Nhận viết luận văn đại học, thạc sĩ trọn gói, chất lượng, LH ZALO=>0909232620 Tham khảo dịch vụ, bảng giá tại: https://vietbaitotnghiep.com/dich-vu-viet-thue-luan-van Download luận án tiến sĩ ngành toán học với đề tài: Giải gần đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn, cho các bạn làm luận án tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
NGUYỄN THANH HƯỜNG
GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HàNội - 2019

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
NGUYỄN THANH HƯỜNG
GIẢI GẦN ĐÚNG
MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP BỐN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mãsố: 9 46 01 12
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS. TS. Đặng Quang Á
2. TS. Vũ Vinh Quang
HàNội – 2019

3. LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi với sự hướng dẫn
khoa học của GS. TS. Đặng Quang Á và TS. Vũ Vinh Quang. Những kết quả trình
bày trong Luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công
trình của ai khác. Các kết quả thực nghiệm đã được kiểm tra bằng các chương
trình do chính tôi thiết kế và thử nghiệm trên môi trường MATLAB, số liệu là
hoàn toàn trung thực. Các kết quả được công bố chung đã được cán bộ hướng dẫn
và đồng tác giả cho phép sử dụng trong Luận án.
Nghiên cứu sinh
Nguyễn Thanh Hường
i

4. LỜI CẢM ƠN
Trước hết, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới các
Thầy hướng dẫn, GS. TS. Đặng Quang Á và TS. Vũ Vinh Quang. Trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu và thực hiện Luận án, các Thầy luôn kiên nhẫn, tận
tình chỉ bảo, dìu dắt và giúp đỡ em. Chính niềm say mê khoa học, sự nghiêm khắc
trong khoa học cùng với đó là sự quan tâm, động viên và khích lệ của các Thầy là
động lực khiến em không ngừng nỗ lực, cố gắng vượt qua mọi khó khăn, vất vả để
hoàn thành Luận án.
Em xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô và các thành viên trong nhóm Seminar
khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ thông tin, Viện
Công nghệ Thông tin cùng các cán bộ nghiên cứu. Những ý kiến nhận xét và đóng
góp vô cùng quý báu trong các buổi báo cáo và thảo luận đã giúp em hoàn thành
tốt nhất Luận án của mình.
Em xin chân thành cảm ơn cơ sở đào tạo - Viện Công nghệ Thông tin và Học
viện Khoa học và Công nghệ. Quý Viện và Học viện đã luôn tạo mọi điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành tốt quá trình học tập và nghiên cứu của mình tại đây.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến lãnh đạo Trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, các bạn bè đồng nghiệp, gia
đình và người thân đã luôn đồng hành, hỗ trợ, động viên, giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận án.
Xin chân thành cảm ơn!
ii

5. Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu
R Tập các số thực
R+
Tập các số thực không âm
C Tập các số phức
RK
Không gian Euclide K chiều
Ck
[a, b] Không gian các hàm có đạo hàm cho đến cấp k liên tục
trên [a, b]
C([0, ∞)) Không gian các hàm liên tục trên [0, ∞)
C(R) Không gian các hàm liên tục trên R
C([0, 1] × R) Không gian các hàm liên tục trên [0, 1] × R
C([a, b], K) Không gian các hàm liên tục f : [a, b] → K
C([a, b] × R4
, R) Không gian các hàm liên tục f : [a, b] × R4
→ R
Ω Miền giới nội
Γ Biên của miền Ω
Ω Bao đóng của miền Ω
C(Ω) Không gian các hàm liên tục trên Ω
C(Ω × R) Không gian các hàm liên tục trên Ω × R
C1
(Ω × R, R) Không gian các hàm f : Ω × R → R có các đạo hàm riêng
cấp một liên tục trên Ω × R
C2
(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục
trên Ω
C∞
(Γ) Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Γ
C∞
(Ω × R × R) Không gian các hàm khả vi vô hạn trên Ω × R × R
∆, ∆2
, Toán tử Laplace, toán tử song điều hòa, toán tử Gradient
Lq
(Ω) Không gian các hàm khả tích bậc q trên Ω
L∞
(Ω) Không gian các hàm bị chặn hầu khắp nơi trên Ω
x Chuẩn của phần tử x
x 2 Chuẩn trong không gian L2
của phần tử x
H2
(Ω) Không gian Sobolev các hàm có đạo hàm suy rộng
cho đến cấp hai thuộc L2
(Ω)
H1
0 (Ω) Không gian Sobolev các hàm triệt tiêu trên biên Ω,
có đạo hàm suy rộng cấp một thuộc L2
(Ω)
O(h) Vô cùng bé bậc cao hơn h
iii

6. Danh sách hình vẽ
2.1 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.1.2. . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.7 Đồ thị của r(K) trong Ví dụ 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.8 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.10 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.11 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.12 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.13 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.14 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.10. . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.15 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.16 Đồ thị của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.15. . . . . . . . . . . . . . 75
2.17 Đồ thị của các nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.16. . . . . . . . . . . . . . 76
2.18 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.19 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.20 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.21 Đồ thị của e(K) trong Ví dụ 2.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.22 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 2.20. . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương
pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 2π2
. . 111
3.2 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương
pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.1 với k = 1, σ = 12π2
. 111
3.3 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương
pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.1. . . . . . 112
3.4 Đồ thị của sai số e(m) của Phương pháp DIM2 (trái) và phương
pháp nhanh nhất của Wang (phải) trong Ví dụ 3.2 với k = 0.4. . . . . . 113
3.5 Đồ thị của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ 3.3 . . . . . . . . . . . 113
iv

7. 3.6 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.7 Đồ thị của sai số e(m) và tỉ số r(m) trong Ví dụ 3.4 . . . . . . . . . . . 114
3.8 Đồ thị nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.9 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.10 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.11 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.12 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.13 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.7. . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.14 Đồ thị của e(m) trong Ví dụ 3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.15 Đồ thị của nghiệm xấp xỉ trong Ví dụ 3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . 126
v

8. Danh sách bảng
2.1 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.13 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 74
2.5 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.14 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 74
2.6 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.15 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 75
2.7 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.16 với xấp xỉ đầu v0 = 0 . . . . . . . . . . . . . 75
2.8 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.9 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.21 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 95
2.10 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.22 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 96
2.11 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.23 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 96
2.12 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.24 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 97
2.13 Sự hội tụ trong Ví dụ 2.25 với xấp xỉ đầu u0 = 0, v0 = 0 . . . . . . . . 98
3.1 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.1 trên lưới đều 65 × 65 nút110
3.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp trong Ví dụ 3.2 . . . . . . . . . . . . . 112
3.3 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.4 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.6 Sự hội tụ trong Ví dụ 3.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
vi

9. Mục lục
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Lời cảm ơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
Danh mục các chữ viết tắt và các ký hiệu. . . . . . . . . . . . . . . . iii
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1. Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1. Giới thiệu chung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2. Định lý điểm bất động Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3. Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Hàm Green đối với một số bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3. Đạo hàm số, tích phân số với sai số cấp cao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1. Đạo hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương trình Poisson . 24
1.5. Phương pháp giải hệ phương trình lưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1. Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm . . . . . . . . . . . 26
1.5.2. Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ
ba điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Chương 2. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán
biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn 34
2.1. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường
phi tuyến cấp bốn địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1. Trường hợp điều kiện biên tổ hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2. Trường hợp điều kiện biên Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.1.3. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.2. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn không địa
phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.1. Trường hợp điều kiện biên dạng gối - tựa đơn giản. . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.2. Trường hợp điều kiện biên phi tuyến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
vii

10. Chương 3. Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải bài toán
biên phi tuyến cho phương trình đạo hàm riêng cấp bốn 100
3.1. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa . . . . . . . . . . . . . 100
3.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.1.2. Phương pháp giải và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.2. Bài toán biên phi tuyến cho phương trình song điều hòa loại Kirchhoff 115
3.2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.2. Phương pháp giải và ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Danh mục các công trình đã công bố của Luận án . . . . . . 129
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
viii

11. MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của Luận án
Nhiều hiện tượng trong Vật lý, Cơ học và một số lĩnh vực khác được mô hình
hóa bởi các bài toán biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình đạo
hàm riêng với các loại điều kiện biên khác nhau. Việc nghiên cứu định tính cũng
như phương pháp giải các bài toán này luôn là những chủ đề thu hút được nhiều sự
quan tâm của các nhà khoa học trong và ngoài nước như R.P. Agawarl, E. Alves,
P. Amster, Z. Bai, Y. Li, T.F. Ma, H. Feng, F. Minhós, Y.M. Wang, Đặng Quang
Á, Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Đông Anh, Nguyễn Hữu Công, Nguyễn Văn Đạo, Lê
Lương Tài, ... Sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương của nghiệm,
phương pháp lặp tìm nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân
thường, phương trình đạo hàm riêng cấp bốn đã được xét đến trong các công trình
của tác giả Đặng Quang Á và các cộng sự trong [17]-[24]. Tác giả Phạm Kỳ Anh
cũng có một số công trình nghiên cứu về tính giải được, cấu trúc tập nghiệm, các
phương pháp xấp xỉ nghiệm, ... của bài toán biên tuần hoàn (xem [10], [11]). Sự
tồn tại nghiệm, tồn tại nghiệm dương của các bài toán về dầm được xét đến trong
các công trình của tác giả T.F. Ma (xem [45]-[50]). Lý thuyết và vấn đề giải số các
bài toán biên tổng quát đã được đề cập đến trong các tài liệu [5], [12], [37], [60], ...
Trong số các bài toán biên, bài toán biên cho phương trình vi phân thường và
phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn nhận được sự quan tâm lớn
của các nhà nghiên cứu bởi chúng là mô hình toán học của nhiều hiện tượng trong
thực tiễn như sự uốn cong của dầm và của bản, ... Có thể chia phương trình vi
phân cấp bốn thành hai loại: Phương trình vi phân cấp bốn địa phương và phương
trình vi phân cấp bốn không địa phương. Phương trình vi phân cấp bốn có chứa
thành phần tích phân được gọi là phương trình vi phân cấp bốn không địa phương
hoặc phương trình loại Kirchhoff. Ngược lại, phương trình được gọi là phương trình
vi phân cấp bốn địa phương. Dưới đây, ta sẽ điểm qua một số phương pháp tiêu
biểu và một số công trình sử dụng các phương pháp này khi nghiên cứu các bài
toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến cấp bốn.
Phương pháp được kể đến đầu tiên là phương pháp biến phân - phương pháp
phổ biến nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài toán biên phi tuyến. Ý tưởng
1

12. của phương pháp là đưa bài toán ban đầu về bài toán tìm cực trị của một phiếm
hàm. Các định lý về điểm tới hạn được sử dụng trong nghiên cứu sự tồn tại cực trị
của phiếm hàm. Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn loại Kirchhoff
trong [45] năm 2000
u(4)
(x) − M
1
0
|u (s)|2
ds u (x) + f(x, u(x)) = 0, 0 < x < 1,
u (0) = u (1) = 0, u (0) = −g(u(0)), u (1) = g(u(1)),
trong đó M ∈ C([0, ∞)), f ∈ C([0, 1] × R), g ∈ C(R) và M(|s|) ≥ 0, g(s)s >
0, ∀s = 0. Bằng phương pháp biến phân, T.F. Ma chứng minh được sự tồn tại
nghiệm của bài toán với giả thiết F(x, t) → +∞ khi |t| → ∞, trong đó F(x, t) =
t
0 f(x, s)ds. Sau đó, trong [46] năm 2003, cũng bằng phương pháp biến phân, tác
giả thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán
u(4)
(x) − M
L
0
|u (s)|2
ds u (x) = f(x, u(x)), 0 < x < L,
u(0) = u (0) = u (L) = 0, u (L) − M
L
0
|u (s)|2
ds u (L) = g(u(L))
với các giả thiết ∃m0 ∈ [0, L−2
) sao cho M(s) ≥ −m0, ∀s ≥ 0; ∃α0, β0 > 0 sao cho
lim
|t|→∞
f(x, t)
t
= l(x) < α0, lim
|t|→∞
g(t)
t
= k > −β0;
và m0L2
+ α0L4
+ β0L3
< 1.
Năm 2016, trong [35], S. Heidarkhani và các cộng sự sử dụng phương pháp biến
phân đã chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán biên cho phương trình vi phân phi
tuyến cấp bốn địa phương với các điều kiện biên phi tuyến
u(4)
(x) = λf(x, u(x)) + µg(x, u(x)) + p(u(x)), 0 < x < 1,
u(0) = u (0) = 0, u (1) = 0, u (1) = h(u(1)),
trong đó λ > 0, µ ≥ 0, f, g thuộc lớp L2
các hàm Carathéodory, p, h là các hàm
liên tục Lipschitz, p(0) = h(0) = 0. Trong công trình này, các tác giả đặt ra rất
nhiều giả thiết phức tạp về điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của các hàm f, g, p, h.
Phương pháp biến phân không chỉ áp dụng đối với các bài toán biên cho phương
trình vi phân thường mà còn áp dụng với bài toán biên cho phương trình đạo hàm
riêng. Trong [57] năm 2010, R. Pei xét bài toán biên Navier cho phương trình song
điều hòa
∆2
u(x) = f(x, u), x ∈ Ω,
2

