GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο

MATH & ART IN ATHENS
1
Ο ά α ασίας
αθ ές : αθ ές :
α ο ά ος ιώ ος ο ά σ α ί α
αύ ο Χ ήσ ος σα ο ού ο α ία
ό ας Α έ ς Α ασ ασίο α ία
ίο Χ σά θ α ο ώ ο ασι ι ή
Οι ο ό ο ασί ς Π ή α βά α
αββί ς Α ι έας
ια ο ή ά α
ασ ο ιά ς ή ς
ίο ή ς
Χιώ ο α ώ
Α ο σ ί ς Α έ α ος
Πα α ί ς ού ιος
ί σας Α ο σ ί ος
Χ ισ οφο ί ς ά α ος
Α ο σ ί ς ι φό ος
Οι ο ό ο Πά ος

3
Π ί ς άσ ς Math & Αrt in Athens…
Ας φα ασ ού ία ο ά α αθ ώ αι αθ ώ α ισ έ ο αι ο σ ία ς ό ς
ο ς, α ά αι ή ια, σί ς , ία. α σ ιά ο οσο ή ο ς σ
ο έ ι ς ο ού, ο ί α α, ο σαϊ ού αι ια οσ ι ώ σ οι ί .
α α α ού ις α οσ ώσ ις σ ο ή ιο αι σ ο αό, α βι ό α αθύ αι
α σ έ ια ι ι ά . α α α ο ί ο αι ια ο ό ο ο ο οίο
α α ύσσο αι - σ ά ο αι α ό ο α ι έ αι ο α ι έ ο α α ιάφο α
ο ίβα, α σ ή α α, οι ιφά ι ς αι α σ ά.
Έ σι … ι ώ ας ι ασί ς θα φθάσο α :
• α α ω ί ο αθ α ι ά α ι ί α,
• ι ού ις ι ιό ές ο ς,
• α α ού ο ό ο ο ο οίο σ ο α θό ιάσ οι αθ α ι οί
ασ ο ήθ α α α ι ί α α ά,
• α α α ά ο α ά βοήθ ια ο α ά ο ο ισ ι ού,
• σ ά ο αι σ ο ό α σ ο ίσο α σ άσ α ά ο ς,
• α ο σιά ο α α ο έσ α ά ς έ ας ο ς σ ο ς σ αθ ές ο ς.
άσ ις ό ς α ές ο οα αφέ θ α οι αθ ές αθαί ο α ά αι
α α ύσσο ια σ ι ά ιο ή ο ί αι ήσι ς σ ο αθ ή – φοι ή ο ο
αιώ α.
ο project α ο ί ία ια ή ασ ό σ ς αθ ι ής οι ό ας σ ή
ο ισ ό ο α α ό ο ι ού. α ο σίασ α ο σ ά ί αι σ ία
α φό α ύ ο «google map», σ ο οία θα α ο σιά ο αι α ο σ ία αι α
α ι ο ή α α ς ό ς ας έ α ιαφο ι ό ό ο α α ι ύο ας α « έ α»
αθ α ι ά σ α ά.

5
Ας ι ήσο έ α α ά ι α …
ο οθ σία : φισιά, θέσ « οχο ό ος»
ια β ύσ ο σ έ αι ασ έ ,
ά σ σ σύ ο αι ά έ ο ο ς
θ ούς ό . Οι ό οι ο ασ ο ήθ α
α ί ς, ί αι ά οιοι α οί ο α
graffiti β βή σα σ έ ια αι ά α α. Α
α α ήσο ιο οσ ι ά, θα
ια ισ ώσο σ ο ά έ ος ς ία
α ο ο θία α ό σ ό ο ς α ο ι ίς
σ α ισ ούς. ο ά α ο
α α α βά αι ί αι έ α α ό α ιο
σ θισ έ α ο ίβα ο ά ο σ α
ισσό α ο ασι ά ια οσ ι ά
σ οι ία. Ποια α ύ οσο οιά ι σ ο
σ έ ιο α ό;
σ ο ία
ισ ό ασ σ Α ά ια , ό ο ια ί αι ο ά ος
α ούσιος αθ α ι ός Α ι ή ς .Χ- .Χ . ί αι
έ ας α ό ο ς ο φαίο ς ισ ή ο ς σ ασι ή α αιό α.
οσ άθ ιά ο α ύσ ι έ α α ό α ία ίφ α ά α
οβ ή α α ς α αιό ας, α ό ς ι ο ό σ ς ο οιασ ή ο
ίας, α α ά ία ί α ύ , σ ί α.
ί α ο Α χι ή ί αι σ ι ο ι ής α ύ ο οία έ ι ς
α α ισ ι ό ό ι α όσ ασ α ύ ύο ια ο ι ώ ι ί
α α έ ι σ αθ ή. Ο ο ά αι αι ί έ ι α.

