Tài liệu trình bày về giải tích lồi rời rạc và các ứng dụng trong toán kinh tế, tập trung vào các hàm lồi rời rạc và các định lý liên quan. Nó bao gồm ba chương, từ các khái niệm cơ bản đến ứng dụng trong các bài toán kinh tế cụ thể. Mục tiêu nghiên cứu là tìm hiểu kiến thức mới về lĩnh vực này và áp dụng vào các bài toán thực tiễn.

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BÀI THU HOẠCH
GIẢI TÍCH LỒI RỜI RẠC & ỨNG DỤNG
TRONG TOÁN KINH TẾ
PHÙNG KHẮC VŨ
CẦN THƠ, 07 - 2021

2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BÀI THU HOẠCH
GIẢI TÍCH LỒI RỜI RẠC & ỨNG DỤNG TRONG
TOÁN KINH TẾ
PHÙNG KHẮC VŨ
M0720004
GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: GS. LÂM QUỐC ANH
CẦN THƠ, 07 - 2021

3. Mục lục
Chương 1. Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Tập lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 2. Tổng quan về giải tích lồi rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1. Hàm lồi mở rộng và hàm lồi tách được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1. Hàm lồi mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2. Hàm lồi tách được. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2. Hàm L -lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1. Khái niệm về hàm L/L
–lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Hàm M -lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1. Khái niệm về hàm M/M
–lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4. Các lớp hàm lồi rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5. Hàm lồi rời rạc với biến liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1. Hàm L - lồi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.2. Hàm M−lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.6. Liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6.1. Trường hợp liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i

4. Mục lục ii
2.6.2. Trường hợp rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.7. Định lí tách và đối ngẫu Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.1. Định lí tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7.2. Đối ngẫu Fenchel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Chương 3. Một số ứng dụng trong toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1. Hàm M
−lõm trong Toán kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2. Tổng quan về mô hình thị trường kết hợp hai mặt. . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3. Mô hình Arrow-Debreu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4. Một mô hình với các sản phẩm thay thế và bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5. Mô hình đấu giá tổ hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.6. Mô hình hôn nhân ổn định tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.7. Mô hình lai tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5. Danh mục ký hiệu
Z : Tập hợp các số nguyên;
R : Tập hợp các số thực;
∅ : Tập rỗng;
δS : Hàm chỉ thị của tập S;
domf : Miền hữu hiệu của hàm f;
dze : Làm tròn lên số nguyên gần nhất;
bzc : Làm tròn xuống số nguyên gần nhất;
f1f2 : Tích chập của hai hàm;
f•
: Liên hợp lồi của hàm f;
h◦
: Liên hợp lõm của hàm h;
argminZ f : Tập cực tiểu của hàm f trên tập Z;
argmaxZ f : Tập cực đại của hàm f trên tập Z;
χS : Vecto đặc trưng của S;
iii

6. MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giải tích lồi rời rạc là một lĩnh vực khá mới mẻ trong lĩnh vực Toán học,
cụ thể hơn là Toán giải tích. Trong nhiều năm gần đây, lĩnh vực này được rất
nhiều các nhà toán học nghiên cứu, một trong số đó không thể không kể đến
nhà toán học Murota đã có những đóng góp lớn trong nghiên cứu này. Trong
giải tích lồi rời rạc các hàm lồi rời rạc đóng một vai trò chủ đạo, đặc biệt được
ứng dụng rất nhiều vào trong toán tối ưu.
Trong tối ưu hoá các định lí về các hàm L/L
−lồi và M/M
−lồi cũng như
các Định lí tách,...đều có ứng dụng rất lớn, một trong số đó là ứng dụng trong
toán kinh tế. Dựa trên cơ sở đó, chúng tôi chọn đề tài Giải tích lồi rời rạc ứng
dụng trong toán kinh tế.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu các kiến thức mới về lĩnh vực
giải tích lồi rời rạc, cụ thể là các hàm lồi rời rạc và một số ứng dụng vào trong
các bài toán kinh tế.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
3.1. Đối tượng nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu về các hàm lồi rời rạc và ứng
dụng của chúng vào trong các bài toán kinh tế.
3.2. Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là một số ứng dụng của các hàm lồi rời rạc
vào trong toán kinh tế.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên
cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, trình bày các vấn đề đặt ra trong hệ
thống kiến thức đang nghiên cứu.
1

7. Mục lục 2
5. BỐ CỤC
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung bài thu hoạch
gồm có 3 chương.
Chương 1. Trình bày khái niệm cơ bản về tập lồi và hàm lồi thông thường.
Chương 2. Trình bày các khái niệm về các hàm lồi rời rạc trong giải tích lồi
rời rạc, bên cạnh đó là một số ví dụ, tính chất đặc trưng và mối quan hệ giữa
các lớp hàm lồi rời rạc. Trong chương này, ta cũng chú trọng đến liên hợp và
đối ngẫu của các hàm lồi rời rạc, đáng chú ý là định lí tách rời rạc và nguyên lý
đối ngẫu Frenchel.
Chương 3. Chương cuối cùng, trình bày những bài toán trong kinh tế mà
trong đó những nguyên lý của giải tích lồi rời rạc, cụ thể là hàm M−lõm được
ứng dụng.

8. NỘI DUNG
Giải tích lồi rời rạc [19, 41, 44, 48] nhằm mục đích thiết lập một khung lý
thuyết chung cho các bài toán tối ưu hóa rời rạc có thể giải quyết bằng cách
kết hợp các ý tưởng trong tối ưu hóa liên tục và tối ưu hóa tổ hợp. Khung lý
thuyết giải tích lồi với các thiết lập rời rạc và kết quả toán học trong lý thuyết
hàm matroid /modun con được khái quát hóa. Phép chiếu liên tục, là một lý
thuyết về các hàm lồi f : Rn
→ R có các thuộc tính tổ hợp bổ sung. Phép chiếu
rời rạc, là một lý thuyết về các hàm rời rạc f : Zn
→ R hoặc f : Zn
→ Z có
được một số tính chất nhất định có thể so sánh với tính lồi. Về mặt biểu tượng,
Giải tích lồi rời rạc = Giải tích lồi + Lý thuyết Matroid.
Lý thuyết mở rộng hướng được đưa ra bởi J. Edmonds [12], A. Frank [17],
S. Fujishige [18], and L. Lovasz [35]. Đọc giả gọi là [60] giải tích lồi, [9, 33, 61]
tối ưu hóa tổ hợp, [58, 59, 72] lý thuyết matroid và [19, 71] lý thuyết hàm dưới
modun.
Hai khái niệm lồi, được gọi là L−lồi và M−lồi, đóng vai trò chính trong giải
tích lồi rời rạc. Hàm L−lồi và hàm M−lồi được liên hợp với nhau thông qua
phép biến đổi Legendre-Fenchel (liên tục hoặc rời rạc). Cần lưu ý rằng L là
viết tắt của Lattice và M cho Matroid.
3

9. Chương 1
Kiến thức cơ sở
Trong chương này chúng tôi đề cập đến một số khái niệm cơ bản liên quan
đến tập lồi và hàm lồi.
1.1 Tập lồi
Định nghĩa 1.1 Một tập S ⊆ Rn
được gọi là tập lồi nếu thoả mãn điều kiện
x, y ∈ S, 0 ≤ λ ≤ 1 =⇒ λx + (1 − λ)y ∈ S
trong đó, tập rỗng là một tập lồi.
Hình 1.1: Tập lồi và tập không lồi
Một tập S ⊆ Rn
được gọi là nón nếu thoả
x ∈ S, λ 0 =⇒ λx ∈ S
Một tập S ⊆ Rn
được gọi là nón lồi nếu và chỉ nếu nó thoả mãn điều kiện
x, y ∈ S, λ, µ 0 =⇒ λx + µy ∈ S
4

10. 1.2. HÀM LỒI 5
Một đa diện lồi là một tập lồi điển hình S được mô tả bởi một số hữu hạn các
bất đẳng thức tuyến tính như sau
S =







x ∈ Rn
|
n
X
j=1
aijx(j) ≤ bi(i = 1, . . . , m)







trong đó aij ∈ R và bi ∈ R (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n). Nếu bi = 0 với mọi i, thì S
là một nón lồi.
Một tập hữu hạn các điểm x1, . . . , xm trong S, một điểm được biểu diển bởi
λ1x1 + · · · + λmxm
với hệ số không âm λi(1 ≤ i ≤ m). Khi đó
Pm
i=1 λi = 1
được gọi là tổ hợp lồi của
điểm đó.
Định lý sau đây cho ta các tính chất cơ bản của tập lồi.
Định lý 1.1 (a) Giao của một họ tùy ẏ các tập lồi là một tập lồi.
(b) Tổng hữu hạn các tập lồi là một tập lồi.
(c) Nếu S là một tập lồi và λ ∈ R thì λS = {λx : x ∈ S} là tập lồi.
Hơn nữa, nếu S là tập lồi và λ1, λ2 là các số dương thì (λ1 + λ2) S = λ1S + λ2S.
(d) Bao đóng và phần trong của một tập lồi là các tập lồi.
(e) Ảnh và tạo ảnh của các tập lồi qua ánh xạ affine là các tập lồi.
1.2 Hàm lồi
Định nghĩa 1.2 Một hàm f : Rn
→ R ∪ {+∞} được gọi là hàm lồi nếu
λf(x) + (1 − λ)f(y) ≥ f(λx + (1 − λ)y),
với mọi x, y ∈ Rn
và λ với 0 ≤ λ ≤ 1.
Ngược lại một hàm h : Rn
→ R ∪ {−∞} được gọi là hàm lõm nếu −h là hàm lồi.
Hàm chỉ thị của tập S là hàm δS : Rn
→ {0, +∞} cho bởi
δS(x) =







0 (x ∈ S),
+∞ (x S).
Khi đó S là tập lồi nếu và chỉ nếu δS là hàm lồi. Tiếp theo, cho một hàm
f : Rn
→ R ∪ {±∞, }, tập cho bởi
dom f = domR f =
x ∈ Rn
| −∞ f(x) +∞
,

11. 1.2. HÀM LỒI 6
Hình 1.2: Hàm lồi
được gọi là miền hữu hiệu của f. Một hàm lồi f với dom f , ∅ được gọi là hàm
lồi chính thường.
Một điểm x ∈ Rn
được gọi là cực tiểu toàn cục của f nếu bất đẳng thức
f(x) ≤ f(y) đúng với mọi y ∈ Rn
. Điểm x được gọi là cực tiểu địa phương nếu bất
đẳng thức f(x) ≤ f(y) đúng với mỗi y thuộc vào lân cận của x. Tập các điểm
cực tiểu và cực đại toàn cục kí hiệu bởi
argminR f =
x ∈ Rn
| f(x) ≤ f(y) ∀y ∈ Rn
.
argmaxR f =
x ∈ Rn
| f(x) ≥ f(y) ∀y ∈ Rn
.
là các tập lồi với f là hàm lồi. Hàm lồi và các định lí về hàm lồi là vấn đề chính
trong các bài toán về tối ưu hoá và chúng tôi sẽ giới thiệu trong các phần tiếp
theo.

12. Chương 2
Tổng quan về giải tích lồi rời rạc
Bây giờ, ta xét thế nào là khái niệm một hàm lồi theo nghĩa các biến rời rạc.
Một cách tự nhiên, một hàm bất kì f : Zn
→ R ∪ {+∞} có các tính chất sau thì
được xác định như là hàm lồi rời rạc.
1. Hàm f được mở rộng đến một hàm lồi trên Rn
.
2. Tối ưu địa phương (hoặc cực tiểu địa phương) như là tối ưu toàn cục.
3. Định lí đối ngẫu đúng cho quan hệ min-max và định lí tách.
Tiếp theo, ta đi vào tìm hiểu một số khái niệm liên quan đến hàm lồi rời
rạc.
2.1 Hàm lồi mở rộng và hàm lồi tách được
2.1.1 Hàm lồi mở rộng
Trước tiên ta bắt đầu với khái niệm hàm lồi mở rộng, đây được xem như là
một đề cử tự nhiên cho tính lồi rời rạc mà chúng tôi sẽ trình bày tiếp theo.
Định nghĩa 2.1 Cho hàm f : Zn
→ R ∪ {+∞} được gọi là hàm lồi mở rộng nếu và
chỉ nếu ∃ ¯
f : Zn
→ R ∪ {+∞} là hàm lồi sao cho
¯
f(x) = f(x) (∀x ∈ Zn
) .
Ta nói h là hàm lõm mở rộng nếu −h là hàm lồi mở rộng.
Định nghĩa 2.2 Một tập S ⊆ Zn
được gọi là tập lồi mở rộng nếu và chỉ nếu hàm chỉ
thị δS : Zn
→ {0, +∞} là hàm lồi mở rộng.
7

13. 2.1. HÀM LỒI MỞ RỘNG VÀ HÀM LỒI TÁCH ĐƯỢC 8
Hình 2.1: Hàm lồi mở rộng và hàm không lồi mở rộng
Hình 2.2: Tập lồi mở rộng và tập không lồi mở rộng
Mệnh đề 2.1 Một tập S ⊆ Zn
được gọi là tập lồi mở rộng nếu và chỉ nếu conv(S) ∩
Zn
= S (điều kiện không lỗ trống).
Trường hợp đơn biến (n = 1) là hiển nhiên. Chúng ta có thể xem một hàm
f : Z → R ∪ {+∞} là một hàm lồi rời rạc nếu như
(2.1) f(x − 1) + f(x + 1) ≥ 2f(x) (∀x ∈ Z).
Điều này được chứng minh bằng các định lí sau.
Định lý 2.1 Một hàm f : Z → R ∪ {+∞} là lồi mở rộng nếu và chỉ nếu thoả mãn
2.1.
Định lý 2.2 Cho hàm f : Z → R ∪ {+∞} thoả mãn 2.1, một điểm x ∈ domZ f là
điểm cực tiểu toàn cục nếu và chỉ nếu nó là cực tiểu địa phương theo nghĩa là
f(x) ≤ min{f(x − 1), f(x + 1)}.

