TIỂU LUẬN CUỐI KÌ HỌC PHẦN LỊCH SỬ TOÁN HỌC

1. TIỂU LUẬN CUỐI KÌ LỊCH SỬ TOÁN HỌC
HÌNH HỌC THẾ KỈ XVII
Giảng viên hướng dẫn : PGS.TS. Tạ Duy Phượng
Họ và tên sinh viên
Ngày sinh
Mã sinh viên
Khóa/Ngành đào tạo
Mã lớp học phần
: Vũ Thùy Linh
: 07/08/2003
: 21010157
: QH2021S – Sư phạm Hóa học
: MAT3325
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
-----🙞🙜🕮🙞🙜-----

2. LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian học tập, để hoàn thành bài tiểu luận cuối kì này em đã nhận
được rất nhiều sự trợ giúp từ thầy và các bạn. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm sâu sắc đến
giảng viên bộ môn – PGS. TS Tạ Duy Phượng. Với sự tận tình và tâm huyết của thầy,
trong thời gian tham dự lớp học của thầy em đã được tiếp cận với rất nhiều kiến thức bổ
ích và cần thiết cho quá trình học tập và làm việc sau này.
Đồng thời, em xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Giáo dục đã truyền đạt
những kiến thức quý báu trong suốt học kì vừa qua giúp em có thể áp dụng và thuận lợi
hoàn thành bài tiểu luận.
Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng do kiến thức còn hạn hẹp và thời gian học tập
hơn một tháng khá ít ỏi nên bài tiểu luận của em không tránh có những sai sót. Kính
mong thầy và các bạn có những ý kiến đóng góp để bài tiểu luận của em được hoàn thiện
hơn nữa.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên

3. P a g e 3 | 36
MỤC LỤC
1. NGUỒN GỐC, ĐỘNG CƠ CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ................................................ 4
2. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ CỦA FERMAT............................................................................ 5
3. RENÉ DESCARTES ....................................................................................................... 6
4. CÔNG TRÌNH CỦA DESCARTES VỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ................................... 11
5. SỰ MỞ RỘNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ THẾ KỶ XVII........................................ 24
6. TẦM QUAN TRỌNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ ..................................................... 31

4. P a g e 4 | 36
1. NGUỒN GỐC, ĐỘNG CƠ CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
Fermat và Descartes là hai người chịu trách nhiệm chính cho sự sáng tạo lớn tiếp
theo trong toán học, giống như Desargues và những người theo dõi ông, quan tâm đến các
phương pháp chung để nghiên cứu đường cong. Nhưng Fermat và Descartes lại tham gia
rất nhiều vào công việc nghiên cứu khoa học, nhận thức sâu sắc về sự cần thiết của các
phương pháp định lượng, và rất ấn tượng với sức mạnh của đại số trong việc cung cấp
phương pháp đó. Vì thế Fermat và Descartes đã áp dụng đại số vào nghiên cứu hình học.
Chủ đề họ tạo ra được gọi là hình học tọa độ, hay hình học phân tích, chủ đề của nó là sự
kết hợp của các phương trình đại số với các đường cong và bề mặt. Phát minh này được
đánh giá là một trong những mạch tư tưởng phong phú và hiệu quả nhất từng xuất hiện
trong toán học.
Nhu cầu khoa học và sự quan tâm đến phương pháp luận đã thúc đẩy cả Fermat và
Descartes. Những đóng góp của Fermat trong toán học như việc xây dựng các tiếp tuyến
của đường cong và tính cực đại và cực tiểu, chúng ta sẽ thấy rõ ràng hơn trong mối liên hệ
với lịch sử của phép tính, được thiết kế để trả lời các vấn đề khoa học; ông cũng là người
có đóng góp hạng nhất cho lĩnh vực quang học. Sự quan tâm của ông đối với phương pháp
luận được chứng thực bằng một tuyên bố rõ ràng trong cuốn sách của ông, Ad Locos Planos
et Solidos Isagoge (Giới thiệu về mặt phẳng và vị trí rắn), viết năm 1629 nhưng xuất bản
năm 1637. Ông nói rằng ở đó ông đã tìm kiếm một cách tiếp cận phổ quát cho các vấn đề
liên quan đến đường cong. Đối với Descartes, ông là một trong những nhà khoa học vĩ đại
nhất thế kỷ XVII, và ông coi phương pháp luận là mục tiêu hàng đầu trong mọi công trình
của mình.

5. P a g e 5 | 36
2. HÌNH HỌC TỌA ĐỘ CỦA FERMAT
Trong công trình nghiên cứu về lý thuyết số, Fermat bắt đầu với Diophantus. Việc
nghiên cứu về các đường cong của ông bắt đầu bằng việc nghiên cứu các nhà hình học Hy
Lạp, đặc biệt là Apollonius, tác giả của cuốn sách On Plane Loci bị thất lạc, ông cùng với
những người khác đã tái tạo lại. Sau khi đóng góp cho đại số, ông đã áp dụng nó vào việc
nghiên cứu các đường cong, việc mà ông đã làm trong Ad Locos. Ông đã đề xuất mở một
nghiên cứu tổng quát về locus, điều mà người Hy Lạp đã không làm được. Người ta vẫn
chưa biết những ý tưởng của Fermat về hình học tọa độ phát triển như thế nào. Ông đã quen
với việc Vieta sử dụng đại số để giải các bài toán hình học, nhưng có nhiều khả năng là ông
đã dịch trực tiếp các kết quả của Apollonius sang dạng đại số.
Ông đã xem xét các loại đường cong nào và một điểm 𝐽 cụ thể trên đó. Vị trí của 𝐽
được cố định bởi độ dài 𝐴, được đo từ điểm 𝑂 trên đường cơ sở đến điểm 𝑍, và độ dài 𝐸 từ
𝑍 đến 𝐽. Do đó Fermat sử dụng tọa độ xiên, mặc dù không có trục y nào xuất hiện rõ ràng
và không sử dụng tọa độ âm. 𝐴 và 𝐸 là 𝑥 và 𝑦.
Fermat đã phát biểu trước đó nguyên lý chung của ông: "Bất cứ khi nào trong một
phương trình cuối cùng tìm thấy hai đại lượng chưa biết, chúng ta có một quỹ tích, điểm
cực trị của một trong hai đại lượng này mô tả một đường thẳng hoặc đường cong". Do đó,
các cực trị 𝐽, 𝐽′, 𝐽",... của 𝐸 ở các vị trí khác nhau của nó mô tả "đường thẳng." Các đại lượng
chưa biết 𝐴 và 𝐸 là các biến hoặc, người ta có thể nói, phương trình trong 𝐴 và 𝐸 là không
xác định. Ở đây Fermat sử dụng ý tưởng của Vieta về việc đặt một chữ cái đại diện cho một
biểu thức. Sau đó Fermat đưa ra nhiều phương trình đại số khác nhau trong 𝐴 và 𝐸 và nêu
rõ chúng mô tả những đường cong nào. Vì vậy, ông viết "D in A aequetur B in E" và phát
biểu rằng đây là một đường thẳng. Ông cũng đưa ra phương trình tổng quát hơn 𝑑(𝑎 – 𝑥) =
𝑏𝑦 và khẳng định rằng phương trình này cũng thể hiện một đường thẳng. Phương trình
"𝐵 𝑞𝑢𝑎𝑑. – 𝐴 𝑞𝑢𝑎𝑑. 𝑎𝑒𝑞𝑢𝑒𝑡𝑢𝑟 𝐸 𝑞𝑢𝑎𝑑. " (𝐵2
– 𝑥² = 𝑦²) đại diện cho một hình tròn.
Tương tự, 𝑎² − 𝑥² = 𝑘𝑦² đại diện cho một hình elip; 𝑎2
+ 𝑥² = 𝑘𝑦² và 𝑥𝑦 = 𝑎 đại
diện cho hyperbol; và 𝑥² = 𝑎𝑦 đại diện cho một parabol. Vi Fermat không sử dụng tọa độ

6. P a g e 6 | 36
âm nên các phương trình của ông không thể biểu diễn đường cong đầy đủ như ông đã mô
tả. Ông đánh giá cao việc người ta có thể dịch và quay các trục, vì ông đưa ra các phương
trình bậc hai phức tạp hơn và phát biểu những dạng đơn giản hơn mà chúng có thể được rút
gọn. Trên thực tế, ông khẳng định rằng một phương trình bậc một trong 𝐴 và 𝐸 có quỹ tích
đường thẳng và tất cả các phương trình bậc hai trong 𝐴 và 𝐸 đều có quỹ tích đường cong.
Trong cuốn Methodus ad Disquirendam Maximam et Minimam (Phương pháp tìm cực đại
và cực tiểu, 1637), ông đã giới thiệu các đường cong 𝑦 = 𝑥𝑛
và 𝑦 = 𝑥−𝑛
.
3. RENÉ DESCARTES
Descartes là nhà triết học hiện đại vĩ đại đầu tiên, người sáng lập nền sinh học hiện
đại, nhà vật lý hạng nhất và tình cờ là một nhà toán học. Tuy nhiên, khi một người có trí
tuệ mạnh mẽ dành dù chỉ một phần thời gian của mình cho một chủ đề nào đó thì công việc
của anh ta không thể không có ý nghĩa.
Ông sinh ra ở La Haye ở Touraine vào ngày 31 tháng 3 năm 1596. Cha ông, một luật
sư khá giả, đã gửi ông vào trường Jesuit thuộc quận La Flèche ở Bá quốc Anjou khi mới 8
tuổi. Vì sức khỏe yếu nên ông được phép dành cả buổi sáng trên giường để làm việc. Ông
đã giữ thói quen này trong suốt cuộc đời của mình. Năm mười sáu tuổi, ông rời La Flèche
và năm hai mươi tuổi, ông tốt nghiệp luật sư tại Đại học Poitiers và đến Paris. Ở đó, ông
gặp Mydorge và Cha Marin Mersenne và cùng họ nghiên cứu toán học trong một năm. Tuy
nhiên, Descartes cảm thấy chán nản và gia nhập quân đội của Hoàng tử Maurice xứ Orange
vào năm 1617. Trong chín năm tiếp theo, ông luân phiên phục vụ trong một số quân đội và
đi du lịch ở Paris, nhưng trong suốt thời gian này vẫn tiếp tục nghiên cứu toán học. Khả
năng giải một bài toán được dán trên bảng quảng cáo ở Breda, Hà Lan như một thử thách
đã thuyết phục ông rằng mình có năng lực toán học và ông bắt đầu suy nghĩ nghiêm túc về
môn học này. Ông trở lại Paris và trở nên phấn khích trước sức mạnh của kính thiên văn,
ông đã ẩn dật để nghiên cứu lý thuyết và chế tạo các dụng cụ quang học. Năm 1628, ông
chuyển đến Hà Lan để có một bầu không khí trí thức yên tĩnh và tự do hơn. Ở đó, ông sống

