1. Bán kính quán tính: .1
3
3
cm
F
I
r z
z ===
Độ mảnh: Theo bảng 12. 2: φ = 0,91.
Momen chống uốn : 314,2
4,1
3
cmWz ≅=
Momen uốn cực đại:
Nm
lFrn
M
0,15
120
33,01050.10.6,7.10.3.008,014,3
120
2
22242
2
222
max
=
⋅⋅
=
==
−−
γπ
2
2
/9126
3.91,0
23000
14,2
10.0,15
cmN=+=σ
Ứng suất tổng cộng :
Thí dụ 13. 3. Kiểm tra ứng suất do uốn dọc và uốn ngang
đồng thời trong mặt phẳng chuyển động của thanh truyền
động cơ máy kéo, biết hệ số quy đổi chiều dài μ = 1; l = 330 mm;
r = 76mm; n = 1050vg/ph; F = 3cm2
; P = 23kN; γ = 0,008kg/cm3
.
z
5
2
1
2
8
5
F
P
W
M
ϕ
σ +=(12. 14)
Momen quán tính của mặt cắt:
4
3
2
3
3
12
8,1.5,0
15,1.5,0.1,2
12
5,0.1,2
2 cmIz ≅+







+=
l=330
P P

2. Thí dụ 7. 8. Kiểm tra độ bền ở
các điểm 1, 2 và 3 trên mặt cắt
1-1 của thân cày
Tại mặt cắt 1-1 có các thành phần
nội lực:
P = N + T; Mz = ( N + T )H;
My = Na; Mx = QH = NctgαH.
Biết N = 6,5 kN; T = 5,5 kN;
α = 40O; thân cày có mặt cắt hình
chữ nhật có b = 10mm; h = 70mm ;
H = 560 mm; a = 260 mm. Vật liệu
thân cày có
1 3
T N
R
Q
N
a
H
y
b
z 2 h
1
1
α
α
Tại điểm 1 ứng suất tiếp do xoắn gây ra
bằng không, ứng suất pháp tổng cộng
có giá trị bằng:
./18
6.7
6.26.5,6
7.6
6.56)5,55,6(
7.6
5,55,6
)(
2
22
1
cmkN
W
Na
W
HTN
F
TN
W
M
W
M
F
TN
yzy
y
z
z
≅+
+
+
+
=
+
+
+
+
=++
+
=σ
Tại điểm 2 có ứng suất tiếp cực đại :
τ max =
3
b
HNctg
W
M
x
x
β
α ⋅
= .
Với tỷ số n = b/h = 7/6 = 1,17; β = 0,213.
τ max = 2
3
/43,9
6.213,0
5640.5,6
cmkN
ctg o
≅
⋅
.
./3,4
6.7
6.26.5,6
7.6
5,55,6 2
2
cmkN
W
M
F
TN
y
y
=+
+
=+
+
=σ
Ứng suất pháp tại điểm 2:
22222
2 /3,1943,9.43,44 cmkNtd =+=+= τσσ
γτγτ ==
x
x
W
M
max= 0,952.9,43 =8,98kN/cm2
.
Ứng suất tiếp tại điểm 3:

3. ./14
7.6
6.56).5,55,6(
7.6
5,55,6 2
3
cmkN
W
M
F
TN
z
z
=
+
+
+
=+
+
=σ
Ứng suất pháp ở điểm 3:
22222
3 /8,2298,8144 cmkNtd =+=+= τσσ
Ứng suất tương đương tại điểm 3:
Thép làm khung cày có giới hạn chảy σc = 40kN/cm2, như
vậy có thể coi là đủ độ bền ( n = 40/22,8 = 1,75 ).
Thí dụ 7.9. Hai thanh thép lập là có mặt cắt ngang 120x10 mm
được nối với nhau bằng cách hàn với tấm nối là thép góc
100x63x10 mm . So sánh độ bền của thanh lập là và thép góc
nếu chúng được làm bằng cùng một vật liệu.
Các thông số của thép góc 100x63x10: F = 15,5 cm2; IX’= 47,1 cm4;
100x63x10
100x10mm
Đường
trung hoà
10 34
13,
4
1
660
49,
5
A
O
C
X’
X
YY’
5 15,
8
P=100kN P
IY’ = 154 cm4; IX = 28,3 cm4; tgα = 0,387; α = 21o10’
.Iy = IX’ + IY’ – IX =172,8 cm4; ;825,1 22
cm
F
I
i x
x == ;10,11 22
cm
F
I
i
y
y ==

