1. MOÄT TRAÊM BAØI
TAÄP
HÌNH HOÏC LÔÙP 9.
Phaàn 1: 50 baøi
taäp cô baûn.
1

2. 2
Lôøi noùi ñaàu:
Trong quaù trình oân thi toát nghieäp cho hoïc
sinh lôùp 9,chuùng ta ñeàu nhaän thaáy hoïc
sinh raát ngaïi chöùng minh hình hoïc. Cuõng do
hoïc sinh coøn yeáu kieán thöùc boä moân.Hôn
nöõa giaùo vieân thöôøng raát bí baøi taäp
nhaèm reøn luyeän caùc kyõ naêng, ñaëc bieät
laø luyeän thi toát nghieäp.Ñoàng thôøi do hoïc
sinh chuùng ta laø hoïc sinh coù hoaøn caûnh
gia ñình coøn ngheøo vì vaäy hoïc sinh yeáu kyõ
naêng vaän duïng neáu chuùng ta chæ chöõa
moät vaøi baøi taäp maø thoâi.
Do ñeå hoïc sinh coù theå chuû ñoäng trong
quaù trình laøm baøi,caùc baøi taäp trong taøi
lieäu naøy chæ coù tính caát gôïi yù phöông aùn
chöùng minh chöù chöa phaûi laø baøi giaûi
hoaøn haûo nhaát.
Beân caïnh ñoù ñeå coù baøi taäp rieâng cuûa
töøng giaùo vieân,ngöôøi giaùo vieân caàn bieát
bieán ñoåi baøi taäp trong taøi lieäu naøy sao
cho phuø hôïp vôùi ñoái töôïng hoïc sinh.
Taøi lieäu ñöôïc söu taàm trong caùc saùch vaø
ñaõ ñöôïc thoáng keâ trong phaàn phuï
luïc.Caám vieäc in sao,sao cheùp döôùi baát kyø
hình thöùc naøo maø khoâng coù söï nhaát trí
cuûa taùc giaû.
Duø coù nhieàu coá gaéng song taøi lieäu chaéc
chaén koâng theå khoâng coù sai soat.Mong
ñöôïc söï goùp yù cuûa baïn ñoïc.Thö veà:

3. Baøi 1: Cho ∆ABC coù caùc ñöôøng cao BD vaø CE.Ñöôøng thaúng DE
caét ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc taïi hai ñieåm M vaø N.
1. Chöùng minh:BEDC noäi tieáp.
2. Chöùng minh: goùc DEA=ACB.
3. Chöùng minh: DE // vôùi tieáp tuyeán tai A cuûa ñöôøng troøn ngoaïi
tieáp tam giaùc.
4. Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC.Chöùng
minh: OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
5. Chöùng toû: AM
2
=AE.AB.
Giôïi yù:
y
A
x
N
E D
M O
B C
Ta phaûi c/m xy//DE.
Do xy laø tieáp tuyeán,AB laø daây cung neân sñ goùc xAB= 2
1
sñ cung
AB.
Maø sñ ACB= 2
1
sñ AB. ⇒goùc xAB=ACB maø goùc ACB=AED(cmt)
⇒xAB=AED hay xy//DE.
4.C/m OA laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
3
1.C/m BEDC noäi tieáp:
C/m goùc BEC=BDE=1v. Hia
ñieåm D vaø E cuøng laøm vôùi
hai ñaàu ñoaïn thaúng BC moät
goùc vuoâng.
2.C/m goùc DEA=ACB.
Do BECD nt⇒DMB+DCB=2v.
Maø DEB+AED=2v
⇒AED=ACB
Hình 1

4. Do xy//DE hay xy//MN maø OA⊥xy⇒OA⊥MN.⊥OA laø ñöôøng trung tröïc
cuûa MN.(Ñöôøng kính vuoâng goùc vôùi moät daây)⇒∆AMN caân ôû A
⇒AO laø phaân giaùc cuûa goùc MAN.
5.C/m :AM
2
=AE.AB.
Do ∆AMN caân ôû A ⇒AM=AN ⇒cung AM=cung AN.⇒goùc
MBA=AMN(Goùc noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau);goùc MAB
chung
⇒∆MAE ∽∆ BAM⇒ MA
AE
AB
MA
= ⇒ MA
2
=AE.AB.

4

5. Baøi 2:
Cho(O) ñöôøng kính AC.treân ñoaïn OC laáy ñieåm B vaø veõ ñöôøng
troøn taâm O’, ñöôøng kính BC.Goïi M laø trung ñieåm cuûa ñoaïn AB.Töø
M veõ daây cung DE vuoâng goùc vôùi AB;DC caét ñöôøng troøn taâm O’
taïi I.
1.Töù giaùc ADBE laø hình gì?
2.C/m DMBI noäi tieáp.
3.C/m B;I;C thaúng haøng vaø MI=MD.
4.C/m MC.DB=MI.DC
5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)
Gôïi yù:
D
I
A M O B O’ C
E
3.C/m B;I;E thaúng haøng.
Do AEBD laø hình thoi ⇒BE//AD maø AD⊥DC (goùc noäi tieáp chaén nöûa
ñöôøng troøn)⇒BE⊥DC; CM⊥DE(gt).Do goùc BIC=1v ⇒BI⊥DC.Qua 1
ñieåm B coù hai ñöôøng thaúng BI vaø BE cuøng vuoâng goùc vôùi DC
⊥B;I;E thaúng haøng.
5
1.Do MA=MB vaø AB⊥DE taïi
M neân ta coù DM=ME.
⇒ADBE laø hình bình haønh.
Maø BD=BE(AB laø ñöôøng
trung tröïc cuûa DE) vaäy
ADBE ;laø hình thoi.
2.C/m DMBI noäi tieáp.
BC laø ñöôøng kính,I∈(O’)
neân Goùc BID=1v.Maø goùc
DMB=1v(gt)Hình 2

6. •C/m MI=MD: Do M laø trung ñieåm DE; ∆EID vuoâng ôû I⇒MI laø ñöôøng
trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng DEI ⇒MI=MD.
4. C/m MC.DB=MI.DC.
haõy chöùng minh ∆MCI∽ ∆DCB (goùc C chung;BDI=IMB cuøng chaén
cung MI do DMBI noäi tieáp)
5.C/m MI laø tieáp tuyeán cuûa (O’)
-Ta coù ∆O’IC Caân ⇒goùc O’IC=O’CI. MBID noäi tieáp ⇒MIB=MDB
(cuøng chaén cung MB) ∆BDE caân ôû B ⇒goùc MDB=MEB .Do MECI noäi
tieáp ⇒goùc MEB=MCI (cuøng chaén cung MI)
Töø ñoù suy ra goùc O’IC=MIB ⇒MIB+BIO’=O’IC+BIO’=1v
Vaäy MI ⊥O’I taïi I naèm treân ñöôøng troøn (O’) ⇒MI laø tieáp tuyeán cuûa
(O’).

Baøi 3:
Cho ∆ABC coù goùc A=1v.Treân AC laáy ñieåm M sao cho
AM<MC.Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính CM;ñöôøng thaúng BM caét
(O) taïi D;AD keùo daøi caét (O) taïi S.
1. C/m BADC noäi tieáp.
2. BC caét (O) ôû E.Cmr:MR laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
3. C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.
Gôïi yù:
D S
6
1.C/m ABCD noäi tieáp:
C/m A vaø D cuøng laøm
vôùi hai ñaàu ñoaïn
thaúng BC moät goùc
vuoâng..
2.C/m ME laø phaân
giaùc cuûa goùc AED.
•Haõy c/m AMEB noäi
tieáp.
•Goùc ABM=AEM( cuøng

7. A M
O
B E C
⇒AEM=MED.
4.C/m CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCS.
-Goùc ACB=ADB (Cuøng chaén cung AB)
-Goùc ADB=DMS+DSM (goùc ngoaøi tam giaùc MDS)
-Maø goùc DSM=DCM(Cuøng chaén cung MD)
DMS=DCS(Cuøng chaén cung DS)
⇒Goùc MDS+DSM=SDC+DCM=SCA.
Vaäy goùc ADB=SCA⇒ñpcm.

7
Hình 3

8. Baøi 4:
Cho ∆ABC coù goùc A=1v.Treân caïnh AC laáy ñieåm M sao cho
AM>MC.Döïng ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính MC;ñöôøng troøn naøy
caét BC taïi E.Ñöôøng thaúng BM caét (O) taïi D vaø ñöôøng thaúng AD
caét (O) taïi S.
1. C/m ADCB noäi tieáp.
2. C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
3. C/m: Goùc ASM=ACD.
4. Chöùng toû ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED.
5. C/m ba ñöôøng thaúng BA;EM;CD ñoàng quy.
Gôïi yù:
A
S
D
M
B E C
⇒ABD=ACD (Cuøng chaén cung AD)
•Do MECD noäi tieáp neân MCD=MED (Cuøng chaén cung MD)
•Do MC laø ñöôøng kính;E∈(O)⇒Goùc MEC=1v⇒MEB=1v ⇒ABEM noäi
tieáp⇒Goùc MEA=ABD. ⇒Goùc MEA=MED⇒ñpcm
3.C/m goùc ASM=ACD.
Ta coù A SM=SMD+SDM(Goùc ngoaøi tam giaùc SMD)
8
1.C/m ADCB noäi tieáp:
Haõy chöùng minh:
Goùc MDC=BDC=1v
Töø ñoù suy ra A vad D
cuøng laøm vôùi hai
ñaàu ñoaïn thaúng BC
moät goùc vuoâng…
2.C/m ME laø phaân
giaùc cuûa goùc AED.Hình 4

9. Maø goùc SMD=SCD(Cuøng chaén cung SD) vaø Goùc
SDM=SCM(Cuøng chaén cung SM)⇒SMD+SDM=SCD+SCM=MCD.
Vaäy Goùc A SM=ACD.
4.C/m ME laø phaân giaùc cuûa goùc AED (Chöùng minh nhö caâu 2 baøi
2)
5.Chöùng minh AB;ME;CD ñoàng quy.
Goïi giao ñieåm AB;CD laø K.Ta chöùng minh 3 ñieåm K;M;E thaúng
haøng.
•Do CA⊥AB(gt);BD⊥DC(cmt) vaø AC caét BD ôû M⇒M laø tröïc taâm
cuûa tam giaùc KBC⇒KM laø ñöôøng cao thöù 3 neân KM⊥BC.Maø
ME⊥BC(cmt) neân K;M;E thaúng haøng ⇒ñpcm.

9

10. Baøi 5:
Cho tam giaùc ABC coù 3 goùc nhoïn vaø AB<AC noäi tieáp trong
ñöôøng troøn taâm O.Keû ñöôøng cao AD vaø ñöôøng kính AA’.Goïi E:F
theo thöù töï laø chaân ñöôøng vuoâng goùc keû töø B vaø C xuoáng
ñöôøng kính AA’.
1. C/m AEDB noäi tieáp.
2. C/m DB.A’A=AD.A’C
3. C/m:DE⊥AC.
4. Goïi M laø trung ñieåm BC.Chöùng minh MD=ME=MF.
Gôïi yù:
A
N E
O I
B D M C
F
A’
1/C/m AEDB noäi tieáp.(Söû duïng hai ñieåm D;E cuøng laøm vôùi
hai ñaàu ñoaïn AB…)
2/C/m: DB.A’A=AD.A’C .Chöùng minh ñöôïc hai tam giaùc vuoâng
DBA vaø A’CA ñoàng daïng.
3/ C/m DE⊥AC.
Do ABDE noäi tieáp neân goùc EDC=BAE(Cuøng buø vôùi goùc
BDE).Maø goùc BAE=BCA’(cuøng chaén cung BA’) suy ra goùc CDE=DCA’.
Suy ra DE//A’C. Maø goùc ACA’=1v neân DE⊥AC.
4/C/m MD=ME=MF.
10
Hình 5

11. •Goïi N laø trung ñieåm AB.Neân N laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi
tieáp töù giaùc ABDE. Do M;N laø trung ñieåm BC vaø AB ⇒MN//AC(Tính
chaát ñöôøng trung bình)
Do DE⊥AC ⇒MN⊥DE (Ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm moät daây…)⇒MN
laø ñöôøng trung tröïc cuûa DE ⇒ME=MD.
• Goïi I laø trung ñieåm AC.⇒MI//AB(tính chaát ñöôøng trung bình)
⇒A’BC=A’AC (Cuøng chaén cung A’C).
Do ADFC noäi tieáp ⇒Goùc FAC=FDC(Cuøng chaén cung FC) ⇒Goùc
A’BC=FDC hay DF//BA’ Maø ABA’=1v⇒MI⊥DF.Ñöôøng kính MI⊥daây cung
DF⇒MI laø ñöôøng trung tröïc cuûa DF⇒MD=MF. Vaäy MD=ME=MF.

11

12. Baøi 6:
Cho ∆ABC coù ba goùc nhoïn noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm
O.Goïi M laø moät ñieåm baát kyø treân cung nhoû AC.Goïi E vaø F laàn
löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc keû töø M ñeán BC vaø AC.P laø
trung ñieåm AB;Q laø trung ñieåm FE.
1/C/m MFEC noäi tieáp.
2/C/m BM.EF=BA.EM
3/C/M ∆AMP∽∆FMQ.
4/C/m goùc PQM=90
o
.
Giaûi:
A M
F
P
B E C
Do MFEC noäi tieáp neân goùc ACM=FEM(Cuøng chaén cung FM).
⇒Goùc ABM=FEM.(1)
Ta laïi coù goùc AMB=ACB(Cuøng chaén cung AB).Do MFEC noäi tieáp
neân goùc FME=FCM(Cuøng chaén cung FE).⇒Goùc AMB=FME.(2)
Töø (1)vaø(2) suy ra :∆EFM∽∆ABM ⇒ñpcm.
3/C/m ∆AMP∽∆FMQ.
Ta coù ∆EFM∽∆ABM (theo c/m treân)⇒ MF
AM
FE
AB
= maØ AM=2AP;FE=2FQ
(gt) ⇒ FM
AM
FQ
AP
MF
AM
FQ
AP
=⇒=
2
2
vaø goùc PAM=MFQ (suy ra töø
∆EFM∽∆ABM)
12
1/C/m MFEC noäi tieáp:
(Söû duïng hai ñieåm E;F cung
laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn
thaúng CM…)
2/C/m BM.EF=BA.EM
•C/m:∆EFM∽∆ABM:
Ta coù goùc ABM=ACM (Vì
cuøng chaén cung AM)
Hình 6

13. Vaäy: ∆AMP∽∆FMQ.
4/C/m goùc:PQM=90
o
.
Do goùc AMP=FMQ ⇒PMQ=AMF ⇒∆PQM∽∆AFM ⇒goùc MQP=AFM Maø
goùc AFM=1v⇒MQP=1v(ñpcm).

