физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики конспект лекций

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ НАНОТЕХНОЛОГИЙ,
ФОТОНИКИ И ОПТОИНФОРМАТИКИ
по направлению подготовки 200700
Самара - 2014
2
ББК 22.37
Г24
УДК 539.21
Головкина М.В. Физические основы нанотехнологий, фо-
тоники и оптоинформатики. Конспект лекций. –Самара.:
ФГОБУ ВПО ПГУТИ, 2014. -196 с.
Книга представляет собой курс лекций по учебной дисциплине
«Физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики»,
рассматривающий основные явления, принципы и экспериментальные
достижения нанофотоники. В книге на высоком физико – математиче-
ском уровне описываются вопросы распространения и взаимодействия
света в пространственно – ограниченных наноструктурах, рассматри-
ваются свойства различных наноструктурированных материалов, а
также вопросы их практического использования.
Для магистрантов, аспирантов, изучающих вопросы оптической
связи, а также для инженерно-технических работников.
Рецензент: д.ф.-м.н., профессор Арефьев А.С.
Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования «Поволж-
ский государственный университет телекоммуникаций и ин-
форматики»
 Головкина М.В., 2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3
Список сокращений и обозначений
АСМ – атомная силовая микроскопия,
ВКР –вынужденное комбинационное рассеяние,
ГС – гетероструктура,
КНИ – кремний-на-изоляторе,
КОНОП – кремний оксид-нитрид-оксид-полупроводник,
ЛВР – лазеры с вертикальным резонатором,
МЛЭ – молекулярно-лучевая эпитаксия,
МОП – металл – оксид –полупроводник,
МП – магнитный поляритон,
MOCVD (Metalorganic Chemical Vapour Deposition) – метод оса-
ждения металлоорганических соединений из газообразной фазы,
ПП – поверхностный плазмон,
ПМСВ – поверхностные магнитостатические волны,
СТМ - сканирующая туннельная микроскопия,
УНТ – углеродная нанотрубка,
ФЗЗ – фотонная запрещенная зона,
ФК– фотонный кристалл,
ФКВ – фотонно-кристаллическое волокно,
ЭППЗУ - электрически перепрограммируемое постоянное запо-
минающее устройство.
4
Содержание
Введение....................................................................................8
Лекция 1.
Тема 1. Особенности физических взаимодействий в
наномасштабах. Квантовая механика нанообъектов
1.1. Особенности физических взаимодействий в нано-
масштабах.......................................................................9
1.2. Описание движения наночастиц. Уравнение
Шредингера .................................................................13
1.3. Собственные функции, собственные значения..20
Выводы по теме............................................................22
Вопросы и задания для самоконтроля .......................22
Лекция 2.
Тема 2. Квантование энергии. Наночастица в одномерной по-
тенциальной яме
2.1. Собственные функции, собственные значения..23
2.2. Наночастица в одномерной потенциальной яме23
2.3. Частица в одномерной потенциальной яме с беско-
нечно высокими стенками...........................................24
2.4. Локализация электронов в простейших нано-
структурах (размерное квантование) .........................29
2.5. Потенциальный барьер. Туннельный эффект ....31
2.6. Применение туннельного эффекта в современных
приборах........................................................................31
Выводы по теме............................................................35

5
Лекция 3.
Тема 3. Квантово – размерные эффекты. Квантовый кон-
файнмент
3.1. Плотность состояний............................................37
3.2.Типы квантоворазмерных структур .....................44
Выводы по теме............................................................50
Лекция 4.
Тема 4. Электроны в периодических структурах и
квантовый конфайнмент. Блоховские волны
4.1. Дисперсионное уравнение....................................52
4. 2. Электроны в периодических структурах.
Теорема Блоха. Зоны Бриллюэна................................53
4.3. Электрон в периодическом поле кристалла. Эффек-
тивная масса .................................................................59
Выводы по теме............................................................63
Лекция 5.
Тема 5. Квазичастицы
5.1. Квазичастицы ........................................................64
5.2. Дырки.....................................................................65
5.3. Фононы...................................................................66
5.4. Экситоны................................................................69
Выводы по теме............................................................75
6
Лекция 6.
Тема 6. Рассеяние
6.1. Виды рассеяния.....................................................77
6.2. Рэлеевское рассеяние............................................78
6.3. Рассеяние Ми.........................................................80
6.4. Рассеяние Мадельштама-Бриллюэна ..................81
6.5. Комбинационное (рамановское) рассеяние........82
6.6. Расчет параметров рассеяния ..............................84
Выводы по теме............................................................86
Лекция 7.
Тема 7. Фотонные кристаллы
7.1. Классификация фотонных кристаллов................88
7.2. Дисперсионное уравнение для одномерных фотон-
ных кристаллов.............................................................96
7.3. Применение фотонных кристаллов...................101
Выводы по теме..........................................................103
Вопросы и задания для самоконтроля .....................103
Лекция 8.
Тема 8. Нелинейно –оптические эффекты
8.1. Условия возникновения нелинейных оптических
эффектов .....................................................................104
8.2. Генерация второй гармоники и условие фазового
синхронизма ...............................................................106
8.3. Параметрическое преобразование и параметриче-
ские генераторы света................................................108
8.4. Четырехволновое смешивание ..........................110

7
Выводы по теме..........................................................115
Лекция 9.
Тема 9. Применение фотонных кристаллов и гетеро-
структур
9.1. Квантовые микрорезонаторы ............................116
9.2. Гетероструктуры с квантовыми ямами.............124
Выводы по теме..........................................................127
Ответы на вопросы и задания для самоконтроля..............128
Список литературы .............................................................133
Глоссарий..............................................................................137
8
Введение
Данная книга представляет собой курс лекций по дисци-
плине «Физические основы нанотехнологий, фотоники и опто-
информатики», изучаемой в рамках магистерской программы по
направлению 2001700 «Фотоника и оптоиноформатика». Дан-
ный курс посвящен основным вопросам нанофотоники, возник-
шей на стыке фотоники, изучающей проблемы распространения
света в различных средах, и нанотехнологий, развитие которых
дает возможность для создания новых структур с заранее задан-
ными свойствами. Совершенствование техники молекулярно-
лучевой эпитаксии позволяет создавать полупроводниковые
нано- и гетероструктуры толщиной в несколько атомных слоев.
В таких наноструктурах, ограничивающих движение носителей
зарядов в одном, двух или трех направлениях, начинают прояв-
ляться квантоворазмерные эффекты, приводящие к существен-
ному изменению спектральных характеристик и появлению но-
вых свойств, которые не могут наблюдаться у природных мате-
риалов. Данная книга подробно освещает теоретические вопро-
сы, связанные с особенностями распространения света в ограни-
ченных наноструктурах, вопросы размерного квантования, эле-
менты наноплазмоники, а также вопросы практического приме-
нения наноструктур. Каждая лекция в конце содержит вопросы и
задания для самоконтроля, чтобы читатели могли следить за
усвоением изученного материала.
Курс лекций рассчитан на читателя, владеющего матема-
тическим анализом, квантовой механикой и физикой твердого
тела в объеме, изучаемом в технических университетах, а также
знаниями оптической физики и основ оптоинформатики. В свою
очередь, знания, полученные в рамках данного курса, использу-
ются при изучении курсов по нанооптике, фемтосекундная оп-
тике и фемтотехнологии, оптическим материалам фотоники и
оптоинформатики.

