単層スズにおける電荷・スピン輸送現象の第一原理計算

1. 東北大学大学院理学研究科
物理学専攻 金研理論物理研究室
First Principles Calculation of
Charge and Spin Transport in Tin-Monolayer
単層スズにおける電荷・スピン輸送現象の第一原理計算
Institute for
Materials Research
中村 悠馬 (Yuma Nakamura)
[1] YN et al., Adv. Electron. Mater. 3 1700143 (2017)
[2] J. Xi, YN et al., Acta Physico-Chimica Sinica (Accepted)

2. 0.00 Å
Zigzag
Armchair
グラフェン
スタネンと呼ばれるスズ単層材料
グラフェンとポストグラフェン材料
下部の元素の単層材料ほど
が強まる
バックリング構造
スピン軌道相互作用
0.85 Å
Zigzag
Armchair
六角形格子構造
スタネン
平面構造 バックリング構造
(Å) 0.0 0.45 0.69 0.85
バックリング構造によってスタネンではグラフェンより低い対称性を示す
グラフェン (C)、シリセン (Si)、ゲルマネン (Ge)、スタネン (Sn)
上面図
側面図
上面図
側面図

3. スタネンと呼ばれるスズ単層材料
グラフェンとポストグラフェン材料
グラフェン (C)、シリセン (Si)、ゲルマネン (Ge)、スタネン (Sn)
下部の元素の単層材料ほど
が強まる
バックリング構造
スピン軌道相互作用
0.1
0
0.1
76
meV
K
with SOC
without
SOC
3
2
1
0
1
2
3
K M
Energy
(eV)
強力なスピン軌道相互作用によって
バンドギャップが出現する
強いスピン軌道相互作用による新規な電子物性が期待できる
スタネンのバンド構造
(meV)
0.00 1.5 24 76
[1] YN et al.

4. スタネンと呼ばれるスズ単層材料
グラフェンとポストグラフェン材料
下部の元素の単層材料ほど
が強まる
バックリング構造
スピン軌道相互作用
理論的な提案 実現 デバイス化
デバイス性能の評価には電荷・スピン輸送特性が重要
[2013] Xu et al. [2015] Zhu et al.
スタネン
[1994] Takeda et al. [2014] Li et al.
ゲルマネン
グラフェン
[2004] Novoselov et al.
[2012] Vogt et al. [2015] Tao et al.
[1994] Takeda et al.
シリセン
グラフェン (C)、シリセン (Si)、ゲルマネン (Ge)、スタネン (Sn)
[1947] Wallace

5. 電荷・スピン輸送現象
電荷・スピン輸送現象は
不純物散乱
電子フォノン散乱 によって決定づけられる
電子フォノン散乱
不純物散乱
電子
格子振動をする原子
不純物
低 温度 高
寄与大
寄与小
低 不純物濃度 高
寄与大
寄与小
常温ではフォノンの寄与が重要
本研究ではフォノン由来の輸送現象を探索
電子
不純物散乱
電子フォノン散乱

6. 縦波光学(LO)モード
横波光学(TO)モード
面直光学(ZO)モード
0
5
10
15
20
25
K M
Frequency
(meV)
電子フォノン相互作用
ZA
TA
LA
ZO
TO
LO
散乱への主要な寄与は音響モード
横波音響(TA)モード
面直音響(ZA)モード
縦波音響(LA)モード
スタネンでは6つのフォノン振動モードが存在
音響
モード
光学
モード
電子フォノン散乱を計算するには電子フォノン相互作用が必要
[1] YN et al.