13

14. Baøi 7:
Cho (O) ñöôøng kính BC,ñieåm A naèm treân cung BC.Treân tia AC
laáy ñieåm D sao cho AB=AD.Döïng hình vuoâng ABED;AE caét (O) taïi
ñieåm thöù hai F;Tieáp tuyeán taïi B caét ñöôøng thaúng DE taïi G.
1. C/m BGDC noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm I cuûa ñöôøng troøn naøy.
2. C/m ∆BFC vuoâng caân vaø F laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp
∆BCD.
3. C/m GEFB noäi tieáp.
4. Chöùng toû:C;F;G thaúng haøng vaø G cuõng naèm treân ñöôøng
troøn ngoaïi tieáp ∆BCD.Coù nhaän xeùt gì veà I vaø F
A
B O C
F I
D
G E
Xeùt hai tam giaùc FEB vaø FED coù:E F chung;
Goùc BE F=FED =45
o
;BE=ED(hai caïnh cuûa hình vuoâng
ABED).⇒∆BFE=∆E FD ⇒BF=FD⇒BF=FC=FD.⇒ñpcm.
3/C/m GE FB noäi tieáp:
14
1/C/m BGEC noäi tieáp:
-Söû duïng toång hai goùc
ñoái…
-I laø trung ñieåm GC.
2/•C/m∆BFC vuoâng caân:
Goùc BCF=FBA(Cuøng chaén
cung BF) maø goùc FBA=45
o
(tính chaát hình vuoâng)
⇒Goùc BCF=45
o
.
Goùc BFC=1v(goùc noäi tieáp
chaén nöûa ñöôøng
troøn)⇒ñpcm.Hình 7

15. Do ∆BFC vuoâng caân ôû F ⇒Cung BF=FC=90
o
. ⇒sñgoùc GBF= 2
1
Sñ
cung BF= 2
1
.90
o
=45
o
.(Goùc giöõa tieáp tuyeán BG vaø daây BF)
Maø goùc FED=45
o
(tính chaát hình vuoâng)⇒Goùc FED=GBF=45
o
.ta laïi
coù goùc FED+FEG=2v⇒Goùc GBF+FEG=2v ⇒GEFB noäi tieáp.
4/ C/m• C;F;G thaúng haøng:Do GEFB noäi tieáp ⇒Goùc BFG=BEG maø
BEG=1v⇒BFG=1v.Do ∆BFG vuoâng caân ôû F⇒Goùc BFC=1v.⇒Goùc
BFG+CFB=2v⇒G;F;C thaúng haøng. C/m G cuõng naèm treân… :Do
GBC=GDC=1v⇒taâm ñöôøng troøn ngt töù giaùc BGDC laø F⇒G naèn
treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆BCD. •Deã daøng c/m ñöôïc I≡ F.
Baøi 8:
Cho ∆ABC coù 3 goùc nhoïn noäi tieáp trong (O).Tieáp tuyeán taïi B vaø C
cuûa ñöôøng troøn caét nhau taïi D.Töø D keû ñöôøng thaúng song song
vôùi AB,ñöôøng naøy caét ñöôøng troøn ôû E vaø F,caét AC ôû I(E naèm
treân cung nhoû BC).
1. C/m BDCO noäi tieáp.
2. C/m: DC
2
=DE.DF.
3. C/m:DOIC noäi tieáp.
4. Chöùng toû I laø trung ñieåm FE.
A
F
O I
B C
E
15
1/C/m:BDCO noäi tieáp(Duøng toång
hai goùc ñoái)
2/C/m:DC
2
=DE.DF.
Xeùt hai tam giaùc:DEC vaø DCF coù
goùc D chung.
SñgoùcECD= 2
1
sñ cung EC(Goùc
giöõa tieáp tuyeán vaø moät daây)
Sñ goùc E FC= 2
1
sñ cung EC(Goùc
noäi tieáp)⇒goùc ECD=DFC.
⇒∆DCE ∽∆DFC⇒ñpcm.

16. D
Ta coù: sñgoùc BAC= 2
1
sñcung BC(Goùc noäi tieáp) (1)
Sñ goùc BOC=sñcung BC(Goùc ôû taâm);OB=OC;DB=DC(tính chaát hai
tieáp tuyeán caét nhau);OD chung⇒∆BOD=∆COD⇒Goùc BOD=COD
⇒2sñ goùcDOC=sñ cung BC ⇒sñgoùc DOC= 2
1
sñcungBC (2)
Töø (1)vaø (2)⇒Goùc DOC=BAC.
Do DF//AB⇒goùc BAC=DIC(Ñoàng vò) ⇒Goùc DOC=DIC⇒ Hai ñieåm O
vaø I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng Dc nhöõng goùc baèng
nhau…⇒ñpcm
4/Chöùng toû I laø trung ñieåm EF:
Do DOIC noäi tieáp ⇒ goùc OID=OCD(cuøng chaén cung OD)
Maø Goùc OCD=1v(tính chaát tieáp tuyeán)⇒Goùc OID=1v hay OI⊥ID
⇒OI⊥FE.Baùn kính OI vuoâng goùc vôùi daây cung EF⇒I laø trung
ñieåmEF.

16
Hình 8

17. Baøi 9:
Cho (O),daây cung AB.Töø ñieåm M baát kyø treân cung AB(M≠A vaø
M≠B),keû daây cung MN vuoâng goùc vôùi AB taïi H.Goïi MQ laø ñöôøng
cao cuûa tam giaùc MAN.
1. C/m 4 ñieåm A;M;H;Q cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
2. C/m:NQ.NA=NH.NM
3. C/m Mn laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ.
4. Haï ñoaïn thaúng MP vuoâng goùc vôùi BN;xaùc ñònh vò trí cuûa
M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò lôùn nhaát.
Giaûi:Coù 2 hình veõ,caùch c/m töông töï.Sau ñaây chæ C/m treân hình
9-a.
M
P
A I H B
Q O
N
1/ C/m:A,Q,H,M cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.(Tuyø vaøo hình veõ
ñeå söû duïng moät trong caùc phöông phaùp sau:-Cuøng laøm vôùi hai
ñaøu …moät goùc vuoâng.
-Toång hai goùc ñoái.
2/C/m: NQ.NA=NH.NM.
Xeùt hai ∆vuoâng NQM vaø ∆NAH ñoàng daïng.
17
Hình
Hình

18. 3/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc BMQ. Coù hai caùch:
• Caùch 1:Goïi giao ñieåm MQ vaø AB laø I.C/m tam giaùc MIB caân
ôû M
• Caùch 2: Goùc QMN=NAH(Cuøng phuï vôùi goùc ANH)
Goùc NAH=NMB(Cuøng chaén cung NB)⇒ñpcm
4/ xaùc ñònh vò trí cuûa M treân cung AB ñeå MQ.AN+MP.BN coù giaùc trò
lôùn nhaát.
Ta coù 2S∆MAN=MQ.AN
2S∆MBN=MP.BN.
2S∆MAN + 2S∆MBN = MQ.AN+MP.BN
Ta laïi coù: 2S∆MAN + 2S∆MBN =2(S∆MAN + S∆MBN)=2SAMBN=2. 2
MNAB ×
=AB.MN
Vaäy: MQ.AN+MP.BN=AB.MN
Maø AB khoâng ñoåi neân tích AB.MN lôùn nhaát ⇔MN lôùn nhaát⇔MN laø
ñöôøng kính
⇔M laø ñieåm chính giöõa cung AB.
Baøi 10:
Cho (O;R) vaø (I;r) tieáp xuùc ngoaøi taïi A (R> r) .Döïng tieáp tuyeán
chung ngoaøi BC (B naèm treân ñöôøng troøn taâm O vaø C naèm treân ñö
ôøng troøn taâm (I).Tieáp tuyeán BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa hai
ñöôøng troøn ôû E.
1/ Chöùng minh tam giaùc ABC vuoâng ôû A.
2/ O E caét AB ôû N ; IE caét AC taïi F .Chöùng minh N;E;F;A cuøng
naèm treân moät ñöôøng troøn .
3/ Chöùng toû : BC
2
= 4 Rr
4/ Tính dieän tích töù giaùc BCIO theo R;r
Giaûi:
18
1/C/m ∆ABC vuoâng: Do
BE vaø AE laø hai tieáp
tuyeán caét nhau
neânAE=BE; Töông töï
AE=EC⇒AE=EB=EC=
2
1
BC.⇒∆ABC vuoâng
ôû A.
2/C/m A;E;N;F cuøng
naèm treân…
-Theo tính chaát hai
tieáp tuyeán caét nhau

19. B E
C
N F
O A I
AEB⇒EO laø ñöôøng trung tröïc cuûa AB hay OE⊥AB hay goùc ENA=1v
Töông töï goùc EFA=2v⇒toång hai goùc ñoái……⇒4 ñieåm…
3/C/m BC
2
=4Rr.
Ta coù töù giaùc FANE coù 3 goùc vuoâng(Cmt)⇒FANE laø hình
vuoâng⇒∆OEI vuoâng ôû E vaø EA⊥OI(Tính chaát tieáp tuyeán).Aùp duïng
heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng coù: AH
2
=OA.AI(Bình phöông
ñöôøng cao baèng tích hai hình chieáu)
Maø AH= 2
BC
vaø OA=R;AI=r⇒ =
4
2
BC
Rr⇒BC
2
=Rr
4/SBCIO=? Ta coù BCIO laø hình thang vuoâng ⇒SBCIO= BC
ICOB
×
+
2
⇒S= 2
)( rRRr +

Baøi 11:
Treân hai caïnh goùc vuoâng xOy laáy hai ñieåm A vaø B sao cho
OA=OB. Moät ñöôøng thaúng qua A caét OB taïi M(M naèm treân ñoaïn
OB).Töø B haï ñöôøng vuoâng goùc vôùi AM taïi H,caét AO keùo daøi taïi I.
19
Hình

20. 1.C/m OMHI noäi tieáp.
2.Tính goùc OMI.
3.Töø O veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi BI taïi K.C/m OK=KH
4.Tìm taäp hôïp caùc ñieåm K khi M thay ñoåi treân OB.
Giaûi:
A
O M B
H
K
I
Cuøng chaén cung OH)⇒OHK=HAB+HAO=OAB=45
o
.
⇒∆OKH vuoâng caân ôû K⇒OH=KH
4/Taäp hôïp caùc ñieåm K…
Do OK⊥KB⇒ OKB=1v;OB khoâng ñoåi khi M di ñoäng ⇒K naèm treân
ñöôøng troøn ñöôøng kính OB.
20
1/C/m OMHI noäi tieáp:
Söû duïng toång hai goùc ñoái.
2/Tính goùc OMI
Do OB⊥AI;AH⊥AB(gt) vaø OB∩AH=M
Neân M laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABI
⇒IM laø ñöôøng cao thöù 3 ⇒IM⊥AB
⇒goùc OIM=ABO(Goùc coù caïnh töông
Maø ∆ vuoâng OAB coù
OA=OB ⇒∆OAB vuoâng caân
ôû O ⇒goùc OBA=45
o
⇒goùc
OMI=45
o
3/C/m OK=KH
Ta coù OHK=HOB+HBO
(Goùc ngoaøi ∆OHB)
Do AOHB noäi tieáp(Vì goùc
Hình

21. Khi M≡Othì K≡O Khi M≡B thì K laø ñieåm chính giöõa cung AB.Vaäy quyõ
tích ñieåm K laø 4
1
ñöôøng troøn ñöôøng kính OB.

21

22. Baøi 12:
Cho (O) ñöôøng kính AB vaø daây CD vuoâng goùc vôùi AB taïi
F.Treân cung BC laáy ñieåm M.Noái A vôùi M caét CD taïi E.
1. C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc CMD.
2. C/m EFBM noäi tieáp.
3. Chöùng toû:AC2=AE.AM
4. Goïi giao ñieåm CB vôùi AM laø N;MD vôùi AB laø I.C/m NI//CD
5. Chöùng minh N laø taâm ñöôøng treøon noäi tieáp ∆CIM
Giaûi:
C
N M
A F O B
I
D
⇒AMB+EFB=2v⇒ñpcm.
3/C/m AC
2
=AE.AM
C/m hai ∆ACE∽∆AMC (A chung;goùc ACD=AMD cuøng chaén cung AD vaø
AMD=CMA cmt ⇒ACE=AMC)…
4/C/m NI//CD. Do cung AC=AD ⇒CBA=AMD(Goùc noäi tieáp chaén caùc
cung baèng nhau) hay NMI=NBI⇒M vaø B cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn
22
1/C/m AM laø phaân giaùc cuûa goùc
CMD
Do AB⊥CD ⇒AB laø phaân giaùc
cuûa tam giaùc caân COD.⇒
COA=AOD.
Caùc goùc ôû taâm AOC vaø AOD
baèng nhau neân caùc cung bò chaén
baèng nhau ⇒cung AC=AD⇒caùc
goùc noäi tieáp chaén caùc cung
naøy baèng nhau.Vaäy CMA=AMD.

23. thaúng NI nhöõng goùc baèng nhau⇒MNIB noäi tieáp⇒NMB+NIM=2v. maø
NMB=1v(cmt)⇒NIB=1v hay NI⊥AB.Maø CD⊥AB(gt) ⇒NI//CD.
5/Chöùng toû N laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆ICM.
Ta phaûi C/m N laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa ∆CIM.
• Theo c/m ta coù MN laø phaân giaùc cuûa CMI
• Do MNIB noäi tieáp(cmt) ⇒NIM=NBM(cuøng chaén cung MN)
Goùc MBC=MAC(cuøng chaén cung CM)
Ta laïi coù CAN=1v(goùc noäi tieápACB=1v);NIA=1v(vì
NIB=1v)⇒ACNI noäi tieáp⇒CAN=CIN(cuøng chaén cung
CN)⇒CIN=NIM⇒IN laø phaân giaùc CIM
Vaäy N laø taâm ñöôøng troøn……
Baøi 13:
Cho (O) vaø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn.Veõ caùc tieáp
tuyeán AB;AC vaø caùt tuyeán ADE.Goïi H laø trung ñieåm DE.
1. C/m A;B;H;O;C cuøng naèm treân 1 ñöôøng troøn.
2. C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC.
3. Goïi I laø giao ñieåm cuûa BC vaø DE.C/m AB
2
=AI.AH.
4. BH caét (O) ôû K.C/m AE//CK.
B
E H
I D
O A
23
Hình

24. K C
1/C/m:A;B;O;C;H cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn: H laø trung ñieåm
EB⇒OH⊥ED(ñöôøng kính ñi qua trung ñieåm cuûa daây …)⇒AHO=1v. Maø
OBA=OCA=1v (Tính chaát tieáp tuyeán) ⇒A;B;O;H;C cuøng naèm treân
ñöôøng troøn ñöôøng kính OA.
2/C/m HA laø phaân giaùc cuûa goùc BHC.
Do AB;AC laø 2 tieáp tuyeán caét nhau ⇒BAO=OAC vaø AB=AC
⇒cung AB=AC(hai daây baêøng nhau cuûa ñöôøng troøn ñkOA) maø
BHA=BOA(Cuøng chaén cung AB) vaø COA=CHA(cuøng chaén cung AC)
maø cung AB=AC ⇒COA=BOH⇒ CHA=AHB⇒ñpcm.
3/Xeùt hai tam giaùc ABH vaø AIB (coù A chung vaø CBA=BHA hai goùc
noäi tieáp chaén hai cung baèng nhau) ⇒∆ABH∽∆AIB⇒ñpcm.
4/C/m AE//CK.
Do goùc BHA=BCA(cuøng chaén cung AB) vaø sñ BKC= 2
1
Sñ cungBC(goùc
noäi tieáp)
Sñ BCA= 2
1
sñ cung BC(goùc giöõa tt vaø 1 daây)
⇒BHA=BKC⇒CK//AB

Baøi 14:
Cho (O) ñöôøng kính AB=2R;xy laø tieáp tuyeán vôùi (O) taïi B. CD
laø 1 ñöôøng kính baát kyø.Goïi giao ñieåm cuûa AC;AD vôùi xy theo thöù
töï laø M;N.
1. Cmr:MCDN noäi tieáp.
2. Chöùng toû:AC.AM=AD.AN
3. Goïi I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp töù giaùc MCDN vaø H
laø trung ñieåm MN.Cmr:AOIH laø hình bình haønh.
24

