biểu đồ thu được bằng cách hoán đổi vị trí
cung trên và cung dưới tại mọi điểm cắt trong D cho nhau, thì D sẽ là đa thức
Laurent thu được từ D bằng cách hoán đổi vị trí của A và A−1 cho nhau tức
là D (A) := D (A−1) .
Sự tồn tại của ngoặc Kauffman sẽ được chứng minh trong chương sau bằng cách
xây dựng công thức tường minh. Việc nó là duy nhất có thể chứng minh khá đơn
giản dựa vào quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ như sau: Giả sử tồn tại hai ánh
xạ 1
, 2
từ tập biểu đồ không định hướng vào Z[A, A−1] đều thỏa mãn ba đẳng
thức trong định nghĩa 2.1. Nếu D là biểu đồ không có điểm cắt thì như đã thấy ở bên
trên, D 1
= D 2
= (−A−2 − A2)m−1 với m là số thành phần liên thông của D. Giả
sử đẳng thức D 1
= D 2
đúng với mọi biểu đồ D có số điểm cắt nhỏ hơn n. Khi đó,
với mỗi biểu đồ D có n điểm cắt, áp dụng đẳng thức (iii) trong định nghĩa 2.1 và giả
thiết quy nạp ta có D 1
= D 2
.
Bây giờ, ta hãy xem ngoặc Kauffman thay đổi như thế nào đối với các phép dịch
chuyển Reidenmeister.
Bổ đề 2.2 Nếu ta biến đổi một biểu đồ bằng phép dịch chuyển Reidenmeister thứ nhất,
thì ngoặc Kauffman của nó thay đổi như sau:
19

28. 2.1. Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman
CHỨNG MINH. Ta chứng minh đẳng thức đầu tiên:
Đẳng thức thứ hai chứng minh hoàn toàn tương tự
Như vậy ta thấy ngoặc Kauffman của một biểu đồ không bất biến với phép biến đổi
Reidenmeister thứ nhất.
Hai đẳng thức trong Bổ đề 2.2 thường xuyên được sử dụng để tính ngoặc Kauffman
của các link. Chẳng hạn ta áp dụng nó để tính ngoặc Kauffman của Hopf link và của
nút trefoil:
Bổ đề 2.3 Nếu ta thay đổi một biểu đồ bằng phép biến đổi Reidenmeister thứ hai hoặc
thứ ba thì ngoặc Kauffman của nó không thay đổi. Tức là
CHỨNG MINH. (i) Áp dụng liên tiếp đẳng thức thứ ba trong định nghĩa ngoặc Kauff-
man, ta có:
(ii) Áp dụng đẳng thức (iii) trong định nghĩa ngoặc Kauffman vào điểm cắt "chính
giữa", ta được:
20

29. 2.1. Ngoặc Kauffman và đa thức Kauffman
Vì ngoặc Kauffman bất biến với phép đẳng luân phẳng cũng như phép dịch
chuyển Reidenmeister thứ hai (vừa chứng minh) nên ta có các đẳng thức:
Thay vào đẳng thức ban đầu ta được:
Vì ngoặc Kauffman không bất biến với phép dịch chuyển Reidenmeister thứ nhất,
do đó nó không phải là một bất biến đẳng luân của link. Tuy nhiên ta có thể chỉnh sửa
nó một chút để được một bất biến. Định nghĩa dưới đây là sự chuẩn bị cho việc hiệu
chỉnh:
Định nghĩa 2.4 Với mỗi biểu đồ (định hướng) D của một link định hướng, ta gán cho
mỗi điểm cắt của D một trong hai giá trị 1 hoặc −1 và gọi chúng tương ứng là điểm
cắt dương hoặc điểm cắt âm như hình 2.1 bên dưới. Khi đó số writhe của D, kí hiệu
w(D), là tổng: w(D) = ∑i i, trong đó tổng chạy trên tất cả các điểm cắt trong D, còn
i = ±1 là dấu của các điểm cắt trong D.
Hình 2.1: dấu của điểm cắt
Từ định nghĩa trên, ta thấy nếu đảo hướng tất cả các thành phần của D thì w(D)
không đổi. Hình dưới đây chỉ ra số writhe của một vài biểu đồ link:
Nhận xét 2.5 Nếu biến đổi D bằng các phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng
thứ hai và thứ ba thì w(D) cũng không đổi. Thật vậy, với phép dịch chuyển Reiden-
meister định hướng thứ hai, dấu của hai điểm cắt mới (hoặc của hai điểm cắt bị mất
21

30. 2.2. Đa thức Jones
đi) luôn ngược nhau. Với phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng thứ ba, dấu
của hai điểm cắt mới luôn trùng với dấu của hai điểm cắt cũ một cách tương ứng.Tuy
nhiên, dễ thấy nếu biến đổi D bằng phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng thứ
nhất thì w(D) sẽ tăng thêm hoặc giảm đi 1.
Bây giờ ta có định lý sau, là sự hiệu chỉnh của ngoặc Kauffman:
Định lý 2.6 Với mỗi biểu đồ D của link định hướng L, đa thức Kauffman của L
X(L) = (−A)−3w(D) |D|
là bất biến với cả ba phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng, trong đó |D| là biểu
đồ không định hướng nhận được từ D bằng cách bỏ qua hướng trên nó. Như vậy, X(L)
không phụ thuộc vào việc chọn biểu đồ của link định hướng L, và nó là một bất biến
đẳng luân của L.
CHỨNG MINH. Theo bổ đề 2.3 ta suy ra |D| bất biến đối với hai phép dịch chuyển
Reidenmeister định hướng thứ hai và thứ ba. Kết hợp với nhận xét 2.5 ta có đa thức
Kauffman sẽ bất biến với hai phép dịch chuyển đó.
Ta chứng minh đa thức Kauffman bất biến với phép biến đổi Reidenmeister định
hướng thứ nhất. Giả sử D là biểu đồ thu được từ D qua một phép dịch chuyển Reiden-
meister định hướng thứ nhất. Trong trường hợp D mất đi một điểm cắt có dấu là −1
thì ta có w(D ) = w(D) + 1. Khi đó, theo bổ đề 2.2 ta được D = −A3 D . Thay vào
X(L) sẽ dẫn đến điều phải chứng minh. Trường hợp ngược lại hoàn toàn tương tự.
Vì số writhe của nút định hướng không đổi nếu ta đảo hướng, nên ta có thể nói đến
đa thức Kauffman của nút không định hướng. Theo chứng minh trên nó là bất biến
đẳng luân của nút không định hướng, do đó nó cho phép phân biệt một số nút. Chẳng
hạn, từ ngoặc Kauffman của trefoil ta thu được:
Như vậy trefoil và ảnh gương của nó không đẳng luân với nhau.
2.2 Đa thức Jones
Định nghĩa 2.7 Đa thức Jones V(L) của link định hướng L là đa thức Laurent hệ số
nguyên nhận được từ đa thức Kauffman của L bằng cách đổi biến A−2 = t1/2. Tức là:
V(L) = (−A)−3w(D) D t1/2:=A−2 ∈ Z[t−1/2, t1/2]
22