7. P a g e 7 | 36
hai mươi năm và viết những tác phẩm nổi tiếng của mình. Năm 1649, ông được mời hướng
dẫn Nữ hoàng Christina của Thụy Điển. Bị cám dỗ bởi danh dự và sự quyến rũ của hoàng
gia, ông đã chấp nhận. Ông qua đời ở đó vì bệnh viêm phổi vào năm 1650.
Tác phẩm đầu tiên của ông là Regulae ad Directionem Ingenii (Quy tắc định hướng
tâm trí), được viết vào năm 1628 nhưng được xuất bản sau khi ông qua đời. Tác phẩm quan
trọng tiếp theo của ông là Le Monde (Hệ thống thế giới, 1634), chứa đựng lý thuyết vũ trụ
học về các xoáy để giải thích cách các hành tinh được giữ chuyển động và quỹ đạo của
chúng quanh mặt trời. Tuy nhiên ông không công bố vì sợ sự bách hại của Giáo Hội. Năm
1637, ông xuất bản Discours de la méthode pour bien conduire sa raison, et chercher la
vérité dans les sciences. Cuốn sách này là một tác phẩm kinh điển của văn học và triết học,
gồm ba phụ lục nổi tiếng là La Géométrie, La Dioptrique và Les Météores. La Géométrie,
cuốn sách duy nhất của Descartes viết về toán học, chứa đựng những ý tưởng của ông về
hình học tọa độ và đại số, mặc dù ông đã truyền đạt nhiều ý tưởng khác về toán học bằng
nhiều chữ cái. Cuốn Discours ngay lập tức mang lại cho ông danh tiếng lớn. Thời gian trôi
qua, cả ông và công chúng đều ấn tượng hơn với tác phẩm của ông. Năm 1644, ông xuất
bản Principia Philosophiae, cuốn sách dành cho khoa học vật lý và đặc biệt là các định luật
về chuyển động và lý thuyết về xoáy. Nó chứa tài liệu từ System, mà ông ấy tin rằng giờ
đây ông ấy đã làm cho Giáo hội dễ chấp nhận hơn. Năm 1650, ông xuất bản Musicae
Compendium.
Những ý tưởng khoa học của Descartes đã thống trị thế kỷ XVII. Những lời dạy và
bài viết của ông trở nên phổ biến ngay cả với những người không phải là nhà khoa học vì
ông trình bày chúng rất rõ ràng và hấp dẫn. Chỉ có Giáo hội từ chối ông. Thực ra Descartes
rất sùng đạo và rất vui khi đã xác nhận sự tồn tại của Chúa. Nhưng ông đã dạy rằng Kinh
thánh không phải là nguồn kiến thức khoa học, chỉ lý trí thôi cũng đủ để xác lập sự tồn tại
của Đức Chúa Trời và con người chỉ nên chấp nhận những gì mình có thể hiểu được. Nhà
thờ đã có phản ứng với những lời dạy của ông bằng cách đưa sách của ông vào danh mục
bị cấm ngay sau khi ông qua đời ngăn chặn lễ tang của ông được an táng ở Paris.

8. P a g e 8 | 36
Descartes tiếp cận toán học qua ba con đường, với tư cách là một triết gia, một nhà
nghiên cứu về tự nhiên và với tư cách là một người quan tâm đến việc ứng dụng khoa học.
Thật khó khi cố gắng tách biệt ba dòng suy nghĩ này. Ông sống khi cuộc mâu thuẫn giữa
Tin lành và Công giáo lên đến đỉnh điểm và khi khoa học bắt đầu tiết lộ những quy luật tự
nhiên thách thức các học thuyết tôn giáo lớn. Do đó Descartes bắt đầu nghi ngờ tất cả những
kiến thức ông học được ở trường. Ngay khi kết thúc khóa học tại La Flèche, ông đã thấy
rằng việc học chỉ làm cho ông thấy rối bời. Ông nghi ngờ rằng mình đã không tiến xa hơn
ngoài việc nhận ra sự thiếu hiểu biết của mình. Tuy nhiên, bởi vì ông đã từng theo học tại
một trong những ngôi trường nổi tiếng nhất ở Châu Âu và vì ông tin rằng mình không phải
là một học sinh kém cỏi nên ông ấy cảm thấy có lý khi nghi ngờ liệu có bất kỳ khối kiến
thức chắc chắn nào ở đâu đó hay không. Sau đó ông suy nghĩ về câu hỏi: Làm sao chúng ta
biết được điều gì?
Ông nhanh chóng quyết định rằng bản thân logic đã là vô ích: "Đối với Logic, nó
logic và phần lớn các nguyên tắc khác của nó đều có ích trong truyền đạt những gì chúng
ta đã biết, hoặc... thậm chỉ khi nói mà không có phán xét những điều mà chúng ta không
biết gì hơn là trong việc điều tra chưa biết." Logic, khi đó, đã không cung cấp những sự
thật cơ bản.
Nhưng những thứ này được tìm thấy ở đâu? Ông bác bỏ triết lý hiện tại, phần lớn là
Scholastic, mặc dù hấp dẫn nhưng dường như không có sự rõ ràng - những nền tảng và lý
luận được sử dụng không phải lúc nào cũng không thể chê trách được. Ông quyết định rằng
triết học chỉ cung cấp "các phương tiện diễn thuyết có vẻ như là sự thật về mọi vấn đề."
Thần học đã chỉ ra con đường dẫn đến thiên đàng và ông cũng khao khát được đến đó như
bất kỳ người đàn ông nào, nhưng liệu con đường đó có đúng không?
Ông nói rằng phương pháp xác lập sự thật trong mọi lĩnh vực đã đến với ông trong
một giấc mơ vào ngày 10 tháng 11 năm 1619, khi ông đang tham gia một trong những chiến
dịch quân sự của mình; đó là phương pháp của toán học. Toán học thu hút ông vì những
bằng chứng dựa trên các tiên đề của nó là không thể nghi ngờ và bởi vì thẩm quyền chẳng

9. P a g e 9 | 36
có giá trị gì. Toán học cung cấp phương pháp để đạt được những điều chắc chắn và chứng
minh chúng một cách hiệu quả. Hơn nữa, ông thấy rõ ràng rằng phương pháp toán học đã
vượt qua chủ đề của nó. Ông nói, "Nó là một công cụ tri thức mạnh mẽ hơn bất kỳ công cụ
nào khác mà con người đã để lại cho chúng ta, như là nguồn gốc của tất cả những thứ khác."
Cùng quan điểm đó, ông ấy tiếp tục:
... Tất cả các ngành khoa học nhằm mục đích nghiên cứu liên quan đến trật tự và
thước đo đều liên quan đến toán học, việc thước đo này được tìm kiếm ở các con số, hình
thức, ngôi sao, âm thanh hay bất kỳ vật thể nào khác đều không quan trọng; Theo đó, cần
phải tồn tại một khoa học tổng quát có thể giải thích tất cả những gì có thể biết về trật tự và
đo lường, được xem xét độc lập với bất kỳ ứng dụng nào đối với một chủ đề cụ thể, và rằng,
thực sự, khoa học này có tên riêng của nó, được đặt ra bởi cách sử dụng lâu dài, nói một
cách hóm hỉnh đó là toán học. Và bằng chứng cho thấy nó vượt xa về cơ sở vật chất và tầm
quan trọng của các ngành khoa học phụ thuộc vào nó là nó bao gồm ngay lập tức tất cả các
đối tượng mà chúng được cống hiến và nhiều đối tượng khác nữa.
Và do đó, ông kết luận rằng "Những chuỗi dài những lý luận đơn giản và dễ dàng mà các
nhà hình học thường sử dụng để đi đến kết luận từ những chứng minh khó khăn nhất của
họ đã khiến tôi tưởng tượng rằng tất cả những thứ mà con người có khả năng hiểu biết đều
có mối liên hệ lẫn nhau trong cùng một cách."
Từ việc nghiên cứu phương pháp toán học, ông đã rút ra được những nguyên tắc sau
đây trong Rules for the Direction of the Mind (Quy tắc định hướng tâm trí) để đảm bảo có
được kiến thức chính xác trong bất kỳ lĩnh vực nào. Ông sẽ không chấp nhận điều gì là
đúng mà lại không rõ ràng và rõ ràng trong tâm trí ông đến mức loại trừ mọi nghi ngờ, ông
sẽ chia những khó khăn thành những khó khăn nhỏ hơn; sẽ đi từ cái đơn giản đến cái phức
tạp; và cuối cùng, ông sẽ liệt kê và xem xét lại các bước lập luận của mình một cách kỹ
lưỡng đến mức không thể bỏ sót điều gì.
Với những yếu tố thiết yếu của phương pháp, được ông chắt lọc từ việc thực hành
toán học, Descartes hy vọng giải quyết được các vấn đề trong triết học, vật lý, giải phẫu,

