дифференциальные уравнения. конспект лекций

1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
Кафедра высшей математики
Алашеева Е.А.
Дифференциальные уравнения
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
Самара, 2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2
УДК 519.2
Алашеева Е.А. Дифференциальные уравнения. Конспект
лекций.- Самара: ФГОБУ ВПО ПГУТИ, 2014.
Конспект лекций затрагивает такие разделы
дифференциальных уравнений, как: обыкновенные
дифференциальные уравнения первого порядка, обыкновенные
дифференциальные уравнения высших порядков, линейные
дифференциальные уравнения, системы линейных
дифференциальных уравнений, теория устойчивости. Для
студентов и аспирантов университетов и вузов, а также для
специалистов, желающих изучать дифференциальные уравнения
самостоятельно.
Каждая лекция заканчивается контрольными вопросами,
которые помогут проверить теоретическое освоение курса,
содержит большое количество задач для самостоятельного
решения и ответы для проверки.
РЕЦЕНЗЕНТ:
КЛЮЕВ Д. С. д.ф.-м.н., зав. кафедрой ЭИА
Поволжский государственный университет
телекоммуникаций и информатики
©АЛАШЕЕВА Е.А., 2014

3
Содержание
ВВЕДЕНИЕ................................................................................. 7
ЛЕКЦИЯ 1................................................................................... 8
Дифференциальные уравнения первого порядка..................................... 8
Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные
относительно производной ........................................................................ 9
Метод изоклин .......................................................................................... 11
Уравнения с разделяющимися переменными ........................................ 12
Задачи для самостоятельного решения................................................... 14
Контрольные вопросы.............................................................................. 15
ЛЕКЦИЯ 2.................................................................................17
Уравнения, приводимые к уравнениям с разделяющимися
переменными............................................................................................. 17
Однородные уравнения............................................................................ 18
Уравнение, приводящееся к однородному............................................. 21

4
ЛЕКЦИЯ 3.................................................................................24
Уравнения в полных дифференциалах ................................................... 24
Линейные уравнения ................................................................................ 26
Метод вариации постоянной ................................................................... 27
ЛЕКЦИЯ 4.................................................................................33
Уравнение Бернулли................................................................................. 33
Метод Бернулли........................................................................................ 34
Уравнение Риккати................................................................................... 37
ЛЕКЦИЯ 5.................................................................................41
Общие сведения о дифференциальных уравнениях высших порядков41
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
понижение порядка................................................................................... 43

5
ЛЕКЦИЯ 6.................................................................................50
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков............... 50
Определитель Вронского ......................................................................... 53
Структура общего решения линейного дифференциального уравения55
ЛЕКЦИЯ 7.................................................................................59
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами ....................... 59
Метод вариации постоянных нахождения частного решения
неоднородного линейного дифференциального уравнения.................. 64
ЛЕКЦИЯ 8.................................................................................69
Метод подбора частного решения по виду правой части ..................... 69
Системы дифференциальных уравнений ............................................... 75
ЛЕКЦИЯ 9.................................................................................83
Элементы теории устойчивости.............................................................. 83

6
Строгое определение понятия устойчивости решения ......................... 84
Классификация особых точек автономной системы двух уравнений.. 90
ГЛОССАРИЙ............................................................................97
К лекции 1 ................................................................................................. 97
К лекции 2 ................................................................................................. 98
К лекции 3 ................................................................................................. 98
К лекции 4 ................................................................................................. 99
К лекции 5 ................................................................................................. 99
К лекции 6 ............................................................................................... 100
К лекции 7 ............................................................................................... 101
К лекции 8 ............................................................................................... 101
К лекции 9 ............................................................................................... 102
ЛИТЕРАТУРА........................................................................104

7
Введение
Студентам математических специальностей важно
научиться строить математическую модель экономического,
физического, химического и т.д. процесса. Теория
дифференциальных уравнений является основой построения
практически любой математической модели.
В рамках данного курса студенты познакомятся с
обыкновенными дифференциальными уравнениями. Именно с
помощью уравнений такого типа можно описать многие
явления.
Курс построен в соответствии с требованиями
Федерального государственного стандарта высшего
профессионального образования к дисциплине
«Дифференциальные уравнения». Учебная программа
разработана на основе учебных планов направления 010500
«Математическое обеспечение и администрирование
информационных систем».
Наличие большого количества примеров в каждом разделе
позволит более полно и быстро усвоить изучаемый курс.

8
Лекция 1
Дифференциальные уравнения первого порядка
Определение 1.1
Дифференциальным уравнением называется соотношение между
функцией, её производными и независимыми переменными.
Уравнения, содержащие производные по многим независимым
переменным, называется уравнением в частных производных.
Уравнения, содержащие производные лишь по одной из
независимых переменных, называется обыкновенным
дифференциальным уравнением.
Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в
виде:
0,...,,, 








ndx
ynd
dx
dy
yxF (1.1)
Порядком уравнения называется порядок старшей производной,
входящей в уравнение.
Уравнение первого порядка имеет вид:
0,, 





dx
dy
yxF (1.2)
Пример 1.1
Уравнение xxyyx sin52
 является обыкновенным
дифференциальным уравнением 1-го порядка.

9
Уравнение xyyy  является обыкновенным
дифференциальным уравнением 3-го порядка.
Уравнение 2
2
2
2
x
u
t
u




 является уравнением с частными
производными 2-го порядка.
Дифференциальные уравнения первого порядка,
разрешенные относительно производной
Дифференциальное уравнение вида:
),( yxf
dx
dy
 , (1.3)
где ),( yxf — некоторая функция, называется
дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным
относительно производной.
Найдем решение уравнения (1.3) такое, что
00 )( yxy  (1.4)
где 0x и 0y — некоторые заданные числа.
Задача нахождения решения уравнения (1.3), которое
удовлетворяет условию (1.4) называется задачей Коши, при
этом условие (1.4) называется начальным условием или условием
Коши.
График функции )(xy , которая является решением уравнения
(1.3) в плоскости XOY называется интегральной кривой
уравнения (1.3).

10
Теорема 1.1 Существования и единственности решения
задачи Коши
Пусть функция ),( yxf в уравнении (1.3) и ее частная
производная
y
yxf

 ),(
непрерывны в некоторой области D
плоскости XOY и точка ),( 00 yx принадлежит области D .
Тогда
1) в некоторой окрестности точки 0x существует
решение задачи Коши для уравнения (1.3) с начальным условием
(1.4);
2) в данной окрестности точки 0x данное решение
единственно.
Геометрическая интерпретация теоремы: через каждую
точку ( 00, yx ) области D проходит интегральная кривая
уравнения (1.3), и при том только одна.
Общим решением уравнения (1.3) называется функция
),( Cxy  , где C — произвольная постоянная,
удовлетворяющая следующим двум условиям:
1) она является решением уравнения (1.3) при любом значении
C ;
2) для любых начальных данных ),( 00 yx , при которых
дифференциальное уравнение (1.3) имеет решение, можно
указать значение постоянной 0CC  , такое, что будет
выполнено начальное условие ),( 000 Cxy  .
Решение уравнения (1.3), полученное из общего решения путем
задания конкретного значения постоянной С, называется
частным решением уравнения (1.3).