14. 2.1. HÀM LỒI MỞ RỘNG VÀ HÀM LỒI TÁCH ĐƯỢC 9
Với bất cứ hàm f nào với domf = {0, 1}n
là hàm lồi mở rộng. Đây là một cấu
trúc không hoàn hảo lắm. Hơn nữa, tối ưu địa phương không đảm bảo tối ưu
toàn cục. Chẳng hạn, ∀k ∈ Z+, ∃ f : là một hàm lồi mở rộng sao cho x là cực tiểu
địa phương trong {z ∈ Zn
|||z − x||∞ ≤ k} nhưng không là cực tiểu toàn cục.
Ví dụ 2.1. Giả sử dom f = Z2
+, f (x1, x2) = max {x1 − 3x2, −2x1 + 3x2},
Hình 2.3: Cực tiểu địa phương không là cực tiểu toàn cục
x = (0, 0) : là cực tiểu địa phương trong {z ∈ Zn
|||z − x||∞ ≤ 1} , f(0, 0) f(2, 1).
Từ đây, ta dẫn đến một khái niệm về hàm lồi tách được.
2.1.2 Hàm lồi tách được
Định nghĩa 2.3 Cho f : Zn
→ R ∪ {+∞} là hàm lồi tách được nếu và chỉ nếu
f(x) =
n
X
i=1
ϕi(xi),
trong đó x = (xi | i = 1, . . . , n) và ϕi : Z → R ∪ {+∞} là hàm lồi một biến (trường
hợp n = 1).
Chẳng hạn các hàm
Pn
i=1 x(i)2
; −
Pn
i=1 log x(i). Thoả mãn một số tính chất
như: là hàm lồi mở rộng, cực tiểu địa phương trên {z| ||z − x||1 ≤ 1} = cực tiểu
toàn cục. Nhưng lớp hàm của các hàm lồi tách được quá nhỏ (domf chỉ là các
khoảng số nguyên). Nên tiếp tục mở rộng thêm các hàm mới, ta bắt đầu tìm
hiểu về hàm L−lồi và hàm M−lồi, cách xây dựng, một số tính chất và ví dụ về
chúng.

15. 2.2. HÀM L -LỒI 10
2.2 Hàm L -lồi
2.2.1 Khái niệm về hàm L/L
–lồi
Chúng tôi giải thích khái niệm về hàm L−lồi [41] bằng cách giới thiệu một
biến thể tương đương, được gọi là hàm L
−lồi. Ở đây ta hiểu L
là L tự nhiên
và L là viết tắt của Lattice.
Đầu tiên quan sát thấy hàm lồi g : Rn
→ R ∪ {+∞} thoả
(2.2) g(p) + g(q) ≥ g
p + q
2
+ g
p + q
2
= 2g
p + q
2
, p, q ∈ Rn
,
trường hợp đặc biệt của hàm lồi thông thường với λ = 1/2. Tính chất này được
gọi là tính lồi trung điểm và nó tương đương với tính lồi thông thường nếu g
là một hàm liên tục.
Cho hàm g : Zn
→ R ∪ {+∞} với các biến rời rạc, bất đẳng thức trên không
phải lúc nào cũng đúng, khi đó trung điểm
p + q
2
của hai vecto nguyên p và q
có thể không nguyên. Thay vào đó, 2.2 viết lại
(2.3) g(p) + g(q) ≥ g
p + q
2
+ g
p + q
2
, p, q ∈ Zn
,
trong đó, z ∈ R, dze biểu thị số nguyên nhỏ nhất không nhỏ hơn z (làm tròn lên
số nguyên gần nhất) và bzc là số nguyên lớn nhất không lớn hơn z (làm tròn
xuống số nguyên gần nhất). Khi đó, ta nói hàm g : Zn
→ R ∪ {+∞} là L
−lồi
nếu thoả 2.3. Trường hợp n = 1, L
−lồi tương đương với điều kiện 2.1 và tính
chất thoả mãn 2.3 được gọi là tính lồi trung điểm rời rạc.
Hình 2.4: Tính lồi trung điểm rời rạc
Tiếp theo, ta có các định lí về hàm L
−lồi.
Định lý 2.3 Một hàm L
−lồi g : Zn
→ R ∪ {+∞} là hàm lồi mở rộng.

16. 2.2. HÀM L -LỒI 11
Định lý 2.4 Cho hàm g : Zn
→ R ∪ {+∞} là L
−lồi, khi đó một điểm p ∈ domZ g là
tối ưu toàn cục nếu và chỉ nếu nó là tối ưu địa phương theo nghĩa là
(2.4) g(p) ≤ min{g(p − q), g(p + q)}, ∀p, q ∈ {0, 1}n
.
Cho hai vecto p và q, khi đó vecto thành phần cực đại và cực tiểu của chúng
được kí hiệu lần lượt là p ∨ q và p ∧ q, cho bởi
(p ∨ q)i = max pi, qi
, (p ∧ q)i = min pi, qi
.
Định nghĩa 2.4 Một hàm g : Zn
→ R ∪ {+∞} gọi là dưới modun nếu
(2.5) g(p) + g(q) ≥ g(p ∨ q) + g(p ∧ q), p, q ∈ Zn
,
gọi là trên modun nếu
(2.6) g(p) + g(q) ≤ g(p ∨ q) + g(p ∧ q), p, q ∈ Zn
,
và gọi là dưới modun tịnh tiến nếu
(2.7) g(p) + g(q) ≥ g((p − α1) ∨ q) + g(p ∧ (q + α1)), α ∈ Z+, p, q ∈ Zn
,
trong đó 1 = (1, 1, . . . , 1) và Z+ là tập các số nguyên không âm.
Hình 2.5: Dưới modun
Định lý 2.5 Cho hàm g : Zn
→ R ∪ {+∞} là hàm L
−lồi khi và chỉ khi
(2.8) g̃ p0, p
= g p − p01
là hàm dưới modun trong p0, p
, trong đó g̃ : Zn+1
→ R, và 1 = (1, 1, . . . , 1, 1).

17. 2.2. HÀM L -LỒI 12
Khi đó, một hàm L−lồi được định nghĩa như là hàm L
−lồi g thoả mãn tính
tuyến tính
(2.9) g(p + 1) = g(p) + r,
với r ∈ R (độc lập với p ).
Ta nói rằng hàm g là L−lồi nếu thoả tính chất 2.5 và 2.8, trên thực tế đây là
định nghĩa ban đầu của hàm L−lồi. Hàm L−lồi và hàm L
−lồi về cơ bản là như
nhau.
Định lý 2.6 Cho hàm g : Zn
→ R ∪ {+∞} với dom g , ∅, khi đó g là hàm L
−lồi
⇐⇒ g thoả mãn bất đẳng thức (2.6).
CHỨNG MINH: Giả sử hàm g̃ được định nghĩa trong 2.7. Tính dưới modun của
hàm g̃
g̃ p0, p
+ g̃ q0, q
≥ g̃ p0 ∨ q0, p ∨ q
+ g̃ p0 ∧ q0, p ∧ q
.
Suy ra
g p − p01
+ g q − q01
≥ g (p ∨ q) − p0 ∨ q0
1
+ g (p ∧ q) − p0 ∧ q0
1
,
trên g. Giả định rằng α = q0 − p0 ≥ 0, đặt p0
= p − p01 và q0
= q − q01. Khi đó
(p ∨ q) − p0 ∨ q0
1 = p0
− α1
∨ q0
và (p ∧ q) − p0 ∧ q0
1 = p0
∧ q0
+ α1
. Do đó,
bất đẳng thức 2.6 thoả mãn.
Nhận xét: Hàm L
−lồi và hàm dưới modun
(a) Tính dưới modun con không bao hàm tính lồi.
(b) Một hàm g : Z → R là L
−lồi khi và chỉ khi
g(p − 1) + g(p + 1) ≥ 2g(p), p ∈ Z.
* Mối liên hệ giữa tính lồi trung điểm rời rạc và tính modun con
Cho p, q ∈ {0, 1}n
. Khi đó tính lồi trung điểm rời rạc tương đương với tính
modun con với hàm g là L
−lồi
g(p) + g(q) ≥ g
p + q
2
+ g
p + q
2
⇐⇒ g(p) + g(q) ≥ g(p ∨ q) + g(p ∧ q),
với p, q ∈ Zn
.

18. 2.2. HÀM L -LỒI 13
Hình 2.6: Tính lồi trung điểm rời rạc và tính dưới modun
2.2.2 Một số ví dụ
Để hiểu rõ hơn về các hàm L
−lồi và hàm L−lồi ta cùng tìm hiểu một số ví
dụ sau đây. Các điều dưới đây được ghi nhận:
1. Miền hữu hiệu của một hàm L
−lồi là một tập L
−lồi. Tức là domf là tập
L
−lồi với f là hàm L
−lồi.
2. Hàm L
−lồi vẫn là hàm L
−lồi khi miền hữu hiệu của nó bị giới hạn bởi
bất kì tập L
−lồi nào.
3. Tổng các hàm L
−lồi là hàm L
−lồi.
Chú ý: Các điều trên vẫn đúng khi thay thế hàm L
−lồi bời hàm L−lồi.
Tiếp theo ta xét hàm với các biến rời rạc p = p1, . . . , pn
∈ Zn
.
Ví dụ 2.2 (Hàm tuyến tính). Một hàm tuyến tính (hoặc affine)
g(p) = α + hp, xi,
với x ∈ Rn
và α ∈ R là L−lồi và cũng là L
−lồi.
Ví dụ 2.3 (Hàm bậc hai). Một hàm bậc hai
g(p) =
n
X
i=1
n
X
j=1
aijpipj,
với aij = aji ∈ R(i, j = 1, . . . , n) là L
−lồi nếu và chỉ nếu
aij ≤ 0 (i , j),
n
X
j=1
aij ≥ 0 (i = 1, . . . , n),

19. 2.2. HÀM L -LỒI 14
và nó là L−lồi nếu và chỉ nếu
aij ≤ 0 (i , j),
n
X
j=1
aij = 0 (i = 1, . . . , n).
Ví dụ 2.4 (Hàm lồi tách được). Cho hai hàm lồi đơn biến ψi(i = 1, . . . , n) và
ψij(i, j = 1, . . . , n; i , j). Khi đó hàm
g(p) =
n
X
i=1
ψi pi
+
X
i,j
ψij
pi − pj
,
là hàm L
−lồi và nó là hàm L−lồi nếu ψi = 0 với i = 1, . . . , n.
Ví dụ 2.5 (Hàm cực đại). Cho một hàm cực đại sau, với mỗi τ0, τ1, . . . , τn ∈ R∪
{+∞},
g(p) = max
τ0, p1 + τ1, p2 + τ2, . . . , pn + τn
,
là hàm L
−lồi và là hàm L−lồi nếu τ0 không tồn tại, tức là τ0 = −∞. Do đó
g(p) = max
p1, p2, . . . , pn
− min
p1, p2, . . . , pn
là L−lồi. Hơn nữa, nếu ψ là một hàm lồi đơn biến không tăng thì
g(p) = ψ
max
1≤i≤n
pi + τi
,
là hàm L
−lồi.
Ví dụ 2.6 (Họ các hàm modun con). Một họ các hàm modun con ρ : 2V
→
R ∪ {+∞} có thể được định nghĩa với một hàm L
−lồi g tương ứng như sau
g (χX) = ρ(X) với X ⊆ V, trong đó domZ g ⊆ {0, 1}n
.
Ví dụ 2.7 (Hàm đa modun). Một hàm h : Zn
→ R ∪ {+∞} được gọi là đa
modun nếu và chỉ nếu nó được biểu thị dưới dạng
h(p) = g p1, p1 + p2, . . . , p1 + · · · + pn
trong đó g là hàm L
−lồi. [1, 2, 22, 45].
Các ví dụ trên được xây dựng trên các hàm với biến liên tục p ∈ Rn
. Các
hàm g nêu trên được hiểu là hàm L
−lồi hoặc hàm L−lồi nếu các biến là các
số thực hoặc vecto. Đáng chú ý, hàm L
−lồi bậc hai giống như dạng Dirichlet
(trường hợp số chiều hữu hạn) trong lý thuyết xác suất [21]. Ngoài ra, năng
lượng tiêu thụ trong mạng điện phi tuyến, khi được thể hiện dưới dạng một
hàm trong điện áp giá trị đầu cuối, là hàm L
−lồi [43, mục 2.2].

20. 2.3. HÀM M -LỒI 15
2.3 Hàm M -lồi
2.3.1 Khái niệm về hàm M/M
–lồi
Giống như hàm L - lồi đã được xác định bằng tính lồi trung điểm rời rạc thì
sau đây một hàm lồi rời rạc khác được gọi là hàm M−lồi được xác định thông
qua một tính lồi rời rạc khác. Đầu tiên ta thấy một hàm lồi f trên Rn
thoả mãn
bất đẳng thức
(2.10) f(x) + f(y) ≥ f(x − α(x − y)) + f(y + α(x − y)),
với mọi α ∈ R với 0 ≤ α ≤ 1. Đây là bất đẳng thức dạng 2.1 với λ = α và
λ = 1 − α, chú ý rằng f là một hàm liên tục. Bất đẳng thức 2.10 nói rằng, tổng
của hai giá trị hàm tại hai điểm x và y không tăng nếu khoảng di chuyển của
hai điểm này là như nhau (xem hình 2.8). Đây được xem là tính lồi đều của hàm
f.
Hình 2.7: Tính lồi đều
Cho hàm f : Zn
→ R ∪ {+∞} với biến rời rạc, ta mô phỏng độ lồi đều có
dạng 2.9 bằng cách di chuyển một cặp điểm (x, y) sang một cặp khác x0
, y0
dọc theo trục tọa độ thay vì trên đoạn nối x và y. Cụ thể hơn, xét hai khả năng
có thể xảy ra với cặp x0
, y0
(2.11) x0
, y0
= x − χu, y + χu
hoặc x0
, y0
= x − χu + χv, y + χu − χv
,
với các chỉ số u và v sao cho xu yu và xv yv (xem hình 2.8).
Cho vecto z ∈ Rn
, định nghĩa giá dương và giá âm của z bởi
supp+
(z) = {u | zu 0} , supp−
(z) = {v | zv 0} .

