関西Lispユーザ会で発表したLispでやる記号微分のスライドです。基本的にSICPの記号微分の節の丸パクリです。

1. Lisp でやる記号微分って何?
渡邉慶一
Osaka, Japan
2018 年 6 月 23 日
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2. ⽬次
1 記号微分
記号微分のご紹介
記号微分処理ってどんな感じなの?
記号微分は何をしているか
記号微分手続きの説明
式の簡単化
べき乗の微分の処理を追加する
まとめ
2 数式処理ソフト:Maxima
3 iPad の MathStudio の紹介
4 SICP の紹介
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3. 記号微分とは
数値計算ではない
数式を扱う (数式を微分します)
記号を扱う (変数ですね。Lisp のシンボルを扱います)
今日やる微分は高校の微分
微分というかパターンの操作なので、話は難しくない
定数を微分すると 0 になる
x を x で微分すると 1 になる。3x を x で微分すると 3 になる
y = x2 を x で微分すると y = 2x になる
こんなルールに基いたパターンの置き換えの話です
詳しくは後に出てくる関数定義で
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4. 一番のポイント
数式を S 式で書くことにするよ
これがものすごく大きなポイントですね
いろいろ楽になります
まず字句解析が不要
それに操作に Lisp の関数がそのまま使える
中置式に変換するのはそれはそれでおもしろい
やるなら TEX の数式表記に直すとかどうでしょう
でも S 式のほうがいいですよね
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5. お断わり
プログラム例は SICP のものを使ってます
『SICP 非公式日本語版 翻訳改訂版』
「2.3.2 例: 記号微分」(156 ページ〜162 ページ)
http://vocrf.net/docs_ja/jsicp.pdf
多少変更はしています
なので Common Lisp ではなく Scheme です (処理系は Gauche です)
でも簡単な作りなので、キーワードが多少違うだけです
この例では 2 つの項の式しか微分できません
多項式を扱うのは練習問題になってます (練習問題 2.57)
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6. ちょっと実感をつかんでみましょう
記号微分する関数の本体です
(define (deriv exp var)
(cond (( number? exp) 0) ;; 数 値 ?
(( variable? exp) ;; 変 数 ?
(if (same-variable? exp var) 1 0)) ;; 同 じ 変 数 ?
(( sum? exp) ;; 和 の 微 分 再 帰 し て い ま す
(make-sum (deriv (addend exp) var)
(deriv (augend exp) var )))
(( product? exp) ;; 積 の 微 分 こ れ も 再 帰 し て い ま す
(make-sum
(make-product (multiplier exp)
(deriv (multiplicand exp) var))
(make-product (deriv (multiplier exp) var)
(multiplicand exp ))))
(else ;; そ れ 以 外 は エ ラ ー で す
(error "unknown␣expression␣type␣--␣DERIV" exp ))))
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7. こんな感じで動作します (1)
gosh > (load "./ deriv.scm")
#t
gosh > (deriv ’(+ x 3) ’x)
1 ;; f (x) = x + 3 を x で 微 分 す る と 1
gosh > (deriv ’(* x y) ’x)
y ;; f (x) = xy を x で 微 分 す る と y
gosh > (deriv ’(* x y) ’y)
x ;; f (y) = xy を y で 微 分 す る と x
deriv 関数は何で微分するとか知らなくって、引数の記号で微分できると
ころがおもしろくないですか?
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8. 記号微分・記号計算のポイント
記号を記号として扱う
単なる文字列ではない
変数でもない
データに対する名前ではない
見た⽬がメモリに存在、オブジェクト
見た⽬ (=そういう名前) で参照できる「実体」がメモリにある
記号で微分・計算するので、記号を変更しても大丈夫
Lisp 以外の言語でこれを実装するとしたらどのようにやったらい
いか?