9
Лекция 1
Тема 1. Особенности физических взаимодействий в
наномасштабах. Квантовая механика нанообъектов
1.1. Особенности физических взаимодействий в наномасшта-
бах
Понятие фотоника подразумевает совокупность наук и тех-
нологий, связанных с излучением, поглощением, эмиссией, пре-
образованием света и также с их применением в различных
устройствах. Свет - это электромагнитное излучение для прямо-
го человеческого восприятия в диапазоне длин волн от прибли-
зительно 400 до приблизительно 700 нанометров. Как правило,
соседние участки в далеком ультрафиолетовом и ближнем ин-
фракрасном диапазонах также являются предметом фотоники.
Таким образом, в качестве субъекта фотоники можно назвать
приблизительный диапазон электромагнитного излучения от 100
нм до 1-2 мкм. Если пространство имеет определенные неодно-
родности на масштабе, сравнимом с длиной волны света, то из-
за многократного рассеяния и интерференции возникают изме-
нения распространения световых волн. Рассеяние света является
необходимой предпосылкой для зрения. Сияющие цвета мыль-
ных пузырей и тонких пленок бензина на мокрой дороге после
дождя являются первым опытом наблюдения интерференции в
раннем детстве. Чтобы изменять условия для распространения
света, размер неоднородностей в пространстве должен быть
сравним с длиной волны света, т.е. начиная с размера в диапа-
зоне 10-100 нм до нескольких микрометров. [15]
Материя формируется из атомов, которые, в свою очередь,
состоят из ядер и электронов. Элементарный атом водорода
имеет радиус первой орбиты 0,053 нм. Атомы
могут образовывать молекулы и твердые тела. Многие типичные
органические молекулы имеют размеры порядка 1 нм. Для ти-
пичных кристаллических твердых тел период решетки составля-
ет около 0,5 нм. Взаимодействие света с веществом сводится
фактически к процессам, связанным с электронной подсистемой
молекул и твердых тел. Поэтому, чтобы понять взаимодействие
10
света и вещества, нужно детально рассмотреть электронные
свойства. Электроны рассматриваются как объекты, обладаю-
щие волновыми свойствами в точки зрения длины волны, и кор-
пускулярные свойства с точки зрения массы и заряда. Если элек-
трон приобрел кинетическую энергию в результате ускорения в
электрическом поле между парой пластин с напряжением 1В
(например, генерируемых в кремниевых фотоэлементов), то его
кинетическая энергия 1 эВ соответствует длине волны де Брой-
ля, близкой к 1 нм. Для кинетической энергии Е=kBT = 27 мэВ,
соответствующей комнатной температуре, длина волны де
Бройля электрона в твердых телах имеет порядка 10 нм.
«Если при уменьшении объема какого-либо вещества по од-
ной, двум или трем координатам до размеров нанометрового
масштаба возникает новое качество, или это качество возникает
в композиции из таких объектов, то эти образования следует от-
нести к наноматериалам, а технологии их получения и дальней-
шую работу с ними -к нанотехнологиям.» [15]
Линейный размер структурных единиц наноматериалов из-
меняется в пределах примерно от 1 до 1000 атомных (молеку-
лярных) слоев. Объем –от 10 до 106атомов (молекул).
Наночастица (англ. nanoparticle) - изолированный твердофаз-
ный объект, имеющий отчетливо выраженную границу с окру-
жающей средой, размеры которого во всех трех измерениях со-
ставляют от 1 до 100 нм. Наночастицы - один из наиболее общих
терминов для обозначения изолированных ультрадисперсных
объектов, во многом дублирующий ранее известные термины
(коллоидные частицы, ультрадисперсные частицы), но отлича-
ющийся от них четко определенными размерными границами.
Твердые частицы размером менее 1 нм обычно относят к класте-
рам, более 100 нм — к субмикронным частицам [25]
Отнесение к нанотехнологиям (наноматериалам, нанонаукам)
отражает не только пространственный масштаб рассматривае-
мых явлений, процессов, структурированности (неоднородно-
сти) веществ. Отнесение к нанотехнологиям (наноматериалам,
нанонаукам) подразумевает наличие качественных особенностей
в закономерностях, определяющих протекание явлений и про-
цессов и отсутствующих при других характерных масштабах.

11
Нанотехнология - данный термин в настоящее время не имеет
единого определения. Первоначально термин «нанотехнология»
использовался в узком смысле и означал комплекс процессов,
обеспечивающих высокоточную обработку поверхности с ис-
пользованием высокоэнергетических электронных, фотонных и
ионных пучков, нанесения пленок и сверхтонкого травления. В
настоящее время термин «нанотехнология» используется в ши-
роком смысле, охватывая и объединяя технологические процес-
сы, приемы и системы машин и механизмов, предназначенные
для выполнения сверхточных операций в масштабе нескольких
нанометров. Под термином «нанотехнологии» Роснано понимает
совокупность технологических методов и приемов, используе-
мых при изучении, проектировании и производстве материалов,
устройств и систем, включающих целенаправленный контроль и
управление строением, химическим составом и взаимодействи-
ем составляющих их отдельных наномасштабных элементов (с
размерами порядка 100 нм и меньше как минимум по одному из
измерений), которые приводят к улучшению, либо появлению
дополнительных эксплуатационных и/или потребительских ха-
рактеристик и свойств получаемых продуктов [25].
Наноструктуры часто встречаются в живой природе. Струк-
турами с одномерной периодичностью, обладающими выра-
женной интерференционной окраской, являются, например, по-
крытия на крыльях некоторых бабочек, хвостовых перьях пав-
лина, панцирях некоторых жуков. Роль интерференции в окраске
перьев павлинов отмечал еще Исаак Ньютон в 1730 г.
Недавно высказано предположение, что периодическая
структура диатомовых водорослей способствует более эффек-
тивному светосбору, повышая, таким образом, продуктивность
фотосинтеза. Целесообразность интерференционной окраски не
получила однозначного толкования. Можно предположить, что
предпочтение интерференции по сравнению с абсорбционным
механизмом цветообразования у живых организмов связано с
тем, что интерференционная окраска не требует поглощения и
диссипации световой энергии, а значит, не сопровождается
нагревом и фотохимическим разрушением пигментного покры-
тия.
12
Рис.1.1. Интерференционная окраска пера павлина.
Структуры с двумерной периодичностью присутствуют в
строении глаз насекомых (например, моли), а также человека и
других млекопитающих, в строении некоторых видов водорос-
лей. Двумерная периодичность присуща натуральным жемчу-
жинам, состоящим из слоистой упаковки цилиндрических эле-
ментов. Функциональность строения живых организмов, сфор-
мировавшихся под влиянием естественного отбора, приводит к
мысли о целевом использовании оптических свойств периодиче-
ских структур в живой природе. Во многих случаях такая целе-
сообразность не вызывает сомнений. Регулярная пористая
структура глаз насекомых и роговицы глаз млекопитающих яв-
ляется эффективным антиотражающим интерфейсом, обеспечи-
вающим прохождение света без френелевского отражения с од-
новременной возможностью физико-химического обмена с
окружающей средой для внутренних тканей глаза [38].