10. P a g e 10 | 36
thiên văn học, toán học và các lĩnh vực khác. Mặc dù ông không thành công trong chương
trình đầy tham vọng này, nhưng ông đã có những đóng góp đáng kể đến triết học, khoa học
và toán học. Bản chất của triết lý tri thức của ông là nhận biết những sự thật cơ bản, rõ ràng
và khác biệt, trực giác và việc suy diễn các hậu quả. Những kiến thức được cho là có được
bằng cách khác sẽ bị loại bỏ vì bị nghi ngờ có sai sót và nguy hiểm. Ba phụ lục trong
Discours của ông nhằm mục đích chứng tỏ rằng phương pháp của ông có hiệu quả; ông ấy
tin rằng ông ấy đã thể hiện điều này.
Descartes mở đầu triết học hiện đại. Chúng ta không thể theo đuổi hệ thống của ông
ngoại trừ việc lưu ý một số điểm liên quan đến toán học. Trong triết học, ông tìm kiếm
những chân lý như những tiên đề rõ ràng đến mức ông có thể dễ dàng chấp nhận chúng.
Cuối cùng ông ấy đã quyết định bốn: (a) cogito, ergo sum (tôi nghĩ, vậy là tôi tồn tại); (b)
mỗi hiện tượng đều phải có nguyên nhân; (c) kết quả không thể lớn hơn nguyên nhân của
nó; (d) tâm trí có sẵn trong nó những ý tưởng về sự hoàn hảo, không gian, thời gian và
chuyển động. Ý tưởng về sự hoàn hảo, về một sinh vật hoàn hảo, không thể bắt nguồn hoặc
được tạo ra bởi tâm trí không hoàn hảo của con người theo tiên đề (c). Nó chỉ có thể có
được từ một sinh vật hoàn hảo. Do đó Thượng đế tồn tại. Vì Chúa không lừa dối chúng ta
nên chúng ta có thể chắc chắn rằng các tiên đề toán học vốn rõ ràng đối với trực giác của
chúng ta và những suy luận mà chúng ta thực hiện từ chúng bằng các quá trình thuần túy
tinh thần, thực sự áp dụng cho thế giới vật chất và sự thật cũng vậy. Do đó, Chúa phải thiết
lập thiên nhiên theo các định luật toán học.
Đối với toán học, ông tin rằng ông có những ý tưởng toán học khác biệt và rõ ràng,
chẳng hạn như ý tưởng về tam giác. Những ý tưởng này đã tồn tại và tồn tại vĩnh viễn và
bất biến. Chúng không phụ thuộc vào suy nghĩ của mình. Như vậy toán học đã có một sự
tồn tại khách quan.
Mối quan tâm chính thứ hai của Descartes, được hầu hết các nhà tư tưởng ở độ tuổi
của ông chia sẻ, là sự hiểu biết về tự nhiên. Ông đã cống hiến nhiều năm cho các vấn đề
khoa học và thậm chí còn thử nghiệm rộng rãi về cơ học, thủy tĩnh học, quang học và sinh

11. P a g e 11 | 36
học. Lý thuyết về xoáy của ông là lý thuyết vũ trụ thống trị của thế kỷ XVII. Ông là người
sáng lập triết lý về cơ chế mà tất cả các hiện tượng tự nhiên, bao gồm cả hoạt động của cơ
thể con người, quy về những chuyển động tuân theo các định luật cơ học - mặc dù Descartes
đã loại trừ linh hồn. Quang học và đặc biệt là thiết kế thấu kính được ông đặc biệt quan
tâm; một phần của La Géométrie được dành cho quang học, cũng như La Dioptrique.
Descartes chia sẻ với Willebrord Snell vinh dự khám phá ra định luật khúc xạ ánh sáng
đúng đắn. Giống như trong triết học, công việc khoa học của ông mang tính cơ bản và mang
tính cách mạng.
Cũng quan trọng trong công trình khoa học của Descartes là sự nhấn mạnh của ông
vào việc đặt thành quả của khoa học để sử dụng (Chương 11, mục 5). Với thái độ này ông
phá vỡ và công khai với người Hy Lạp. Để làm chủ thiên nhiên vì lợi ích của con người,
ông theo đuổi nhiều vấn đề khoa học. Và ấn tượng với sức mạnh của môn toán, ông đương
nhiên tìm cách sử dụng môn học đó; đối với ông ấy thì không phải vậy kỷ luật chiêm nghiệm
nhưng là một khoa học mang tính xây dựng và hữu ích. Không giống như Fermat, ông ít
quan tâm đến vẻ đẹp và sự hài hòa của nó; anh ấy không coi trọng toán học thuần túy – toán
học. Ông nói rằng phương pháp toán học chỉ áp dụng cho toán học là không có giá trị vì nó
không phải là nghiên cứu về tự nhiên. Những người xây dựng toán học vì chính nó là những
người tìm kiếm nhàn rỗi, bị chơi đùa tinh thần một cách vô ích.
4. CÔNG TRÌNH CỦA DESCARTES VỀ HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
Sau khi quyết định rằng phương pháp đó là quan trọng và toán học có thể được sử
dụng một cách hiệu quả trong nghiên cứu khoa học, Descartes chuyển sang ứng dụng
phương pháp đó vào hình học. Ở đây ông quan tâm về phương pháp và kiến thức đặc biệt
về đại số đã kết hợp với nhau. Ông cảm thấy băn khoăn trước thực tế là mọi chứng minh
trong hình học Euclide đều đòi hỏi một số cách tiếp cận mới, thường là khéo léo. Ông chỉ
trích rõ ràng hình học của người xưa là quá trừu tượng và quá gắn liền với các hình vẽ "đến
mức nó chỉ có thể rèn luyện khả năng hiểu biết với điều kiện trí tưởng tượng phải quá mệt
mỏi." Đại số mà ông thấy phổ biến, ông cũng chỉ trích vì nó hoàn toàn tuân theo các quy

12. P a g e 12 | 36
tắc và công thức "đến mức tạo ra một nghệ thuật đầy nhầm lẫn và mù mờ được tính toán
để cản trở thay vì một môn khoa học phù hợp để cải thiện trí óc." Do đó, Descartes đề xuất
sử dụng tất cả những gì tốt nhất trong hình học và đại số và sửa chữa những khiếm khuyết
của cái này với sự trợ giúp của cái kia.
Trên thực tế, đó là việc sử dụng đại số trong hình học mà ông đã tiến hành khai thác.
Ông đã nhìn thấy đầy đủ sức mạnh của đại số và tính ưu việt của nó so với các phương
pháp hình học Hy Lạp trong việc cung cấp một phương pháp luận rộng rãi. Ông cũng nhấn
mạnh tính tổng quát của đại số và giá trị của nó trong việc cơ giới hóa các quá trình suy
luận và giảm thiểu công việc giải quyết vấn đề. Ông nhìn thấy tiềm năng của nó như một
khoa học phương pháp phổ quát. Sản phẩm ứng dụng đại số vào hình học của ông là La
Géométrie.
Mặc dù trong cuốn sách này Descartes đã sử dụng những cải tiến về ký hiệu đại số
đã được ghi chú ở Chương 13, nhưng bài luận này không phải là cách đọc thông thường.
Phần lớn sự mù mờ là có chủ ý; Descartes nói rằng rất ít nhà toán học ở châu Âu có thể
hiểu được công trình của ông. Ông chỉ ra các công trình xây dựng và trình bày, để người
khác điền chi tiết. Trong một lá thư, ông so sánh bài viết của mình với bài viết của một kiến
trúc sư, người đưa ra các kế hoạch và quy định những gì nên làm nhưng lại giao công việc
thủ công cho thợ mộc và thợ nề. Ông cũng nói: "Tôi không vô tình bỏ sót điều gì nhưng tôi
đã thấy trước rằng một số người khoe khoang rằng họ biết mọi thứ sẽ không bỏ lỡ cơ hội
nói rằng tôi không viết gì mà họ chưa biết, nếu tôi tỏ ra đủ dễ hiểu để họ hiểu tôi." Ông đưa
ra những lý do khác trong La Géométrie, chẳng hạn như không muốn tước đi niềm vui của
độc giả khi tự mình giải quyết mọi việc. Nhiều bài bình luận mang tính giải thích đã được
viết ra để làm cho quan điểm của Descartes sách rõ ràng.
Ý tưởng của ông phải được suy ra từ một số ví dụ được đưa ra trong quyển sách.
Ông ấy nói rằng ông đã bỏ qua phần trình bày của hầu hết các vị tướng của mình bởi vì nếu
người ta chịu khó xem xét một cách có hệ thống những ví dụ, việc chứng minh các kết quả
chung sẽ trở nên rõ ràng và sẽ có giá trị hơn nếu tìm hiểu chúng theo cách đó.

13. P a g e 13 | 36
Ông bắt đầu La Géométrie với việc sử dụng đại số để giải các bài toán xây dựng
hình học theo cách của Vieta; chỉ dần dần ý tưởng về phương trình đường cong mới xuất
hiện. Đầu tiên ông chỉ ra rằng các cấu trúc hình học đòi hỏi phải cộng, trừ, nhân, chia các
đường và lấy căn bậc hai của các đường cụ thể. Vì tất cả các phép toán này cũng tồn tại
trong đại số nên chúng có thể được biểu diễn bằng thuật ngữ đại số.
Khi giải quyết một vấn đề nhất định, Descartes nói rằng chúng ta phải giả sử lời giải
của vấn đề đã được biết và biểu diễn bằng các chữ cái tất cả các dòng, đã biết và chưa biết,
dường như cần thiết cho việc xây dựng cần thiết. Sau đó, không phân biệt giữa các dòng đã
biết và chưa biết, chúng ta phải "làm sáng tỏ" khó khăn bằng cách chỉ ra các dòng có liên
quan với nhau theo cách nào, nhằm mục đích thể hiện cùng một đại lượng theo hai cách.
Điều này đưa ra một phương trình. Chúng ta phải tìm càng nhiều phương trình càng tốt với
số đường chưa biết. Nếu vẫn còn một số phương trình, chúng ta phải kết hợp chúng cho
đến khi còn lại một đường chưa biết được biểu thị dưới dạng các đường đã biết. Sau đó
Descartes chỉ ra cách xây dựng đường thẳng chưa biết bằng cách sử dụng thực tế là nó thỏa
mãn phương trình đại số.
Do đó, giả sử một bài toán hình học dẫn đến việc tìm ra một độ dài 𝑥 chưa biết, và
sau khi lập công thức đại số, 𝑥 được tìm thấy thỏa mãn phương trình 𝑥2
= 𝑎𝑥 + 𝑏2
trong
đó 𝑎 và 𝑏 là các độ dài đã biết. Sau đó chúng ta biết bằng đại số rằng