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9. Lisp における記号微分とは
Lisp の力を発揮
他の言語だと面倒
字句解析してオブジェクトを作る
それは Lisp ですよね
Lisp はさすがに記号の処理は得意だね
微妙に再帰も使っていますね
SICP 以外の入門書では見たことがない
『Land of Lisp』にはないようだ
『初めての人のための LISP』にもな
かったと思います
『実用 Common Lisp』の第 8 章にあ
るようです
税込 9,936 円。高いね。著者の Peter Norvig さんは現在 Google の研究開発本部長。
さすが Lisper!
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10. 記号微分処理の概要:再掲
記号微分する関数の本体です
(define (deriv exp var)
(cond (( number? exp) 0) ;; 数 値 ?
(( variable? exp) ;; 変 数 ?
(if (same-variable? exp var) 1 0)) ;; 同 じ 変 数 ?
(( sum? exp) ;; 和 の 微 分 再 帰 し て い ま す
(make-sum (deriv (addend exp) var)
(deriv (augend exp) var )))
(( product? exp) ;; 積 の 微 分 こ れ も 再 帰 し て い ま す
(make-sum
(make-product (multiplier exp)
(deriv (multiplicand exp) var))
(make-product (deriv (multiplier exp) var)
(multiplicand exp ))))
(else ;; そ れ 以 外 は エ ラ ー で す
(error "unknown␣expression␣type␣--␣DERIV" exp ))))
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11. 手続きの説明 (1)
• 変数は記号である。基本述語 symbol? で識別する。
(define (variable? x) (symbol? x))
• ⼆つの変数は、それらを表現する記号が eq? であれば等しい。
(define (same-variable? v1 v2)
(and (variable? v1) (variable? v2)
(eq? v1 v2)))
• 和と積は、リストとして構築する。
(define (make-sum a1 a2) (list ’+ a1 a2))
(define (make-product m1 m2) (list ’* m1 m2))
基本的な考えはこれなんですが、これだと式をあまり簡約してくれませ
ん。たとえば make-sum で a1 が x、a2 が 0 のときは (+ x 0) となって
しまいます。そこは x という表示でいいわけで、その改良版を後で載せ
ます。
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12. 手続きの説明 (2)
• 和は、最初の要素が記号 + であるリストである。
(define (sum? x)
(and (pair? x) (eq? (car x) ’+)))
• 加数は、和のリストの⼆つ⽬の項である。
(define (addend s) (cadr s))
• 被加数は、和のリストの三つ⽬の項である。
(define (augend s) (caddr s))
例
(+ x 3)
この場合だと、先頭が+で、2 番⽬が x で、3 番⽬が 3 ということです。
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13. 手続きの説明 (3)
• 積は、最初の要素が記号 * であるリストである。
(define (product? x)
(and (pair? x) (eq? (car x) ’*)))
• 乗数は、積のリストの⼆つ⽬の項である。
(define (multiplier p) (cadr p))
• 被乗数は、積のリストの三つ⽬の項である。
(define (multiplicand p) (caddr p))
例
(* (* x y) (+ x 3))
この場合だと、先頭が*で、2 番⽬が (* x y) で、3 番⽬が (+ x 3) とい
うことです。
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14. こんな感じで動作します (2)
改良前の構築手続きで f (x) = xy(x + 3) を x で微分するとどうなるかと
いうと...