13
Рис. 1.2. Периодическая структура глаза насекомого. Микрофо-
тография
В природе существуют трехмерные периодические структуры
в виде коллоидных кристаллов. Они впервые были обнаружены
при исследовании вирусов. Полудрагоценный минерал опал
представляет собой коллоидный кристалл, состоящий из моно-
дисперсных сферических глобул оксида кремния. Именно ин-
терференцией света в трехмерной периодической структуре
определяется их искрящийся цвет, зависящий от угла падения и
наблюдения.
1.2. Описание движения наночастиц. Уравнение Шредингера
Согласно гипотезе де-Бройля поток любых материальных ча-
стиц (электронов, протонов, нейтронов, целых атомов и т.д.) об-
ладает, аналогично кванту света фотону, не только корпуску-
лярными, но и волновыми свойствами. Таким образом, если ча-
стица имеет энергию E и импульс, абсолютное значение которо-
го равно p, то с ней связана волна, частота которой
h
Е
 , (1.1)
а длина волны де Бройля
14
p
h
 , (1.2)
где h – постоянная Планка. Эти волны получили название волн
де Бройля. При этом волновой вектор k

этих волн определяется
их импульсом:




p
k , (1.3)
где p

- импульс частицы;
2
h
 - приведенная постоян-
ная Планка.
Физический смысл волны де Бройля заключается в том, что
это не классическая материальная волна, а волна вероятности.
Т.е. это есть некая функция ψ(x,y,z,t), описывающая состояние
частицы, квадрат модуля которой определяет вероятность нахож-
дения частицы в различных точках пространства (x,y,z) и в раз-
личные моменты времени t [3].
Волна де Бройля для микрочастицы - это плоская волна вида
)(
0
)(
0
rpEt
i
rkti
ee


 

 
, (1.4)
где r

- радиус-вектор, 0 - амплитуда плоской волны.
Вместо соотношения (1.2) на практике для вычисления длины
волны де Бройля у электронов часто используют выражение
кинEm
h



2
 , (1.5)
где m * - эффективная масса электрона в твердом теле; Екин- ки-
нетическая энергия электронов.
Длина волны де Бройля - это мера пространственного объема,
согласно которой квантово-механические свойства микрочастиц
(т.е. вероятностный характер их поведения) становятся определя-
ющими.

15
Иными словами, длина волны де Бройля - это условная гра-
ница для оценки перехода из макромира в наномир. В наномире
микрочастицы теряют привычные для макрочастиц свойства:
– микрочастицы движутся не по траекториям (механика
Ньютона для них отменяется);
– невозможно одновременно определить местоположение
и скорость микрочастицы (принцип Гейзенберга);
невозможно достоверно точно сказать, в какой точке простран-
ства находится микрочастица, а можно говорить лишь о вероят-
ности нахождения микрочастицы в данной точке пространства,
которая пропорциональна квадрату модуля волновой функции
микрочастицы и т.д.
Задачи физики наночастиц решаются методами квантовой
теории, которая принципиально отличается от классической ме-
ханики. В основе расчётов лежит уравнение Шредингера. Решив
его, мы находим набор энергетических уровней, который реали-
зуется в заданном потенциале, а также получаем информацию
статистического характера о возможном положении частицы.
Состоянию частицы в момент времени t0 в квантовой меха-
нике ставят в соответствие волновую функцию (r, t0) –
функцию координат, вообще говоря, комплексную. Соответ-
ственно, эволюцию состояния описывает функция координат и
времени (r, t). Волновую функцию (r, t) можно найти, ре-
шая уравнение Шредингера [35]
ψψ
ψ
U
mt
i 

 2
2
2

 , (1.6)
где i – мнимая единица, т – масса частицы., 2
– оператор Лапласа,
имеющийвдекартовых координатахследующийвид
2222222
/// zyx  ,
U – функция координат и времени, которая определяет силу,
действующую на частицу. Уравнение Шредингера, как законы
Ньютона и уравнения Максвелла, вывести нельзя. Оно основано
на анализе экспериментальных данных и в масштабах атомов
описывает волновые свойства частиц. Уравнение (1.6) при задан-
ном потенциале U(r) имеет бесконечное множество решений, соот-
ветствующих множеству возможных начальных состояний электрона.
16
Если задано и начальное состояние электрона (r, 0), его эволюция
(r, t) определяется уравнением (1.6) однозначно.
Еслисиловое поле, вкоторомдвижетсячастица, стационарно, то есть
функция U не зависит явно от времени. Тогда U имеет смысл потенци-
альной энергии частицы.. В этом случае волновая функция (r, t) име-
ет вид
ti
et 
 
 )(),( rr . (1.7)
При этом функция )(r находится из решения уравнения, кото-
рое называется стационарным уравнением Шредингера:
0z)y,ψ(x,)(
2
z)y,ψ(x, 2
2
 UE
m

. (1.8)
ЗдесьЕ имеетсмыслполнойэнергии частицы.
В случае одномерной области движения, ее стационарное
(амплитудное) уравнение Шредингера имеет вид
0)())((
2)(
22
2


xxUE
m
dx
xd

, (1.9)
где ψ(х) – волновая функция в точке х;
Е – полная энергия микрочастицы,
a U(x) - потенциальное энергетическое поле, в котором дви-
жется микрочастица.
Для свободной микрочастицы, на которую не действуют
внешние силы, т.е. U(x)=0, ее полная энергия равна кинетиче-
ской:
2
22
22 m
h
m
p
Eкин  . (1.10)
Для микрочастицы, движущейся в поле действия постоянного
потенциала Uо, функция U(x)=U0.. В этом случае уравнение (1.10)
может быть записано как
0)(
)( 2
2
2


xk
dx
xd
, (1.11)

17
где k - волновое число микрочастицы, рассчитываемое как
2
0 )(2

UEm
k

 . (1.12)
Смысл волновой функции
В общем случае (произвольное движение частицы в произ-
вольных силовых полях) состояние частицы в квантовой меха-
нике задается волновой функцией. Она - основной носитель ин-
формации о корпускулярных и волновых свойствах микроча-
стиц. В частном случае свободного движения частицы волновая
функция - плоская волна де Бройля.
На основании статистической интерпретации вероятность
нахождения частицы в момент времени t с координатами x и
x+dx, y и y+dy, z и z+dz определяется интенсивностью волновой
функции, т.е. квадратом пси-функции. Поскольку в общем слу-
чае y - комплексная функция, а вероятность должна быть всегда
действительной и положительной величиной, то за меру интен-
сивности принимается квадрат модуля волновой функции [35] .
Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в
момент времени t
dVdW
2
 . (1.13).
Плотность вероятности, т. е. вероятность нахождения части-
цы в момент времени t в окрестности данной точки пространства
2

dV
dW
w . (1.14).
Плотность вероятности — величина, наблюдаемая на опыте,
в то время как сама волновая функция, являясь комплексной,
наблюдению недоступна, В этом заключается существенное от-
личие в описании состояний частиц в квантовой и классической
механике (в классической механике величины, описывающие
состояние частиц, наблюдаемы).
Вероятность найти частицу в момент времени t в некотором
объеме V
18
 