25. 4. Khi ñöôøng kính CD quay xung quanh ñieåm O thì I di ñoäng
treân ñöôøng naøo?
M
C
A O B
K
D
H I
N
MN⇒IH⊥MN laø IO⊥CD.Do AB⊥MN;IH⊥MN⇒AO//IH. Vaäy caùch döïng
I:Töø O döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi CD.Töø trung ñieåm H cuûa MN
döïng ñöôøng vuoâng goùc vôùi MN.Hai ñöôøng naøy caùch nhau ôû I.
•Do H laø trung ñieåm MN⇒Ahlaø trung tuyeán cuûa ∆vuoâng
AMN⇒ANM=NAH.Maø ANM=BAM=ACD(cmt)⇒DAH=ACD.
Goïi K laø giao ñieåm AH vaø DO do ADC+ACD=1v⇒DAK+ADK=1v hay
∆AKD vuoâng ôû K⇒AH⊥CD maø OI⊥CD⇒OI//AH vaäy AHIO laø hình bình
haønh.
4/Quyõ tích ñieåm I:
25
1/ C/m MCDN noäi tieáp:
∆AOC caân ôû O⇒OCA=CAO;
goùc
CAO=ANB(cuøng phuï vôùi goùc
AMB)⇒goùc ACD=ANM.
Maø goùc ACD+DCM=2v
⇒DCM+DNM=2v⇒ DCMB noäi
tieáp.
2/C/m: AC.AM=AD.AN
Haõy c/m ∆ACD∽∆ANM.
3/C/m AOIH laø hình bình haønh.
• Xaùc ñònh I:I laø taâm
Hình

26. Do AOIH laø hình bình haønh ⇒IH=AO=R khoâng ñoåi⇒CD quay xung
quanh O thì I naèm treân ñöôøng thaúng // vôùi xy vaø caùch xy moät
khoaûng baèng R

26

27. Q
Baøi 15:
Cho tam giaùc ABC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O.Goïi D laø 1 ñieåm
treân cung nhoû BC.Keû DE;DF;DG laàn löôït vuoâng goùc vôùi caùc caïnh
AB;BC;AC.Goïi H laø hình chieáu cuûa D leân tieáp tuyeán Ax cuûa (O).
1. C/m AHED noäi tieáp
2. Goïi giao ñieåm cuûa AH vôùi HB vaø vôùi (O) laø P vaø Q;ED caét
(O) taïi M.C/m HA.DP=PA.DE
3. C/m:QM=AB
4. C/m DE.DG=DF.DH
5. C/m:E;F;G thaúng haøng.(ñöôøng thaúng Sim sôn)
A
H
P O
G
B F C
E
M D
4/C/m: DE.DG=DF.DH .
Xeùt hai tam giaùc DEH vaø DFG coù:
Do EHAD noäi tieáp ⇒HAE=HDE(cuøng chaén cung HE)(1)
Vaø EHD=EAD(cuøng chaén cung ED)(2)
Vì F=G=90o⇒DFGC noäi tieáp⇒FDG=FCG(cuøng chaén cung FG)(3)
FGD=FCD(cuøng chaén cung FD)(4)
27
1/C/m AHED noäi tieáp(Söû duïng
hai ñieåm H;E cuøng laøm haønh
vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng AD…)
2/C/m HA.DP=PA.DE
Xeùt hai tam giaùc vuoâng ñoàng
daïng:
HAP vaø EPD (Coù HPA=EPD ññ)
3/C/m QM=AB:
Do ∆HPA∽∆EDP⇒HAB=HDM
Maø sñHAB= 2
1
sñ cung AB;
SñHDM= 2
1
sñ cung QM⇒ cung
Hình

28. Nhöng FCG=BCA=HAB(5).Töø (1)(3)(5)⇒EDH=FDG(6).
Töø (2);(4) vaø BCD=BAD(cuøng chaén cungBD)⇒EHD=FGD(7)
Töø (6)vaø (7)⇒∆EDH∽∆FDG⇒ DG
DH
DF
ED
= ⇒ñpcm.
5/C/m: E;F;G thaúng haøng:
Ta coù BFE=BDE(cmt)vaø GFC=CDG(cmt)
Do ABCD noäi tieáp⇒BAC+BMC=2v;do GDEA noäi tieáp⇒EDG+EAG=2v.
⇒EDG=BDC maø EDG=EDB+BDG vaø BCD=BDG+CDG⇒EDB=CDG
⇒GFC=BEF⇒E;F;G thaúng haøng.

28

29. Baøi 16:
Cho tam giaùc ABC coù A=1v;AB<AC.Goïi I laø trung ñieåm BC;qua
I keû IK⊥BC(K naèm treân BC).Treân tia ñoái cuûa tia AC laáy ñieåm M
sao cho MA=AK.
1. Chöùng minh:ABIK noäi tieáp ñöôïc trong ñöôøng troøn
taâm O.
2. C/m goùc BMC=2ACB
3. Chöùng toû BC
2
=2AC.KC
4. AI keùo daøi caét ñöôøng thaúng BM taïi N.Chöùng minh
AC=BN
5. C/m: NMIC noäi tieáp.
N
M
A
K
B I C
⇒KBC=KCB Vaäy BMC=2ACB
3/C/m BC
2
=2AC.KC
Xeùt 2 ∆ vuoâng ACB vaø ICK coù C chung⇒∆ACB∽∆ICK
⇒
CK
CB
IC
AC
= ⇒IC=
2
BC
⇒ CK
BC
BC
AC
=
2
⇒ñpcm
29
1/C/m ABIK noäi tieáp
(töï C/m)
2/C/m BMC=2ACB
do AB⊥MK vaø
MA=AK(gt)⇒∆BMK
caân ôû B⇒BMA=AKB
Maø AKB=KBC+KCB
(Goùc ngoaøi tam giac
KBC).
Do I laø trung ñieåm
Hình

30. 4/C/m AC=BN
Do AIB=IAC+ICA(goùc ngoaøi ∆IAC) vaø ∆IAC Caân ôû I⇒IAC=ICA
⇒AIB=2IAC(1). Ta laïi coù BKM=BMK vaø BKM=AIB(cuøng chaén cung AB-
töù giaùc AKIB noäi tieáp)
⇒AIB=BMK(2) maø BMK=MNA+MAN(goùc ngoaøi tam giaùc MNA) Do
∆MNA caân ôû M(gt)⇒MAN=MNA⇒BMK=2MNA(3)
Töø (1);(2);(3)⇒IAC=MNA vaø MAN=IAC(ñ ñ)⇒…
5/C/m NMIC noäi tieáp:
do MNA=ACI hay MNI=MCI⇒ hai ñieåm N;C cuøng laøm thaønh vôùi hai
ñaàu…)

Baøi 17:
Cho (O) ñöôøng kính AB coá ñònh,ñieåm C di ñoäng treân nöûa
ñöôøng troøn.Tia phaân giaùc cuûa ACB caét (O) tai M.Goïi H;K laø hình
chieáu cuûa M leân AC vaø AB.
1.C/m:MOBK noäi tieáp.
2.Töù giaùc CKMH laø hình vuoâng.
3.C/m H;O;K thaúng haøng.
4.Goïi giao ñieåm HKvaø CM laø I.Khi C di ñoäng treân nöûa ñöôøng
troøn thì I chaïy treân ñöôøng naøo?
C
H
A O B
I
P Q K
30
1/C/m:BOMK noäi tieáp:
Ta coù BCA=1v(goùc noäi
tieáp chaén nöûa ñöôøng
troøn)
CM laø tia phaân giaùc cuûa
goùc BCA⇒ACM=MCB=45
o
.
⇒cungAM=MB=90
o
.
⇒daây AM=MB coù O laø
trung ñieåm AB ⇒OM⊥AB

31. M
2/C/m CHMK laø hình vuoâng:
Do ∆ vuoâng HCM coù 1 goùc baèng 45
o
neân ∆CHM vuoâng caân ôû H
⇒HC=HM, töông töï CK=MK Do C=H=K=1v ⇒CHMK laø hình chöõ nhaät
coù hai caïnh keà baèng nhau ⇒CHMK laø hình vuoâng.
3/C/m H,O,K thaúng haøng:
Goïi I laø giao ñieåm HK vaø MC;do MHCK laø hình vuoâng⇒HK⊥MC taïi
trung ñieåm I cuûa MC.Do I laø trung ñieåm MC⇒OI⊥MC(ñöôøng kính ñi
qua trung ñieåm moät daây…)
Vaäy HI⊥MC;OI⊥MC vaø KI⊥MC⇒H;O;I thaúng haøng.
4/Do goùc OIM=1v;OM coá ñònh⇒I naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính
OM.
-Giôùi haïn:Khi C≡B thì I≡Q;Khi C≡A thì I≡P.Vaäy khi C di ñoäng treân nöûa
ñöôøng troøn (O) thì I chaïy treân cung troøn PHQ cuûa ñöôøng troøn
ñöôøng kính OM.

Baøi 18:
Cho hình chöõ nhaät ABCD coù chieàu daøi AB=2a,chieàu roäng BC=a.Keû tia
phaân giaùc cuûa goùc ACD,töø A haï AH vuoâng goùc vôùi ñöôøng phaân
giaùc noùi treân.
1/Chöùng minhAHDC nt trong ñöôøng troøn taâm O maø ta phaûi ñònh roõ
taâm vaø baùn kính theo a.
31
Hình

32. 2/HB caét AD taïi I vaø caét AC taïi M;HC caét DB taïi N.Chöùng toû
HB=HC. Vaø AB.AC=BH.BI
3/Chöùng toû MN song song vôùi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O)
4/Töø D keû ñöôøng thaúng song song vôùi BH;ñöôøng naøy caét HC ôû K
vaø caét (O) ôû J.Chöùng minh HOKD nt.
•Xeùt hai ∆HCA∆ABI coù A=H=1v vaø ABH=ACH(cuøng chaén cung AH)
⇒ ∆HCA∽∆ABI ⇒ BI
AC
AB
HC
= maø HB=HC⇒ñpcm
3/Goïi tieáp tuyeán taïi H cuûa (O) laø Hx.
•DoAH=HD;AO=HO=DO⇒∆AHO=∆HOD⇒AOH=HOD maø∆AOD caân ôû
O⇒OH⊥AD vaø OH⊥Hx(tính chaát tieáp tuyeán) neân AD//Hx(1)
•Do cung AH=HD ⇒ABH=ACH=HBD⇒HBD=ACH hay MBN=MCN hay 2 ñieåm
B;C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn MN nhöõng goùc baèng nhau ⇒MNCB noäi
tieáp⇒NMC=NBC(cuøng chaén cung NC) maø DBC=DAC (cuøng chaén cung DC)
⇒NMC=DAC ⇒MN//DA(2).Töø (1)vaø (2)⇒MN//Hx.
4/C/m HOKD noäi tieáp:
Do DJ//BH⇒HBD=BDJ (so le)⇒cung BJ=HD=AH= 2
AD
maø cung
AD=BC⇒cung BJ=JC⇒H;O;J thaúng haøng töùc HJ laø ñöôøng kính ⇒HDJ=
1v .Goùc HJD=ACH(cuøng chaén 2 cung baèng nhau)⇒OJK=OCK⇒CJ cuøng
laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn OK nhöõng goùc baèng nhau⇒OKCJ noäi tieáp
32
x A B
M
H I O J
N K
D C

33. ⇒KOC=KJC (cuøng chaén cung KC);KJC=DAC(cuøng chaén cung
DC)⇒KOC=DAC⇒OK//AD maø AD⊥HJ⇒OK⊥HO⇒HDKC noäi tieáp.

33

34. H
I M
A O B
Baøi 19:
Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính AB,baùn kính OC⊥AB.Goïi M
laø 1 ñieåm treân cung BC.Keû ñöôøng cao CH cuûa tam giaùc ACM.
1. Chöùng minh AOHC noäi tieáp.
2. Chöùng toû ∆CHM vuoâng caân vaø OH laø phaân giaùc cuûa goùc
COM.
3. Goïi giao ñieåm cuûa OH vôùi BC laø I.MI caét (O) taïi D.Cmr:CDBM
laø hình thang caân.
4. BM caét OH taïi N.Chöùng minh ∆BNI vaø ∆AMC ñoàng daïng,töø
ñoù suy ra: BN.MC=IN.MA.
C N
D
Sñ CMA= 2
1
sñcung AC=45
o
.⇒∆CHM vuoâng caân ôû M.
•C/m OH laø phaân giaùc cuûa goùc COM:Do ∆CHM vuoâng caân ôû
H⇒CH=HM; CO=OB(baùn kính);OH
chung⇒∆CHO=∆HOM⇒COH=HOM⇒ñpcm.
3/C/m:CDBM laø thang caân:
Do ∆OCM caân ôû O coù OH laø phaân giaùc⇒OH laø ñöôøng trung tröïc
cuûa CM maø I∈OH⇒∆ICM caân ôû I⇒ICM=IMC maø ICM=MDB(cuøng
chaén cung BM)
⇒IMC=IDB hay CM//DB.Do ∆IDB caân ôû I⇒IDB=IBD vaø
MBC=MDC(cuøng chaén cungCM) neân CDB=MBD⇒CDBM laø thang
caân.
4/•C/m BNI vaø ∆AMC ñoàng daïng:
34
1/C/m AOHC noäi tieáp:
(hoïc sinh töï chöùng
minh)
2/•C/m∆CHM vuoâng
caân:
Do OC⊥AB traïi trung
ñieåm O⇒Cung
AC=CB=90
o
.
Hình

35. K
D
N
Do OH laø ñöôøng trung tröïc cuûa CM vaø N∈OH ⇒CN=NM.
Do AMB=1v⇒HMB=1v hay NM⊥AM maø CH⊥AM⇒CH//NM,coù goùc
CMH=45
o
⇒NHM=45
o
⇒∆MNH vuoâng caân ôû M vaäy CHMN laø hình
vuoâng ⇒INB=CMA=45
o
.
•Do CMBD laø thang caân⇒CD=BM⇒ cungCD=BM maø cung
AC=CB⇒cungAD=CM…
vaø CAM=CBM(cuøng chaén cung CM)
⇒∆INB=∆CMA⇒ ñpcm
Baøi 20:
Cho ∆ ñeàu ABC noäi tieáp trong (O;R).Treân cnaïh AB vaø AC laáy hai
ñieåm M;N sao cho BM=AN.
1. Chöùng toû ∆OMN caân.
2. C/m :OMAN noäi tieáp.
3. BO keùo daøi caét AC taïi D vaø caét (O) ôû E.C/m BC
2
+DC
2
=3R
2
.
4. Ñöôøng thaúng CE vaø AB caét nhau ôû F.Tieáp tuyeán taïi A cuûa (O)
caét FC taïi I;AO keùo daøi caét BC taïi J.C/m BI ñi qua trung ñieåm cuûa
AJ.
F
A I
E
M
35
1/C/m OMN caân:
Do ∆ABC laø tam giaùc ñeàu noäi tieáp trong
(O)⇒AO vaø BO laø phaân giaùc cuûa ∆ABC
⇒OAN=OBM=30
o
; OA=OB=R vaø
BM=AN(gt)⇒∆OMB=∆ONA
⇒OM=ON ⇒OMN caân ôû O.
2/C/m OMAN noäi tieáp:
do ∆OBM=∆ONA(cmt)⇒BMO=ANO
maø BMO+AMO=2v⇒ANO+AMO=2v.
⇒AMON noäi tieáp.
3/C/m BC
2
+DC
2
=3R
2
.
Do BO laø phaân giaùc cuûa ∆ñeàu ⇒BO⊥AC
hay ∆BOD vuoâng ôû D.Aùp duïng heä thöùc

36. OB J C
⇒AOC=120
o
⇒AOE=60
o
⇒∆AOE laø tam giaùc ñeàu coù AD⊥OE⇒OD=ED= 2
R
Aùp duïng Pitago ta coù:OD
2
=OC
2
-CD
2
=R
2
-CD
2
.(2)
Töø (1)vaø (2)⇒BC
2
=R
2
+2.R. 2
R
+CD
2
-CD
2
=3R
2
.
4/Goïi K laø giao ñieåm cuûa BI vôùi AJ.
Ta coù BCE=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)coù B=60
o
⇒BFC=30
o
.
⇒BC= 2
1
BF maø AB=BC=AB=AF.Do AO⊥AI(t/c tt) vaø AJ⊥BC⇒AI//BC coù A laø
trung ñieåm BF⇒I laø trung ñieåm CF. Hay FI=IC.
Do AK//FI.Aùp duïng heä quaû Taleùt trong ∆BFI coù: BI
BK
EI
AK
=
Do KJ//CI.Aùp duïng heä quaû Taleùt trong ∆BIC coù: BI
BK
CJ
KJ
=
Maø FI=CI⇒AK=KJ (ñpcm)