31. 2.2. Đa thức Jones
trong đó D là một biểu đồ định hướng tùy ý của L.
Trong định nghĩa trên, t1/2 có nghĩa là nếu ta lấy bình phương thì sẽ được t. Việc
V(L) ∈ Z[t−1/2, t1/2] sẽ được chứng minh sau (hệ quả 2.12).
Nhận xét 2.8 Vì đa thức Kauffman là bất biến đẳng luân của link định hướng, nên
đa thức Jones cũng là bất biến của link định hướng. Hơn nữa, vì đa thức Kauffman
của link định hướng không thay đổi nếu ta đảo hướng tất cả các thành phần, nên đa
thức Jones cũng vậy. Do đó ta có thể nói về đa thức Jones của nút không định hướng.
Hai đẳng thức (i) và (iii) trong mệnh đề sau là một đặc trưng của đa thức Jones (về
mặt lịch sử chúng được dùng để định nghĩa đa thức Jones trước khi Kauffman tìm ra
định nghĩa đa thức Jones như ta đã trình bày):
Mệnh đề 2.9 Đa thức Jones của link định hướng thỏa mãn ba tính chất:
(i) V(nút tầm thường) = 1
(ii) Nếu link định hướng L và một nút tầm thường định hướng O là rời nhau mạnh
thì:
V(L ∪ O) = (−t−1/2 − t1/2)V(L)
(iii) Nếu L+, L− và L0 là ba link định hướng có ba biểu đồ tương ứng D+, D− và
D0 giống hệt nhau, ngoại trừ tại lân cận của một điểm như được chỉ ra trong
hình(2.2), thì ta có đẳng thức sau, thường gọi là quan hệ skein:
t−1V(L+) − tV(L−) + (t−1/2 − t1/2)V(L0) = 0
Hình 2.2: Ba biểu đồ D+, D− và D0
CHỨNG MINH. (i) Đẳng thức là hiển nhiên.
(ii) Vì hai L và O rời nhau mạnh nên L ∪ O có một biểu đồ dạng DL DO, với DL, DO
là các biểu đồ của L và O. Vì đa thức Jones là bất biến đẳng luân nên ta có thể coi
DO là đường tròn trong mặt phẳng. Theo đẳng thức (ii) trong định nghĩa ngoặc
Kauffman và từ định nghĩa đa thức Jones ta có điều cần chứng minh.
(iii) Theo định nghĩa ngoặc Kauffman, ta có hai đẳng thức:
23

32. 2.2. Đa thức Jones
= A + A−1 .
= A−1 + A .
Nhân A vào hai vế đẳng thức đầu, nhân −A−1 vào đẳng thức thứ hai, rồi cộng
vế với vế ta được:
A − A−1 = (A2 − A−2)
Sử dụng các kí hiệu như trong phát biểu của mệnh đề, đẳng thức trên có viết lại
thành: A |D+| − A−1 |D−| = (A2 − A−2) |D0| . Nhân hai vế đẳng thức này
với (−A3)−w(D0) và chú ý w(D+) − 1 = w(D0) = w(D−) − 1, ta được:
A4(−A3)−w(D+) |D+| + A−4(−A3)−w(D−) |D−| = (A2 − A−2)(−A3)−w(D0) |D0|
⇔ A4X(L+) + A−4X(L−) = (A2 − A−2)X(L0)
Đổi biến A−2 := t1/2 trong đẳng thức trên cho ta điều cần chứng minh.
Việc định nghĩa đa thức Jones bằng hai đẳng thức (i) và (iii) rồi suy ra các tính chất
khác được thực hiện trong [7]. Còn bây giờ là một hệ quả tức khắc hai của đẳng thức
(i) và (ii):
Hệ quả 2.10 Tất cả các m-link tầm thường định hướng đều có đa thức Jones trùng
nhau:
V(m-link tầm thường định hướng) = (−t−1/2 − t1/2)m−1,
do đó ta có thể nói đến đa thức Jones của m-link tầm thường không định hướng.
Với đa thức Jones, các đẳng thức trong mệnh đề 2.9 có vai trò tương tự như các
đẳng thức trong định nghĩa ngoặc Kauffman đối với đa thức Kauffman, dù rằng chúng
không độc lập với nhau (đẳng thức (ii) có thể suy ra từ hai đẳng thức còn lại). Nó cho
phép ta tính toán đa thức Jones của link định hướng mà không cần thông qua ngoặc
Kauffman. Phương pháp này dựa vào quan hệ skein để quy việc tính đa thức Jones của
link định hướng về việc tính các đa thức Jones của các link tầm thường. Hiển nhiên
sau một số hữu hạn lần xóa bỏ điểm cắt, ta sẽ thu được biểu đồ link tầm thường. Tuy
nhiên, trong quan hệ skein không chỉ có phép xóa điểm cắt mà còn có cả phép biến
đổi điểm cắt bằng cách hoán đổi vị trí cung trên và cung dưới tại điểm cắt (gọi tắt là
phép biến đổi điểm cắt). Do đó, để chứng tỏ rằng đa thức Jones có thể tính được bằng
phương pháp này, ngoài việc phải tính được đa thức Jones của link tầm thường, ta
phải chứng minh định lý sau:
Định lý 2.11 Mọi biểu đồ của một m-link bất kì đều có thể trở thành một biểu đồ của
m-link tầm thường sau một số hữu hạn lần áp dụng phép biến đổi điểm cắt.
24

33. 2.2. Đa thức Jones
CHỨNG MINH. Đầu tiên xét trường hợp m = 1, tức là L là một nút. Với mỗi biểu đồ
của nút đang xét, ta bỏ qua cấu trúc cung trên, cung dưới tại mỗi điểm cắt và gọi đó
là một cái bóng của nút (nó là một đường cong đóng trên mặt phẳng, nếu có tự cắt thì
đều là giao hoành). Lấy một đường thẳng l trong mặt phẳng Oxy không giao với cái
bóng của L, rồi dịch chuyển song song cho đến khi nó chạm vào một điểm P thuộc cái
bóng. Lấy hai điểm A, B là hai hình chiếu vuông góc của P với các tọa độ z của cả hai
đều dương, và tọa độ z của A lớn hơn của B. Cho một điểm chuyển động từ A đến B
với quỹ đạo là cái bóng của L sao cho khoảng cách của điểm đó đến mặt phẳng Oxy
giảm dần đều. Khi đó quỹ đạo chuyển động của điểm này hợp với đoạn thẳng AB là
nút tầm thường có hình chiếu vuông góc trùng với cái bóng đang xét của L. Phân biệt
cung trên, cung dưới tại lân cận các điểm tự cắt của cái bóng của L để nó trùng với các
cung trên, cung dưới tại các điểm cắt của biểu đồ nút tầm thường vừa xây dựng, ta có
điều cần chứng minh.
Hình 2.3: biến đổi điểm cắt của biểu đồ nút trefoil để được biểu đồ nút tầm thường
Với trường hợp m > 1, ta chỉ việc áp dụng lập luận trên cho từng thành phần của
link. Chú ý để các nút tầm thường mà ta xây dựng tạo nên một m-link tầm thường, ta
chỉ cần chọn các điểm Ai, Bi thỏa mãn tọa độ z của Ai nhỏ hơn tọa độ z của Bi+1.
Để minh họa, ta tính đa thức Jones của nút trefoil bằng phương pháp nói trên. Lấy
một hướng trên nó rồi áp dụng quan hệ skein cho một điểm cắt bất kì trong một biểu
đồ của trefoil, ta thu được một biểu đồ nút tầm thường và một biểu đồ Hopf link:
Tiếp tục áp dụng quan hệ skein cho biểu đồ Hopf link ta được một biểu đồ nút tầm
thường và biểu đồ của 2-link tầm thường định hướng:
25