v v
dVdWW
2
 .
Т. к. dV
2
 определяется как вероятность, то, проинтегри-
ровав это выражение в бесконечных пределах, получим вероят-
ность того, что частица в момент времени t находится где-то в
пространстве. Это есть вероятность достоверного события, а ее в
теории вероятностей считают равной 1. Отсюда следует условие
нормировки
1
2



dV
(1.15)
Волновая функция - объективная характеристика состояния
наночастиц и должна удовлетворять ряду ограничений. Она
должна быть конечной (вероятность не может быть больше еди-
ницы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной
величиной) и непрерывной (вероятность не может изменяться
скачком).
Принцип суперпозиции
Уравнение Шредингера линейно относительно волновой
функции. Следовательно, любая линейная комбинация
1 1 2 2C C    
его решений 1 и 2 также является его решением.
Таким образом, линейная комбинация волновых функций
обязательно описывает некоторое состояние частицы (или си-
стемы частиц). В частности, при C2 = 0 получаем, что решение
уравнения Шредингера, известно с точностью до постоянного
множителя.
В итоге можно выделить следующие свойства волновой
функции [35].
Свойства волновой функции:

19
1) Однозначна, конечна, непрерывна, дифференцируема.
2) Вероятность W найти частицу в конечном объёме V рав-
на (из (1.14)):
 
V
dVW
2
. (1.16)
3) Вероятность найти частицу хотя бы где-нибудь: неважно,
в какой точке пространства (если частица существует) равна
единице:
1
2



dV . (1.15)
Это – условие нормировки.
4) Волновую функцию можно домножить на любое
комплексное число С, и полученная функция будет описывать то
же самое состояние:  и С описывают одинаковые состоя-
ния частицы.
5) Если частица может находиться в состоянии,
описываемом функциями 1 , или 2 , …, или N , то возмож-
но состояние частицы, описываемое любой линейной комбина-
цией этих функций:
6)



N
i
iiC
1
, (1.17)
где iC – комплексные числа. Это свойство называется принци-
пом суперпозиции. Именно оно легло в основу экспериментов
по квантовой телепортации.
Описание состояния частицы с помощью волновой функции
не позволяет найти ни координаты частицы, ни её траекторию.
Однако утверждается, что волновая функция даёт исчерпы-
вающее описание поведения микрочастицы. Волновая функ-
ция не даёт информации о том, чего нет: у микрочастиц нет тра-
ектории, нет точных значений координат в любой момент вре-
мени.
20
1.3. Собственные функции, собственные значения
Решение уравнения Шрёдингера существует не для любых
значений энергии Е. Значения энергии, при которых решение
существует, называются собственными значениями. Соответ-
ствующие им волновые функции  тоже называются соб-
ственными функциями [35].
Совокупность собственных значений энергии – спектр
(энергетический спектр). Спектр энергии может быть дискрет-
ным (набор конкретных значений) или непрерывным, сплош-
ным. Если спектр дискретный, собственные значения можно
пронумеровать:
1E , 2E , 3E ,… iE ,…
Этим значениям соответствуют собственные функции:
11 E ,
22 E ,
…
iiE ,
… .
Возможен вариант, когда одному и тому же собственному
значению энергии соответствует несколько волновых функций;
например, три:
321 ;; nnnnE  .
Тогда соответствующий уровень энергии называется вырож-
денным, причём кратность вырождения равна числу волновых
функций. В приведённом примере уровень nЕ трижды вырож-
ден.
Замечание: Квантование энергии при решении уравнения
Шрёдингера получается естественно, без привлечения ка-
ких-либо дополнительных соображений [35].

21
Рис.1.3. Слева: энергетические уровни атома (собственные зна-
чения энергии, полученные в результате решения уравнения
Шредингера). Справа: энергетические уровни кристалла, полу-
ченные в результате решения уравнения Шредингера образуют
энергетические зоны.
На рисунке 3.1 слева схематически изображены энергетические
уровни отдельного атома (дискретный спектр). При образовании
кристаллов твердого тела возникает взаимодействие между атома-
ми, в результате которого разрешенные уровни энергии отдельных
атомов расщепляются на N подуровней, образуя энергетические
зоны (рис.3.1). При этом, как и в отдельном атоме, на одном энерге-
тическом уровне не может быть более двух электронов с противо-
положными спинами (сохраняется принцип Паули). Поскольку ко-
личество подуровней (N) велико (в 1 см3
твердого тела находится
около 1022
– 1023
атомов), то энергетическое расстояние между под-
уровнями весьма мало, и электрон способен перемещаться с под-
уровня на подуровень от дна зоны к потолку даже при небольших
внешних энергетических воздействиях, т.е. он ведет себя, как сво-
бодный. Это, однако, справедливо только в том случае, если верх-
ние энергетические уровни в зоне не заняты, т.е. зона заполнена не
полностью.
22
Выводы
В лекции 1 рассмотрены особенности взаимодействия
электромагнитных волн оптического диапазона с наноматериа-
лами. Дано понятие нанотехнологий, наночастиц. Рассматрива-
ются границы между макромиром и наномиром. Приводится
квантовомеханическое описание поведения наночастиц на осно-
ве уравнения Шредингера.
Вопросы и задания для самоконтроля
1.1.Что такое фотоника?
1.2.Какой диапазон электромагнитных волн входит в пред-
мет фотоники?
1.3.Что подразумевается по термином «нанотехнологии»?
1.4.Что такое наночастица?
1.5.Особенности описания движения наночастиц. Что такое
волна де-Бройля ?
1.6.Каким уравнением описывается движение наночастиц?
1.7.Физический смысл волновой функции. Условие норми-
ровки.
1.8.Найдите длину волны де-Бройля для свободного элек-
трона, движущегося со скоростью 2106
м/с.
1.9.Найдите длину волны де-Бройля для электрона, про-
шедшего ускоряющую разность потенциалов 2 МэВ.
1.10. Во сколько раз изменится длина волны свободно-
го электрона, если его скорость увеличится в 3 раза?
1.11. Рассмотреть электрон и протон, движущиеся с
одинаковой скоростью 104
м/с. Во сколько раз отличают-
ся длины волн де-Бройля для электрона и протона?
1.12. Будет ли изменяться длина волны де-Бройля ча-
стицы, если частица попадет в потенциальное поле?
1.13. Запишите уравнение Шредингера для свободного
электрона.
1.14. Запишите уравнение Шредингера для электрона,
находящегося в атоме водорода.