11
Метод изоклин
Рассмотрим уравнение (1.3). Пусть правая часть
уравнения (1.3) определена и конечна в каждой точке некоторой
области (непустой, замкнутой, связной): ),( yxftg  . Построим
касательные ко всем интегральным кривым во всех точках: - для
этого каждой точке (t0, x0) нужно сопоставить проходящую
через нее прямую с угловым коэффициентом k = f(t0, x0).
Полученное соответствие между точками плоскости и
проходящими через нее прямыми называется полем направлений
уравнения (1.3). Геометрически: поле направлений уравнения
(1.3) – направление касательной в каждой точке интегральной
кривой совпадает с направлением поля в этой точке (рис. 1.1).
Рисунок 1.1 Поле направлений
Кривая, в каждой точке которой наклон поля, определяемого
дифференциальным уравнением (1.3), один и тот же, называется
изоклиной этого уравнения, ее уравнение: kyxf ),(

12
Пример 1.2
Построить интегральные кривые уравнения
x
y
y ' .
Решение:
В каждой точке, кроме начала координат, угловой коэффициент
к искомой интегральной кривой равен
x
y
, то есть тангенсу угла,
образованного с осью OX прямой, проходящей через данную
точку и начало координат. Следовательно, интегральными
кривыми в данном случае будут прямые вида Cxy  (Рис 1.2).
Рисунок 1.2
Уравнения с разделяющимися переменными
Многие дифференциальные уравнения приводятся к уравнению
с разделяющимися переменными при соответствующей замене
искомой функции и независимой переменной.
0)()(  dyyYdxxX (1.5)
называют уравнением с разделенными переменными.

13
Будем предполагать, что )(),( yYxX - непрерывны, тогда:
0)()(
0 0









 
x
x
y
y
dyyYdxxXd , поэтому
C
x
x
y
y
dyyYdxxX 








 
0 0
)()( (1.6)
общий интеграл уравнения (1.5). Особых решений нет.
Уравнения вида:
0)()()()( 11  dyynxmdxynxm (1.7)
называют уравнениями с разделяющимися переменными.
Умножая обе части (1.7) на
)()(
1
1 xmyn 
, получим уравнение с
разделенными переменными: 0
)(
)(
)(
)( 1
1
 dy
yn
yn
dx
xm
xm
Общим интегралом будет: Cdy
yn
yn
dx
xm
xm
 
)(
)(
)(
)( 1
1
Мы могли потерять решения, определяемые уравнениями
0)( yn и 0)(1 xm . Это могут быть частные или особые
решения. Решения вида by  и ax  могут быть особыми.
Пример 1.3
Решить уравнение и выделить интегральную кривую,
проходящую через точку )1,0( :
011 22
 dyxydxyx

14
Решение:
Разделяя переменные, имеем:
?)1,1(0
11 22




yx
y
y
x
x
отсюда следует, что: Cyx  22
11 - общий интеграл
Все решения 1,1  yx - особые, т.к. не получаются из
формулы общего интеграла ни при каких значениях
произвольной постоянной и на каждом из них нарушается
единственность задачи Коши.
Полагая 1,0  yx , находим 1C , или решение задачи Коши в
виде: 111 22
 yx
Но через точку )1,0( проходит и особое решение 1y ,
получаем две интегральные кривые, проходящие через точку
)1,0(
Задачи для самостоятельного решения
№1 Найти интегральные кривые, проходящие через точки
)1,
2
(),1,0( 21

MM уравнения 0lnsin  ydxyxdy .
Ответ: 2
x
tgC
ey

 - общее решение; в точке )1,0(1M поле не
определено; в точке )1,
2
(2

M 1y - искомая интегральная
кривая.
№2 Решить дифференциальное уравнение ydydxyx 12
.

15
Ответ: Cy
x
 1
2
2
2
.
№3 Найти частное решение уравнения y′ctg x + y = 2,
удовлетворяющее условию у(0) = -1.
Ответ: 2 – y = С cos x; y = 2 – 3cos x.
№4 Построить интегральные кривые уравнения
y
x
y ' .
Ответ: окружности Cyx  22
№5 Построить интегральные кривые уравнения 22
' yxy  ,
используя метод изоклин.
№6 Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Ответ:
№7 Найти интегральные кривые уравнения xy 2 .
Ответ: Cxy  2
,семейство парабол.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение дифференциальному уравнению.
2. Какое дифференциальное уравнение называется
уравнением в частных производных?
3. Какое уравнение называется обыкновенным
дифференциальным уравнением?

16
4. Дайте определение порядку дифференциального
уравнения.
5. Сформулируйте задачу Коши для обыкновенного
дифференциального уравнения первого порядка.
6. Дайте определение интегральной кривой.
7. Дайте определение общему решению
дифференциального уравнения и частному решению
дифференциального уравнения.
8. В чем состоит метод изоклин?
9. Дайте определение дифференциальному уравнению с
разделенными и разделяющимися переменными.

17
Лекция 2
Уравнения, приводимые к уравнениям с
разделяющимися переменными
Уравнение вида )( byaxf
dx
dy
 называется уравнением,
приводимым к уравнению с разделяющимися переменными, где
f – некоторая функция одной переменной, а и b – постоянные
числа
С помощью замены переменной z = ax+by данное уравнение
сводится к уравнению с разделяющимися переменными
,
dx
dy
ba
dx
dz
 ),(zbfa
dx
dz
 .
)(
dx
zbfa
dz


Пример 2.1
Решить уравнение 124  yxy .
Сделаем замену z = 4x + 2y, тогда
dx
dy
dx
dz
24  , 1 z
dx
dy
,
откуда 124  z
dx
dz
.
Решаем это уравнение: dx
z
dz
2
12


.
Интегрируем обе части уравнения:  

dx
z
dz
2
21
.
Вычислим интеграл в левой части равенства, используя замену:
1 zu , ududzuz 2,12
 ,

18
.221ln41222ln42
2
42
2
2
12
2
22
2
2
2
21
CzzCuu
u
du
dudu
u
du
u
u
u
udu
z
dz


















  

Таким образом, xCzz 2221ln412  или,
возвращаясь к переменным x и y , получим общий интеграл
исходного уравнения
xCyxyx  2124ln2124 .
Однородные уравнения
Функция ),( yxf называется однородной функцией m
измерения относительно переменных x и y , если при любом 
справедливо
),(),( yxfyxf m
  (2.1)
Пример 2.2
Функция 3 33
),( yxyxf  однородная функция первого
измерения, так как ),(),( yxfyxf  







x
y
dx
dy
 (2.2)
называют однородным дифференциальным уравнением.

19
Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение:
0),(),(  dyyxNdxyxM (2.3)
где ),(),,( yxNyxM - однородные функции одного же
измерения m , причем m может быть любым вещественным
числом.
Перепишем уравнение (2.3) в виде:
),(
),(
yxN
yxM
dx
dy
 (2.4)
Полагая в(2.1)
x
1
 , получим:
),(
1
),1( yxf
xx
y
f m
 (2.5)
Откуда:
),1(),(
x
y
fxyxf m
 (2.6)
Из (2.4) имеем:



































x
y
x
y
N
x
y
M
x
y
Nx
x
y
Mx
m
m

,1
,1
,1
,1
(2.7)
Для однородного уравнения (2.2), сделаем замену искомой
функции:
x
y
z  , или zxy  , тогда будем иметь
 zMxyxM m
,1),(  ,  zNxyxN m
,1),(  .
Перепишем (2.3) в виде:
    0)(),1),1  xdzzdxzNxdxzMx mm
(2.8)
Разделим на m
x и получим дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными:

20
   ?00),1(),1(),1(  xdzzxNdxzzNzM (2.9)
Разделяя переменные, имеем:
 ?0),1(),1(0
),1(),1(
),1(


 zzNzM
zzNzM
dzzN
x
dx
(2.10)
Интегрируя, находим:
 