34. 2.2. Đa thức Jones
Đến đây, theo đẳng thức (i) và (ii) ta thu được:
Do đó
Ta thấy tính toán này, sau phép đổi biến t−1/4 = A, trùng với tính toán đa thức
Kauffman của nút trefoil ở trong mục trước.
Một hệ quả tức khắc của quan hệ skein và định lý 2.11 là:
Hệ quả 2.12 Với mọi link định hướng L ta luôn có V(L) ∈ Z[t−1/2, t1/2]. Điều này
tương đương với việc đa thức Kauffman X(L) của link định hướng L thuộc vào Z[A−2, A2].
CHỨNG MINH. Chứng minh dựa vào quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ.
Theo hệ quả 2.12, rõ ràng việc đổi biến A−2 = t1/2 để thu được đa thức Jones từ đa
thức Kauffman không tự nhiên bằng việc đổi biến ±A±2 = t. Ngoài lí do lịch sử, việc
vẫn sử dụng phép đổi biến đó có lẽ là vì với các nút, trường hợp quan trọng nhất của
link, thì phép đổi biến này là tốt nhất. Điều này được phát biểu trong định lý 2.13 dưới
đây:
Định lý 2.13 a) Nếu m là số lẻ thì m-link định hướng L có đa thức Jones V(L) chỉ
chứa các lũy thừa nguyên của t. Nói riêng điều này đúng nếu L là một nút.
b) Nếu m là số chẵn thì m-link định hướng L có đa thức Jones V(L) chỉ chứa các
hạng tử có dạng t(2k−1)/2, k ∈ Z.
CHỨNG MINH. Đầu tiên, nếu L là m-link tầm thường thì theo hệ quả 2.10 ta có:
V(L) = (−t−1/2 − t1/2)m−1 = t(m−1)/2(−t−1 − 1).
Do đó định lý đúng trong trường hợp này.
Ta chứng minh bằng quy nạp theo số điểm cắt của biểu đồ. Nếu L có biểu đồ không
có điểm cắt thì nó là link tầm thường, nên nó thỏa mãn định lý. Giả sử định lý đúng
với mọi link định hướng có một biểu đồ với số điểm cắt nhỏ hơn n (n > 0). Nếu L có
một biểu đồ D có n điểm cắt thì ta đưa nó về biểu đồ của link tầm thường bằng cách
áp dụng liên tiếp quan hệ skein. Vì định lý là đúng với các link tầm thường, nên ta chỉ
còn phải kiểm tra rằng định lý vẫn đúng trong quá trình biến đổi các điểm cắt của D.
26

35. 2.2. Đa thức Jones
Kí hiệu L+, L−, L0 là ba link định hướng với các biểu đồ tương ứng D+, D−, D0
như trong qua hệ skein, với số điểm cắt của D+ và D− là n, còn số điểm cắt của D0 là
(n − 1). Theo giả thiết quy nạp, định lý đúng với L0, và ta cần chứng minh nếu định lý
đúng với một trong hai link L+ hoặc L− thì nó sẽ đúng với cái còn lại.
Không mất tổng quát ta coi định lý đúng với L−. Kí hiệu m+, m−, m0 lần lượt là số
thành phần của ba link L+, L−, L0 và nhận xét thấy rằng m+ = m− = m0 ± 1 (hình
2.4). Do đó m+, m− có tính chắn lẻ ngược với m0. Áp dụng điều này vào quan hệ skein,
ta có điều cần chứng minh.
Hình 2.4: Hai trường hợp m+ = m0 + 1 và m+ = m0 − 1
Nhận xét 2.14 Đa thức Laurent nhận được từ đa thức Kauffman bằng phép đổi biến
−A−2 = t được gọi là đa thức Jones chuẩn hóa. Trong một số vấn đề, chẳng hạn đối
đồng điều Khovanov (một sự tổng quát hóa đại số cho đa thức Jones), người ta dùng
phiên bản chuẩn hóa của đa thức Jones.
Như đã biết, đa thức Jones không thay đổi nếu ta đảo hướng tất cả các thành phần
của link. Câu hỏi đặt ra là nếu ta chỉ đảo hướng một số thành phần của link thì đa
thức Jones thay đổi như thế nào? Định nghĩa sau là sự chẩn bị cho câu trả lời:
Định nghĩa 2.15 Với mỗi m-link định hướng L (m > 1) chứa hai thành phần L1 và
L2, lấy một biểu đồ D của L và kí hiệu hai biểu đồ cảm sinh của L1, L2 là D1, D2. Ta
gọi số liên kết của hai thành phần L1 và L2, kí hiệu lk(L1, L2), là tổng
lk(L1, L2) = 1
2 ∑i i,
trong đó i = ±1 là dấu của điểm cắt, còn tổng chạy trên các điểm cắt mà hai cung tại
điểm cắt thuộc vào hai biểu đồ khác nhau D1, D2.
Không khó khăn gì để kiểm tra số liên kết giữa hai thành phần là bất biến với các
phép dịch chuyển Reidenmeister định hướng, do đó nó được định nghĩa không phụ
thuộc vào việc chọn biểu đồ của link. Nói riêng nó là bất biến đẳng luân của các 2-link.
Bây giờ ta trả lời câu hỏi trên trong trường hợp đảo hướng một thành phần của
link:
Mệnh đề 2.16 Với mỗi m-link định hướng L (m > 1) gồm các thành phần L1, L2, ..., Lm
đặt L là link định hướng nhận được từ L bằng cách đảo hướng L1 và giữ nguyên hướng
trên các thành phần khác. Khi đó V(L ) = t−3 ∑m
i=2 lk(L1, Li)V(L).
27