6
α σ ία ς α ύ ς α ά ο αι α ό έ α σ ίο, ο
ι ί αι σ αθ ή α ύ α ά σ ια θ ία ο οία
ισ έφ αι σ αθ ή ια ή α ύ α.
Ο αθ α ι ός ύ ος, σ ο ι ές σ α έ ς, ο ί ι
α ύ α ή ί αι: p      ό ο α αι β ί αι
α α ι οί α ιθ οί. Α α ή σ ο α ισ έφ ι σ ί α,
ώ ο β αθο ί ι α όσ ασ α ύ ύο ια ο ι ώ
ι ί .
ο applet https://www.geogebra.org/m/jPnGppdJ
φό ος ο φα ί αι σ β ύσ ο ί α έ ι α ασ ασθ ί βάσ ία σ ί α,
ο οία αφού ισ αφ ί α ά ο
, σ α ί ι ο ά α ο ια οσ ι ού
σ οι ίο . σ έ ια, α αφέ ο ο ά α α ή ιά αι α ισ ά, θα έ ο
ο α ο έ σ α ς φό ο ο ού. ι ή ο ά α α ασ ά αι
ισ οφή α ά ο
αι αφο ά ίας α ι ής α ασ ής ο οία α ο σιά ι
α α ό φ σ ία, φό ος ί αι ία ασι ή ί σ ύ ο 1-2.
ο poster
ωφό ος
φό ο ο ο ά ο ία σ ή
α άσ ασ σ ώ
α θ ώ ο ς αι ώα, ο
σι ο οιήθ ια αθα ά
ια οσ ι ούς σ ο ούς σ α
ασι ά ό ια ς α αιό ας.
άθ έ οιο σ έ ιο
α α α βά αι α ά ό ο
α ο ι ό α ά ή ος ιας
σ ούς αι ά ι ς ά ι
ί ας. Οι ια οσ ι ές α ές
ί ς φα ί ο αι αι σ
α αία ι ή α ι ο ι ή
αι ι ή οι ο αφί ς αι
α ία ιάφο α σ έ ια ό ς
αιά ο ς, ύ α α, α θέ ια
. . .

7
ο project GGG 2017
ί ασ ία ο ά α αθ ώ αι αθ ώ α ό α αι ή ια ού α, έ α ι ι ι ό
σ ο ίο σ Αθή α, ο ιο ά ι φέ ος α ό ια ι ο ίας ο .
Ο σ ό ος ο ι ή α ος ο θα σας α ο σιάσο ί αι ο ής.
α ί ο ς αθ ές ας ισ φθή α ο σ ία ς ό ς ας.
ι έ α :
• ο ο σ ίο α ι ώ ό ο ασ ο θή α έ α ο Escher ,
• ο Α χαιο ο ι ό ο σ ίο Αθ ώ ό ο ασ ο θή α φό ο ς,
• ο ο σ ίο σ α ι ής έχ ς ια α ασ ο θού ο ι ά
ισ α ι ή έ .
ι ώσα οσο ή ας σ θέ α α, ο ώ α ιά α ο σιά ο
ι ό ή α β ι ό ιαφέ ο .
ι ή σ ο project σ έ ο αθ ές αι αθή ι ς α ό ιαφο ι ές ά ις, ι έ α
α ασ ο θού έ α ο ο α α ισ ι ό ώ ισ ά ο ς ί αι σ ία.
Έ σι σ α ίσ α έσσ ις ο ά ς αθ ώ ο ασ ο ήθ α :
• σ ί ς ώ ς – ωφό ο ς
• α οσ ώσ ις α ο ι ά ο ύ ω α
• ις χ ι ές α όσ ωσ ς έσα α ό ο έ ο ο Escher
• α ω ι ά σ ά .
θο ο ο ία ο α ο ο θού ί αι :
ι έ ο έ α έ ο έ ς, α α α ύ ο « α ί αι ο ύβι» α έ α
αθ α ι ά αι ά οσ αθού α ο α α α ά ο βοήθ ια ο GeoGebra.
ο σ α ι ό ο σ ι έ ο ο ισ ι ό ί αι ό ι ο ά α ο θα ο ισθ ί ς βάσ
ο έ ο έ ς, έ ι α α ασ ασ ί α α α ύ ο ας ις α ά ς ι ές ή
α β ι ές – α α ι ές θό ο ς ο θα σι ο οι θού .
ο σύ ο ο έ α ο σιά αι σ έ α GeoGebra Book ο ί ο Math Art in
Athens ο θα ο α α ήσ σ ι ύθ σ :
https://www.geogebra.org/book/title/id/NvUk8RTC