21. 2.3. HÀM M -LỒI 16
Khi đó biểu thức 2.10 có thể được viết gọn như sau
x0
, y0
= x − χu + χv, y + χu − χv
,
với u ∈ supp+
(x − y) và v ∈ supp−
(x − y) ∪ {0}, trong đó χ0 chỉ vecto 0.
Một tính chất tương tự như tính lồi đều 2.9 như sau.
Cho bất kì x, y ∈ domZ f (dom f , ∅ ) và u ∈ supp+
(x − y), khi đó tồn tại
v ∈ supp−
(x − y) ∪ {0} sao cho
(2.12) f(x) + f(y) ≥ f (x − χu + χv) + f y + χu − χv
,
được gọi là tính chất chuyển đổi hoặc tiên đề chuyển đổi.
Một hàm f : Zn
→ R ∪ {+∞} có tính chất chuyển đổi như trên được gọi là
hàm M
−lồi.
* Một cách tương tự, một hàm g : Zn
→ R ∪ {−∞} có tính chất sau
Cho bất kì x, y ∈ domZ f (dom f , ∅ ) và u ∈ supp+
(x − y), khi đó tồn tại
v ∈ supp−
(x − y) ∪ {0} sao cho
(2.13) f(x) + f(y) ≤ f (x − χu + χv) + f y + χu − χv
,
được gọi là hàm M
−lõm.
Trong trường hợp n = 1, tính M
−lồi tương đương với điều kiện 2.1.
Hình 2.8: Tính chất chuyển đổi
Định lý 2.7 Một hàm M
- lồi f : Zn
→ R ∪ {+∞} là hàm lồi mở rộng.
Định lý 2.8 Cho hàm f : Zn
→ R ∪ {+∞} là M
−lồi, khi đó điểm x ∈ domZ f là
điểm cực tiểu toàn cục nếu và chỉ nếu nó là điểm cực tiểu địa phương theo nghĩa là
f(x) ≤ f (x − χu + χv) (∀u, v ∈ {0, 1, . . . , n}).
Một hàm M−lồi được định nghĩa là hàm M
−lồi f thoả 2.13 với v ∈ supp−
(x−
y ).Điều này tương đương với f là hàm M−lồi nếu và chỉ nếu nó là hàm M
−lồi
và domZ f ⊆
x ∈ Zn
|
Pn
i=1 xi = r
với r ∈ Z.

22. 2.3. HÀM M -LỒI 17
2.3.2 Một số ví dụ
Một vài ví dụ cho hàm M
−lồi và M−lồi. Các sự kiện cơ bản sau đây được
ghi nhận.
1. Miền hữu hiệu của một hàm M
−lồi là tập M
−lồi.
2. Một hàm M
−lồi không nhất thiết vẫn là M
−lồi khi miền hữu hiệu của
nó bị giới hạn trong tập M
−lồi .
3. Tổng các hàm M
−lồi không nhất thiết là M
−lồi .
4. Tích chập của hàm M
−lồi f1 và f2, xác định bởi
f1f2
(x) = inf
f1 (x1) + f2 (x2) | x = x1 + x2
,
là M
−lồi nếu f1f2 không nhận giá trị −∞, trong đó x1, x2 ∈ Zn
trong trường
hợp rời rạc và x1, x2 ∈ Rn
trong trường hợp liên tục.
Chú ý: Các điều trên vẫn đúng khi thay thế hàm M
−lồi bời hàm M−lồi.
Tiếp theo ta xét hàm với các biến rời rạc x = (x1, . . . , xn) ∈ Zn
Ví dụ 2.8 (Hàm tuyến tính). Một hàm tuyến tính (hoặc affine)
f(x) = α + hp, xi,
với p ∈ Rn
và α ∈ R là M
−lồi. Nó cũng là M−lồi nếu domZ f là tập M−lồi.
Ví dụ 2.9 (Hàm bậc hai). Một hàm bậc hai
f(x) =
n
X
i=1
n
X
j=1
aijxixj,
với aij = aji ∈ R (i, j = 1, . . . , n) là M
−lồi nếu và chỉ nếu aij ≥ 0 với mọi (i, j) và
aij ≥ min
aik, ajk
if {i, j} ∩ {k} = ∅,
trong đó domZ f = Zn
. Một hàm f, với domZ f =
x ∈ Zn
|
Pn
i=1 xi = r
với một
vài r ∈ Z, là M−lồi nếu và chỉ nếu
aij + akl ≥ min
aik + ajl, ail + ajk
khi {i, j} ∩ {k, l} = ∅.
Ví dụ 2.10 (Phiến hàm lồi). Họ Laminar là một họ không rỗng T các tập con
của V sao cho X ∩ Y = ∅ hoặc X ⊆ Y hoặc X ⊇ Y với bất kì X, Y ∈ T . Một hàm
f được gọi là Laminar lồi nếu
f(x) =
X
X∈T
fX(x(X)),
trong đó x(X) =
P
i∈X xi. Một hàm lồi Laminar là hàm M
−lồi.

23. 2.4. CÁC LỚP HÀM LỒI RỜI RẠC 18
Ví dụ 2.11 (Hàm giá trị cực đại). Cho ai với i ∈ V ta định nghĩa tập các hàm
µ : 2V
→ R ∪ {+∞} là µ(X) = min {ai | i ∈ X} với tập khác rỗng X ⊆ V. Theo qui
ước ta đặt µ(∅) = a∗ bằng cách chọn a∗ ∈ R ∪ {+∞} sao cho a∗ ≥ max {ai | i ∈ V}.
Khi đó µ là M
−lồi khi được xác định cùng với một hàm f : Zn
→ R∪{+∞} với
domZ f ⊆ {0, 1}n
cho bởi f (χX) = µ(X) với X ⊆ V.
Ví dụ 2.12. Hàm chi trả (bằng tiền) trong mô hình hôn nhân ổn định là một
hàm M
−lõm (xem 3.2).
Ví dụ 2.13 (Matroid). Giả sử (V, B, I, ρ) là một matroid trên V với một họ cơ
sở B, họ độc lập I và hàm hạng ρ. Các vecto đặc trưng của cơ sở {χB | B ∈ B}
tạo thành tập M−lồi và {χu | I ∈ I} tạo thành tập M
−lồi. Hàm hạng ρ : 2V
→ Z
là hàm M
−lõm khi được xác định cùng với hàm f : Zn
→ R ∪ {+∞} với
domZ f = {0, 1}n
cho bởi f (χX) = ρ(X) với X ⊆ V.
2.4 Các lớp hàm lồi rời rạc
Chúng ta đã định nghĩa các hàm L
−lồi và M
−lồi thông qua tính lồi trung
điểm và tính lồi đều tương ứng.
Các lớp hàm lồi rời rạc được giới thiệu lần lượt như sau. Hàm L
−lồi chứa
các hàm L−lồi như một trường hợp đặc biệt. Điều này cũng đúng với các hàm
M
−lồi và hàm M−lồi. Theo Định lí 2.3 và 2.7 thì cả hàm L
−lồi và M
−lồi đều
được chứa trong các lớp hàm lồi mở rộng. Ta biết rằng các lớp hàm L−lồi và
M−lồi là rời nhau, trong khi giao của các lớp hàm L
−lồi và M
−lồi là lớp hàm
lồi tách được.
f : Zn
−→ R ∪ {+∞}
Hàm lồi mở rộng
Hàm L−lồi
Hàm L
−lồi
Hàm lồi tách được
Hàm M
−lồi
Hàm M−lồi
Hình 2.9: Các lớp hàm lồi rời rạc

24. 2.5. HÀM LỒI RỜI RẠC VỚI BIẾN LIÊN TỤC 19
2.5 Hàm lồi rời rạc với biến liên tục
Bây giờ chúng ta quan tâm đến vấn đề từ rời rạc sang liên tục, để định
nghĩa các khái niệm hàm L−lồi và M−lồi [51, 52, 53]. Ở đây, đề cập đến các hàm
lồi rời rạc trong các biến liên tục. Điều này nghe có vẻ hơi mâu thuẫn, nhưng
tính từ rời rạc biểu thị sự rời rạc về hướng trong không gian Rn
của các biến
liên tục.
2.5.1 Hàm L - lồi
Nếu như hàm L
−lồi với biến rời rạc được giới thiệu bằng cách đưa ra khái
niệm tính lồi trung điểm rời rạc thì sau đây cũn là một khái niệm về hàm L
−lồi,
nhưng với các biến liên tục. Một hàm lồi g : Rn
→ R ∪ {+∞} được định nghĩa
là hàm L
−lồi nếu
(2.14) g(p) + g(q) ≥ g((p − α1) ∨ q) + g(p ∧ (q + α1)), α ∈ R+, p, q ∈ Rn
,
trong đó R+ là tập các số thực không âm. Các hàm L
−lồi tạo thành một lớp
con của các hàm lồi. Cho ví dụ, một hàm trơn g là hàm L
−lồi nếu và chỉ nếu
ma trận Hessian H =
hij = ∂2
g/∂pi∂pj
có tính chất sau (ma trận M-đối xứng
trội)
hij ≤ 0 (i , j),
n
X
j=1
hij ≥ 0, (i = 1, . . . , n),
với mỗi điểm. Đây là tính chất nữa xác định dương thường dùng trong nghiên
cứu toán kinh tế, giải tích số.
Một hàm L−lồi với biến liên tục được định nghĩa là hàm L
−lồi g : Rn
→
R ∪ {+∞} thoả mãn
g(p + α1) = g(p) + αr, α ∈ R, p ∈ Rn
,
với r ∈ R (độc lập với p và α ). Bất đẳng thức 2.14 là tương tự như bất đẳng
thức 2.7 với các biến liên tục, trong đó α ∈ Z+ và p, q ∈ Zn
thay vì α ∈ R+ và
p, q ∈ Rn
. Có thể nói 2.14 là thác triển từ 2.7. Chú ý rằng sự thác triển của độ
lồi trung điểm rời rạc không tạo ra khái niệm mới nhưng nó làm giảm độ lồi
trung điểm rời rạc gần như là độ lồi thông thường.
2.5.2 Hàm M−lồi
Hàm M
−lồi với biến liên tục có thể được định nghĩa bằng cách thác triển
của tính chất chuyển đổi (2.10). Một hàm f : Rn
→ R∪{+∞} là M
−lồi nếu, cho

25. 2.6. LIÊN HỢP 20
bất kì x, y ∈ domR f và bất kì u ∈ supp+
(x − y), tồn tại v ∈ supp−
(x − y) ∪ {0} và
số thực dương α0 sao cho
(2.15) f(x) + f(y) ≥ f (x − α (χu − χv)) + f y + α (χu − χv)
,
với mọi α ∈ R và 0 ≤ α ≤ α0.
Hàm M
−lồi với biến liên tục tạo thành một lớp con khác của hàm lồi, khác
với hàm L
−lồi thì hàm M
−lồi được trang bị một tính chất tổ hợp khác. Một
hàm M−lồi với biến liên tục được định nghĩa là hàm M
−lồi f : Rn
→ R∪{+∞}
thoả 2.15 với v ∈ supp−
(x − y). Điều này tương đương với f là hàm M−lồi nếu
và chỉ nếu nó là hàm L
−lồi và domR f ⊆
x ∈ Rn
|
Pn
i=1 xi = r
với r ∈ R.
2.6 Liên hợp
Liên hợp dưới phép biến đổi Legendre là một trong những sự kiện hấp dẫn
nhất trong giải tích lồi. Trong giải tích lồi rời rạc, phép biến đổi Legendre cho
ta sự tương ứng 1-1 giữa các hàm L−lồi và hàm M−lồi.
2.6.1 Trường hợp liên tục
Định nghĩa 2.5 Cho hàm f : Rn
→ R∪{+∞} (không nhất thiết lồi) với domR f , ∅,
liên hợp lồi của f là hàm f•
: Rn
→ R ∪ {+∞} được xác định bởi
(2.16) f•
(p) = sup
hp, xi − f(x) | x ∈ Rn
, p ∈ Rn
,
trong đó hp, xi =
Pn
i=1 pixi với phần tử p = pi
∈ Rn
và x = (xi) ∈ Rn
.
Hàm f•
còn được gọi là hàm liên hợp của f, và ánh xạ f 7→ f•
gọi là phép
biến đổi Legendre(-Fenchel) (lồi). Trong trường hợp f là một hàm lồi trơn và
supremum trong 2.16 đạt được bởi x = x(p) duy nhất cho mỗi p, ta có
f•
(p) = hp, x(p)i − f(x(p)),
trong đó x = x(p) là nghiệm của phương trình ∇ f(x) = p.
Tương tự như 2.16, liên hợp lõm của hàm h : Rn
→ R ∪ {−∞} được định
nghĩa là hàm h◦
: Rn
→ R ∪ {−∞} cho bởi
(2.17) h◦
(p) = inf
hp, xi − h(x) | x ∈ Rn
p ∈ Rn
.
Lưu ý h◦
(p) = −(−h)•
(−p).

26. 2.6. LIÊN HỢP 21
Hình 2.9: Liên hợp
Ví dụ 2.14. Cho hàm lồi
f(x) =















x log x (x 0),
0 (x = 0),
+∞ (x 0),
khi đó liên hợp của hàm f cho bởi f•
(p) = exp(p − 1).
Định lý 2.9 Cho f : Rn
→→ R∪{+∞} là hàm dưới modun, phép biến đổi Legendre-
Fenchel cho ta f•
: Rn
→ R ∪ {+∞} là hàm trên modun.
CHỨNG MINH: Với mọi x, y ∈ Rn
và p, q ∈ Rn
, ta có
hp, xi + hq, yi ≤ hp ∨ q, x ∨ yi + hp ∧ q, x ∧ yi.
Khi đó từ bất đẳng thức trên, tính dưới modun 2.5 và định nghĩa 2.16, suy ra
[hp, xi − f(x)] + [hq, yi − f(y)]
≤ [hp ∨ q, x ∨ yi − f(x ∨ y)] + [hp ∧ q, x ∧ yi − f(x ∧ y)]
≤ f•
(p ∨ q) + f•
(p ∧ q)
Lấy supremum trên x và y thu được
f•
(p) + f•
(q) ≤ f•
(p ∨ q) + f•
(p ∧ q)
đây là tính trên modun 2.7 của f•
.
Định lí liên hợp trong giải tích lồi phát biểu rằng phép biến đổi Legendre
cho ta tương ứng 1-1 trong lớp các hàm lồi đóng, chính thường. Trong đó một
hàm lồi f được gọi là chính thường nếu domR f không rỗng và là đóng nếu tập
trên đồ thị
n
(x, y) ∈ Rn+1
| y ≥ f(x)
o
là tập con đóng của Rn+1
. Kí hiệu f••
nghĩa
là f•
•
.
Các định lí sau nói về liên hợp của hàm lồi qua phép biến đổi Legendre.