36. 2.2. Đa thức Jones
CHỨNG MINH. Chuyển về đa thức Kauffman, đẳng thức cần chứng minh tương đương
với X(L ) = A12 ∑m
i=2 lk(L1, Li)X(L). (∗)
Lấy một biểu đồ D của L là ảnh của một phép chiếu p, khi đó L có một biểu đồ D
nhận được từ D bằng cách đảo hướng trên p(L1). Do đó
(∗) ⇔ (−A)−3w(D ) |D | = A12 ∑m
i=2 lk(L1, Li)(−A)−3w(D) |D|
⇔ (−A)−3w(D ) = A12 ∑m
i=2 lk(L1, Li)(−A)−3w(D) (∗∗)
Đặt w1(D) = ∑i i với = ±1 là dấu của điểm cắt, còn tổng chạy trên các điểm
cắt mà cả hai cung tại điểm cắt đó hoặc cùng thuộc L1 hoặc cùng không thuộc L1.
Khi đó rõ ràng 2 ∑m
i=2 lk(L1, Li) = w(D) − w1(D). Ta cũng định nghĩa w1(D ) tương
tự. Vì việc đảo hướng của hai cung tại điểm cắt không là thay đổi dấu điểm cắt, nên
w1(D) = w1(D ). Và vì điểm cắt bị đảo dấu nếu ta chỉ đảo hướng một cung, nên
2 ∑m
i=2 lk(L1, Li) = w(D) − w1(D) = −[w(D ) − w1(D )]. Thay vào (∗∗) và giản ước ta
có
(∗∗) ⇔ (−A)−3[w(D )−w1(D )] = A12 ∑m
i=2 lk(L1, Li)(−A)−3[w(D)−w1(D)]
⇔ A6 ∑m
i=2 lk(L1, Li) = A12 ∑m
i=2 lk(L1, Li)A−6 ∑m
i=2 lk(L1, Li)
⇔ A6 ∑m
i=2 lk(L1, Li) = A6 ∑m
i=2 lk(L1, Li)
Mệnh đề chứng minh xong.
Quy nạp theo số thành phần đảo hướng, ta có là lời giải của câu hỏi đặt ra bên
trên:
Hệ quả 2.17 Cho một (p + q)-link định hướng với các thành phần L1, L2, ..., Lp, M1, M2, ..., Mq,
đặt là (L ∪ M). Kí hiệu (−L ∪ M) là link định hướng nhận được từ (L ∪ M) bằng cách
đảo hướng các thành phần L1, L2, ..., Lp. Khi đó ta có:
V(−L ∪ M) = t−3λV(L ∪ M) với λ = ∑
p
i=1 ∑
q
j=1 lk(Li, Mj).
Một số tính chất cơ bản khác của đa thức Jones được liệt kê trong định lý sau:
Định lý 2.18 1) Với m-link định hướng L bất kì ta luôn có V(L)(1) = (−2)m−1. Nói
riêng, không tồn tại link định hướng có đa thức Jones triệt tiêu.
2) Nếu L là link phản xạ của link định hướng L thì đa thức Jones V(L) sẽ nhận
được từ V(L) bằng cách đổi vai trò của t và t−1.
3) Nếu link định hướng L có phân tích L = L1#L2 thì
V(L) = V(L1).V(L2).
4) Nếu L1 và L2 là hai link định hướng rời nhau mạnh thì
28

37. 2.2. Đa thức Jones
V(L1 ∪ L2) = (−t1/2 − t−1/2)V(L1)V(L2)
CHỨNG MINH. 1) Áp dụng quan hệ skein vào một điểm cắt của L, không quan tâm
điểm cắt là dương hay âm, ta được V(L)(1) = V(L )(1) với L là link mới nhận
được từ L bằng phép biến đổi điểm cắt. Lại áp dụng quan hệ skein cho L để có
V(L)(1) = V(L )(1) = V(L”)(1). Cứ tiếp tục làm như thế cho đến khi nhận được
m-link tầm thường ta suy ra V(L)(1) = V(m-link tầm thường)(1) = (−2)m−1.
2) Nếu L có một biểu đồ là D thì L sẽ có một biểu đồ là D nhận được từ D bằng cách
hoán đổi vị trí của cung trên và cung dưới tại mọi điểm cắt trong D. Như đã biết,
D nhận được từ D bằng cách hoán đổi vị trí giữa A và A−1. Kết hợp với định
nghĩa đa thức Kauffman và đa thức Jones ta có điều cần chứng minh.
3) Ta chứng minh kết luận đúng với đa thức Kauffman của L, do đó hiển nhiên sẽ
đúng với đa thức Jones.
Lấy một phép chiếu lên mặt phẳng Oxy chính quy đối với L và kí hiệu D, D1, D2
là các biểu đồ của L, L1, L2 . Khi đó rõ ràng w(D) = w(D1) + w(D2). Do đó
X(L) = (−A)−3w(D) D = (−A)−3w(D1).(−A)−3w(D2) D .
Ta còn phải chứng minh D = D1 . D2 . Quy nạp theo số điểm cắt của D.
Đẳng thức này hiển nhiên đúng nếu D không có điểm cắt. Giả sử đẳng thức
đúng với số điểm cắt nhỏ hơn n − 1. Nếu D có n điểm cắt thì ta áp dụng đẳng
thức (iii) trong định nghĩa ngoặc Kauffman vào một điểm cắt trong D (không
mất tổng quát có thể giả sử nó thuộc D1):
D = A D + A−1 D
trong đó D , D” là hai biểu đồ thu được từ D sau khi áp dụng đẳng thức (iii). Lúc
này, D và D chỉ có n − 1 điểm cắt, do đó theo giả thiết quy nạp ta có
D = D1 D2 ; D = D1 D2
trong đó D1, D1 là hai biểu đồ thu được từ D1 sau khi áp dụng đẳng thức (iii).
Thay vào đẳng thức trên rồi rút D2 làm nhân tử chung, ta thu được điều cần
chứng minh.
4) Chứng minh đẳng thức này tương tự như chứng minh đẳng thức trong mục (4)
bên trên nên ta bỏ qua..
Một câu hỏi tự nhiên đặt ra là đa thức Jones có phải là bất biến hoàn hảo của link định
hướng không? Tức là việc hai link định hướng có đa thức Jones trùng nhau có suy ra
được hai link đó đẳng luân hay không? Câu trả lời là không, ngay cả trong trường hợp
các nút. Có những ví dụ về hai nút không đẳng luân nhưng có đa thức Jones trùng
nhau, chẳng hạn như hai nút trong hình bên dưới:
29

38. 2.2. Đa thức Jones
Trong ví dụ này cả hai nút đều có đa thức Jones là (t−2 − t−1 + 1 − t + t2)2, tuy nhiên
một bất biến đa thức khác có tên là đa thức Alexander của chúng khác nhau, nên
chúng không đẳng luân.
Một ví dụ khác thú vị hơn là nút Kinoshita-Terasaka với nút Conway như ở hình
2.5. Trong ví dụ này, nút Conway thu được từ nút Kinoshita-Terasaka bằng thủ thuật
được gọi là phép đột biến như sau: Lấy một hình cầu B với biên giao hoành với nút K-T
tại đúng bốn điểm, và bằng cách nhiễu loạn nếu cần, ta có thể giả sử bốn điểm giao
này là hai cặp điểm đối xứng qua đường thẳng bắc - nam của B. Ta giữ nguyên phần
bù R3 − B, và tháo rời B ra rồi quay nó quanh trục bắc - nam một góc π, sau đó lắp trở
lại để thu được nút Conway. Người ta đã chứng minh được nhóm cơ bản của hai phần
bù của hai nút này không đẳng cấu, do đó phần bù của chúng không đồng phôi, nên
chúng không thể đẳng luân.
Hình 2.5:
Ta có thể chứng minh V(nút K-T) = V(nút Conway) mà không cần tính toán cụ
thể: Lấy một hướng trên nút Kinoshita-Terasaka rồi lấy các biểu đồ D và D của nút
Kinoshita-Terasaka và nút Conway. Vì phép quay B không ảnh hưởng đến dấu của các
điểm cắt, nên w(D) = w(D ). Việc còn lại là phải chứng minh D = D . Điều này
là rõ ràng khi ở chương sau ta có một công thức tường minh của D .
Việc đa thức Jones không phân biệt được tất cả các nút dẫn đến câu hỏi nhẹ hơn:
Đa thức Jones có thể phân biệt được nút tầm thường hay không? Nói các khác, có tồn
tại hay không một nút không tầm thường có đa thức Jones là 1? Câu hỏi này đến nay
vẫn còn để mở. Tuy nhiên, với các link định hướng tổng quát thì câu hỏi trên đã có lời
giải đáp. Năm 2003, ba nhà toán học Eliahou, Kauffman, và Thistlethwaite đã đưa ra
30