23
Лекция 2
Тема 2. Квантование энергии.
2.2. Наночастица в одномерной потенциальной яме
Пусть частица движется в постоянном потенциальном поле,
причём потенциальная энергия частицы меньше её полной энер-
гии:
EconstU  .
Рассмотрим одномерное движение вдоль оси Oх, тогда волно-
вая функция зависит только от координаты x (  x  ), и ста-
ционарное уравнение Шрёдингера (1.9) имеет вид [35].:
0)())((
2)(
22
2
 xxUE
m
dx
xd



.
Обозначим
  0
2
2
2
 UE
m
k

.
Тогда
02
2
2
 

k
dx
d
,
02
  k .
Это обыкновенное дифференциальное однородное уравнение
второго порядка; его решением, в частности, будет гармониче-
ская функция:
   xkAx  cos . (2.1)
Здесь  UE
m
k  2
2

– волновое число;

2
k .
24
Запишем общее решение, помня, что волновая функция  –
комплексная:
  xkixki
eBeAx 
 . (2.2)
Полная функция:
    tixkixkiti eeBeAextx  





 , .
     xktixkti eBeAtx
 
, . (2.3)
.
Получили суперпозицию двух волн: первое слагаемое пред-
ставляет собой волну, бегущую в положительном направлении
оси OX, второе – в отрицательном.
Действительная часть пси-функции – это суперпозиция двух
косинусов (по формуле Эйлера  sincos iei

):
     xktBxktAtx   coscos,Re . (2.4)
2.3. Частица в одномерной потенциальной яме с бесконечно вы-
сокими стенками
Рассмотрим частицу в одномерной потенциальной яме ши-
риной l с бесконечно высокими стенками (рис. 2.2).
Рис. 2.2.

25
Потенциальная энергия частицы U обращается в бесконеч-
ность при x<0 и x>l и равна нулю при lx 0 (рис.2.2).
Найдём возможные значения энергии частицы в таком потенци-
альном поле и соответствующие волновые функции.
За пределы потенциальной ямы частица выйти не может, так
как там U . Следовательно, волновая функция равна нулю
при x<0 и x>l, а в силу непрерывности на границе интервала
также обращается в нуль:
0
0







lx
x
. (2.5)
Осталось записать и решить уравнение Шрёдингера на интер-
вале lx 0 , где U=0 [35]. :
0
2
22
2
 

E
m
dx
d

.
Вводим обозначение для волнового числа:
2
2

Em
k

 , (2.6)
тогда
02
2
2
 

k
dx
d
. (2.7)
Решение этого уравнения имеет смысл записать в виде синуса;
тогда автоматически удовлетворим требованию непрерывности
волновой функции на левом конце интервала (   00  ):
   xkAx  sin . (2.8)
Должно также выполняться граничное условие:
    0sin  lkAl ;
откуда
nlk   ,
26
l
n
k



. (2.9)
Здесь n – квантовое число; оно может принимать значения
...,3,2,1n
Рис. 2.3. Энергетические уровни частицы в бесконечной
одномерной потенциальной яме, рассчитанные по формуле (2.10)
Для энергии из (2.6)
nl
Em


2
2

,
тогда
2
2
22
2
n
lm
En



. (2.10)

27
Получено квантование энергии: энергия частицы может при-
нимать только дискретные значения (рис.2.3), которые даёт соот-
ношение (2.10). Минимальное значение энергия принимает при
n=1:
2
22
1min
2 lm
EE



. (2.11)
Минимальное значение энергии не может быть равным нулю в
силу принципа неопределённостей.
Из (2.9) и (2.10) получим соответствующие этим уровням
энергии волновые функции:
  







 x
l
n
Axn

 sin . (2.12)
При n=1:   





 x
l
Ax

 sin1 ;
при n=2:   





 x
l
Ax


2
sin2 ;
при n=3:   





 x
l
Ax


3
sin3 ;
и т.д.
Графики волновых функций частицы в одномерной потенци-
альной яме для разных значений n изображены на рисунке 2.4.
Амплитуду А волновой функции находим из условия норми-
ровки (1.15):
1
0
2

l
dx ;
1sin
0
22









l
dxx
l
n
A

;
28
12cos1
2
0
2














 
l
dxx
l
nA 
;
1
2
2
sin
2
0
2


















 









l
l
n
x
l
n
x
A


;
10
2
2
sin
2
2



















 









l
n
l
l
n
l
A


;
1
2
2
l
A
;
l
A
2
 . (2.13)
Расстояние между соседними уровнями энергии из (2.10) [35]:
  2
2
22
2
2
22
1
2
1
2
n
lm
n
lm
EEE nnn



 
 
,
 12
2 2
22


 n
lm
En

. (2.14)
Относительное расстояние между уровнями уменьшается при
увеличении квантового числа n:
0
2
1
2
12
2






nn
n
n
n
E
E
n
n
. (2.15)

29
Рис. 2.4. Слева: графики волновой функции для разных n.
Справа: графики квадрата модуля волновой функции, определя-
ющие плотность вероятности нахождения частицы в точке с ко-
ординатой х.
Для больших квантовых чисел n дискретность уровней энер-
гии уже не играет роли; относительное расстояние между ними
уменьшается. Это – проявление принципа соответствия: при
больших квантовых числах (большая энергия) законы квантовой
механики дают тот же результат, что и классическая механика;
энергию можно считать изменяющейся непрерывно.
Основные свойства энергетического спектра электрона,
находящегося в квантовой яме:
1. Минимальная энергия, которой электрон обладает в по-
тенциальной яме, отлична от нуля.
2. С ростом n расстояние между уровнями увеличивается.
3. Чем меньше размер ямы (т.е. меньше область локализа-
ции электрона), тем больше расстояние между уровнями.
4. При бесконечно большой ширине ямы (l→∞) дискретный
спектр энергии становится сплошным.
30
2.4. Локализация электронов в простейших наноструктурах
(размерное квантование)
В макромасштабе свободные электроны в твердом теле пере-
мещаются по любому из трех пространственных направлений. В
этом случае говорят, что электронный газ трехмерен.
Волна, соответствующая свободному электрону в твердом те-
ле, может беспрепятственно распространяться в любом направ-
лении. При уменьшении размеров полупроводникового прибора
до микромасштабов это свойство также сохраняется вплоть до
определенного предельного размера.
Ситуация кардинально меняется, когда электрон попадает в
твердотельную структуру, размер которой l, по крайней мере в
одном направлении, ограничен и по своей величине сравним с
длиной волны де Бройля. Эффект, возникающий при ограниче-
нии или лимитировании движения электронов физическими раз-
мерами области, в которой он находится, называется эффектом
локализации или размерным квантованием или квантовым
размерным эффектом.
Рис.2.5. Квантово-размерные структуры, в которых наблюдается
эффект размерного квантования
Эффекты такого рода наблюдаются в таких квантовых струк-
турах, как тонкие полупроводниковые или металлические плен-
ки, узкие приповерхностные области пространственного заряда
(узкие каналы).