gosh > (deriv ’(* (* x y) (+ x 3)) ’x)
(+ (* (* x y) (+ 1 0))
(* (+ (* x 0) (* 1 y)) (+ x 3)))
なんだかよくわかりません。でも和の微分と積の微分がわかれば一応
ちゃんとやっているんだということがわかります。
公式
和の微分の公式 {f (x) + g(x)} = f (x) + g (x)
公式
積の微分の公式 {f (x)g(x)} = f (x)g(x) + f (x)g (x)
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15. こんな感じで動作します (3)
f (x) = xy、g(x) = x + 3 とすると、f (x) = y、g (x) = 1 となります。
したがって、{f (x)g(x)} = y × (x + 3) + xy × 1 です。
ここでもう一回さっきの実行結果を見てみるとわかります。
gosh > (deriv ’(* (* x y) (+ x 3)) ’x)
(+ (* (* x y) (+ 1 0))
(* (+ (* x 0) (* 1 y)) (+ x 3)))
g (x) が x の微分と 3 の微分の和で (+ 1 0) と書かれているんですね。
f (x) は xy をまた積の微分しているんです。x × y + x × y になるので、
(+ (* x 0) (* 1 y)) になってます。(y = 0、x = 1 です。)
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16. 和と積の構築手続きの改良版を使うと
和と積の構築手続きの改良版を使うと
gosh > (deriv ’(* (* x y) (+ x 3)) ’x)
(+ (* x y) (* y (+ x 3)))
と少しましになります。それでもなんか変な感じなので、付け足しの説
明をします。
f (x) = xy(x + 3) を x で微分すると
df (x)
dx = xy + y(x + 3) になります。
というのが上の手続きの結果です。
元の式を展開してから微分してみましょう。
xy(x + 3) を展開すると x2y + 3xy になります。これを x で微分すると
2xy + 3y です。
このほうがわかりやすいですよね。でもこの式は xy + y(x + 3) と書け
ます。
だから deriv 関数はちゃんと微分しているんです。
実は微分よりも式を簡単に (人間にわかりやすく) するのが難しいという
ことです。
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17. 和の構築手続きの改良版
(define (make-sum a1 a2)
(cond (( =number? a1 0) a2)
(( =number? a2 0) a1)
((and (number? a1) (number? a2))
(+ a1 a2))
(else (list ’+ a1 a2 ))))
こんな感じでどちらかが 0 だったら、もう片方を返します。
両方とも数だったら、計算しちゃいます。
どちらも変数 (シンボル) だったら、S 式の数式表現を作って返します。
あと、数値の時だけ、等しいかどうか調べる述語を使ってます。
(define (=number? exp num)
(and (number? exp) (= exp num )))
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18. 積の構築手続きの改良版
(define (make-product m1 m2)
(cond ((or (=number? m1 0) (=number? m2 0))
0)
(( =number? m1 1) m2)
(( =number? m2 1) m1)
((and (number? m1) (number? m2))
(* m1 m2))
(else (list ’* m1 m2 ))))
これも和のほうと考えは同じです。どちらかが 0 だったら、もう 0 を返
していいですよね。
あとはどっちかが 1 だったら、もう片方を返すし、どちらも数だったら
計算しちゃいます。
どっちも変数 (シンボル) のときには、S 式の数式表現を作って返します。
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19. べき乗の微分を追加する (1)
SICP の練習問題 2.56 にあるのですが、べき乗の微分を追加してみま
しょう
(ax を x で微分するのではなく、xn を x で微分するやつです)
公式
べき乗の微分の公式 (xn) = nxn−1
べき乗の演算子を「**」にします。
(define (exponentiation? exp) ;; 先 頭 が **
(and (pair? exp) (eq? (car exp) ’**)))
(define (make-exponent a1 a2)
(cond (( =number? a1 0) 1) ;; 簡 単 化 規 則 (1)
(( =number? a2 1) a1);; 簡 単 化 規 則 (2)
(else (list ’** a1 a2 ))))
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20. べき乗の微分を追加する (2)
(define (exponent exp) ;; 指 数 部 を 取 り 出 す
(caddr exp))
(define (base exp) ;; 基 数 部 を 取 り 出 す
(cadr exp))
あとは deriv 関数に以下の処理を加えます。
(( exponentiation? exp)
(make-product
(make-product
(exponent exp) ;; 指 数 部 (n) が 前 に 出 る
(make-exponent
(base exp)
(- (exponent exp) 1))) ;; 指 数 部 は 1 を 引 く
(deriv (base exp) var ))) ;; 基 数 部 も 微 分
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21. べき乗の微分を追加する (3)
べき乗の処理を加えた deriv 関数
(define (deriv exp var)
(cond (( number? exp) 0) ;; 数 値 ?
