Trong chương này trình bày 1 số nội dung cơ bản về phương pháp xử lý kết quả đo.

1. Đại học Hàng hải Việt Nam
Viện Cơ khí
Bộ môn Kỹ thuật Cơ khí
Chương 9. Phương pháp xử lý kết quả đo
DUNG SAI – KỸ THUẬT ĐO
1
ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM
VIỆN CƠ KHÍ
BỘ MÔN KỸ THUẬT CƠ KHÍ
Địa chỉ: Phòng 702, tầng 7th - nhà A6, 484 Lạch Tray – Ngô Quyền – Hải Phòng.
Điện thoại: (+84) 3 1382 9245, Fax: (+84) 3 1382 9245, E-mail: viencokhi@vimaru.edu.vn, Website: sme.vimaru.edu.vn

2. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
1. Kết quả đo, sai số đo
Đo lường là qúa trình thiết lập tỷ số 𝒒 =
𝑸
𝒖
giữa đại lượng cần đo Q với đơn vị đo u.
Đại lượng đo Q là thông số đặc trưng cho đại lượng vật lý cần đo. Ví dụ: đường kính, chiều dài, độ cứng, …
Đơn vị đo là giá trị đơn vị tiêu chuẩn về một đại lượng đo nào đó, được tiêu chuẩn hóa.
Tín hiệu đo: thông số mang đặc tính thông tin về các giá trị của đại lượng đo. Trong nhiều trường hợp, có thể
xem tín hiệu đo là đại lượng đo. Ví dụ: đo kích thước bằng pan me, thước cặp, …
Kết quả đo là giá trị (số, đường cong) quan sát được trên bộ phận hiển thị của thiết bị đo
 kết quả đo không phải là giá trị thực của đại lượng cần đo,
 kết quả đo chỉ là giá trị ước lượng (nhờ dụng cụ đo) của đại lượng cần đo,
 kết quả đo là giá trị gần với giá trị thực của đại lượng cần đo, ở 1 điều kiện nào đó.
 Sai số của phép đo (sai số đo) là giá trị s ai lệch giữa giá trị ước lượng và giá trị thực của đại lượng cần
đo dùng để đánh giá phép đo có đạt yêu cầu hay không (độ tin cậy của phép đo).
2

3. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
1. Kết quả đo, sai số đo
Sai số của phép đo (sai số đo) là giá trị sai lệch giữa giá trị ước lượng và giá trị thực của đại lượng cần
đo dùng để đánh giá phép đo có đạt yêu cầu hay không (độ tin cậy của phép đo).
Nguyên nhân gây ra sai số khi đo:
• Do sai số của máy móc và dụng cụ đo,
• Do trình độ tay nghề của người đo,
• Do các yếu tố khác như thời tiết thay đổi, mưa gió, nóng lạnh bất thường, …
Các loại sai số đo:
• Theo trị số: sai số tuyệt đối & sai số tương đối
• Theo quy luật hình thành: sai số ngẫu nhiên & sai số hệ thống.
3

4. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
1. Kết quả đo, sai số đo
Các loại sai số đo
• Theo trị số:
 Sai số tuyệt đối = hiệu giữa đại lượng đo Q và giá trị thực Qth: Δ𝑄 = 𝑄 − 𝑄𝑡ℎ
 Sai số tương đối = tỷ số của sai số tuyệt đối và giá trị thực: 𝛾 =
Δ𝑄
𝑄
∙ 100%
 Độ chính xác của phép đo: 𝜺 =
𝑸𝒕𝒉
𝚫𝑸
=
𝟏
𝜸
• Theo quy luật hình thành:
 Sai số hệ thống = thành phần sai số luôn không đổi hoặc thay đổi có quy luật khi đo nhiều lần một đại
lượng đo. Ví dụ: sai số của dụng cụ đo, của mặt hiển thị, …
 Sai số ngẫu nhiên = thành phần sai số thay đổi không tuân theo một quy luật nào cả  không thê xác
định được dấu và giá trị của sai số ngẫu nhiên.
 ΔQ = Sai số hệ thống + Sai số ngẫu nhiên.
4

5. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
1. Kết quả đo, sai số đo
Loại trừ sai số hệ thống:
• Chuẩn bị tốt trước khi đo: phân tích lý thuyết; kiểm tra dụng cụ đo trước khi sử dụng; chuẩn bị trước khi đo;
chỉnh "0" trước khi đo, ...
• Chọn phương pháp đo phù hợp: tiến hành nhiều phép đo bằng các phương pháp khác nhau; sử dụng phương
pháp thế, ...
• Xử lý kết quả đo: sử dụng cách bù sai số ngược dấu (cho một lượng hiệu chỉnh với dấu ngược lại); trường
hợp sai số hệ thống không đổi thì có thể loại được bằng cách đưa vào một lượng hiệu chỉnh hoặc một hệ số
hiệu chỉnh.
 Lựợng hiệu chỉnh = giá trị cùng loại với đại lượng đo được đưa thêm vào kết quả đo nhằm loại sai số
hệ thống.
 Hệ số hiệu chỉnh = số được nhân với kết qưả đo nhằm loại trừ sai số hệ thống.
Trong thực tế không thể loại trừ hoàn toàn sai số hệ thống. Việc giảm ảnh hưởng sai số hệ thống có thể thực
hiện bằng cách chuyển thành sai số ngẫu nhiên.
5

6. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
1. Kết quả đo, sai số đo
Loại trừ sai số ngẫu nhiên:
• Xác định qui luật thay đổi của sai số ngẫu nhiên nhờ sử dụng các phương pháp toán học thống kê và lý
thuyết xác suất.
• Chỉ rõ giới hạn thay đổi của sai số của kết quả đo = thực hiện phép đo nhiều lần  loại bỏ phép đo có kết
quả vượt quá giới hạn thay đổi.
• Cơ sở toán học: Giả thiết rằng sai số ngẫu nhiên của các phép đo các đại lượng vật lý tuân theo luật
phân bố chuẩn (luật phân bố Gauss)
 sai số ngẫu nhiên vượt quá một giá trị nào đó thì xác suất xuất hiện sẽ gần như bằng không;
 Đo n lần với các kết quả đo lần lượt là x1, x2, …, xn.
6

7. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
1. Kết quả đo, sai số đo
Các bước tính sai số ngẫu nhiên:
• Khoảng đo:
𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
• Tính ước lượng kì vọng toán học mX (giá trị trung bình đại số của n kết quả đo) của đại lượng đo:
𝑚𝑋 = 𝑋 =
𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛
𝑛
=
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖
𝑛
• Tính độ lệch (sai số dư) của kết quả mỗi lần đo so với giá trị trung bình:
𝛿𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑋 ≈ 𝑥𝑖 − 𝑄
(Chứng minh: 𝑥𝑖 = 𝑄 − 𝛿𝑖, ∑𝑥𝑖 = 𝑛 ∙ 𝑄 − ∑𝛿𝑖, 𝑋 =
∑𝑥𝑖
𝑛
= 𝑄 −
∑𝛿𝑖
𝑛
, lim
𝑛→∞
𝑋 = lim
𝑛→∞
𝑄 −
∑𝛿𝑖
𝑛
= 𝑄)
• Độ lệch chuẩn (đặc trưng cho mức độ phân tán của kích thước quanh giá trị trung bình và dùng để xác định độ đo
của độ phân tán):
𝜎 =
∑ 𝑥𝑖 − 𝑋 2
𝑛 − 1
7

8. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
1. Kết quả đo, sai số đo
Các bước tính sai số ngẫu nhiên:
• Độ lệch chuẩn (đặc trưng cho mức độ phân tán của kích thước
quanh giá trị trung bình và dùng để xác định độ đo của độ phân
tán):
𝜎 =
∑ 𝑥𝑖 − 𝑋 2
𝑛 − 1
• Khoảng đo:
𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛
Từ n, 𝑋 và 𝜎 xây dựng được quy luật phân bố sai số đo  Hàm mật
độ xác suất
𝑦 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
𝑥−𝑋 2
2𝜎2
8
σ
𝑋 2σ
ymax
y
𝑦 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
𝑥−𝑋 2
2𝜎2
Điểm uốn
Điểm uốn

9. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
1. Kết quả đo, sai số đo
Các bước tính sai số ngẫu nhiên:
Từ 𝑋 và 𝜎 xây dựng được quy luật phân bố sai số đo (đường 1)  Hàm mật
độ xác suất
𝑦 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
𝑥−𝑋 2
2𝜎2
Tính chất của Hàm mật độ y
• Đạt cực trị tại 𝑥 = 𝑋: 𝑦𝑚𝑎𝑥 =
1
𝜎 2𝜋 𝑥=𝑋
• Đạt điểm uốn tại  = 
• Khi  tăng, y sẽ thấp và rộng ra; Khi  giảm, y sẽ cao và hẹp lại.
• Các kết quả đo chủ yếu tập trung trong vùng  = : 68,28%.
• Các kết quả đo, về cơ bản, tập trung trong khoảng  = 3  Vùng 6
• Tổng diện tích bên dưới hàm y và trục hoành: SΣ = 1.
9
99,994%
99,73%
95,44%
68,26%
σ
𝑋 σ 2σ 3σ 4σ
-σ
-2σ
-3σ
-4σ
σ1
𝑋 σ2
y1max
y
y2max

10. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
1. Kết quả đo, sai số đo
Các bước tính sai số ngẫu nhiên:
Quá trình khảo sát kết quả đo là ước lượng điểm bao gồm xác định 𝑋, σ,
n  khoảng xuất hiện giá trị thực.
Khi số lần đo 𝑛 → ∞, kết quả đo x tuân theo quy luật phân bố chuẩn với
khoảng đáng tin cậy được định nghĩa bởi: Δx = k.σx
Với k là hệ số phụ thuộc độ tin cậy P (xác suất tin cậy)
Thực tế thì n thường 2 ≤ 𝑛 ≤ 20, do đó x không tuân theo quy luật phân
bố Student trong đó Δ𝑥 = ℎ𝑠𝑡 − 𝜎𝑥. Khi đó kết quả đo được tính: 𝑥 =
𝑋 ± Δ𝑥
10
99,994%
99,73%
95,44%
68,26%
σ
𝑋 σ 2σ 3σ 4σ
-σ
-2σ
-3σ
-4σ
σ1
𝑋 σ2
y1max
y
y2max

11. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
2. Sai số thô và chỉ tiêu loại sai số thô
Sai số thô
Sai số thô là loại sai số mà giá trị lớn hơn hẳn các giá trị thông thường và nằm ngoài quy luật xuất hiện của sai
số đo.
Nguyên nhân gây ra Sai số thô
Do đọc nhầm, ghi nhầm, do các yếu tố ngoại cảnh xuất hiện trong điều kiện đo như: kẹp cơ cấu, điện áp tăng
giảm đột ngột, ...
Tác hại của Sai số thô
Sai số thô ảnh hưởng rất lớn đến độ chính xác của kết quả đo  cần phải loại bỏ  Chỉ tiêu 3σ
11

12. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
2. Sai số thô và chỉ tiêu loại sai số thô
Loại bỏ Sai số thô  Chỉ tiêu 3σ (Khi số lần đo lớn: 𝑛 > 30)
Trong loạt số liệu đo x1, x2, ..., xk, ..., xn, gọi xk là số liệu nghi ngờ, với sai lệch giới hạn cho trước ε = 3σ, xác
xuất làm sai lệch 𝛿𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑋 > 𝜀 là: 𝑃( 𝑥𝑘 − 𝑋 > 3𝜎) = 0,27% là không đáng kể  xk không nằm trong
quy luật phân bố của sai số. Như vậy, các giá trị xk có 𝛿𝑘 > 𝜀 = 3𝜎 đều bị loại khỏi bảng số liệu với độ tin
cậy là 99,73 %.
Trình tự kiểm tra:
• Tạm thời loại xk ra khỏi bảng số liệu, tính 𝑋 và σ với n – 1 số liệu còn lại
𝑋 =
∑𝑖=1
𝑛−1
𝑥𝑖
𝑛−1
, 𝜎𝑥 =
∑𝑖=1
𝑛−1
𝑥𝑖−𝑋 2
𝑛−2
• Tính các sai lệch:  = 3 và 𝛿𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑋.
• So sánh 𝛿𝑘 với : Nếu 𝛿𝑘 >  thì 𝛿𝑘 là sai số thô  loại bỏ; Nếu 𝛿𝑘 <  thì 𝛿𝑘 là sai số thông thường, xk
không mang sai số thô và phải đưa lại vào tập số liệu để tính lại 𝑋 và σ với tập n số liệu.
12

13. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
2. Sai số thô và chỉ tiêu loại sai số thô
Loại bỏ Sai số thô  Chỉ tiêu Romanopxki (Khi số lần đo nhỏ: 𝑛 ≤ 30)
Khi số lần đo nhỏ (𝑛 ≤ 30), tham số độ phân tán thực nghiệm không đủ độ chính xác để có thể đại diện cho
độ phân tán chung  Hàm mật độ Studient f = S(t,k) - Hàm mật độ mô tả phân bố của biến ngẫu nhiên có
dung lượng nhỏ.
Trình tự kiểm tra:
• Tạm thời loại sai số nghi ngờ xk ra khỏi bảng số liệu, tính 𝑋 và σ với n – 1 số liệu còn lại
𝑋 =
∑𝑖=1
𝑛−1
𝑥𝑖
𝑛−1
, 𝜎𝑥 =
∑𝑖=1
𝑛−1
𝑥𝑖−𝑋 2
𝑛−2
• Tính sai lệch 𝛿𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑋.
• Tính các tham số:
𝜎Δ𝑥 =
𝑛−1
𝑛
∙ 𝜎; 𝑡 =
𝛿𝑘
𝜎Δ𝑥
=
𝑥𝑘−𝑋
𝜎Δ𝑥
13

14. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
2. Sai số thô và chỉ tiêu loại sai số thô
Loại bỏ Sai số thô  Chỉ tiêu Romanopxki (Khi số lần đo nhỏ: 𝑛 ≤ 30)
Khi số lần đo nhỏ (𝑛 ≤ 30), tham số độ phân tán thực nghiệm không đủ độ chính xác để có thể đại diện cho độ phân
tán chung  Hàm mật độ Studient f = S(t,k) - Hàm mật độ mô tả phân bố của biến ngẫu nhiên có dung lượng nhỏ.
Hàm mật độ Studient: 𝑓 = 𝑆 𝑡, 𝑘
• Các tham số:
 𝑡 =
𝛿𝑘
𝜎Δ𝑥
=
𝑥𝑘−𝑋
𝜎Δ𝑥
, 𝑋 =
∑𝑖=1
𝑛−1
𝑥𝑖
𝑛−1
, 𝜎Δ𝑥 =
𝑛−1
𝑛
∙ 𝜎𝑥, 𝜎𝑥 =
∑𝑖=1
𝑛−1
𝑥𝑖−𝑋 2
𝑛−2
 𝑘 = 𝑛 − 1
• Xác xuất loại bỏ cho trước β:
𝛽 = 𝑃 𝑥𝑘 − 𝑋 ≥ 𝜀𝛽 = 1 − 2 0
𝑡𝛽
𝑆(𝑡, 𝑘)𝑑𝑡; với 𝑡𝛽 =
𝜀𝛽
𝜎Δ𝑥
; 𝑡𝛽
′
=
𝜀𝛽
𝜎𝑥
= 𝑡𝛽 ∙
𝑛+1
𝑛
→ 𝜀𝛽 = 𝑡𝛽 ∙ 𝜎Δ𝑥 = 𝑡𝛽
′
∙ 𝜎𝑥.
Các hệ số 𝑡𝛽 và 𝑡𝛽
′
tra từ bảng phân phối Student.
 Có thể xác định được phạm vi ±𝜀𝛽 để 𝛿𝑘 là sai số thô ứng với 𝑛 ≤ 30 lần đo và xác xuất loại bỏ cho trước β.
14

15. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
4. Độ chính xác và độ tin cậy của phép đo
Độ chính xác
Gọi  là sai số đo  [-,+] là vùng phân tán kích thước hay khoảng tin cậy   là bán kính tin cậy.
Đại lượng đo 𝑄 = 𝑥 ± 𝜀, x là giá trị thực của Q.
Độ tin cậy của kết quả đo:
𝛼 = 𝑃 𝑥 − 𝜀 ≤ 𝑄 ≤ 𝑥 + 𝜀 = 𝑃 −𝜀 ≤ 𝛿 ≤ +𝜀 =
−𝜀
+𝜀
𝜑(𝛿)𝑑𝛿
Khi n lớn  x tuân theo quy luật phân bố chuẩn:
𝛼 = 2 0
𝑧
𝜑(𝑧)𝑑𝑧 = 2Φ(𝑧), 𝑧 =
𝜀
𝜎
Φ(𝑧) – giá trị của tích phân Laplace
Với  = 3: α = 99,73%  bán kính 3, vùng 6  𝑄 = 𝑥 ± 3𝜎.
15

16. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
4. Độ chính xác và độ tin cậy của phép đo
Độ chính xác
Gọi  là sai số đo  [-,+] là vùng phân tán kích thước hay khoảng tin cậy   là bán kính tin cậy.
Đại lượng đo 𝑄 = 𝑥 ± 𝜀, x là giá trị thực của Q.
Độ tin cậy của kết quả đo:
𝛼 = 𝑃 𝑥 − 𝜀 ≤ 𝑄 ≤ 𝑥 + 𝜀 = 𝑃 −𝜀 ≤ 𝛿 ≤ +𝜀 =
−𝜀
+𝜀
𝜑(𝛿)𝑑𝛿
Khi n nhỏ  x tuân theo quy luật phân bố Student:
𝑡 =
𝑋−𝑄
𝜎𝑋
; 𝑡𝛼 =
𝜀
𝜎𝑋
; 𝛼 = 𝑃 −
𝜀
𝜎𝑋
≤
𝑋−𝑄
𝜎𝑋
+
𝜀
𝜎𝑋
≤ = 2 0
𝑡𝛼
𝑆(𝑡, 𝑘)𝑑𝑡 = 2𝜙(𝑡); 𝑘 = 𝑛 − 1
Φ(𝑧) – giá trị của tích phân Student.
16

17. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
4. Độ chính xác và độ tin cậy của phép đo
Độ chính xác
Gọi  là sai số đo  [-,+] là vùng phân tán kích thước hay khoảng tin cậy   là bán kính tin cậy.
Đại lượng đo 𝑄 = 𝑥 ± 𝜀, x là giá trị thực của Q.
Độ tin cậy của kết quả đo:
𝛼 = 𝑃 𝑥 − 𝜀 ≤ 𝑄 ≤ 𝑥 + 𝜀 = 𝑃 −𝜀 ≤ 𝛿 ≤ +𝜀 =
−𝜀
+𝜀
𝜑(𝛿)𝑑𝛿
Khi x tuân theo quy luật phân bố Maxwell:
R- thông số đo; 𝜑(𝑅) là hàm phân bố Maxwell; 𝑡 = 𝑅/𝜎 là tham số phân bố:
Khoảng tin cậy: [0, +𝜀],
Độ tin cậy: 𝛼 = 0
𝜀
𝜑 𝑅 𝑑𝑅 = 0
𝑡
𝜑 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑡),
F(t) là giá trị tích phân Maxwell.
17

18. Chương 9:
Xử lý kết quả đo
4. Xử lý kết quả đo gián tiếp
Loại bỏ Sai số thô  Chỉ tiêu 3σ
Trong loạt số liệu đo x1, x2, ..., xk, ..., xn, gọi xk là số liệu nghi ngờ, với sai lệch giới hạn cho trước ε = 3σ, xác
xuất làm sai lệch 𝛿𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑋 > 𝜀 là: 𝑃( 𝑥𝑘 − 𝑋 > 3𝜎) = 0,27% là không đáng kể  xk không nằm trong
quy luật phân bố của sai số. Như vậy, các giá trị xk có 𝛿𝑘 > 𝜀 = 3𝜎 đều bị loại khỏi bảng số liệu với độ tin
cậy là 99,73 %.
Trình tự kiểm tra:
• Tạm thời loại xk ra khỏi bảng số liệu, tính 𝑋 và σ với số liệu còn lại
𝑋 =
∑𝑖=1
𝑛−1
𝑥𝑖
𝑛−1
, 𝜎𝑥 =
∑𝑖=1
𝑛−1
𝑥𝑖−𝑋 2
𝑛−2
• Tính  = 3 và 𝛿𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑋.
• So sánh 𝛿𝑘 với : Nếu 𝛿𝑘 >  thì 𝛿𝑘 là sai số thô  loại bỏ; Nếu 𝛿𝑘 <  thì 𝛿𝑘 là sai số thông thường, xk
không mang sai số thô và phải đưa lại vào tập số liệu để tính lại 𝑋 và σ với tập n số liệu.
18