31
В квантовой яме электроны проводимости локализованы по
одному измерению и не локализованы по двум остальным в
плоскости, перпендикулярной этому измерению.
2.5. Потенциальный барьер. Туннельный эффект
Туннельный эффект (туннелирование) - квантовый переход
системы через область движения, запрещённую классической ме-
ханикой [20].
Туннельный эффект играет важную роль в физике твёрдого
тела: электроны движутся в периодическом потенциальном поле
кристаллической решётки, проникая за счёт туннельного эффекта
через барьеры, разделяющие потенциальные ямы.
Пусть частица налетает на прямоугольный потенциальный ба-
рьер шириной l и высотой U0, большей, чем полная энергия ча-
стицы E (рис.3.1) [35]:
 
  0
0
;
0если,
;0если,0
UE
lxUxU
lxxxU






. (2.16)
Рис. 2.6. Отражение частицы от потенциального барьера.
Классическая частица отразится от барьера. Как будет вести
себя квантовая? Решая уравнение Шредингера, можно показать,
что с ненулевой вероятностью частица проникнет сквозь барьер
32
(решение уравнения Шредингера провести на практических заня-
тиях). Коэффициент прозрачности (или коэффициент прохож-
дения) барьера - отношение квадратов амплитуд волновых функ-
ций после и до барьера, то есть вероятность прохождения части-
цы через барьер:
2
I
III
A
A
D  . (2.17)
Для рассмотренного барьера прямоугольной формы, в слу-
чае, если величиной le  можно пренебречь, коэффициент про-
хождения приближенно вычисляется по формуле [35]:
)(2
2
2 0 EUm
l
l eeD



   . (2.18)
Для барьера произвольной формы:
  








  dxExUmD
b
a
2
2
exp

. (2.19)
Здесь интегрировать нужно по области, где  xUE  .
Из выражения (3.14) следует, что вероятность прохождения
частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины
барьера l и от его превышения над Е, то есть от величины
EU 0 .
Для микрочастиц есть ещё один эффект: надбарьерное отра-
жение. Если классическая частица пролетит свободно над барье-
ром высотой, меньшей, чем её полная энергия (рис.2.7), то кван-
товая частица с ненулевой вероятностью отражается от такого
низкого барьера.
С классической точки зрения туннельный эффект невозможен.
Туннельный эффект – явление специфически квантовое, не име-
ющее аналога в классической физике.

33
Рис. 2.7. Надбарьерное отражение
Для удобства практических расчетов запишем коэффици-
ент прохождения через потенциальный барьер в следующей фор-
ме [3]:
)(4)(sin
)(4
00
22
0
0
UEEUEm
l
U
UEE
D










. (2.20)
Это точная формула для расчета коэффициента прохождения
(сравните с приближенной формулой (2.18)).
2.6. Применение туннельного эффекта в современных прибо-
рах
Функционирование быстродействующих электронных прибо-
ров основано на движении электронов поперек квантово-
размерных слоев. В этом случае толщина слоев должна быть до-
статочно малой, чтобы проявились квантово-механические (вол-
новые) свойства электрона. Быстродействие приборов основано
на закономерностях прохождения электронов туннелированием
34
сквозь тонкие потенциальные барьеры и на взаимодействии этих
электронов с энергетическими уровнями размерного квантования
в потенциальных ямах, разделяющих барьеры..
Дальнейший прогресс электроники связан с миниатюризаци-
ей классических микроэлектронных приборов, т.е. созданием
приборов, в которых контролируется перемещение определенно-
го количества электронов. Создание приборов на основе переме-
щения одного электрона позволяет обеспечить прогресс цифро-
вой одноэлектроники, в которой бит информации будет пред-
ставлен одним электроном. В таких приборах перемещение элек-
трона происходит посредством туннелирования. Учитывая, что
время туннелирования электрона достаточно мало, теоретический
предел быстродействия одноэлектронных приборов очень высок,
и работа, необходимая для перемещения одного электрона, также
мала.
Рис. 3.4. Сканирующий туннельный микроскоп [26]
Туннельный эффект уже на практике применяется в техно-
логии сканирующего туннельного микроскопа [34]. Действие

35
этого инструмента основано на том, что очень тонкая игла-зонд с
острием толщиной в один атом перемещается над поверхностью
объекта на расстоянии порядка одного нанометра. При этом, со-
гласно законам квантовой механики, электроны преодолевают
вакуумный барьер между объектом и иглой – туннелируют, и
между зондом и образцом начинает течь ток. Величина этого тока
очень сильно зависит от расстояния между концом иглы и по-
верхностью образца – при изменении зазора на десятые доли
нанометра ток может возрасти или уменьшиться на порядок. Так
что, перемещая зонд вдоль поверхности с помощью пьезоэлемен-
тов и отслеживая изменение тока, можно исследовать ее рельеф
практически «на ощупь». Это позволяет подробнейшим образом
исследовать атомные структуры поверхностей.
Выводы
В лекции рассматривается картина дискретных энергетиче-
ских уровней электрона в отдельном атоме, получаемая в резуль-
тате решения уравнения Шредингера, а также возникновение за-
прещенных и разрешенных зон в кристаллах.
Рассмотрена задача нахождения энергетических уровней для
частицы, находящейся в одномерной потенциальной яме. Реше-
ние этой задачи необходимо в дальнейшем для рассмотрения по-
ведения электронов в классических гетероструктурах, гетеро-
структурах с квантовыми ямами, квантовых нитях и квантовых
точках.
Также в лекции приведены результаты расчета коэффициента
прохождения квантовой наночастицы через потенциальный барь-
ер и рассмотрено применение туннельного эффекта в приборах
современной электроники.
2.1.Что такое собственные функции?
2.2.В чем заключается квантование энергии? Поясните воз-
никновение дискретного спектра энергии электрона в
атоме и возникновение энергетических зон в кристалле.
2.3.Рассмотреть одномерную потенциальную яму шириной l.
Найти вероятность того, что электрон в состоянии с n=2
36
a. находится в точке с координатой х=l/2.
b. находится в точке с координатой х=l/4.
2.4.Найти расстояние между соседними энергетическими
уровнями
a) для свободного электрона в металле. Считать, что
электрон находится в потенциальной яме с беско-
нечно высокими стенками. Размеры потенциаль-
ной ямы оценить самостоятельно, считая их рав-
ными размеру куска металла,
b) для электрона в атоме кремния. Сравнить резуль-
таты, полученные в а) и b), сделать выводы.
2.5.Перечислите основные свойства энергетического спектра
электрона в квантовой яме.
2.6.Что такое размерное квантование?
2.7.Что такое потенциальный барьер? Приведите пример.
2.8.От чего зависит коэффициент прохождения через потен-
циальный барьер?
2.9.Где применяется туннельный эффект?
2.10. Рассмотреть прохождение электрона через потен-
циальный барьер прямоугольной формы. Определите ве-
роятность, того что электрон туннелирует на расстояние
0.1 нм, если разница энергий U0 – E = 1 эВ . Рассчитайте
разность энергий (в эВ и кДж/моль), при которой элек-
трон сможет туннелировать на расстояние 1 нм с вероят-
ностью 1%.
2.11. На чем основано действие туннельного сканиру-
ющего микроскопа?
2.12. Объясните, почему электронный микроскоп обла-
дает большей разрешающей способностью, чем обычный.
Разрешающая способность обычного микроскопа ограни-
чена длиной волны используемого для освещения света.