13. u = ∆u = 0, x ∈ Γ,
ở đây Ω là miền trơn, bị chặn trong RK
, K > 4. Sử dụng phương pháp biến phân,
tác giả đã chứng minh được rằng bài toán trên có ít nhất ba nghiệm không tầm
thường nếu hàm f thỏa mãn các điều kiện sau:
(B1) f ∈ C1
(Ω × R, R), f(x, 0) = 0, f(x, t)t ≥ 0, ∀x ∈ Ω, t ∈ R;
(B2) lim|t|→0(f(x, t)/t) = f0 < λ1, lim|t|→∞(f(x, t)/t) = λk, ở đây λ1 là giá trị
riêng thứ nhất, λk là giá trị riêng thứ k (với k ≥ 2) của (∆2
, H2
(Ω) ∩ H1
0 (Ω));
(B3) lim|t|→∞[f(x, t)t − 2F(x, t)] = −∞, ở đây F(x, t) =
t
0 f(x, s)ds.
Năm 2012, trong [66], F. Wang và Y. An xét bài toán biên cho phương trình
song điều hòa loại Kirchhoff
∆2
u = M
Ω
| u|2
dx ∆u + f(x, u), x ∈ Ω,
u = 0, ∆u = 0, x ∈ Γ.
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm không âm của bài toán trên, bằng phương pháp
biến phân, các tác giả đặt ra nhiều giả thiết về sự tăng trưởng tại vô cùng của hàm
f:
(B1’) f(x, t) ∈ C(Ω × R); f(x, t) ≡ 0, ∀x ∈ Ω, t ≤ 0; f(x, t) ≥ 0, ∀x ∈ Ω, t > 0;
(B2’) |f(x, t)| ≤ a(x) + b|t|p
, ∀t ∈ R, x ∈ Ω, ở đây a(x) ∈ Lq
(Ω), b ∈ R,
1 < p < K+4
K−4 nếu K > 4, 1 < p < ∞ nếu K ≤ 4 và 1
p + 1
q = 1;
(B3’) f(x, t) = O(|t|) khi t → 0, x ∈ Ω;
(B4’) Tồn tại hằng số Θ > 2, R > 2 sao cho ΘF(x, s) ≤ sf(x, s), ∀|s| ≥ R, ở
đây F(x, s) =
s
0 f(x, t)dt.
Ngoài các công trình nêu trên, có thể kể thêm nhiều công trình khác cũng áp
dụng phương pháp biến phân nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi
phân phi tuyến cấp bốn như [25], [33], [47], ... Mặc dù phương pháp biến phân là
một công cụ phổ biến và hữu hiệu khi nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các bài
toán biên tuy nhiên cũng phải để ý rằng, khi sử dụng phương pháp biến phân, với
các giả thiết về điều kiện tăng trưởng đặt lên hàm vế phải, các tác giả phần lớn là
xét sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại nhiều nghiệm của bài toán (có thể xét sự tồn tại
duy nhất của nghiệm trong trường hợp phiếm hàm lồi) nhưng lại không có ví dụ
nào về nghiệm tồn tại, đồng thời phương pháp giải bài toán cũng không được xét
đến.
Phương pháp tiếp theo được sử dụng rộng rãi là phương pháp nghiệm trên và
nghiệm dưới. Kết quả chính của phương pháp này khi áp dụng cho các bài toán
biên phi tuyến như sau: Nếu bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới thì với một số
giả thiết, bài toán có ít nhất một nghiệm và nghiệm này nằm trong khoảng nghiệm
trên và nghiệm dưới. Đồng thời ta có thể xây dựng được hai dãy đơn điệu với các
xấp xỉ đầu là nghiệm trên và nghiệm dưới hội tụ tới nghiệm cực đại và nghiệm cực
3

14. tiểu của bài toán. Trong trường hợp hai nghiệm cực đại và cực tiểu trùng nhau thì
bài toán có nghiệm duy nhất.
Sau đây ta điểm qua một số công trình sử dụng phương pháp nghiệm trên và
nghiệm dưới khi nghiên cứu các bài toán biên cho phương trình vi phân phi tuyến
cấp bốn.
Đầu tiên, xét bài toán trong công trình [14] năm 2007
u(4)
(x) = f(x, u(x), u (x), u (x), u (x)), 0 < x < 1,
u(0) = u (1) = u (0) = u (1) = 0.
Hàm α và β ∈ C3
[0, 1] ∩ C4
(0, 1) tương ứng được gọi là nghiệm trên và nghiệm
dưới của bài toán nếu
α(4)
(x) ≥ f(x, α(x), α (x), α (x), α (x)), 0 < x < 1,
α(0) = α (1), α (0) ≤ 0, α (1) ≤ 0,
β(4)
(x) ≤ f(x, β(x), β (x), β (x), β (x)), 0 < x < 1,
β(0) = β (1), β (0) ≥ 0, β (1) ≥ 0.
Trong công trình này, Z. Bai đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán với
giả thiết bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới α, β thỏa mãn điều kiện α ≤ β
đồng thời giả thiết thêm hàm f thỏa mãn điều kiện Nagumo tương ứng theo α , β ,
tức là tồn tại hàm dương h(z) trên [0, ∞) sao cho
|f(x, u, y, v, z)| ≤ h(|z|)
với mọi (x, u, y, v, z) ∈ [0, 1] × [−M, M]2
× [α , β ] × R và
∞
λ
s
h(s)
ds > max
0≤x≤1
β (x) − min
0≤x≤1
α (x),
trong đó
λ = max{|β (1) − α (0)|, |β (0) − α (1)|}.
Tiếp theo, xét công trình [31] của H. Feng và các cộng sự năm 2009 khi nghiên
cứu bài toán
u(4)
(x) = f(x, u(x), u (x), u (x), u (x)), 0 < x < 1,
u(0) = 0, u (1) = 0, au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = 0.
Hàm α và β ∈ C3
[0, 1] ∩ C4
(0, 1) tương ứng được gọi là nghiệm trên và nghiệm
dưới của bài toán nếu
α(4)
(x) ≥ f(x, α(x), α (x), α (x), α (x)), 0 < x < 1,
α(0) = 0, α (1) = 0, aα (0) − bα (0) ≤ 0, cα (1) + dα (1) ≤ 0,
β(4)
(x) ≤ f(x, β(x), β (x), β (x), β (x)), 0 < x < 1,
β(0) = 0, β (1) = 0, aβ (0) − bβ (0) ≥ 0, cβ (1) + dβ (1) ≥ 0.
(0.0.1)
4

15. Cũng với giả thiết bài toán có nghiệm trên và nghiệm dưới α, β thỏa mãn α ≤ β ,
hàm f thỏa mãn điều kiện Nagumo tương ứng theo α , β , đồng thời giả thiết hàm
f(x, u, y, v, z) giảm theo u, y, tăng chặt theo z, các tác giả thiết lập được sự tồn
tại duy nhất nghiệm của bài toán.
Năm 2006, trong công trình [68], Y.M. Wang xét bài toán
(k(x) u) = f(x, u, u), x ∈ Ω,
B[u] = g1(x), B[k u] = g2(x), x ∈ Γ,
ở đây Ω là miền bị chặn trong RK
với biên trơn Γ, là toán tử Laplace, k(x) ∈
C2
(¯Ω), k(x) ≥ k0 > 0, f ∈ C∞
(Ω×R×R), gi ∈ C∞
(Γ) và B là toán tử biên tuyến
tính xác định bởi
B[w] = w hoặc B[w] =
∂w
∂ν
+ β(.)w, β(x) ≥ 0 trên Γ, β ∈ C∞
(Γ).
Cặp hàm u, u ∈ C4
(Ω) ∩ C2
(¯Ω) được gọi là cặp nghiệm trên và dưới của bài toán
nếu u ≥ u, u ≤ u và
(k(x) u) ≥ f(x, u, u), (k(x) u) ≤ f(x, u, u), x ∈ Ω, u ≤ u ≤ u,
B[u] ≥ g1(x) ≥ B[u], B[k u] ≤ g2(x) ≤ B[k u], x ∈ Γ.
Tác giả đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm của bài toán và xây dựng được
hai dãy xấp xỉ hội tụ đơn điệu tới nghiệm với giả thiết bài toán có nghiệm trên,
nghiệm dưới và hàm f(x, u, v) là đơn điệu theo u.
Ngoài các công trình trên, ta có thể kể đến nhiều công trình sử dụng phương
pháp nghiệm trên và nghiệm dưới nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến (xem
[13], [29], [52], [67], [69], [70], ...). Từ các công trình trên ta thấy rằng, phương
pháp nghiệm trên và nghiệm dưới có thể thiết lập được sự tồn tại nghiệm, tính
duy nhất nghiệm, xây dựng được dãy lặp hội tụ tới nghiệm nhưng một giả thiết
không thể thiếu được là bài toán phải có nghiệm trên và nghiệm dưới, trong khi đó
tìm được các nghiệm này không phải là việc dễ dàng. Ngoài ra ta còn cần các giả
thiết khác đặt lên hàm vế phải như điều kiện tăng trưởng tại vô cùng hoặc điều
kiện phức tạp như điều kiện Nagumo ...
Ngoài phương pháp biến phân, phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, các nhà
khoa học còn dùng phương pháp sử dụng các định lý điểm bất động trong nghiên
cứu các bài toán biên phi tuyến. Áp dụng phương pháp này, người ta đưa bài toán
đã cho về bài toán tìm điểm bất động của một toán tử, sau đó áp dụng các định lý
điểm bất động đối với toán tử này. Ta có thể liệt kê rất nhiều công trình sử dụng
phương pháp trên (xem [4], [7], [50], [64], [65], ...). Cụ thể, công trình [4] năm 1984
của R.P. Agarwal và Y.M. Chow xét bài toán với điều kiện biên Dirichlet
u(4)
(x) = f(x, u, u , u , u ), a < x < b,
5

16. u(a) = A1, u (a) = A2, u(b) = B1, u (b) = B2.
Trong công trình này, các tác giả chỉ ra nghiệm của bài toán đã cho là điểm bất
động của toán tử T
Tu = P3(x) +
b
a
G(x, s)f(s, u, u , u , u )ds,
ở đây G(x, s) là hàm Green của bài toán u(4)
(x) = 0 với các điều kiện biên u(a) =
u (a) = u(b) = u (b) = 0, P3(x) là đa thức bậc ba thỏa mãn các điều kiện P3(a) =
A1, P3(a) = A2, P3(b) = B1, P3(b) = B2. Với một số giả thiết đặt lên hàm f, bằng
cách sử dụng Nguyên lý điểm bất động Schauder các tác giả đã chứng minh được
sự tồn tại nghiệm của bài toán, áp dụng định lý điểm bất động Banach cho ánh
xạ co, các tác giả chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán,
đồng thời xây dựng dãy lặp Picard với xấp xỉ đầu là một nghiệm xấp xỉ của bài
toán hội tụ tới nghiệm duy nhất này.
Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn loại Kirchhoff
u(4)
(x) − M
L
0
u 2
(s)ds u (x) = f(x, u(x), u (x)), 0 < x < L,
u(0) = u (0) = 0, u(L) = 0, u (L) = g(u (L))
trong công trình [50] của T.F. Ma và A.L.M. Martinez năm 2010. Các tác giả đã
đưa bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với ẩn hàm
u(x) = Tu(x) =
L
0
G(x, t)z(t)dt,
trong đó
z(t) =
L
0
G(t, s)f(s, u(s), u (s))ds − M( u 2
2)u(t) −
t
L
g(u (L)).
Sau đó áp dụng định lý điểm bất động Krasnosel’skii trên nón, các tác giả chứng
minh được sự tồn tại nghiệm dương của bài toán. Ngoài Định lý điểm bất động
Schauder, Định lý điểm bất động Krassnosel’skii, Định lý điểm bất động Banach,
trong bài báo năm 2008 của P. Amster [7] sau khi đưa bài toán ban đầu về phương
trình toán tử đối với ẩn hàm, tác giả sử dụng Định lý điểm bất động Leray-Schauder
kết hợp với lý thuyết bậc Brouwer thiết lập sự tồn tại nghiệm của bài toán
u(4)
(x) − Au (x) + g(x, u(x)) = 0, 0 < x < L,
u (0) = u (L) = 0, u (0) = −f(u(0)), u (L) = f(u(L)),
trong đó A là hằng số không âm, f, g là các hàm liên tục.
6

