Στο κεφάλαιο πραγματικοί αριθμοί (2016). Επιμέλεια: Κώστας Γεώργαρης αποκλειστικά για το lisari.

1. 1◦ Eπαναληπτικό Διαγώνισμα
Διάταξη - Απόλυτη Τιμή - Ρίζες
Τάξη: Α΄ Γενικού Λυκείου
Μάθημα: Άλγεβρα
Γεώργαρης Π. Κωνσταντίνος
694 2605221
georgaris.kostas@hotmail.com
LATEX
ΘΕΜΑ A. A1. Να δώσετε τον αλγεβρικό ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α.
A2. Να αποδείξετε ότι: |α + β| ≤ |α| + |β|, για κάθε α, β ∈ R.
A3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις, ως Σωστές (Σ) ή Λανθασμένες (Λ).
α. α2
+ β2
> 0 ⇔ (α ̸= 0 και β ̸= 0).
β. α2
+ β2
≤ 0 ⇒ (α = 0 και β = 0).
γ. |α2
− 4| + |α2
− 2α| = 0 ⇔ α = 2.
δ. Αν α, β : ετερόσημοι, τότε
√
α2β2 + αβ = 0.
ε. Ο αντίστροφος του αριθμού 3 − 3
√
2 είναι ο αριθμός 3 + 3
√
2.
στ. Αν α, β ≥ 0, τότε α + β ≥ 2
√
αβ.
ΘΕΜΑ Β. B1. Αν 1 ≤ x < 2 και −9 ≤ y < −4, να βρείτε τα όρια μεταξύ των οποίων περιέχεται η
καθεμία από τις παρακάτω παραστάσεις:
α. x − 3xy β.
x
y
γ. x2
+ y2
δ.
√
−y
(x + 1)2
B2. Δίνονται οι αριθμοί α και β για τους οποίους ισχύει ότι:
|α − 2| + |α + 2β − 8| = 0.
α. Να βρείτε τους αριθμούς α και β.
β. Αν ισχύει ότι α < x < β, να απλοποιήσετε την παράσταση:
A = |x − 2| − |x − 3| + |2x − 7|.
ΘΕΜΑ Γ. Έστω οι αριθμοί α =
(
3
√
2
√
2
)2
, β =
√
2 · 3
√
2 · 6
√
2 − 3 και η παράσταση:
A =
x − α
√
x2 − 4x + 4
+
2x + β
√
4x2 − 4x + 1
.
1

2. Α΄ Λυκείου - Άλγεβρα 1◦
Eπαναληπτικό Διαγώνισμα - Πραγματικοί Αριθμοί
Γ1. Να υπολογίσετε τους αριθμούς α και β.
Γ2. Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς ριζικά.
Γ3. Αν d(2x, 3) < 1, να αποδείξετε ότι A = 0.
Γ4. Αν x ̸= 2 και x ̸=
1
2
, να αποδείξετε ότι A < 2.
ΘΕΜΑ Δ. Δίνονται οι αριθμοί x και y για τους οποίους ισχύουν:
|x|3
− 1 ≤ x2
− |x| και |y| + 2 ≤ |y| − 6 .
Δ1. Να αποδείξετε ότι |x| ≤ 1 και |y| ≤ 2.
Δ2. Δίνεται η παράσταση A = |2x − 2| + |4x + 4| + |y − 2| − |4y + 8|.
α. Να γράψετε την παράσταση Α χωρίς το σύμβολο της απολύτου τιμής.
β. Να αποδείξετε ότι |A| ≤ 12.
ΘΕΜΑ E. E1. Αν οι αριθμοί α,β είναι περιττοί ακέραιοι, να αποδείξετε ότι
(
− 1
)(α+2)(β+1)
= 1.
E2. Να δείξετε ότι: 3 +
√
5 < 2
√
2 +
√
6.
E3. Να συγκρίνετε τους αριθμούς: 5
√
6,
√
2.
E4. Να αποδείξετε ότι αν |3α + 4β| < |4α + 3β|, τότε |α| > |β|.
Επιμέλεια: Γεώργαρης Π. Κωνσταντίνος
694 2605221
2 LATEX