(( variable? exp) ;; 変 数 ?
(if (same-variable? exp var) 1 0)) ;; 同 じ 変 数 ?
(( sum? exp) ;; 和 の 微 分 再 帰 し て い ま す
(make-sum (deriv (addend exp) var)
(deriv (augend exp) var )))
(( product? exp) ;; 積 の 微 分 こ れ も 再 帰 し て い ま す
(make-sum
(make-product (multiplier exp)
(deriv (multiplicand exp) var))
(make-product (deriv (multiplier exp) var)
(multiplicand exp ))))
(( exponentiation? exp) ;; べ き 乗 の 処 理
(make-product
(make-product
(exponent exp) ;; 指 数 部 (n) が 前 に 出 る
( make-exponent (base exp)
(- (exponent exp) 1))) ;; 指 数 部 は 1 を 引 く
(deriv (base exp) var ))) ;; 基 数 部 も 微 分
(else ;; そ れ 以 外 は エ ラ ー で す
(error "unknown␣expression␣type␣--␣DERIV" exp ))))
こんなの括弧が見えなくなれば python ですよね
もう皆さんはだいぶ括弧が見えなくなっていますよね
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22. べき乗の微分の実行結果
gosh > (deriv ’(** x 2) ’x)
(* 2 x) ;; f (x) = x2 を 微 分 す る と 、
df (x)
dx = 2x
gosh > (deriv ’(** x 3) ’x)
(* 3 (** x 2)) ;; f (x) = x3 を 微 分 す る と 、
df (x)
dx = 3x2
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23. まとめ
記号微分は Lisp だと原理的にはこんなに簡単
べき乗のサポートでもわかるとおり、SICP のプログラミングプロセ
スは抽象化がメイン
抽象化を進めた関数でプログラミングをしておくと拡張がきれい
抽象化は非常に強力な考え方で、SICP でマスターできるとてもよい
もの
抽象化は SICP を勉強しなくてもマスターしたほうがいい
しかし記号微分の拡張というのは、ある程度の範囲に収まるからき
れいに書けたのかもしれない (顧客要望でとんでもない拡張をする必
要はたぶんない)
結局きれいなプログラムというのはその問題をよくわかっている、
あるいはとんでもない要望がない、からできるものではないか?
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24. Maxima と Common Lisp と iMaxima(1)
Maxima は有名な数式処理ソフト
(Common Lisp で書かれています)
iMaxima は Emacs 用のモード
出力を LATEX に通して画像にしている
のできれい
入力は Maxima のまま
数値計算もグラフも使える
電卓を使うのをやめて、Maxima か表
計算ソフトを使おう
計算式は一部「計算機基礎 A - Maxima
入門 (2)」より引用しました。
iMaxima
http://www.cc.kyoto-su.
ac.jp/~mtkg/lecture/comp_
A/2012/maxima_02.html
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25. Maxima と Common Lisp と iMaxima(2)
iMaxima
コンソールの Maxima
これは iMaxima の機能ではなく、
Maxima 自体の機能だと思います
が、gnuplot に通してグラフも描
画できます。
-8
-6 -4
-2
0
2
4
6
8 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
sin(sqrt(y2
+x2
))/sqrt(y2
+x2
)
x
y
z
例は「数式処理ソフト Maxima」
http://www.kn-makkun.com/
MakkunWp/maxima.html より引用
しました。
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26. iPad の MathStudio の紹介
iPhone/iPad に MathStudio という数学アプリがあります
もちろん微分もできます グラフも描画できます。おもし
ろいのはグリグリ動かせるんで
すよね
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27. SICP
すばらしい教科書・入門書
日本語の翻訳もいいのが手に入る
http://vocrf.net/docs_ja/jsicp.pdf
練習問題を解かないと価値がすごく下
がる
時間のあるとき (大学生のときとかね)
にやっといたほうがいい本だと思い
ます
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