7. 102
103
104
105
106
mobility (cm
2
/Vs)
現状の問題点
ポストグラフェン材料におけるフォノン由来の電荷輸送現象
先行研究
理論値が論文によって大きく異なる
[1] E.H. Hwang et al. (2008) [2] J. Xi et al. (2012, 2014) [3] T. Gunst et al. (2016)
[4] G. Gaddemane et al. (2016) [5] Z. G. Shao et al. (2013) [6] Z. Zhuo et al. (2018)
[8] X. Li et al. (2013) [7] X. Ye et al. (2014)
正しく評価するには電子フォノン散乱過程の詳細な計算が必要
300Kでの電荷移動度 µ (理論値) [Armchiar方向]
?
グラフェン
シリセン
ゲルマネン
スタネン

8. 目的
本研究の目的
(1)各フォノンモードの電子フォノン散乱過程
(2)電荷・スピン輸送現象
横波音響(TA)モード 縦波音響(LA)モード
スタネンの電子フォノン相互作用から以下を解明
面直音響(ZA)モード
電子フォノン散乱

9. 計算手法: 電荷輸送現象
計算手順
フォノン分散
電子フォノン相互作用
[第一原理計算]
バンド構造
[ボルツマン輸送理論]
運動量緩和時間
電荷移動度
運動量緩和時間の表式
+ [1 + nq fjk+q] ("jk+q "ik + ~!q )}
1
⌧p
ik
=
2⇡
~
X
j,q,
|gji(k, q)|2
{[fjk+q + nq ] ("jk+q "ik ~!q )
電子フォノン散乱
運動量緩和時間
運動量緩和時間 によって
電子フォノン散乱が特徴付けられる
⌧p
＊電荷輸送計算ではスピン軌道相互作用は無視

10. 散乱率
電子フォノン散乱の大小関係
ZA >TA> LA (スタネン)
LA > TA > ZA (グラフェン)
グラフェンと異なりスタネンではZA・TAフォノン散乱が主要
各フォノンモード毎の散乱率1/𝜏!
(運動量緩和時間の逆数)の評価
1006
1008
10
10
10
12
100 300 600
Scattering
Rate
(s
-1
)
Temperature (K)
1006
1008
10
10
10
12
100 300 600
Scattering
Rate
(s
-1
)
Temperature (K)
スタネン
Total
ZA
TA
LA
グラフェン
LA
TA
ZA
Total

11. バレー内/バレー間散乱
バレー間散乱
バレー内散乱
スタネンにおいてはZA/TAフォノンのバレー間散乱が大きく寄与する事を解明
(1/s)
ZA 1.2×10
-4
2.3×10
7
1.3×10
3
1.8×10
12
TA 6.4×10
9
1.1×10
7
9.2×10
7
1.2×10
12
LA 2.1×10
11
5.9×10
7
1.7×10
10
4.7×10
9
（波数の小さいフォノンの寄与） （波数の大きいフォノンの寄与）
300Kにおける散乱率1/𝜏!のバレー内・バレー間散乱による分類
K K’
K K’

12. 変形ポテンシャル近似
変形ポテンシャル近似
縦波音響(LA)モード
巨視的な描像
バレー内散乱領域(| |〜0)の
電子フォノン相互作用を格子変形ΔVとして扱う
gij(k, q) / V
格子変形ΔVは変位ベクトル の発散として求まる
V = div uq / q · uq
uq
波数ベクトル
（伝搬方向）
q
変位ベクトル uq
LAバレー内散乱以外の寄与が大きいと近似が不十分
多くの電子フォノン相互作用計算では変形ポテンシャル近似を使用している
変位ベクトル が波数ベクトル に平行な
縦波(LA）モードのみ格子変形に寄与
q
uq
q
J. Bardeen et al., PRB 80, 72 (1950)
LAバレー内散乱のみを考慮する近似

13. 10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
mobility (cm2
/Vs)
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
mobility (cm2
/Vs)
バレー内散乱
電荷移動度と 変形ポテンシャル近似
スタネンではZA/TAのバレー間散乱によって変形ポテンシャル近似が破綻
バレー間散乱
K K’
K K’
(1/s)
ZA 1.2×10-4
2.3×107
1.3×103
1.8×1012
TA 6.4×10
9
1.1×10
7
9.2×10
7
1.2×10
12
LA 2.1×10
11
5.9×10
7
1.7×10
10
4.7×10
9
300Kでの電荷移動度 µ (理論値) [Armchiar方向]
全てのモードを含めた計算
グラフェン
シリセン
ゲルマネン
スタネン 2500 24×105
変形ポテンシャル近似
[1] E.H. Hwang et al. (2008)
[2] T. Gunst et al. (2016)
[3] Z. Shao et al. (2013)
[4] X. Ye et al. (2014)
過
大
評
価
[5] J. Xi et al. (2012, 2014)
[6] G. Gaddemane et al. (2016)
[7] Z. Zhuo et al. (2018)
[8] X. Li et al. (2013)