 C
zzNzM
dzzN
x ln
),1(),1(
),1(
ln (2.11)
Откуда:



 zzNzM
dzzN
ex ),1(),1(
),1(
(2.12)
или
 z
eCx 
 (2.13)
где   


zzNzM
dzzN
z
),1(),1(
),1(

Заменяя z на
x
y
, получим общий интеграл уравнения (2.2) в
виде:






 x
y
eCx

(2.14)
Разделяя переменные могли потерять решения вида az  , где
a - корень уравнения 0),1(),1(  zzNzM .
Подставляя az  в замену zxy  , имеем  0 xaxy -
полупрямые, примыкающие к началу координат, решения
однородного уравнения. Эти решения могут содержаться в
формуле общего интеграла, но могут быть и особыми.
Особыми могут быть полуоси оси OY 0x и  0y .
Других особых решений быть не может.
Пример 2.3
Решить уравнение:
x
y
dx
dy


21
Решение:
Интегральными кривыми могут быть только кривые,
расположенные в 1 и 3 квадрантах, и полуоси осей координат.
Положим zxy  , получим:
 ?0,00 

xzz
x
dx
zz
dz
интегрируя, найдем Cxz  ln1ln2 или   Cxz 1 ,
возвращаясь к переменной y , получим: Cx
x
y









1
Рассмотрим уравнения 0 zz , оно имеет корни 1,0  zz ,
им соответствуют решения  0,0  xxyy . Первые из них –
особые, вторые – частные.
Полуоси оси полуоси оси OY  00  yx тоже особые
решения.
Уравнение, приводящееся к однородному
Рассмотрим уравнение









cbyax
cybxa
f
dx
dy 111
(2.15)
Если 01  cc , то это однородное уравнение.
1) Пусть 011

ba
ba
.
Выберем  и  , так, чтобы:





0
011
cba
cba


Сделаем замену переменных:   yx , , тогда
уравнение примет вид:









cbaba
cbaba
f
d
d



 11111
(2.16)

22
Получим однородное уравнение: 












ba
ba
f
d
d 11
.
2) Если 011

ba
ba
, то k
b
b
a
a
 11
, откуда kbbkaa  11 , ,
поэтому
   byaxf
cbyax
cbyaxk
f
dx
dy








 1
(2.17)
Если ввести новую переменную byaxz  ,то придем к
уравнению  zbfa
dx
dz
1
 , не содержащему независимой
переменной.
Пример 2.4
Решить уравнение:
1
3



yx
yx
dx
dy
.
Решение: Делаем замену kyyhxx  11 , , тогда:
1
3
11
11
1
1



khyx
khyx
dx
dy
Решая систему





01
03
kh
kh
, находим 1,2  kh ,
В результате получаем однородное уравнение
11
11
1
1
yx
yx
dx
dy


 ,
которое решаем подстановкой u
x
y

1
1
, получаем
arctgu
euxC  2
1 1 или 1
1
2
1
2
1
x
y
arctg
eyxC 
Переходя к переменным x и y , имеем:

23
    2
1
22
12 

 x
y
arctg
eyxC
№ 1 Решить уравнение y² + x²y′ = xyy′.
Ответ: y
x
eCy 
№ 2 Решить уравнение (у + 2) dx = (2x + y – 4)dy.
Ответ: )1()2( 2
 yxCy .
№ 3 Решить уравнение:
yyxyx  22
32
.
Ответ:
C
x
yyx


3
22
3
.
№ 4 Решить уравнение: 63
43



x
yx
y
.
Ответ:
Cx
x
y



2ln
3
1
2
2
.
1. Какие уравнения являются уравнениями сводящимися к
уравнениям с разделенными переменными?
2. Какое уравнение называется однородным
дифференциальным уравнением?
3. Какую замену следует использовать, чтобы решить
однородное дифференциальное уравнение?
4. Как решать уравнение, сводящееся к однородному?

24
Лекция 3
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение 0),(),(  dyyxQdxyxP называется уравнением в
полных дифференциалах, если его левая часть – полный
дифференциал некоторой функции ),( yxu , т.е.
),(),(),( yxdudyyxQdxyxP  (3.1)
Необходимым и достаточным условием полного дифференциала
является равенство частных производных
x
Q
y
P





.
Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах имеет
вид cyxu ),( ,
где функция ),( yxu может быть найдена по одной из формул:
 
 
x
x
y
y
dyyxQdxyxPyxu
x
x
y
y
dyyxQdxyxPyxu
0 0
0
0 0
0
.),(),(),(
;),(),(),(
Пример 3.1
Указать уравнения в полных дифференциалах:
.0)cos()sin( 2
 dyyyxdxyx
Решение:
1. Дифференциальное уравнение записано в симметричной
форме, где yxyxP sin),(  , .cos),( 2
yyxyxQ 

25
2. Найдём частные производные:
  y
y
yx
y
P
cos
sin






,
  y
x
yyx
x
Q
cos
cos 2






.
3. Сравним частные производные. Так как
x
Q
y
P





, то
уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
Пример 3.2
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
y
y
xey
e
y


2
' .
Решение:
1. Запишем уравнение в симметричной форме: y
y
xey
e
dx
dy


2
,
  dxedyxey yy
2 ,   02  dyyxedxe yy
, тогда: y
eyxP ),( ,
.2),( yxeyxQ y
 Найдём частные производные:
  y
y
e
y
e
y
P






,
  y
y
e
x
yxe
x
Q





 2
. Сравним частные
производные. Так как y
e
x
Q
y
P






, то уравнение является
уравнением в полных дифференциалах.
2. Запишем формулу общего интеграла: .),( Cyxu 
3. Выберем формулу для отыскания функции ),( yxu :
 
x
x
y
y
dyyxQdxyxPyxu
0 0
.),(),(),( 0
4. Найдём функцию ),( yxu :

26
 
  .yexyxeeex)x(xe
yxexedy2yxedxey)u(x,
2
0
y
0
2yyy
0
y
x
x
y
y
y
y
2
y
y
y
x
x
yyy
000
0 0
000
00

  
5. Запишем общий интеграл уравнения:
.yxe
,yexyxe
,Cyexyxe
2y
2
0
y
01
2y
1
2
0
y
0
2y
0
0
C
C
C



  
Линейные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка
называется уравнение вида:
)()( xqyxp
dx
dy
 , (3.2)
Положим, что функции р(х) и q(x) в (3.2) являются
непрерывными.
Линейное дифференциальное уравнение (3.2) называется
однородным, если 0)( xq и называется неоднородным, если
0)( xq .
0)(  yxp
dx
dy
(3.3)
Уравнение (3.3) является уравнением с разделяющимися
переменными, для которого можно легко найти общее решение:

27
,)( dxxp
y
dy
 ,)(  dxxp
y
dy
CxPy ln)(||ln 
)(xP
Cey 
 (3.4)
где )(xP —первообразная функции р(х). В дальнейшем для
этого решения будем использовать обозначение
..oo
y , где
индекс «о.о.» , означает, что данное решение является общим
решением однородного уравнения.
При делении на у могло быть потеряно решение у = 0, но оно
входит в общее решение (3.4) при С = 0.
Метод вариации постоянной
Предположим, что общее решение уравнения (3.3) имеет форму
(3.4), в которой С – не постоянная, а неизвестная функция
аргумента х
)(
)( xP
eхCy 
 (3.5)
Тогда, с учетом того, что )()( xpxP  и
)()(
)()(
))(()()(
)()()(
xPxP
xPxP
exxpxCexC
exPxCexC
dx
dy




,
подставив эти выражения в (3.2), получим уравнение
относительно С(х)
)())(()(
))(()()(
)(
)()(
xqexxCxp
exxpxCexC
xP
xPxP




,
или, сокращая второе и третье слагаемые в правой части

28
.)()(),()( )()( xPxP
exqxCxqexC  
Введем обозначение )(
)()( xP
exqx  для правой части
полученного уравнения. Тогда
)()( xxC  .
Решая это уравнение, находим
CxdxxxC   )()()(  ,
где )(x — первообразная функции )(x , а С — произвольная
постоянная.
Таким образом, общее неоднородного линейного уравнения
(3.2) есть
  )(
.. )( xP
нo eCxy 
 (3.6)
индекс «о.н.» подчеркивает, что данное решение является
общим решением неоднородного линейного уравнения.
Если каким-либо образом зафиксировать значение постоянной С
в решении (3.6), то получим ..нчy — частное решение
неоднородного уравнения (3.2). Например, если С=0, то
)(
.. )( xP
нч exy 
 .
Таким образом, решение (3.6) можно представить в виде:
 
...
)()(
)()()(
..
)(
)()(
нчoo
xPxP
xPxPxP
нo
yyexCe
CeexeCxy




..... нчooнo yyy  .