27. 2.6. LIÊN HỢP 22
Định lý 2.10 (Hàm lồi đóng, chính thường) Phép biến đổi Legendre 2.16 cho ta
một tương ứng 1-1 đối xứng trong các lớp hàm lồi đóng, chính thường. Nghĩa là, đối
với một hàm lồi đóng, chính thường f thì hàm liên hợp f•
là một hàm lồi đóng, chính
thường và f••
= f.
Định lý 2.11 (Hàm M
/L
−lồi đóng, chính thường) Phép biến đổi Legendre 2.16
cho ta tương ứng 1-1 đối xứng giữa các lớp hàm M
-lồi đóng, chính thường và L
-lồi
đóng, chính thường. Tương tự đối với các lớp hàm M/L−lồi.
Định lí 2.10 ở trên nói rằng, cho f là một hàm M
−lồi đóng, chính thường
thì f•
là hàm L
−lồi đóng, chính thường và f••
= f. Điều này cũng đúng khi
cho g là một hàm L
−lồi đóng, chính thường thì g•
là hàm M
−lồi đóng, chính
thường và g••
= g. Còn ở Định lí 2.11 cũng tương tự, tức là, cho f là một hàm
M -lồi đóng, chính thường thì f•
là hàm L -lồi đóng, chính thường và f••
= f,
cũng vậy, cho g là hàm L -lồi đóng, chính thường thì g•
là hàm M -lồi đóng,
chính thường và g••
= g. Cần lưu ý rằng liên hợp của một hàm lồi tách được là
một hàm lồi tách được khác.
Liên hợp L/M cũng đúng đối với các hàm lồi đa diện. Ta có định lí sau
Định lý 2.12 (Hàm M
/L
−lồi đa diện) Phép biến đổi Legendre 2.16 cho ta tương
ứng 1-1 giữa các lớp hàm M
−lồi đa diện và L
−lồi đa diện. Tương tự đối với các lớp
hàm M/L−lồi.
2.6.2 Trường hợp rời rạc
Cho các hàm f : Zn
→ R ∪ {+∞} và h : Zn
→ R ∪ {−∞} với domZ f , ∅ và
domZ h , ∅, phép biến đổi Legendre trường hợp rời rạc cho bởi
(2.18) f•
(p) = sup
hp, xi − f(x) | x ∈ Zn
, p ∈ Rn
,
(2.19) h◦
(p) = inf
hp, xi − h(x) | x ∈ Zn
, p ∈ Rn
.
Ta gọi 2.18 và 2.19 lần lượt là phép biến đổi Legendre(-Fenchel) lồi rời rạc
và phép biến đổi Legendre(-Fenchel) lõm rời rạc. Hàm f•
: Rn
→ R ∪ {+∞} và
h◦
: Rn
→ R ∪ {−∞} lần lượt là liên hợp lồi của f và liên hợp lõm của h.
Định lý 2.13 Cho hàm f : Zn
→ R ∪ {+∞} là hàm M
−lồi thì hàm liên hợp f•
:
Rn
→ R ∪ {+∞} là hàm L
−lồi. Cho hàm g : Zn
→ R ∪ {+∞} là hàm L
−lồi, thì hàm
liên hợp g◦
: Rn
→ R ∪ {+∞} là hàm M
−lồi. Tương tự đối với hàm M/L−lồi.

28. 2.7. ĐỊNH LÍ TÁCH VÀ ĐỐI NGẪU FENCHEL 23
Định lí phát biểu tương tự đối với hàm f, f•
(p) là giá trị nguyên, với p ∈ Zn
.
Định lý 2.14 Phép biến đổi Legendre rời rạc cho ta tương ứng 1-1 giữa các lớp làm
có giá trị nguyên M
−lồi và L
−lồi. Tương tự đối với các lớp hàm M/L -lồi.
2.7 Định lí tách và đối ngẫu Fenchel
2.7.1 Định lí tách
Nguyên lý đối ngẫu trong giải tích lồi có thể được thể hiện dưới một số dạng
khác nhau. Một trong những phát biểu hấp dẫn nhất là ở dạng định lý tách,
khẳng định sự tồn tại của một hàm affine tách y = α∗
+
p∗
, x
đối với cặp hàm
lồi và hàm lõm. Sau đây là trường hợp liên tục.
Hình 2.10: Định lí tách trường hợp liên tục
Định lý 2.15 Cho f : Rn
→ R ∪ {+∞} là hàm lồi và h : Rn
→ R ∪ {−∞} là hàm lõm
(thoả mãn các điểu kiện đối xứng). Nếu
f(x) ≥ h(x), (∀x ∈ Rn
) ,
khi đó tồn tại α∗
∈ R và p∗
∈ Rn
sao cho
f(x) ≥ α∗
+
p∗
, x
≥ h(x), (∀x ∈ Rn
) .
Định lí tách trong trường hợp rời rạc được phát biểu như sau
Cho bất kì hàm f : Zn
→ R∪{+∞} và h : Zn
→ R∪{−∞} thuộc các lớp hàm
nhất định, nếu f(x) ≥ h(x) với mọi x ∈ Zn
, khi đó tồn tại α∗
∈ R và p∗
∈ Rn
sao
cho
f(x) ≥ α∗
+
p∗
, x
≥ h(x), (∀x ∈ Zn
) .
Hơn nữa, nếu f và h cho các giá trị nguyên, khi đó tồn tại α∗
∈ Z và p∗
∈ Zn
.
Định lí phát biểu tương tự.

29. 2.7. ĐỊNH LÍ TÁCH VÀ ĐỐI NGẪU FENCHEL 24
Hình 2.11: Định lí tách trường hợp rời rạc
Tiếp theo ta xét các mối quan hệ sao đây. Lưu ý rằng ¯
f là bao lồi đóng của
f, h̄ là bao lõm đóng của h và ; có ngụ ý là không biểu thị.
1. f(x) ≥ h(x) (∀x ∈ Zn
) ; ¯
f(x) ≥ h̄(x) (∀x ∈ Rn
)
2. f(x) ≥ h(x) (∀x ∈ Zn
) ; sự tồn tại của α∗
∈ R and p∗
∈ Rn
.
3. sự tồn tại của α∗
∈ R và p∗
∈ Rn
; sự tồn tại của α∗
∈ Z và p∗
∈ Zn
.
Sau đây là định lí tách cho hàm M−lồi/M−lõm và hàm L−lồi/L−lõm. Chú
ý rằng các kí hiệu f•
và h◦
biểu thị tương ứng là liên hợp lồi và liên hợp lõm
của các hàm f và h được định nghĩa trong 2.18 và 2.19
Định lý 2.16 (Định lí M –tách) Giả sử f : Zn
→ R ∪ {+∞} là hàm M
−lồi và
h : Zn
→ R ∪ {−∞} là hàm M
−lõm sao cho domZ f ∩ domZ h , ∅ hoặc domR f•
∩
domR h◦
, ∅. Nếu f(x) ≥ h(x) (∀x ∈ Zn
), khi đó tồn tại α∗
∈ R và p∗
∈ Rn
sao cho
f(x) ≥ α∗
+
p∗
, x
≥ h(x), (∀x ∈ Zn
) .
Hơn nữa, nếu f và h là hàm giá trị nguyên, thì tồn tại các giá trị nguyên α∗
∈ Z và
p∗
∈ Zn
.
Định lý 2.17 (Định lí L –tách) Giả sử g : Zn
→ R ∪ {+∞} là hàm L
−lồi và
k : Zn
→ R ∪ {−∞} là hàm L
−lõm sao cho domZ g ∩ domz k , ∅ hoặc domR g•
∩
domR k◦
, ∅. Nếu g(p) ≥ k(p) ∀p ∈ Zn
, khi đó tồn tại β∗
∈ R và x∗
∈ Rn
sao cho
g(p) ≥ β∗
+
p, x∗
≥ k(p), ∀p ∈ Zn
.
Hơn nữa, nếu g và k là hàm giá trị nguyên, thì tồn tại các giá trị nguyên β∗
∈ Z và
x∗
∈ Zn
.
Được xem như một hệ quả của định lí M−tách, sau đây ta thu được một
điều kiện tối ưu cho bài toán cực tiểu tổng hai hàm M−lồi, ta gọi là bài toán giao

30. 2.7. ĐỊNH LÍ TÁCH VÀ ĐỐI NGẪU FENCHEL 25
M−lồi. Chú ý rằng tổng của các hàm M−lồi không còn là M−lồi nữa và Định lí
8 không được áp dụng.
Định lý 2.18 (Định lí giao M
−lồi) Cho hai hàm M
−lồi f1, f2 : Zn
→ R ∪ {+∞}
và một điểm x∗
∈ domZ f1 ∩ domZ f2 ta có
f1 (x∗
) + f2 (x∗
) ≤ f1(x) + f2(x), (∀x ∈ Zn
) ,
nếu và chỉ nếu tồn tại p∗
∈ Rn
sao cho
f1 − p∗
(x∗
) ≤ f1 − p∗
(x), (∀x ∈ Zn
) ,
f2 + p∗
(x∗
) ≤ f2 + p∗
(x), (∀x ∈ Zn
) .
Tương đương
f1 − p∗
(x∗
) ≤ f1 − p∗
(x∗
+ χu − χv) , (∀i, j ∈ {0, 1, . . . , n}),
f2 + p∗
(x∗
) ≤ f2 + p∗
(x∗
+ χu − χv) , (∀i, j ∈ {0, 1, . . . , n}),
và như thế với p∗
ta có
argminZ f1 + f2
= argminZ f1 − p∗
∩ argminZ f2 + p∗
.
Hơn nữa, nếu f1 và f2 là hàm giá trị nguyên, ta có thế chọn giá trị nguyên p∗
∈ Zn
2.7.2 Đối ngẫu Fenchel
Một biểu hiện khác của nguyên lý đối ngẫu là ở dạng đối ngẫu Fenchel.
Đây là quan hệ min-max giữa một cặp hàm lồi/lõm và các hàm liên hợp của
chúng. Định lý đối ngẫu Fenchel trong trường hợp liên tục được phát biểu như
sau.
Định lý 2.19 Giả sử f : Rn
→ R ∪ {+∞} là hàm lồi và h : Rn
→ R ∪ {−∞} là hàm
lõm (thoả mãn các điều kiện đối xứng). Khi đó
inf
f(x) − h(x) | x ∈ Rn
= sup
h◦
(p) − f•
(p) | p ∈ Rn
.
Định lí đối ngẫu Fenchel trong trường hợp rời rạc như sau
Cho bất kì hàm f : Zn
→ Z ∪ {+∞} và h : Zn
→ Z ∪ {−∞} ta có các bất đẳng
thức sau
(2.20)
inf
n
f(x) − h(x) | x ∈ ZV
o
≥ inf
n
¯
f(x) − h̄(x) | x ∈ RV
o
≥ sup
n
h◦
(p) − f•
(p) | p ∈ RV
o
≥ sup
n
h◦
(p) − f•
(p) | p ∈ ZV
o

31. 2.7. ĐỊNH LÍ TÁCH VÀ ĐỐI NGẪU FENCHEL 26
từ định nghĩa 2.18 và 2.19 của hàm liên hợp f•
và h◦
.
Cần để ý rằng, các bất đẳng thức
inf
f(x) − h(x) | x ∈ Zn
≥ inf
n
¯
f(x) − h̄(x) | x ∈ Rn
o
,
sup
n
h̄◦
(p) − ¯
f•
(p) | p ∈ Rn
o
≥ sup
h◦
(p) − f•
(p) | p ∈ Zn
.
có thể nghiêm ngặt ngay cả khi f là hàm lồi mở rộng và h là hàm lõm mở rộng.
Điều này chứng tỏ bằng các ví dụ sau đây
Ví dụ 2.15. Hàm f, h : Z2
→ Z cho bởi
f (x1, x2) = |x1 + x2 − 1| , h (x1, x2) = 1 − |x1 − x2|
ta có inf{f − h} = 0, inf{ ¯
f − h̄} = −1. Theo phép biến đổi Lengedre rời rạc
f•
p1, p2
=







p1 p1, p2
∈ S
,
+∞ (trường hợp khác),
h◦
p1, p2
=







−1 p1, p2
∈ T
,
−∞ (trường hợp khác),
với S = {(−1, −1), (0, 0), (1, 1)} và T = {(−1, 1), (0, 0), (1, −1)}. Do đó sup
h◦
− f•
=
h◦
(0, 0)− f•
(0, 0) = −1 − 0 = −1. Khi đó (2.18) viết lại như sau
inf{f − h} inf{ ¯
f − h̄} = sup
n
h̄◦
− ¯
f•
o
= sup
h◦
− f•
.
Ví dụ 2.16. Hàm f, h : Z2
→ Z cho bởi
f (x1, x2) = max (0, x1 + x2) , h (x1, x2) = min (x1, x2) .
Ta có inf{f − h} = inf{ ¯
f − h̄} = 0. Theo phép biến đổi Lengedre rời rạc f•
= δS
và h◦
= −δT với S = {(0, 0), (1, 1)} và T = {(1, 0), (0, 1)}. Từ đó S ∩ T = ∅, h◦
− f•
đồng nhất đến −∞, ngược lại sup
n
h̄◦
− ¯
f•
o
= 0 khi ¯
f•
= δS̄, h̄◦
= −δT̄ và S̄ ∩ T̄ =
{(1/2, 1/2)}. Khi đó (2.1) viết lại như sau
inf{f − h} = inf{ ¯
f − h̄} = sup
n
h̄◦
− ¯
f•
o
sup
h◦
− f•
.
Từ những quan sát ở trên, chúng ta thấy rằng bản chất của định lý sau đây
khẳng định rằng các bất đẳng thức thứ nhất và thứ ba trong 2.20 thực chất là
bằng nhau đối với hàm M
−lồi/M
−lõm và hàm L
−lồi/L
−lõm
Định lý 2.20 (Định lí đối ngẫu loại Fenchel)
(1) Cho f : Zn
→ Z ∪ {+∞} là hàm M
−lồi với giá trị nguyên và h : Zn
→
Z ∪ {−∞} là hàm M
−lõm với giá trị nguyên sao cho domZ f ∩ domZ h , ∅ hoặc
domZ f•
∩ domZ h◦
, ∅. Khi đó, ta có
(2.21) inf
f(x) − h(x) | x ∈ Zn
= sup
h◦
(p) − f•
(p) | p ∈ Zn
.