4. Các thanh lập là chịu tải đúng đường tâm, ta dễ dàng xác định
tâm áp lực C trong hệ toạ độ X’OY’.
X’C = 6 – 1,0 – 3,4 = 1,6 cm; Y’C = – ( 1,58 + 0,5 ) = – 2,08 cm.
XC = X’Ccos(–21O10’) + Y’Csin(–21O10’) =
= 1,6.0,9325 + 2,08.0,361 = 2,245 cm;
YC = – X’C sin(–21O10’) +Y’Ccos(–21O10’) =
= – 1,6.( –0,361) – 2,08. 0,9325 = – 1,364 cm.
ứng suất ở một điểm bất kỳ trên mặt cắt của thép góc:(7. 14)
Xác định toạ độ của điểm C trong hệ toạ độ XOY ( XOY quay
một góc α = 21o10’ so với hệ toạ độ X’OY’ theo chiều kim
đồng hồ)








−+=








++= −
−
−
−
−
yxy
i
Y
x
i
X
F
P
x
C
y
C
4
2
4
2
4
3
22
10.825,1
10.364,1
10.1,11
10.145,2
1
10.5,15
10.100
1σ
Toạ độ của điểm A,B(xa đường trung hoà nhất)trong hệ toạ
độ X’OY’ :
X’A = – 3,4 cm; X’B = – 2,4 cm;Y’A = – 1,58 cm; Y’B = – 4,72 cm.
Toạ độ của A và B trong hệ toạ độ XOY:
XA = X’Acos21O10’ – Y’Asin21O10’ =
– 3,4.0,9325 + 1,58.0,361 = – 2,58 cm;
YA = X’Asin21O10’ + Y’Acos21O10’ =
– 3,4.0,361 – 1,58.0,9325 = – 2,7 cm;
XB = X’Bcos21O10’ – Y’Bsin21O10’ =
– 2,4.0,9325 – 4,7.0,361= – 3,94 cm;
YB = X’Bsin21O10’ + Y’Bcos21O10’ =
– 2,4.0,361 + 4,7.0,9325 = 3,53 cm.
Toạ độ của giao điểm của đường trung hoà và các trục toạ độ:
;0495,0
5,224
1,11
ma −=−= ;013,0
4,136
825,1
mb −=−=

5. .157/157000000
)0394,0(
10.1,11
10.245,2
)0353,0(
10.825,1
10.364,1
1
10.5,15
10.100
2
4
2
4
4
4
3
MPamNB
B
−=−=






−+−=
−
−
−
−
−
σ
σ
Ứng suất pháp trong thanh lập là:
MPamN
F
P
3,83/83300000
12,0.01,0
10.100 2
3
====σ
Như vậy mặc dầu diện tích mặt cắt ngang của thép góc lớn
hơn thanh lập là khoảng 30% nhưng ứng suất cực đại trong
thép góc lại lớn hơn 93%.
.161/161000000
)0258,0(
10.1,11
10.245,2
)027,0(
10.825,1
10.364,1
1
10.5,15
10.100
2
4
2
4
4
4
3
MPamNA
A
==