17. Chú ý rằng, trong các công trình áp dụng phương pháp điểm bất động nghiên
cứu các bài toán biên phi tuyến, phần lớn các tác giả sử dụng cách tiếp cận đưa
bài toán đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm. Sử dụng các định lý
về tồn tại điểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder, Leray-Schauder,
Krassnosel’skii, ... đối với toán tử này ta chỉ thiết lập được sự tồn tại nghiệm của
bài toán. Sử dụng Định lý điểm bất động Bannach, ta không những thiết lập được
sự tồn tại duy nhất nghiệm mà còn đưa ra được phương pháp lặp hội tụ cấp số
nhân tìm nghiệm. Tuy nhiên cũng phải để ý rằng, việc lựa chọn toán tử và xét
toán tử này trên một không gian phù hợp sao cho các giả thiết đặt lên các hàm
ràng buộc là đơn giản mà vẫn đảm bảo các điều kiện để áp dụng được các định
lý điểm bất động trong nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải các bài
toán biên phi tuyến đóng vai trò vô cùng quan trọng.
Một trong những phương pháp số phổ biến được sử dụng rộng rãi trong xấp xỉ
nghiệm của các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình
đạo hàm riêng phi tuyến cấp bốn là phương pháp sai phân hữu hạn (xem [46],
[53], [63], [70], ...). Bằng cách thay thế các đạo hàm bởi các công thức sai phân,
bài toán đã cho được rời rạc thành các hệ phương trình đại số. Giải hệ này ta thu
được nghiệm xấp xỉ của bài toán tại các nút lưới. Chú ý rằng khi sử dụng phương
pháp sai phân hữu hạn nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, nhiều công trình
tiếp cận theo hướng công nhận sự tồn tại nghiệm của bài toán (không xét về mặt
định tính), rời rạc hóa bài toán ngay từ ban đầu. Cách làm này có nhược điểm là
khó đánh giá được sự ổn định, hội tụ của lược đồ sai phân và khó có thể đánh giá
sai số giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ.
Khi nghiên cứu các bài toán biên phi tuyến, ngoài các phương pháp phổ biến
được trình bày ở trên còn có thể kể đến một số phương pháp khác như phương
pháp phần tử hữu hạn, phương pháp chuỗi Taylor, phương pháp chuỗi Fourier,
phương pháp sử dụng lý thuyết bậc Brouwer, bậc Leray-Schauder, ... Có thể kết
hợp các phương pháp nêu trên để nghiên cứu đầy đủ cả về mặt định tính lẫn định
lượng của bài toán.
Với sự phát triển không ngừng của khoa học, kỹ thuật, vật lý, cơ học, ... xuất
phát từ những bài toán thực tế, các bài toán biên mới được đặt ra ngày càng nhiều
và phức tạp trong cả phương trình lẫn điều kiện biên. Mỗi tác giả sẽ có phương
pháp, cách tiếp cận, kỹ thuật khác nhau với từng bài toán. Mỗi phương pháp đề ra
sẽ có những ưu điểm và hạn chế riêng và khó có thể khẳng định phương pháp nào
thực sự tốt hơn phương pháp nào từ lý thuyết cho đến thực nghiệm. Tuy nhiên,
chúng tôi sẽ hướng tới phương pháp nghiên cứu được toàn diện cả về mặt định
tính lẫn định lượng của các bài toán sao cho các điều kiện được đặt ra là đơn giản
và dễ kiểm tra, đưa ra những ví dụ minh họa cho tính ứng dụng của kết quả lý
thuyết, so sánh được kết quả chúng tôi đạt được so với kết quả đã có của một số
7

18. tác giả khác về một mặt nào đó.
Đây chính là mục đích và lí do chúng tôi lựa chọn đề tài Luận án "Giải gần
đúng một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân cấp bốn".
2. Mục tiêu và phạm vi nghiên cứu của Luận án
Đối với một số bài toán biên phi tuyến cho phương trình vi phân thường và
phương trình đạo hàm riêng cấp bốn là mô hình các bài toán trong lý thuyết uốn
của dầm và của bản:
- Nghiên cứu định tính (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính dương
của nghiệm) bằng cách sử dụng các định lý điểm bất động và nguyên lý cực đại
không cần đến điều kiện tăng trưởng tại vô cùng, điều kiện Nagumo, ... của hàm
vế phải.
- Xây dựng các phương pháp lặp giải bài toán.
- Đưa ra các ví dụ minh họa cho các kết quả lý thuyết, trong đó có những ví
dụ thể hiện ưu thế của phương pháp đề xuất so với phương pháp của một số tác
giả khác.
3. Phương pháp và nội dung nghiên cứu
- Sử dụng cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả đưa các bài toán biên phi
tuyến về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, sử
dụng các công cụ của toán giải tích, giải tích hàm, lý thuyết phương trình vi phân,
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và một số tính chất khác của
nghiệm của một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình
đạo hàm riêng cấp bốn địa phương và không địa phương.
- Đề xuất phương pháp lặp tìm nghiệm của các bài toán và chứng minh sự hội
tụ của phương pháp.
- Đưa ra một số ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết trước nghiệm đúng và
chưa biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng đắn của các kết quả lý
thuyết và kiểm tra sự hội tụ của các phương pháp lặp tìm nghiệm.
4. Kết quả đạt được của Luận án
Luận án đề xuất một phương pháp đơn giản nhưng rất hiệu quả nghiên cứu sự
tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp giải năm bài toán biên cho phương
trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương, không địa phương với các loại
điều kiện biên khác nhau và hai bài toán biên cho phương trình song điều hòa và
phương trình song điều hòa loại Kirchhoff nhờ sử dụng cách tiếp cận đưa bài toán
8

19. đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian.
Các kết quả đạt được là:
- Thiết lập được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán dưới các điều
kiện dễ kiểm tra, trong đó bài toán biên cho phương trình vi phân thường cấp bốn
địa phương với điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp và bài toán biên cho
phương trình song điều hòa, xét được tính dương của nghiệm.
- Đề xuất phương pháp lặp giải các bài toán này và chứng minh sự hội tụ của
phương pháp với tốc độ hội tụ cấp số nhân.
- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho khả năng ứng dụng của các kết quả lý
thuyết, trong đó có những ví dụ thể hiện ưu thế của phương pháp trong Luận án
so với phương pháp của một số tác giả khác.
- Đưa ra các thử nghiệm số kiểm tra sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm.
Luận án được viết trên cơ sở các bài báo [A1]-[A8] trong Danh mục các công
trình của tác giả liên quan đến Luận án.
5. Cấu trúc của Luận án
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung của Luận án được
trình bày trong 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức bổ trợ bao gồm: một số định lý điểm bất
động; hàm Green đối với một số bài toán; các công thức tính gần đúng đạo hàm
và tích phân với sai số cấp hai và cấp cao hơn; lược đồ sai phân với độ chính xác
cấp bốn cho phương trình Poisson và phương pháp giải hệ phương trình lưới. Đây
là những kiến thức cơ bản, có vai trò rất quan trọng, làm nền tảng cho Chương 2
và Chương 3 của Luận án.
Trong Chương 2, với cách tiếp cận đưa các bài toán biên phi tuyến về phương
trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian, Luận án thiết lập sự
tồn tại và duy nhất nghiệm đối với năm bài toán biên cho phương trình vi phân
thường phi tuyến cấp bốn địa phương và không địa phương với các điều kiện biên
khác nhau, trong đó với hai bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn địa
phương với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện biên tổ hợp, Luận án xét được
tính dương của nghiệm. Trên cơ sở phương trình toán tử, Luận án đề xuất phương
pháp lặp tìm nghiệm và chứng minh sự hội tụ với tốc độ hội tụ cấp số nhân của
phương pháp lặp. Luận án cũng đưa ra các ví dụ trong cả hai trường hợp đã biết
trước nghiệm đúng hoặc không biết trước nghiệm đúng để minh họa cho tính đúng
đắn của các kết quả lý thuyết và hiệu quả của phương pháp lặp. Chú ý rằng trong
các ví dụ này, một số ví dụ được phân tích để thấy được lợi thế trong phương pháp
đề xuất so với phương pháp của một số tác giả khác.
Tiếp tục phát triển các kỹ thuật của Chương 2, trong Chương 3, đối với hai
9

20. bài toán biên cho phương trình song điều hòa và phương trình song điều hòa loại
Kirchhoff, Luận án cũng thu được các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và
sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm.
Trong Luận án, các thực nghiệm tính toán được lập trình trong môi trường
MATLAB 7.0 trên máy tính PC với CPU Intel Core i3, 4GB RAM.
Các kết quả trong Luận án đã được báo cáo và thảo luận
tại:
1. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 11, Ba Vì, 24-27/4/2013.
2. Hội nghị toàn quốc lần thứ IV về Ứng dụng Toán học, Hà Nội, 23-25/12/2015.
3. Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 14, Ba Vì, 21-23/4/2016.
4. Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 12-13/11/2016.
5. Hội nghị Nghiên cứu cơ bản và ứng dụng Công nghệ Thông tin (FAIR’ 10),
Đà Nẵng, 17-18/8/2017.
6. The second Vietnam International Applied Mathematics Conference (VIAMC
2017), Ho Chi Minh, December 15 to 18, 2017.
7. Seminar khoa học của Phòng các Phương pháp Toán học trong Công nghệ
Thông tin, Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ
Việt Nam.
10

21. Chương 1
Kiến thức bổ trợ
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng trong các chương
tiếp theo của Luận án. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1],
[16], [34], [38], [39], [61], [62], [71].
1.1. Một số định lý điểm bất động
1.1.1. Giới thiệu chung
Định nghĩa 1.1. (Xem [34]) Giả sử X là không gian Banach, T là ánh xạ đi từ
X vào X hoặc là ánh xạ đi từ một tập con của X vào X. Điểm x ∈ X được gọi là
điểm bất động của T nếu x = Tx.
Các định lý điểm bất động đảm bảo sự tồn tại điểm bất động. Các định lý này
có tính ứng dụng cao trong việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của các phương
trình. Chẳng hạn như, xét phương trình
F(x) = 0,
ở đây F là một hàm thực hoặc tổng quát hơn là một toán tử trong không gian
Banach. Để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình trên ta chỉ cần chứng minh
ánh xạ
x → x − λT(x)F(x)
có điểm bất động, trong đó λ > 0 là một tham số, T(x) là toán tử tuyến tính khả
nghịch. Để đảm bảo sự tồn tại điểm bất động ta phải quan tâm đến các điều kiện
đặt lên ánh xạ cũng như các điều kiện đặt lên miền xác định của ánh xạ đó.
Định nghĩa 1.2. (Xem [34]) Không gian Banach X được gọi là có tính chất điểm
bất động nếu mọi ánh xạ liên tục từ X vào X đều có điểm bất động.
Ví dụ 1.1. Bất kỳ khoảng đóng, bị chặn J = [a, b] ⊂ R đều là không gian có tính
chất điểm bất động. Thật vậy, với ánh xạ liên tục bất kỳ
f : J → J
11

22. ta đều có
a − f(a) ≤ 0, b − f(b) ≥ 0.
Do đó phương trình
x − f(x) = 0
có ít nhất một nghiệm thuộc J, nghiệm này chính là điểm bất động của f.
Ví dụ 1.2. Tổng quát hơn Ví dụ 1.1, Định lý điểm bất động Brouwer khẳng định:
mọi tập khác rỗng, lồi, compact trong RK
(K ≥ 1) đều là không gian có tính chất
điểm bất động.
Định nghĩa 1.3. (Xem [34]) Giả sử X là không gian Banach, ℵ là lớp các ánh xạ
liên tục f : X → X. Nếu mỗi f ∈ ℵ đều có điểm bất động thì X được gọi là không
gian có tính chất điểm bất động đối với lớp các ánh xạ thuộc ℵ.
Ví dụ 1.3. Mọi tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X đều
là không gian có tính chất điểm bất động đối với lớp các ánh xạ compact (theo
Định lý điểm bất động Schauder).
Ví dụ 1.4. Không gian mêtric đầy đủ là không gian có tính chất điểm bất động
đối với lớp các ánh xạ co (theo Định lý điểm bất động Banach).
Định lý điểm bất động Brouwer, Schauder và Định lý điểm bất động Banach sẽ
được trình bày chi tiết hơn trong phần tiếp theo bởi tính ứng dụng rộng rãi của
chúng cũng như để phục vụ cho các kết quả chính của Luận án.
Ngoài ba định lý nêu trên ta phải kể đến một số định lý quan trọng khác: Định
lý điểm bất động Leray-Schauder áp dụng đối với toán tử compact trong không
gian Banach, Định lý điểm bất động Bourbaki-Kneser cho các ánh xạ đơn điệu
giảm trên các tập sắp thứ tự một phần, các định lý điểm bất động trên không
gian Banach sắp thứ tự, Định lý điểm bất động Krassnosel’skii áp dụng với toán
tử compact trên nón trong không gian Banach, ... (các định lý này có thể xem chi
tiết trong [71]).
1.1.2. Định lý điểm bất động Schauder
Trước tiên ta xét một phiên bản của Định lý điểm bất động Schauder trong
không gian hữu hạn chiều:
Định lý 1.1. (Xem [71]) (Định lý điểm bất động Brouwer (1912))
Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, compact của RK
, trong đó K ≥ 1 và f : D → D
là ánh xạ liên tục. Khi đó f có điểm bất động.
12