8
Πα ο σίασ έ ω – φα ο ώ …
Α. Ο ά α ωφό ω – ά ’ ασίο
ο ω ά ω σ α ί α, σα ο ού ο α ία, Α ασ ασίο α ία, α ο ώ ο
ασι ι ή, Π ή α βά α, αββί ς Αχι έας.
Ό ς θα φα ί αι α ό ις φα ο ές, ώ οσέ ισ ο έ ο έ ς ί αι
σ ο ό α α α α ύ ο αθα ά ι ή ο ή ο . ά α ασ ή ς
ο ά ας σ α ί, ό ό σ ί αι ά σ α ο ή ο
GeoGebra ια α α α α ή ο .
ια ι ασία α ή α α οήσα έ οι ς ό ς σ οφή, αφο ά, α ο ισ ό,
ο οιοθ σία α ά αι α ο ο θία, α ά ο αι ίσ σ θ ίας ή ύ ο .
1 φα ο ή
σ ιά ο οσο ή ας σ ο αι ό ς ι ύ βιας ύθο ο. 777 ο β ίσ αι
σ ο Α αιο ο ι ό ο σ ίο Αθ ώ . ο ο ίβο ίσσ αι α σ ή ι ή
σ έ ια.
ια α β ού ο ά α ο ια οσ ι ού σ οι ίο , σι ο οιού α ι ά
α ία ο ο ισ ι ού. ά ιο ού φα ο ή ο α α ύσσ ι ο ο ίβο ς
φό ο α ά αι ς α όσ σ ήσ α ο ο θιώ .

9
2 φα ο ή
α ό ασ ά σ ο α φο έα ο ω άφο ο ι ύ ο . Π ό ι αι ια ο ιο
σ α ι ό α ίο ς ι ής ο ής αι έ α α ό α ιο φ ισ έ α έ α ς α αίας
ι ής έ ς. έθ ο σ ις α αιο ο ι ές α ασ αφές σ ο ί ο ο
α ι ού. ο α ίο ί αι ο ο ή ο ια οσ έ ο α ά ς α ά ς
ο ι ό ι ς φό ο ς ι ού ια όσ ο αιά ο ς αι ό βο ς.
Α α ύ α ο ς ύο αιά ο ς ο φα ί ο αι σ ο αι ό ο α φο έα ς φό ο
ύ ο - . Α ι ά ο ς σ ιάσα σ α ισ έ ο α ί αι ά, α ιο οιώ ας ις
α ό ς ο ο ισ ι ού, ιο ήσα φα ο ή.
3 φα ο ή
ο ύο ά σ ο σ θαίο α ό ο Ασ ι ίο ς ι αύ ο . Ή α ώ ος ια
ίασ α θ ώ α ό ιάφο ς ασθέ ι ς. έ ασή ο ή α ο ύ ά αι ιέθ
ώ ς, ασ ή ιο, σ ά ιο αι ο ίφ ο ια α ο σ ι ή ο έα ο.
ο ύ ο ώ ο ή αι ο αός ο Ασ ιού, ι ού θ ού. Πίσ α ιβώς
α ό ο αό β ίσ αι ό ος, ο άβα ο, ο οί ος ι έ αι αοί αφι έ οι σ
Ά αι ο Α ό α.
ο σ θαίο α α ύσσ αι έ ας σύ θ ος αία ος σ ο ο οίο α άσσο αι ά α
αι α οί σ α οί.