14. P a g e 14 | 36
(1) 𝑥 =
𝑎
2
+ √
𝑎2
4
+ 𝑏2
(Descartes bỏ qua căn bậc hai âm.) Bây giờ Descartes đưa ra một cách xây dựng cho
𝑥. Ông dựng tam giác vuông 𝑁𝐿𝑀 (Hình 15.2) với 𝐿𝑀 = 𝑏 và 𝑁𝐿 = 𝑎/2, đồng thời kéo
dài 𝑀𝑁 thành 𝑂 sao cho 𝑁𝑂 = 𝑁𝐿 = 𝑎/2. Khi đó nghiệm 𝑥 là độ dài 𝑂𝑀. Bằng chứng
cho thấy 𝑂𝑀 có độ dài đúng không được Descartes đưa ra nhưng nó rõ ràng ngay lập tức
đối với
𝑂𝑀 = 𝑂𝑁 + 𝑀𝑁 =
𝑎
2
+ √
𝑎2
4
+ 𝑏2
Qua biểu thức (1), 𝑥 thu được bằng cách giải một phương trình đại số, cho biết cách
xây dựng đúng của 𝑥.
Trong nửa đầu của Quyển I, Descartes chỉ giải các bài toán xây dựng hình học cổ
điển với sự trợ giúp của đại số. Đây là một ứng dụng của đại số vào hình học, nhưng không
phải là hình học giải tích theo nghĩa hiện tại của chúng ta. Các vấn đề cho đến nay là những
gì người ta có thể gọi là các vấn đề xây dựng xác định vì chúng dẫn đến một độ dài duy
nhất. Ông xem xét các bài toán xây dựng không xác định tiếp theo, tức là các bài toán trong
đó có nhiều độ dài có thể dùng làm câu trả lời. Điểm cuối của nhiều độ dài tạo thành một
đường cong; và ở đây Descartes nói, "Cũng cần phải khám phá và vẽ đường cong chứa tất
cả các điểm như vậy." Đường cong này được mô tả bằng phương trình vô định cuối cùng
biểu thị độ dài y chưa biết theo độ dài x tùy ý. Hơn nữa, Descartes nhấn mạnh rằng với mỗi
𝑥, 𝑦 thỏa mãn một phương trình xác định và do đó có thể xây dựng được. Nếu phương trình
ở bậc một hoặc bậc hai, 𝑦 có thể được xây dựng bằng các phương pháp của Quyển 1, chỉ
sử dụng đường thẳng và đường tròn. Đối với các phương trình bậc cao hơn, ông nói rằng
ông sẽ trình bày trong Quyển III cách xây dựng 𝑦.
Descartes sử dụng bài toán Pappus (Chương 5, phần 7) để minh họa điều gì xảy ra
khi một bài toán dẫn đến một phương trình có hai ẩn số. Bài toán này, chưa được giải một

15. P a g e 15 | 36
cách tổng quát, như sau: Cho vị trí của ba đường thẳng trong một mặt phẳng, tìm vị trí của
tất cả các điểm (quỹ tích) mà từ đó chúng ta có thể dựng các đường thẳng, mỗi đường thẳng
ứng với một đường thẳng đã cho. và tạo một góc đã biết với mỗi đường thẳng đã cho này
(góc có thể khác nhau giữa các đường thẳng), sao cho hình chữ nhật chứa bởi hai trong số
các đường thẳng đã cho có tỷ lệ cho trước với hình vuông trên đường dựng thứ ba; nếu có
bốn đường thẳng cho trước thì các đường thẳng tạo thành các góc cho trước với các đường
thẳng đã cho phải sao cho hình chữ nhật chứa bởi hai đường thẳng đó phải có tỷ lệ cho
trước với hình chữ nhật chứa hai đường thẳng kia; nếu có năm đường thẳng cho trước thì
năm đường thẳng được dựng, mỗi đường tạo một góc cho trước với một trong các đường
thẳng đã cho, phải sao cho tích của ba đường thẳng đó bằng tích của hai đường thẳng còn
lại. Điều kiện trên quỹ tích khi có nhiều hơn năm dòng cho trước là sự mở rộng rõ ràng của
điều kiện trên.
Pappus đã tuyên bố rằng khi cho ba hoặc bốn đường thẳng thì quỹ tích là một hình
chóp. Trong Quyển II Descartes xử lý bài toán Pappus trong trường hợp bốn đường thẳng.
Các đường đã cho (Hình 15.3) là 𝐴𝐺, 𝐺𝐻, 𝐸𝐹 𝑣à 𝐴𝐷. Xét một điểm 𝐶 và bốn đường thẳng
từ 𝐶 đến mỗi đường thẳng trong số bốn đường thẳng đã cho và tạo một góc xác định với
mỗi đường thẳng trong số bốn đường thẳng đã cho. Góc có thể khác nhau từ dòng này sang
dòng khác. Chúng ta hãy biểu thị bốn dòng bằng 𝐶𝑃, 𝐶𝑄, 𝐶𝑅 𝑣à 𝐶𝑆. Cần tìm quỹ tích 𝐶
thỏa mãn điều kiện 𝐶𝑃. 𝐶𝑅 = 𝐶𝑆. 𝐶𝑄.
Descartes biểu thị 𝐴𝑃 bằng 𝑥 và 𝑃𝐶 bằng 𝑦. Bằng các phép tính hình học đơn giản,
ông thu được các giá trị của 𝐶𝑅, 𝐶𝑄 và 𝐶𝑆 theo các giá trị đã biết.

16. P a g e 16 | 36
Ông sử dụng các giá trị này để tạo thành 𝐶𝑃. 𝐶𝑅 = 𝐶𝑆. 𝐶𝑄 và thu được phương
trình bậc hai theo x và y có dạng
(2) 𝑦2
= 𝐴𝑦 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥2
trong đó 𝐴, 𝐵, 𝐶 và 𝐷 là các biểu thức đại số đơn giản theo các đại lượng đã biết. Bây giờ
Descartes chỉ ra rằng nếu chúng ta chọn bất kỳ giá trị nào của 𝑥 thì chúng ta có một phương
trình bậc hai cho 𝑦 và có thể giải được cho 𝑦; và khi đó 𝑦 có thể được dựng bằng thước kẻ
và compa như ông đã chỉ ra trong Quyển I. Do đó, nếu ta lấy vô số giá trị cho 𝑥, thì ta thu
được vô số giá trị cho 𝑦 và do đó có vô số điểm 𝐶. Quỹ tích của tất cả các điểm 𝐶 này là
một đường cong có phương trình là (2).
Descartes đã thiết lập một đường thẳng (𝐴𝐺 trong hình trên) làm đường cơ sở có gốc
tại điểm 𝐴. Khi đó, các giá trị 𝑥 là độ dài dọc theo đường này và giá trị 𝑦 là độ dài bắt đầu
tại đường cơ sở này và tạo một góc cố định với nó. Hệ tọa độ này ngày nay chúng ta gọi là
hệ tọa độ xiên. 𝑥 và 𝑦 của Descartes chỉ đại diện cho số dương; tuy nhiên các phương trình
của ông bao gồm các phần của đường cong khác với cái mà chúng ta gọi là góc phần tư thứ
nhất. Ông chỉ đơn giản giả định rằng quỹ tích chủ yếu nằm ở góc phần tư thứ nhất và đưa
ra tham chiếu đến những gì có thể xảy ra ở nơi khác. Rằng có một độ dài cho số thực dương
được giả định một cách vô thức.
Sau khi đã đi đến ý tưởng về phương trình của một đường cong, Descartes bây giờ
phát triển nó. Ông khẳng định, ông đã chứng minh một cách ngẫu nhiên rằng bậc của một
đường cong không phụ thuộc vào việc lựa chọn trục tham chiếu; ông khuyên nên chọn trục
này để phương trình thu được càng đơn giản càng tốt. Trong một bước tiến lớn khác, ông
xem xét hai đường cong khác nhau, biểu thị phương trình của chúng đối với cùng một trục
tham chiếu và tìm ra các điểm giao nhau bằng cách giải các phương trình cùng một lúc.
Cũng trong Quyển II, Descartes xem xét một cách nghiêm túc sự khác biệt của người
Hy Lạp giữa các đường cong phẳng, đặc và tuyến tính. Người Hy Lạp đã nói rằng những
đường cong phẳng là những đường có thể dựng được bằng thước thẳng và compa; các

17. P a g e 17 | 36
đường cong đặc là các phần hình nón; và các đường cong tuyến tính là tất cả những đường
cong khác, chẳng hạn như đường cong hình nón, đường xoắn ốc, đường từ giác và đường
cissoid. Các đường cong tuyến tính còn được người Hy Lạp gọi là cơ học vì cần có một cơ
chế đặc biệt nào đó để xây dựng chúng. Nhưng, Descartes nói, ngay cả đường thẳng và
đường tròn cũng cần dụng cụ nào đó. Độ chính xác của kết cấu cơ khí cũng không quan
trọng, bởi vì trong toán học chỉ có lý luận mới được tính đến. Ông tiếp tục, có thể người
xưa phản đối các đường cong tuyến tính vì chúng được xác định không chắc chắn. Trên cơ
sở này, Descartes bác bỏ ý kiến cho rằng chỉ những đường cong dựng được bằng thước
thẳng và compa mới hợp lý và thậm chí còn đề xuất một số đường cong mới được tạo ra
bởi các công trình cơ học. Ông kết luận bằng một phát biểu rất có ý nghĩa rằng các đường
cong hình học là những đường cong có thể được biểu diễn bằng một phương trình đại số
duy nhất (có mức độ hữu hạn) theo x và y. Do đó Descartes chấp nhận conchoid và cissoid.
Tất cả các đường cong khác, chẳng hạn như đường xoắn ốc và đường cong tứ giác, ông gọi
là cơ học.
Việc Descartes nhấn mạnh rằng một đường cong có thể chấp nhận được là một
đường cong có phương trình đại số là sự khởi đầu của việc loại bỏ khả năng xây dựng như
một tiêu chí của sự tồn tại. Leibniz đã đi xa hơn Descartes. Sử dụng các từ "đại số" và "siêu
việt" cho các thuật ngữ "hình học" và "cơ học" của Descartes, ông phản đối yêu cầu rằng
một đường cong phải có một phương trình đại số. Thực ra Descartes và những người cùng
thời với ông đã bỏ qua yêu cầu này và làm việc hăng say với đường cycloid, đường cong
logarit, đường xoắn ốc logarit (log 𝜌 = 𝑎𝜃), và các đường cong phi đại số khác.
Khi mở rộng khái niệm về những đường cong chấp nhận được, Descartes đã thực
hiện một bước tiến quan trọng. Ông không chỉ thừa nhận những đường cong trước đây bị
bác bỏ mà còn mở ra toàn bộ lĩnh vực đường cong, bởi vì, với bất kỳ phương trình đại số
nào theo 𝑥 và 𝑦, người ta có thể tìm thấy đường cong của nó và do đó thu được những
đường cong hoàn toàn mới. Trong Arithmetica Universalis, Newton nói (1707), "Nhưng
những người Hiện đại còn tiến xa hơn nhiều so với mặt phẳng, quỹ tích khối và tuyến tính