14. 計算手法: スピン輸送現象
スピン混合係数の定義
スピン緩和時間
電子フォノン散乱
SOCが摂動として扱える場合、
スピン反転機構に基づいてスピン
緩和を記述できる。
SOCを含めない
波動関数
SOCを含めた
波動関数
計算手順
電子フォノン相互作用
[第一原理計算]
バンド構造
スピン混合係数
[ボルツマン輸送理論]
スピン緩和時間
運動量緩和時間
電荷移動度 スピン拡散長
フォノン分散
"
ik
"
k(r) = [ak(r)| "i + bk(r)| #i]eir·k
摂動項 [ |𝑏! ≪ |𝑎! ]
主要項 [ |𝑎𝐤| ~1]
| "i

15. 結果 : スピン緩和時間
最低非占有バンド
スピン混合係数 |bk
2|の計算
-1 0 1
kx [2 /a]
-1
0
1
k
y
[2
/a]
0.010
0.100
1.000
-1 0 1
kx [2 /a]
-1
0
1
k
y
[2
/a]
0.010
0.100
1.000
[s]
（Ref）半導体中のスピン緩和時間
[s]
⌧p
= 1.04 ⇥ 10 13
[s] (300K) W. Han et al., Nat. Nano., 9 794 (2014)
スピン緩和時間の表式
⌧s
= 7.10 ⇥ 10 12
グラフェン：
GaAs [s] (70K) X. Lou et al., Nat. Phys., 3 197 (2007)
1
⌧s
= 4h|b2
k|i
1
⌧p
R. J. Elliott Phys. Rev. 96 26 (1964)
h|b2
k|i = 3.66 ⇥ 10 3
⌧s
= 0.5–2 ⇥ 10 9
⌧s
= 4 ⇥ 10 9

16. 結果 : スピン拡散長
スピン拡散長
スタネンでは強いSOCと長いスピン拡散長が同時に実現
=
p
D⌧s
D : 拡散係数
[s]
[nm] (300K)
Pt: 1.5 [nm]
Ta: 2.7 [nm]
Py: 5 [nm]
重金属
Cu: 400 [nm]
シリセン: 700 [nm]
グラフェン: 3-12 × 103 [nm]
軽金属/半導体
スタネン : 425 [nm]
H. Jiao and G. Bauer, PRL., 110 217602 (2013) W. Han et al., Nat. Nano., 9 794 (2014) B. Bishnoi et al., RSC Adv., 3, 26153 (2013)
理想的なスピンデバイス
スピン拡散長 長
強
SOC
短
弱
D = v2
F ⌧p
/2
⌧p
= 1.04 ⇥ 10 13
vF = 8.3 ⇥ 105 [m/s]
= 425

17. 結論
電子フォノン散乱のモード別の寄与を解明
変形ポテンシャル近似の破綻を解釈
電荷・スピン輸送現象
強いスピン軌道相互作用系での高い電荷移動度と長いスピン拡散長
での実現は有用なスピントロニクスデバイスとして期待できる
•電荷移動度 [cm2 V-1 s-1]
•スピン緩和時間 [s]
•スピン拡散長 [nm]
⌧s
= 7.10 ⇥ 10 12
電子フォノン相互作用の計算によって以下のことを明らかにした
ZA/TAのバレー間散乱に由来すると解明
= 425
µ = 2500

18. 今後の課題
•本研究では外界との相互作用を含まないスタネンの計算を行った
. 基板上でのスタネンのシミュレーション
•スピン緩和時間はスピン反転機構のみを考慮して計算を行った
スピンの歳差運動も考慮したスピン緩和時間の計算への拡張