32. 2.7. ĐỊNH LÍ TÁCH VÀ ĐỐI NGẪU FENCHEL 27
Nếu giá trị này là hữu hạn thì giá trị infimum và supremum đạt được.
(2) Cho g : Zn
→ Z ∪ {+∞} là hàm L
−lồi với giá trị nguyên và k : Zn
→
Z ∪ {−∞} là hàm L
−lõm với giá trị nguyên sao cho domZ g ∩ domZ k , ∅ hoặc
domZ g•
∩ domZ k◦
, ∅. Khi đó, ta có
(2.22) inf
g(p) − k(p) | p ∈ Zn
= sup
k◦
(x) − g•
(x) | x ∈ Zn
.
Nếu giá trị này là hữu hạn thì giá trị infimum và supremum đạt được.
Trong khi các định lí M/L−tách là song song hoặc liên hợp với nhau trong
phát biểu của chúng, thì định lí đối ngẫu loại Fenchel là tự liên hợp, điều này
có nghĩa là ta có thể thay thế f = g•
và h = k◦
trong 2.21 và cho kết quả là 2.22
do g = g••
và k = k◦◦
. Theo như kiến thức về liên hợp, ba định lý đối ngẫu
này gần như tương đương với nhau; khi một trong số chúng được thiết lập, hai
định lý còn lại có thể được suy ra bằng các phép tính hình thức tương đối dễ
dàng.
Chúng tôi đã trình bày các khái niệm, tính chất, các định lí quan trọng về
các hàm M/L−lồi, các kiến thức được trình bày dựa trên những nghiên cứu
của Murota về Giải tích lồi rời rạc. Trong chương tiếp theo, chúng tôi sẽ giới
thiệu một vài ứng dụng của Giải tích lồi rời rạc vào trong Toán kinh tế, một số
bài toán thực tế trong cuộc sống hằng ngày.

33. Chương 3
Một số ứng dụng trong toán kinh tế
Các khái niệm về hàm M−lồi do Murota và M
−lồi do Murota và Shioura,
đóng vai trò trung tâm trong giải tích lồi rời rạc, đang được công nhận là các
hàm lồi rời rạc đẹp theo điểm quan điểm của toán kinh tế. Cũng như thế Fu-
jishige và Yang đã chỉ ra rằng hàm M
−lõm cũng có những tính chất tương tự
như các hàm lồi trên.
Trước tiên, chúng tôi sơ lược một số kí hiệu được sử dụng trong chương
này.
Cho V là một tập hữu hạn không rỗng. Ta định nghĩa ZV
là tập các vecto
nguyên x = (x(v) : v ∈ V) với chỉ số V, trong đó x(v) biểu thị là thành phần thứ
v của x. Cũng như vậy, RV
là tập các vecto số thực với chỉ số V.
Với mỗi S ⊆ V, ta định nghĩa χS là vecto đặt trưng của S cho bởi χS(v) = 1
nếu v ∈ S; trường hợp khác χS(v) = 0, và viết χu thay cho χ{u} với mỗi u ∈ V.
Cho một vecto p ∈ RV
và một hàm f : ZV
→ R ∪ {±∞}, ta định nghĩa hàm
hp, xi và f[p](x) bởi
hp, xi =
X
v∈V
p(v)x(v) và f[p](x) = f(x) + hp, xi,
với mọi x ∈ ZV
.
3.1 Hàm M
−lõm trong Toán kinh tế
Bây giờ chúng ta xét một số khái quát được đưa ra bởi Kelso, Crawford và
Gul, Stacchetti.
(GSW) Với mọi p, q ∈ RV
và x ∈ dom f sao cho p ≤ q, x ∈ arg max f[−p] và
arg max f[−q] , ∅, khi đó tồn tại y ∈ arg max f[−q] sao cho y(v) ≥ x(v) với mọi
v trong đó p(v) = q(v).
28

34. 3.1. HÀM M
−LÕM TRONG TOÁN KINH TẾ 29
(GS) Với mọi p0, p
, q0, q
∈ R{0}∪V
và x ∈ dom f sao cho p0, p
≤ q0, q
, x ∈
arg max f
−p + p01
và arg max f
−q + q01
, ∅, khi đó tồn tại y ∈ arg max f
−q + q01
sao cho y(v) ≥ x(v) với mọi v trong đó p(v) = q(v) và y(V) ≤ x(V) nếu p0 = q0,
trong đó 1 = (1........1).
(SWGS) Với mọi p ∈ RV
, x ∈ arg max f[−p] và v ∈ V, một trong các phát
biểu sau đây là đúng
(i) x ∈ arg max f
−p − αχv
với mọi α 0.
(ii) Tồn tại α 0 và y ∈ arg max f
−p − αχv
sao cho y(v) = x(v) − 1 và
y(u) ≥ x(u) với mọil u ∈ V{v}.
(SIW) Với mọi p ∈ RV
và x ∈ dom f với x arg max f[−p], khi đó tồn tại
u, v ∈ {0} ∪ V sao cho f[−p](x) f[−p] (x − χu + χv).
(SI) Với mọi p ∈ RV
và x, y ∈ dom f với f[−p](x) f[−p](y),
f[−p](x) max
u∈{0}∪supp+(x−y)
max
v∈{0}∪supp−(x−y)
f[−p] (x − χu + χv) .
Sau đây là các định lí áp dụng vào giải các bài toán kinh tế.
Định lý 3.1 Cho hàm lõm mở rộng f : ZV
→ R∪ {−∞} với miền hữu hiệu khác
rỗng, bị chặn. Khi đó f là M
−lõm nếu và chỉ nếu thoả mãn (GS).
Định lý 3.2 Cho hàm lõm mở rộng f : ZV
→ R ∪ {−∞} với miền hữu hiệu khác
rỗng, f là M
−lõm nếu và chỉ nếu thoả mãn (SWGS).
Định lý 3.3 Cho hàm f : ZV
→ R ∪ {−∞} với miền hữu hiệu khác rỗng, khi đó f là
M
−lõm nếu và chỉ nếu thoả mãn (SI).
Định lý 3.4 Cho hàm f : {0, 1}V
→ R ∪ {−∞} với miền hữu hiệu khác rỗng, ta có
M
− EXC
⇔ (SI) ⇔ (SIW) ⇔ (GS) ⇔ (GSW) .
Tiếp theo chúng ta sẽ thảo luận về mối quan hệ giữa khả năng thay thế và
tính M
−lõm. Eguchi, Fujishige, Tamura đã chỉ ra rằng tính M
−lõm ngụ ý là
khả năng thay thế.
Bổ đề 3.1 Một hàm M
−lõm thoả các tính chất sau đây
SC1
Cho bất kì z1, z2 ∈ ZV
sao cho z1 ≥ z2 và arg max
f(y) | y ≤ z2
, ∅, nếu
x1 ∈ arg max
f(y) | y ≤ z1
, khi đó tồn tại x2 sao cho
x2 ∈ arg max
f(y) | y ≤ z2
, z2 ∧ x1 ≤ x2.
SC2
Cho bất kì z1, z2 ∈ ZV
sao cho z1 ≥ z2 và arg max
f(y) | y ≤ z1
, ∅, nếu
x2 ∈ arg max
f(y) | y ≤ z2
, khi đó tồn tại x1 sao cho
x1 ∈ arg max
f(y) | y ≤ z1
, z2 ∧ x1 ≤ x2.

35. 3.2. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH THỊ TRƯỜNG KẾT HỢP HAI MẶT 30
Các tính chất (SC1
) và (SC2
) được giải thích như sau. (SC1
) nói rằng khi hạn
ngạch tiêu thụ của mỗi hàng hoá giảm hoặc không đổi, người tiêu dùng muốn
tiêu thụ sao cho nên số lượng hàng có hạng ngạch không đổi là không giảm.
(SC2
) nói rằng khi mỗi hạn ngạch tăng lên hoặc giữ nguyên, người tiêu dùng
muốn tiêu thụ sao cho số lượng hàng hóa không đáp ứng được hạn ngạch ban
đầu không tăng lên.
Farooq và Tamura đã đưa ra các tính chất đặc trưng cho họ các hàm M
−lõm
bằng cách sử dụng các tính chất tăng cường của tính chất
−SC1
và
−SC2
.
Đó là
(SC1
G) Cho bất kì p ∈ RV
, khi đó f[−p] thoả mãn
−SC1
.
(SC2
G) Cho bất kì p ∈ RV
, khi đó f[−p] thoả mãn
−SC2
.
Định lý 3.5 Cho hàm f : {0, 1}V
→ R ∪ {−∞} với miền hữu hiệu khác rỗng, ta có
M
− EXC
⇔
SC1
G
⇔
SC2
G
.
3.2 Tổng quan về mô hình thị trường kết hợp hai mặt
Trong lý thuyết về thị trường khớp hai phía, có hai mô hình tiêu chuẩn: mô
hình hôn nhân ổn định của Gale và Shapley và mô hình phân công do Shapley
và Shubik. Sự khác biệt giữa hai mô hình này là mô hình đầu tiên không bao
gồm tiền hoặc các tiện ích có thể phân công và mô hình sau cho phép thanh
toán một bên.
Trong phần này, trước tiên chúng tôi giải thích các đặc điểm về tính ổn định
của hai mô hình này dưới dạng hàm tiện ích, bởi vì điều này hữu ích để hiểu
mối quan hệ giữa các mô hình dựa trên giải tích lồi rời rạc và các mô hình hiện
có.
Gọi M và W biểu thị 2 đại lí rời rạc và E là tập tất cả các cặp (i, j) với i ∈ M và
j ∈ W, tức là E = M × W. Với mọi cặp (i, j) ∈ E, ta có cặp
aij, bij
. Trong mô hình
phân công, aij và bij được hiểu là lợi nhuận của i và j khi i và j hình thành quan
hệ đối tác. Trong mô hình hôn nhân ổn định, aij và bij được giải thích như sau:
người đàn ông i ∈ M thích j1 hơn j2 nếu aij1
aij2
, và j1 và j2 gọi là không quan
tâm đến i nếu aij1
= aij2
(tương tự, đối với người phụ nữ j ∈ W với bij). Chúng
tôi giả sử rằng, aij 0 nếu j được chấp nhận bởi i, và aij = −∞ nếu không được
chấp nhận, cũng vậy bij 0 nếu i được chấp nhận bởi j, và bij = −∞ nếu không
được chấp nhận. Định nghĩa hai hàm tiện ích fM cho M và fW cho W như sau

36. 3.2. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH THỊ TRƯỜNG KẾT HỢP HAI MẶT 31
Với mọi x ∈ ZE
,
fM(x) =









P
(i,j)∈E aijxij nếu x ∈ {0, 1}E
và
P
j∈W xij ≤ 1 với mọi i ∈ M
−∞ trường hợp khác ,
fW(x) =









P
(i,j)∈E bijxij nếu x ∈ {0, 1}E
và
P
i∈M xij ≤ 1 với mọi j ∈ W
−∞ trường hợp khác.
Ta biết rằng các hàm fM và fW như trên là hàm M
−lõm.
Bây giờ chúng ta xem xét một trong những biến thể toàn diện của mô hình
hôn nhân ổn định, trong đó cho phép sự không chấp nhận và thờ ơ. Mô hình
đề cập đến tính ổn định của các kết hợp, trong đó kết hợp là một tập con của
E sao cho mọi tác nhân xuất hiện nhiều nhất một lần trong tập hợp con. Cho
một kết hợp X, i ∈ M (tương ứng j ∈ W) gọi là không kết hợp trong X nếu không
tồn tại j ∈ W (tương ứng i ∈ M) sao cho (i, j) ∈ X. Một cặp (i, j) X được gọi là
cặp trở ngại cho X nếu i và j thích người khác hơn đối tác của họ hoặc chỉ ở một
mình trong X. Một kết hợp X gọi là ổn định nếu mọi cặp (i, j) trong X đều chấp
nhận được với i và j, và nếu không tồn tại cặp trở ngại nào trong X. Tính ổn
định của một kết hợp được đặc trưng như sau. Mọi người đàn ông i ∈ M được
gán giá trị qi và mọi người phụ nữ j ∈ W cũng được gán giá trị rj. Một kết hợp
X được gọi là ổn định nếu và chỉ nếu
(m1) qi = aij −∞ và rj = bij −∞ với mọi (i, j) ∈ X,
(m2) qi = 0 (tương ứng rj = 0) nếu i (tương ứng j) không kết hợp trong X,
(m3) qi ≥ aij hoặc rj ≥ bij với mọi (i, j) ∈ E.
Tính ổn định cũng có thể được đặc trưng bởi các hàm tiện ích fM và fW. Một
vecto x trên E được gọi là ổn định trong mô hình này nếu và chĩ nếu tồn tại hai
vecto zM và zW sao cho
(i) 1 = zM ∨ zW.
(ii) x là cực đại của fM trong
y ∈ ZE
| y ≤ zM
.
(iii) x là cực đại của fW trong
y ∈ ZE
| y ≤ zW
.
trong đó 1 biểu thị vecto tất cả phần tử đều là 1 trong E. Đặc trưng này có
thể được hiểu như sau. Lưu ý rằng x thỏa mãn (ii) và (iii) phải là một kết hợp
vì vectơ không đạt 0 (giá trị hữu hạn) cho cả fM và fW. Cho một kết hợp x, điều
kiện (ii) (tương ứng (iii)) nói rằng rằng mỗi người đàn ông (tương ứng, mỗi
người phụ nữ) chọn một trong những đối tác tốt nhất trong số các đối tác được
thừa nhận trong zM (tương ứng trong zW). Do đó, (i) đảm bảo rằng không có
cặp nào mà các thành viên của họ thích nhau hơn đối tác của họ được kết hợp