39. 2.2. Đa thức Jones
phép xây dựng các họ vô hạn các m-link định hướng không tầm thường (m > 1) có đa
thức Jones trùng với đa thức Jones của m-link tầm thường ([3]). Ví dụ đơn giản nhất
có lẽ là link bên dưới (với một trong hai cách định hướng).
31

40. 2.2. Đa thức Jones
Hình 2.6:
32

41. CHƯƠNG 3
Đa thức Jones của link thay phiên
Trong chương này, một trong những ứng dụng nổi bật nhất (và rất sơ cấp) của đa thức
Jones được trình bày. Đó là lời giải của một giả thuyết được P.G. Tait đưa ra từ năm
1898, còn gọi là giả thuyết Tait thứ nhất, về số điểm cắt tối thiểu của một biểu đồ nút
thay phiên. Cụ thể giả thuyết Tait thứ nhất phát biểu như sau:
Nếu nút K có một biểu đồ thay phiên với n điểm cắt, trong đó không điểm cắt nào
bỏ qua được (ta sẽ định nghĩa sau), thì mọi biểu đồ của K đều có không ít hơn n điểm
cắt (tức là c(K) = n).
Gần 90 năm sau khi Tait đưa ra giả thuyết của mình, Kauffman, Murasugi và
Thistletwaite mới tìm ra các chứng minh khác nhau dựa vào đa thức Jones, đều công
bố trên tạp chí Topology trong cùng một năm ([3], [7], [10]). Ba cách chứng minh của
họ là khá khác nhau. Đây được xem là một tiến bộ quan trọng trong việc phân loại
toàn bộ các link thay phiên. (Đến năm 1991, Menasco và Thistletwaite công bố chứng
minh giả thuyết Tait thứ hai). Trong chương này chúng tôi theo [5] để trình bày chứng
minh của Kauffman cho giả thuyết Tait thứ nhất, ở đó một số lập luận của Kauffman
được thay đổi. Kết quả này cũng có thể tìm thấy trong [2] với sự trình bày rất gần với
chứng minh ban đầu của Kauffman, nhưng diễn giải chi tiết hơn. Chúng tôi sẽ không
đề cập đến giả thuyết Tait thứ hai trong chương này vì chứng minh của nó không sử
dụng đa thức Jones.
Đầu tiên, ta chứng minh sự tồn tại của ngoặc Kauffman. Sở dĩ ta đưa định lý này
vào đây vì phép chứng minh của nó cần thiết cho chương này hơn là chương hai.
Định lý 3.1 Ngoặc Kauffman luôn tồn tại với mọi biểu đồ.
CHỨNG MINH. Ta chứng minh bằng cách xây dựng trực tiếp ngoặc Kauffman.
Với mỗi biểu đồ ta đánh số các điểm cắt của nó. Với một biểu đồ D có n điểm cắt được
đánh số 1, 2, ... , n, ta gọi một trạng thái của D là một hàm s : {1, 2, ... , n} →
{1, −1}. Như vậy, D có cả thảy 2n trạng thái. Với mỗt trạng thái s, tại điểm cắt thứ i

42. của D, dựa vào dấu của s(i) ta sẽ phá hủy điểm cắt này theo một trong hai cách như
hình 3.1. Kí hiệu sD là biểu đồ thu được sau khi phá hủy tất cả điểm cắt của D, nó
Hình 3.1: hai cách phá hủy điểm cắt
đơn giản là một số các đường cong đơn đóng trong mặt phẳng và đôi một rời nhau. Kí
hiệu |sD| là số lượng các đường cong đó và đặt
D = ∑s A∑n
i=1 s(i)(−A−2 − A2)|sD|−1
trong đó tổng lấy trên tất cả 2n trạng thái của D.
Ta còn phải chứng minh D thỏa mãn ba đẳng thức trong định nghĩa ngoặc Kauff-
man. Hai đẳng thức đầu tiên dễ dàng kiểm tra trực tiếp. Để kiểm tra đẳng thức thứ
ba, xét tại điểm cắt thứ j bất kì, ta chỉ việc tách tổng trên thành hai tổng trong đó một
tổng lấy trên các s thỏa mãn s(j) = 1. Rõ ràng tổng đó chính là A , tổng còn lại
là A−1 .
Một loại link đặc biệt được nghiên cứu trong chương này là các link thay phiên
được định nghĩa dưới đây:
Định nghĩa 3.2 Một biểu đồ của link L được gọi là thay phiên nếu một người xuất
phát từ một điểm bất kì trên một thành phần bất kì của L rồi đi trọn vẹn thành phần
đó, thì ảnh của người đó trong biểu đồ khi qua các điểm cắt sẽ đi theo các cung thay
đổi một cách đều đặn: ..., cung trên, cung dưới, cung trên, cung dưới, ... . Một link nếu
có một biểu đồ thay phiên cũng được gọi là link thay phiên. Ta cũng coi một link có
biểu đồ không có điểm cắt là link thay phiên.
Ví dụ về các link thay phiên rất nhiều, chẳng hạn nút trefoil, Hopf link, nút số tám.
Hiển nhiên tính thay phiên là bất biến đẳng luân của link. Để một link là không thay
phiên, điều kiện cần là mọi biểu đồ của nó phải có ít nhất hai điểm cắt. Việc chứng
minh một link không thay phiên nói chung là việc không đơn giản.
Ta vẫn giả sử D là một biểu đồ có n điểm cắt. Đặt s+, s− là hai trạng thái s+(i) =
1 ∀i và s−(i) = −1 ∀i. Hiển nhiên s+ là trạng thái duy nhất thỏa mãn ∑n
i=1 s+(i) = n,
và s− là trạng thái duy nhất thỏa mãn ∑n
i=1 s−(i) = −n.
Định nghĩa 3.3 Một biểu đồ D được gọi là đầy đủ dương nếu |s+(D)| > |sD| với mọi
trạng thái s thỏa mãn ∑n
i=1 s(i) = n − 2.
Một biểu đồ D được gọi là đầy đủ âm nếu |s−(D)| < |sD| với mọi trạng thái s thỏa
mãn ∑n
i=1 s(i) = 2 − n.
34