Baøi 21:
Cho ∆ABC (A=1v)noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm (O).Goïi M laø
trung ñieåm caïnh AC.Ñöôøng troøn taâm I ñöôøng kính MC caét caïnh BC
ôû N vaø caét (O) taïi D.
1. C/m ABNM noäi tieáp vaø CN.AB=AC.MN.
2. Chöùng toû B,M,D thaúng haøng vaø OM laø tieáp tuyeán cuûa (I).
3. Tia IO caét ñöôøng thaúng AB taïi E.C/m BMOE laø hình bình
haønh.
4. C/m NM laø phaân giaùc cuûa goùc AND.
A
36
Hình
CI
KJ
FI
AK
=
1/
•C/m ABNM noäi tieáp:
(duøng toång hai goùc ñoái)
•C/m CN.AB=AC.MN
Chöùng minh hai tam giaùc
vuoâng ABC vaø NMC ñoàng
daïng.
2/•C/m B;M;D thaúng haøng. Ta

37. I
M D
B O N C
E
Hay BD⊥DC. Qua ñieåm D coù hai ñöôøng thaúng BD vaø DM cuøng
vuoâng goùc vôùi DC⇒B;M;D thaúng haøng.
•C/m OM laø tieáp tuyeán cuûa (I):Ta coù MO laø ñöôøng trung bình
cuûa ∆ABC (vì M;O laø trung ñieåm cuûa AC;BC-gt)⇒MO//AB maø
AB⊥AC(gt)⇒MO⊥AC hay MO⊥IC;M∈(I)⇒MO laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng
troøn taâm I.
3/C/m BMOE laø hình bình haønh: MO//AB hay MO//EB.Maø I laø trung
ñieåm MC;O laø trung ñieåm BC⇒OI laø ñöôøng trung bình cuûa
∆MBC⇒OI//BM hay OE//BM⇒BMOE laø hình bình haønh.
4/C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc AND:
Do ABNM noäi tieáp ⇒MBA=MNA(cuøng chaén cung AM)
MBA=ACD(cuøng chaén cung AD)
Do MNCD noäi tieáp ⇒ACD=MND(cuøng chaén cung MD)
⇒ANM=MND⇒ñpcm.

Baøi 22:
37
Hình

38. Cho hình vuoâng ABCD coù caïnh baèng a.Goïi I laø ñieåm baát kyø
treân ñöôøng cheùo AC.Qua I keû caùc ñöôøng thaúng song song vôùi
AB;BC,caùc ñöôøng naøy caét AB;BC;CD;DA laàn löôït ôû P;Q;N;M.
1. C/m INCQ laø hình vuoâng.
2. Chöùng toû NQ//DB.
3. BI keùo daøi caét MN taïi E;MP caét AC taïi F.C/m MFIN noäi tieáp
ñöôïc trong ñöôøng troøn.Xaùc ñònh taâm.
4. Chöùng toû MPQN noäi tieáp.Tính dieän tích cuûa noù theo a.
5. C/m MFIE noäi tieáp.
A M D
F
E
P I N
B Q C
Hay NQ⊥AC⇒NQ//DB.
3/C/m MFIN noäi tieáp: Do MP⊥AI(tính chaát hình
vuoâng)⇒MFI=1v;MIN=1v(gt)
⇒hai ñieåm F;I cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn MN…⇒MFIN noäi tieáp.
Taâm cuûa ñöôøng troøn naøy laø giao ñieåm hai ñöôøng cheùo hình chöõ
nhaät MFIN.
4/C/m MPQN noäi tieáp:
Do NQ//PM⇒MNQP laø hình thang coù PN=MQ⇒MNQP laø thang
caân.Deã daøng C/m thang caân noäi tieáp.
TÍnh SMNQP=SMIP+SMNI+SNIQ+SPIQ= 2
1
SAMIP+ 2
1
SMDNI+ 2
1
SNIQC+ 2
1
SPIQB
38
1/C/m INCQ laø hình vuoâng:
MI//AP//BN(gt)⇒MI=AP=BN
⇒NC=IQ=PD ∆NIC vuoâng ôû N coù
ICN=45
o
(Tính chaát ñöôøng cheùo
hình vuoâng)⇒∆NIC vuoâng caân
ôû N
⇒INCQ laø hình vuoâng.
2/C/m:NQ//DB:
Hình

39. E
I
H
= 2
1
SABCD= 2
1
a
2
.
5/C/m MFIE noäi tieáp:
Ta coù caùc tam giaùc vuoâng BPI=IMN(do PI=IM;PB=IN;P=I=1v.
⇒PIB=IMN maø PBI=EIN(ñ ñ)⇒IMN=EIN
Ta laïi coù IMN+ENI=1v⇒EIN+ENI=1v⇒IEN=1v maø MFI=1v⇒IEM+MFI=2v
⇒FMEI noäi tieáp

Baøi 23:
Cho hình vuoâng ABCD,N laø trung ñieåm DC;BN caét AC taïi F,Veõ
ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính BN.(O) caét AC taïi E.BE keùo daøi caét
AD ôû M;MN caét (O) taïi I.
1. C/m MDNE noäi tieáp.
2. Chöùng toû ∆BEN vuoâng caân.
3. C/m MF ñi qua tröïc taâm H cuûa ∆BMN.
4. C/m BI=BC vaø ∆IE F vuoâng.
5. C/m ∆FIE laø tam giaùc vuoâng.
Q B
A
M
D N C
39
1/C/m MDNE noäi tieáp.
Ta coù NEB=1v(goùc nt chaén
nöûa ñöôøng troøn)
⇒MEN=1v;MDN=1v(t/c hình
vuoâng)
⇒MEN+MDN=2v⇒ñpcm
2/C/m BEN vuoâng caân:
NEB vuoâng(cmt)
Do CBNE noäi tieáp
⇒ENB=BCE(cuøng chaén cung
BE) maø BCE=45
o
(t/c
hv)⇒ENB=45
o
⇒ñpcm.
Hình

40. Ta coù BIN=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn)
⇒BI⊥MN. Maø EN⊥BM(cmt)⇒BI vaø EN laø hai ñöôøng cao cuûa ∆BMN⇒Giao ñieåm
cuûa EN vaø BI laø tröïc taâm H.Ta phaûi C/m M;H;F thaúng haøng.
Do H laø tröïc taâm ∆BMN⇒MH⊥BN(1)
MAF=45
o
(t/c hv);MBF=45
o
(cmt)⇒MAF=MBF=45
o
⇒MABF noäi tieáp.⇒MAB+MFB=2v maø
MAB=1v(gt)⇒MFB=1v hay MF⊥BM(2)
Töø (1)vaø (2)⇒M;H;F thaúng haøng.
4/C/m BI=BC: Xeùt 2∆vuoâng BCN vaø BIN coù caïnh huyeàn BN chung;NBC=NEC
(cuøng chaén cung NC).Do MEN=MFN=1v⇒MEFN noäi tieáp⇒NEC=FMN(cuøng chaén
cung FN);FMN=IBN(cuøng phuï vôùi goùc INB)⇒IBN=NBC⇒∆BCN=∆BIN.⇒BC=BI
*C/m ∆IEF vuoâng:Ta coù EIB=ECB(cuøng chaén cung EB) vaø ECB=45
o
⇒EIB=45
o

Do HIN+HFN=2v⇒IHFN noäi tieáp⇒HIF=HNF (cuøng chaén cung HF);maø HNF=45
o
(do
∆EBN vuoâng caân)⇒HIF=45
o
. Töøvaø ⇒EIF=1v ⇒ñpcm
5/ * C/mBM laø ñöôøng trung tröïc cuûa QH:Do AI=BC=AB(gt vaø cmt)⇒∆ABI caân ôû
B.Hai ∆vuoâng ABM vaø BIM coù caïnh huyeàn BM
chung;AB=BI⇒∆ABM=∆BIM⇒ABM=MBI;∆ABI caân ôû B coù BM laø phaân giaùc ⇒BM
laø ñöôøng trung tröïc cuûa QH.
*C/mMQBN laø thang caân: Töù giaùc AMEQ coù A+QEN=2v(do EN⊥BM theo cmt)
⇒AMEQ noäi tieáp⇒MAE=MQE(cuøng chaén cung ME) maø MAE=45
o
vaø
ENB=45
o
(cmt) ⇒MQN=BNQ=45
o
⇒MQ//BN.ta laïi coù MBI=ENI(cuøng chaén cungEN)
vaø MBI=ABM vaøIBN=NBC(cmt)
⇒ QBN=ABM+MBN=ABM+45
o
(vì MBN=45
o
)⇒MNB=MNE+ENB=MBI+45
o
⇒MNB=QBN⇒MQBN laø thang caân.
Baøi 24:
Cho ∆ABC coù 3 goùc nhoïn(AB<AC).Veõ ñöôøng cao AH.Töø H keû
HK;HM laàn löôït vuoâng goùc vôùi AB;AC.Goïi J laø giao ñieåm cuûa AH
vaø MK.
1. C/m AMHK noäi tieáp.
2. C/m JA.JH=JK.JM
40

41. 3. Töø C keû tia Cx⊥vôùi AC vaø Cx caét AH keùo daøi ôû D.Veõ
HI;HN laàn löôït vuoâng goùc vôùi DB vaø DC. Cmr : HKM=HCN
4. C/m M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
A
J M
K
B H C
I
N
D
Maø HAM=MHC (cuøng phuï vôùi goùc ACH).
Do HMC=MCN=CNH=1v(gt)⇒MCNH laø hình chöõ nhaät ⇒MH//CN hay
MHC=HCN⇒HKM=HCN.
4/C/m: M;N;I;K cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
Do BKHI noäi tieáp⇒BKI=BHI(cuøng chaén cung BI);BHI=IDH(cuøng phuï
vôùi goùc IBH)
Do IHND noäi tieáp⇒IDH=INH(cuøng chaén cung IH)⇒BKI=HNI
Do AKHM noäi tieáp⇒AKM=AHM(cuøng chaén cung
AM);AHM=MCH(cuøng phuï vôùi HAM)
Do HMCN noäi tieáp⇒MCH=MNH(cuøng chaén cung MH)⇒AKM=MNH
41
1/C/m AMHK noäi tieáp:
Duøng toång hai goùc
ñoái)
2/C/m: JA.JH=JK.JM
Xeùt hai tam giaùc:JAM
vaø JHK coù: AJM=KJH
(ññ).Do AKHM nt
⇒HAM=HKM( cuøng
chaén cung HM)
⇒∆JAM∽∆JKH
⇒ñpcm
3/C/m HKM=HCN
Hình

42. maø BKI+AKM+MKI=2v⇒HNI+MNH+MKI=2v hay IKM+MNI=2v⇒ M;N;I;K
cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
42

43. I
Baøi 25:
Cho ∆ABC (A=1v),ñöôøng cao AH.Ñöôøng troøn taâm H,baùn kính HA
caét ñöôøng thaúng AB taïi D vaø caét AC taïi E;Trung tuyeán AM cuûa
∆ABC caét DE taïi I.
1. Chöùng minh D;H;E thaúng haøng.
2. C/m BDCE noäi tieáp.Xaùc ñònh taâm O cuûa ñöôøng troøn naøy.
3. C?m AM⊥DE.
4. C/m AHOM laø hình bình haønh.
A
E
B H M C
D
O
⇒BDE=BCE⇒Hai ñieåm D;C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúng BE…
Xaùc ñònh taâm O:O laø giao ñieåm hai ñöôøng trung tröïc cuûa BE vaø
BC.
3/C/m:AM⊥DE:
Do M laø trung ñieåm BC⇒AM=MC=MB= 2
BC
⇒MAC=MCA;maø
ABE=ACB(cmt)⇒MAC=ADE.
Ta laïi coù:ADE+AED=1v(vì A=1v)⇒CAM+AED=1v⇒AIE=1v vaäy AM⊥ED.
4/C/m AHOM laø hình bình haønh:
43
1/C/m D;H;E thaúng
haøng:
Do DAE=1v(goùc noäi
tieáp chaén nöûa ñöôøng
troøn taâm H)⇒DE laø
ñöôøng kính⇒ D;E;H
thaúng haøng.
2/C/m BDCE noäi tieáp:
∆HAD caân ôû H(vì
Hình

44. Do O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp BECD⇒OM laø ñöôøng trung tröïc
cuûa BC ⇒OM⊥BC⇒OM//AH.
Do H laø trung ñieåm DE(DE laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn taâm
H)⇒OH⊥DE maø AM⊥DE⇒AM//OH⇒AHOM laø hình bình haønh.

44

45. E
F
M
Baøi 26:
Cho ∆ABC coù 2 goùc nhoïn,ñöôøng cao AH.Goïi K laø ñieåm doái
xöùng cuûa H qua AB;I laø ñieåm ñoái xöùng cuûa H qua AC.E;F laø giao
ñieåm cuûa KI vôùi AB vaø AC.
1. Chöùng minh AICH noäi tieáp.
2. C/m AI=AK
3. C/m caùc ñieåm: A;E;H;C;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
4. C/m CE;BF laø caùc ñöôøng cao cuûa ∆ABC.
5. Chöùng toû giao ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa ∆HFE chính
laø tröïc taâm cuûa ∆ABC.
I
A
K
B H C
2/C/m AI=AK:
Theo chöùng minh treân ta coù:AI=AH.Do K ñx vôùi H qua AB neân AB laø ñöôøng
trung tröïc cuûa KH⇒AH=AK⇒ AI=AK(=AH)
3/C/m A;E;H;C;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn:
DoE∈ABvaø ABlaø trung tröïc cuûa KH⇒EK=EH;EA
chung;AH=AK⇒∆AKE=∆AHE⇒AKE=EHA maø∆AKI caân ôû A(theo c/m treân
AK=AI) ⇒AKI=AIK.⇒EHA=AIE⇒ hai ñieåm I vaø K cung laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn
AE…⇒A;E;H;I cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn kyù hieäu laø (C)
45
1/C/m AICH noäi tieáp:
Do I ñx vôùi H qua
AC⇒AC laø trung tröïc
cuûa HI⇒AI=AH vaø
HC=IC;AC chung
⇒∆AHC=∆AIC(ccc)
⇒AHC=AIC maø
AHC=1v(gt)⇒AIC=1v
⇒AIC+AHC=2v⇒ AICH
Hình

46. Theo cmt thì A;I;CV;H cuøng naèm treân ñöôøng troøn(C’) ⇒ (C) vaø (C’)
truøng nhau vì coù chung 3 ñieåm A;H;I khoâng thaúng haøng)
4/C/m:CE;BF laø ñöôøng cao cuûa ∆ABC.
Do AEHCI cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn coù AIC=1v⇒AC laø ñöôøng
kính.⇒AEC=1v
( goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn)Hay CE laø ñöôøng cao cuûa
∆ABC.Chöùng minh töông töï ta coù BF laø ñöôøng cao…
5/Goïi M laø giao ñieåmAH vaø EC.Ta C/m M laø giao ñieåm 3 ñöôøng phaân
giaùc cuûa ∆HFE.
EBHM nt⇒ MHE=MBE(cuøng chaén cungEM)
BEFC nt⇒ FBE=ECF (Cuøng chaén cung EF)
HMFC nt⇒FCM=FMH(cuøng chaén cung MF)
C/m töông töï coù EC laø phaân giaùc cuûa ∆FHE⇒ñpcm.
Baøi 27:
Cho ∆ABC(AB=AC) noäi tieáp trong (O).Goïi M laø moät ñieåm baát kyø
treân cung nhoû AC.Treân tia BM laáy MK=MC vaø treân tia BA laáy
AD=AC.
1.C/m: BAC=2BKC
2.C/m BCKD noäi tieáp.,xaùc ñònh taâm cuûa ñöôøng troøn naøy.
3.Goïi giao ñieåm cuûa DC vôùi (O) laø I.C/m B;O;I thaúng haøng.
4.C/m DI=BI.
D
A
I K
46
⇒EHM=MHF
⇒HA laø pg…
1/Chöùng toû:BAC=BMC
(cuøng chaén cung BC)
BMC=MKC+MCK(goùc
ngoaøi ∆MKC)
Maø MK=MC(gt)⇒∆MKC
caân ôû M⇒MKC=MCK
⇒BMC=2BKC.
⇒BAC=2BKC.
2/C/mBCKD noäi tieáp:
Ta coù
BAC=ADC+ACD(goùc
ngoaøi ∆ADC) maø