10
4 φα ο ή
Ασ ο θή α έ α ο ύ σ θισ έ ο ια οσ ι ό σ οι ίο ο ά ι σ ήθος
φό . Π ό ι αι ια ία ού α ιώ σ οι ιώ , ιά σα σ α ο οία ά ο
ύ οι. ι ή α ασ ή αι ύ σ ο ια ύσ α ος αφο άς α ο σιά ο
ι ιαί ς σ ο ί ς. ι ή θέ α α α ο σιάσο ι ία ο σ ίο ,
α ι ίσα σ ο ί ς αι σ ιο ία α ά α ο ο θιώ σ αθα ά
ο α α ι ό ί ο ο ώ ο GeoGebra.
. Ο ά α α οσ ώσ ω – ά ’ ίο
ί σας Α ο σ ί ος, ισ οφο ί ς ά α ος, Α ο σ ί ς ι φό ος
Παί ο ας αφο ή α ό ύο ασι ές ι ές ασ ήσ ις α ό ύ ς ’ ίο
α ο ι ύο :
1ο
όβ α : οια α ο ι ά ο ύ α ο ού α σι ο οιήσο ια α όσ σ
2ο
όβ α : οιοι ί αι οι α οί σ ασ οί α ο ι ώ ο ώ ο ο ού α
σι ο οι θού ια ά ο ι έ ο .
α α α α ή ό α ώ ι ώσ βοήθ ια ο ο GeoGebra βο θά
σ α α ό σ οιώ : αφο ά α ά ιά σ α – α ο ο θία – α ά ος.
Έ α ά ο σ ίο σ ο ο οίο ο ό α α βοήθ σ , ί αι α ό ι ι ώσ
ά ς ι έ ο ια ις ι ώσ ις , , , , , , , , , , , , , , , αι
, , σ ασ ώ α ο ι ώ ο ώ έσα α ό ία ια ι ασία ο
ι ά βα α σ ά ια ς ια ύ σ ς ς ι ασίας, ς α ασ ής ς α ά ς
φα ο ής αι έ ος ς α ο ο ής ή α ό ι ς ς ι ασίας.
ιο ήσα ο ές φα ο ές. ώ θα α ο σιάσο ις ιο α α ισ ι ές :

11
1 φα ο ή
ια α α οσ ώσο ο ί ο σι ο οιώ ας ο ί ιο α ο ι ό ο ύ ο, έ ι
α σι ο οιήσο ά α , ή ά α, ή ί α.
ο ια ί σ βαί ι α ό, ί αι α ό έ α σ ασ ό ίας αι σ οι ιώ ο ς
θ ίας α ιθ ώ .
Π ς α ο σιά αι ία έ οια ά ;
2 φα ο ή
ι ά ά ο α ού ύ ας α οσ ώσ ις α ο ι ά ο ύ α, α ό α αι ί
ο α ίς ο ι έ ι …

12
3 φα ο ή
ασι ή α όσ σ ύ ο -4-3-4)
4 – 5 φα ο ή
Π α όσ σ ύ ο , , , , ύο ι ώσ ις

13
6 – 7 φα ο ή
Οι ι ώσ ις -4-3-3 ….
… αι -4-4- ις ι ού !
8 φα ο ή
ύσ , , ο ό α
σι ο οι θ ί ς ο ά α
ια α όσ σ , α αι ί α
α βά ο αι έ α
α ό α α ί ιο σ ή α ος
ά ο , ό ι ό ς α ο ι ό,
ια ή ά ο
ι έ ο .

14
. Ο ά α Escher – ά Α’ ίο
ια ο ή ά α, ασ ο ιά ς ή ς, ω ίο ή ς, ιώ ο α ώ
Α ο σ ί ς Α έ α ος, Πα α ί ς ού ιος
Ασ ο θή α ο ιο αισθ ι ά α αι ι ό ο ά ι ο project
ο ό ς έ ι βαθύ α ς αθ α ι ές ο άσ ις. Α αι ί έ α
σ βιβ ιο αφία α ά αι α ά φα ο ώ βο θά σ
α α ό σ ι ώ οιώ ό ς ί σ ιώ , α ο ο θία.
Ο Escher ί αι έ ας αθ α ι ός α ι έ ς ια ί σ α έ α ο
σ ώς « αί ι» α οσ ώσ ις – σ ί ς α ο σιά ο ας ο
α ίθα ο, α ύ α ο ς φ σιο ο ι ό αι α α ο οιήσι ο.
1 φα ο ή
α ό α ο α έ ι ο GeoGebra α ι ο ήσ ι ά οιος ία φ ο αφία σ ο
φύ ο ασίας, βο θά σ σ ίασ ο α ι ι έ ο . ά ι έ ο αι οι α ά ς
α ο ο θί ς ια ά ο ι έ ο ύο ιαφο ι ού ώ α ος έ ο α .