19. TA/ZAバレー間散乱
バレー間散乱
バレー内散乱
スタネン
グラフェン
電子フォノン相互作用行列
(1/s)
ZA 1.3×10
3
1.8×10
12
1.2×10
-4
2.3×10
7
TA 9.2×10
7
1.2×10
12
6.4×10
9
1.1×10
7
LA 1.7×10
10
4.7×10
9
2.1×10
11
5.9×10
7
変形ポテンシャル近似の応範囲
K K’ K K’

20. Electron-Phonon Coupling (Including Optical Phonon)
gij(k,q) =
s
~
2M!q
h jk+q| q VKS| iki
Representation of Electron-phonon coupling as a function of q
Electron-phonon coupling matrix as a function of q
at a fixed k-point K = (1/3,1/3,0) in conduction band

21. 3
2
1
0
1
2
3
K M
Energy
(eV)
スピン混合係数
"
nk(r) = [ank(r)| "i + bnk(r)| #i]eik·r
スピン混合係数 bnk
-1 0 1
kx [2 /a]
-1
0
1
k
y
[2
/a]
0.010
0.100
1.000
-1 0 1
kx [2 /a]
-1
0
1
k
y
[2
/a]
0.010
0.100
1.000
-1 0 1
kx [2 /a]
-1
0
1
k
y
[2
/a]
0
5
10
-1 0 1
kx [2 /a]
-1
0
1
k
y
[2
/a]
0
5
10
1
Evbm Evbm 1
1
Ecbm+1 Ecbm
-1 0 1
kx [2 /a]
-1
0
1
k
y
[2
/a]
0.010
0.100
1.000
最高占有バンド 最低非占有バンド
最高占有バンド 最低非占有バンド

22. スピン混合係数の計算
摂動としてのSOC
1
n =
X
m6=n
h 0
m|H0
| 0
ni
(E0
n E0
m)
0
m
1(")
n = 0
n| "i +
X
m6=n
1
(E0
n E0
m)
⇥
h 0
m|h" |HSO| "i| 0
ni 0
n| "i
+ h 0
m|h# |HSO| "i| 0
ni 0
n| #i
⇤
HSO =
1
4m2c2
1
r
@V
@r
L · S
1(")
n = 0
n| "i +
1
2
X
m6=n
1
(E0
n E0
m)
✓
h 0
m|
~
4m2c2
1
r
@V
@r
Lz| 0
ni
◆
0
n| "i
+
✓
h 0
m|
~
4m2c2
1
r
@V
@r
(Lx + iLy)| 0
ni
◆
0
n| #i
原子ポテンシャルによるSOC
摂動による波動関数表示
SOCによるスピン混合
スピン混合係数 bnk
R. J. Elliott Phys. Rev. 96 26 1964

23. スピン反転機構 vs スピン歳差運動機構
24
•スピン反転機構が支配的
アルカリ金属 [R.J. Elliot, Phys. Rev. 96. 266 (1954)]
多価金属(Al, Pd, Mg, Be) [J. Fabian et al., PRL 81 5624 (1998)]
バルクnタイプ Si [J. L .Cheng et al., PRL. 104 16601 (2010) ]
バルクnタイプ Ge [M.W. Wu, Phys. Rep. 493 61 (2010)]
•スピン歳差運動が支配的
MoS2 [L. Wang and M.W. Wu PRB 89 115302 (2014)]
•スピン反転機構-スピン歳差運動機構が競合
nタイプⅢ-V or Ⅱ-Ⅳ半導体(GaAs, GaSb, InSb)
àEY（低温) àDP（高温）[P.H. Song et al., PRB 66, 035207 (2002)]
Si, Ge量子井戸 [Z. Wilamowski et al., PRB 69 035328 (2004)]
à EY（低電荷移動度) àDP（高電荷移動度）
Pt, Ta [J. Ryu et al, PRL 116, 256802 (2016), H. Gamou et al, APEX 10, 23003 (2017)]
àEY(多結晶) àDP(単結晶)