43. Một biểu đồ D được gọi là đầy đủ nếu nó vừa là biểu đồ đầy đủ dương, vừa là biểu
đồ đầy đủ âm.
Tuy có vẻ phức tạp, thực ra việc kiểm tra một biểu đồ D có n điểm cắt có phải là
biểu đồ đầy đủ hay không là khá đơn giản: Ta gán trạng thái s+ cho D (tức là mọi
điểm cắt của D đều được gán giá trị 1) rồi phá hủy các điểm cắt của D theo quy tắc
trong hình 3.1. Nếu hai cung thay thế hai cung cũ trong việc phá hủy một điểm cắt
không bao giờ cùng thuộc một thành phần của s+(D) thì D là biểu đồ đầy đủ dương.
Thật vậy, các trạng thái s thỏa mãn ∑n
i=1 s(i) = n − 2 là các trạng thái nhận được từ
s+ sau khi đổi giá trị một điểm cắt thành −1, các điểm cắt khác giữ nguyên giá trị +1
(như vậy có tất cả n trạng thái s như thế). Với một trạng thái s như thế, ta gán nó cho
một bản sao của D, và gán trạng thái s+ cho D. Phá hủy đồng thời các điểm cắt của D
và bản sao theo hai trạng thái s+ và s sao cho điểm cắt duy nhất có giá trị khác nhau
được phá cuối cùng. Cho đến trước khi điểm cắt đang xét bị phá, số thành phần tạo
ra theo cả hai cách phá hủy hiển nhiên là bằng nhau. Sau khi phá hủy điểm cắt cuối
cùng, cách phá hủy theo s+ sẽ tạo ra hai thành phần (hình 3.2 a), và điều này kéo theo
cách phá hủy theo s chỉ tạo ra một thành phần (hình 3.2 b).
Như vậy, để kiểm tra tính đầy đủ dương của biểu đồ D, ta chỉ cần kiểm tra
các thành phần của s+(D) xem có thành phần nào tự đối diện với chính nó
qua một điểm cắt hay không. Việc kiểm tra tính đầy đủ âm của biểu đồ hoàn
toàn tương tự.
Hình 3.2:
Một ứng dụng khác của nhận xét đó là phép chứng minh mệnh đề sau:
Mệnh đề 3.4 Biểu đồ link thay phiên rút gọn là biểu đồ đầy đủ.
Ở đây, biểu đồ rút gọn là biểu đồ thỏa mãn tính chất: Không tồn tại một vòng trên mặt
phẳng Oxy giao với biểu đồ tại duy nhất một điểm, và điểm đó là điểm cắt trong biểu
đồ. Ta có thể hình dung biểu đồ rút gọn là biểu đồ không có điểm cắt giống như một
tronghai kiểu trong hình 3.2. Hai điểm cắt như trong hình 3.2 được gọi là điểm cắt bỏ
qua được. Nếu biểu đồ link có điểm cắt bỏ qua được, thì dĩ nhiên ta có thể xóa bỏ điểm
cắt đó bằng cách quay một nửa link và giữ nguyên nửa còn lại.
CHỨNG MINH. Với mỗi biểu đồ thay phiên đầy đủ D, ta tô màu kiểu bàn cờ với hai
màu đen và trắng cho Oxy − D. Tính thay phiên của D suy ra các thành phần của
35

44. Hình 3.3: Điểm cắt bỏ qua được
s+D là các vòng phẳng bao quanh tất cả các miền được tô cùng màu (chẳng hạn màu
đen) với các góc đã được làm trơn. Điều này tương đương với việc các cung mới xuất
hiện khi phá hủy các điểm cắt luôn thuộc vào những miền được tô màu đen (hình 3.4).
Tương tự, các thành phần của s−D là các vòng phẳng bao quanh tất cả các miền màu
trắng. Lại vì biểu đồ không có điểm cắt bỏ qua được, nên không có miền nào trong
Oxy − D tự đối diện với chính nó qua một điểm cắt, vì nếu không ta sẽ có một vòng
đi qua điểm cắt đó và nằm trọn trong miền đối diện với chính nó qua điểm cắt. Theo
nhận xét bên trên ta có điều cần chứng minh.
Hình 3.4: phá hủy các điểm cắt theo trạng thái s+ của link thay phiên
Với mỗi đa thức Laurent P, kí hiệu lũy thừa lớn nhất và nhỏ nhất xuất hiện trong P là
M(P) and m(P). Ngay sau đây, ta sẽ đưa ra một số đánh giá của M D và m D , lũy
thừa lớn nhất và nhỏ nhất của A xuất hiện trong ngoặc Kauffman của một số biểu đồ
D.
Bổ đề 3.5 Nếu D là một biểu đồ có n điểm cắt thì
(i) M D ≤ n + 2|s+D| − 2. Nếu D là biểu đồ đầy đủ dương thì ta có dấu đẳng thức.
(ii) m D ≥ −n − 2|s−D| + 2. Nếu D là biểu đồ đầy đủ âm thì ta có dấu đẳng thức.
CHỨNG MINH. (i) Với mỗi trạng thái s của D, đặt:
D|s = A∑n
i=1 s(i)(−A−2 − A2)|sD|−1
do đó D = ∑s D|s . Từ đó suy ra M D ≤ maxsM D|s . Vì ∑n
i=1 s+(i) = n
nên M D|s+ = n + 2|s+D| − 2. Do dó bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu
36

45. M D|s+ = maxsM D|s .
Nhận xét rằng một trạng thái s bất kì ta luôn có thể xem nó có "khởi đầu" là
s+, rồi biến đổi một cách từ từ về trạng thái s. Cụ thể, đó là một dãy trạng thái
s0, s1 , , , sk sao cho s0 = s+, sk = s và sj(i) = sj−1(i) với mọi i ∈ {1, 2 , , , n},
ngoại trừ tại duy nhất một giá trị ij, mà với nó sj−1(ij) = 1 = −sj(ij). Vì sjD
và sj−1D là hai biểu đồ giống hệt nhau, ngoại trừ tại lân cận của một điểm
cắt của D, nên |sjD| = |sj−1D| ± 1. Cùng với việc ∑n
i=1 sj(i) = n − 2j, ta suy ra
M D|sj−1 − M D|sj bằng 0 hoặc bằng 4. Như thế, M D|sj−1 ≥ M D|sj , và
vì s0 = s+, sk = s nên với M D|s0 ≥ M D|s . Vì s là bất kì nên M D|s+ =
maxsM D|s .
Bây giờ, nếu D là biểu đồ đầy đủ dương thì như đã lập luận ở trước |s1D| =
|s+D| − 1. Do đó M D|sj giảm ngay ở bước đầu tiên khi j chuyển từ 0 đến 1,
và không bao giờ tăng lên trong các bước sau (vì sau mỗi bước chuyển trạng
thái, ∑n
i=1 s(i) giảm đi 2, còn |sD| cùng lắm chỉ tăng lên 1). Do đó trong biểu diễn
D = ∑s(A∑n
i=1 s(i)(−A−2 − A2)|sD|−1), từ có bậc M D|s+ trong D|s+ không
bao giờ bị triệt tiêu bởi các từ trong D|s với s = s+, và đẳng thức xảy ra.
(ii) Nhận xét rằng với mọi biểu đồ D ta luôn có M D = −m D và |s+D| = |s−D|.
Từ đó, áp dụng chứng minh trên cho biểu đồ gương D ta sẽ nhận được điều phải
chứng minh.
Hệ quả 3.6 Nếu D là biểu đồ đầy đủ có n điểm cắt thì
M D − m D = 2n + 2|s+D| + 2|s−D| − 4
Để có thêm các đánh giá , ta cần có các thông tin về |s+D| và |s−D|. Hai bổ đề sau đây
là sự chuẩn bị cho điều đó
Bổ đề 3.7 Nếu D là một biểu đồ liên thông có n điểm cắt thì
|s+D| + |s−D| ≤ n + 2
CHỨNG MINH. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Hiển nhiên bổ đề là đúng nếu
n = 0. Giả sử bổ đề đúng với mọi biểu đồ D có ít hơn n điểm cắt. Chọn một điểm cắt
bất kì trong D. Với ít nhất một trong hai cách phá hủy điểm cắt bằng hai cung không
giao nhau như trong hình 3.1, biểu đồ D nhận được sẽ vẫn là liên thông. Không mất
tổng quát ta có thể coi điểm cắt này được phá hủy bằng cách trạng thái dương. Khi đó
|s+D| = |s+D | và |s−D| = |s−D | ± 1. Sử dụng giả thiết quy nạp ta có:
|s+D| + |s−D| = |s+D | + |s−D | ± 1 ≤ (n − 1) + 2 ± 1 ≤ n + 2.
Bổ đề 3.8 Cho D là một biểu đồ liên thông có n điểm cắt. Khi đó
37