−+−−=
−
−
−
−
−
σ
σ
V? các tr?c quán tính chính
trung tâm y và z. Tính các bán
kính quán tính;
;
12
3
bh
Iz = ;
12
3
hb
Iy =
1212
23
2 b
bh
hb
F
I
r
y
y ===
h
b
z
y
V? lõi c?a m?t c?t hình ch? nh?tThí d? 7. 3.
;
1212
23
2 h
bh
bh
F
I
r z
z ===
F = bh;

6. (7. 15)
Lõi mặt cắt là hình thoi 1-2-3-4.
∞
Vẽ tiếp tuyến 1-1 với mặt cắt .
Tiếp tuyến này song song với
trục y (yo = )và cắt trục z ở
điểm có hoành độ zo = b/2.
Như vậy điểm đặt lực phía trái của lõi mặt cắt nằm trên
trục z và ở bên trái gốc toạ độ một khoảng bằng b/6.
Tương tự các điểm đặt lực ứng với các tiếp tuyến 2-2 , 3-3 ,
và 4-4 lần lượt có toạ độ (b/6, 0); (0, -h/6) và (0, h/6).
1 2
4
3
1
1
2
2
3 3
4 4
z
h
b
y
b
3
b
6
b
6
b
3
h
3 h
6
h
3
h
6

7. Ví dụ 7. 2. Một dầm làm bằng thép góc không đều cạnh
No 12, 5/8 chiều dày δ = 10mm, có các thông số sau:
Izo =312cm4; Iyo = 100cm4; yo = 4,14cm; zo = 1,92cm;
Iy = Imin= 59,3cm4; α = 22o, P = 8kN.
Xác định ứng suất cực đại và độ võng cực đại của dầm.
Vẽ biểu đồ ứng suất pháp ở mặt cắt nguy hiểm.
zO=0,0192
P
YO
ZO
yO=0,0414
P=8kN
l=1,2m

8. P
YO
ZO
zO=0,0192
yO=0,0414
P=8kN
l=1,2m
9,6
kNm
yO
y
P
zO
z
80
41,4
125
19,2
280MPa
-295MPa
Phương
độ võng
Đường trung hoà
+
-
10
10
α=22o
β=-67o25’
Hệ trục chính trung
tâm Oyz nằm nghiêng
một góc α = 22O so
với hệ trục trung tâm
OyOzO.
Py = Pcosα= 8. cos22O
= 8.0,927 = 7,4175 kN;
Pz = Psinα = 8sin22O
= 8. 0,374 = 2,9967 kN.
Mz = Pyl = 7,4175.1,2
=8,901 kNm;
My = Pzl = 2,9967.1,2
= 3,596 kNm.
Từ điều kiện Imax + Imin = Izo + Iyo,
Iz= Imax= Izo+ Iyo- Imin= 312+100 - 59,3 = 352,7 cm4;
Iy= Imin= 59,3 cm4.
Phương trình của đường trung hoà: .0=+ z
I
M
y
I
M
y
y
z
z
Góc nghiêng của đường trung hoà so với trục z:
;403,2
901,8.3,59
7,352.596,3
−=
−
=−==
zy
zy
MI
IM
z
y
tgβ β = - 67 o
25’.
Điểm nguy hiểm trên mặt cắt nguy hiểm là A (chịu kéo),
B (chịu nén).
Toạ độ của điểm A, B trong hệ toạ độ Oy oz o:
zAO = 1,92 cm; yAO = 4,14 cm;
zBO = 1,92 cm; yBO = - (12,5 - 4,14) = - 8,36 cm.