47. M
B C
AD=AC(gt)⇒∆ADC caân ôû A⇒ADC=ACD⇒BAC=2BDC
Nhöng ta laïi coù:BAC=2BKC(cmt)⇒BDC=BKC ⇒BCKD noäi tieáp.
Xaùc ñònh taâm:Do AB=AC=AD⇒A laø trung ñieåm BD⇒ trung tuyeán CA= 2
1
BD⇒∆BCD vuoâng ôû C
.Do BCKD noäi tieáp ⇒DKB=DCB(cuøng chaén cungBD).Maø
BCD=1v⇒BKD=1v⇒∆BKD vuoâng ôû K coù trung tuyeán KA⇒KA= 2
1
BD
⇒AD=AB=AC=AK ⇒A laø taâm ñöôøng troøn…
3/C/m B;O;I thaúng haøng:Do goùc BCI=1v,maø B;C;I∈(O) ⇒BI laø ñöôøng kính
⇒B;O;I thaúng haøng.
4/C/mBI=DI:
Caùch 1: Ta coù BAI=1v(goùc noäi tieáp chaén nöû ñöôøng troøn)hay AI⊥DB,coù
A laø trung ñieåm⇒AI laø ñöôøng trung tröïc cuûa BD⇒∆IBD caân ôû I⇒ID=BI
Caùch 2: ACI=ABI(cuøng chaén cung AI)∆ADC caân ôû
D⇒ACI=ADI⇒BDC=ACD⇒IDB=IBD⇒∆BID caân ôû I⇒ñpcm.
Baøi 28:
Cho töù giaùc ABCD noäi tieáp trong(O).Goïi I laø ñieåm chính giöõa cung
AB(Cung AB khoâng chöùa ñieåm C;D).IC vaø ID caét AB ôû M;N.
1.C/m D;M;N;C cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
2.C/m NA.NB=NI.NC
3.DI keùo daøi caét ñöôøng thaúng BC ôû F;ñöôøng thaúng IC caét
ñöôøng thaúng AD ôû E.C/m:EF//AB.
4.C/m :IA
2
=IM.ID.
47
Hình

48. M N
 O
E F
I B
A
D C
IAB=ICB(cuøng chaén cung BI)
INA=BNC(ñ ñ)⇒∆NAI∽∆NCB⇒ñpcm.
3/C/m EF//AB:
Do IDA=ICB(cuøng chaén hai cung hai cung baèng nhau IA=IB) hay
EDF=ECF
⇒hai ñieåm D vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn EF…⇒EDCF noäi
tieáp
⇒ EFD=ECD(cuøng chaén cung ED),maø ECD=IMN(cmt)⇒ EFD=FMN⇒
EF//AB.
4/C/m: IA
2
=IM.ID.
2 ∆AIM∽∆DIA vì: I chung;IAM=IDA(hai goùc nt chaén hai cung baèng
nhau)
⇒ñpcm.

48
1/C/m D;M;N;C cuøng naèm treân
moät ñöôøng troøn.
Sñ IMB= 2
1
sñcung(IB+AD)
Sñ NCD= 2
1
Sñ cungDI
Maø cung IB=IA⇒IMB=NCD
⇒IMB=NCD.
Ta laïi coù IMN+DMN=2v
⇒NCD+DMN=2v⇒MNCD noäitieáp.
2/Xeùt 2∆NBC vaø NAI coù:
Hình

49. C
Baøi 29:
Cho hình vuoâng ABCD,treân caïnh BC laáy ñieåm E.Döïng tia Ax vuoâng goùc
vôùi AE, Ax caét caïnh CD keùo daøi taïi F.Keû trung tuyeán AI cuûa ∆AEF,AI keùo
daøi caét CD taïi K.qua E döïng ñöôøng thaúng song song vôùi AB,caét AI taïi G.
1. C/m AECF noäi tieáp.
2. C/m: AF
2
=KF.CF
3. C/m:EGFK laø hình thoi.
4. Cmr:khi E di ñoäng treân BC thì EK=BE+DK vaø chu vi ∆CKE coù giaù trò
khoâng ñoåi.
5. Goïi giao ñieåm cuûa EF vôùi AD laø J.C/m:GJ⊥JK.
Giaûi:
F
A J D
G
I K
49
1/C/m AECF noäi tieáp:
FAE=DCE=1v(gt)
⇒ AECF noäi tieáp
2/C/m: AF
2
=KF.CF.
Do AECF noäi tieáp⇒
DCA=FEA(cung chaén cung
AF).Maø DCA=45
o
(Tính chaát hình vuoâng)
⇒FEA=45
o
⇒∆FAE vuoâng
caân ôû A coù
FI=IE⇒AI⊥FE
⇒FAK=45
o
.
⇒FKA=ACF=45
o
.Vaø KFA

50. EB
3/C/m: EGFK laø hình thoi. -Do AK laø ñöôøng trung tröïc cuûa FE⇒∆GFE caân ôû
G
⇒GFE=GEF.Maø GE//CF (cuøng vuoâng goùc vôùi AD)⇒GEF=EFK(so le)
⇒GFI=IFK⇒FI laø ñöôøng trung tröïc cuûa GK⇒GI=IK,maø I F=IE⇒GFKE laø
hình thoi.
4/C/m EK=BE+DK:∆ vuoâng ADF vaø ABE coù AD=AB;AF=AE.(∆AE F vuoâng
caân)⇒∆ADF=∆ABE ⇒BE=DF naø FD+DK=FK VAØ FK=KE(t/v hình
thoi)⇒KE=BE+DK
C/m chu vi tam giaùc CKE khoâng ñoåi:Goïi chu vi laø C= KC+EC+KE
=KC+EC+BE +DK =(KC+DK)+(BE+EC)=2BC khoâng ñoåi.
5/C/m IJ⊥JK:
Do JIK=JDK=1v⇒IJDK noäi tieáp ⇒JIK=IDK(cuøng chaén cung IK) IDK=45
o
(T/c
hình vuoâng)⇒ JIK=45
o
⇒∆JIK vuoâng vaân ôû I⇒JI=IK,maø IK=GI
⇒JI=IK=GI= 2
1
GK⇒∆GJK vuoâng ôû J hay GJ⊥JK.
Baøi 30:
Cho ∆ABC.Goïi H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc.Döïng hình bình haønh
BHCD. Goïi I laø giao ñieåm cuûa HD vaø BC.
1. C/m:ABDC noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O;neâu caùh döïng
taâm O.
2. So saùnh BAH vaø OAC.
3. CH caét OD taïi E.C/m AB.AE=AH.AC
4.Goïi giao ñieåm cuûa AI vaø OH laø G.C/m G laø troïng taâm cuûa
∆ABC.
A
50
Hình
1/c/m:ABDC noäi tieáp:
Goïi caùc ñöôøng cao cuûa
∆ABC laø AN;BM;CN.
Do
AQH+HMA=2v⇒AQHM noäi
tieáp⇒BAC+QHM=2v
maø QHM=BHC(ñ ñ)
BHC=CDB(2 goùc ñoái cuûa
hình bình haønh)
⇒BAC+CDB=2V⇒ABDC

51.  O
M
H
N I C
G
Q
B
Vaø BH⊥AC⇒CD⊥AC hay ACD=1v,maø A;D;Cè naèm treân ñöôøng
troøn⇒AD laø ñöôøng kính.Vaäy O laø trung ñieåm AD.
2/So saùnh BAH vaø OAC:
BAN=QCB(cuøng phuï vôùi ABC) maø CH//BD( do BHCD laø hình bình
haønh) ⇒QCB=CBD(so le);CBD=DAC(cuøng chaén cung CD)⇒BAH=OAC.
3/c/m: AB.AE=AH.AC:
Xeùt hai tam giaùc ABH vaø ACE coù EAC=HCB(cmt);ACE=HBA(cuøng
phuï vôùi BAC)⇒∆ABH∽∆ACE⇒ñpcm
4/C/m G laø troïng taâm cuûa ∆ABC.ta phaûi cm G laø giao ñieåm ba
ñöôøng trung tuyeán hay GJ= 3
1
AI.
Do IB=IC⇒OI⊥BC maø AH⊥BC⇒OI//AH.Theo ñònh lyù Ta Leùt trong ∆AGH
⇒
AG
GI
AH
OI
= .Do I laø trung ñieåm HD⇒O laø trung ñieåm AD⇒
2
1
=
AH
OI
(T/c
ñöôøng trung bình)⇒ 2
1
==
AG
GI
AH
OI
⇒GI= 2
1
AG. Hay GI= 3
1
AI⇒G laø troïng
taâm cuûa ∆ABC.

Baøi 31:
Cho (O0 vaø cung AB=90
o
.C laø moät ñieåm tuyø yù treân cung lôùn
AB.Caùc ñöôøng cao AI;BK;CJ cuûa ∆ABC caét nhau ôû H.BK caét (O) ôû
N;AH caét (O) taïi M.BM vaø AN gaëp nhau ôû D.
1. C/m:B;K;C;J cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
51
D
Hình

52.  O
2. c/m: BI.KC=HI.KB
3. C/m:MN laø ñöôøng kính cuûa (O)
4. C/m ACBD laø hình bình haønh.
5. C/m:OC//DH.
N
D A
M
K
B C
I J
H
Tam giaùc vuoâng caân⇒KBC=45
o
⇒IBH=KBC=45
o
⇒∆IBH cuõng laø tam giaùc
vuoâng caân.Ta laïi coù:
AMD=MAB+ABM(goùc ngoaøi tam giaùc MAB).Maø
sñMAB= 2
1
sñMB
SñABM= 2
1
sñAM vaø cung MA+AM=AB=90
o
.⇒AMD=45
o
vaø AMD=BMH(ñ ñ)
⇒BMI=45
o
⇒∆BIM vuoâng caân⇒MBI=45
o
⇒MBH=MBI+IBH=90
o
hay
MBN=1v⇒MN laø ñöôøng kính cuûa (O).
52
Baøi naøy coù hai hình veõ
tuyø vaøo vò trí cuûa
C.Caùch c/m töông töï
1/C/m B;K;C;J cuøng naèm
treân moät ñöôøng troøn.
-Söû duïng toång hai goùc
ñoáùi.
-Söû duïng hai goùc cuøng
laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn
thaúng moät goùc vuoâng.
2/C/m: BI.KC=HI.KB.
Xeùt hai tam giaùc vuoâng
BIH vaø BKC coù IBH=KBC(ñ
ñ)
Hình

53. E
 O
5/C/m OH//DH.
Do MN laø ñöôøng kính ⇒MAN=1v(goùc nt chaén nöûa ñtroøn) maø CAN =45
o
.
⇒MAC=45
o
hay cung MC=90
o
⇒MNC=45
o
.Goùc ôû taâm MOC chaén cung
MC=90
o
⇒MOC=90
o
⇒OC⊥MN.
Do DB⊥NH;HA⊥DN;AH vaø DB caét nhau ôû M⇒M laø tröïc taâm cuûa ∆DNH
⇒MN⊥DH⇒OC//DH.

Baøi 32:
Cho hình vuoâng ABCD.Goïi N laø moät ñieåm baát kyø treân CD sao cho
CN<ND;Veõ ñöôøng troøn taâm O ñöôøn kính BN.(O) caét AC taïi F;BF caét
AD taïi M;BN caét AC taïi E.
1. C/m BFN vuoâng caân.
2. C/m:MEBA noäi tieáp
3. Goïi giao ñieåm cuûa ME vaø NF laø Q.MN caét (O) ôû P.C/m
B;Q;P thaúng haøng.
4. Chöùng toû ME//PC vaø BP=BC.
5. C/m ∆FPE laø tam giaùc vuoâng
A B
F
M
Q
P
D N C
⇒FME=45
o
vaø MAC=45
o
(tính chaát hình vuoâng)⇒FME=MAC=45
o
.
⇒MABE noäi tieáp.
3/C/m B;Q;P thaúng haøng:
53
1/c/m:∆BFN vuoâng caân:
ANB=FCB(cuøng chaén
cung FB).Maø FCB=45
o
(tính chaát hình vuoâng)
⇒ANB=45
o
Maø NFB=1v(goùc nt
chaén nöûa ñöôøng
troøn)
⇒∆BFN vuoâng caân ôû
Hình

54. Do MABE nt⇒MAB+NEB=2v;maø MAB=1v(t/c hình vuoâng)⇒MEB=1v hay
ME⊥BN.Theo cmt NF⊥BM⇒Q laø tröïc taâm cuûa ∆BMN⇒BQ⊥MN(1)
⇒Ta laïi coù BPN=1v(goùc noäi tieáp chaén nöûa ñöôøng troøn) hay
BP⊥MN(2).
Töø (1)vaø(2)⇒B;Q;P thaúng haøng.
4/C/m MF//PC.
Do MFN=MEN=1v⇒MFEN noäi tieáp⇒FNM=FEM(cuøng chaén cung MF)
Maø FNP=FNM=FCD(cuøng chaén cung PF cuûa (O)
⇒FEM=FCP⇒ME//CP
C/m:BP=BC:Do ME//CP vaø ME⊥BN⇒CP⊥BN.Ñöôøng kính MN vuoâng
goùc vôùi daây CP⇒BN laø ñöôøng trung tröïc cuûa CP hay ∆BCP caân ôû
B⇒BC=BP.
5/C/m ∆FPE vuoâng:
Do FPNB noäi tieáp⇒FPB=FNB=45
o
(cmt)
Deã daøng cm ñöôïc QENP noäi tieáp⇒QPE=QNE=45
o
⇒ñpcm.

Baøi 33:
Treân ñöôøng troøn taâm O laàn löôït laáy boán ñieåm A;B;C;D sao cho
AB=DB.AB vaø CD caét nhau ôû E.BC caét tieáp tuyeán taïi A cuûa ñöôøng
troøn(O) ôû Q;DB caét AC taïi K.
1. Cm: CB laø phaân giaùc cuûa goùc ACE.
2. c/m:AQEC noäi tieáp.
3. C/m:KA.KC=KB.KD
4. C/m:QE//AD.
54
1/C/m CB laø phaân giaùc cuûa goùc
ACE:
Do ABCD noäi tieáp ⇒BCD+BAD=2v
Maø BCE+BCD=2V⇒BCE=BAD.
Do AB=AC(gt)⇒∆BAD caân ôû
B⇒BAD=BDA.ta laïi coù BDA=BCA
(Cuøng chaén cung AB)⇒BCE=BCA
⇒ñpcm.
2/C/m AQEC noäi tieáp:
1

55. K
Q
E
B
A C
O D
⇒QAB=ADB=BCE(cmt) ⇒QAE=QCD⇒hai ñieåm A vaø C cuøng laøm vôùi
hai ñaàu ñoaïn QE…⇒ñpcm
3/C/m: KA.KC=KB.KD.
C/m ∆KAB∽∆KDC.
4/C/m:QE//AD:
Do AQEC nt⇒QEA=QCA(cuøng chaén cung QA) maø QCA=BAD(cmt)
⇒QEA=EAD⇒QE//AD.