18. P a g e 18 | 36
của người Hy Lạp đã đưa vào Hình học tất cả các Đường có thể biểu diễn bằng Phương
trình."
Tiếp theo, Descartes xem xét các lớp đường cong hình học. Các đường cong bậc một
và bậc hai theo 𝑥 và 𝑦 thuộc lớp một và đơn giản nhất. Về vấn đề này, Descartes nói rằng
các phương trình của đường conic là bậc hai, nhưng không chứng minh được điều này. Các
đường cong có phương trình bậc ba và bậc bốn tạo thành lớp thứ hai. Các đường cong có
phương trình bậc năm và bậc sáu là đường cong loại ba, v.v. Lý do ông nhóm các đường
cong bậc ba và bậc bốn, cũng như bậc năm và bậc sáu, là vì ông tin rằng đường cong cao
hơn trong mỗi lớp có thể được giảm xuống mức thấp hơn, vì việc giải phương trình bậc bốn
có thể được thực hiện bằng cách giải phương trình bậc ba. Niềm tin này tất nhiên là không
chính xác.
Cuốn thứ ba của La Géométrie quay lại chủ đề của Quyển I. Nó Mục tiêu là giải các
bài toán xây dựng hình học mà khi được xây dựng bằng đại số, dẫn đến các phương trình
xác định bậc ba và cao hơn mức độ và theo đại số, gọi các phần hình nón và các đường
cong bậc cao hơn. Do đó Descartes xem xét bài toán xây dựng việc tìm hai tỷ lệ trung bình
giữa hai đại lượng 𝑎 và 𝑞 cho trước. Trường hợp đặc biệt khi 𝑞 = 2𝑎 đã được người Hy
Lạp cổ điển thử nghiệm nhiều lần và rất quan trọng vì nó là một cách giải bài toán nhân đôi
khối lập phương. Descartes tiến hành như sau: Cho 𝑧 là một trong những tỷ lệ trung bình
này; thì 𝑧2
/𝑎 phải là số thứ hai, vì chúng ta phải có
𝑎
𝑧
=
𝑧
𝑧2/𝑎
=
𝑧2
/𝑎
𝑧3/𝑎2
Khi đó, nếu lấy 𝑧3
/𝑎2
là 𝑞 thì ta có phương trình 𝑧 phải thỏa mãn. Do đó, với 𝑞 và 𝑎, chúng
ta phải tìm 𝑧 sao cho
(3) 𝑧3
= 𝑎2
𝑞

19. P a g e 19 | 36
hoặc, chúng ta phải giải một phương trình bậc ba. Bây giờ Descartes chỉ ra rằng những đại
lượng 𝑧 và 𝑧2
/𝑎 như vậy có thể thu được bằng cách xây dựng hình học sử dụng một parabol
và một đường tròn.
Như cách xây dựng được mô tả bởi Descartes, dường như không có hình học tọa độ
nào liên quan đến nó. Tuy nhiên, parabol không thể dựng được bằng thước thẳng và compa,
ngoại trừ từng điểm một, và do đó người ta phải sử dụng phương trình để vẽ đường cong
một cách chính xác.
Descartes không thu được 𝑧 bằng cách viết các phương trình theo 𝑥 và 𝑦 của đường
tròn và parabol và tìm tọa độ giao điểm bằng cách giải đồng thời các phương trình. Nói
cách khác, ông không giải phương trình bằng đồ họa. Đúng hơn là ông sử dụng các công
trình hình học thuần túy (ngoại trừ việc giả sử rằng có thể vẽ được một parabol), kiến thức
về sự thật là 𝑧 thỏa mãn một phương trình, và các tính chất hình học của đường tròn và
parabol (có thể dễ dàng nhận thấy hơn qua các phương trình của chúng). Ở đây Descartes
thực hiện đúng những gì ông đã làm trong Quyển I, ngoại trừ việc ông hiện đang giải các
bài toán xây dựng hình học trong đó độ dài chưa biết thỏa mẫn phương trình bậc ba hoặc
cao hơn thay vì phương trình bậc một hoặc bậc hai. Giải pháp của ông về khía cạnh đại số
thuần túy của bài toán và cách xây dựng tiếp theo trên thực tế giống với giải pháp mà người
Ả Rập đã đưa ra, ngoại trừ việc ông có thể sử dụng các phương trình của đường cong để
suy ra sự thật về các đường cong và về chúng.
Descartes không chỉ mong muốn chỉ ra cách giải một số bài toán rắn với sự trợ giúp
của đại số và đường conic mà còn quan tâm đến việc phân loại các bài toán để người ta biết
chúng có liên quan gì và cách giải quyết chúng. Sự phân loại của ông dựa trên mức độ của
phương trình đại số mà người ta dẫn đến khi bài toán xây dựng được xây dựng theo phương
pháp đại số. Nếu mức độ đó là một hoặc hai thì việc xây dựng có thể được thực hiện bằng
đường thẳng và đường tròn. Nếu mức độ là ba hoặc bốn, các phần hình nón phải được sử
dụng. Nhân tiện, ông khẳng định rằng tất cả các bài toán về hình khối có thể quy về việc
chia ba góc và nhân đôi hình lập phương và không có bài toán về hình khối nào có thể giải

20. P a g e 20 | 36
được nếu không sử dụng một đường cong phức tạp hơn đường tròn. Nếu bậc của phương
trình cao hơn 4, có thể cần phải có những đường cong phức tạp hơn các phần hình nón để
thực hiện việc xây dựng.
Descartes cũng nhấn mạnh mức độ của phương trình đường cong là thước đo tính
đơn giản của nó. Người ta nên sử dụng đường cong đơn giản nhất, tức là mức độ thấp nhất
có thể, để giải bài toán xây dựng. Sự nhấn mạnh vào mức độ của một đường cong trở nên
mạnh mẽ đến mức một đường cong phức tạp như folium của Descartes (Hình 15.4), có
phương trình 𝑥3
+ 𝑦3
− 3𝑎𝑥𝑦 = 0, được coi là đơn giản hơn 𝑦 = 𝑥4
.
Điều quan trọng hơn nhiều so với cái nhìn sâu sắc của Descartes về các vấn đề xây
dựng và cách phân loại của chúng là tầm quan trọng mà ông gán cho đại số. Chìa khóa này
giúp bạn có thể nhận ra các bài toán điển hình của hình học và tập hợp các bài toán mà ở
dạng hình học dường như không liên quan chút nào. Đại số mang đến cho hình học những
nguyên tắc phân loại tự nhiên nhất và phương pháp phân cấp tự nhiên nhất. Các câu hỏi về
khả năng giải được và khả năng xây dựng hình học không chỉ có thể được giải quyết một
cách dễ dàng, nhanh chóng và đầy đủ từ đại số song song, mà nếu không có nó thì chúng
sẽ không thể được giải quyết. Như vậy, hệ thống và cấu trúc đã được chuyển từ hình học
sang đại số.

21. P a g e 21 | 36
Một phần trong Quyển II của La Géométrie cũng như La Dioptrique Descartes dành
cho quang học, sử dụng hình học tọa độ để hỗ trợ. Ông rất quan tâm đến việc thiết kế thấu
kính cho kính thiên văn, kính hiển vi và các dụng cụ quang học khác vì ông đánh giá cao
tầm quan trọng của những dụng cụ này đối với thiên văn học và sinh học. Dioptrique của
ông đề cập đến hiện tượng khúc xạ. Kepler và Alhazen trước ông đã lưu ý rằng niềm tin
rằng góc khúc xạ tỉ lệ với góc tới, hằng số tỉ lệ phụ thuộc vào môi trường gây ra hiện tượng
khúc xạ, là không đúng đối với các góc lớn, nhưng họ không khám phá ra định luật đúng.
Trước năm 1626 Willebrord Snell đã phát hiện nhưng không công bố mối quan hệ chính
xác,
sin 𝑖
sin 𝑟
=
𝑣1
𝑣2
trong đó 𝑣1 là vận tốc ánh sáng trong môi trường ban đầu (Hình 15.5) và 𝑣2 là vận tốc trong
môi trường mà ánh sáng truyền vào. Descartes đã đưa ra định luật tương tự vào năm 1637
trong Dioptrique. Có một số câu hỏi đặt ra là liệu ông có khám phá ra nó một cách độc lập
hay không. Lập luận của ông sai, và Fermat ngay lập tức tấn công cả định luật lẫn chứng
minh. Một cuộc tranh cãi nảy sinh giữa họ kéo dài mười năm. Fermat không hài lòng rằng
định luật này là đúng cho đến khi ông rút ra nó từ Principle of Least Time (Nguyên lý thời
gian tối thiểu) (Chương 24, mục 3).
Trong La Dioptrique, sau khi mô tả hoạt động của mắt, Descartes xem xét vấn đề
thiết kế thấu kính hội tụ thích hợp cho kính thiên văn, kính hiển vi và kính đeo mắt. Ngay

22. P a g e 22 | 36
từ thời cổ đại, người ta đã biết rằng thấu kính cầu sẽ không làm cho các tia song song hoặc
các tia phân kỳ từ nguồn 𝑆 hội tụ vào một điểm. Do đó, câu hỏi được đặt ra là hình dạng
nào sẽ tập trung các tia tới mà Kepler đã gợi ý rằng một mặt cắt hình nón nào đó sẽ có tác
dụng. Descartes đã tìm cách thiết kế một thấu kính có thể hội tụ các tia một cách hoàn hảo.
Ông tiến hành giải bài toán tổng quát về bề mặt nào sẽ ngăn cách hai môi trường sao
cho các tia sáng bắt đầu từ một điểm trong môi trường thứ nhất sẽ chạm vào bề mặt đó,
khúc xạ vào môi trường thứ hai và ở đó hội tụ về một điểm. Ông phát hiện ra rằng đường
cong tạo ra bề mặt xoay mong muốn là một hình bầu dục, ngày nay được gọi là hình bầu
dục của Descartes. Đường cong này và các tính chất khúc xạ của nó được thảo luận trong
La Dioptrique, và phần thảo luận này được bổ sung trong Quyển II của La Géométrie.
Định nghĩa hiện đại là đường cong là quỹ tích của các điểm M thỏa mãn điều kiện
𝐹𝑀 ± 𝑛𝐹′
𝑀 = 2𝑎
trong đó 𝐹 và 𝐹′ là các điểm cố định, 2𝑎 là số thực bất kỳ lớn hơn 𝐹𝐹′ và 𝑛 là số thực bất
kỳ. Nếu 𝑛 = 1 thì đường cong sẽ trở thành hình elip. Trong trường hợp tổng quát, phương
trình của hình bầu dục là bậc bốn theo 𝑥 và 𝑦, và đường cong bao gồm hai phần khép kín,
riêng biệt (Hình 15.6) không có điểm chung, và một phần nằm trong phần kia. Đường cong
bên trong lồi giống như hình elip và đường cong bên ngoài có thể lồi hoặc có thể có các
điểm uốn, như trong hình.