15
2 φα ο ή
ο έ ο α ό ο α ι έ ς α ο α ύ ι ο ό ο α ασ ής
ο . ο ά ιά έ ος ά ι ο ά α – ά ι ο
α ο ί βάσ ο έ ο . Ας ο α α ήσο …
ά ο έσσ α σ ία α ο οία ί αι ο φές α ώ ο .
Ο Escher ώ ι ό ι ία ή ς α όσ σ ο ί α ί ι
ήσ α ο ι ώ ι ώ – α ώ αι ά .
Έ σι αφ ία έ α ά ω ο σχ ιά ι έ α σχή α ο
ά ς φο ές ί αι σω ι ό ο α ώ ο αι ά ς
ω ι ό. ο σ α ι ό ό ως ί αι ό ι ο βα ό ο
σχή α ος ο ο ύ ι, ί αι ί ιο α ό ο
α ώ ο !
Α ού ιο οσ ι ά ο έ ο …
α ο έσο α α α ήσο ό ι βασι ή ο ά α –
ά ι ο ί α σ α ισ ί α ό ις α ές, οι ο οί ς, α
ισ αφού α ά ο
– 180ο
– 90ο
ύ α ό ις ις
ο φές ο α ώ ο , ιο ού ο ί α α ο α ιού.
Α θέ ο α σ ιάσο βοήθ ια ο GeoGebra ο
έ ο, σ α ί ο έ α ο ύ ο ο ο σιασ ι ά α ι ο ί ι
ο σ α ι ό ο ά ι. Α ό θα ί αι αι ο ά α
βοήθ ια ς ο οίας θα σ ιάσο ο έ ο.

16
ο σ ή α α ό ο ισ έφο α ά ο
– 180ο
– 270ο
ύ α ό
ο φή ο α ώ ο ώσ α σ α ισ ού έσσ α
α ο οιό α ά ια . ι έ ο ώ α α α ίσ οι α α ά ο
ά ο σ ο έ ο. ο σ α ι ό ί αι α α ι φθού ο φή
ύ α ό ο οία οι ις ο ές α ιώ ισ έφο αι.
ο φή α ή ί αι ο έ ο σ οφώ ο ι ά
ιο ού ο σύ ο ο ς ι ό ας ο β έ ο ί α.
ο αθο ισ ι ό βή α ί αι α α α άβο α ια ύσ α α ς ος
α ο οία αφο ά σσά α ιώ ο ού α
« ίσο » ο α βά ας.
3 φα ο ή
ο έ ο α ό ο Escher α ασ ά ι ύο
ο ι ές α ές σ ύο ι ο ι ές ές
ός α ώ ο αι ις αφέ ι α ά α
ια ύσ α α- ές ο α ώ ο . ό
σύ θ σ σ α ί ι έ α Πή ασο. ά ο
ι έ ο ί αι ύο ύ ο ς α ό ,
α ισ έ ο ς ιαφο ι ό ώ α.
ις α ά ς ο ές – α ο ο θί ς α ό
ίσ ς α ο θώ ο α α οσ ώσο
ή ς ο φύ ο ασίας ας.
4 φα ο ή
Π ό ι αι ά ι ια
α όσ σ βασι ό
σ ή α ά ο αι
αφο ά . ο θ α α ι ό
σ φα ο ή ί αι
ί σ ο ί ι
ύ σ ο α ώ
α α ό έ .