37. 3.2. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH THỊ TRƯỜNG KẾT HỢP HAI MẶT 32
trong x hoặc đơn độc trong x. Ngược lại, cho một kết hợp ổn định x, zM có thể
được cấu trúc như sau. Đặt zM(i, j) = 0 với mọi cặp (i, j) ∈ E sao cho người đàn
ông i thích người phụ nữ j hơn bạn đời của anh ấy hoặc là ở một mình trong
x (lưu ý rằng do tính ổn định của x, người phụ nữ j không thích i hơn đối tác
của cô ấy hoặc là ở một mình trong x), và đặt zM(i, j) = 1 trong trường hợp
khác. Một cách tương tự, zW cũng có thể được xây dựng từ x.
Tiếp theo, chúng tôi xem xét mô hình phân công bao gồm các khoản thanh
toán phụ. Một thành quả là một vecto gồm 3 thành phần đó là vecto q =
qi : i ∈ M
∈ RM
, r =
rj : j ∈ W
∈ RW
, và một tập con X ⊆ E, cho bởi (q, r; X).
Một thành quả (q, r; X) được gọi là ổn định nếu
(a1) X là một kết hợp,
(a2) qi + rj = aij + bij với mọi (i, j) ∈ X,
(a3) qi = 0 (tương ứng rj = 0 ) nếu i (tương ứng j ) không kết hợp trong X,
(a4) q ≥ 0, r ≥ 0, và qi + rj ≥ aij + bij với mọi (i, j) ∈ E.
trong đó 0 biểu thị vecto 0 với số chiều thích hợp và pij
= bij− rj = qi − aij
có nghĩa là thanh toán một phía từ j sang i với mỗi (i, j) ∈ X. Tính ổn định nói
rằng không có cặp (i, j) X nào có thể tốt hơn bằng cách tạo ra một quan hệ
đối tác. Shapley và Shubik đã chứng minh sự tồn tại của các kết quả ổn định
bằng phép đối ngẫu lập trình tuyến tính. Bài toán cực đại trọng số kết hợp chia
làm 2 phần với trọng số
aij + bij
và bài toán đối ngẫu của nó cho bởi chương
trình tuyến tính
Maximize
X
(i,j)∈E
aij + bij
xij
trong đó
X
j∈W
xij ≤ 1 với mọi i ∈ M
X
i∈M
xij ≤ 1 với mọi j ∈ W
xij ≥ 0 với mọi (i, j) ∈ E
Minimize
X
i∈M
qi +
X
j∈W
rj
trong đó qi + rj ≥ aij + bij với mọi (i, j) ∈ E
qi ≥ 0 với mọi i ∈ M
rj ≥ 0 với mọi j ∈ W
Do đó, (q, r; X) là một kết quả ổn định nếu và chỉ khi x = χX, q và r là các
nghiệm tối ưu của các bài toán trên. Hơn nữa, tính ổn định trong mô hình phân

38. 3.2. TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH THỊ TRƯỜNG KẾT HỢP HAI MẶT 33
công có thể được đặc trưng bằng cách sử dụng các hàm tiện ích fM và fW. Một
vectơ x trên E là ổn định nếu và chỉ nếu tồn tại một vectơ thực p trên E sao cho
(M) x maximizes fM[+p]
(W) x maximizes fW[−p].
Điều này là do kết quả ổn định (q, r; X) cho x = χX cùng với p thoả (M) và
(W) bằng cách đặt pij = bij −rj với mọi (i, j) ∈ E, ngược lại, x = χX và p thoả mãn
(M) và (W) dẫn đến kết quả ổn định (q, r; X) sao cho qi = aij + pij và rj = bij − pij
với mọi (i, j) ∈ X và qi = 0 (tường ứng rj = 0 ) với mọi i (tướng ứng j ) không
kết hợp trong X. Điều kiện (M) và (W) ngụ ý rằng một kết hợp ổn định là một
trạng thái cân bằng cạnh tranh và ngược lại.
Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu ngắn gọn mối quan hệ giữa các mô hình dựa
trên giải tích lồi rời rạc và các mô hình liên quan hiện có.
Gale và Shapley đã đưa ra một bằng chứng mang tính xây dựng về sự tồn
tại sự kết hợp ổn định (stable matching) của mô hình hôn nhân ổn định. Kể từ
khi bài báo của Gale và Shapley ra đời, một số lượng lớn các biến thể và mở
rộng của mô hình này xuất hiện trong nhiều bài báo. Gần đây, một phần mở
rộng đáng chú ý đã được thực hiện bởi Fleiner. Ông đã mở rộng mô hình hôn
nhân ổn định đến lý thuyết matroids và cho thấy sự tồn tại nghiệm ổn định.
Sở thích của mỗi người trong mô hình của Fleiner có thể được mô tả bằng hàm
tiện ích tuyến tính trên một miền matroid. Khía cạnh này đã được Eguchi và
Fujishige mở rộng vào lý thuyết giải tích lồi rời rạc. Trong mô hình Eguchi-
Fujishige, mỗi đối tượng có thể thể hiện sở thích cho bởi hàm M
−lõm. Mô
hình của họ cũng là một ví dụ cụ thể của các mô hình tổng quát (về các hàm
chọn (choice functions) có khả năng thay thế) của Roth, Sotomayor, Alkan và
Gale và Fleiner, bởi vì hàm M
−lõm định nghĩa là một hàm chọn với khả năng
thay thế (xem Bổ đề 3.1). Hơn nữa, Eguchi, Fujishige và Tamura đã mở rộng
mô hình Eguchi-Fujishige cho phép sự thờ ơ về sở thích và nhiều quan hệ đối
tác.
Đối với mô hình tiêu chuẩn khác, mô hình gán, các phần mở rộng khác
nhau cũng đã được đề xuất kể từ bài báo của Shapley và Shubik. Sotomayor
nghiên cứu một biến thể nhiều đến nhiều của mô hình phân công, trong đó
mỗi tác nhân có thể hình thành nhiều quan hệ đối tác với các tác nhân của tập
đối diện mà không cần lặp lại cùng một cặp và cho thấy sự tồn tại của một kết
quả ổn định trong mô hình. Sotomayor cũng đã xác minh sự không trống rỗng
của lõi trong một mô hình nhiều đến nhiều với các tác nhân không đồng nhất,
trong đó cho phép sự lặp lại quan hệ đối tác của mỗi cặp. Kelso and Crawford
giới thiệu mô hình thị trường lao động nhiều đến một, trong đó hàm tiện

39. 3.3. MÔ HÌNH ARROW-DEBREU 34
ích của mỗi công ty có khả năng thay thế tổng thể và hàm tiện ích của mỗi
công nhân là hàm tăng nghiêm ngặt (không nhất thiết phải tuyến tính) về tiền
lương. Danilov, Koshevoy và Murota lần đầu tiên cung cấp một mô hình dựa
trên giải tích lồi rời rạc. Danilov, Koshevoy và Lang xử lý một mô hình trong
đó hàng hóa được phân chia thành hai nhóm: thay thế và bổ sung.
Mặt khác, nghiên cứu đã được thực hiện để thống nhất mô hình hôn nhân
ổn định và mô hình phân công. Kaneko đã đưa ra một mô hình chung bao
gồm hai mô hình bằng các hàm đặc trưng và chứng minh sự không rỗng của
lõi. Sotomayor cũng đã điều tra thêm về mô hình lai của Eriksson và Karlander
với tính tổng quát đầy đủ, và đưa ra một bằng chứng không mang tính xây
dựng về sự tồn tại của một kết quả ổn định. Fujishige và Tamura khái quát hóa
mô hình lai do Eriksson và Karlander và Sotomayor, bằng cách sử dụng các
hàm M
−lõm và xác minh sự tồn tại của một giải pháp ổn định của mô hình
chung. Mô hình của họ bao gồm nhiều mô hình trong phần này như những
trường hợp đặc biệt.
3.3 Mô hình Arrow-Debreu
Phần này nghiên cứu nền kinh tế kiểu Arrow – Debreu với tập hợp hữu hạn
L những người sản xuất, tập hợp hữu hạn H những người tiêu dùng, tập hợp
hữu hạn K gồm những hàng hóa không thể phân chia và một loại hàng hóa có
thể phân chia hoàn hảo, cụ thể là tiền. Sản lượng sản xuất và sản lượng tiêu
dùng là các vectơ có giá trị nguyên trong ZK
đại diện cho số lượng hàng hóa
không thể phân chia mà họ sản xuất và tiêu dùng. Ở đây đầu vào của người
sản xuất được biểu thị bằng số âm và đầu ra của họ bằng số dương, và ngược
lại, đầu vào của người tiêu dùng được biểu thị bằng số dương và đầu ra của
họ bằng số âm, bởi vì trong mô hình này ta nghiên cứu đối tượng là hàng hoá,
khi đó người sản xuất hàng hoá thì đầu vào của họ phải là số âm vì chưa có
hàng hoá và đầu ra phải là số dương vì đã tạo ra được một lượng hoàng hoá
cụ thể và tương tự với người tiêu dùng, âm dương ở đây biểu thị lượng hàng
hoá. Trong mô hình này, với một vectơ giá trị cố định p = (p(k) : k ∈ K) ∈ RK
của hàng hóa, mỗi người sản xuất l lập kế hoạch sản xuất một cách độc lập để
tối đa hóa lợi nhuận, và mỗi người tiêu dùng h lập kế hoạch tiêu thụ một cách
độc lập để tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ngân sách hạn chế, tất cả các đại
lý trao đổi hàng hóa bằng cách mua hoặc bán đều thông qua tiền.
Ta giả định rằng lợi nhuận của nhà sản xuất l được mô tả bằng hàm chi phí
Cl : ZK
→ R ∪ {+∞} có giá trị được biểu thị bằng đơn vị tiền. Tức là, hàm lợi

40. 3.3. MÔ HÌNH ARROW-DEBREU 35
nhuận của nhà sản xuất là πl : RK
→ R được xác định bởi: Với mọi p ∈ RK
πl(p) = max
y∈ZK
hp, yi − Cl(y)
.
Tương ứng, hàm cung cấp của nhà sản xuất l cho bởi Sl : RK
→ 2ZK
biểu thị
tập hợp tất cả các sản phẩm đạt được lợi nhuận tối đa của l đối với một vectơ
giá nhất định, nghĩa là với mọi p ∈ RK
Sl(p) = arg max
y∈ZK
hp, yi − Cl(y)
.
Mỗi người tiêu dùng h ∈ H có một nguồn tài sản ban đầu là hàng hóa
không thể phân chia và tiền được biểu thị bằng một vectơ
x◦
h
, m◦
h
∈ ZK
+ × R+,
trong đó Z+ và R+ biểu thị tập hợp tất cả các số nguyên không âm và số thực
không âm. Lưu ý rằng x◦
h
(k) biểu thị số lượng hàng hóa k ∈ K và m◦
h
biểu thị
số tiền trong tài sản ban đầu của nhà sản xuất. Trong mô hình, mỗi người tiêu
dùng h chia sẻ lợi nhuận của người sản xuất và θlh biểu thị phần lợi nhuận của
người sản xuất l thuộc sở hữu của người tiêu dùng h. Giá trị θlh là không âm và
P
h∈H θlh = 1 với mọi l ∈ L. Do đó, phần lợi nhuận của người tiêu dùng h biểu
thị bởi hàm βh : RK
→ R cho bởi: Với mọi p ∈ RK
.
βh(p) =
D
p, x◦
h
E
+ m◦
h +
X
l∈L
θlhπl(p).
Giả sử rằng lợi ích của mỗi người tiêu dùng hàm tựa tuyến tính, tính bằng
đơn vị tiền. Nghĩa là, lợi ích của người tiêu dùng h được biểu diễn bằng một
hàm Uh : ZK
× R → R ∪ {−∞} cho bởi: Với mọi (x, m) ∈ ZK
× R
Uh(x, m) = Uh(x) + m,
trong đó Uh : ZK
→ R ∪ {−∞} có giá trị biểu thị bằng đơn vị tiền. Một cách
tự nhiên, giả định rằng dom Uh bị chặn bởi vì thực tế không thể tiêu thụ vô số
hàng hoá. Giả sử thêm rằng số tiền m◦
h
ban đầu của người tiêu dùng h đủ lớn
với bất kì h ∈ H. Vì mục đích của người tiêu dùng là tối đa hoá hàm Ūh trong
ngân sách ràng buộc, từ đó hình thành bài toán tối ưu hoá sau
Maximize Uh(x) + m
trong đó hp, xi + m ≤ βh(p).
Do dom Uh bị chặn và m◦
h
đủ lớn, ta có thể lấy m = βh(p) − hp, xi để giảm bài
toán trên thành bài toán tối ưu hóa không bị giới hạn
Maximize Uh(x) − hp, xi.

41. 3.3. MÔ HÌNH ARROW-DEBREU 36
Do đó, ta có thể định nghĩa hàm cầu của h là Dh : RK
→ 2ZK
cho bởi: Với mọi
p ∈ RK
Dh(p) = arg max
x∈ZK
Uh(x) − hp, xi
.
Ta định nghĩa (xh | h ∈ H) , yl | l ∈ L
, p
, trong đó xh ∈ ZK
, yl ∈ ZK
and p ∈ RK
,
được gọi là trạng thái cân bằng cạnh tranh nếu các điều kiện sau đây thoả mãn
(a) xh ∈ Dh(p) (h ∈ H)
(b) yl ∈ Sl(p) (l ∈ L)
(c)
P
h∈H xh =
P
h∈H x◦
h
+
P
l∈L yl
(d) p ≥ 0
Có nghĩa là, mỗi đại lí đạt được những gì họ mong muốn, giữ được trạng
thái cân bằng giữa cung và cầu, và vecto giá cân bằng là không âm. Tính không
âm của vecto giá cân bằng (d) có thể bị bỏ qua trong một số mô hình.
Một hàm U : ZK
→ R ∪ {−∞} được gọi là đơn điệu không giảm nếu x ≤ y ⇒
U(x) ≤ U(y) với bất kì x, y ∈ dom U. Gul và Stacchetti đã chỉ ra sự tồn tại của
trạng thái cân bằng cạnh tranh trong nền kinh tế chuyển đổi theo khả năng
thay thế tổng thể và điều kiện đơn điệu không giảm.
Ta thấy rằng Định lí 3.6 dưới đây là một kết quả tổng quát của Định lí 3.4.
Định lí 3.6 và 3.7 được Murota phát biểu một cách rõ ràng bao gồm các kết quả
của Danilov, Koshevoy. Ta gọi mô hình này là mô hình Danilov-Koshevoy-Murota
hay ngắn gọn là mô hình DKM nếu mỗi Cl là M
−lồi và mỗi Uh là M
−lõm.
Định lý 3.6 Trong trường hợp nền kinh tế chuyển đổi, khi L = ∅, thì mô hình DKM
có trạng thái cân bằng cạnh tranh (xh | h ∈ H) , p
với bất kì tài sản ban đầu x◦
∈
P
h∈H dom Uh, trong đó tổng này có nghĩa là tổng Minkowski.
Định lý 3.7 Nếu phiên bản liên tục của mô hình DKM, có được bằng cách coi tất cả
các hàng hóa không phân chia được là có thể phân chia được, có trạng thái cân bằng
cạnh tranh cho tổng tài sản ban đầu, thì mô hình DKM cũng có trạng thái cân bằng
cạnh tranh (xh | h ∈ H) , yl | l ∈ L
, p
của hàng hóa không thể phân chia, trong đó
hàm chi phí và hàm lợi ích trong mô hình liên tục lần lượt là mở rộng lồi của Cl và mở
rộng lõm của Uh.
Các vectơ giá cân bằng tạo thành một đa diện hoạt động tốt, đa diện L
−lồi
do Fujishige, Murota, Shioura nghiên cứu. Một đa diện P ⊆ RK
gọi là đa diện
L
−lồi nếu với mọi α với 0 ≤ α ∈ R
(3.1) p, q ∈ P =⇒ (p − α1) ∨ q, p ∧ (q + α1) ∈ P.