23. P a g e 23 | 36
Như chúng ta có thể thấy, cách tiếp cận hình học tọa độ của Descartes khác biệt sâu
sắc với cách tiếp cận của Fermat. Descartes chỉ trích và đề xuất phá vỡ truyền thống Hy
Lạp, trong khi Fermat tin vào sự tiếp nối với tư tưởng Hy Lạp và coi công trình của ông về
hình học tọa độ chỉ là sự tái phát triển công trình của Apollonius. Khám phá thực sự - sức
mạnh của các phương pháp đại số là của Descartes; và ông nhận ra mình đang thay thế các
phương pháp cổ xưa. Mặc dù ý tưởng về phương trình đường cong rõ ràng hơn với Fermat
so với Descartes, công trình của Fermat chủ yếu là một thành tựu kỹ thuật hoàn thiện công
trình của Apollonius và sử dụng ý tưởng về các chữ cái của Vieta để biểu diễn các lớp số.
Phương pháp của Descartes có thể áp dụng rộng rãi và có khả năng áp dụng cho các đường
cong siêu việt.
Bất chấp những khác biệt đáng kể trong cách tiếp cận hình học tọa độ và mục tiêu,
Descartes và Fermat vẫn bị lôi kéo vào cuộc tranh cãi về mức độ ưu tiên của khám phá. Tác
phẩm của Fermat mãi đến năm 1679 mới được xuất bản; tuy nhiên, khám phá của ông về
những ý tưởng cơ bản của hình học tọa độ vào năm 1629 có trước khi Descartes xuất bản
cuốn La Géométrie vào năm 1637. Vào thời điểm này, Descartes đã biết đầy đủ về nhiều
khám phá của Fermat, nhưng ông phủ nhận việc đã học được những ý tường của mình từ
Fermat. Ý tưởng của Descartes về hình học tọa độ, theo nhà toán học người Hà Lan Isaac
Beeckman (1588-1637), có từ năm 1619; và hơn nữa, không có nghi ngờ gì về tính độc đáo
của nhiều ý tưởng cơ bản của ông về hình học tọa độ.
Khi La Géométrie được xuất bản, Fermat đã chỉ trích nó vì nó bỏ qua những ý tưởng
như cực đại và cực tiểu, tiếp tuyến của các đường cong, và việc xây dựng các quỹ tích đặc,
mà ông đã quyết định là đáng được mọi nhà hình học chú ý. Ngược lại, Descartes nói rằng
Fermat đã làm được rất ít, trên thực tế không làm được gì nhiều hơn những gì có thể tình
cờ đạt được mà không cần có sự chuyên môn hoặc kiến thức trước đó, trong khi bản thân
ông đã sử dụng toàn bộ kiến thức về bản chất của các phương trình, mà ông đã giải thích
trong cuốn sách thứ ba của cuốn sách về La Géométrie. Descartes goi Fermat một cách mỉa
mai là vostre Conseiller De Maximis et Minimis và nói rằng Fermat mắc nợ ông. Roberval,

24. P a g e 24 | 36
Pascal và những người khác đứng về phía Fermat, còn Mydorge và Desargues đứng về phía
Descartes. Bạn bè của Fermat đã viết những bức thư cay đắng chống lại Descartes. Sau đó,
thái độ của hai người đối với nhau đã dịu đi, và trong một tác phẩm năm 1660, Fermat, khi
kêu gọi sự chú ý đến một sai sót trong La Géométrie, đã tuyên bố rằng ông ngưỡng mộ
thiên tài đó đến mức ngay cả khi ông mắc sai lầm thì tác phẩm của Descartes vẫn có giá trị
hơn, hơn những người khác đã làm đúng. Descartes đã không hào phóng đến thế.
Sự nhấn mạnh của hậu thế đối với La Géométrie không phải là điều Descartes dự
định. Trong khi ý tưởng nổi bật cho tương lai của toán học là sự kết hợp giữa phương trình
và đường cong, thì đối với Descartes, ý tưởng này chỉ là một phương tiện để giải quyết các
bài toán xây dựng hình học. Sự nhấn mạnh của Fermat vào các phương trình loci, theo quan
điểm hiện đại, có ý nghĩa hơn. Các vấn đề về xây dựng hình học mà Descartes nhấn mạnh
trong Quyển I và III đã giảm tầm quan trọng, phần lớn là do việc xây dựng không còn được
sử dụng như người Hy Lạp để thiết lập sự tồn tại.
Một phần của Quyển III cũng đã tìm được một vị trí cố định trong toán học. Vì
Descartes giải các bài toán xây dựng hình học bằng cách trước tiên xây dựng chúng theo
phương pháp đại số, giải các phương trình đại số, rồi xây dựng những gì lời giải yêu cầu,
nên ông đã tập hợp các công trình của chính mình và của những người khác về lý thuyết
phương trình có thể đẩy nhanh việc giải chúng. Bởi vì các phương trình đại số tiếp tục xuất
hiện trong hàng tram bối cảnh khác nhau mà không liên quan gì đến các bài toán xây dựng
hình học, lý thuyết về phương trình này đã trở thành một phần cơ bản của đại số cơ bản.
5. SỰ MỞ RỘNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ THẾ KỶ XVII
Ý tưởng chính của hình học tọa độ – việc sử dụng các phương trình đại số để biểu
diễn và nghiên cứu các đường cong – không được các nhà toán học hăng hái nằm bắt vì
nhiều lý do. Cuốn sách của Fermat, Ad Locos, mặc dù được lưu truyền trong giới bạn bè
nhưng mãi đến năm 1679 mới được xuất bản. Sự nhấn mạnh của Descartes vào cách giải
các bài toán xây dựng hình học đã che khuất ý tưởng chính của phương trình và đường

25. P a g e 25 | 36
cong. Trên thực tế, nhiều người cùng thời với ông nghĩ hình học tọa độ chủ yếu là một công
cụ để giải các bài toán xây dựng. Ngay cả Leibniz cũng nói tác phẩm của Descartes là sự
quay trở lại với người xưa. Bản thân Descartes đã nhận ra rằng ông đã đóng góp nhiều hơn
là một phương pháp mới để giải quyết các vấn đề xây dựng. Trong phần giới thiệu cuốn La
Géométrie, ông nói: "Hơn. nữa, những gì tôi đã trình bày trong cuốn sách thứ hai về bản
chất và tính chất của các đường cong cũng như phương pháp kiểm tra chúng, đối với tôi,
dường như vượt xa việc xử lý chúng". của hình học thông thường như lời hùng biện của
Cicero vượt quá khả năng a, b, c của trẻ em." Tuy nhiên, việc ông sử dụng phương trình.
của các đường cong, chẳng hạn như giải bài toán Pappus, tìm pháp tuyến các đường cong
và các đặc tính của hình bầu dục đã bị lu mờ bởi vấn đề xây dựng được chú trọng. Một lý
do khác khiến hình học giải tích lan truyền chậm là do Descartes nhất quyết làm cho bài
trình bày của ông khó theo dõi.
Ngoài ra, nhiều nhà toán học phản đối việc nhầm lẫn giữa đại số và hình học, hoặc
số học và hình học. Sự phản đối này đã được đưa ra thậm chí vào thế kỷ XVI, khi đại số
đang phát triển. Ví dụ, Tartaglia nhấn mạnh vào sự phân biệt giữa các phép toán Hy Lạp
với các đối tượng hình học và các phép toán với các con số. Ông khiển trách một dịch giả
của Euclid vì đã sử dụng phép nhân và phép nhân có thể hoán đổi cho nhau. Ông nói, cái
đầu tiên thuộc về những con số, và cái thứ hai thuộc về độ lớn. Victa cũng coi các ngành
khoa học về số và cường độ hình học là song song nhưng khác biệt. Ngay cả Newton, trong
cuốn Arithmetica Universalis, cũng phản đối việc nhầm lẫn giữa đại số và hình học, mặc
dù ông đã góp phần phối hợp hình học và sử dụng nó trong phép tính. Ông nói,
Các phương trình là các biểu thức tính toán số học và không có chỗ đứng
trong hình học ngoại trừ trong chừng mực các đại lượng hình học thực sự (nghĩa là
các đường thẳng, bề mặt, khối và tỷ lệ) do đó được thể hiện bằng nhau, một số so
với các đại lượng khác. Các phép nhân, chia và tính toán kiểu đó gần đây đã được
đưa vào hình học một cách thiếu thận trọng và đi ngược lại các nguyên tắc đầu tiên
của khoa học này.... Vì vậy, không nên nhầm lẫn hai ngành khoa học này, và các thế

26. P a g e 26 | 36
hệ gần đây do nhầm lẫn chúng đã đánh mất sự đơn giản trong đó tất cả sự sang trọng
hình học có.
Một cách giải thích hợp lý về quan điểm của Newton là ông muốn tách đại số ra khỏi hình
học cơ bản nhưng lại thấy việc xử lý các đường cong hình nón và các đường cong bậc cao
hơn là hữu ích.
Vẫn còn một lý do khác dẫn đến sự chậm trễ trong việc chấp nhận hình học tọa độ
là sự phản đối sự thiếu chặt chẽ trong đại số. Chúng ta đã đề cập đến việc Barrow không
sẵn lòng chấp nhận các số vô tỉ hơn là các ký hiệu cho các đại lượng hình học liên tục
(Chương 13, phần 2). Số học và đại số tìm thấy sự biện minh hợp lý của chúng trong hình
học; do đó đại số không thể thay thế hình học hoặc tồn tại ở dạng bằng của nó. Triết gia
Thomas Hobbes (1588-1679), dù chỉ là một nhân vật thứ yếu trong toán học, tuy nhiên đã
lên tiếng bênh vực nhiều nhà toán học khi ông phản đối “cả đàn người áp dụng đại số của
họ vào hình học". Hobbes nói rằng những nhà đại số này đã nhầm lẫn các ký hiệu với hình
học và mô tả cuốn sách về đường nón của John Wallis là bệnh scurvy và là "căn bệnh ghẻ
của ký hiệu".
Bất chấp những trở ngại trong việc đánh giá cao những gì Descartes và Fermat đã
đóng góp, một số người dần dần tham gia và mở rộng hợp tác hình học tọa độ. Nhiệm vụ
đầu tiên là giải thích ý tưởng của Descartes. Một bản dịch tiếng Latinh La Géométrie của
Frans van Schooten (1615-60), xuất bản lần đầu vào năm 1649 và được tái bản nhiều lần,
cuốn sách không chỉ được phổ biến ở một ngôn ngữ mà tất cả các học giả đều có thể đọc
được nhưng chứa đựng một lời bình luận mở rộng cách trình bày cô đọng của Descartes.
Trong ấn bản năm 1659-61, van Schooten thực sự đã đưa ra dạng đại số của phép biến đổi
tọa độ từ đường cơ sở này (trục 𝑥) sang đường cơ sở khác. Ông rất ấn tượng với sức mạnh
của phương pháp của Descartes đến nỗi ông tuyên bố rằng các nhà hình học Hy Lạp đã sử
dụng nó để thu được kết quả của họ. Nhờ có công trình đại số, người Hy Lạp, theo van
Schooten, đã biết cách thu được kết quả tổng hợp - ông đã chỉ ra cách thực hiện điều này
và sau đó công bố các phương pháp tổng hợp của họ, ít dễ thấy hơn so với đại số, để khiến