46. (i) Nếu D là biểu đồ thay phiên thì |s+D| + |s−D| = n + 2.
(ii) Nếu D là biểu đồ nguyên tố rõ ràng và không thay phiên thì |s+D| + |s−D| < n +2.
CHỨNG MINH. (i) Trước hết ta nhắc lại công thức Euler cho đồ thị phẳng liên thông
G, mà chứng minh có thể tìm trong chương 10 của [1]:
|V(G)| − |E(G)| + |F(G)| = 2
trong đó |E(G)|, |V(G)| lần lượt là số đỉnh, số cạnh của G, còn |F(G)| là số thành
phần liên thông của phần bù của G.
Bây giờ vì D có thể xem là một đồ thị phẳng liên thông n đỉnh. Như đã nói
trong mục 6 chương 1, số cạnh của D sẽ là 2n. Lại vì D là biểu đồ thay phiên,
|s+D| + |s−D| là số thành phần liên thông của phần bù của D trong mặt phẳng
(ta tô màu kiểu bàn cờ cho các miền này và có thể coi |s+D| là số các miền tô màu
đen, |s−D| là số các miền tô màu trắng). Áp dụng công thức Euler cho D ta được
điều cần chứng minh.
(ii) Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Nếu n = 2 thì do biểu đồ không thay phiên
và nguyên tố rõ ràng nên nó chỉ có thể là biểu đồ của 2-link tầm thường. Khi đó
|s+D| + |s−D| = 3 < 4.
Giả sử kết luận đúng với mọi biểu đồ có số điểm cắt nhỏ hơn n (n > 2). Vì D là
không thay phiên nên tồn tại hai điểm cắt liên tiếp sao cho khi đi qua hai điểm
cắt đó, cả hai lần ta đều đi theo cung dưới hoặc cung trên. Gọi c là điểm cắt thứ
ba tiếp theo. Như đã trình bày, c có thể bị phá hủy bằng một trong hai cách:
dương và âm. Từ giả thiết D là nguyên tố rõ ràng, ta phá hủy c bằng cách nào thì
biểu đồ mới nhận được cũng liên thông. Thật vậy, giả sử ta phá hủy c theo cách
dương rồi thu được hai thành phần rời nhau. Khi đó D phải có dạng như hình
3.3 b, tức là c là điểm cắt bỏ qua được. Lấy một vòng bao quanh phần X nhưng
không bao quanh c. Vì D nguyên tố rõ ràng nên X không có điểm cắt. Tương tự
Y cũng không có điểm cắt. Điều đó có nghĩa D chỉ có một điểm cắt, và ta có mâu
thuẫn.
Bây giờ ta tô màu kiểu bàn cờ lên phần bù của D trong mặt phẳng sao cho miền
không bị chặn bị tô màu trắng. Thiết lập một đồ thị phẳng Γ như sau:
Số đỉnh của Γ bằng số vùng tô đen của Oxy − D, và ta đặt tương ứng mỗi vùng
đó với một đỉnh của Γ. Với hai vùng tô đen đối nhau tại một điểm cắt, ta dựng
một cạnh nối hai đỉnh tương ứng trong Γ. Với miền tô đen tự đối với chính nó qua
một điểm cắt, ta dựng một cạnh khép kín đi qua đỉnh ứng với miền đó
Dễ dàng chứng minh đồ thị Γ xây dựng như trên sẽ liên thông nếu D là biểu đồ
liên thông. Ngoài ra, từ cách xây dựng trên ta thấy việc phá hủy một điểm cắt
38

47. trong biểu đồ bằng hai cách sẽ tương ứng với việc một cạnh trong Γ bị xóa đi
phần trong hoặc bị co rút một về một đỉnh.
Ta tiếp tục chứng minh. Đầu tiên ta khẳng định tính nguyên tố rõ ràng của D
tương đương với việc Γ không có đỉnh tách (ta chỉ cần chiều ngược lại, nhưng vẫn
chứng minh cả chiều xuôi). Thật vậy, giả sử D nguyên tố rõ ràng nhưng Γ lại có
đỉnh tách. Nếu đỉnh tách có cung khép kín đi qua thì, tương đương với nó, phần
bù của D có một thành phần tô đen tự đối diện qua một điểm cắt. Khi đó hiển
nhiên điểm cắt này sẽ là bỏ qua được, dẫn đến mâu thuân như trên đã chỉ ra.
Trường hợp Γ không có cạnh khép kín, nếu ta gọi đỉnh tách là v thì Γ có dạng
như hình 3.5 bên trái, với Γ1, ..., Γk là các đồ thị con liên thông của Γ thỏa mãn:
Γi ∩ Γj = ∅ ∀ i = j, và giữa hai đỉnh bất kì thuộc hai đồ thị khác nhau luôn
không có cạnh nối. Ta phá hủy tất cả các điểm cắt nằm trên biên thành phần tô
đen tương ứng với v sao cho các cạnh tương ứng trong đồ thị Γ bị xóa phần trong.
Sau khi xóa các điểm cắt, đồ thị tương ứng nhận được sẽ không liên thông, và
như nhận xét trên thì biểu đồ nhận được từ D sau khi phá hủy các điểm cắt cũng
không liên thông. Điều này mâu thuẫn với điều ta đã chứng minh: Tính nguyên
tố rõ ràng của một biểu đồ liên thông kéo theo việc phá hủy các điểm cắt của nó
bằng cách nào thì biểu đồ nhận được cũng vẫn liên thông.
Hình 3.5: Đồ thị Γ trở thành không liên thông khi biểu đồ bị xóa một số điểm cắt
Ngược lại (đây là cái ta cần), nếu Γ không có đỉnh tách nhưng D không nguyên
tố rõ ràng. Khi đó D có dạng như hình 3.6 bên trái, với cả hai bên X và Y đều
có điểm cắt. Không mất tổng quát, ta xem miền giữa bị tô màu đen. Như thế
nó phải đối diện với các miền tô đen không trùng với nó qua các điểm cắt. Gọi
đỉnh tương ứng với miền tô đen này là v, ΓX là đồ thị con của Γ ứng với miền tô
đen trong X, ΓY là đồ thị con ứng với các miền tô đen trong Y. Như thế Γ và v có
thể hiện hình học như trong hình 3.6 bên phải, do đó nó là đỉnh tách của Γ. Mâu
thuẫn.
Cuối cùng, gọi đồ thị tương ứng sau phép xóa điểm cắt c là Γ . Như đã nhận xét,
Γ nhận được từ Γ sau khi xóa phần trong một cạnh hoặc co rút một cạnh về một
đỉnh. Theo bổ đề 1.16, nếu xóa một cạnh e của Γ làm xuất hiện một đỉnh tách v,
thì phép co rút nó sẽ không có hiệu ứng đó. Điều đó có nghĩa sẽ có một kiểu xóa
39