29
Общее решение неоднородного линейного дифференциального
уравнения первого порядка равно сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного неоднородного уравнения.
Пример 3.3
Найти общее решение уравнения: у′ = 2 х (х² + y).
Решение:
Представим уравнение в виде y′ - 2xy = 2x³ и решим
соответствующее однородное уравнение: y′ - 2xy = 0.
.|,|ln||ln
,2,2,2
2
2 x
CeyCxy
xdx
y
dy
xdx
y
dy
xy
dx
dy

 
Далее, применим метод вариации постоянных. Пусть решение
неоднородного уравнения имеет вид:
2
)( x
exCy  ,тогда:
xexCeC
dx
dy xx
2)(
22
 .
Подставим полученные выражения в уравнение:
3
2)(22)(
222
xexxCxexCeC xxx
 .
Следовательно,
2
3
2)( x
exxC 
 , 

 223 22
2)( dxexdxexxC xx
.
Применяя подстановку tx 2
и метод интегрирования по
частям, tt
evdtedvdtdutu 
 ,,, , получим:
   
cetedtetedtte ttttt
.
Возвращаясь к переменной x, получаем:

30
ceexxC xx
  22
2
)( .
При этом общее решение исходного уравнения есть:
1)( 22 2222
 
xceeceexy xxxx
.
№ 1 Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.0
sin2sin
2
2














 dy
y
x
ydxx
y
x
Ответ: .
2
sin 222
C
yx
y
x



№ 2 Найти решение задачи Коши для дифференциального
уравнения ,02)2(ln 





 dyy
y
x
dxxy удовлетворяющее
начальным условиям   .11 y
Ответ: частное решение уравнения: 0222ln  yxyx
№ 3 Является ли .)6102()252( dyyxyxdxyxy  уравнением
в полных дифференциалах?
Ответ: да.
№ 4 Среди уравнений указать линейные:
а) 02sincos'  xxyxy ;
б) 0'2 2
 xyxy ;
в) kVP
dt
dV
m  ;

31
г) 2
3
'
yx
y
y

 .
Ответ: а) линейное относительно  xy ;
б) не является линейным;
в) линейное относительно  tV ;
г) линейное относительно  yx .
уравнения: ,02sincos'  xxyxy удовлетворяющее
начальным условиям 1
0x


y .
Ответ:
x
x
y
cos
12

 .
№ 6 Найти общее решение дифференциального уравнения:
1
1
' 2


 y
x
x
y .
Ответ:  xcxy arcsin1 2
 .
2
3
'
yx
y
y

 .
Ответ: 32
cyyx  .
1. Какое уравнение называется уравнением в полных
дифференциалах?

32
2. Какое уравнение называется линейным однородным
первого порядка?
3. Какое уравнение называется линейным неоднородным
первого порядка?
4. Дайте определение общему решению однородного
уравнения.
5. Дайте определение общему решению неоднородного
уравнения.
6. Дайте определение частному решению неоднородного
уравнения.
7. В чем состоит метод вариации постоянной?

33
Лекция 4
Уравнение Бернулли
Уравнение вида:
.0,1,)()(  ппуxqyxp
dx
dy п
(4.1)
называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли можно свести к линейному
дифференциальному уравнению.
Разделим уравнение (4.1) на уп
, получим:
)()( 1
xqyxp
dx
dy
у nn
 
.
Выполним замену: z = y1-n
, получим:
dx
dy
yn
dx
dz n
 )1(
В итоге, получим линейное дифференциальное уравнение
относительно z: )()(
1
1
xqzxp
dx
dz
n


.
Пример 4.1
Решить уравнение: ytgxxyy  cos4
.
Решение:
Преобразуем: ,cos4
xyytgxy  xtgx
ydx
dy
y
cos
11
34
 .
Сделаем замену:
dx
dy
ydx
dz
y
z 43
3
,
1
 .
Относительно z уравнение стало линейным: xztgxz cos
3
1
 .
Решим однородное уравнение: 0tg
3
1
 xzz , xz
dx
dz
tg
3
 ,

34
,ln|cos|ln3||ln,
cos
sin3
1Cxz
x
xdx
z
dz


 xCz 3
cos .
Применим метод вариации постоянных: ,cos)( 3
xxCz 
xxxCxxC
dx
dz
sincos)(3cos)( 23
 .
Подставим эти результаты в неоднородное уравнение
.tg3
cos
3
)(,
cos
3
)(
,costgcos)(sincos)(cos)(
3
1
22
323
cx
x
dx
xC
x
xC
xxxxCxxxCxxC



Окончательно получаем
.cossin3coscos)tg3( 2333
xxxcxcxy 
Необходимо дополнить это общее решение частным решением у
= 0, потерянным при делении на у4
.
Метод Бернулли
Сделаем в уравнени (4.1) подстановку uvy  , где )(xuu  и
)(xvv  — некоторые неизвестные функции.
Тогда получим:
n
uvxquvxpuv ))(()()(  ,
n
uvxquvxpvuvu ))(()(  ,
n
uvxqvxpvuvu ))(())((  .
В качестве функции v возьмем решение уравнения,
удовлетворяющее условию: 0)(  vxpv .
Тогда функция u определяется как решение уравнения
 n
uvxqvu )( .
Пример 4.2
Решить уравнение: 32
yx
x
y
y  .

35
Решение:
Пусть uvy  . Тогда: 32
)(
1
uvxuv
x
vuvu  ,
32
)(uvx
x
v
vuvu 





 . Функцию v найдем из условия
0
x
v
v . Решаем данное уравнение:
x
v
dx
dv
 ,
x
dx
dv
dv
 ,
||ln||ln Cxv  ,
Cx
v
1
 . Пусть 1C , тогда
x
v
1
 и уравнение
для u принимает вид: 3
32 11
x
ux
x
u  или 3
uu  . Решая это
уравнение, получаем: 3
u
dx
du
 , dx
u
du
3
,   dx
u
du
3
,
Cx
u
 2
2
1
,
)(2
12
Cx
u

 ,
xC
u
2
1
1
2

 ,
xC
u
2
1
1 
 .
Находим y :
xCx
y
2
11
1 
 .
Дополним это решение частным решением 0y , которое было
потеряно при делении на 3
u .
Данный метод можно применять и для решения линейных
дифференциальных уравнений.
Решение линейного уравнения будем искать в
виде: )()( xvxuy  .
Дифференцируя, имеем:
dx
du
v
dx
dv
uy  .
Подставляя в (3.2), имеем: qvup
dx
du
v
dx
dv
u 
или: q
dx
du
vpv
dx
dv
u 







36
Выберем функцию v такой, чтобы 0 pv
dx
dv
. Разделяя
переменные, находим: pdx
dv
dv
 . Интегрируя, получаем:
 pdxvC lnln или 

pdx
Cev . Подставляя найденное
значение v в уравнение, получим: )()( xq
dx
du
xv  или
  Cdx
xv
xq
u
)(
)(
. Итак, имеем: 





  Cdx
xv
xq
xvy
)(
)(
)( или
)(
)(
)(
)( xvCdx
xv
xq
xvy   .
Пример 4.3
Решить уравнение:  2
1
1
2


 xy
xdx
dy
Решение:
Полагаем )()( xvxuy  , тогда
dx
du
v
dx
dv
uy  , подставляя в
исходное уравнение, будем иметь:
 2
1
1
2


 xuv
xdx
du
v
dx
dv
u
 2
1
1
2







 x
dx
du
vv
xdx
dv
u
Для определения v получим уравнение: 0
1
2


 v
xdx
dv
. Т.е.
1
2


x
dx
v
dv
, откуда )1ln(2ln  xv , или 2
)1(  xv ,
   32
11  x
dx
du
x , откуда
  C
x
u 


2
1
2
. Следовательно,
общий интеграл заданного уравнения:
   2
4
1
2
1


 xC
x
y .