23. Ứng dụng đặc biệt quan trọng của Định lý điểm bất động Brouwer là Nguyên
lý tồn tại nghiệm cho hệ phương trình trong không gian hữu hạn chiều - Nguyên
lý có vai trò quan trọng trong phương pháp Galerkin cho toán tử đơn điệu (xem
trong [71]). Tuy nhiên, Định lý điểm bất động Brouwer có một hạn chế là chỉ áp
dụng với các ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Khi xét sự tồn tại
nghiệm của các phương trình, ta thường xét trên các không gian hàm là các không
gian Banach vô hạn chiều. Lúc này ta cần đến phiên bản mở rộng của Định lý
Brouwer áp dụng với các toán tử trong không gian vô hạn chiều - Định lý điểm
bất động Schauder.
Định nghĩa 1.4. (Xem [71]) Cho X, Y là các không gian Banach. Toán tử T :
D ⊂ X → Y được gọi là compact nếu
(i) T liên tục;
(ii) T ánh xạ mọi tập bị chặn vào tập compact tương đối.
Ví dụ 1.5. (Xem [71]) Cho hàm liên tục
K : [a, b] × [a, b] × [−R, R] → K,
trong đó −∞ < a < b < +∞, 0 < R < ∞ và K = R, C. Ký hiệu
D = {x ∈ C([a, b], K) : x ≤ R},
ở đây x = maxa≤s≤b |x(s)|.
Khi đó các toán tử tích phân
(Tx)(t) =
b
a
K(t, s, x(s))ds,
(Sx)(t) =
t
a
K(t, s, x(s))ds, ∀t ∈ [a, b]
ánh xạ D vào C([a, b], K) là các toán tử compact.
Ví dụ 1.6. (Xem [38, Định lý 1, Mục 31])
Công thức
y(t) =
b
a
K(t, s)x(s)ds
xác định một toán tử compact Tx = y trong không gian C[a, b] nếu hàm K(t, s)
giới nội trong hình vuông a ≤ t ≤ b, a ≤ s ≤ b và tất cả các điểm gián đoạn của
hàm K(t, s) nằm trên một số hữu hạn các đường cong
s = ϕk(t), k = 1, 2, ..., m,
ở đây ϕk là các hàm liên tục.
13

24. Định lý 1.2. (Xem [71]) (Định lý điểm bất động Schauder (1930))
Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X và
T : D → D là toán tử compact. Khi đó T có điểm bất động.
Định lý 1.3. (Xem [71]) (Phiên bản khác của Định lý điểm bất động Schauder)
Giả sử D là tập con khác rỗng, lồi, compact trong không gian Banach X và T :
D → D là toán tử liên tục. Khi đó T có điểm bất động.
Một ứng dụng cơ bản đầu tiên phải kể đến của Định lý điểm bất động Schauder
là Định lý Peano về sự tồn tại nghiệm của bài toán giá trị ban đầu đối với phương
trình vi phân cấp một. Ngoài ra, định lý này còn có nhiều ứng dụng quan trọng
khác trong giải tích hàm và giải tích số như chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương
trình tích phân với tham số bé
x(t) = µ
b
a
F(t, s, x(s))ds +
b
a
G(t, s, x(s))ds + αg(t),
sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình tích phân và hệ phương trình vi phân ...
(xem [71]).
1.1.3. Định lý điểm bất động Banach
Khác với Định lý điểm bất động Brouwer và Định lý điểm bất động Schauder,
Định lý điểm bất động Banach không những khẳng định sự tồn tại mà còn chỉ ra
sự duy nhất của điểm bất động, đồng thời cho ta phương pháp lặp tìm điểm bất
động. Từ đánh giá sai số hậu nghiệm, với sai số cho phép, ta có thể xác định được
giá trị xấp xỉ của điểm bất động. Từ đánh giá sai số tiên nghiệm ta có thể ước
lượng được số lần lặp để đạt được độ chính xác cho trước.
Định nghĩa 1.5. (Xem [71]) Toán tử T : D ⊆ X → X trên không gian mêtric
(X, d) được gọi là co với hệ số q khi và chỉ khi tồn tại 0 ≤ q < 1 sao cho
d(Tx, Ty) ≤ qd(x, y), ∀x, y ∈ D.
Ta kiểm tra với điều kiện nào thì phương trình điểm bất động
x = Tx, x ∈ D (1.1.1)
có thể giải được bằng các xấp xỉ liên tiếp
xk+1 = Txk, k = 0, 1, 2, ..., x0 ∈ D.
Câu trả lời được thể hiện qua định lý điểm bất động Banach sau:
14

25. Định lý 1.4. (Xem [71]) (Định lý điểm bất động Banach (1922))
Giả sử
(i) D là tập đóng, khác rỗng trong không gian mêtric đầy đủ (X, d);
(ii) T : D → D là một ánh xạ từ D vào chính nó;
(iii) T là một ánh xạ co với hệ số co q.
Khi đó
a) Sự tồn tại và duy nhất nghiệm: T có duy nhất một điểm bất động trên D, tức
là phương trình (1.1.1) có duy nhất nghiệm x.
b) Sự hội tụ của phương pháp lặp: với mọi xấp xỉ ban đầu x0 tùy ý trong D, dãy
xấp xỉ liên tiếp {xk} hội tụ tới nghiệm x.
c) Đánh giá sai số: Với mọi k = 0, 1, 2, ... ta có đánh giá sai số tiên nghiệm
d(xk, x) ≤
qk
1 − q
d(x0, x1)
và đánh giá sai số hậu nghiệm
d(xk+1, x) ≤
q
1 − q
d(xk, xk+1).
d) Tốc độ hội tụ: Với mọi k = 0, 1, 2, ... ta có
d(xk+1, x) ≤ qd(xk, x).
Như vậy Định lý điểm bất động Banach có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong
giải gần đúng các phương trình phi tuyến. Ngoài ra ta có thể kể đến một số ứng
dụng khác của định lý này: chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán
giá trị đầu cho phương trình vi phân cấp một (Định lý Picard–Lindel¨of); ứng dụng
trong việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính, giải hệ phương trình phi tuyến,
giải phương trình tích phân tuyến tính, giải phương trình toán tử tuyến tính, ...
Trong thực tế khi áp dụng các định lý điểm bất động vào việc giải các bài toán
biên phi tuyến, ta thường đưa bài toán đã cho về phương trình điểm bất động
u = Tu với u là nghiệm của bài toán đã cho hoặc phương trình ϕ = Tϕ với ϕ là
một hàm trung gian. Sau đó để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của bài toán, tức là sự
tồn tại điểm bất động của toán tử T, ta có thể sử dụng các định lý về sự tồn tại
điểm bất động như Định lý điểm bất động Schauder. Để chỉ ra tính duy nhất của
nghiệm đồng thời đề xuất phương pháp lặp giải bài toán, ta sử dụng Định lý điểm
bất động Banach. Sự hữu hiệu của phương pháp nêu trên thể hiện rất rõ trong các
kết quả của Luận án được trình bày chi tiết trong các chương tiếp theo.
15

26. 1.2. Hàm Green đối với một số bài toán
Xét bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp
n với các điều kiện biên thuần nhất
L[y(x)] ≡ p0(x)
dn
y
dxn
+ p1(x)
dn−1
y
dxn−1
+ ... + pn(x)y = 0, a < x < b, (1.2.1)
Mi(y(a), y(b)) ≡
n−1
k=0
αi
k
dk
y(a)
dxk
+ βi
k
dk
y(b)
dxk
= 0, i = 1, 2, ..., n, (1.2.2)
ở đây pi(x) với i = 0, 1, 2, ..., n là các hàm liên tục trên (a, b); p0(x) = 0 tại mọi
điểm x thuộc (a, b); các hệ số αi
k, βi
k với i = 1, 2, ..., n và k = 0, 1, 2, ..., n − 1 là các
số thực.
Định nghĩa 1.6. (Xem [51]) Hàm G(x, t) được gọi là hàm Green của bài toán
(1.2.1), (1.2.2) nếu xem như hàm của biến x, với mọi t ∈ (a, b), nó thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) Trên [a, t) và (t, b], G(x, t) là hàm liên tục, có các đạo hàm liên tục tới cấp n
và thỏa mãn phương trình (1.2.1) trong (a, t) và (t, b), tức là:
L[G(x, t)] = 0, x ∈ (a, t); L[G(x, t)] = 0, x ∈ (t, b).
(ii) Tại x = t, G(x, t) và tất cả các đạo hàm tới cấp n − 2 là liên tục
lim
x→t+
∂k
G(x, t)
∂xk
− lim
x→t−
∂k
G(x, t)
∂xk
= 0, k = 0, 1, 2, ..., n − 2.
(iii) Đạo hàm cấp n − 1 của G(x, t) là gián đoạn tại x = t, cụ thể
lim
x→t+
∂n−1
G(x, t)
∂xn−1
− lim
x→t−
∂n−1
G(x, t)
∂xn−1
=
1
p0(t)
.
(iv) G(x, t) thỏa mãn các điều kiện biên trong (1.2.2), tức là
Mi(G(a, t), G(b, t)) = 0, i = 1, 2, ..., n.
Định lý 1.5. (Xem [51]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất với các điều kiện
biên thuần nhất (1.2.1), (1.2.2) chỉ có nghiệm tầm thường thì tồn tại duy nhất hàm
Green của bài toán đó.
Xét bài toán biên cho phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất cấp
n với các điều kiện biên thuần nhất
L[y(x)] ≡ p0(x)
dn
y
dxn
+ p1(x)
dn−1
y
dxn−1
+ ... + pn(x)y = f(x), a < x < b, (1.2.3)
16

27. Mi(y(a), y(b)) ≡
n−1
k=0
αi
k
dk
y(a)
dxk
+ βi
k
dk
y(b)
dxk
= 0, i = 1, 2, ..., n, (1.2.4)
ở đây hàm vế phải f(x) là hàm liên tục trong (a, b).
Định lý sau cho ta mối liên hệ giữa tính duy nhất nghiệm của bài toán (1.2.3),
(1.2.4) với bài toán thuần nhất tương ứng và biểu diễn của nghiệm này qua hàm
Green.
Định lý 1.6. (Xem [51]) Nếu bài toán giá trị biên thuần nhất tương ứng với bài toán
(1.2.3), (1.2.4) chỉ có nghiệm tầm thường thì bài toán (1.2.3), (1.2.4) có nghiệm
duy nhất và nghiệm này được biểu diễn dưới dạng
y(x) =
b
a
G(x, t)f(t)dt,
ở đây G(x, t) là hàm Green của bài toán thuần nhất tương ứng.
Tiếp theo, ta xét một số ví dụ cụ thể về hàm Green của các bài toán biên cho
phương trình vi phân cấp hai và cấp bốn với các điều kiện biên khác nhau. Các
hàm Green này đều được sử dụng trực tiếp trong chương sau của Luận án.
Ví dụ 1.7. Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai
u (x) = f(x), 0 < x < L,
u(0) = u(L) = 0.
(1.2.5)
Xét các điều kiện (i)-(iv) trong Định nghĩa 1.6. Từ điều kiện (i) suy ra hàm
Green của bài toán thuần nhất tương ứng có dạng sau
G(x, t) =
A1 + A2x, 0 ≤ x ≤ t ≤ L,
B1 + B2(L − x), 0 ≤ t ≤ x ≤ L,
ở đây A1, A2 và B1, B2 là các hàm của biến t.
Từ điều kiện (iv) ta có
A1 = B1 = 0.
Do đó
G(x, t) =
A2x, 0 ≤ x ≤ t ≤ L,
B2(L − x), 0 ≤ t ≤ x ≤ L.
(1.2.6)
Từ điều kiện liên tục (ii) ta lại có
B2(L − t) = A2t. (1.2.7)
17

28. Cuối cùng, từ điều kiện (iii) ta suy ra
−B2 − A2 = 1. (1.2.8)
Giải hệ phương trình (1.2.7), (1.2.8) đối với A2, B2 ta được
A2 =
t − L
L
, B2 =
−t
L
.
Thay các hệ số tìm được vào (1.2.6) ta suy ra
G(x, t) =
1
L
x(t − L), 0 ≤ x ≤ t ≤ L,
t(x − L), 0 ≤ t ≤ x ≤ L.
(1.2.9)
Khi đó, nghiệm của bài toán (1.2.5) biểu diễn được dưới dạng
u(x) =
L
0
G(x, t)f(t)dt.
Chú ý 1.1. Nghiệm của bài toán
u (x) = f(x), 0 < x < L,
u(0) = α, u(L) = β
biểu diễn được dưới dạng
u(x) =
L
0
G(x, t)f(t)dt + α
L − x
L
+ β
x
L
,
trong đó G(x, t) là hàm Green được xác định ở (1.2.9).
Ví dụ 1.8. Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai
u (x) = f(x), 0 < x < L,
u(L) = 0, u (L) = 0.
(1.2.10)
Tương tự cách là ở Ví dụ 1.7 ta tìm được hàm Green của bài toán trên như sau
G(x, t) =
t − x, 0 ≤ x ≤ t ≤ L,
0, 0 ≤ t ≤ x ≤ L.
(1.2.11)
Khi đó, nghiệm của bài toán (1.2.10) biểu diễn được dưới dạng
u(x) =
L
0
G(x, t)f(t)dt.
18