27. P a g e 27 | 36
cả thế giới phải ngạc nhiên. Van Schooten có thể đã bị nhầm lẫn bởi từ "phân tích", mà đối
với người Hy Lạp có nghĩa là phân tích một vấn đề, và thuật ngữ "hình học phân tích", mô
tả cụ thể việc sử dụng đại số của Descartes như một phương pháp.
John Wallis, trong De Secibus Conicis (1655), lần đầu tiên rút ra các phương trình
của đường conic bằng cách chuyển các điều kiện hình học của Apollonius sang dạng đại số
(giống như chúng ta đã làm ở Chương 4, mục 12) để làm sáng tỏ các kết quả của Apollonius.
Sau đó, ông định nghĩa đường cô-nic là các đường cong tương ứng với các phương trình
bậc hai theo 𝑥 và 𝑦 và chứng minh rằng những đường cong này thực sự là các đường cô-
nic như đã biết về mặt hình học. Ông có lẽ là người đầu tiên sử dụng các phương trình để
chứng minh tính chất của đường cô-nic. Cuốn sách của ông đã giúp ích rất nhiều cho việc
truyền bá ý tưởng về hình học tọa độ và phổ biến cách coi đường conic như những đường
cong trong mặt phẳng thay vì như những phần của hình nón, mặc dù cách tiếp cận sau vẫn
tồn tại. Hơn nữa, Wallis nhấn mạnh giá trị của lý luận đại số trong khi Descartes, ít nhất là
trong Géométrie của ông, thực sự dựa trên hình học, coi đại số chỉ là một công cụ. Wallis
cũng là người đầu tiên giới thiệu các trục hoành và tọa độ âm một cách có ý thức. Newton,
người thực hiện việc này sau này, có thể đã lấy ý tưởng từ Wallis. Chúng ta có thể đối chiếu
nhận xét của van Schooten về phương pháp với nhận xét của Wallis, người nói rằng
Archimedes và gần như tất cả người xưa đã giấu kín phương pháp khám phá và phân tích
của mình với hậu thế, đến nỗi người hiện đại thấy việc phát minh ra một phân tích mới dễ
dàng hơn là tìm ra cái cũ.

28. P a g e 28 | 36
Phương pháp dòng chảy và chuỗi vô hạn của Newton, viết khoảng năm 1671 nhưng
được xuất bản lần đầu tiên trong bản dịch tiếng Anh bởi John Colson (mất 1760) với tựa đề
trên vào năm 1736, chứa đựng nhiều ứng dụng của hình học tọa độ, chẳng hạn như phác
họa các đường cong từ các phương trình. Một trong những ý tưởng ban đầu mà nó đưa ra
là việc sử dụng các hệ tọa độ mới. Thế kỷ XVII và thậm chí nhiều người ở thế kỷ XVIII
thường sử dụng một trục, với các giá trị y được vẽ nghiêng hoặc vuông góc với trục đó.
Trong số các hệ tọa độ mới được Newton giới thiệu có vị trí của các điểm bằng cách tham
chiếu đến một điểm cố định và một đường cố định đi qua điểm đó. Sơ đồ về cơ bản là hệ
tọa độ cực của chúng ta. Cuốn sách chứa nhiều biến thể về ý tưởng tọa độ cực. Newton
cũng giới thiệu tọa độ lưỡng cực. Trong sơ đồ này, một điểm được xác định theo khoảng
cách của nó với hai điểm cố định (Hình 15.7). Bởi vì công trình này của Newton đã làm
không được biết đến cho đến năm 1736, công lao cho việc phát hiện ra tọa độ cực thường
được trao cho James (Jakob) Bernoulli, người đã xuất bản một bài báo về kế hoạch này
trong Acta Eruditorum năm 1691.
Nhiều đường cong mới và phương trình của chúng đã được giới thiệu. Năm 1694
Bernoulli giới thiệu lemniscate, phương pháp đóng vai trò quan trọng trong phân tích thế

29. P a g e 29 | 36
kỷ 18. Đường cong này là trường hợp đặc biệt của một lớp đường cong được gọi là hình
bầu dục Cassinian (các đường cong tổng quát) được Jean-Dominique Cassini (1625-1712)
giới thiệu, mặc dù chúng không xuất hiện trên bản in cho đến khi con trai ông là Jacques
(1677-1756) xuất bản cuốn Eléments d'astronomie vào năm 1749. Các hình bầu dục
Cassinian (Hình 15.8) được xác định bởi điều kiện là tích 𝑟1𝑟2 của khoảng cách của bất kỳ
điểm nào trên đường cong đến hai điểm cố định 𝑆1 và 𝑆2 bằng 𝑏2
trong đó 𝑏 là một hằng
số. Gọi khoảng cách 𝑆1𝑆2 là 2𝑎. Khi đó nếu 𝑏 > 𝑎 chúng ta có hình bầu dục không tự giao
nhau. Nếu 𝑏 = 𝑎 chúng ta thu được lemniscate do James Bernoulli giới thiệu. Và nếu 𝑏 <
𝑎 chúng ta sẽ có hai hình bầu dục riêng biệt. Phương trình tọa độ hình chữ nhật của các
hình bầu dục Cassinian là bậc bốn. Chính Descartes đã giới thiệu đường xoắn ốc logarit,
trong tọa độ cực có phương trình 𝜌 = 𝑎𝜃
, và phát hiện ra nhiều tính chất của nó. Vẫn còn
những đường cong khác, trong số đó có đường dây xích và đường cycloid, sẽ được ghi nhận
trong các kết nối khác.
Sự khởi đầu của việc mở rộng hình học tọa độ sang không gian ba chiều được thực
hiện vào thế kỷ XVII. Trong Quyển II của Géométrie Descartes nhận xét rằng ý tưởng của
ông có thể dễ dàng áp dụng cho tất cả những đường cong có thể được hình thành như được
tạo ra bởi những chuyển động đều đặn của một điểm trong không gian ba chiều. Để biểu
diễn những đường cong như vậy bằng đại số, kế hoạch của ông là thả các đường vuông góc
từ mỗi điểm của đường cong lên hai mặt phẳng giao nhau ở các góc vuông (Hình 15.9).
Mỗi đầu của các đường vuông góc này sẽ mô tả một đường cong trong mặt phẳng tương

30. P a g e 30 | 36
ứng. Những đường cong mặt phẳng này sau đó có thể được xử lý bằng phương pháp đã
cho. Trước đó trong Quyển II Descartes đã nhận xét rằng một phương trình gồm ba ẩn số
để xác định điểm C điển hình của một quỹ tích biểu thị một mặt phẳng, một hình cầu hoặc
một bề mặt phức tạp hơn. Rõ ràng là ông đánh giá cao rằng phương pháp của ông có thể
được mở rộng cho các đường cong và bề mặt trong không gian ba chiều, nhưng bản thân
ông không tiến xa hơn với việc mở rộng.
Fermat, trong một bức thư năm 1643, đã đưa ra một bản phác thảo ngắn gọn về ý
tưởng của ông về hình học giải tích ba chiều. Ông nói về các bề mặt hình trụ, các parabol
hình elip, các hyperboloid của hai tấm và các hình elip. Sau đó ông nói rằng, để hoàn thiện
việc giới thiệu các đường cong phẳng, người ta nên nghiên cứu các đường cong trên các bề
mặt. "Lý thuyết này có thể được xử lý bằng một phương pháp chung mà nếu rành tôi sẽ giải
thích." Trong một tác phẩm dài nửa trang, Novus Secundarum,", ông nói rằng một phương
trình ba ẩn sẽ cho một mặt phẳng.
La Hire, trong tác phẩm Nouveaux élémens dessections coniques (1679), đã nói cụ
thể hơn một chút về hình học tọa độ ba chiều. Để biểu diễn một mặt phẳng, đầu tiên ông
biểu diễn một điểm P trong không gian bằng ba tọa độ được chỉ ra trong Hình 15.10 và thực
sự viết phương trình của một mặt phẳng. Tuy nhiên, sự phát triển của hình học tọa độ ba
chiều là công trình của thế kỷ 18 và sẽ được thảo luận sau.