37
Уравнение Риккати
Уравнение
2
)()()( yxryxpxq
dx
dy
 , (4.2)
где )(),(),( xrxpxq — известные функции, называется
уравнением Риккати.
Если rpq ,, — постоянные, то уравнение (4.2) интегрируется
разделением переменных:
 

Cx
rypyq
dy
2
.
Если 0)( xr , то уравнение (4.2) оказывается линейным, в
случае 0)( xq — уравнением Бернулли. В общем случае
уравнение (4.2) не интегрируется в квадратурах.
Теорема 4.1
Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то
его общее решение может быть получено с помощью
квадратур.
Доказательство.
Пусть 1y - частное решение уравнения Риккати, тогда:
)()()( 1
2
11 xRyxqyxpy  . Сделаем замену zyy  1 , тогда:
)()()()()(2)( 1
2
1
2
11 xRzxqyxqzxpzyxpyxpzy  .
Принимая во внимание, что 1y - частное решение, имеем
уравнение Бернулли:   2
1 )()()(2 zxpzxqyxpz  . Это
уравнение решаем подстановкой u
z

1
, сводим его к
линейному:   )()(
1
)(2 xpuxqyxpu  .

38
Пример 4.4
Решить уравнение xxx
eeyeyy  22
2 , если известно его
частное решение x
ey 1 .
Решение:
Перепишем уравнение в виде 22
2 yyeeey xxx
 . Пусть
zey x
 , для функции )(xz получаем:
22
)()(2)( zezeeeeze xxxxxx
 ,
2222
222 zzeezeeeeze xxxxxxx
 ,
2
z
dx
dz
 ,   dx
z
dz
2
, Cx
z

1
,
Cx
z


1
.
Решением исходного уравнения будет функция
Cx
exy x


1
)( .
№ 1 Решить
y
x
x
y
y
22
2
 - уравнение Бернулли.
Ответ: xC
x
y 1
3
2
 , 1m ;замена 2
yz  .
№ 2 Найти решение уравнения
2
2 xxexyy  методом
Бернулли.
Ответ:
22
)
2
( xeC
x
y  .
уравнения: 0' 3
 xyxy , удовлетворяющее начальным
условиям 0
1

x
y методом Бернулли.
Ответ: xxy 5,05,0 3
 .

39
уравнения: ,02sincos'  xxyxy удовлетворяющее
начальным условиям 1
0x


Ответ:
x
x
y
cos
12

 .
1
1
' 2


 y
x
x
Ответ:  xcxy arcsin1 2
 .
2
3
'
yx
y
y

 методом Бернулли.
Ответ: 32
cyyx  .
уравнения: x
eyyy  2
2' , удовлетворяющего начальным
условиям 1
0x


y .
Ответ: x
ey 
 .
1. Какое уравнение называется уравнением Бернулли?
2. Можно ли решать уравнение Бернулли методом
Лагранжа?
3. В чем состоит метод Бернулли?
4. Можно ли решать линейные однородные уравнения
методом Бернулли?

40
5. Какое уравнение называется уравнением Риккати?
6. Разрешимо ли уравнение Риккати в квадратурах?
7. В каком случае можно свести уравнение Риккати к
уравнению Бернулли?

41
Лекция 5
Общие сведения о дифференциальных уравнениях
высших порядков
Дифференциальным уравнение п-го порядка называется
соотношение вида:
F (x, y, y′,…, y(n)
) = 0, (5.1)
где функция F предполагается непрерывной функцией всех
своих 2n аргументов.
По теореме о существовании неявной функции можно
разрешить это уравнение относительно старшей производной.
у(п)
= f (x, y, y′,…, y(n-1)
). (5.2)
Задачей Коши для дифференциального уравнение (5.1) (или (5.2))
называется задача нахождения решения этого уравнения,
которое удовлетворяет условиям:
)1(
00
)1(
0000 )(,...,)(,)( 
 nn
yxyyxyyxy , (5.3)
где )1(
0000 ,...,,, 
 n
yyyx — некоторые числа.
Условия (5.3) называются начальными условиями или
условиями Коши.
Теорема 5.1 Существования и единственности решения
задачи Коши
Пусть функция f (x, y, y′,…, y(n-1)
) в уравнении (5.3) и ее частные
производные по аргументам y, y′,…, y(n-1)
непрерывны в
некоторой области D плоскости ( 1n ) — мерного
координатного пространства с координатами x, y, y′,…, y(n-1)
и
пусть точка ),...,,,( )1(
0000

 n
yyyx принадлежит области D .
Тогда

42
1) в некоторой окрестности точки 0x существует
решение задачи Коши для уравнения (5.2) с начальными
условиями (5.3).
2) в данной окрестности точки 0x данное решение
единственно.
Общим решением уравнения (5.1) называется функция
),...,,,( 21 nCCCxy  , где nCCC ...,,, 21 — произвольные
постоянные, удовлетворяющая следующим двум условиям:
1) она является решением уравнения (5.1) при любых
значениях nCCC ...,,, 21 .
2) для любых начальных данных ),...,,,( )1(
0000

 n
yyyx , при
которых дифференциальное уравнение (5.1) имеет решение,
можно указать значения постоянных
0202101 ...,,, nn CCCCCC  , такое, что будут выполнены
начальные условия:
)1(
0020100
)1(
0020100
0020100
),...,,,(
,.................
,),...,,,(
,),...,,,(




n
n
n
n
n
yCCCxy
yCCCxy
yCCCxy
.
Если общее решение уравнения (5.2) (или (5.1)) получено в
неявном виде:
0),...,,,,( 21  nCCCyx , (5.4)
то оно называется общим интегралом данного
дифференциального уравнения.
Решение уравнения (5.1), полученное из общего решения
),...,,,( 21 nCCCxy  путем задания конкретных значений

43
постоянных nCCC ...,,, 21 , называется частным решением
данного уравнения.
Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
При аналитическом решении дифференциальных уравнений
стараются понизить порядок уравнения.
Рассмотрим несколько случаев, для которых это возможно
сделать.
Неполные уравнения
Простейшее уравнение n порядка – уравнение вида:  
)(xfy n
 .
Решение уравнения находится n кратным интегрированием:
 
  )(1
xfy n


.
Интегрируя , получим:
 
 
x
x
n
Cdxxfy
0
1
1
)( ;
аналогично, интегрируя еще раз, получим:
 
   
x
x
x
x
CxxCdxdxxfy n
0 0
201
2
)(
и.т.д.
 
 
 
    nn
n
разn
x
x
x
x
x
x
n
CxxCxx
n
C
xx
n
C
dxdxdxxfy









  
01
2
0
2
1
0
1
!2
!1
)(
0 0 0


- общее решение.
Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальным
значениям:      
   1
00
1
0000000 ,, 
 nn
yxyyxyyxy ,
достаточно положить  1
01010 ,, 
  n
nn yCyCyC  .