9. Toạ độ của điểm A, B trong hệ toạ độ Oxy:
zA = zAOcosα + yAOsinα =
= 1,92.0,927 + 4,41.0,374 = 3,326 cm;
yA = yAOcosα - zAOsinα =
=4,14.0,927 - 1,92.0,374 = 3,112 cm.
zB = zBOcosα +yBOsinα =
=1,92.0,927 - 8,36.0,374 = - 1,35 cm;
yB = yBOcosα - zBOsinα =
= - 8,36.0,927 - 1,92.0,374 = - 8,46 cm.
A
y
y
A
z
z
A z
I
M
y
I
M
+=σ
= 280.106 N/m2 = 280 MPa;
2
8
3
2
8
3
10).35,1(
10.3,59
10.596,3
10).46,8(
10.7,352
10.901,8 −
−
−
−
−⋅+−⋅=+= B
y
y
B
z
z
B z
I
M
y
I
M
σ
= - 295.106 N/m.2 = 95MPa.
2
8
3
2
8
3
10.326,3
10.3,59
10.596,3
10.112,3
10.7,352
10.901,8 −
−
−
−
⋅+⋅=

10. m
EI
lP
f
y
z
z 0146,0
10.3,59.10.2.3
2,1.10.997,2
3 811
333
=== −
m
EI
lP
f
z
y
y 0061,0
10.7,352.10.2.3
2,1.10.4175,7
3 811
333
=== −
E = 2.1011 N/m2
.58,146,161,0 2222
cmfff zy =+=+=
Phương của độ võng tổng cộng vuông góc với đường
trung hoà.
Ví dụ 7. 1. Một dầm chữ I NO 14 chịu tải trọng như hình vẽ.
Kiểm tra độ bền và độ cứng của dầm biết : σ =10kN/cm2 ;
P1 = 3kN; P2= 4kN; l=4m; a = 0,7m; b = 0,8m; α = 80o.
a bq
l
P1
P2
A B
C D
z
y
P,q
α
P1y = 2,954 kN; P1z = 0,521 kN; P2y = 3,030 kN; P2z = 0,695 kN;
qy = 0,492 kN/m; qz = 0,087 kN/m.
Thép chữ I NO 14 có Iz = 712 cm4; Iy = 64,4 cm4; Wz = 102 cm3;
Wy = 16,1 cm3.

11. VAy = 4,21 kN;
a/ Trong mặt phẳng xy.
4,06kNm
2,83kNm 3,56kNm
0,7 0,8
qP1y P2y
A BC D
2,5
VAy VBy
2,56
Q = 4,21 - 2,954 - 0,492x = 0. x = 1,86 m.
VBy = 4,65 kN.
Ở A: x = 0; y = 0; p = 0; p1 = 0; p2 = 0; k1 = 0 EIzyO = 0.
Ở B: x = 4m; y= 0; p = 4m; p1= 3,3m; p2= 0,8m; k1= 4m
2
4,5 kNmEI oz −=ϕ
.0
622
3
1
2
1
12
=−−+= k
q
p
V
p
V
EIEI yyAy
ozz ϕϕ
p = x; p1= x- 0,7; k1= x, x = 2,038m.
.
24666
4
1
3
2
23
1
13
k
q
p
V
p
V
p
V
xEIyEIyEI
yyyAy
ozozz −−−++= ϕ
33
max )7,0038,2(
6
594,2
038,2
6
21,4
038,2 −−⋅+⋅= ozz EIyEI ϕ
;60,6038,2
24
492,0 34
kNm−=⋅−
.6,446,0
712.10.02,0
10.60,6
6
6
mmcmf y =≅=

12. B
qP1z
P2z
A
C D
VAz VBz
0,5
0,66 0,63kNm
b/ Trong mặt phẳng xz.
VAz = 0,74kN; VBz = 0,83kN;
MCy = 0,5kNm; MDy = 0,63kNm;
Mymax = 0,66kNm; EIyzO = 0;
fz =0.92cm; = 9,2mm
2maxmax
/10,8
102
406
1,16
6,6
cmkN
W
M
W
M
z
z
y
y
≅+=+
Ứng suất pháp cực đại:
mmfff zy 3,106,42,9 2222
max ≅+=+=
Độ bền và độ cứng được đảm bảo.
q=40kN/m
P=30kN
A
B CD
4m 1m
h
b
d
t
Mặt cắt D:Mmax= 97,5kNm.
Mặt cắt A Qmax = 87,5kN.
Mặt cắt B: M = 30 kNm và Q=72,5 kN.
.
Thí dụ 6. 3. Chọn và kiểm tra toàn phần độ bền của dầm chữ
I chịu tải như hình vẽ. Vật liệu có ứng suất cho phép
+
97,5kNm
30kNm
30kN
72,5kN
+
87,5kN
2,1875
+
-

