数学において「計算」という概念はどのように定式化されるかについての紹介です．題材としてラムダ計算を取り上げています．

1. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは
齊藤 信臣
情報理工学研究科 数理・計算科学専攻
鹿島研究室
2014/07/02 (水)
齊藤 信臣 計算とは

2. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
自己紹介
自己紹介
齊藤 信臣 (さいとう のぶたか)
修士 2 年
情報科学科 → 数理・計算科学専攻
鹿島研究室
専門は数理論理学
齊藤 信臣 計算とは

3. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
今日の話
1 自己紹介
自己紹介
2 計算の概念
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
3 関連分野
計算にまつわる分野
4 まとめ
まとめ
「計算」とは何かについて，理学部らしく数学的に捉えてみま
しょう！
齊藤 信臣 計算とは

4. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
計算とは？
なんとなく「計算」のイメージはある
ものを数える，四則演算など
紙とペンで式を変形していく
コンピュータでプログラムを動かす
齊藤 信臣 計算とは

5. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
計算とは？
なんとなく「計算」のイメージはある
ものを数える，四則演算など
紙とペンで式を変形していく
コンピュータでプログラムを動かす
実は厳密な 数学的モデル が存在する
20 世紀初頭くらいから研究され始めた
機械的に実行可能な有限の手続き
「計算」によって 解ける問題/解けない問題 の区別
齊藤 信臣 計算とは

6. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
ラムダ計算とは？
計算のモデルの 1 つ
定義はすごくシンプル！
記号列とその書き換え
関数の概念を抽象化した体系
※「ラムダ」はギリシャ文字の λ
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7. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
まずラムダ計算の基本， ラムダ項 と β 簡約 を定義する
定義 (ラムダ項)
1 変数 x, y, z, ... はラムダ項
2 M と N がラムダ項のとき，(MN) はラムダ項
3 x が変数，M がラムダ項のとき，(λx.M) はラムダ項
※こういう定義を「帰納的定義」という
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8. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
まずラムダ計算の基本， ラムダ項 と β 簡約 を定義する
定義 (ラムダ項)
1 変数 x, y, z, ... はラムダ項
2 M と N がラムダ項のとき，(MN) はラムダ項
3 x が変数，M がラムダ項のとき，(λx.M) はラムダ項
※こういう定義を「帰納的定義」という
e.g.,
xy
λx.x
(λx.x)y
((λx.x)y)(λz.(xy)z)
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9. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
定義 (β 簡約)
2 つのラムダ項の間の関係 →β を次で定める
(λx.M)N →β M[x := N]
※ M 中の x を N で置き換える
齊藤 信臣 計算とは

10. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
定義 (β 簡約)
2 つのラムダ項の間の関係 →β を次で定める
(λx.M)N →β M[x := N]
※ M 中の x を N で置き換える
β 簡約は，ラムダ計算における「計算」操作
齊藤 信臣 計算とは

11. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
定義 (β 簡約)
2 つのラムダ項の間の関係 →β を次で定める
(λx.M)N →β M[x := N]
※ M 中の x を N で置き換える
β 簡約は，ラムダ計算における「計算」操作
e.g.,
(λx.x)y →β y
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12. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
定義 (β 簡約)
2 つのラムダ項の間の関係 →β を次で定める
(λx.M)N →β M[x := N]
※ M 中の x を N で置き換える
β 簡約は，ラムダ計算における「計算」操作
e.g.,
(λx.x)y →β y
(λy.yz)(λy.yz) →β (λy.yz)z →β zz
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13. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
定義 (β 簡約)
2 つのラムダ項の間の関係 →β を次で定める
(λx.M)N →β M[x := N]
※ M 中の x を N で置き換える
β 簡約は，ラムダ計算における「計算」操作
e.g.,
(λx.x)y →β y
(λy.yz)(λy.yz) →β (λy.yz)z →β zz
(λx.xx)(λx.xx) →β (λx.xx)(λx.xx) →β ...
齊藤 信臣 計算とは

14. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
定義 (β 簡約)
2 つのラムダ項の間の関係 →β を次で定める
(λx.M)N →β M[x := N]
※ M 中の x を N で置き換える
β 簡約は，ラムダ計算における「計算」操作
e.g.,
(λx.x)y →β y
(λy.yz)(λy.yz) →β (λy.yz)z →β zz
(λx.xx)(λx.xx) →β (λx.xx)(λx.xx) →β ...
λx.M は「関数」を表している: λx.M ≈ f(x) = M[x]
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15. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
ラムダ計算でどんなことができるか？
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16. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
ラムダ計算で自然数と，自然数上の演算を表現する
定義 (自然数を表すラムダ項)
自然数 n を表すラムダ項 Cn を次で定める
Cn
Def.
= λfx.
n times
f(f(...(f x)...))
齊藤 信臣 計算とは

17. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
ラムダ計算で自然数と，自然数上の演算を表現する
定義 (自然数を表すラムダ項)
自然数 n を表すラムダ項 Cn を次で定める
Cn
Def.
= λfx.
n times
f(f(...(f x)...))
0 ≈ λfx.x
1 ≈ λfx.fx
2 ≈ λfx.f(fx)
3 ≈ λfx.f(f(fx))
...
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18. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
定義 (自然数の足し算を表すラムダ項)
足し算を表すラムダ項 Add を次で定める
Add
Def.
= λxyuv.xu(yuv)
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19. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
定義 (自然数の足し算を表すラムダ項)
足し算を表すラムダ項 Add を次で定める
Add
Def.
= λxyuv.xu(yuv)
*注意* λ のついた変数名を書き換えただけのラムダ項同士は同一
視する:
(λx.x) と (λy.y)，(λfx.fx) と (λuv.uv) など
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20. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
例えばラムダ計算での 1 + 2 は:
齊藤 信臣 計算とは

21. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
例えばラムダ計算での 1 + 2 は:
AddC1C2 = (λxyuv.xu(yuv))C1C2
齊藤 信臣 計算とは

22. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
例えばラムダ計算での 1 + 2 は:
AddC1C2 = (λxyuv.xu(yuv))C1C2
→β λuv.C1u(C2uv)
= λuv.C1u((λfx.f(fx))uv)
齊藤 信臣 計算とは

23. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
例えばラムダ計算での 1 + 2 は:
AddC1C2 = (λxyuv.xu(yuv))C1C2
→β λuv.C1u(C2uv)
= λuv.C1u((λfx.f(fx))uv)
→β λuv.C1u(u(uv))
= λuv.(λfx.fx)u(u(uv))
齊藤 信臣 計算とは

24. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
例えばラムダ計算での 1 + 2 は:
AddC1C2 = (λxyuv.xu(yuv))C1C2
→β λuv.C1u(C2uv)
= λuv.C1u((λfx.f(fx))uv)
→β λuv.C1u(u(uv))
= λuv.(λfx.fx)u(u(uv))
→β λuv.u(u(uv))
= C3
齊藤 信臣 計算とは

25. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
例えばラムダ計算での 1 + 2 は:
AddC1C2 = (λxyuv.xu(yuv))C1C2
→β λuv.C1u(C2uv)
= λuv.C1u((λfx.f(fx))uv)
→β λuv.C1u(u(uv))
= λuv.(λfx.fx)u(u(uv))
→β λuv.u(u(uv))
= C3
AddC1C2 =β C3， すなわち 1 + 2 = 3 が得られる！
(一般の場合も簡単に示せる)
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26. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
ラムダ計算
ラムダ計算で足し算ができることは分かった
工夫すればもっと複雑な関数も表現できる
ラムダ計算で表現できるものを計算のモデルとみなす？
齊藤 信臣 計算とは

27. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
他の計算モデルとの関係
ラムダ計算以外のモデル
Turing 機械 テープに書かれた文字を書き換えていく，ハード
ウェア的モデル．
帰納的関数 足し算・掛け算など基本的な演算と，関数の合成な
どで構成される自然数上の関数．
齊藤 信臣 計算とは

28. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
他の計算モデルとの関係
ラムダ計算以外のモデル
Turing 機械 テープに書かれた文字を書き換えていく，ハード
ウェア的モデル．
帰納的関数 足し算・掛け算など基本的な演算と，関数の合成な
どで構成される自然数上の関数．
ラムダ計算，Turing 機械，帰納的関数で表現可能な関数は一致
する
これらで表現できるものを「計算」と見なす
(Church-Turing の提唱)
コンピュータの原理も理論的には Turing 機械と同等
齊藤 信臣 計算とは

29. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算とは？
ラムダ計算
他のモデル
計算可能性に関する結果
有名な結果
次の事実が知られている
任意に与えられた Turing 機械が有限時間で停止するかどう
かを判定する Turing 機械は存在しない
任意に与えられたディオファントス方程式が整数解を持つか
否かを判定する Turing 機械は存在しない
※ 1900 年の国際数学者会議@パリで提示された問題
※「ヒルベルトの第 10 問題」と呼ばれる
齊藤 信臣 計算とは

30. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
計算にまつわる分野
計算にまつわる分野
何が計算可能で，何が計算不能なのか？ (計算可能性の理論)
計算可能だとして，どの程度の手間で計算できるか？
(計算量理論)
ラムダ計算は関数型プログラミング言語のモデルとされている
(プログラミング言語の理論)
齊藤 信臣 計算とは

31. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
まとめ
まとめ
「計算」の数学的モデル
機械的な有限の手続き
計算で解ける問題/解けない問題がある
プログラムの停止性判定
ヒルベルトの第 10 問題
ラムダ計算
関数概念を抽象化したような，記号列の書き換え体系
β 簡約が計算操作: (λx.M)N →β M[x := N]
Turing 機械，帰納的関数といったモデルも存在する
→ これらが表現する関数クラスは一致
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32. 自己紹介
計算の概念
関連分野
まとめ
まとめ
おまけ
このスライドも LATEX で作っています (Beamer というクラス)
齊藤 信臣 計算とは