37
Лекция 3
Тема 3. Квантово – размерные эффекты. Квантовый
конфайнмент
3.1. Плотность состояний
Все макропараметры любой электронной системы, прибо-
ра, устройства (ток, сопротивление, проводимость) обусловлены
микропараметрами, характеризующими электронный перенос в
них (подвижностью, дрейфовой скоростью, временем и длиной
свободного пробега и рядом других). Эти микропараметры опре-
деляют или точнее сами задаются кинетикой электронов. Кине-
тика, или пространственное движение электронов, — это, прежде
всего, движение под действием электрических и магнитных по-
лей в веществе, непрерывно прерываемое различными актами
рассеяния. При рассеянии направление движения электронов ме-
няется. Чаще всего это изменения направления движения хаотич-
ны, однако некоторые механизмы рассеяния, например, на ионах
примеси и электронов друг на друге, подчиняются определенным
закономерностям.
В целом рассеяние электрона определяется углом рассея-
ния . Пусть k – волновое число электрона до рассеяния, k’ – по-
сле рассеяния. Рассеяние может быть упругим, тогда k k  , и
неупругим, тогда k k  . Закон, определяющий соответствие
между k и k , устанавливается характером каждого механизма
рассеяния [19].
3D-состояние — это когда электрон свободен в своем
движении по всем трем направлениям (при рассеянии все компо-
ненты вектора k

меняются), 2D-состояние — это когда электрон
свободен в своем движении только по двум направлениям (меня-
ются только два компонента вектора k

— обычно в качестве ее
выбирают xk и yk ), 1D-состояние — это когда электрон свобо-
ден в своем движении только по одному направлению (меняется
только одна компонента вектора k

— обычно в качестве ее вы-
бирают xk ).
38
Плотность состояний D есть параметр, определяющий
количество энергетических состояний, которые могут занимать
электроны, приходящихся на единичный интервал энергии.
Плотность состояний имеет важный физический смысл. Она
определяет концентрацию электронов в конкретной области лю-
бого материала или прибора, а также интенсивность рассеяния
электронов в этой области (число рассеяний в единицу времени)
[19].
Каждый тип волн обладает конечным числом мод внури
ограниченного объема и конечным числом частот, волновых чи-
сел, длин волн. Соответственно для квантовой частицы внутри
данного ограниченного объема может существовать конечное
число состояний. которые характеризуются определенными зна-
чениями энергии, импульса, длины волны, волнового числа.
Используем метод Рэлея для расчета плотности состояний
[3]. Возьмем объемный прямоугольной формы образец, с разме-
рами xL , yL и zL , превышающими де-Бройлевскую длину вол-
ны электрона (см. рис. 4.1).
Рис. 3.1. Образец прямоугольной формы [19]
Для простоты можно рассмотреть образец кубической фор-
мы (Lx=Ly=Lz=L). Подсчитаем, сколько мод лежит в интервале (k,
k+dk). (Мы рассматриваем стоячие волны, образующиеся внутри
куба. Для каждой стоячей волны выполняется граничное условие:
Lx
Lz
Ly

39
волна обращается в ноль на границе куба). Длина стоячей волны
принимает следующие значения:
....,3,2,1,
2
...,
4
2
;
3
2
;
2
2
;2


n
n
L
LLL
L


(3.1)
При этом волновое число
...
3
,
2
,
2
LLL
k



 (3.2)
....3,2,1,  n
L
nk

Волновое число вдоль каждой оси принимает значения:
L
nk
L
nk
L
nk zzyyxx

 ,, . (3.3)
Мы рассматриваем дискретные моды в k-пространстве. Каждая
пара соседних мод занимает пространство
L
kkk zyx

 .
Следовательно, каждая мода в k-пространстве занимает объем
3







L
Vk

. (3.4)
Подсчитаем число мод для всех направлений внутри интервала
[k, k+dk], то есть число мод, которые содержатся в сферическом
слое между сферами радиусов k и k+dk. Объем такой сферы
dkkdVk
22 . (3.5)
Возьмем только положительные значения проекций ks. Тогда при
расчете следует добавить коэффициент
8
1
. Учтем, что в каждом
состоянии может находиться два электрона с разнымисспинами,
40
тогда коэффициент станет равным
4
1
8
1
2  . В результате число
мод внутри рассматриваемой сферы
2
23
3
2
2
2
4
1

 dkkL
L
dkk
V
dV
N
k
k
k 






 . (3.6)
Найдем число мод, приходящихся на единицу объема L3
dk
k
L
Nk
2
2
3 2
 . (3.7)
Введем плотность состояний D(k)следующим образом:
dk
k
dkkD
2
2
2
)(

 . (3.8)
Тогда искомая плотность состояний для трехмерного случая име-
ет вид [3]:
2
2
3
2
)(

k
kD  . (3.9)
Плотность состояний для двумерного случая:
2
)(2
k
kD  . (3.10)
Плотность состояний для одномерного случая:

1
)(1 kD . (3.11)
Перейдем к плотности состояний, записанной в  -
пространстве D(). Рассмотрим трехмерный случай

41
2
2
3
2
)(

k
kD  .
Должно выполняться условие
dkkDdD )()(  .
Следовательно


d
dk
kDD )()(  .
Учитывая, что для свободного пространства
c
k

 ,
cd
dk 1


, по-
лучаем
32
2
3
2
)(
c
D


  .
Чтобы учесть наличие двух поляризаций, умножим на коэффици-
ент 2. Окончательно получаем плотность состояний
32
2
3 )(
c
D


  . (3.12)
Рис. 3.2. Трехмерная плотность состояний, вычисленная по фор-
муле (3.13)
 3Dn E
E
42
Плотность мод электромагнитных волн часто называют фо-
тонной плотностью состояний. Для квантовых частиц фотонная
плотность состояний
3
2
1
2
3
3
2
8
)(
h
Em
EDe 
 . (3.13)
3
2
3
4
)(
h
p
pD

 . (3.14)
Графическое изображения функции (3.13) приведено на
рис. 3.2.
Рис. 3.3. Плотность состояний для объемного материала (D3) и
для квантовой ямы (D2)

43
В двумерном электронном газе свободным для движения яв-
ляется лишь два направления — например, по длинам xL и yL .
В этом случае для энергии будем имеет
2 22 2
2 2
yx
n
kk
E E
m m
  

. (3.15)
Наличие квантованных уровней энергии отражается на графике
плотности состояний для квантово-размерных структур (см. рис.
4.3 и.4.4). Более подробно типы квантово-размерных структур
описаны в разделе 4.2.
Рис. 3.4. Плотность состояний для квантовой нити (D1) и для
квантовой точки (D0)
44
3.2.Типы квантоворазмерных структур
Важнейшим свойством наноструктур является зависимость
их свойств от характерного размера неоднородностей. Наибо-
лее широко известное проявление этого свойства – так называе-
мый «эффект размерного квантования». Он обусловлен тем, что
пространственное ограничение движения элементарных возбуж-
дений в такой системе в области неоднородности приводит к
сильной перестройке их энергетического спектра. Как и в лю-
бом объекте конечного размера (рис. 4.5) в «объемных» однород-
ных кристаллических материалах их собственные возбуждения -
электроны, дырки, экситоны, колебания решетки и другие волны
и частицы, вообще говоря, обладают дискретным энергетическим
спектром. [39]
Рис. 3.5. Схематическое изображение энергетического спектра
электронной подсистемы объемного материала [39]
Однако характерный масштаб этой дискретности, т.е. энер-
гетическое расстояние между соседними состояниями ΔE, мал
по сравнению со спектральной шириной этих состояний, опре-
деляемой обратным временем их жизни τ. В этом смысле можно
говорить о непрерывном энергетическом спектре собственных
возбуждений объемного материала. Можно также определить
объемный материал как такой, размер которого Lz больше, чем
длина свободного пробега l его собственных возбуждений. Вве-
дение здесь длины свободного пробега в качестве характерного
масштаба вполне адекватно, поскольку собственные возбужде-
ния могут описываться бегущими волнами exp(ikz). Если размер