44
Пример 5.1
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
xy 2sin'' 2
 , удовлетворяющее начальным условиям
1,0 0x0x   yy .
Решение:
1. Определим тип уравнения: xy 2sin'' 2
 - уравнение,
допускающее понижение порядка. Решается последовательным
интегрированием.
2. Проинтегрируем обе части уравнения: ,2sin' 2
 xdxy
   ,4cos1
2
1
dxxy 14sin
4
1
2
1
Cxxy 





 .
3. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
.4cos
32
1
4
,4sin
4
1
2
1
21
2
1 CxCx
x
ydxCxxy 











 
4. Найдём произвольные постоянные:
При x=0, y=0, y’=1 получаем 1;
32
1
12  CC .
5. Запишем ответ – частное решение уравнения:
32
1
4cos
32
1
4
2
 xx
x
y .
Уравнение, не содержащее искомой функции и ее первых
производных до 1k порядка
Это уравнения вида:
 
0),,,,( 1
 nkk
yyyxF 















.4sin
4
1
2
1
'
,4cos
32
1
4
2
21
2
Cxxy
CxCx
x
y

45
Порядок уравнения понижается с помощью замены. Введем
 k
yz  , тогда:  
0),,,,,(  kn
zzzzxF 
Таким образом мы понизили порядок на k единиц.
Пример 5.2
x
y
yxy
'
ln'''  , удовлетворяющее начальным условиям
eyey   1x1x , .
Решение:
1. Определим тип уравнения:
x
y
yxy

 ln''' - уравнение,
допускающее понижение порядка.
2. Запишем подстановку:    .''',' xPyxPy 
3. Осуществим подстановку в данное уравнение:
x
P
PPx ln'  .
4. Решим полученное дифференциальное уравнение первого
порядка.
4.1. Определим тип уравнения:
x
P
x
P
P ln'  - однородное
уравнение.
4.2. Запишем подстановку:   uxuPxuPxu
x
P
 '',, .
4.3. Осуществим подстановку в уравнение: uuuxu ln'  .
4.4. Решим полученное уравнение с разделяющимися
переменными:
x
uuuu
1
)ln('  ;
 
;
1ln
 
 x
dx
uu
du
.;1ln;ln1lnln 1
11
1 
 xC
euxCuxCu
4.5. Запишем общее решение: .'; 11 11 
 xcxC
xeyxeuxP
5. Определим значение произвольной постоянной 1C .
При eyx  ',1 имеем 01 C , тогда exy ' .

46
6. Решим уравнение, полученное в пункте 50
: exy ' -
уравнение с разделяющимися переменными. ;  xdxedy
.
2
2
2
C
x
ey 
7. Определим значение произвольной постоянной 2C .
При х=1, у=е имеем
2
2
e
C  .
8. Запишем ответ – частное решение уравнения:  1
2
2
 x
e
y .
Уравнение второго порядка, не содержащее независимой
переменной
Это уравнения вида:  yyfy  ,
Порядок уравнения понижается с помощью замены:
    p
dy
dp
dx
dy
dy
dp
dx
dp
yypxy  , ,
Подставляя в уравнение, имеем: ),( pxf
dy
dp
p 
Интегрируя, имеем: ),( 1Cypp  или   0,,, 21  CCyx .
Пример 5.3
  01'''2
2
 yyy , удовлетворяющее начальным условиям
    00',10  yy .
Решение:
1. Определим тип уравнения:   01'''2
2
 yyy - уравнение,
допускающее понижение.
2. Запишем подстановку:      yPyPyyPy ''','  .
3. Осуществим подстановку в уравнение: 01'2 2
 PPPy .

47
4.Решим уравнение, полученное в пункте 3: 01'2 2
PyPP -
уравнение с разделяющимися переменными. ;
1
2
2  
 y
dy
P
PdP
   
.1';1
';1;1;ln1ln
11
2
1
2
1
2
1
2


yCyyC
yyCPyCPyCP
5. Найдём значение произвольной постоянной 1C . При
0',1  yy имеем 11 C . Тогда 1'  yy .
6. Решим уравнение, полученное в пункте 5: 1'  yy -
уравнение с разделяющимися переменными: ;
1
 

dx
y
dy
  .1
4
1
;12
2
22  CxyCxy
7.Определим значение произвольной постоянной 2C :
При 1,0  yx имеем 02 C .
8. Запишем ответ – частное решение уравнения: 1
4
2

x
y .
уравнения   0'''
2
 yyy , удовлетворяющее начальным
условиям     10',10  yy .
Ответ: 122
 xy .
№ 2 Найти решение задачи Коши для уравнения xyy  ''' ,
удовлетворяющее начальным условиям     00',10  yy .
Ответ: xex
x
y 
2
2
.

48
уравнения axey '' , удовлетворяющее начальным условиям
1
0x
,0
0x




yy .
Ответ: 22
111
a
x
a
axe
a
y  .
№ 4 Решить уравнение: xxy sin .
Ответ: 32
2
1
4
2
cos
24
CxC
xC
x
x
y 
№ 5 Решить уравнение: .2 yyy 
Ответ: ).tg(,
1
21112
11
CCxCCyCx
C
y
arctg
C

№ 6 Решить уравнение: 2
yy  .
Ответ: )ln()( 1122 CxCxxCCy  .
№ 7 Решить уравнение:   10,0)0(),sin(  yykxy
Ответ: x
k
x
k
kx
y  2
sin
.
№ 8 Решить уравнение: xy ln .
Ответ:
224
ln
2
222
C
xx
x
x
y  .
1. Дайте определение уравнению высшего порядка.

49
2. Сформулируйте задачу Коши для уравнения высшего
порядка.
3. Дайте определение общему и частному решению
уравнения высшего порядка.
4. Сформулируйте теорему существования и решения
задачи Коши уравнения высшего порядка.
5. Какие типы уравнений, допускающих понижение
порядка вы знаете?
6. Каким образом понижается порядок в уравнениях
данных типов?

50
Лекция 6
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Определение 6 1
Линейным дифференциальным уравнением п-го порядка
называется соотношение вида:
)()()(...)()( 1
)1(
1
)(
0 xfyxayxayxayxa nn
nn
 

, (6.1)
где )(),(...),(),( 110 xaxaxaxa nn — некоторые функции,
определенные на некотором промежутке, причем 0)(0 xa .
Линейное дифференциальное уравнение (6.1) называется
однородным, если 0)( xf и называется неоднородным, если
0)( xf .
Разделим уравнение (6.1) на 0)(0 xa , получим:
0)()(...)( 1
)1(
1
)(
 

yxpyxpyxpy nn
nn
, (6.2)
Здесь 0)( xf .
Линейным дифференциальным оператором называется -
оператор вида:
   
   
   yxpyxpyxpyyL nn
nn
 

1
1
1 
Линейное дифференциальное уравнение n -го порядка:
)()( xfyL  (6.3)
Свойства линейного дифференциального оператора L
1) Постоянный множитель c можно вынести за знак
линейного оператора: L[cy] = cL[y].
2) Для любых двух функций 1y и 2y справедливо
равенство: L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2].

51
3) Для любых чисел 1c , 2c , …, mc и любых функций 1y ,
2y , …, my справедливо равенство:  




 m
i
ii
m
i
ii yLcycL
11
.
Свойства решений линейного однородного уравнения
Теорема 6.1
Если у1 – решение уравнения (6.2), и с – произвольная
постоянная, то су1 – также решение этого уравнения.
Доказательство
Если L[y1] = 0, то по свойству 1) линейного оператора L[сy1] = 0,
что и требовалось доказать.
Теорема 6.2
Сумма у1 + у2 решений уравнения (6.2) также является
решением этого уравнения.
Так как L[y1] = 0 и L[y2] = 0, по свойству 2) линейного оператора
L[y1 + у2] = L[y1] + L[y2] = 0, что доказывает утверждение
теоремы.
Следствие
Линейная комбинация 

m
i
ii yc
1
решений уравнения (6.2) у1, у2,…,ут
с произвольными постоянными коэффициентами тоже
является решением этого уравнения.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение (6.3). Если
функции pi(x) и f(x) непрерывны на отрезке [a,b], то в
окрестности любых начальных значений ],[0 bax 
удовлетворяются условия теоремы существования и
единственности решения задачи Коши и данное уравнение
имеет единственное решение, удовлетворяющее заданным
начальным условиям (5.3).