24. ポストグラフェン合成での基板
報告されたスタネンの基板
on Ag
on Bi2Te3 on InSb
F. Zhu et al., Nat. Mater. 14, 1020 (2015) J. Yuhara et al., 2D Mater. 5 25002 (2018) C.Z. Xu et al., PRB. 97 35122 (2018)
提案されているスタネンの基板 CdTe, BN, InSb PbTe, SrTe, BaSe, BaTe
C.Z. Xu et al., PRB. 97 35122 (2018)
理論的な提案 実現 デバイス化
[2013] Xu et al. [2015] (Bi2Te3基板)Zhu et al.
スタネン
[1994] Takeda et al. [2014] (Pt基板)Li et al.
ゲルマネン
グラフェン
[2004] Novoselov et al.
[2012] (Ag基板)Vogt et al. [2015] (SiO2基板)Tao et al.
[1994] Takeda et al.
シリセン
[1947] Wallace
(Å) 2.47 3.87 4.06 4.67
(Å) 0 0.45 0.69 0.85

25. 光学モードも含めた散乱率
300 Kにおける散乱率の大小関係
スタネン ZA > TA > LO > TO > LA > ZO
グラフェン LA > LO > TO > ZO > TA > ZA
スタネン
グラフェン
10
06
10
08
1010
1012
100 300 600
Scattering
Rate
(s
-1
)
Temperature (K)
1006
1008
1010
10
12
100 300 600
Scattering
Rate
(s
-1
)
Temperature (K)
Total ZA
TA
LA
ZO TO
LO
TA
LOTO
LA
ZO
Total
ZA

26. 光学モードを含めた電荷移動度
[300K]
(105
cm2
V-1
s-1
)
µ"#$ Armchair 34.0 23.5 2.05 3.32
Zigzag 29.8 20.6 2.05 3.32
µ%#&
Airmchair 0.0247 0.0250 1.97 2.56
Zigzag 0.0226 0.0281 2.02 2.61
104
10
6
108
100 300 600
Mobility
(cm
2
V
-1
s
-1
)
Temperature (K)
ZA
Total TA
TO LO
LA
ZO
µDP A
µEP C
: 変形ポテンシャル近似による移動度
: 全てのモードを含めた電荷移動度
矛盾 一致
スタネンにおける電荷移動度
µ =
P
nk ev2
nk⌧p
nk
⇣
@fnk
@"nk
⌘
P
nk fnk

27. Electron-Phonon Coupling (Including Optical Phonon)
gij(k,q) =
s
~
2M!q
h jk+q| q VKS| iki
Representation of Electron-phonon coupling as a function of q
Electron-phonon coupling matrix as a function of q
at a fixed k-point K = (1/3,1/3,0) in conduction band

28. スタネンの生成実験
原子構造
Identification 実験
第一原理計算
構造最適化
Bi2Te3基盤上でのMBEによるスタネンの合成
F Zhu et al., Nat. Matter., 14, 1020 (2015)
Scanning tunneling microscopy
(STM)

29. F Zhu et al., Nat. Matter., 14, 1020 (2015)
バンド構造
Identification
第一原理計算
(SCF in DFT)
密度汎関数法による自己無撞着計算
(ARPES)
角度分解光電子分光
Bi2Te3基盤上でのMBEによるスタネンの合成
スタネンの生成実験
実験

30. 不純物散乱を抑制するデバイス構造
不純物散乱の抑制方法
Xu Cui et al., Nat. Nano., 10, 534 (2015)
BN層によるEncapsulatingにより不純物散乱の除去
（MoS2単層にて実現)
hBN

31. F. Chen, et al., Nano Lett. 9, 1621 (2009)
イオン液体でのコーティングを用いた不純物由来の電場の中和
不純物散乱を抑制するデバイス構造
不純物散乱の抑制方法

32. スタネンのバックリング構造
Buckling height: δ = 0.00 Å
グラフェン スタネン
sp2-sp3混合由来
グラフェンとの違い
バックリング構造により
S. Cahangirov et al.,
PRL. 102, 236804 (2009)
0.85 Å
Zigzag
Armchair
0.00 Å
Zigzag
Armchair
sp2 混合由来
Buckling height: δ = 0.85 Å
平面鏡像対称性 (σh)が消失
回転対称性が減少(C6 → C3)
• 平面構造
• 弱いスピン軌道相互作用
バンドギャップなし
質量のないディラック方程式で記述
長いスピン拡散長
• バックリング構造
• 強いスピン軌道相互作用
76meVのバンドギャップ
質量のあるディラック法定期で記述
スピンホール効果/トポロジカル絶縁体
sp2-sp3 混合による擬ヤーンテラー効果