31. P a g e 31 | 36
6. TẦM QUAN TRỌNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ
Do thực tế là đại số đã có những tiến bộ đáng kể trước khi Fermat và Descartes bước
vào lĩnh vực toán học, hình học tọa độ không phải là một thành tựu kỹ thuật lớn. Đối với
Fermat, đó là cách diễn đạt đại số của Apollonius. Với Descartes, nó nảy sinh như một
khám phá gần như tình cờ khi ông tiếp tục công việc của Vieta và những người khác trong
việc đẩy nhanh việc giải các bài toán xây dựng xác định bằng cách đưa vào đại số. Nhưng
hình học tọa độ đã thay đổi bộ mặt của toán học.
Bằng cách lập luận rằng đường cong là bất kỳ quỹ tích nào có phương trình đại số,
Descartes đã mở rộng một cách nhanh chóng lĩnh vực toán học. Khi xem xét sự đa dạng
của các đường cong đã được chấp nhận và sử dụng trong toán học và so sánh tập hợp này
với những gì người Hy Lạp đã chấp nhận, người ta sẽ thấy việc vượt qua các rào cản của
Hy Lạp quan trọng như thế nào.
Thông qua hình học tọa độ Descartes tìm cách giới thiệu phương pháp vào hình học.
Ông đã đạt được nhiều hơn những gì ông tưởng tượng. Ngày nay người ta thường nhận ra
rằng không chỉ người ta có thể chứng minh dễ dàng đến mức nào, với sự trợ giúp của đại
số, bất kỳ số sự kiện nào về đường cong, mà còn nhận ra rằng phương pháp tiếp cận vấn đề
gần như tự động. Phương pháp này thậm chí còn mạnh mẽ hơn. Khi các chữ cái bắt đầu
được Wallis và Newton sử dụng để biểu thị các số dương và âm và sau đó là cả số phức,
người ta có thể gộp nhiều trường hợp vào một cách xử lý đại số mà hình học thuần túy sẽ
phải xử lý riêng biệt. Ví dụ, trong hình học tổng hợp, để chứng minh rằng các đường cao
của một tam giác hội tụ tại một điểm, các giao điểm bên trong và bên ngoài tam giác được
xem xét riêng biệt. Trong hình học tọa độ chúng được xem xét cùng nhau.
Hình học tọa độ đã biển toán học thành một con dao hai lưỡi. Các khái niệm hình
học có thể được xây dựng theo các mục tiêu đại số và hình học đạt được thông qua đại số.
Ngược lại, bằng cách diễn giải các phát biểu đại số về mặt hình học, người ta có thể nắm
bắt được ý nghĩa của chúng một cách trực quan cũng như những gợi ý để suy ra các kết
luận mới. Những thuộc tính này đã được Lagrange trích dẫn trong cuốn Leçons

32. P a g e 32 | 36
élémentaires sur les mathématiques của ông: 12 "Chừng nào đại số và hình học còn đi theo
những con đường riêng biệt thì sự phát triển của chúng rất chậm và ứng dụng của chúng
còn hạn chế. Nhưng khi hai ngành khoa học này kết hợp với nhau, chúng đã thu hút lẫn
nhau sức sống tươi mới và từ đó tiến lên với tốc độ nhanh chóng hướng tới sự hoàn hảo."
Quả thực, sức mạnh to lớn của toán học được phát triển từ thế kỷ XVII trở đi phải được
quy cho, ở một mức độ rất lớn, là hình học tọa độ.
Ưu điểm quan trọng nhất của hình học tọa độ là nó cung cấp cho khoa học cơ sở
toán học mà nó luôn vô cùng cần thiết và trong thế kỷ XVII, nó đã trở thành những công
cụ định lượng được yêu cầu rộng rãi. Việc nghiên cứu thế giới vật chất dường như chủ yếu
hướng tới hình học. Các vật thể về cơ bản là những hình hình học và đường đi của các vật
thể chuyển động là những đường cong. Quả thực, chính Descartes đã nghĩ rằng toàn bộ vật
lý có thể được quy giản đến hình học. Nhưng, như chúng tôi đã chỉ ra, việc sử dụng khoa
học trong trắc địa, dẫn đường, tính lịch, dự đoán thiên văn, chuyển động của vật phóng, và
ngay cả việc thiết kế thấu kính, do chính Descartes thực hiện, cũng đòi hỏi kiến thức định
lượng. Hình học tọa độ giúp biểu diễn các hình dạng và đường đi ở dạng đại số, từ đó có
thể rút ra kiến thức định lượng.
Do đó, đại số, thứ mà Descartes từng nghĩ chỉ là một công cụ, một phần mở rộng
của logic hơn là một phần của toán học thực sự, đã trở nên quan trọng hơn hình học. Trên
thực tế, hình học tọa độ đã mở đường cho sự đảo ngược hoàn toàn vai trò của đại số và hình
học. Trong khi từ thời Hy Lạp cho đến khoảng năm 1600, hình học đã thống trị toán học
và đại số chỉ là thứ yếu, thì sau năm 1600 đại số đã trở thành môn toán cơ bản; trong sự
chuyển đổi vai trò này, phép tính là yếu tố quyết định. Sự phát triển vượt trội của đại số đã
làm tang thêm khó khăn mà chúng ta đã kêu gọi chú ý, cụ thể là không có nền tảng logic
cho số học và đại số; nhưng không có gì được thực hiện cho đến cuối thế kỷ 19.
Việc đại số được xây dựng trên cơ sở thực nghiệm đã dẫn đến sự nhầm lẫn về thuật
ngữ toán học. Chủ đề do Fermat và Descartes tạo ra thường được gọi là hình học giải tích.
Từ "phân tích" là không phù hợp; hình học tọa độ hoặc hình học đại số (hiện nay có ý nghĩa

33. P a g e 33 | 36
khác) sẽ phù hợp hơn. Từ "phân tích" đã được sử dụng từ thời Plato để chỉ quá trình phân
tích bằng cách làm việc ngược từ những gì cần được chứng minh cho đến khi người ta đạt
đến một điều gì đó đã biết. Theo nghĩa này, nó trái ngược với “tổng hợp", vốn mô tả cách
trình bày suy diễn. Khoảng năm 1590 Vieta bác bỏ từ "đại số" vì không có ý nghĩa trong
ngôn ngữ châu Âu và đề xuất thuật ngữ "phân tích" (Chương 13, mục 8); đề nghị đã không
được thông qua. Tuy nhiên, đối với ông và đối với Descartes, từ "phân tích” vẫn phần nào
thích hợp để mô tả ứng dụng của đại số vào hình học vì đại số dùng để phân tích bài toán
xây dựng hình học. Người ta giả sử đã biết độ dài hình học mong muốn, tìm ra một phương
trình thỏa mãn độ dài này, xử lý phương trình và sau đó xem cách xây dựng độ dài cần
thiết. Vì vậy, Jacques Ozanam (1640-1717) đã nói trong Dictionary (1690) rằng những
người hiện đại đã phân tích bằng đại số. Trong cuốn Bách khoa toàn thư nổi tiếng thế kỷ
18, d'Alembert đã sử dụng "đại số" và "phân tích" làm từ đồng nghĩa. Dần dần, "phân tích"
có nghĩa là phương pháp đại số, mặc dù hình học tọa độ mới, cho đến khoảng cuối thế kỷ
18, thường được mô tả một cách chính thức nhất là ứng dụng của đại số vào hình học. Vào
cuối thế kỷ này, thuật ngữ "hình học giải tích" đã trở thành tiêu chuẩn và thường được sử
dụng trong các đầu sách.
Tuy nhiên, khi đại số trở thành môn học chủ đạo, các nhà toán học coi nó có chức
năng lớn hơn nhiều so với việc phân tích một vấn đề theo nghĩa Hy Lạp. Vào thế kỷ 18,
quan điểm cho rằng đại số khi được áp dụng vào hình học không chỉ là một công cụ - bản
thân đại số còn là một công cụ cơ bản phương pháp giới thiệu và nghiên cứu các đường
cong và bề mặt (khung nhìn được cho là của Fermat chứ không phải của Descartes) – đã
thắng nhờ công trình của Euler, Lagrange và Monge. Do đó thuật ngữ "hình học giải tích"
ngụ ý chứng minh cũng như việc sử dụng phương pháp đại số. Do đó, bây giờ chúng ta nói
về hình học giải tích thay vì hình học tổng hợp, và chúng ta không còn muốn nói rằng một
phương pháp là một phương pháp phát minh còn phương pháp kia là phương pháp chứng
minh. Cả hai đều có tính suy diễn.

34. P a g e 34 | 36
Trong khi đó, phép tính và các phần mở rộng như chuỗi vô hạn đã đi vào toán học.
Cả Newton và Leibniz đều coi phép tính là một phần mở rộng của đại số; đó là đại số của
vô hạn, hay đại số xử lý vô số số hạng, như trong trường hợp chuỗi vô hạn. Cuối năm 1797,
Lagrange, trong cuốn Théorie des fonctions analyzes, đã nói rằng phép tính và sự phát triển
của nó chỉ là sự khái quát hóa của đại số cơ bản. Vì đại số và giải tích là từ đồng nghĩa nên
phép tính được gọi là phân tích. Trong một văn bản giải tích nổi tiếng năm 1748, Euler đã
sử dụng thuật ngữ “phân tích vi phân vô hạn" để mô tả phép tính. Thuật ngữ này được sử
dụng cho đến cuối thế kỷ 19, khi từ "phân tích" được sử dụng để mô tả phép tính và các
nhánh toán học được xây dựng trên đó. Do đó, chúng ta gặp phải một tình huống khó hiểu
trong đó thuật ngữ “giải tích” bao hàm mọi sự phát triển dựa trên các giới hạn, nhưng “hình
học giải tích" không bao hàm giới hạn nào.

35. P a g e 35 | 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Boyer, Carl B.: History of Analytic Geometry, Scripta Mathematica, 1956.
2. Cantor, Moritz: Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, 2nd ed., B. G. Teubner,
1900, Johnson Reprint Corp., 1965, Vol. 2, pp. 806-76.
3. Chasles, Michel: Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en
géométrie, 3rd ed., Gauthier-Villars et Fils, 1889, Chaps. 2-3 and relevant notes.
4. Coolidge, Julian L.: A History of Geometrical Methods, Dover (reprint), 1963, pp. 117-
31.
5. Descartes, René: La Géométrie (French and English), Dover (reprint), 1954. : Œuvres,
12 vols., Cerf, 1897-1913.
6. Fermat, Pierre de: Œuvres, 4 vols. and Supplement, Gauthier-Villars, 1891-1912;
Supplement, 1922.
7. Montucla, J. F.: Histoire des mathématiques, Albert Blanchard (reprint), 1960, Vol. 2,
pp. 102-77.
8. Moris Kline: Mathematical thought from ancient to modern time, 1972, Oxford
University Press, Vol 1, pp. 302-324.
10. Scott, J. F.: The Scientific Work of René Descartes, Taylor and Francis, 1952.
11. Smith, David E.: A Source Book in Mathematics, Dover (reprint), 1959, Vol. 2, pp. 389-
402.
12. Struik, D. J.: A Source Book in Mathematics, 1200-1800, Harvard University Press,
1969, pp. 87-93, 143-57.
13. Wallis, John: Opera, 3 vols., (1693-99), Georg Olms (reprint), 1968.
14. Vrooman, Jack R.: René Descartes: A Biography, G. P. Putnam's Sons, 1970.

36. P a g e 36 | 36
15. Vuillemin, Jules: Mathématiques et métaphysique chez Descartes, Presses
Universitaires de France, 1960.