29. Chú ý 1.2. Nghiệm của bài toán
u (x) = f(x), 0 < x < L,
u(L) = α, u (L) = β
biểu diễn được dưới dạng
u(x) =
L
0
G(x, t)f(t)dt + β(x − L) + α,
trong đó G(x, t) là hàm Green được xác định ở (1.2.11).
Ví dụ 1.9. Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp hai
u (x) = f(x), 0 < x < L,
u(0) = 0, u (0) = 0.
Hàm Green của bài toán trên là
G(x, t) =
0, 0 ≤ x ≤ t ≤ L,
x − t, 0 ≤ t ≤ x ≤ L.
Lúc này nghiệm của bài toán được biểu diễn dưới dạng
u(x) =
L
0
G(x, t)f(t)dt.
Ví dụ 1.10. Xét bài toán
u (x) = f(x), 0 < x < 1,
au(0) − bu (0) = 0, cu(1) + du (1) = 0,
(1.2.12)
ở đây a, b, c, d ≥ 0; ρ := ad + bc + ac = 0.
Hàm Green của bài toán là
G(x, t) =
1
ρ
(ct − c − d)(b + ax), 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
(b + at)(cx − c − d), 0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
Lúc này nghiệm của bài toán (1.2.12) biểu diễn được dưới dạng
u(x) =
1
0
G(x, t)f(t)dt.
Ví dụ 1.11. Xét bài toán biên cho phương trình vi phân cấp bốn
u(4)
(x) = f(x), 0 < x < L,
u(0) = u(L) = u (0) = u (L) = 0.
(1.2.13)
19

30. Xét các điều kiện (i)-(iv) trong Định nghĩa 1.6. Từ điều kiện (i) ta suy ra hàm
Green có dạng sau
G(x, t) =
A1 + A2x + A3x2
+ A4x3
, 0 ≤ x ≤ t ≤ L,
B1 + B2(L − x) + B3(L − x)2
+ B4(L − x)3
, 0 ≤ t ≤ x ≤ L,
ở đây A1, A2, A3, A4 và B1, B2, B3, B4 là các hàm của biến t.
Từ điều kiện (iv) ta có
A1 = B1 = A3 = B3 = 0.
Do đó
G(x, t) =
A2x + A4x3
, 0 ≤ x ≤ t ≤ L,
B2(L − x) + B4(L − x)3
, 0 ≤ t ≤ x ≤ L.
(1.2.14)
Điều kiện liên tục (ii) cho ta



A2t + A4t3
= B2(L − t) + B4(L − t)3
A2 + 3A4t2
= −B2 − 3B4(L − t)2
6A4t = 6B4(L − t).
(1.2.15)
Từ điều kiện (iii) ta suy ra
−6B4 − 6A4 = 1. (1.2.16)
Từ (1.2.15), (1.2.16) ta tìm được
A2 =
(t − L)(t2
− 2tL)
6L
, A4 =
t − L
6L
, B2 =
t(L2
− t2
)
6L
, B4 =
−t
6L
.
Thay các hệ số tìm được vào (1.2.14) ta được
G(x, t) =
1
6L
x(t − L)(t2
+ x2
− 2tL), 0 ≤ x ≤ t ≤ L,
t(x − L)(t2
+ x2
− 2xL), 0 ≤ t ≤ x ≤ L.
Lúc này, nghiệm của bài toán (1.2.13) biểu diễn được dưới dạng
u(x) =
L
0
G(x, t)f(t)dt.
Ví dụ 1.12. Xét bài toán
u(4)
(x) = f(x), a < x < b,
u(a) = u(b) = u (a) = u (b) = 0.
(1.2.17)
20

31. Hàm Green của bài toán được xác định như sau
G(x, t) =
1
6(b − a)2



(x − a)2
(b − t)2
(t − x) +
2(b − x)(t − a)
b − a
,
a ≤ x ≤ t ≤ b,
(t − a)2
(b − x)2
(x − t) +
2(x − a)(b − t)
b − a
,
a ≤ t ≤ x ≤ b.
Khi đó, nghiệm của bài toán (1.2.17) biểu diễn được dưới dạng
u(x) =
b
a
G(x, t)f(t)dt.
Ví dụ 1.13. Xét bài toán
u(4)
(x) = f(x), 0 < x < 1,
u(0) = 0, u (1) = 0, au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = 0,
ở đây a, b, c, d ≥ 0; ρ := ad + bc + ac = 0.
Hàm Green của bài toán được xác định như sau
G(x, t) =
1
6ρ



x(ac(1 − t)(3t − x2
) + ad(6t − x2
− 3t2
)
+bc(1 − t)(3 + 3t − 3x) + bd(6 − 3x)), 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
ac(3xt − 3x2
t + x3
t − t3
) + ad(6xt − 3x2
t − t3
)
+bc(3x − 3x2
+ x3
− t3
) + bd(6x − 3x2
), 0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
Khi đó, nghiệm của bài toán biểu diễn được dưới dạng
u(x) =
1
0
G(x, t)f(t)dt.
1.3. Đạo hàm số, tích phân số với sai số cấp cao
1.3.1. Đạo hàm số
Giả sử f(x) là hàm trơn trên [a, b], xi = a + ih (i = 0, 1, 2, ..., n), trong đó
h = (b − a)/n, là các điểm lưới cách đều nhau. Cho giá trị của hàm tại các điểm
lưới yi = f(xi) (i = 0, 1, 2, ..., n). Khi đó ta có thể tính gần đúng đạo hàm cấp một
và cấp hai của hàm tại các điểm lưới với sai số cấp hai và cấp cao hơn nhờ sử dụng
đa thức nội suy Lagrange (xem [1], [39]).
+ Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tại ba điểm ta thu được các công thức tính
đạo hàm cấp một với sai số cấp hai tại tất cả các nút xi như sau:
f (x0) =
1
2h
(−3y0 + 4y1 − y2) + O(h2
),
21

32. f (xi) =
1
2h
(yi+1 − yi−1) + O(h2
), i = 1, 2, ..., n − 1,
f (xn) =
1
2h
(yn − 4yn−1 + yn−2) + O(h2
).
+ Để thu được công thức tính đạo hàm cấp hai với sai số cấp hai tại mọi nút, ta
cần sử dụng đa thức nội suy tại bốn điểm. Nhờ phép nội suy này ta sẽ thu được
các công thức sau đây:
f (xi) =
1
h2
(2yi − 5yi+1 + 4yi+2 − yi+3) + O(h2
),
f (xi+1) =
1
h2
(yi − 2yi+1 + yi+2) + O(h2
),
f (xi+2) =
1
h2
(yi+1 − 2yi+2 + yi+3) + O(h2
),
f (xi+3) =
1
h2
(−yi + 4yi+1 − 5yi+2 + 2yi+3) + O(h2
).
+ Sử dụng đa thức nội suy Lagrange tại năm điểm ta thu được các công thức tính
gần đúng đạo hàm cấp một với sai số cấp bốn và đạo hàm cấp bốn với sai số cấp
một như sau:



f (xi) =
1
12h
(−25yi + 48yi+1 − 36yi+2 + 16yi+3 − 3yi+4) + O(h4
),
f (xi+1) =
1
12h
(−3yi − 10yi+1 + 18yi+2 − 6yi+3 + yi+4) + O(h4
),
f (xi+2) =
1
12h
(−yi − 8yi+1 + 8yi+3 − yi+4) + O(h4
),
f (xi+3) =
1
12h
(−yi + 6yi+1 − 18yi+2 + 10yi+3 + 3yi+4) + O(h4
),
f (xi+4) =
1
12h
(3yi − 16yi+1 + 36yi+2 − 48yi+3 + 25yi+4) + O(h4
),
(1.3.1)



f(4)
(xi) =
1
h4
(yi − 4yi+1 + 6yi+2 − 4yi+3 + yi+4) + O(h),
f(4)
(xi+1) =
1
h4
(yi − 4yi+1 + 6yi+2 − 4yi+3 + yi+4) + O(h),
f(4)
(xi+2) =
1
h4
(yi − 4yi+1 + 6yi+2 − 4yi+3 + yi+4) + O(h),
f(4)
(xi+3) =
1
h4
(yi − 4yi+1 + 6yi+2 − 4yi+3 + yi+4) + O(h),
f(4)
(xi+4) =
1
h4
(yi − 4yi+1 + 6yi+2 − 4yi+3 + yi+4) + O(h).
(1.3.2)
1.3.2. Tích phân số
Trước tiên ta xét hai công thức quen thuộc tính gần đúng tích phân xác định
I =
b
a
f(x)dx,
22

33. ở đây f(x) là hàm số liên tục trên [a, b] và trơn tới mức cần thiết.
Chia [a, b] thành n đoạn con [xi, xi+1] (i = 0, 1, 2, ..., n − 1) bởi các điểm chia
xi = a + ih (i = 0, 1, 2, ..., n) với h = (b − a)/n. Đặt yi = f(xi) (i = 0, 1, 2, ..., n).
Xét công thức hình thang và công thức Simpson tính gần đúng tích phân I như
sau:
a) Công thức hình thang (xem [1])
I ≈ Iht = h
n
i=0
yi −
y0 + yn
2
hoặc
I ≈ Iht =
b − a
2n
(y0 + 2y1 + ... + 2yn−1 + yn).
Sai số toàn phần của công thức hình thang
|E| ≤
M2
12
(b − a)h2
,
trong đó M2 = maxx∈[a,b] |f (x)|.
b) Công thức Simpson (xem [1])
Để tránh dùng chỉ số không nguyên, ta chia đoạn [a, b] thành 2n phần bằng
nhau với độ dài h = (b − a)/(2n). Khi đó
I ≈ Isim =
b − a
6n
(y0 + 4y1 + 2y2 + ... + 2y2n−2 + 4y2n−1 + y2n).
Sai số toàn phần
|E| = |I − Isim| ≤
M4(b − a)
2880
h4
,
trong đó
M4 = max
x∈[a,b]
|f(4)
(x)|.
Bây giờ cho hàm f(x, y) liên tục trên miền chữ nhật Ω = {(x, y) : a ≤ x ≤
b; c ≤ y ≤ d}. Để tính gần đúng tích phân hai lớp của hàm f(x, y) trên miền Ω, ta
sử dụng kết quả như sau:
Định lý 1.7. (Xem [16, Mục 4.8])
Cho hàm z = f(x, y) liên tục trên miền chữ nhật Ω. Giả thiết đoạn [a, b] được chia
thành 2m đoạn nhỏ bằng nhau [xi−1, xi]
2m
i=1 với độ dài h =
b − a
2m
bởi các điểm chia
xi = x0 + ih (i = 0, 1, 2, ..., 2m). Đồng thời, đoạn [c, d] cũng được chia thành 2n
đoạn nhỏ bằng nhau [yj−1, yj]
2n
j=1 với độ dài k =
d − c
2n
bởi các điểm chia yj = y0+jk
(j = 0, 1, 2, ..., 2n). Khi đó ta có công thức Simpson tính gần đúng tích phân hai
23

34. lớp như sau:
Ω
f(x, y)dxdy ≈
hk
9
f(a, c) + f(a, d) + f(b, c) + f(b, d)
+ 4
n
j=1
f(a, y2j−1) + 2
n−1
j=1
f(a, y2j) + 4
n
j=1
f(b, y2j−1) + 2
n−1
j=1
f(b, y2j)
+ 4
m
i=1
f(x2i−1, c) + 2
m−1
i=1
f(x2i, c) + 4
m
i=1
f(x2i−1,d) + 2
m−1
i=1
f(x2i, d)
+ 16
n
j=1
m
i=1
f(x2i−1, y2j−1) + 8
n−1
j=1
m
i=1
f(x2i−1, y2j)
+ 8
n
j=1
m−1
i=1
f(x2i, y2j−1) + 4
n−1
j=1
m−1
i=1
f(x2i, y2j) .
Sai số trong công thức trên là O(h4
) + O(k4
).
1.4. Lược đồ sai phân với độ chính xác cấp bốn cho phương
trình Poisson
Nội dung của phần này được tham khảo trong tài liệu [61].
Trong mặt phẳng xét phương trình Poisson
Lu = u = L1u+L2u = −f(x), x = (x1, x2), Lαu =
∂2
u
∂x2
α
, α = 1, 2. (1.4.1)
Các toán tử L1u, L2u được xấp xỉ tại điểm (x1, x2) như sau
L1u ≈ Λ1u = ux1x1 =
1
h2
1
(u(x1 + h1, x2) − 2u(x1, x2) + u(x1 − h1, x2)), (1.4.2)
L2u ≈ Λ2u = ux2x2 =
1
h2
2
(u(x1, x2 + h2) − 2u(x1, x2) + u(x1, x2 − h2)), (1.4.3)
trong đó h1, h2 > 0 là các bước lưới dọc theo trục x1, x2.
Đối với toán tử sai phân
Λu = Λ1u + Λ2u = ux1x1 + ux2x2
ta có
Λu − Lu =
h2
1
12
L2
1u +
h2
2
12
L2
2u + O(|h|4
) = O(|h|2
), (1.4.4)
ở đây |h|2
= h2
1 + h2
2, O(|h4
|) = h4
1 + h4
2.
Từ L1u + L2u = −f(x) ta có
L2
1u = −L1f − L1L2u, L2
2u = −L2f − L1L2u.
24