33. ボルツマン輸送理論
電子フォノン相互作用計算による計算
gij(k,q) =
s
~
2M!q
h jk+q| q VKS| iki
電子フォノン相互作用
散乱率(1/τp) [運動量緩和時間の逆数(τp)]
ボルツマン方程式による電荷移動度
密度汎関数法(DFT)による計算
à | iki
q VKS
密度汎関数摂動法(DFPT)による計算
à
1
⌧(i, k)
=
2⇡
~
X
j,q,
|gji((k, q)|2
{[fjk+q + nq ] ("jk+q "ik ~!q )
+ [1 + nq fjk+q] ("jk+q "ik + ~!q )}
フォノン放出
フォノン吸収
v(i, k), fik ß DFTから直接計算可能
⌃ikfik
µ = e
P
ik
R
⌧(i, k)v2
(i, k)@fik
@"ik
dk
P
ik fik ：キャリア濃度
, !q

34. ボルツマン輸送理論
変形ポテンシャル近似
電子フォノン相互作用
散乱率(1/τp) [運動量緩和時間の逆数(τp)]
ボルツマン方程式による電荷移動度
1
⌧(i, k)
=
2⇡
~
kBTD2
LA
C2d
X
k0
[1 cos(✓k0,k)] ("ik0 "ik)
変形ポテンシャル定数
弾性定数
DLA
C2d
変形ポテンシャル近似における
重要なパラメータ
µ /
C2d
kBTD2
LA
gij(k, q) =
s
~
2M!q
h jk+q|
dV
duq
· ûq | iki h ik+q|
dV
duq
· ûq | iki = DLA|q|

35. 1
⌧s(i, k)
=
4⇡
~
X
j,q,
|gq
k+qj",ki#|2
{[fjk+q + nq ] ("jk+q "ik ~!q )
+ [1 + nq fjk+q] ("jk+q "ik + ~!q )}
スピン反転機構
スピン反転に寄与する電子フォノン相互作用
スピン緩和時間
フォノン放出
フォノン吸収
"
ik(r) = [ai,k(r)| "i + bi,k(r)| #i]eir·k
#
ik(r) = [a⇤
i, k(r)| #i b⇤
i, k(r)| "i]eir·k
gq
k+qj",ki# =
s
~
2M!q
h "
jk+q|
dV SO
e p
duq
· "q | #
iki
スピン混合した波動関数

36. Armchair方向への変形(ΔL/L0)の様子
-2.970
-2.960
-2.950
-2.940
-0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02
Fermi
Energy
(eV)
l/l0
zigzag
armchair
変形ポテンシャル理論
弾性定数 変形ポテンシャル定数
EF = DLA
✓
L
L0
◆
E E0
S0
=
C2d
2
✓
L
L0
◆2
電荷移動度
µ /
C2d
kBTD2
LA
-0.01
-0.02 0.01 0.02
0.00
E(E0): 変形後のトータルエネルギー, S0 : 格子の面積, ΔEF : フェルミ面の位置
-13.580
-13.575
-13.570
-13.565
-13.560
-0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02
Total
Energy
(eV)
l/l0
zigzag
armchair
ΔL/L0 ΔL/L0
変形ポテンシャル近似