42. 3.4. MỘT MÔ HÌNH VỚI CÁC SẢN PHẨM THAY THẾ VÀ BỔ SUNG 37
Định lý 3.8 Giả sử rằng mô hình DKM có trạng thái cân bằng cạnh tranh đối với
tổng tài sản ban đầu x◦
. Khi đó tập P∗
(x◦
) tất cả các vecto giá cân bằng là một đa diện
L
−lồi. Tức nghĩa là (trường hợp α = 0 trong (3.1))
(3.2) p, q ∈ P∗
(x◦
) =⇒ p ∨ q, p ∧ q ∈ P∗
(x◦
) .
(3.2) ngụ ý sự tồn tại của vectơ giá cân bằng nhỏ nhất và hơn nữa, nó cũng nói
rằng sự tồn tại của vectơ giá cân bằng lớn nhất nếu P∗
(x◦
) bị chặn.
Để tìm điểm cân bằng cạnh tranh, chúng tôi chọn hàm tổ hợp lợi ích Ψ0
:
ZK
→ R ∪ {±∞} làm đại diện của thị trường cho bởi: Với mọi z ∈ ZK
Ψ0
(z) = sup







−
X
l∈L
Cl yl
+
X
h∈H
Uh (xh) |
X
h∈H
xh −
X
l∈L
yl = z







.
Chúng ta có thể chỉ ra rằng một nghiệm thỏa mãn (a), (b) và (c) đạt được
Ψ0
(x◦
) và ngược lại. Bằng cách sử dụng thực tế rằng Ψ0
là tích chập nguyên
của họ các hàm M
−lõm {−Cl | l ∈ L} ∪ {Uh | h ∈ H} Murota và Tamura đã đưa
ra một thuật toán hiệu quả để tìm điểm cân bằng cạnh tranh. Thuật toán của
họ bao gồm hai giai đoạn: giai đoạn đầu tiên tính toán sản lượng và tiêu dùng
thỏa mãn (a), (b) và (c) bằng cách giải bài toán giao điểm M
−lõm và giai đoạn
thứ hai tìm một vectơ giá cân bằng bằng cách giải một bài toán đường ngắn
nhất.
3.4 Một mô hình với các sản phẩm thay thế và bổ sung
Mô hình DKM được xem là mô hình bao gồm tất cả các sản phẩm thay thế.
Danilov, Koshevoy và Lang đã xét một mô hình mở rộng với các sản phẩm thay
thế và bổ sung và cho thấy sự tồn tại của trạng thái cân bằng cạnh tranh trong
mô hình. Trong thiết lập của Phần 3.3, mô hình giả định
• K = L × H.
• Cho bất kì nhà sản xuất l ∈ L, Cl xác định trên {0, 1}{l}×H
và giả sử yl (l0
, h) =
0 với mọi l0
∈ L{l} và h ∈ H.
• Cho bất kì người tiêu dùng h ∈ H, Uh xác định trên {0, 1}L×{h}
và giả sử
xh (l, h0
) = 0 với mọi l ∈ L và h0
∈ H{h}.
• Với bất kì người tiêu dùng h ∈ H, thì x◦
h
= 0.
• Một trạng thái cân bằng cạnh tranh được xác định bởi (a), (b) và (c) trong
Phần 3.2.

43. 3.5. MÔ HÌNH ĐẤU GIÁ TỔ HỢP 38
Một tính năng đáng chú ý của mô hình là tập L những người sản xuất được
phân chia thành Ls và Lc. Họ đưa ra giả thiết gọi là nguyên lý tương thích chịu
những điều kiện sau
(i) Cl là hàm M
−lồi với bất kì l ∈ Ls.
(ii) Cl là hàm dưới modun với bất kì l ∈ Lc.
(iii) Uh là tổng của hàm M
−lõm trên Ls × {h} và hàm trên modun (tức là giá
trị âm của hàm dưới modun) trên Lc × {h} với bất kì h ∈ H.
Nguyên lý tương thích đảm bảo sự tồn tại của trạng thái cân bằng cạnh
tranh.
Định lý 3.9 Theo nguyên lý tương thích, thì mô hình trên có trạng thái cân bằng
cạnh tranh.
3.5 Mô hình đấu giá tổ hợp
Trong phần này, chúng tôi giải thích ngắn gọn về đấu giá tổ hợp của các
hàng hóa không đồng nhất. Gọi V là tập hợp các hàng hóa được bán bởi đấu
giá viên và B là tập hợp những người mua. Mỗi người mua i ∈ B có một hàm
lợi ích là fi với điều kiện là tiền trong tất cả các tập con X của V sao cho fi(X)
mô tả lượng tiền được trả bởi người mua i khi i có được tập X các hàng hoá.
Mục tiêu của đấu giá viên là tìm một phân bố tối ưu, trong đó một phân bố là
vùng con của V thành các tập con rời rạc từng cặp và một phân bố tối ưu khác
là một cực đại của
P
i∈B fi (Vi).
B. Lehmann, D. Lehmann và Nisan đã thảo luận về đấu giá tổ hợp với một
số lớp hàm tiện ích, và chỉ ra rằng nếu tất cả các fi đều là M
−lõm thì một phân
bổ tối ưu hữu hiệu có thể được tìm thấy như sau. Ở đây chúng ta xác định một
tập hợp con bằng vectơ đặc trưng của nó. Chúng ta xét một hàm f0 tương tự
như 0 trên {0, 1}V
, là một hàm M
−lõm. Khi đó, bài toán tìm một phân bố tối
ưu có thể được hình thành như một bài toán tìm cực đại của
f(1) = max







X
i∈{0}∪B
fi (xi) |
X
i∈{0}∪B
xi = 1, xi ∈ {0, 1}V
(∀i ∈ {0} ∪ B)







.
Vì f là tích chập nguyên của các hàm M
−lõm
fi | i ∈ {0}∪ B}, bài toán có thể
chuyển thành bài toán giao M
−lõm. Hơn nữa, ta có dom fi = {0, 1}V
với mọi
i ∈ {0} ∪ B. Do đó, bài toán sẽ dể hơn trường hợp tổng quát của bài toán giao
M
−lõm.

44. 3.6. MÔ HÌNH HÔN NHÂN ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT 39
3.6 Mô hình hôn nhân ổn định tổng quát
Eguchi và Fujishige đề xuất một mô hình hôn nhân ổn định tổng quát dựa
trên giải tích lồi rời rạc, và Eguchi, Fujishige và Tamura mở rộng nó để cho
phép không phân biệt về sở thích và nhiều mối quan hệ đối tác. Chúng tôi gọi
mô hình này là mô hình EFT. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu mô hình EFT.
Gọi M và W biểu thị hai tập hợp các tác nhân rời nhau và E là một tập hữu
hạn. Trong mô hình, tiện ích của M và W trên E được mô tả tương ứng bởi hai
hàm M
−lõm fM, fW : ZE
→ R ∪ {−∞}. Hơn nữa, chúng tôi giả định rằng fM và
fW thỏa mãn giả thiết sau.
(A) Miền hữu hiệu dom fM và dom fW bị chặn và di truyền, hơn nữa fM và
fW có điểm cực tiểu chung là điểm 0,
trong đó di truyền được hiểu là 0 ≤ x1 ≤ x2 ∈ dom fM (tương tự với dom fW
kéo theo x1 ∈ dom fM (tương tự với dom fW
. Tính di truyền của các miền hữu
hiệu ngụ ý rằng mỗi đại lý có thể tùy ý giảm bớt tính đa dạng của các mối quan
hệ đối tác mà không cần bất kỳ sự đồng ý nào của đối tác, tương tự như trong
các mô hình thị trường khớp hai mặt khác.
Giả sử z là vecto nguyên sao cho
(3.3) dom fM ∪ dom fW ⊆
n
y ∈ ZE
| 0 ≤ y ≤ z
o
.
Ta nói x ∈ dom fM ∩dom fW là một nghiệm fM fW−ổn định nếu tồn tại zM, zW ∈
ZE
sao cho
(3.4) z = zM ∨ zW.
(3.5) x ∈ arg max
fM(y) | y ≤ zM
.
(3.6) x ∈ arg max
fW(y) | y ≤ zW
.
Eguchi, Fujishige và Tamura chứng tỏ rằng tồn tại nghiệm fM fW−ổn định.
Định lý 3.10 Cho bất kì hàm M
−lõm fM, fW : ZE
→ R∪ {−∞} thoả mãn (A), mô
hình EFT luôn có nghiệm fM fW−ổn định.
Định lý trên có thể được xây dựng bằng cách tổng quát của thuật toán Gale-
Shapley như sau. Để mô tả thuật toán, chúng tôi giả sử rằng ban đầu đã cho
xM, xW ∈ ZE
và zM, zW ∈ ZE
thỏa mãn (3.4) và như sau:
(3.7) xM ∈ arg max
fM(y) | y ≤ zM
.

45. 3.6. MÔ HÌNH HÔN NHÂN ỔN ĐỊNH TỔNG QUÁT 40
(3.8) xW ∈ arg max
fW(y) | y ≤ zW ∨ xM
.
(3.9) xW ≤ xM.
Ta dể dàng tính các vecto ban đầu bằng cách đặt zM = z, zW = 0 và tìm xM và
xW sao cho
(3.10) xM ∈ arg max
fM(y) | y ≤ zM
.
(3.11) xW ∈ arg max
fW(y) | y ≤ xM
.
Thuật toán được mô tả như sau
Thuật toán G-GS fM, fW, xM, xW, zM, zW
Số liệu đầu vào: Các hàm M
−lõm fM, fW và xM, xW, zM, zW thoả mãn (3.4),
(3.7), (3.8), (3.9).
Bước 1. Tìm phần tử xM trong arg max
fM(y) | xW ≤ y ≤ zM
.
Bước 2. Tìm phần tử xW trong arg max
fW(y) | y ≤ xM
.
Bước 3. Với mọi e ∈ E với xM(e) xW(e), đặt zM(e) := xW(e), zW(e) := z(e).
Bước 4. Nếu xM = xW khi đó thuật toán kết thúc, cho kết quả (xM, xW, zM, zW ∨ xM).
Trường hợp khác, quay về bước 1.
Cần lưu ý rằng vì giả định (A), xM và xW được xác định rõ trong các miền
hữu hiệu. Và thuật toán G-GS kết thúc sau các bước lặp
P
e∈E z(e), bởi vì
P
e∈E zM(e)
bị giảm nghiêm ngặt trong mỗi lần lặp. Cuối cùng, ta có một phát thảo cho
chứng minh định lí trên.
Phát thảo chứng minh định lí. Giả s x(i)
M
, x(i)
W
, z(i)
M
, và z(i)
W
là xM, xW, zM, và zW
thu được sau lần lặp thứ i trong G-GS cho i = 1, 2, · · · , t, trong đó t là đầu ra
cuối cùng. Theo Bổ đề 3, với mọi i = 1, · · · , t, ta có
x(i+1)
M
∈ arg max
n
fM(y) | y ≤ z(i)
M
o
,
x(i)
W
∈ arg max
fW(y) y ≤ z(i)
W
∨ x(i)
M
o
.
Do đó, khi cho i = t
x(t)
M
∈ arg max
n
fM(y) | y ≤ z(t)
M
o
,
x(t)
W
∈ arg max
n
fW(y) | y ≤ z(t)
W
∨ x(t)
M
o
,
x(t)
M
= x(t)
W
Bằng cách thay zM, zW, và xM ta có
z(t)
M
∨
z(t)
W
∨ x(t)
M
= z
Trên đây là một phát thảo cho chứng minh Định lí 3.11.

46. 3.7. MÔ HÌNH LAI TỔNG QUÁT 41
3.7 Mô hình lai tổng quát
Fujishige và Tamura đã đề xuất một phép lai tổng quát của mô hình hôn
nhân ổn định và mô hình phân công bằng cách mở rộng ý tưởng của Eriksson
và Karlander.
Trong mô hình, các tiện ích (về mặt tiền tệ) của M và W tương ứng cho bởi
các hàm M
−lõm fM, fW : ZE
→ R ∪ {−∞} thoả mãn giả thiết (A), ngoài ra, E
được phân chia thành hai tập con F (tập các phần tử linh hoạt) và R (tập các
phần tử cố định). Trong mô hình lai cho bởi Eriksson và Karlander M và W
tương ứng được chia thành {MF, MR} và {WF, WR}, và ta có F = MF × WF và
R = EF, trong đó E = M × W.
Giả sử z là vecto nguyên thoả mãn (3.3). Cho một vecto d trên E và S ⊆
E, chúng ta giả sử rằng d|S biểu thị giới hạn của d trên S. Ta nói rằng x ∈
dom fM ∩dom fW là một nghiệm fM fW−ổn định đối với (F, R) nếu tồn tại p ∈ RE
và zM, zW ∈ ZR
sao cho
(3.12) p

49. R
= 0,
(3.13) z|R = zM ∨ zW,
(3.14) x ∈ arg max
fM[+p](y)|y|R ≤ zM
,
(3.15) x ∈ arg max
fW[−p](y)|y|R ≤ zW
.
Điều kiện (3.12) nói rằng không có khoản thanh toán phụ nào cho tất cả các
yếu tố cố định. Rõ ràng, nếu E = R thì mô hình của chúng ta bao gồm mô hình
Eguchi-Fujishige-Tamura, và nếu E = F thì nó bao gồm mô hình phân công.
Định lý 3.11 Cho bất kì hàm M
−lõm fM, fW : ZE
→ R∪ {−∞} thoả mãn (A) và cho
bất kì phân vùng (F, R) của E, khi đó luôn tồn tại nghiệm fM fW−ổn định đối với (F, R).