35. Do đó
Λu = Lu −
h2
1
12
L1f −
h2
2
12
L2f −
h2
1 + h2
2
12
L1L2u + O(|h|4
). (1.4.5)
Ta có
Λv = vxx =
v(x + h) − 2v(x) + v(x − h)
h2
= v (ξ), ξ = x + θh, |θ| ≤ 1, (1.4.6)
nếu giả thiết v có đạo hàm cấp hai liên tục trên [x − h, x + h].
Λv = vxx = v (x) +
h2
12
v(4)
(ξ∗
), ξ∗
= x + θ∗
h, |θ∗
| ≤ 1, (1.4.7)
nếu giả thiết v có đạo hàm cấp bốn liên tục trên [x − h, x + h].
Cố định x1 ta có
Λ2u = L2u(x1, x2) +
h2
2
12
∂4
u
∂x4
2
(x1, ξ2), ξ2 = x + θ2h2, |θ2| ≤ 1,
Λ1Λ2u = Λ1L2u(x1, x2) +
h2
2
12
Λ1
∂4
u
∂x4
2
(x1, ξ2).
Áp dụng công thức (1.4.7) với v = L2u và x = x1 ta được
Λ1L2u(x1, x2) = L1L2u(x1, x2) +
h2
1
12
∂4
u
∂x4
1
(ξ∗
1, x2), ξ∗
1 = x1 + θ∗
1h1, |θ∗
1| ≤ 1.
Áp dụng công thức (1.4.6) ta lại có
h2
2
12
Λ1
∂4
u
∂x4
2
(x1, ξ2) =
h2
2
12
∂6
u
∂x2
1∂x4
2
(ξ1, ξ2), ξ1 = x1 + θ1h1, |θ1| ≤ 1.
Như vậy
(Λ1Λ2 − L1L2)u = O(h2
1) + O(h2
2) = O(|h|2
).
Do đó
L1L2u = Λ1Λ2u + O(|h|2
).
Kết hợp với (1.4.5) ta được
Λu = − f +
h2
1
12
L1f +
h2
2
12
L2f −
h2
1 + h2
2
12
Λ1Λ2u + O(|h|4
).
Do đó lược đồ



Λ y = −ϕ, Λ y = Λy +
h2
1 + h2
2
12
Λ1Λ2y,
ϕ = f +
h2
1
12
L1f +
h2
2
12
L2f
(1.4.8)
xấp xỉ nghiệm u = u(x) của phương trình Poisson (1.4.1) với độ chính xác cấp
bốn.
25

36. 1.5. Phương pháp giải hệ phương trình lưới
Một trong những phương pháp số được sử dụng phổ biến trong xấp xỉ nghiệm
của các bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm
riêng là phương pháp sai phân hữu hạn. Bằng cách thay thế các đạo hàm bằng các
công thức sai phân, bài toán ban đầu được đưa về bài toán sai phân trên một lưới
điểm, từ đó dẫn đến việc giải hệ phương trình đại số. Giải hệ này ta thu được xấp
xỉ của nghiệm của bài toán tại các nút lưới. Trong phần này ta xét phương pháp
truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm với ma trận các hệ số có dạng ba đường
chéo trội và phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm.
Đây là các hệ phương trình lưới thu được khi rời rạc hóa các bài toán biên cho
phương trình vi phân thường cấp hai, bài toán biên cho phương trình elliptic cấp
hai.
1.5.1. Phương pháp truy đuổi giải hệ phương trình ba điểm
Đây là một biến thể của phương pháp khử Gauss khi áp dụng vào hệ phương
trình có cấu trúc đặc biệt (ma trận của hệ có dạng ba đường chéo) (xem [62]).
1.5.1.1. Phương pháp truy đuổi phải
Xét hệ phương trình ba điểm



c0y0 − b0y1 = f0,
− aiyi−1 + ciyi − biyi+1 = fi, 1 ≤ i ≤ N − 1,
− aN yN−1 + cN yN = fN .
(1.5.1)
Hệ trên có thể biểu diễn trong dạng véc tơ
AY = F, (1.5.2)
trong đó Y = (y0, y1, ..., yN )T
là véc tơ chưa biết, F = (f0, f1, ..., fN )T
là véc tơ vế
phải, A là ma trận vuông (N + 1) × (N + 1)
A =












c0 −b0 0 0 ... 0 0 0
−a1 c1 −b1 0 ... 0 0 0
0 −a2 c2 −b2 ... 0 0 0
. . . . ... . . .
. . . . ... . . .
0 0 0 0 ... −aN−1 cN−1 −bN−1
0 0 0 0 ... 0 −aN cN












,
với các hệ số thực hoặc phức.
26

37. Theo ý tưởng của phương pháp Gauss, thực hiện phép khử các ẩn trong (1.5.1).
Từ đó ta có công thức tìm nghiệm như sau
yi = αi+1yi+1 + βi+1, i = N − 1, N − 2, ..., 0,
yN = βN+1,
(1.5.3)
ở đây αi và βi được xác định từ công thức
αi+1 =
bi
ci − aiαi
, i = 1, 2, ..., N − 1, α1 =
b0
c0
, (1.5.4)
βi+1 =
fi + aiβi
ci − aiαi
, i = 1, 2, ..., N, β1 =
f0
c0
. (1.5.5)
αi và βi được gọi là các hệ số truy đuổi. Công thức (1.5.4) và (1.5.5) mô tả quá
trình tiến và công thức (1.5.3) mô tả quá trình lùi. Các công thức (1.5.3)-(1.5.5)
được gọi chung là công thức truy đuổi từ phải.
Các công thức (1.5.3)-(1.5.5) chứa 3N phép nhân, 2N + 1 phép chia, 3N phép
cộng và trừ. Khi đó tổng số phép toán là Q = 8N + 1, trong đó 3N − 2 phép toán
được sử dụng để tính αi và 5N + 3 phép toán để tính βi và yi.
1.5.1.2. Phương pháp truy đuổi từ hai phía
Tương tự như phương pháp truy đuổi phải ta cũng có công thức truy đuổi trái
như sau
ξi =
ai
ci − biξi+1
, i = N − 1, N − 2, ..., 1, ξN =
aN
cN
, (1.5.6)
ηi =
fi + biηi+1
ci − biξi+1
, i = N − 1, N − 2, ..., 0, ηN =
fN
cN
, (1.5.7)
yi+1 = ξi+1yi + ηi+1, i = 0, 1, ..., N − 1, y0 = η0. (1.5.8)
Kết hợp phương pháp truy đuổi trái và truy đuổi phải ta thu được phương pháp
truy đuổi từ hai phía. Phương pháp này được áp dụng thích hợp nhất khi muốn
tìm giá trị chưa biết ym (0 ≤ m ≤ N) hoặc một nhóm giá trị liền nhau. Giả sử
1 ≤ m ≤ N, ta viết các công thức (1.5.3), (1.5.8) tại i = m − 1
ym−1 = αmym + βm, ym = ξmym−1 + ηm.
Từ đây ta tìm được
ym =
ηm + ξmβm
1 − ξmαm
.
Sử dụng ym vừa tìm được ta lần lượt tìm ym−1, ym−2, ..., y0 từ (1.5.3) và tìm được
ym+1, ym+2, ..., yN từ (1.5.8). Khi đó ta có công thức cho phương pháp truy đuổi từ
27

38. hai phía như sau: Công thức tính các hệ số
αi+1 =
bi
ci − αiai
, i = 1, 2, ..., m − 1, α1 =
b0
c0
,
βi+1 =
fi + aiβi
ci − αiai
, i = 1, 2, ..., m − 1, β1 =
f0
c0
,
ξi =
ai
ci − biξi+1
, i = N − 1, N − 2, ..., m, ξN =
aN
cN
,
ηi =
fi + biηi+1
ci − biξi+1
, i = N − 1, N − 2, ..., m, ηN =
fN
cN
(1.5.9)
và công thức tìm nghiệm
yi = αi+1yi+1 + βi+1, i = m − 1, m − 2, ..., 0,
yi+1 = ξi+1yi + ηi+1, i = m, m + 1, ..., N − 1,
ym =
ηm + ξmβm
1 − ξmαm
.
(1.5.10)
Số phép tính sử dụng trong phương pháp truy đuổi từ hai phía bằng số phép
tính trong phương pháp truy đuổi trái hay phương pháp truy đuổi phải, tức là xấp
xỉ 8N.
1.5.1.3. Tính khả thi và ổn định của phương pháp
Bổ đề sau cho ta điều kiện đủ cho tính khả thi và ổn định của phương pháp
truy đuổi phải.
Bổ đề 1.1. (Xem [62]) Giả sử các hệ số của hệ (1.5.1) thỏa mãn các điều kiện
|c0| > 0, |cN | > 0, |ai| > 0, |bi| > 0, i = 1, 2, ..., N − 1,
|ci| ≥ |ai| + |bi|, i = 1, 2, ..., N − 1, (1.5.11)
|c0| ≥ |b0|, |cN | ≥ |aN |, (1.5.12)
trong đó có ít nhất một bất đẳng thức trong (1.5.11) hoặc (1.5.12) là chặt, tức là
A là ma trận chéo trội. Khi đó
ci − aiαi = 0, |αi| ≤ 1, i = 1, 2, ..., N.
Điều đó có nghĩa là phương pháp truy đuổi phải là khả thi và ổn định.
Chú ý 1.3. Các điều kiện của Bổ đề 1.1 cũng đảm bảo tính khả thi của phương
pháp truy đuổi trái và phương pháp truy đuổi từ hai phía. Bổ đề 1.1 cũng được áp
dụng trong trường hợp các hệ số ai, bi, ci là các số phức.
Chú ý 1.4. Nếu các điều kiện trong Bổ đề 1.1 thỏa mãn thì hệ (1.5.1) có nghiệm
duy nhất với mọi vế phải.
28

39. 1.5.2. Phương pháp rút gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ
ba điểm
Xét bài toán Dirichlet
− u(x) = f(x), x ∈ Ω,
u(x) = g(x), x ∈ ∂Ω,
ở đây Ω là hình chữ nhật có độ dài L1, L2.
Phủ Ω bởi lưới
Ωkh = {xij = (ik, jh)| i = 0, 1, ..., M, j = 0, 1, ..., N}
với k = L1/M, h = L2/N. Bài toán vi phân đang xét luôn đưa được về các hệ
phương trình véc tơ ba điểm tương ứng dạng
−Yj−1 + CYj − Yj+1 = Fj, 1 ≤ j ≤ N − 1,
Y0 = F0, YN = FN ,
(1.5.13)
trong đó Yj là véc tơ cần tìm, C là ma trận vuông, Fj là véc tơ cho trước.
Ý tưởng của phương pháp rút gọn hoàn toàn giải (1.5.13) là khử liên tiếp các
ẩn Yj, đầu tiên với các j lẻ, sau đó từ các phương trình còn lại khử các Yj với j là
bội của 2, rồi bội của 4, ... Mỗi bước khử sẽ giảm được một nửa số ẩn. Như vậy
nếu N = 2n
thì sau một số lần khử sẽ chỉ còn lại một phương trình chứa véc tơ ẩn
YN/2 mà từ đó YN/2 có thể tính được qua Y0, YN . Sau khi biết Y0, YN/2, YN thì quá
trình ngược lại là việc tìm các Yj với j là bội của N/4, rồi bội của N/8, ...
Sau đây ta sẽ mô tả cụ thể phương pháp. Giả sử N = 2n
, n > 0. Kí hiệu
C(0)
= C, F
(0)
j = Fj; j = 1, 2, ..., N − 1.
Khi đó (1.5.13) viết được dưới dạng
−Yj−1 + C(0)
Yj − Yj+1 = F
(0)
j , 1 ≤ j ≤ N − 1,
Y0 = F0, YN = FN .
(1.5.14)
Bước khử thứ nhất
Từ các phương trình của (1.5.14) ta khử các Yj với j lẻ. Muốn vậy, ta viết ba
phương trình liên tiếp
−Yj−2 + C(0)
Yj−1 − Yj = F
(0)
j−1,
−Yj−1 + C(0)
Yj − Yj+1 = F
(0)
j ,
−Yj + C(0)
Yj+1 − Yj+2 = F
(0)
j+1.
29

40. Nhân hai vế của phương trình thứ hai với C(0)
rồi cộng cả ba phương trình lại ta
được
−Yj−2 + C(1)
Yj − Yj+2 = F
(1)
j , j = 2, 4, ..., N − 2,
Y0 = F0, YN = FN ,
(1.5.15)
ở đây
C(1)
= (C(0)
)2
− 2E,
F
(1)
j = F
(0)
j−1 + C(0)
F
(0)
j + F
(0)
j+1, j = 2, 4, ..., N − 2.
Ta thấy rằng hệ (1.5.15) chỉ chứa các Yj với j chẵn, số véc tơ ẩn Yj là
N
2
− 1. Nếu
giải được hệ này thì các Yj với j lẻ sẽ tìm được từ phương trình
C(0)
Yj = F
(0)
j + Yj−1 + Yj+1, j = 1, 3, ..., N − 1. (1.5.16)
Như vậy hệ (1.5.13) tương đương với hệ gồm (1.5.15) và (1.5.16).
Bước khử thứ hai
Tương tự với cách làm ở bước khử thứ nhất, Ở bước khử này ta khử các Yj của hệ
(1.5.15) với j là bội của 2 nhưng không là bội của 4.
Cứ tiếp tục quá trình khử như trên, kết quả là sau bước khử thứ l ta nhận được
hệ gồm
N
2l
− 1 ẩn Yj, trong đó j là bội của 2l
−Yj−2l + C(l)
Yj − Yj+2l = F
(l)
j , j = 2l
, 2.2l
, 3.2l
, ..., N − 2l
,
Y0 = F0, YN = FN .
(1.5.17)
Đồng thời ta cũng nhận được nhóm các phương trình
C(k−1)
Yj = Yj−2k−1 + Yj+2k−1 + F
(k−1)
j ,
j = 2k−1
, 3.2k−1
, 5.2k−1
, ..., N − 2k−1
, k = l, l − 1, ..., 1,
(1.5.18)
trong đó các ma trận C(k)
và các véc tơ vế phải F
(k)
j được tính theo công thức truy
toán
C(k)
= (C(k−1)
)2
− 2E,
F
(k)
j = F
(k−1)
j−2k−1 + C(k−1)
F
(k−1)
j + F
(k−1)
j+2k−1 ,
j = 2k
, 2.2k
, 3.2k
, ..., N − 2k
, k = 1, 2, ...
(1.5.19)
Từ (1.5.17) ta suy ra được rằng sau n − 1 bước khử (l = n − 1), ta thu được hệ
chỉ gồm một phương trình đối với biến Y2n−1 = YN/2 là
C(n−1)
YN/2 = F
(n−1)
N/2 + Y0 + YN . (1.5.20)
30