55
Hình

56. Baøi 34:
Cho (O) vaø tieáp tuyeán Ax.Treân Ax laáy hai ñieåm B vaø C sao cho
AB=BC.Keû caùt tuyeán BEF vôùi ñöôøng troøn.CE vaø CF caét (O) laàn
löôït ôû M vaø N.Döïng hình bình haønh AECD.
1.C/m:D naèm treân ñöôøng thaúng BF.
2.C/m ADCF noäi tieáp.
3.C/m: CF.CN=CE.CM
4.C/m:MN//AC.
5.Goïi giao ñieåm cuûa AF vôùi MN laø I.Cmr:DF ñi qua trung ñieåm
cuûa NI.
C
D
B
E N
J
A O
I
F
M
⇒hai ñieåm F vaø C cuøng laøm vôùi 2 ñaàu ñoaïn AD…⇒ñpcm
3/C/m: CF.CN=CE.CM. ta c/m ∆CEF∽∆CNM.
56
1/C/m:D naèm treân ñöôøng
thaúng BF.
Do ADCE laø hình bình
haønh⇒DE vaø AC laø hai
ñöôøng cheùo.Do B laø trung
ñieåm cuûa AC ⇒B cuõng laø
trung ñieåm DE hay DBE thaúng
haøng.Maø B;E;F thaúng haøng
⇒D naèm treân BF.
2/C/m ADCF noäi tieáp:
Do ADCf laø hình bình haønh
⇒DCA=CAE(so le)
Sñ CAE= 2
1
Cung AE(goùc giöõa
Hình

57. 4/C/m:MN//AC.
Do ADCF nt⇒DAC=DFC(cuøng chaén cung CD).Maø ADCE laø hình bình
haønh ⇒DAC=ACE(so le),ta laïi coù CFD=NME(cuøng chaén cung
EN)⇒ACM=CMN ⇒AC//MN.
5/C/m:DF ñi qua trung ñieåm NI:Goïi giao ñieåm cuûa NI vôùi FE laø J
Do NI//AC(vì MN//AB)
⇒NJ//CB,theo heä quaû taleùt⇒ BC
NJ
FB
JE
=
Töông töï IJ//AB⇒ AB
JI
FB
JF
=
MaØ AB=AC(gt)⇒JI=NJ

57
BC
NJ
AB
JI
=

58. P I
J
B
Baøi 35:
Cho (O;R) vaø ñöôøng kính AB;CD vuoâng goùc vôùi nhau.Goïi M laø
moät ñieåm treân cung nhoû CB.
1. C/m:ACBD laø hình vuoâng.
2. AM caét CD ;CB laàn löôït ôû P vaø I.Goïi J laø giao ñieåm cuûa
DM vaø AB.C/m IB.IC=IA.IM
3. Chöùng toû IJ//PD vaø IJ laø phaân giaùc cuûa goùc CJM.
4. Tính dieän tích ∆AID theo R.
C
M
A O
D
⇒IMJ=IBJ=45
o
⇒M vaø B cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn IJ…⇒MBIJ noäi
tieáp.
⇒IJB+IMB=2v maø IMB=1v⇒ IJB =1v hay IJ⊥AB.Maø PD⊥AB(gt)⇒ IJ//PD
 C/m IJ laø phaân giaùc cuûa goùc CMJ:
-Vi IJ⊥AB hay AJI=1v vaø ACI=1v(t/c hình vuoâng)⇒ACIJ noäi tieáp
⇒ IJC=IAC(cuøng chaén cung CI) maø IAC=IBM(cuøng chaén cungCM)
58
Hình
1/C/m:ACBD laø hình vuoâng:
Vì O laø trung ñieåm cuûa AB;CD neân
ACBD laø hình bình haønh.
Maø AC=BD(ñöôøng kính) vaø AC⊥DB
(gt)⇒hình bình haønh ACBD laø hình
vuoâng.
2/C/m: IB.IC=IA.IM
Xeùt 2 ∆IAC vaø IBM coù CIA=MIB(ñ ñ)
IAC=IBM(cuøng chaén cung CM)
⇒∆IAC∽∆IBM⇒ñpcm.
3/C/m IJ//PD.
Do ACBD laø hình vuoâng⇒ CBO=45
o
.

59. -Vì MBJI noäi tieáp ⇒MBI=MJI(cuøng chaén cung IM)
⇒ IJC= IJM⇒ñpcm.
4/Tính dieän tích ∆AID theo R:
Do CB//AD(tính chaát hình vuoâng) coù I∈CB⇒ khoaûng caùch töø ñeán
AD chính baèng CA.Ta laïi coù ∆IAD vaø ∆CAD chung ñaùy vaø ñöôøng cao
baèng nhau. ⇒SIAD=SCAD.Maø SACD= 2
1
SABCD.⇒ SIAD= 2
1
SABCD.SABCD= 2
1
AB.CD (dieän tích coù 2 ñöôøng cheùo vuoâng goùc)⇒SABCD= 2
1
2R.2R=2R
2
⇒SIAD=R
2
.

59

60. Baøi 37:
Cho ∆ABC(A=1v).Keû AH⊥BC.Goïi O vaø O’ laø taâm ñöôøng troøn noäi
tieáp caùc tam giaùc AHB vaø AHC.Ñöôøng thaúng O O’ caét caïnh AB;AC
taï M;N.
1. C/m: ∆ OHO’ laø tam giaùc vuoâng.
2. C/m:HB.HO’=HA.HO
3. C/m: ∆HOO’∽∆HBA.
4. C/m:Caùc töù giaùc BMHO;HO’NC noäi tieáp.
5. C/m ∆AMN vuoâng caân.
A
M O O’ N
B H C
Phaân giaùc cuûa hai goùc treân⇒OBH=O’AH vaø OHB=O’HA=45
o
.
⇒∆HBO∽∆HAO’⇒ )1(
' HO
OH
HA
HB
= ⇒ñpcm.
3/c/m ∆HOO’∽∆HBA.
Töø (1)⇒ 'HO
HO
HA
HB
= ⇒ HB
HO
HA
HO
=
'
(Tính chaát tæ leä thöùc).Caùc caëp caïnh
HO vaø HO’ cuûa ∆HOO’tæ leä vôùi caùc caëp caïnh cuûa ∆HBA vaø goùc
xen giöõa BHA=O’HO=1v ⇒∆HOO’∽∆HBA.
60
Hình
1/C/m:∆OHO’ vuoâng:
Do AHB=1v vaø O laø taâm
ñöôøng troøn noäi tieáp ∆AHB⇒O
laø giao ñieåm ba ñöôøng phaân
giaùc cuûa tam
giaùc⇒AHO=OHB=45
o
.
Töông töï AHO’=O’HC=45
o
.
⇒O’HO=45
o
+45
o
=90
o
.
hay ∆O’HO vuoâng ôû H.
2/C/m: HB.HO’=HA.HO

61. 4/C/m:BMOH nt:Do ∆ HOO’∽∆HBA⇒O’OH=ABH maø
O’OH+MOH=2v⇒MBH+MOH=2v⇒ñpcm.
C/m NCHO’ noäi tieáp: ∆HOO’∽∆HBA(cmt) vaø hai tam giaùc vuoângHBA
vaø HAC coù goùc nhoïn ABH=HAC(cuøng phuï vôùi goùc ABC)
neân∆HBA∽∆HAC ⇒∆HOO’ ∽∆HAC⇒OO’H=ACH.Maø OO’H=NO’H=2v
⇒NCH+NO’H=2v ⇒ñpcm.
5/C/m ∆AMN vuoâng caân:Do OMBH nt⇒OMB+OHB=2v maø
AMO+OMB=2v⇒AMO=OHB maø OHB=45
o
⇒AMO=45
o
.Do ∆AMN vuoâng
ôû A coù AMO=45
o
.⇒∆AMN vuoâng caân ôû A.

61

62. I O B
Baøi 37:
Cho nöûa ñöôøng troøn O,ñöôøng kính AB=2R,goïi I laø trung ñieåm
AO.Qua I döïng ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi AB,ñöôøng naøy caét
nöûa ñöôøng troøn ôû K.Treân IK laáy ñieåm C,AC caét (O) taïi M;MB caét
ñöôøng thaúng IK taïi D.Goïi giao ñieåm cuûa IK vôùi tieáp tuyeán taïi M laø
N.
1. C/m:AIMD noäi tieáp.
2. C?m CM.CA=CI.CD.
3. C/m ND=NC.
4. Cb caét AD taïi E.C/m E naèm treân ñöôøng troøn (O) vaø C laø
taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆EIM.
5. Giaû söû C laø trung ñieåm IK.Tính CD theo R.
D
N
M
K
E C
A
Maø MBA=ACI(cuøng phuï vôùi goùc CAI);CAI=KCM(ñ ñ)⇒NCM+NMC
⇒∆NMC caân ôû N⇒NC=NM. Do NMD+NMC=1v NCM+NDM=1v vaø
NCM=NMC ⇒NDM=NMD⇒∆NMD caân ôû N⇒ND=NM⇒NC=ND(ñpcm)
62
Hình
1/C/m AIMD noäi tieáp:
Söû duïng hai ñieåm I;M
cuøng laøm vôùi hai ñaàu
ñoaïn AD…
2/c/m: CM.CA=CI.CD.
C/m hai ∆CMD vaø CAI
ñoàng daïng.
3/C/m CD=NC:
sñNAM= 2
1
sñ cung AM
(goùc giöõa tt vaø moät
daây)

63. 4/C/m C laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆EMI.Ta phaûi c/m C laø giao
ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa ∆EMI (xem caâu 3 baøi 35)
5/Tính CD theo R:
Do KI laø trung tröïc cuûa AO⇒∆AKO caân ôû K⇒KA=KO maø
KO=AO(baùn kính) ⇒∆AKO laø ∆ ñeàu⇒KI= 2
3R
⇒CI=KC= 2
KI
= 4
3R
.Aùp
duïng PiTaGo trong tam giaùc vuoâng ACI coù:CA=
4
7
416
3 22
22 RRR
AICI =+=+ ⇒∆CIA∽∆BMA( hai tam giaùc vuoâng coù goùc
CAI chung)⇒ MA
IA
BA
CA
= ⇒MA= AC
AIAB ×
= 2R. =
4
7
:
2
RR
= 7
74R
⇒MC=AM-AC= 28
79R
aùp duïng heä thöùc caâu 2⇒CD= 4
33R
.
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 38:
Cho ∆ABC.Goïi P laø moät ñieåm naèm trong tam giaùc sao cho goùc
PBA=PAC.Goïi H vaø K laàn löôït laø chaân caùc ñöôøng vuoâng goùc haï
töø P xuoáng AB;AC.
1.C/m AHPK noäi tieáp.
2.C/m HB.KP=HP.KC.
3.Goïi D;E;F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa PB;PC;BC.Cmr:HD=EF;
DF=EK
4.C/m:ñöôøng trung tröïc cuûa HK ñi qua F.
A
H K
P
63
1/C/m AHPK noäi tieáp(söû
duïng toång hai goùc ñoái)
2/C/m: HB.KP=HP.KC
C/m hai ∆ vuoâng HPB vaø KPC
ñoàng daïng.
3/C/m HD=FE:
Do FE//DO vaø DF//EP (FE vaø
FD laø ñöôøng trung bình cuûa
∆PBC)⇒DPEF laø hình bình

64. D E
B F C
tuyeán cuûa ∆ vuoâng HBP⇒HD=DP⇒DH=FE
C/m töông töï coù:DF=EK.
4/C/m ñöôøng trung tröïc cuûa HK ñi qua F.
Ta phaûi C/m EF laø ñöôøng trung tröïc cuûa HK.Hay caàn c/m FK=FH.
Do HD=DP+DB⇒HDP=2ABP(goùc ngoaøi tam giaùc caân ABP)
Töông töï KEP=2ACP
Maø ABP=ACD(gt)
Do PEFD laø hình bình haønh(cmt)⇒PDF=PEF(2)
Töø (1) vaø (2)⇒HDF=KEF maø
HD=FE;KE=DF⇒∆DHF∽∆EFK(cgc)⇒FK=FH
⇒ñpcm.
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 39:
Cho hình bình haønh ABCD(A>90
o
).Töø C keû CE;Cf;CG laàn löôït
vuoâng goùc vôùi AD;DB;AB.
64
Hình
⇒ HDP=KEP(1)

65. 1. C/m DEFC noäi tieáp.
2. C/m:CF
2
=EF.GF.
3. Goïi O laø giao ñieåm AC vaø DB.Keû OI⊥CD.Cmr: OI ñi qua trung
ñieåm cuûa AG.
4. Chöùng toû EOFG noäi tieáp.
A G B
E
F
O
D J I C
1/C/mDEFC noäi tieáp: (Söû duïng hai ñieåm E;F cuøng laøm vôùi hai ñaàu
ñoaïn thaúng CD).
2/C/m: CF
2
=EF.GF: Xeùt 2 ∆ECF vaø CGF coù:
-Do DE FC nt⇒FCE=FDE(cuøng chaén cung FE);FDE=FBC(so le).Do
GBCF nt (töï c/m)⇒FBC=FGC(cuøng chaén cung FC)⇒FGC=FCE.
-Do GBCF nt⇒GBF=GCF(cuøng chaén cuøngG) maø GBF=FDC(so
le).DoDEFC noäi tieáp ⇒FDC=FCE(cuøng chaén
cuøngC)⇒FCG=FEC⇒∆ECF∽∆CGF⇒ñpcm.
3/C/m Oi ñi qua trung ñieåm AG.Goïi giao ñieåm cuûa ñöôøng troøn taâm O
ñöôøng kính AC laø J Do AG//CJ vaø CG⊥AG⇒AGCJ laø hình chöõ nhaät
⇒AG=CJ Vì OI⊥CJ neân I laø trung ñieåm CJ(ñöôøng kính ⊥ vôùi 1
daây…)⇒ñpcm.
65
Hình

66. 4/C/m EOFG noäi tieáp:Do CEA=AGC=1v⇒AGCE nt trong
(O)⇒AOG=2GCE (goùc nt baèng nöûa goùc ôû taâm cuøng chaén 1
cung;Vaø EAG+GCE=2v(2goùc ñoái cuûa töù giaùc nt).Maø
ADG+ADC=2v(2goùc ñoái cuûa hbh)⇒EOG=2.ADC(1)
Do DEFC nt⇒EFD=ECD(cuøng chaén cungDE);ECD=90
o
-EDC(2 goùc
nhoïn cuûa ∆ vuoâng EDC)(&);Do GBCF nt⇒GFB=GBC(cuøng chaén cung
GB);BCG=90
o
-GBC(&&).Töø (&)vaø(&&)⇒EFD+GFB=90
o
-EDC+90
o
-GBC=180
o
-
2ADC maø EFG=180
o
-(EFD+GFB)=180
o
-180
o
+2ADC=2ADC(2)
Töø (1) vaø (2)⇒EOG=EFG⇒EOFG nt.
ÐÏ(&(ÐÏ
66

67. Baøi 40:
Cho hai ñöôøng troøn (O) vaø (O’) caét nhau ôû A vaø B.Caùc ñöôøng
thaúng AO caét (O) laàn löôït ôû C vaø D;ñöôøng thaúng AO’ caét (O) vaø
(O’) laàn löôït ôû E vaø F.
1.C/m:C;B;F thaúng haøng.
2.C/m CDEF noäi tieáp.
3.Chöùng toû DA.FE=DC.EA
4.C/m A laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆BDE.
5.Tìm ñieàu kieän ñeå DE laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng
troøn (O);(O’)
D E
A
O
I O’
C
B
F
1/C/m:C;B;F thaúng haøng: Ta coù:ABF=1v;ABC=1v(goùc noäi tieáp chaén
nöûa ñöôøng troøn). ⇒ABC+ABF=2v⇒C;B;F thaúng haøng.
2/C/mCDEF noäi tieáp:Ta coù AEF=ADC=1v⇒E;D cuøng laøm vôùi hai
ñaàu ñoaïn CF…
⇒ñpcm
3/C/m: DA.FE=DC.EA. Hai ∆ vuoâng DAC vaø EAF coù DAC=EAF(ñ ñ)
67
Hình