37. -2.970
-2.960
-2.950
-2.940
-0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02
Fermi
Energy
(eV)
l/l0
zigzag
armchair
変形ポテンシャル理論
弾性定数 変形ポテンシャル定数
EF = DLA
✓
L
L0
◆
E E0
S0
=
C2d
2
✓
L
L0
◆2
電荷移動度
µ /
C2d
kBTD2
LA
E(E0): 変形後のトータルエネルギー, S0 : 格子の面積, ΔEF : フェルミ面の位置
-13.580
-13.575
-13.570
-13.565
-13.560
-0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02
Total
Energy
(eV)
l/l0
zigzag
armchair
ΔL/L0 ΔL/L0
変形ポテンシャル近似
System
Buckling
(Å)
Direction
Lattice Const.
(Å)
DLA
(eV)
C2d
(J/m)
µe
[10
5
cm
2
/(V s)]
µh
[10
5
cm
2
/(V s)]
Stanene 0.85
zigzag 4.67
0.47
(0.52)
28.5 27.7 40.1
airmchair 8.09
0.48
(0.52)
28.6 24.4 35.2
Graphene 0.00
zigzag 4.27
5.00
(4.22)
328 3.32 2.05
airmchair 2.47
5.14
(4.22)
328 3.32 2.05

38. 10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
mobility (cm2
/Vs)
現状の問題点
ポストグラフェン材料におけるフォノン由来の電荷輸送現象
先⾏研究
µ (105 cm2/Vs)
グラフェン 1[1] –2.0[2]
シリセン 0.075[3] – 2.6[4]
ゲルマネン 0.028[3] – 6.2[5]
スタネン ?
理論値が論⽂によって⼤きく異なる
[1] E.H. Hwang et al, PRB 77, 115449 (2008) [2] J. Xi et al, J. Chem. Phys. 141, 34704 (2014)
[3] G. Gaddemane et al., Conf. SISPAD 353 (2016) [4] Z. G. Shao et al., J. Appl. Phys. 114, 11 (2013)
[5] X. Ye et al., RSC Adv. 4, 21216 (2014)
正しく評価するには電⼦フォノン散乱過程の詳細な計算が必
300Kでの電荷移動度 µ (理論値)[Armchiar⽅向]
?

39. 変形ポテンシャル近似の限界
[7] E. H. Hwang et al, 2008
[8] J. Xi et al., 2014
[9] J. Chen et al., 2013
[10] Y. Cai et al., 2014
[11] K. Kaasbjerg et al., 2012
[12] O. Restrepo et al., 2014
[1] X. Ye et al., 2014
[2] G. Gaddemane et al., 2016
[3] Z. Shao et al., 2013
[4] T. Gunst et al., 2016
[5] X. Li et al., 2013
[6] J. Xi et al., 2012
[13] J. Qiao et al., 2014
[14] R. Fei et al., 2014
変形ポテンシャル近似と対称性
２次元材料 µDPA (cm2/Vs) µEPC (cm2/Vs) Symmetry
DPA
validity
スタネン 3-4 × 106 2000-3000 D3d Invalid
ゲルマネン 6.2 × 105 [1] 2800[2] D3d Invalid
シリセン 2 × 105 [3] 2100[4] , 1200[5], 750[2] D3d Invalid
グラフェン
2-3× 105,
3 × 105 [6], 1 × 105 [7]
2-3× 105,
2 × 105 [8], 1.5 × 105 [4] D6h Valid
α-Graphyne 3 × 104 [9] 1.6 × 104 [8] D2h Valid
単層MoS2 72-200 [10], 410[11] 130[5], 230[12], 400[4] D3h Valid

40. 変形ポテンシャル近似の限界
[8] E. H. Hwang et al, 2008
[9] J. Xi et al., 2014
[10] J. Chen et al., 2013
[11] Y. Cai et al., 2014
[12] K. Kaasbjerg et al., 2012
[13] O. Restrepo et al., 2014
[1] X. Ye et al., 2014
[2] G. Gaddemane et al., 2016
[3] Z. Shao et al., 2013
[4] Z. Zhuo et al., 2018
[5] T. Gunst et al., 2016
[6] X. Li et al., 2013
[14] J. Qiao et al., 2014
[15] R. Fei et al., 2014
変形ポテンシャル近似と対称性
２次元材料 µDPA (cm2/Vs) µEPC (cm2/Vs) Symmetry
DPA
validity
スタネン 3-4 × 106 2000-3000 D3d Invalid
ゲルマネン 6.2 × 105 [1] 2800[2] D3d Invalid
シリセン 2 ×105 [3], 1.7× 105 [4] 2100[5] , 1200[6], 750[2] D3d Invalid
グラフェン
2-3× 105,
3 ×105 [7], 1 × 105 [8]
2-3× 105,
2 × 105 [9], 1.5 × 105 [5] D6h Valid
α-Graphyne 3 × 104 [10] 1.6 × 104 [9] D2h Valid
単層MoS2 72-200 [11], 410[12] 130[6], 230[13], 400[4] D3h Valid