50. KẾT LUẬN
Bài viết này trình bày một cách tương đối đầy đủ các kiến thức cơ bản về
các hàm lồi trong giải tích lồi rời rạc. Bên cạch đó, chúng tôi cũng đã đưa ra
một số ứng dụng của giải tích lồi rời rạc vào trong toán kinh tế. Bằng cách
tổng hợp, khái quát hoá một số tài liệu về chủ đề nêu trên, chúng tôi mong
muốn bài viết này sẽ mang lại những kiến thức cơ bản về môn giải tích lồi rời
rạc, một lĩnh vực khá mới và thú vị trong toán giải tích. Từ những nghiên cứu
trong Chương 3, ta có thể dẫn đến các bài toán mở sau đây có thể làm tiền đề
cho những nghiên cứu sau này.
Bài toán mở 1. Phát triển một thuật toán tích đa thức để tìm nghiệm fM fW−ổn
định của mô hình EFT.
Chúng tôi lưu ý rằng vấn đề kiểm tra xem một điểm x ∈ dom fM∩ dom fW
có là fM fW−ổn định trong mô hình EFT hay không có thể được giải quyết bằng
cách sử dụng bổ đề sau.
Bổ đề 3.2 Một điểm x ∈ dom fM ∩ dom fW là nghiệm fM fW−ổn định trong mô hình
EFT nếu và chỉ nếu thoả mãn điều kiện sau:
Cho e ∈ E, fM(x) ≥ fM (x − χe) và fW(x) ≥ fW (x − χe).
Cho e ∈ E, fM(x) ≥ fM (x + χe − χe0 ) (∀e0
∈ E ∪ {0}) hoặc
fW(x) ≥ fW (x + χe − χe00 ) (∀e00
∈ E ∪ {0})
Bài toán mở 2. Phát triển một thuật toán tích đa thức tìm nghiệm fM fW−ổn
định đối với phân hoạch (F, R) của E.
Lưu ý rằng trong trường hợp fM, fW là hàm có giá trị nguyên và E = F, ta
có thể tìm nghiệm fM fW−ổn định đối với phân vùng (E, ∅) một cách hữu hiệu,
bởi vì bài toán có thể được chuyển đổi thành bài toán giao M
−lõm.
42

51. Tài liệu tham khảo
[1] Lam Q. Anh: Giáo trình giải tích lồi, NXB Đại học Cần Thơ (2020).
[2] E. Altman, B. Gaujal, and A. Hordijk: Multimodularity, convexity,
and optimization properties, Mathematics of Operations Research,
25(2000), 324 − 347.
[3] E. Altman, B. Gaujal, and A. Hordijk: Discrete-Event Control of Stochastic
Networks: Multimodularity and Regularity, Lecture Notes in Mathemat-
ics, 1829, Springer-Verlag, Heidelberg, 2003.
[4] A. Bouchet and W. H. Cunningham: Delta-matroids, jump systems,
and bisubmodular polyhedra, SIAM Journal on Discrete Mathematics, 8
(1995), 17-32.
[5] N. Buchbinder, M. Feldman, J. Naor, R. Schwartz: A tight linear time
(1/2)-approximation for unconstrained submodular maximization. Pro-
ceedings of the 53th Annual IEEE Symposium on Foundation of Com-
puter Science, pp. 649-658, New Brunswick, New Jersey, October 2012.
[6] N. Buchbinder, M. Feldman, J. Naor, R. Schwartz: Submodular maximiza-
tion with cardinality constraints. Proceedings of the 25 th ACM-SIAM
Symposium on Discrete Algorithms pp. 1433-1452, ACM, New York, 2014.
[7] G. Calinescu, C. Chekuri, M. Pál, and J. Vondrák: Maximizing a submod-
ular set function subject to a matroid constraint, SIAM Journal on Com-
puting, 40 (2011), 1740-1766.
[8] M. Conforti and G. Cornuéjols: Submodular set functions, matroids and
the greedy algorithm: tight worst-case bounds and some generalizations
of the Rado-Edmonds theorem, Discrete Applied Mathematics, 7 (1984),
251-274.
[9] W. J. Cook, W. H. Cunningham, W. R. Pulleyblank, and A. Schrijver: Com-
binatorial Optimization, John Wiley and Sons, New York, 1998.
43

52. Tài liệu tham khảo 44
[10] A. W. M. Dress and W. Wenzel: Valuated matroid: A new look at the
greedy algorithm, Applied Mathematics Letters, 3(1990), 33 − 35.
[11] A. W. M. Dress and W. Wenzel: Valuated matroids, Advances in Mathe-
matics, 93 (1992), 214 − 250
[12] J. Edmonds: Submodular functions, matroids and certain polyhedra, in:
R. Guy, H. Hanani, N. Sauer, and J. Schönheim, eds., Combinatorial
Structures and Their Applications, Gordon and Breach, New York, 1970,
69-87. Also in: M. Jünger, G. Reinelt, G. Rinaldi, eds., Combinatorial
Optimization-Eureka, You Shrink!, Lecture Notes in Computer Science,
2570, SpringerVerlag, Berlin, 2003, 11 − 26.
[13] P. Favati and F. Tardella: Convexity in nonlinear integer programming,
Ricerca Operativa, 53 (1990), 3 − 44
[14] U. Feige, V. Mirrokni, and J. Vondrak: Maximizing non-monotone sub-
modular functions, SIAM Journal on Computing, 40 (2011), 1133-1153.
[15] M. L. Fisher, G. L. Nemhauser, and L.A. Wolsey: An analysis of approxi-
mations for maximizing submodular set functions II, Mathematical Pro-
gramming Study, 8(1978), 73 − 87.
[16] A. Frank: A weighted matroid intersection algorithm, Journal of Algo-
rithms, 2 (1981), 328336.
[17] A. Frank: An algorithm for submodular functions on graphs, Annals of
Discrete Mathematics, 16(1982), 97 − 120.
[18] S. Fujishige: Theory of submodular programs: A Fenchel-type min-max
theorem and subgradients of submodular functions, Mathematical Pro-
gramming, 29(1984), 142 − 155.
[19] S. Fujishige: Submodular Functions and Optimization, 2 nd ed., Annals of
Discrete Mathematics, 58 , Elsevier, 2005 .
[20] S. Fujishige and K. Murota: Notes on L-/M-convex functions and the sep-
aration theorems, Mathematical Programming, 88(2000), 129 − 146.
[21] S. Fujishige and A. Tamura: A two-sided discrete-concave market with
possibly bounded side payments: An approach by discrete convex analy-
sis, Mathematics of Operations Research, 32 (2007), 136 − 155
[22] M. Fukushima, Y. Oshima, and M. Takeda: Dirichlet Forms and Symmet-
ric Markov Processes, Walter de Gruyter, Berlin, 1994.

53. Tài liệu tham khảo 45
[23] B. Hajek: Extremal splittings of point processes, Mathematics of Opera-
tions Research, 10 (1985), 543 − 556
[24] H. Hirai and K. Murota: M-convex functions and tree metrics, Japan Jour-
nal of Industrial and Applied Mathematics, 21 (2004), 391-403.
[25] S. Iwata: Submodular function minimization, Mathematical Program-
ming, Series B, 112 (2007), 45 − 64
[26] S. Iwata, S. Moriguchi, and K. Murota: A capacity scaling algorithm for
M-convex submodular flow, Mathematical Programming, 103(2005), 181−
202.
[27] S. Iwata and M. Shigeno: Conjugate scaling algorithm for Fenchel-type
duality in discrete convex optimization, SIAM Journal on Optimization,
13(2003), 204 − 211.
[28] P. M. Jensen and B. Korte: Complexity of matroid property algorithms,
SIAM Journal on Computing, 11(1982), 184 − 190.
[29] Y. Kobayashi and K. Murota: Induction of M-convex functions by linking
systems, Discrete Applied Mathematics, 155 (2007), 1471-1480.
[30] : Operations on M-convex functions on jump systems, SIAM Journal on
Discrete Mathematics, 21 (2007), 107-129.
[31] Y. Kobayashi and K. Takazawa: Even factors, jump systems, and discrete
convexity, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 99(2009), 139 − 161.
[32] V. Kolmogorov and A. Shioura: New algorithms for convex cost tension
problem with application to computer vision, Discrete Optimization, 6
(2009), 378 − 393.
[33] B. Korte and J. Vygen: Combinatorial Optimization: Theory and Algo-
rithms, 3rd ed., Springer-Verlag, Berlin, 2006.
[34] L. Lovász: Matroid matching and some applications, Journal of Combina-
torial Theory (B), 28 (1980), 208 − 236
[35] L. Lovász: Submodular functions and convexity, in: A. Bachem, M.
Grötschel and B. Korte, eds., Mathematical Programming-The State of the
Art, Springer-Verlag, Berlin, 1983,235 257.
[36] S. T. McCormick: Submodular function minimization. in: K. Aardal, G.
Nemhauser, and R. Weismantel, eds., Handbook on Discrete Optimiza-
tion, Elsevier Science Publishers, Berlin, 2006, Chapter 7, 321-391.

54. Tài liệu tham khảo 46
[37] S. Moriguchi, K. Murota, and A. Shioura: Scaling algorithms for M-convex
function minimization, IEICE Transactions on Fundamentals of Electron-
ics, Communications and Computer Sciences, E85-A (2002), 922-929.
[38] K. Murota: Valuated matroid intersection, I: optimality criteria, SIAM
Journal on Discrete Mathematics, 9(1996), 545 − 561.
[39] K. Murota: Valuated matroid intersection, II: algorithms, SIAM Journal on
Discrete Mathematics, 9(1996), 562 − 576
[40] K. Murota: Convexity and Steinitz’s exchange property, Advances in
Mathematics, 124 (1996), 272 − 311
[41] K. Murota: Discrete convex analysis, Mathematical Programming,
83(1998), 313 − 371.
[42] K. Murota: Submodular flow problem with a nonseparable cost function,
Combinatorica, 19 (1999), 87 − 109.
[43] K. Murota: Matrices and Matroids for Systems Analysis, Springer-Verlag,
Berlin, 2000 .
[44] K. Murota: Discrete Convex Analysis, SIAM Monographs on Discrete
Mathematics and Applications, Vol. 10, Society for Industrial and Applied
Mathematics, Philadelphia, 2003.
[45] K. Murota: On steepest descent algorithms for discrete convex functions,
SIAM Journal on Optimization, 14(2003), 699 − 707.
[46] K. Murota: Note on multimodularity and L-convexity, Mathematics of
Operations Research, 30(2005), 658 − 661.
[47] K. Murota: M-convex functions on jump systems: A general framework for
minsquare graph factor problem, SIAM Journal on Discrete Mathematics,
20 (2006), 213-226.
[48] K. Murota: Recent developments in discrete convex analysis, in: W. Cook,
L. Lovász, and J. Vygen, eds., Research Trends in Combinatorial Optimiza-
tion, Springer-Verlag, Berlin, 2009 , 219 − 260
[49] K. Murota: Submodular function minimization and maximization in dis-
crete convex analysis, RIMS Kokyuroku Bessatsu, B23 (2010), 193-211.
[50] K. Murota and A. Shioura: M-convex function on generalized polyma-
troid, Mathematics of Operations Research, 24 (1999), 95-105.

55. Tài liệu tham khảo 47
[51] K. Murota and A. Shioura: Extension of M-convexity and L-convexity
to polyhedral convex functions, Advances in Applied Mathematics, 25
(2000), 352-427.
[52] K. Murota and A. Shioura: Conjugacy relationship between M-convex and
L-convex functions in continuous variables, Mathematical Programming,
101(2004), 415 − 433.
[53] K. Murota and A. Shioura: Fundamental properties of M-convex and L-
convex functions in continuous variables, IEICE Transactions on Funda-
mentals of Electronics, Communications and Computer Sciences, E87-A
(2004), 1042-1052.
[54] K. Murota and A. Shioura: Exact bounds for steepest descent algo-
rithms of L-convex function minimization, Operations Research Letters,
42 (2014), 361-366.
[55] K. Murota and A. Tamura: On circuit valuation of matroids, Advances in
Applied Mathematics, 26(2001), 192 − 225.
[56] K. Murota and A. Tamura: Proximity theorems of discrete convex func-
tions, Mathematical Programming, 99(2004), 539 − 562.
[57] G. L. Nemhauser, L.A. Wolsey, and M. L. Fisher: An analysis of approx-
imations for maximizing submodular set functions I, Mathematical Pro-
gramming, 14(1978), 265 − 294.
[58] J. G. Oxley: Matroid Theory, Oxford University Press, Oxford, 1992.
[59] A. Recski: Matroid Theory and Its Applications in Electric Network The-
ory and in Statics, Springer-Verlag, Berlin, 1989.
[60] R. T. Rockafellar: Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton,
1970.
[61] A. Schrijver: Combinatorial Optimization-Polyhedra and Efficiency,
Springer-Verlag, Heidelberg, 2003 .
[62] A. Shioura: Fast scaling algorithms for M-convex function minimization
with application to the resource allocation problem, Discrete Applied
Mathematics, 134(2003), 303 − 316.
[63] A. Shioura: On the pipage rounding algorithm for submodular function
maximization: a view from discrete convex analysis, Discrete Mathemat-
ics, Algorithms and Applications, 1 (2009), 1 − 23.

56. Tài liệu tham khảo 48
[64] A. Shioura: Matroid rank functions and discrete concavity, Japan Journal
of Industrial and Applied Mathematics, 29 (2012), 535 − 546.
[65] A. Shioura and K. Tanaka: Polynomial-time algorithms for linear and con-
vex optimization on jump systems, SIAM Journal on Discrete Mathemat-
ics, 21 (2007), 504-522.
[66] D. Simchi-Levi, X. Chen, J. Bramel: The Logic of Logistics: Theory, Al-
gorithms, and Applications for Logistics Management, 3rd ed. Springer-
Verlag, New York, 2014.
[67] D. Speyer: Tropical linear spaces, arXiv:math.CO/0410455, 2004 .
[68] D. Speyer and B. Sturmfels: The tropical Grassmannian, Advances in Ge-
ometry, 4 (2004), 389 − 411
[69] A. Tamura: Applications of discrete convex analysis to mathematical eco-
nomics, Publications of Research Institute for Mathematical Sciences, 40
(2004), 1015-1037.
[70] A. Tamura: Coordinatewise domain scaling algorithm for M-convex func-
tion minimization, Mathematical Programming, 102(2005), 339 − 354.
[71] D. M. Topkis: Supermodularity and Complementarity, Princeton Univer-
sity Press, Princeton, NJ, 1998.
[72] N. White: Theory of Matroids, Cambridge University Press, London, 1986.
[73] P. Zipkin: On the structure of lost-sales inventory models, Operations Re-
search, 56 (2008), 937 − 944.