41. Như vậy từ (1.5.20) ta tìm được YN/2. Kết hợp với (1.5.18) ta suy ra rằng tất cả
các ẩn tìm được liên tiếp từ các phương trình
C(k−1)
Yj = Yj−2k−1 + Yj+2k−1 + F
(k−1)
j ,
Y0 = F0, YN = FN ,
j = 2k−1
, 3.2k−1
, 5.2k−1
, ..., N − 2k−1
, k = n, n − 1, ..., 1.
(1.5.21)
Các công thức (1.5.19) và (1.5.21) mô tả phương pháp rút gọn hoàn toàn giải
(1.5.13), trong đó công thức (1.5.19) cho phép tính các hàm vế phải lần lượt tại
các bước khử, công thức (1.5.21) cho phép tính các nghiệm của (1.5.13).
Để giảm khối lượng tính toán khi tính các F
(k)
j theo (1.5.19), thay cho việc tính
các F
(k)
j , ta sẽ tính các véc tơ p
(k)
j , q
(k)
j liên hệ với F
(k)
j theo công thức
F
(k)
j = C(k)
p
(k)
j + q
(k)
j ,
j = 2k
, 2.2k
, 3.2k
, ..., N − 2k
, k = 0, 1, 2, ..., n − 1,
(1.5.22)
ở đây
p
(0)
j = 0, q
(0)
j = Fj, j = 1, 2, ..., N − 1,
q
(k)
j = 2p
(k)
j + q
(k−1)
j−2k−1 + q
(k−1)
j+2k−1 . (1.5.23)
Khi đó kết hợp với điều kiện
C(k)
+ 2E = (C(k−1)
)2
ta suy ra được
C(k−1)
p
(k)
j = q
(k−1)
j + p
(k−1)
j−2k−1 + C(k−1)
p
(k−1)
j + p
(k−1)
j+2k−1 . (1.5.24)
Đặt
S
(k−1)
j = p
(k)
j − p
(k−1)
j ,
từ (1.5.24) suy ra
C(k−1)
S
(k−1)
j = q
(k−1)
j + p
(k−1)
j−2k−1 + p
(k−1)
j+2k−1 . (1.5.25)
Kết hợp (1.5.23) và (1.5.25) ta suy ra thuật toán xác định các véc tơ p
(k)
j , q
(k)
j như
sau
C(k−1)
S
(k−1)
j = q
(k−1)
j + p
(k−1)
j−2k−1 + p
(k−1)
j+2k−1 ,
p
(k)
j = p
(k−1)
j + S
(k−1)
j ,
q
(k)
j = 2p
(k)
j + q
(k−1)
j−2k−1 + q
(k−1)
j+2k−1 ,
q
(0)
j = Fj, p
(0)
j = 0,
j = 2k
, 2.2k
, 3.2k
, ..., N − 2k
,
k = 0, 1, 2, ..., n − 1.
(1.5.26)
31

42. Bây giờ, thay (1.5.22) vào (1.5.21) và kí hiệu
t
(k−1)
j = Yj − p
(k−1)
j ,
khi đó Yj có thể tính được từ các công thức
C(k−1)
t
(k−1)
j = q
(k−1)
j + Yj−2k−1 + Yj+2k−1 ,
Yj = p
(k−1)
j + t
(k−1)
j ,
Y0 = F0, YN = FN ,
j = 2k−1
, 3.2k−1
, 5.2k−1
, ..., N − 2k−1
,
k = n, n − 1, ..., 1.
(1.5.27)
Chú ý rằng
C(k−1)
=
2k−1
l=1
Cl,k−1, Cl,k−1 = C − 2 cos
(2l − 1)π
2k
E.
Như vậy, chẳng hạn ta có phương trình
C(k−1)
v = ϕ (1.5.28)
thì với việc giải lần lượt các phương trình
Cl,k−1vl = vl−1, l = 1, 2, ..., 2k−1
,
v0 = ϕ
sẽ cho ta nghiệm của (1.5.28) là v = v2k−1 .
Tóm lại, qua các bước phân tích như ở trên, ta có thuật toán rút gọn hoàn toàn
giải (1.5.13) như sau:
1. Quá trình xuôi:
a) Cho các giá trị ban đầu
p
(0)
j = 0, q
(0)
j = Fj, j = 1, 2, ..., N − 1.
b) Với k = 1 giải phương trình
Cp
(1)
j = q
(0)
j
và tính
q
(1)
j = 2p
(1)
j + q
(0)
j−1 + q
(0)
j+1, j = 2, 4, 6, ..., N − 2.
c) Với k = 2, 3, ..., n − 1 xác định các véc tơ
v
(0)
j = q
(k−1)
j + p
(k−1)
j−2k−1 + p
(k−1)
j+2k−1 , j = 2k
, 2.2k
, 3.2k
, ..., N − 2k
.
32

43. Sau đó với mỗi l = 1, 2, ..., 2k−1
và với mỗi j = 2k
, 2.2k
, 3.2k
, ..., N −2k
, giải phương
trình
Cl,k−1v
(l)
j = v
(l−1)
j .
Khi đó
p
(k)
j = p
(k−1)
j + v
(2k−1
)
j ,
q
(k)
j = 2p
(k)
j + q
(k−1)
j−2k−1 + q
(k−1)
j+2k−1 , j = 2k
, 2.2k
, 3.2k
, ..., N − 2k
.
2. Quá trình ngược:
a) Cho các giá trị ban đầu Y0 = F0, YN = FN .
b) Với k = n, n − 1, ..., 2 tính
v
(0)
j = q
(k−1)
j + Yj−2k−1 + Yj+2k−1 , j = 2k−1
, 3.2k−1
, ..., N − 2k−1
.
Sau đó với mỗi l = 1, 2, ..., 2k−1
và với mỗi j = 2k−1
, 3.2k−1
, ..., N − 2k−1
, giải
phương trình
Cl,k−1v
(l)
j = v
(l−1)
j .
Khi đó
Yj = p
(k−1)
j + v
(2k−1
)
j , j = 2k−1
, 3.2k−1
, ..., N − 2k−1
.
c) Với k = 1, giải phương trình
CYj = q
(0)
j + Yj−1 + Yj+1, j = 1, 3, 5, ..., N − 1.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở bao gồm: một số định lý điểm bất
động; hàm Green đối với một số bài toán biên cho phương trình vi phân thường
cấp hai và cấp bốn; một số công thức tính gần đúng đạo hàm, tích phân với sai số
cấp hai và cấp bốn; công thức xấp xỉ phương trình Poisson với độ chính xác cấp
bốn; phương pháp khử giải hệ phương trình vô hướng ba điểm, phương pháp rút
gọn hoàn toàn giải hệ phương trình véc tơ ba điểm. Đây là những kiến thức hết
sức quan trọng làm nền tảng cho các nội dung được trình bày trong chương 2 và
chương 3 của Luận án khi nghiên cứu định tính cũng như phương pháp giải một
số bài toán biên cho phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng
cấp hai và cấp bốn.
33

44. Chương 2
Sự tồn tại duy nhất nghiệm và phương pháp lặp
giải bài toán biên cho phương trình vi phân thường
phi tuyến cấp bốn
Các bài toán biên cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn luôn
thu hút được nhiều sự quan tâm nghiên cứu bởi nó là mô hình hóa toán học của
nhiều bài toán trong lĩnh vực Vật lý, Cơ học, ... mà điển hình là các bài toán về
dầm trên nền đàn hồi. Các điều kiện ràng buộc tại hai đầu của dầm được thể hiện
bởi các điều kiện biên khác nhau như: dạng gối - tựa đơn giản, dạng ngàm - tự
do, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên tuần hoàn, điều
kiện biên phức tạp (phi tuyến, chứa thành phần tích phân), ... Có rất nhiều công
trình sử dụng những phương pháp khác nhau nghiên cứu các bài toán này: Phương
pháp biến phân (xem [45]-[47]); Phương pháp sử dụng lý thuyết bậc Brouwer,
bậc Leray-Schauder (xem [7], [58]); Phương pháp lặp đơn điệu với sự có mặt của
nghiệm trên, nghiệm dưới (xem [8], [13], [40]); Phương pháp sử dụng định lý điểm
bất động Schauder trên cơ sở phương pháp nghiệm trên, nghiệm dưới (xem [14],
[29], [31], [52]); Phương pháp chuỗi (xem [3], [30]) ... Lưu ý rằng trong các công
trình nêu trên, điều kiện về bậc tăng trưởng của hàm vế phải là không thể thiếu
được. Ngoài ra, bằng cách sử dụng phương pháp biến phân, sử dụng lý thuyết bậc
Brouwer, bậc Leray-Schauder, các tác giả chỉ thiết lập được sự tồn tại nghiệm mà
không kết luận được về tính duy nhất của nghiệm, do đó phương pháp giải bài
toán không được xét đến. Với các phương pháp sử dụng nghiệm trên và nghiệm
dưới thì giả thiết về sự tồn tại các nghiệm này là không thể thiếu được, tuy nhiên
việc tìm được các nghiệm này không phải là dễ dàng. Với phương pháp chuỗi, các
tác giả thường công nhận sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán và xây dựng
nghiệm dưới dạng tổng chuỗi hàm ...
Khác với các cách tiếp cận nêu trên, đối với các bài toán biên cho phương trình
vi phân thường cấp bốn địa phương và không địa phương, chúng tôi đưa bài toán
đã cho về phương trình toán tử đối với hàm cần tìm hoặc một hàm trung gian phù
hợp. Khi đó với một số điều kiện đơn giản, dễ kiểm tra được đặt lên các hàm ràng
buộc khi xét trên một miền giới nội thích hợp, chúng tôi chứng minh được toán
34

45. tử đó là co, từ đó thiết lập sự tồn tại duy nhất của nghiệm, đồng thời đảm bảo
sự hội tụ của phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ. Một số ví dụ trong trường hợp
biết trước và chưa biết trước nghiệm đúng minh họa rõ cho các kết quả lý thuyết
thu được.
Chú ý rằng ý tưởng trên đã được thực hiện rất thành công đối với bài toán biên
cho phương trình vi phân thường phi tuyến cấp bốn địa phương với điều kiện biên
tuyến tính như dạng gối - tựa đơn giản và dạng ngàm - tự do thể hiện trong các
bài báo rất gần đây (xem [18], [21]-[23]). Đây là những bài báo nằm trong danh
mục các công trình đã được công bố của Luận án năm 2017 của Tiến sĩ Ngô Thị
Kim Quy (xem [2]). Trong các bài báo này, các tác giả chỉ cần xét phương trình
toán tử đối với thành phần phi tuyến trên một miền giới nội, do đó khắc phục
được điều kiện tăng trưởng tại vô cùng của hàm vế phải.
Tiếp tục phát triển ý tưởng nêu trên, chương 2 của Luận án nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm và phương pháp giải một số bài toán biên cho phương trình vi phân
thường cấp bốn địa phương và không địa phương với các điều kiện biên phức tạp
hơn như điều kiện biên tổ hợp, điều kiện biên Dirichlet, điều kiện biên phi tuyến.
Các kết quả của chương được trình bày trong các công trình [A2]-[A4], [A6]-[A8]
trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án.
2.1. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường
phi tuyến cấp bốn địa phương
2.1.1. Trường hợp điều kiện biên tổ hợp
Trong công trình [A4], chúng tôi xét bài toán biên cho phương trình vi phân
thường cấp bốn địa phương mô tả độ võng của dầm
u(4)
(x) = f(x, u(x), u (x), u (x), u (x)), 0 < x < 1,
u(0) = 0, u (1) = 0,
au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = 0,
(2.1.1)
ở đây a, b, c, d ≥ 0, ρ := ad + bc + ac > 0 và f : [0, 1] × R4
→ R là hàm liên tục.
Trong [14], bằng cách sử dụng phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, tác giả
đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1.1) trong trường hợp b = c = 0.
Trong bài báo này, hàm phi tuyến f(x, u, y, v, z) được giả thiết là hàm tăng theo
các biến u, y. Ngoài ra nếu giả thiết các hàm α và β là nghiệm trên và nghiệm dưới
của bài toán (được định nghĩa ở (0.0.1) phần Mở đầu) sao cho α ≤ β thì hàm
f(x, u, y, v, z) phải thỏa mãn điều kiện Nagumo tương ứng với α , β , tức là, tồn
tại hàm dương h(z) trên [0, ∞) sao cho
|f(x, u, y, v, z)| ≤ h(|z|)
35