17
5 φα ο ή
Π ό ι αι ια α ι ι ή σ ία ο φή ιο ο ιφά ας! Α ιο οιώ ας ις
α ό ς ο ο ισ ι ού, αφ ι ά « ιο ί ι» … Α α έ βο ο « ο ί ι» σ ο
βασι ό αύ ο ώ α, α ι ό σ ή α, ό ό α ασ ή ι ο ί ς
α ι οσ ό ιο. Οι ό οι ς α α ές σ ο βασι ό σ ή α φα ί ο αι αι σ ο ς ώ ο ς …
6 φα ο ή
άφο σ ύ ο έ α ισό ο ί ο. α ασ ά ο ία ο ι ή α ή
α ό ο φή Α ο ι ώ ο ς ο έ ο βά ο ς ο . α ά ς σ οφές αι
σ ί ς σ α ί ο έ α βασι ό σ ή α . ο σ ή α α ό ο α α α ά ο σ ο ό
ή ά ο ι έ ο .
ο ό α α ας ί ι ία α ό α ο ο Escher ί , ί σ !
ι έ ο ας α ι ί αι ία ο φή ο α ι ού ισό ο ι ώ ο σ ο
ι α έ ο ύ ο ο ό α ο σιά αι ία σ ι ά α ίθα σ ασ ώ
α οσ ώσ . Έ οι, ι ά ο ό ι α ή α ασ ή ο ί α σι ο οι θ ί ια
α ασ ή α οσ ώσ ο οσο οιά ο α ά α αβο ά .

18
7 φα ο ή
φα ο ή ιο ι ά ας α ο α ύ ι α ό α ο ι ό α αι α ο σιά ι ς έ α
ο οιο ή ο ά ο ό ή ό, α ο ι ό ή α α ό ισ ο – α ιαφο ού –
ο ί α σι ο οι θ ί ια ή ι ά ο ι έ ο .
. Ο ά α α ω ι ώ σ ώ - ά
ασία ο αθ ή Πά ο Οι ο ό ο
ο ο αιώ α .Χ. ο φι όσοφος Π ά ό ι ία αι ο ό ο
ια ο ή ο θ ία ια ο σία ο ύ α ος.
Χ σι ο οί σ ία αθ α ι ή ιο ία, ο οία σή α
φέ ι ο ό ο ά ο . α Π α ι ά ά.
ι ί αι ό ς α α ι ά σ ά αι ια ί ασ ο θή α α ά σ
σ ι έ ασία;
α α ι ά σ ά ί αι α ό α α ο ι ά, ά ο ύ α ο
α ασ ά ο αι αι ί αι α ής :
1. ά ο
2. ύβος
3. Ο ά ο
4. ά ο
5. ι οσά ο
α α ι ά σ ά ί αι σ ο ώ ο ό ι α α ο ι ά ο ύ α σ ο
ί ο. ί αι σ ία σ ις ις ιασ άσ ις!

19
ο ιαφέ ο ό ς β ίσ αι σ α ασ ή ο ς.
Α ό ο ς ο ούς ό ο ς α ασ ής ίς σι ο οιήσα ια σ α ι ή έθο ο.
α ή ο οια ή ο ο φή, ο α ι ού σ ού, ο ί α ο ισ ί βοήθ ια
ια ύσ α ος θέσ ς ο ο οίο ο ί αι ς α ι ός σ ασ ός ιώ ο α ιαί
άθ ια σ ά ο ισ ιάσ α ο ώ ο .
α ό οι ις α ό ς ο GeoGebra, σ ιάσα άθ α ι ό σ ό
σι ο οιώ ας ό ο ία ια ύσ α α θέσ ς.
φα ο ή α ασ άσα α έ Π α ι ά σ ά ο έ α α ά α α ό ο
ά ο, α ά αι α ό α αφής ο ός έσα σ ο ά ο.

20
Π οο ι ή ο ό ο χ ι ή α ος
ιάσα ία φα ο ή
ύ ο google map σ
ο οία α ο σιά ο ις
ο οθ σί ς θ ά
ο ασ ή α .
Έ σι θα φα ί αι ο έ ο,
ο αθ α ι ό όβαθ ο
ς α ά σής ας,
α α α α ή– φα ο ή,
α ό οια έ α – θέ α α
α ά αι ισ ο ι ά σ οι ία ια ο έ ο αι ο α ι έ . Ο σ ό ος ί αι φα ο ή α
ί αι α οι ή σ ο οι ό ώσ α ο ισ ί έ α αθ ώ α ά αι αθ ώ ο
θέ ο ο ό ο α ό α σ έσο α αθ α ι ά έ . φα ο ή θα
β ί σ ι ύθ σ :
http://economu.wixsite.com/maths/geogebra-microworlds
σ έχ ια …
σ έ ια ο project α α ίθ αι σ ο ς αθ ές ς ’ ασίο αι ς Α΄ ίο .
α ι ο ήσο ς ο α ασιασ ές ο ι ή α ος, α ά σα σ ο ς σ αθ ές
ο ς α ά αι σ αθ ές ά σ ο ί .
α ο α ώσο ί α ο θα ι α βά ι work shops ώσ ι έα ο Math Art in
Athens α α θ ί ς project σ ο ό α α αί σ ς αθ α ι ώ σ α σ ο ία.
ό ο ιά θα ο έ ο θέ α α ό ς σ ί ς – ο έ ς – α αβο ή α α
– ιφά ι ς – α ύ ς.
Πισ ύο ό ι θα ασ ο θού ο ά αι ιαφέ ο α α ι ί α αθ α ι ώ
αι ο ά έ α α οσ ό α έο ό ο.
αθαί ο α αθ α ι ά ς έχ ς έσα α ό ο α ι ό
όσ ο ς έχ ς ω αθ α ι ώ !