41. 43
グラフェン TA(eV) LA(eV) TO(eV/cm) LO(eV/cm)
変形ポテンシャル定数 1.85155 4.21454 1.59021 × 108 3.37732 × 108
Reference 1.70 4.24 N/A 3.78 × 108
スタネン TA(eV) LA(eV) TO(eV/cm) LO(eV/cm)
変形ポテンシャル定数 0.433313 0.520373 1.36266 × 107 5.26648 × 107

42. 結果 : スピン緩和時間
最低非占有バンド
スピン混合係数 |bk
2|の計算
-1 0 1
kx [2 /a]
-1
0
1
k
y
[2
/a]
0.010
0.100
1.000
-1 0 1
kx [2 /a]
-1
0
1
k
y
[2
/a]
0.010
0.100
1.000
[s]
（Ref）半導体中のスピン緩和時間
[s]
h|b2
ik|i = 3.66 ⇥ 10 3
⌧p
= 1.04 ⇥ 10 13
⌧p
= 0.5–2 ⇥ 10 9
[s] (300K) W. Han et al., Nat. Nano., 9 794 (2014)
スピン緩和時間の表式
⌧s
= 7.10 ⇥ 10 12
グラフェン：
GaAs [s] (70K)
⌧p
= 4 ⇥ 10 9 X. Lou et al., Nat. Phys., 3 197 (2007)
1
⌧s
= 4h|b2
k|i
1
⌧p
R. J. Elliott Phys. Rev. 96 26 (1964)

43. 45
Material λ (nm) τs (s) D (cm2/s)
Ta(Polycrystalline)
Ta(Single crystalline)
2-6
12-16
~100 x 10-15
100-400 x 10-15
~5
5-20
Pt(Polycrystalline) 1.5 15-49 x 10-15 ~20
Cu 400 11 x 10-12 145
Al 350 45 x 10-12 27
Ag 300 6 x 10-12 150
Graphene 250-300 50-200 x 10-12 100-200
Silicene 700 49 x 10-12 ~100
Stanene 400 7.1 x 10-12 413
Han et al. 2014
Borowik et al. 2013, 2016

44. DFTによる⾃⼰無撞着計算
Initial Guess ⇢(r)
Construct ⌫ext(r)
Compute ⌫ee[⇢] + ⌫xc[⇢]

1
2
r2
+ VKS[⇢(r)] 'i(r) = "i'i(r)
Solve
VKS = ⌫ext(r) + ⌫ee[⇢] + ⌫xc[⇢]
Self-Consistent?
No
Yes
Energy/Forces
Compute ⇢(r) =
n
X
i
|'i(r)|2
密度汎関数法(Density Functional Theory)

45. DFPTによる⾃⼰無撞着計算
Construct (By DFT) ⇢(r)

1
2
r2
+ VKS "nk 'nk = [ VKS "nk] 'nk
Solve
Compute "nk = h'nk | VKS(r)| 'nki
Initial Guess VKS, ⇢
Compute ⇢(r) = 4Re
X
nk
'⇤
nk(r) 'nk(r)
Compute VKS = Vel ion(r) +
e2
4⇡✏0
Z
dr0 ⇢(r)
|r r0|
+
d⌫xc
d⇢ 0
⇢(r)
Vel ion(r) =
X
m,j
um,j · rV (r Rmj)
No
Yes
Self-Consistent?
Energy/Forces
密度汎関数摂動法（Density Functional Perturbation Theory）