52
Свойства решений неоднородного линейного уравнения
Теорема 6.3
Сумма 1
~ yy  решения y~ неоднородного уравнения (6.6) и
решения у1 соответствующего однородного уравнения (6.2)
является решением неоднородного уравнения (6.6).
)(0)(][]~[]~[ 11 xfxfyLyLyyL  , что и требовалось
доказать.
Теорема 6.4(принцип суперпозиции).
Если yi – решение уравнения L[y] = fi(x), то 


m
i
ii yy
1

является решением уравнения 


m
i
ii xfyL
1
)(][  , где αi –
постоянные.
  
  



 m
i
m
i
m
i
iiiiii
m
i
ii xfyLyLyL
1 1 11
)(][][  , что и требовалось
доказать.
Функции у1(х), у2(х),…, уп(х) называются линейно зависимыми на
некотором отрезке [a, b], если существуют такие числа α1,
α2,…, αп, хотя бы одно из которых не равно нулю, что:
α1у1 + α2у2 + … + αпуп = 0 (6.4)
на рассматриваемом отрезке. Если же равенство (6.4)
справедливо только при всех αi=0, функции у1(х), у2(х),…, уп(х)
называются линейно независимыми на отрезке [a, b].
Пример 6.1
Функции 1, x, x², …, xn
линейно независимы на любом отрезке,
так как равенство α1 + α2x + α3x² + … + αn+1xn
= 0 справедливо
только при всех αi=0. Иначе в левой части равенства стоял бы

53
многочлен степени не выше п, который может обращаться в
нуль не более, чем в п точках рассматриваемого отрезка.
Пример 6.2
Линейно независимой на любом отрезке является система
функций xkxkxk n
eee ,...,, 21
, где nkkk ...,, 21 — различные числа.
Если предположить, что эта система линейно зависима, то
существуют такие числа α1, α2,…, αп (пусть для определенности
0п ), что 0...21
21  xk
n
xkxk n
eee  . Разделим полученное
равенство на xk
e 1
, получим: 0... )()(
21
112
  xkk
n
xkk n
ee  , и
продифференцируем
0)(...)( )(
1
)(
122
112
  xkk
nn
xkk n
ekkekk  . Проделав эту
операцию п-1 раз, придем к
равенству 0))...()(( )(
12312
1
 

xkk
nnn
nn
ekkkkkk , что
невозможно, так как по предположению
0,,0 )( 1
  xkk
jin
nn
ekk .
Определитель Вронского
Определитель вида:
)1()1(
2
)1(
1
21
21
21
21
...
............
...
...
...
],...,,[




n
n
nn
n
n
n
n
yyy
yyy
yyy
yyy
yyyW (6.5)
называется определителем Вронского системы функций у1, у2,…,
уп.
Поскольку функции у1, у2,…, уп зависят от аргумента x , для
краткого обозначения определителя Вронского будем
использовать также обозначение )(xW .

54
Теорема 6.5
Если функции у1, у2,…, уп линейно зависимы на отрезке [a,b], то
их определитель Вронского на этом отрезке тождественно
равен нулю.
Дифференцируя п-1 раз тождество α1у1 + α2у2 + … + αпуп = 0 ,
где не все αi = 0, получим линейную однородную систему
относительно α1, α2,…, αп











,0...
..................
,0...
,0...
)1()1(
22
)1(
11
2211
2211
n
nn
nn
nn
nn
yyy
yyy
yyy



которая по условию должна иметь нетривиальное решение при
любом х из отрезка [a,b], а это возможно только в том случае,
если определитель основной матрицы этой системы равен
нулю. Поскольку этот определитель является определителем
Вронского для выбранной системы функций, теорема доказана.
Теорема 6.6
Если линейно независимые функции у1, у2,…, уп являются
решениями линейного однородного уравнения (6.2) с
непрерывными на отрезке [a,b] коэффициентами, то
определитель Вронского для этих функций не может
обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [a,b].
Пусть существует такая точка ],[0 bax  , что .0)( 0 xW
Выберем числа n ,...,, 21 , не все равные нулю, так, чтобы
удовлетворялась система уравнений:











.0)(...)()(
................................
,0)(...)()(
,0)(...)()(
0
)1(
0
)1(
220
)1(
11
0022011
0022011
xyxyxy
xyxyxy
xyxyxy
n
nn
nn
nn
nn



(6.6)

55
(Определитель этой системы, неизвестными в которой считаем
i , равен W(x0) и, следовательно, равен нулю, поэтому система
имеет ненулевое решение). Тогда по условию теоремы
)(...)()( 2211 xyxyxyy nn  — решение уравнения (6.2) с
нулевыми начальными условиями
0)(...)()( 0
)1(
00  
xyxyxy n
, что следует из системы (6.9).
Очевидно, что этим условиям удовлетворяет нулевое решение:
0)(...)()( 2211  xyxyxy nn , (6.7)
а по теореме существования и единственности это решение
единственно. Но при этом из равенства (6.10) следует, что
функции у1, у2,…, уп линейно зависимы, что противоречит
условиям теоремы. Следовательно, 0)( xW ни в одной точке
отрезка [a,b].
Структура общего решения линейного дифференциального
уравнения
Теорема 6.7 (о структуре общего решения однородного
линейного уравнения)
Общим решением на [a,b] уравнения (6.2) с непрерывными
коэффициентами pi является линейная комбинация:



n
i
ii ycy
1
(6.8)
его п, линейно независимых на [a,b], частных решений yi с
произвольными постоянными коэффициентами сi .
Для доказательства теоремы, с учетом теоремы существования и
единственности, достаточно показать, что можно подобрать
постоянные ci так, чтобы удовлетворялись произвольно
заданные начальные условия
)1(
00
)1(
0000 )(,...,)(,)( 
 nn
yxyyxyyxy , (6.9)
где х0 – произвольная точка отрезка [a,b]. Подставив в равенства
(6.9) выражение для у вида (6.)8, получим линейную систему из
п уравнений относительно неизвестных с1, с2,…, сп

56



















n
i
nn
ii
n
i
ii
n
i
ii
yxyc
yxyc
yxyc
1
)1(
00
)1(
1
00
1
00
)(
..............
,)(
,)(
,
определителем которой является определитель Вронского для
выбранных п линейно независимых решений рассматриваемого
уравнения, который не равен нулю. Следовательно, система
имеет решение при любых правых частях. Теорема доказана.
Следствие
Максимальное число линейно независимых решений
однородного уравнения (6.2) равно его порядку.
Любые п линейно независимых решений однородного
линейного уравнения (6.2) называются его фундаментальной
системой решений.
Теорема 6.8 (о структуре общего решения неоднородного
линейного уравнения)
Общее решение на отрезке [a,b] уравнения L[y] = f(x) с
непрерывными на [a,b] коэффициентами pi(x) и правой частью
f(x) равно сумме общего решения 

n
i
ii yc
1
соответствующего
однородного уравнения и какого-либо частного решения
неоднородного уравнения.
Требуется доказать, что для любых начальных условий
1,...,1,0,)( )(
00
)(
 nkyxy kk
, можно подобрать такие значения
постоянных ci, чтобы функция:



n
i
ii yycy
1
~ , (6.10)

57
где yi – линейно независимые частные решения однородного
уравнения L[y]=0, а y~ — частное решение рассматриваемого
неоднородного уравнения, была решением этого неоднородного
уравнения с заданными начальными условиями. Это требование
приводит нас к системе уравнений относительно неизвестных с1,
с2,…, сп
























n
i
nnn
ii
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii
yxyxyc
yxyxyc
yxyxyc
yxyxyc
1
)1(
00
)1(
0
)1(
1
000
1
000
1
000
)(~)(
...............
,)(~)(
,)(~)(
,)(~)(
(6.11)
главным определителем которой является определитель
Вронского ],...,,[ 21 nyyyW , как известно, не равный нулю.
Поэтому система (6.11) имеет единственное решение, что и
доказывает утверждение теоремы.
1. Дайте определение линейному дифференциальному
уравнению высшего порядка.
2. Какое линейное дифференциальное уравнение
называется однородным?
3. Какое линейное дифференциальное уравнение
называется неоднородным?
4. Дайте определение линейного оператора.
5. Перечислите свойства линейного оператора.
6. Перечислите свойства решений линейного однородного
уравнения.