68. ⇒∆ DAC ∽∆ø EAF⇒ñpcm.
4/C/m A laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ∆BDE.Ta phaûi c/m A laø giao
ñieåm 3 ñöôøng phaân giaùc cuûa ∆DBE. (Xem caùch c/m baøi 35 caâu
3)
5/Ñeå DE laø tieáp tuyeán chung cuûa 2 ñöôøng troøn caàn ñieàu kieän laø:
Neáu DE laø tieáp tuyeán chung thì OD⊥DE vaø O’E⊥DE.Vì OA=OD
⇒∆AOD caân ôû O⇒ODA=OAD.Töông töï ∆O’AE caân ôû
O’⇒O’AE=O’EA.Maø O’AE=OAD(ñ ñ)
⇒⇒ODO’=OEO’⇒D vaø E cuøng laøm vôùi hai ñaàu ñoaïn thaúngOO’
nhöõng goùc baèng nhau⇒ODEO’ nt ⇒ODE+EO’O=2v.Vì DE laø tt cuûa
(O) vaø (O’)⇒ODE=O’ED=1v⇒EO’O=1v⇒ODEO’ laø hình chöõ nhaät
⇒DA=AO’=OA=AE(t/c hcn) hay OA=O’A.
Vaäy ñeå DE laø tt chung cuûa hai ñöôøng troøn thì hai ñöôøng troøn coù
baùn kính baèng nhau.(hai ñöôøng troøn baèng nhau)
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 41:
Cho (O;R).Moät caùt tuyeán xy caét (O) ôû E vaø F.Treân xy laáy ñieåm
A naèm ngoaøi ñoaïn EF,veõ 2 tieáp tuyeán AB vaø AC vôùi (O).Goïi H laø
trung ñieåm EF.
1. Chöùng toû 5 ñieåm:A;B;C;O;H cuøng naèm treân moät ñöôøng
troøn.
2. Ñöôøng thaúng BC caét OA ôû I vaø caét ñöôøng thaúng OH ôû
K.C/m: OI.OA=OH.OK=R
2
.
3. Khi A di ñoäng treân xy thì I di ñoäng treân ñöôøng naøo?
4. C/m KE vaø KF laø hai tieáp tyueán cuûa (O)
68
1/ C/m:A;B;C;H;O
cuøng naèm treân
moät ñöôøng
troøn:
Ta coù
ABO=ACO(tính
chaát tieáp
tuyeán).Vì H l;aø
trung ñieåm daây
FE neân OH⊥FE
(ñöôøng kính ñi

69. B
O
I F y
H
E
A
C
K
OHA=1v⇒5 ñieåm A;B;O;C;H cuøng naèm treân ñöôøng troøn ñöôøng kính
AO.
2/C/m: OI.OA=OH.OK=R
2
Do ∆ABO vuoâng ôû B coù BI laø ñöôøng cao.Aùp dung heä thöùc löôïng
trong tam giaùc vuoâng ta coù:OB
2
=OI.OA ;maø OB=R.⇒OI.OA=R
2
.(1)
Xeùt hai ∆ vuoâng OHA vaø OIK coù IOH chung.⇒∆AHO∽∆KIO⇒
OI
OH
OK
OA
=
⇒OI.OA=OH.OK (2).
Töø (1) vaø (2)⇒ñpcm.
4/C/m KE vaø KF laø hai tt cuûa ñuôøng toøn (O).
-Xeùt hai ∆EKO vaø EHO.Do OH.OK=R
2
=OE
2
⇒ OK
OE
OE
OH
= vaø EOH chung
⇒∆EOK∽∆HOE(cgc)⇒OEK=OHE maø OHE=1v⇒OEK=1v hay OE⊥EK taïi
ñieåm E naèm treân (O)⇒EK laø tt cuûa (O)
69
Hình

70. -c/m
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 42:
Cho ∆ABC (AB<AC) coù hai ñöôøng phaân giaùc CM,BN caét nhau ôû
D.Qua A keû AE vaø AF laàn löôït vuoâng goùc vôùi BN vaø CM.Caùc
ñöôøng thaúng AE vaø AF caét BC ôû I;K.
1.C/m AFDE noäi tieáp.
2.C/m: AB.NC=BN.AB
3.C/m FE//BC
4.Chöùng toû ADIC noäi tieáp.
Chuù yù baøi toaùn vaãn ñuùng khi AB>AC
A
N
F E
M D
K
B I C
1/C/m AFDE noäi tieáp.(Hs töï c/m)
70
Hình

71. 2/c/m: AB.NC=BN.AB
Do D laø giao ñieåm caùc ñöôøng phaân giaùc BN vaø CM cuûa∆ABN ⇒
AN
AB
DN
BD
= (1)
Do CD laø phaân giaùc cuûa ∆ CBN⇒ CN
BC
DN
BD
= (2)
Töø (1) vaø (2) ⇒ AN
AB
CN
BC
= ⇒ñpcm
3/c/M fe//bc:
Do BE laø phaân giaùc cuûa ABI vaø BE⊥AI⇒BE laø ñöôøng trung tröïc
cuûa AI.Töông töï CF laø phaân giaùc cuûa ∆ACK vaø CF⊥AK⇒CF laø
ñöôøng trung tröïc cuûa AK⇒ E laø F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AI vaø
AK⇒ FE laø ñöôøng trung bình cuûa ∆AKI⇒FE//KI hay EF//BC.
4/C/m ADIC nt:
Do AEDF nt⇒DAE=DFE(cuøng chaén cung DE)
Do FE//BC⇒EFD=DCI(so le)
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 43:
Cho ∆ABC(A=1v);AB=15;AC=20(cuøng ñôn vò ño ñoä daøi).Döïng
ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB vaø (O’) ñöôøng kính AC.Hai ñöôøng
troøn (O) vaø (O’) caét nhau taïi ñieåm thöù hai D.
1.Chöùng toû D naèm treân BC.
2.Goïi M laø ñieåm chính giöõa cung nhoû DC.AM caét DC ôû E vaø
caét (O) ôû N. C/m DE.AC=AE.MC
3.C/m AN=NE vaø O;N;O’ thaúng haøng.
4.Goïi I laø trung ñieåm MN.C/m goùc OIO’=90
o
.
5.Tính dieän tích tam giaùc AMC.
A
71
DAI=DCI⇒ADIC noäi tieáp
1/Chöùng toû:D
naèm treân ñöôøng
thaúng BC:Do
ADB=1v;ADC=1v(g
oùc nt chaén nöûa
ñöôøng troøn)
⇒ADB+ADC=2v⇒D
;B;C thaúng haøng.

72. I
O N O’
B D E C
M
-Tính DB: Theo PiTaGo trong ∆ vuoâng ABC coù: BC= 252015 2222
=+=+ ABAC .Aùp
duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng ABC coù:
AD.BC=AB.AC⇒AD=20.15:25=12
2/C/m: DE.AC=AE.MC.Xeùt hai tam giaùc ADE vaø AMC.Coù ADE=1v(cmt) vaø AMC=1v
(goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn).Do cung MC=DB(gt)⇒DAE=MAC(2 goùc nt chaén 2
cung baèng nhau) ⇒∆DAE∽∆MAC⇒ AC
AE
MC
DE
MA
DA
== (1)⇒Ñpcm.
3/C/m:AN=NE:
Do BA⊥AO’(∆ABC Vuoâng ôû A)⇒BA laø tt cuûa (O’)⇒sñBAE= 2
1
sñ AM
SñAED=sñ 2
1
(MC+AD) maø cung MC=DM⇒cung MC+AD=AM
⇒ AED =BAC ⇒∆BAE caân ôû B maø BM⊥AE⇒NA=NE.
C/m O;N;O’ thaúng haøng:ON laø ñöôøng TB cuûa ∆ABE⇒ON//BE vaø OO’//BE
⇒O;N;O’ thaúng haøng.
4/Do OO’//BC vaø cung MC=MD ⇒O’M⊥BC⇒O’M⊥OO’⇒∆NO’M vuoâng ôû O’ coù O’I laø
trung tuyeán ⇒∆INO’ caân ôû I⇒IO’M=INO’ maø INO’=ONA(ñ ñ);∆OAN caân ôû
O⇒ONA=OAN⇒OAI=IO’O⇒OAO’I nt⇒OAO’+OIO’=2v maø OAO’=1v ⇒OIO’=1v.
5/ Tính dieän tích ∆AMC.Ta coù SAMC= 2
1
AM.MC .Ta coù BD= 9
2
=
BC
AB
⇒DC=16
Ta laïi coù DA
2
=CD.BD=16.9⇒AD=12;BE=AB=15⇒DE=15-9=6⇒AE= 5622
=+ DEAD
Töø(1) tính AM;MC roài tính S.
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 44:
Treân (O;R),ta laàn löôït ñaët theo moät chieàu,keå töø ñieåm A moät cung AB=60
o
, roài
cung BC=90
o
vaø cung CD=120
o
.
72
Hình

73. 1. C/m ABCD laø hình thang caân.
2. Chöùng toû AC⊥DB.
3. Tính caùc caïnh vaø caùc ñöôøng cheùo cuûa ABCD.
4. Goïi M;N laø trung ñieåm caùc caïnh DC vaø AB.Treân DA keùo daøi veà phía A
laáy ñieåm P;PN caét DB taïi Q.C/m MN laø phaân giaùc cuûa goùc PMQ.
P
A J N K B
Q
I
O
D
M
C E
Do cung BC=90
o
⇒BOC=90
o
⇒ ∆BOC vuoâng caân ôû O⇒BC=AD=R 2 Do cung CD=120
o
⇒DOC=120
o
.Keû OK⊥CD⇒DOK=60o⇒sin 60
o
=
OD
DK
⇒DK=
2
3R
. ⇒CD=2DK=R 3
-Tính AC:Do ∆AIB vuoâng caân ôû I⇒2IC
2
=AB
2
⇒IA=AB
2
2
=
2
2R
Töông töï IC=
2
6R
; AC =
DB=IA+IC =
2
2)31(
2
6
2
2 RRR +
=+
4/PN caét CD taïi E;MQ caét AB taïi I;PM caét AB taïi J.
Do JN//ME ⇒
PE
PN
ME
JN
=
Do AN//DE ⇒
PE
PN
DE
AN
=
Do NI//ME ⇒ QE
NQ
ME
NI
=
NB//ME ⇒ QE
NQ
DE
NB
=
73
Hình
1/C/m:ABCD laø hình thang caân:Do
cung BC=90
o
⇒BAC=45
o
(goùc nt
baèng nöûa cung bò chaén).do cung
AB=60
o
;BC=90
o
;CD=120
o
⇒
AD=90
o
⇒ACD=45
o
⇒BAC=ACD=45
o
.⇒AB//CD.
Vì cung DAB=150
o
.Cung ABC
=150
o
.⇒ BCD=CDA. ⇒ABCD laø
thang caân.
2/C/mAC⊥DB:
Goïi I laø giao ñieåm cuûa AC vaø
BD.sñAID=
2
1
sñ
cung(AD+BC)=180
o
=90
o
.⇒AC⊥DB.
ME
JN
DE
AN
=
DE
NB
ME
NI
=
Vì NB=NA
⇒ ME
NI
ME
JN
=

74. ⇒NI=NJ.Maø MN⊥AB(tc thang caân)⇒∆JMI caân ôûp M⇒MN laø phaân
giaùc…
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi45:
Cho ∆ ñeàu ABC coù caïnh baèng a.Goïi D laø giao ñieåm hai ñöôøng
phaân giaùc goùc A vaø goùc B cuûa tam giaácBC.Töø D döïng tia Dx
vuoâng goùc vôùi DB.Treân Dx laáy ñieåm E sao cho ED=DB(D vaø E naèm
hai phía cuûa ñöôøng thaúng AB).Töø E keû EF⊥BC. Goïi O laø trung
ñieåm EB.
1. C/m AEBC vaø EDFB noäi tieáp,xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa
caùc ñöôøng troøn ngoaïi tieáp caùc töù giaùc treân theo a.
2. Keùo daøi FE veà phía F,caét (D) taïi M.EC caét (O) ôû N.C/m EBMC
laø thang caân.Tính dieän tích.
3. c/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DAC.
4. C/m FD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB.
5. Chöùng toû A;D;N thaúng haøng.
6. Tính dieän tích phaàn maët traêng ñöôïc taïo bôûi cung nhoû EB
cuûa hai ñöôøng troøn.
E A
N
74

75. O 
D
B F C
M
1/Do ∆ABC laø tam giaùc ñeàu coù D laø giao ñieåm 2 ñöôøng phaân giaùc
goùc A vaø B⇒BD=DA=DC maø DB=DE⇒A;B;E;C caùch ñeàu D⇒AEBC nt
trong (D).
Tính DB.Aùp duïng coâng thöùc tính baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoaïi
tieáp ña giaùc ñeàu ta coù: DB=
== oo
AB
n
Sin
AB
60sin2180
2 3
3a
Do goùc EDB=EFB=1v⇒EDFB noäi tieáp trong ñöôøng troøn taâm O
ñöôøng kính EB.Theo Pi Ta Go trong tam giaùc vuoâng EDB
coù:EB
2
=2ED
2
=2.( 3
3a
)
2
.
⇒EB= 3
6a
⇒OE= 6
6a
2/C/m EBMC laø thang caân:
Goùc EDB=90
o
laø goùc ôû taâm (D) chaén cung EB⇒Cung EB=90
o
⇒goùc
ECN=45
o
.⇒∆EFC vuoâng caân ôû F⇒FEC=45
o
⇒MBC=45
o
(=MEC=45
o
)
⇒EFC=CBM=45
o
⇒BM//EC.Ta coù ∆FBM vuoâng caân ôû F⇒BC=EM
⇒EBMC laø thang caân.
Do EBMC laø thang caân coù hai ñöôøng cheùo vuoâng goùc⇒SEBMC= 2
1
BC.EM (BC=EM=a)⇒SEBMC= 2
1
a
2
.
3/C/m EC laø phaân giaùc cuûa goùc DCA:
Ta coù ACB=60
o
;ECB=45
o
⇒ACE=15
o
.
75

76. Do BD;DC laø phaân giaùc cuûa ∆ñeàu ABC ⇒DCB=ACD=30
o
vaø
ECA=15
o
⇒ECD=15
o
⇒ECA=ECD⇒EC laø phaân giaùc cuûa goùc ECA.
4/C/m FD laø ñöôøng trung tröïc cuûa MB:
Do BED=BEF+FED=45
o
vaø FEC=FED+DEC=45
o
⇒BEF=DEC vaø
DEC=DCE=15
o
.Maø BE F=BDF(cuøng chaén cung BF) vaø
NED=NBD(cuøng chaén cung ND)⇒NBD=BDF⇒BN//DF maø BN⊥EC(goùc
nt chaén nöûa ñuôøng troøn (O) ⇒DF ⊥EC.Do DC//BM(vì BMCE laø hình
thang caân)⇒DF⊥BM nhömg ∆BFM vuoâng caân ôû F⇒FD laø ñöôøng
trung tröïc cuûa MB.
5/C/m:A;N;D thaúng haøng: Ta coù BND=BED=45
o
(cuøng chaén cung DB)
vaø ENB=90
o
(cmt);ENA laø goùc ngoaøi ∆ANC⇒ENA=NAC+CAN=45
o
⇒ENA+ENB+BND=180
o
⇒A;N;D thaúng haøng.
6/Goïi dieän tích maët traêng caàn tính laø:S.
Ta coù: S =Snöûa (O)-S vieân phaân EDB
S(O)=π.OE
2
=π.( 6
6a
)2
= 6
2
πa
⇒S 2
1
(O)= 12
2
πa
S quaït EBD= o
o
BD
360
90.2
×π
= 126
6
4
2
2
ππ aa
=