21
Έ α α ά ι α …
φι ω ό α ό οι ία σ έα (Π ι αιά)
ία ίσ σ ο θ ι ό Α αιο ο ι ό
ο σ ίο, ά α ό ο θα ασ ό
θ ά , σ ήθ ς ο ί σ ο αφέ ….
Α ά α ό α αι ί ά ι ά ι ο ύ
ιαφέ ο …
Α ι ά φαί αι σα έ α α ό φι ό α ά
ία ιο οσ ι ή α α ή σ ας ά ι α
α α ού ό ι ύβο αι αθ α ι ά σ
σ ίασ ο .
Α ο α ύ αι έ α ο α ι ό ο ίβο ο ο οίο
ά οιοι οθέ ο ς α ασ ά αι α ό
ύ ο ς αι ά οιοι ά οι α ό ί ις.
Α ά ς ο ού α ο α α α α ά ο -
α ασ άσο ;
ί ο α ά ο ο ές α ασ ές, α ά α ή ο ι ώ αι α α ά ί αι
ι ή ας…
Πα α ώ ας ο φι ό, β έ ο ς
ο ιαφέ ο α ό ο ίβο, α ο ί αι α ό
ί α α ο οία ί αι ο οθ έ α σ
ιφέ ια ο ι ού ύ ο , ώ ό α
α ό οι α ί α ια άσσο αι σ έ α
ο οιόθ ο ς ο ό ο ς ύ ο ς ς ος
ο α ι ό.
ο ού α ό α α α α ήσο ς ο
άθ ώ α σ α ί ι έ α ι ύ ιο, αι
ί ο ο ή θα β ού ς α ό ο
ι ύ ιο έ ι ς έ ο, σ ίο ός α ό
ο ς ο οιόθ ο ς ύ ο ς.
Χ ί ο α ό ο ύ ο σ ία σ
ίσα έ αι άφο ύ ο ς έ ο
αθέ α α ό α ά α σ ία, αι α ί α:
2𝛼×sin⁡
8𝜋
38
, ό ο α = α ί α ο α ι ού
ύ ο .
ό ….. θα ού ο ο ίβο α σ α ί αι οσ ά σ α ά ια ας …

23
χα ισ ού …
α ο σ ία :
Α χαιο ο ι ό ο σ ίο Αθ ώ
ο ο σ ίο α ι ώ αι ι ιαί α ο
αθ α ι ό Α όσ ο ο Πα α ι ο άο .
ο ο σ ίο σ α ι ής έχ ς σ ο
ο σ ίο ά .
ο χο ίο ας ο ας έ σ
α ό α α « έ ο » έ α έ οιο
ό α α αι α ο ά ο …
ο ς σ α έ φο ς αι σ ά ς, Α ώ ω ιά ια φι ο ο ι ή ι έ ια,
α ί α Πα α ο ού ο ια ο video ο ά ι σ ο GeoGebra book ς άσ ς ας,
Έ α αύ ο ια ις έ ο ς αφίσ ς, ω σ α ί α α ο ά ο ια ι έ ια
ο α ίο ο α ά , ο ο ω ή ωσ φί ια βοήθ ια ο σ άφ ασ
ι έ ς άσ ς σ α Α ι ά.
ο ι θ ές σ ι ού ο GEOGEBRA ια
φι ο ία ο σ ο GeoGebra Global
Gathering ο έ ι σ ο Linz ς
Α σ ίας - ο ίο

24
Οι αφίσ ς ας …

GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο

More Related Content

What's hot

Similar to GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο

More from Γιώργος (George) Λαγουδάκος (Lagoudakos)

Recently uploaded

GeoGebra Global Gathering 2017 τετράδιο