45
материала уменьшается и становится меньше длины свободного
пробега (рис. 3.6), или более точно, энергетический зазор
между соседними состояниями превышает обратное время их
жизни, то энергетический спектр элементарных возбуждений
должен считаться дискретным. Это и есть эффект размерного
квантования, а соответствующие структуры называются кван-
товоразмерными [39]. В этом случае крайне существенным явля-
ется отражение элементарного возбуждения, представляющего
собой стоячую волну, от границ материала.
Рис. 3.6. Схематическое изображение энергетического спектра
электронной подсистемы наноструктуры [39]
На первый взгляд может показаться, что различие между объ-
емными и квантоворазмерными материалами чисто количествен-
ное. Однако такое заключение будет абсолютно неверным. Дей-
ствительно, физические свойства объемных материалов прак-
тически не зависят от их размера и формы. В частности дис-
кретность энергетического спектра их собственных возбуждений
никак экспериментально не проявляется. Совершенно иначе об-
стоит дело с квантоворазмерными структурами, в которых не
только энергетические спектры, но взаимодействие элементар-
ных возбуждений друг с другом и с внешними полями зависит от
размера и формы структуры. Среди низкоразмерных структур
можно выделить три элементарные структуры. Это квантовые
ямы, квантовые нити и квантовые точки (рис. 3.6). Эти элемен-
тарные структуры представляют собой кристаллический матери-
ал, пространственно ограниченный в одном, двух и трех измере-
ниях. Для изготовления наноструктур используют всевозможные
46
полупроводниковые соединения, а также полупроводники чет-
вертой группы Si и Ge.
Квантовая яма — это одномерная потенциальная яма, ко-
торая ограничивает подвижность частиц в одном измерении.
Квантовой ямой может служить тонкий слой материала. Толщи-
на квантовой ямы должна быть настолько мала, чтобы квантовые
эффекты были существенными. Проявление квантовых эффектов
становится существенным, если толщина квантовой ямы сравни-
ма с длиной волны де-Бройля электронов (дырок).
Квантовая нить - структура в которой движение носите-
лей ограничено по двум направлениям. Квантовая нить может
быть выполнена из металла или полупроводника в виде нити или
длинного стержня, поперечные размеры которого настолько ма-
лы, чтобы квантовые эффекты были существенными (поперечные
размеры должны быть сравнимы с длиной волны де-Бройля для
электронов (дырок)).
Квантовая яма — это одномерная потенциальная яма, ко-
торая ограничивает подвижность частиц в одном измерении.
Квантовой ямой может служить тонкий слой материала. Толщи-
на квантовой ямы должна быть настолько мала, чтобы квантовые
эффекты были существенными. Проявление квантовых эффектов
становится существенным, если толщина квантовой ямы сравни-
ма с длиной волны де-Бройля электронов (дырок).
Рис. 3.7. Квантовые ямы (a), квантовые нити (b), квантовые точки
(c).

47
Пространственное ограничение или конфайнмент при-
водит к тому, что энергетический спектр объемного материала
трансформируется. Зонные спектры расщепляются на подзоны
размерного квантования для квантовых ям и нитей и на дис-
кретные уровни для квантовых точек (Рис. 3.8).
В результате, в плотности состояний низкоразмерных си-
стем возникают характерные особенности (рис.3.9, а также рис.
3.3 и 3.4).
Рис.3.8. Трансформация энергетического спектра элементарных
наноструктур.
Из элементарных наноструктур можно построить сложные
наноструктуры, например, многослойные квантовые ямы и
сверхрешетки), одномерные и двумерные массивы квантовых
нитей или двумерные и трехмерные массивы квантовых точек
(рис.3.11).
48
Рис. 3.9. Плотность состояний элементарных наноструктур.
На рисунке 3.10 представлены изображения реальных
элементарных наноструктур, полученные с помощью электрон-
ного микроскопа.
Рис. 3.10. Изображения (слева направо) квантовой нити, кванто-
вой точки CdS в SiO2, квантовой точки InAs в GaAs, полученные
с помощью просвечивающего электронного микроскопа [39]
Наличие размерных зависимостей параметров наноструктур
неоднократно подтверждалось экспериментально и, прежде
всего, оптическими методами. Еще в 1962 году Сандомирский
предсказал, что край фундаментального поглощения света в тон-
ких пленках кристаллов должен смещаться в синюю область
спектра при уменьшении их толщины Lz в соответствии с фор-
мулой [3]

49
2
22
2 z
g
mL
E

 . (3.16)
Рис. 3.11. Изображения (слева направо) двумерного и трехмер-
ного массива квантовых точек, полученные с помощью про-
свечивающего электронного микроскопа [39]
Вопрос о первом экспериментальном наблюдении эф-
фекта размерного квантования остается открытым. Первые
наблюдения были сделаны довольно давно, но целенаправленное
изучение этого эффекта начинается именно в 60 годы 20 века. В
настоящее время в связи с бурным развитием нанотехнологий
стало возможным изготовление оптоэлектронных приборов, ис-
пользующих квантоворазмерные эффекты.
50
Выводы
В лекции рассмотрены различные квантово-размерные
структуры: квантовые ямы, квантовые нити, квантовые точки.
Проведен вывод плотности состояний для трехмерного, двумер-
ного и одномерного случая, соответствующих квантовым ямам,
квантовым нитям, квантовым точкам. Рассмотрено образование
дополнительных уровней и подзон на зонной диаграмме вслед-
ствие проявления эффектов размерного квантования.
3.1.Что такое квантовая яма? Квантовая нить? Квантовая точ-
ка?
3.2.Вывести формулу для расчета плотности состояний в од-
номерном и двухмерном случае для частицы массой m.
3.3.Зная выражение для расчета плотности мод для трехмер-
ного случая D3(k), получить для частицы массой m зави-
симость D3(Е) от энергии Е и D3(р) от импульса р.
3.4.Начертить графики зависимости плотности состояний для
электромагнитных волн и для электронов в трехмерном
случае.
3.5.Получить оценку предельной толщины пленки, при кото-
рой возможно наблюдение квантово-размерных явлений,
если подвижность электронов в пленке 104
см2
/(Вс).
3.6.Сколько квантовых точек CdSe может уместиться на
острие иглы атомно-силового микроскопа?
3.7.Одним из достижений химии и физики полупроводнико-
вых материалов последних лет стало получение коллоид-
ных квантовых точек – полупроводниковых нанокристал-
лов, покрытых органическим стабилизатором. Наиболее
интересным свойством таких нанокристаллов является
зависимость длины волны люминесценции от размера
нанокристалла. Это делает коллоидные квантовые точки
потенциальным материалом для создания светоизлучаю-
щих устройств – светодиодов, светоизлучающих экранов.
Однако возможно создать устройства, выполняющие про-
тивоположную функцию – фотовольтаические пребразо-

физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики конспект лекций

физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики конспект лекций

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (9)

Similar to физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики конспект лекций

Similar to физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики конспект лекций (20)

More from Иван Иванов

More from Иван Иванов (20)

физические основы нанотехнологий, фотоники и оптоинформатики конспект лекций