58
7. Перечислите свойства решений линейного
неоднородного уравнения.
8. Дайте определение определителю Вронского.
9. Какова структура решения линейного однородного
уравнения?
10. Какова структура решения линейного неоднородного
уравнения?
11. Дайте определение фундаментальной системе решений.
12. Какая система функций называется линейно
независимой?
13. Какая система функций называется линейно зависимой?

59
Лекция 7
Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим однородное линейное уравнение n-го порядка с
постоянными коэффициентами:
0...)1(
1
)(
 
ypypy n
nn
. (7.1)
Согласно теореме о структуре общего решения однородного
уравнения, общее решение данного уравнения имеет вид:



n
i
iioo yCy
1
.. , где iC — произвольные постоянные, а iy —
фундаментальная система решений (7.1).
Будем искать частные решения (7.1), образующие
фундаментальную систему, в виде kx
ey  , где k – постоянная
величина. Тогда knnkk
ekyekykey  )(2
...,, и, при
подстановке в (7.1), получаем:
    xx
nn
nx
ePeaaeaeL 
  

1
1
1)( 
0)( x
eL 
тогда и только тогда когда  - корень уравнения
0)( P
Уравнение 0)( 1
1
1  

nn
n
aaeaP  
 - называется
характеристическим уравнением, а его корни
характеристическими числами однородного линейного
уравнения.
От вида корней характеристического уравнения зависит вид
частного решения. Можно выделить четыре типа корней:
1. Пусть все корни характеристического уравнения n ,,1  -
вещественны и различны.

60
Общее решение однородного уравнения имеет вид:



n
k
x
ke
k
Cy
1

2. Пусть все корни характеристического уравнения n ,,1  -
комплексные и различны.
Корню вида iba  соответствует решение bxeax
cos , bxaxe sin .
Это решения линейно независимы.
Корню вида iba  соответствует решение bxaxe cos ,
bxeax
sin . Это решения линейно независимы.
Таким образом, если все корни характеристического уравнения
n ,,1  различны, но среди них имеются комплексные, то
каждому вещественному корню k соответствует решение xk
e
,
а каждой паре сопряженных комплексных корней iba 
соответствуют два вещественных линейно независимых
частных решений вида bxeax
cos , bxeax
sin .
Итак, если корень вещественный k , то общее решение x
k
k
eC 
,
если корни сопряженные iba  , то общее решение
 bxCbxCeax
sincos 21  , если чисто мнимые ib , то общее
решение bxCbxC sincos 21  .
3. Случай наличия кратных корней
Пусть 1 k - кратный корень характеристического уравнения:
   
  0)( 111   k
PPP 
Всякому вещественному корню 1 кратности k соответствует
k вещественных линейно независимых решений вида
xkxx
exxee 111 1
,,  

61
Каждой паре сопряженных iba  корней кратности
k соответствует k2 вещественных линейно независимых
решений вида:
bxexbxxebxe
bxexbxxebxe
axkaxax
axkaxax
sin,,sin,sin
cos,,cos,cos
1
1




Итак, если корень вещественный 1 кратности k , то ему
соответствует x
k exP 1
)(1

 .
Если корни сопряженные iba  , кратности k , то ему
соответствует  bxxQbxxPe kk
ax
sin)(cos)( 11  
Остановимся отдельно на решении линейных однородных
дифференциальных уравнений второго порядка. Однородное
линейное уравнение  порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид: 0'''  gypyy , где gp, - заданные числа.
Виды фундаментальной системы решений линейного
однородного уравнения представлены в следующей таблице:
Дискриминант
характеристического
уравнения
Корни
характеристического
уравнения
Фундаментальная
система частных
решений
Общее
решение
0D
вещественные
различные
21 kk 
xk
xk
ey
ey
2
1
2
1

 xk
xk
ec
ecy
2
1
2
1


0D
вещественные
равные
kkk  21
kx
kx
xey
ey


2
1
 xcc
ey xk
21 
 
0D
комплексные
ik  2,1 xey
xey
x
x




sin
cos
2
1


)sin
cos(
2
1
xc
xc
ey x






Таблица 7.1

62
Пример 7.1
030'13''  yyy , удовлетворяющее начальным условиям
    50',60  yy
Решение:
1. Определим тип уравнения.
030'13''  yyy - линейное, однородное ІІ порядка, с
постоянными коэффициентами.
2. Запишем формулу общего решения: 2211 ycycy 
3. Составим и решим характеристическое уравнение:
030132
 
15,2 21   (корни вещественные, различные)
4. Запишем фундаментальную систему решений:
x
x
ey
ey
15
22
2
1
15
'2

 


.
5. Запишем общее решение уравнения: xx
ececy 15
2
2
1  
6. Найдём значения произвольных постоянных 1c и 2c :








.152'
,
15
2
2
1
15
2
2
1
xx
xx
ececy
ececy
При 5',6,0  yyx получаем
.1,5
,5152
,6
21
21
21






cc
ce
cc
7. Запишем ответ – частное решение уравнения: xx
eey 152
5  
.
Пример 7.2
Найти общее решение дифференциального уравнения
049'14''  yyy .
Решение:
049'14''  yyy - линейное, однородное, ІІ порядка, с
постоянными коэффициентами

63
2. Запишем формулу общего решения: 2211 ycycy  .
049142
  , 721   (корни вещественные, равные).
xx
xeyey 7
2
7
1 ,  .
5. Запишем общее решение уравнения:
 ., 21
77
2
7
1 xcceyxececy kxx

Пример 7.3
013'4''  yyy , удовлетворяющее начальным условиям
    00',60  yy .
Решение:
013'4''  yyy - линейное, однородное, ІІ порядка, с
постоянными коэффициентами
2. Запишем формулу общего решения: 2211 ycycy  .
,01342
  i322,1  (корни комплексные).
xeyxey xx
3sin,3cos 2
2
2
1

 .
5. Запишем общее решение уравнения:
 .3sin3cos
,3sin3cos
21
2
2
2
2
1
xcxcey
xecxecy
x
xx




6. Найдём значения произвольных постоянных 1c и 2c :
 
    







.3sin323cos32'
,3sin3cos
1221
2
21
2
xccxccey
xcxcey
x
x
При 0',6,0  yyx получаем:
.4,6
,023
,6
21
2
1






cc
cc
c

дифференциальные уравнения. конспект лекций

дифференциальные уравнения. конспект лекций

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (7)

Similar to дифференциальные уравнения. конспект лекций

Similar to дифференциальные уравнения. конспект лекций (13)

More from Иван Иванов

More from Иван Иванов (20)

дифференциальные уравнения. конспект лекций