46. với mọi (x, u, y, v, z) ∈ [0, 1] × [−M, M]2
× [α , β ] × R và
∞
λ
s
h(s)
ds > max
0≤x≤1
β (x) − min
0≤x≤1
α (x),
trong đó
λ = max{|β (1) − α (0)|, |β (0) − α (1)|}.
Trong [31], cũng với phương pháp nghiệm trên và nghiệm dưới, các tác giả chỉ
ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2.1.1). Trong công trình này, hàm
phi tuyến f cũng được giả thiết thỏa mãn điều kiện Nagumo, giảm theo u, y và
tăng chặt theo z. Các điều kiện chặt chẽ này làm giới hạn lớp các bài toán có
nghiệm duy nhất.
Rõ ràng, trong hai công trình nêu trên, các tác giả giả thiết về sự tồn tại của
nghiệm trên và nghiệm dưới mặc dù tìm được chúng như thế nào không phải là
việc đơn giản và khi tìm được các nghiệm này rồi cũng rất khó để kiểm tra điều
kiện Nagumo đối với hàm f.
Trong công trình [58], M. Pei và S.K. Chang đã sử dụng định lý bậc Leray-
Schauder chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1.1) với giả thiết hàm
f(x, u, y, v, z) thỏa mãn điều kiện Nagumo, không giảm theo u, không tăng theo y
và uf(x, −u, u, u, 0) > 0 với x ∈ [0, 1], |u| > A > 0.
Khác với các công trình nêu trên, trong [27], các tác giả thiết lập sự tồn tại
nghiệm của bài toán (2.1.1) bằng cách sử dụng phương pháp hạch sinh (reproducing
kernel). Trong công trình này, các điều kiện ràng buộc đối với hàm f được nới lỏng
tuy nhiên phương pháp giải bài toán không được đề cập đến.
Hoàn toàn khác với các ý tưởng trên, trong công trình [A3], với ý tưởng đưa
bài toán (2.1.1) về phương trình toán tử đối với hàm vế phải
ϕ(x) = f(x, u(x), u (x), u (x), u (x)),
xét trong một miền giới nội, chúng tôi chứng minh toán tử này là toán tử co với
một số điều kiện dễ kiểm tra đặt lên hàm f. Từ đó, chúng tôi thiết lập sự tồn tại
duy nhất nghiệm của bài toán, nghiên cứu phương pháp lặp tìm nghiệm ở mức
liên tục và mức rời rạc. Đồng thời chúng tôi cũng đưa ra những ví dụ cụ thể trong
trường hợp biết trước nghiệm đúng và chưa biết trước nghiệm đúng để minh họa
cho các kết quả lý thuyết. Phải nhấn mạnh rằng trong các ví dụ đưa ra, hàm
f(x, u, y, v, z) không thỏa mãn các điều kiện trong định lý về sự tồn tại và duy
nhất nghiệm của bài toán (2.1.1) trong [31].
2.1.1.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Để nghiên cứu bài toán (2.1.1), với hàm ϕ(x) ∈ C[0, 1], xét toán tử phi tuyến
A : C[0, 1] → C[0, 1] được xác định như sau
(Aϕ)(x) = f(x, u(x), u (x), u (x), u (x)), (2.1.2)
36

47. trong đó u(x) là nghiệm của bài toán
u(4)
(x) = ϕ(x), 0 < x < 1,
u(0) = 0, u (1) = 0,
au (0) − bu (0) = 0, cu (1) + du (1) = 0.
(2.1.3)
Mệnh đề 2.1. Hàm ϕ(x) là điểm bất động của toán tử A, tức là ϕ(x) là nghiệm
của phương trình toán tử
ϕ = Aϕ (2.1.4)
khi và chỉ khi hàm u(x) xác định từ bài toán (2.1.3) là nghiệm của bài toán (2.1.1).
Chứng minh. Giả sử ϕ(x) ∈ C[0, 1] là nghiệm của (2.1.4). Khi đó rõ ràng hàm u(x)
xác định từ bài toán (2.1.3) là nghiệm của bài toán (2.1.1).
Ngược lại, giả sử u(x) xác định từ (2.1.3) là nghiệm của (2.1.1). Khi đó,
ϕ(x) = f(x, u(x), u (x), u (x), u (x)),
tức là hàm ϕ thỏa mãn phương trình toán tử (2.1.4). Mệnh đề được chứng minh.
Từ mệnh đề trên ta thấy rằng, việc tìm nghiệm của bài toán (2.1.1) được đưa
về việc tìm điểm bất động của toán tử A. Ta sẽ chỉ ra rằng toán tử A là co với
một số điều kiện đặt lên hàm f. Trước tiên, ta chú ý rằng nghiệm duy nhất của
bài toán (2.1.3) biểu diễn được trong dạng
u(x) =
1
0
G(x, t)ϕ(t)dt, (2.1.5)
trong đó G(t, s) là hàm Green
G(x, t) =
1
6ρ



x(ac(1 − t)(3t − x2
) + ad(6t − x2
− 3t2
)
+bc(1 − t)(3 + 3t − 3x) + bd(6 − 3x)), 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
ac(3xt − 3x2
t + x3
t − t3
) + ad(6xt − 3x2
t − t3
)
+bc(3x − 3x2
+ x3
− t3
) + bd(6x − 3x2
), 0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
Từ (2.1.5) ta có
u (x) =
1
0
Gx(x, t)ϕ(t)dt, (2.1.6)
ở đây
Gx(x, t) =
1
2ρ



ac(1 − t)(t − x2
) + ad(2t − x2
− t2
)
+bc(1 − t)(1 + t − 2x) + bd(2 − 2x), 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
act(1 − x)2
+ ad(2t − 2tx) + bc(1 − x)2
+ bd(2 − 2x),
0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
37

48. Ta thấy các hàm G(x, t), Gx(x, t) là không âm và
max
0≤x≤1
1
0
G(x, t)dt = ρ1 =
1
24
+
2ad + bc + 6bd
12ρ
,
max
0≤x≤1
1
0
Gx(x, t)dt = ρ2 =
1
12
+
ad + bc + 4bd
4ρ
.
(2.1.7)
Để ý rằng nếu ta đặt v(x) = u (x) thì bài toán (2.1.3) đưa được về hai bài toán
cấp hai
v (x) = ϕ(x), 0 < x < 1,
av(0) − bv (0) = 0, cv(1) + dv (1) = 0,
(2.1.8)
u (x) = v(x), 0 < x < 1,
u(0) = 0, u (1) = 0.
(2.1.9)
Khi đó toán tử A xác định ở (2.1.2) biểu diễn được trong dạng
(Aϕ)(x) = f(x, u(x), y(x), v(x), z(x)), (2.1.10)
y(x) = u (x), z(x) = v (x). (2.1.11)
Với M > 0, ta định nghĩa miền
DM = (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, |u| ≤ ρ1M, |y| ≤ ρ2M, |v| ≤ ρ3M, |z| ≤ ρ4M ,
ở đây ρ1, ρ2 được xác định ở (2.1.7) và
ρ3 =
1
2
a(d + c/2)
ρ
2
+
b(d + c/2)
ρ
, ρ4 =
1
ρ
ac
2
+ max(ad, bc) . (2.1.12)
Kí hiệu B[O, M] là hình cầu đóng tâm O bán kính M trong không gian các hàm
liên tục C[0, 1] với chuẩn ϕ = max0≤x≤1 |ϕ(x)|.
Bổ đề 2.1. Giả sử tồn tại các hằng số M > 0, K1, K2, K3, K4 ≥ 0 sao cho
|f(x, u, y, v, z)| ≤ M (2.1.13)
với mọi (x, u, y, v, z) ∈ DM . Khi đó toán tử A ánh xạ B[O, M] vào chính nó. Ngoài
ra, nếu
|f(x, u2,y2, v2, z2) − f(x, u1, y1, v1, z1)|
≤ K1|u2 − u1| + K2|y2 − y1| + K3|v2 − v1| + K4|z2 − z1|
(2.1.14)
với mọi (t, ui, yi, vi, zi) ∈ DM (i = 1, 2) và
q = K1ρ1 + K2ρ2 + K3ρ3 + K4ρ4 < 1 (2.1.15)
thì A là toán tử co trong B[O, M].
38

49. Chứng minh. Lấy hàm ϕ bất kỳ thuộc B[O, M]. Khi đó từ (2.1.5)-(2.1.7) ta thu
được
u ≤ ρ1 ϕ , u ≤ ρ2 ϕ . (2.1.16)
Để đánh giá u và u ta để ý rằng nghiệm của bài toán (2.1.8) biểu diễn được
trong dạng
v(x) =
1
0
G1(x, t)ϕ(t)dt, (2.1.17)
ở đây G1 là hàm Green
G1(x, t) =
1
ρ
(ct − c − d)(b + ax), 0 ≤ x ≤ t ≤ 1,
(b + at)(cx − c − d), 0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
(2.1.18)
Dễ kiểm tra được G1(x, t) ≤ 0 và
max
0≤x≤1
1
0
|G1(x, t)|dt = ρ3,
trong đó ρ3 được xác định ở (2.1.12). Do đó từ (2.1.17) ta suy ra
u = v ≤ ρ3 ϕ . (2.1.19)
Từ (2.1.17), (2.1.18) ta có
v (x) =
1
ρ
x
0
(b + at)(cx − c − d)ϕ(t)dt +
1
x
(b + ax)(ct − c − d)ϕ(t)dt
x
=
1
ρ
x
0
c(b + at)ϕ(t)dt +
1
x
a(ct − c − d)ϕ(t)dt .
Dễ thấy
u = v ≤ ρ4 ϕ , (2.1.20)
trong đó ρ4 được xác định ở (2.1.12). Kết hợp (2.1.11), (2.1.16), (2.1.19), (2.1.20)
và ϕ ≤ M ta thu được
u ≤ ρ1M, y ≤ ρ2M, v ≤ ρ3M, z ≤ ρ4M. (2.1.21)
Do đó, (x, u, y, v, z) ∈ DM . Từ (2.1.10) và (2.1.13) suy ra Aϕ ∈ B[O, M], tức là,
toán tử A ánh xạ B[O, M] vào chính nó.
Bây giờ ta lấy hai hàm bất kỳ ϕ1, ϕ2 ∈ B[O, M] và giả sử u1, u2 tương ứng là
nghiệm của bài toán (2.1.3) ứng với ϕ1, ϕ2. Ta cũng kí hiệu yi = ui , vi = ui , zi =
vi (i = 1, 2). Khi đó với cách đánh giá như ở trên ta thu được (x, ui, yi, vi, zi) ∈
DM (i = 1, 2). Từ (2.1.21) ta có
u2 − u1 ≤ ρ1 ϕ2 − ϕ1 , y2 − y1 ≤ ρ2 ϕ2 − ϕ1 ,
v2 − v1 ≤ ρ3 ϕ2 − ϕ1 , z2 − z1 ≤ ρ4 ϕ2 − ϕ1 .
(2.1.22)
39

50. (2.1.10) và (2.1.14) kéo theo
|(Aϕ2 − Aϕ1)(x)| = |f(x, u2, y2, v2, z2) − f(x, u1, y1, v1, z1)|
≤ K1|u2 − u1| + K2|y2 − y1| + K3|v2 − v1| + K4|z2 − z1|,
kết hợp với (2.1.22) ta được
Aϕ2 − Aϕ1 ≤ (K1ρ1 + K2ρ2 + K3ρ3 + K4ρ4) ϕ2 − ϕ1 .
Do đó từ điều kiện (2.1.15) ta suy ra A là toán tử co trong B[O, M].
Định lý 2.1. Giả sử rằng tất cả các điều kiện trong Bổ đề 2.1 đều được thỏa mãn.
Khi đó, bài toán (2.1.1) có duy nhất nghiệm u và
u ≤ ρ1M, u ≤ ρ2M, u ≤ ρ3M, u ≤ ρ4M.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1, A là toán tử co trong B[O, M]. Do đó phương trình
ϕ = Aϕ có duy nhất nghiệm ϕ với ϕ ≤ M. Điều này cho thấy bài toán (2.1.1)
có duy nhất nghiệm u xác định từ (2.1.3) ứng với hàm ϕ tìm được. Đánh giá đối
với u, u , u , u được suy ra trực tiếp từ (2.1.21).
Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt của Định lý 2.1. Kí hiệu
D+
M = (x, u, y, v, z) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ u ≤ ρ1M,
0 ≤ y ≤ ρ2M, −ρ3M ≤ v ≤ 0, −ρ4M ≤ z ≤ ρ4M
và
SM = {ϕ ∈ C[0, 1] | 0 ≤ ϕ(x) ≤ M}.
Định lý 2.2. (Tính dương của nghiệm)
Giả sử trong D+
M hàm f thỏa mãn
0 ≤ f(x, u, y, v, z) ≤ M
và các điều kiện (2.1.14), (2.1.15) của Bổ đề 2.1 đều được thỏa mãn. Khi đó bài
toán (2.1.1) có nghiệm không âm duy nhất.
Chứng minh. Cách chứng minh Định lý 2.2 hoàn toàn tương tự với cách chứng
minh Định lý 2.1 sử dụng các kết quả của Bổ đề 2.1, ở đây ta thay DM và B[O, M]
tương ứng bởi D+
M và SM .
40