13. +
97,5kNm
30kNm
h
b
d
t
Tại D: Mmax= 97,5kNm.
Tại A: Qmax = 87,5 kN.
Tại B: M = 30 kNm;
Q = 72,5 kN.
Chọn số hiệu của dầm
chữ I theo ứng suất pháp
cực đại (tại D):
Chọn thép chữ I NO 33 có Iz = 9840 cm4;
S(z) = 339 cm3; Wz = 597 cm3;
h = 33 cm; d = 0,7 cm; t = 1,12 cm.
30kN
+
-
87,5kN
2,187
5 72,5kN
A D B C
Phân t? ? tr?ng thái tru?t thu?n tuý (m?t c?t A ):
;/31,4
7,0.9840
339.5,87
)(
)( 2max
max cmkN
dzI
zSQ
===τ
Phân t? ? tr?ng thái ?ng su?t ph?ng (m?t c?t B):
;/6 9,4
9 8 4 0
1 2,1
2
3 3
3 0 0 0
) .( 2
c mk N
I
yzM
z
y =






−
==σ
.
[ ] ./8
2
16 2
max cmkN==≤ ττ
( ) =














−−=
2
22
zS t
hd
dI
Q
z
xyτ
./7,212,1
2
33
2
7,0
339
7,0.9840
5,72 2
2
cmkN=














−−=
[ ]./62,67,2.369,4 222
σσ <=+= cmkNtd
h
b
d
t
z

14. Thí dụ 6. 2. Kiểm tra độ bền theo ứng suất pháp của dầm
chịu tải trọng như hình vẽ. Vật liệu có ứng suất chophép
P=10kN
A C B D
q=0,56kN/cm
100cm 30cm
MC = 550 kNcmMB= -300kNcm.
Dầm không đủ bền ở mặt cắt B, tại đó momen
uốn có giá trị tuyệt đối không phải là lớn nhất.
300kNcm
550kNcm 2550.8
8,25 / ;
533,34
nc kN cmσ = =
2300.8
4,5 /
533,34
kB kN cmσ = = › [ ]k
σ
2300.4
2,25 / .
533,34
nB kN cmσ = =
100
20
20100
yc
C
Mômen tĩnh của mặt cắt đối với trục zo:
SZO = 10 x 2 x 1 + 2 x 10 x 7 = 160 cm3.
100
20
20100
yC
O2
Z 2
z
z1
zO
O1
C
O
y
cm
F
S
y zo
C 4
102210
160
=
×+×
==
;34,5333.2.10
12
10.2
3.2.10
12
2.10 42
3
2
3
cmIz =+++=

15. [ ]σ≤=
W
Pl
W
M
4
max
Điều kiện bền của dầm:
[ ]
l
W
P
σ4
≤
[ ] kNP 1216
8
16.152.4
1 ==
+
Mmax=Pl/4
BP
A
C
l
0,5la/
z
yb/
y
zc/
b/
[ ] kNP 164
8
16.5,20.4
2 ==c/
[P1]/[P2] =
1216/164 = 7,41
Thí dụ 6.1. Xác định tải trọng cho phép P đặt trên dầm
NO 20 có gối đỡ bản lề ở hai đầu cho hai trường hợp đặt
dầm khác nhau như trên hình vẽ. Biết l=8m; vật liệu có ứng
suất cho phép NO 20: Wz=152 cm3 ,
Wy = 20,5 cm3 .