48. Hình 3.6: Nếu D không nguyên tố rõ ràng thì Γ có đỉnh tách
c dẫn đến Γ vẫn không có đỉnh tách. Theo chứng minh ngay trên, biểu đồ tương
ứng sau khi xóa c là D cũng sẽ nguyên tố rõ ràng. Ta cũng đã chứng minh D
vẫn liên thông, và nó cũng không thay phiên vì nó vẫn giữ hai điểm cắt liên tiếp
của D mà ta nói bên trên. Theo giả thiết quy nạp thì |s+D | + |s−D | < n + 1, và
từ đó ta có điều phải chứng minh.
Định lý 3.10 dưới đây chính là kết quả của Kauffman, Murasugi và Thistletwaite mà
ta nhắc đến đầu chương. Một định nghĩa cần thiết được nêu ra trước khi ta trình bày
định lý:
Định nghĩa 3.9 Với mỗi đa thức Laurent V biến t, ta gọi biên độ của V, kí hiệu
B(V), là hiệu số giữa số mũ lớn nhất và nhỏ nhất của t xuất hiện trong V. Như thế
B(V) = M(V) − m(V)
Định lý 3.10 (Kauffman, Murasugi, Thistletwaite) Cho D là một biểu đồ liên thông
có n điểm cắt của link định hướng L. Như thường lệ, đa thức Jones của L được kí hiệu
là V(L). Khi đó:
(i) B(V(L)) ≤ n.
(ii) Nếu D là biểu đồ thay phiên và thu gọn, thì B(V(L)) = n.
(iii) Nếu D là một biểu đồ nguyên tố và không thay phiên, thì B(V(L)) < n.
CHỨNG MINH. (i) Nhắc lại rằng đa thức Jones V(L) thu được từ đa thức Kauff-
man X(L) = (−A)−3w(D) |D| qua phép đổi biến t = A−4. Do đó, 4B(V(L)) =
B |D| = M |D| − m |D| (ở đây, M |D| , m |D| tính theo lũy thừa của A).
Theo hai bổ đề 3.5 và 3.7 ta có:
4B(V(L)) ≤ 2n + 2|s+D| + 2|s−D| − 4 ≤ 4n
(ii) Nếu D là biểu đồ thay phiên và thu gọn, thì nó là đầy đủ. Khi đó, bất đẳng
thức trong bổ đề 3.5 trở thành đẳng thức. Kết hợp với phần (i) bổ đề 3.8 ta được
4B(V(L)) = 4n.
(iii) Nếu D là biểu đồ nguyên tố thì nhân tử là biểu đồ nút tầm thường không có ảnh
hưởng gì đến đa thức Jones, nhưng có thể chứa điểm cắt. Vì vậy, không mất tổng
40

49. quát ta có thể xem D là biểu đồ nguyên tố rõ ràng. Theo phần (ii) bổ đề 3.8 ta có
B(V(L)) < n.
Bằng cách lấy một hướng trên link rồi sử dụng định lý 3.10, ta được:
Hệ quả 3.11 Nếu link L có một biểu đồ liên thông, thay phiên, thu gọn, với n điểm cắt,
thì nó sẽ không có biểu đồ nào có ít hơn n điểm cắt (tức là c(L) = n). Mọi biểu đồ không
thay phiên và nguyên tố của L đều có số điểm cắt lớn hơn n.
Hiển nhiên kết luận đầu tiên của hệ quả 3.11 là sự tổng quát hóa của giả thuyết
Tait thứ nhất.
CHỨNG MINH. Lấy một hướng trên L. Vì L có một biểu đồ liên thông, thay phiên, thu
gọn nên theo phần (ii) định lý 3.10 ta có B(V(L)) = n. Nếu L có một biểu đồ với m điểm
cắt thì từ phần (i) của định lý 3.10 ta thu được n = B(V(L)) ≤ m. Còn nếu L có một
biểu đồ nguyên tố và không thay phiên với m điểm cắt, thì từ phần (iii) của định lý
3.10 suy ra n = B(V(L)) < m.
Một trong những ý nghĩa của giả thuyết Tait thứ nhất là nó cho ta một tiêu chuẩn
để chứng minh một link không thay phiên. Chẳng hạn từ bảng các nút nguyên tố
trong chương 1, ta thấy ba nút 819, 820 và 821 có đa thức Jones với biên độ nhỏ hơn
tám. Theo kết quả trên, nếu chúng có biểu đồ thay phiên, thì các biểu đồ này phải có
số điểm cắt nhỏ hơn tám. Tuy nhiên, các nút có biểu đồ có bảy điểm cắt hoặc nhỏ hơn
đã được liệt kê trong bảng, và không có nút nào có đa thức Jones trùng với đa thức
Jones của một trong ba nút trên. Do đó ba nút này không có biểu đồ thay phiên, tức
là chúng không phải là nút thay phiên.
Cuối cùng, ta nêu ra hai hệ quả khác của định lý 3.10.
Hệ quả 3.12 Nếu link L có phân tích L = L1#L2 với L1, L2 là hai link thay phiên,
không tách, thì
c(L) = c(L1) + c(L2).
(Trường hợp tổng quát vẫn là một câu hỏi mở rất cổ điển trong lý thuyết nút.)
CHỨNG MINH. Bằng cách dịch chuyển nhân tử L1 ra phía sau một điểm cắt của L2
nếu cần, ta suy ra L là một link thay phiên. Hiển nhiên L cũng là link không tách. Do
đó, nếu ta lấy một hướng trên L thì B(V(L)) = c(L). Lại vì V(L) = V(L1)V(L2) nên
B(V(L)) = B(V(L1)) + B(V(L2)) = c(L1) + c(L2), và ta có điều cần chứng minh.
Hệ quả 3.13 Nếu L là link định hướng, thay phiên, không tách, và đẳng luân với link
gương của nó, thì c(L) là số chẵn.
CHỨNG MINH. Từ hai đẳng thức:
41