×
S∆EBD= 2
1
DB
2
= 6
2
a
Svieân phaân=S quaït EBD - S∆EDB= 12
2
πa
- 6
2
a
= 12
)2(2
−πa
 S = 12
2
πa
- 12
)2(2
−πa
= 6
2
a
.
ÐÏ(&(ÐÏ
76

77. D E
I
Baøi 46:
Cho nöûa ñöôøng troøn (O) ñöôøng kính BC.Goïi a laø moät ñieåm baát kyø
treân nöûa ñöôøng troøn;BA keùo daøi caét tieáp tuyeán Cy ôû F.Goïi D laø ñieåm
chính giöõa cung AC;DB keùo daøi caét tieáp tuyeán Cy taïi E.
1. C/m BD laø phaân giaùc cuûa goùc ABC vaø OD//AB.
2. C/m ADEF noäi tieáp.
3. Goïi I laø giao ñieåm BD vaø AC.Chöùng toû CI=CE vaø IA.IC=ID.IB.
4. C/m goùc AFD=AED
F
A
F
A
B O C
Hay OD laø phaân giaùc cuûa ∆ caân AOC⇒OD⊥AC.
Vì BAC laø goùc nt chaén nöûa ñöôøng troøn ⇒BA⊥AC
2/C/m ADEF noäi tieáp:
Do ADB=ACB(cuøng chaén cung AB)
Do ACB=BFC(cuøng phuï vôùi goùc ABC)
Maø ADB+ADE=2v⇒AFE+ADE=2v⇒ADEF noäi tieáp.
3/C/m: *CI=CE:
77
Hình
OD//BA
⇒ADB=AFE
1/* C/mBD laø phaân
giaùc cuûa goùc
ABC:Do cung
AD=DC(gt)⇒ABD=
DBC(hai goùc nt chaén
hai cung baèng
nhau)⇒BD laø phaân
giaùc cuûa goùc ABC.
*Do cung AD=DC
⇒goùc AOD=DOC(2

78. Ta coù:sñ DCA= 2
1
sñ cung AD(goùc nt chaén cung AD) Sñ ECD= 2
1
sñ cung
DC (goùc giöõa tt vaø 1 daây)
Maø cung AD=DC⇒DCA=ECD hay CD laø phaân giaùc cuûa ∆ICE.Nhöng
CD⊥DB (goùc nt chaén nöûa ñt)⇒CD vöøa laø ñöôøng cao,vöøa laø phaân
giaùc cuûa ∆ICE⇒∆ICE caân ôû C⇒IC=CE.
*C/m ∆IAD∽∆IBC(coù DAC=DBC cuøng chaén cung DC)
4/Töï c/m:
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi47:
Cho nöûa ñtroøn (O);ñöôøng kính AD.Treân nöûa ñöôøng troøn laáy hai
ñieåm B vaø C sao cho cung AB<AC.AC caét BD ôû E.Keû EF⊥AD taïi F.
1. C/m:ABEF nt.
2. Chöùng toû DE.DB=DF.DA.
3. C/m:I laø taâm ñöôøng troøn noäi tieáp ∆CJD.
4. Goïi I laø giao ñieåm BD vôùi CF.C/m BI
2
=BF.BC-IF.IC
C
B
E
I M
A F O D
78
1/Söû duïng toång hai goùc
ñoái.
2/c/m: DE.DB=DF.DA
Xeùt hai tam giaùc vuoâng BDA
vaø FDE coù goùc D chung.
⇒∆BDA∽∆FDE⇒ñpcm.
3/C/m IE laø taâm ñöôøng troøn
ngoaïi tieáp ∆FBC:

79. Goïi M laø trung ñieåm ED.
*C/m:BCMF noäi tieáp: Vì FM laø trung tuyeán cuûa tam giaùc vuoâng
FED⇒FM=EM=MD= 2
1
ED⇒Caùc tam giaùc FEM;MFD caân ôû
M⇒MFD=MDF vaø EM F=MFD+MDF=2MDF(goùc ngoaøi ∆MFD)
Vì CA laø phaân giaùc cuûa goùc BCF⇒2ACF=BCF.Theo cmt thì MDF=ACF
⇒BMF=BCF⇒BCMF noäi tieáp.
*Ta coù BFM∽∆BIC vì FBM=CBI(BD laø phaân giaùc cuûa FBC-cmt) vaø
BMF=BCI(cmt) ⇒ BC
BM
BI
BF
= ⇒BF.BC=BM.BIu
*∆ IFM∽∆IBC vì BIC=FIM(ññ).Do BCMF noäi tieáp⇒CFM=CBM(cuøng
chaén cung CM)⇒ IM
IC
FI
IB
= ⇒IC.IF=IM.IB v
Laáy utröøv veá theo veá
⇒ BF.BC-IF.IC=BM.IB-IM.IB=IB.(BM-IM)=BI.BI=BI
2
.
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 48:
Cho (O) ñöôøng kính AB;P laø moät ñieåm di ñoäng treân cung AB sao
cho PA<PB. Döïng hình vuoâng APQR vaøo phía trong ñöôøng troøn.Tia PR
caét (O) taïi C.
1. C/m ∆ACB vuoâng caân.
2. Veõ phaân giaùc AI cuûa goùc PAB(I naèm treân(O);AI caét PC taïi
J.C/m 4 ñieåm J;A;Q;B cuøng naèm treân moät ñöôøng troøn.
79
Hình

80.  ÂO B
3. Chöùng toû: CI.QJ=CJ.QP.
4. RR
I
P
J Q
A
R
C
3/C/m: CI.QJ=CJ.QP.
Ta caàn chöùng minh ∆CIJ∽∆QPJ vì AIC=APC(cuøng chaén cung AC) vaø
APC=JPQ=45
o
⇒JIC=QPJ
Hôn nöõa PCI=IAP( cuøng chaén cung PI);IAP=PQJ(cmt)⇒ PQJ=ICJ
4/
ÐÏ(&(ÐÏ
80
Hình
1/ C/m∆ABC vuoâng caân:
Ta coù ACB=1v(goùc nt chaén
nöûa ñt) Vaø APB=1v ;Do
APQR laø hvuoâng coù PC laø
ñöôøng cheùo ⇒PC laø pg
cuûa goùc APB⇒ cung AC=CB
⇒daây AC=CB ⇒∆ABC vuoâng
caân.
2/C/m JANQ noäi tieáp:
Vì APJ=JPQ=45
o
.(t/c hv);PJ
chung;AP=PQ⇒∆PAJ=∆QPJ

81. Baøi 49:
Cho nöûa (O) ñöôøng kính AB=2R.Treân nöûa ñöôøng troøn laáy ñieåm M
sao cho cung AM<MB.Tieáp tuyeán vôùi nöûa ñöôøng troøn taïi M caét tt Ax
vaø By laàn löôït ôû D vaø C.
1. Chöùng toû ADMO noäi tieáp.
2. Chöùng toû AD.BC=R
2
.
3. Ñöôøng thaúng DC caét ñöôøng thaúng AB taïi N;MO caét Ax ôû
F;MB caét Ax ôû E. Chöùng minh:AMFN laø hình thang caân.
4. Xaùc ñònh vò trí cuûa M treân nöûa ñöôøng troøn ñeå DE=EF
F
C
E
M
D
N A O B
1/C/m ADMO nt:Söû duïng toång hai goùc ñoái.
81
Hình

82. 2/C/m: AD.BC=R
2
.
&C/m:DOC vuoâng ôû O: Theo tính chaát hai tt caét nhau ta coù ADO=MDO
⇒MOD=DOA.Töông töï MOC=COB.Maø : MOD+DOA+MOC+COB=2v
⇒AOD+COB=DOM+MOC=1v hay DOC=1v.
&Aùp duïng heä thöùc löôïng trong tam giaùc vuoâng DOC coù OM laø ñöôøng cao
ta coù:DM.MC=OM
2
.Maø DM=AD;MC=CB(t/c hai tt caét nhau) vaø OM=R ⇒ñpcm.
3/Do AD=MD(t/c hai tt caét nhau)vaø ADO=ODM ⇒OD laø ñöôøng trung tröïc cuûa
AM hay DO⊥AM. Vì FA⊥ON;NM⊥FO(t/c tt) vaø FA caét MN taïi D
⇒D laø tröïc taâm cuûa ∆FNO⇒DO⊥FN.Vaäy AM//FN.
Vì ∆OAM caân ôû O⇒OAM=OMA.Do AM//FN ⇒FNO=MAO vaø AMO=NFO
⇒FNO=NFO vaäy FNAM laø thang caân.
4/Do DE=FE neân EM laø trung tuyeán cuûa ∆ vuoâng FDM⇒ED=EM.u Vì
DMA=DAM vaø DMA+EMD=1v;DAM+DEM=1v⇒EDM=DEM hay ∆EDM caân ôû D
hay DM=DEv.Töø uvaø v⇒∆EDM laø ∆ ñeàu ⇒ODM=60
o
⇒AOM=60
o
.Vaäy M
naèm ôû vò trí sao cho cung AM=1/3 nöûa ñöôøng troøn.
ÐÏ(&(ÐÏ
Baøi 50:
Cho hình vuoâng ABCD,E laø moät ñieåm thuoäc caïnh BC.Qua B keû
ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi DE ,ñöôøng naøy caét caùc ñöôøng
thaúng DE vaø DC theo thöù töï ôû H vaø K.
1. Chöùng minh:BHCD nt.
2. Tính goùc CHK.
3. C/m KC.KD=KH.KB.
4. Khi E di ñoäng treân BC thì H di ñoäng treân ñöôøng naøo?
82

83. A D
B E C
H
K
KCB vaø KHD ñoàng daïng.
4/Do BHD=1v khoâng ñoåi ⇒E di chuyeån treân BC thì H di ñoäng treân
ñöôøng troøn ñöôøng kính DB.
ÐÏ(&(ÐÏ
PHAÀN TRẮC NGHIỆM
ÑEÀ 1
1/ Tam giaùc naøo sau ñaây vuoâng neáu bieát ñoä daøi 3 caïnh laø:
a/ 12cm; 9cm; 15cm b/ 11cm; 60cn; 61cm c/ 8cm; 15cm; 17cm
d/ Caû a,b,c ñuùng
83
1/ C/m BHCD nt(Söû duïng H
vaø C cuøng laøm vôùi hai ñaàu
ñoaïn thaúng DB…)
2/Tính goùc CHK:
Do BDCE nt ⇒DBC=DHK(cuøng
chaén cung DC) maø DBC=45
o
(tính chaát hình
vuoâng)⇒DHC=45
o
maø
DHK=1v(gt)⇒CHK=45
o
.
Hình

84. 2/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù AB = 7cm; AC = 24cm, ñöôøng cao AH.
Ñoä daøi ñoaïn AH laøm troøn ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù hai laø:
a/ 6,72cm b/ 6,27cm c/ 7,62cm
d/ 7,26cm
3/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 12cm; BC = 20cm. Caâu naøo sau ñaây
ñuùng:
a/ sin
µ 3
C
5
= b/ sin
µ 4
C
3
= c/ cotg
µ 4
B
5
=
d/ Caû a,b,c sai
4/ Cho sin
3
5
α = , tgα laø bao nhieâu:
a/
4
5 b/
3
4 c/
4
3
d/
5
4
5/ Cho bieát sinα ≈0,4568. Vaây soá ño goùc α laøm troøn ñeán phuùt laø:
a/ 27
0
13’ b/ 27
0
10’ c/ 27
0
11’
d/ 27
0
23’
Traû lôøi caâu 6, 7 vaø 8 vôùi ñeà toaùn sau:
Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù BC = 12cm, ·ACB = 60
0
, keû ñöôøng
cao AH.
6/ Ñoä daøi ñöôøng thaúng AB, AC laàn löôït laø:
a/ 12 3 cm, 6cm b/ 6 3 cm, 6cm c/ 6cm; 6 3 cm
d/ Ñaùp aùn khaùc
7/ Ñoä daøi ñoaïn AH laø:
a/ 3 3 cm b/ 3 3 cm c/ 2 3 cm
d/ 6 3 cm
8/ Caâu naøo sau ñaây sai?
a/ SinC = cosB d/ tgC = cotgB c/ cotgB = 3
d/ tgC =
3
2
9/ Tính cos27
0
32’ laø troøn hai chöõ soá thaäp phaân:
a/ 0,82 b/ 0,89 c/ 0,38
d/ 0,29
84

85. 10/ Caâu naøo ñuùng, caâu naøo sai?
(I) sin
2
30
0
+ cos
2
30
0
= 1; (II) tg28
0
=
0
0
sin28
sin62
a/ (I) ñuùng, (II) ñuùng b/ (I) ñuùng, (II) sai c/ (I) sai, (II) ñuùng
d/ (I) ,(II) sai
ÑEÀ 2
1/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 20cm, BC = 29cm, ta coù tgB =
a/
20
21 b/
20
29 c/
21
20
d/
21
29
2/ Keát quaû naøo sau ñaây sai?
a/ sin60
0
= cos30
0
b/ tg45
0
= cotg45
0
c/ Sin75
0
= cos15
0
d/Khoâng caâu sai
3/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB:AC = 5:12, BC = 39. Ñoä daøi caùc caïnh
AB vaø AC laø
a/ 15cm,36cm b/ 10cm;24cm c/ 6cm;14,4cm
d/ 5cm;12cm
4/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ·ACB=50
0
, AC = 20cm. Ñoä daøi caïnh BC
laø:
a/ 30,27cm b/ 31,11cm c/ 30,66cm
d/ 31,33cm
5/ Cho bieát tgα =1, vaäy cotgα laø:
a/ 1 b/ 0,5 c/ 0,75
d/ 0,667
6/ Tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 8cm, AC = 15cm. Caâu naøo sai?
a/ BC = 17cm b/ cosB =
8
17 c/ tgC =
15
18
d/ Caû a,b,c ñuùng
7/ Ñoä daøi x,y trong hình 1 laø bao nhieâu:
a/ 30 2;10 3 b/ 10 3;30 2
c/ 10 2;30 3 d/ Ñaùp aùn khaùc
85

86. 8/ Tìm chieàu cao OM trong hình 2, bieát OA = 80m,
α = 24
0
15’; AB = 1,5m:
a/ 33,54 b/ 36,54
c/ 37,54 d/ 38,54
9/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AC = 24mm,
·ABC=60
0
, ñöôøng cao AH. Ñoä daøi ñoaïn AH laø:
a/ 12mm b/ 6 3 mm c/ 12 3 mm
d/ Ñaùp aùn khaùc
10/ Cho bieát cos
2
2
α = , vaäy sinα baèng
a/ 1 b/
2
2
c/
3
2
d/
1
2
ÑEÀ 3
1/ Ñoä daøi x trong hình (laøm troøn ñeán chöõ soá thaäp phaân thöù hai) laø:
a/ 20,62cm b/ 20,87cm
c/ 21,45cm d/ 21,32cm
2/ Cho bieát sinα ≈0,667. Vaäy α baèng:
a/ 41
0
50’ b/ 42
0
15’
c/ 43
0
25’ d/ 44
0
18’
3/ Tam giaùc ABC caân taïi A, AB = AC = 6cm, ·BAC=120
0
. Vaäy ñoä daøi ñoaïn
thaúng BC laø:
a/ 3 3 cm b/ 4 3 cm c/ 5 3 cm
d/ 6 3 cm
Traû lôøi caâu 4,5,6 vôùi ñeà toaùn sau: “ Cho tam giaùc ABC coù AB = 75cm,
AC = 85cm, BC = 40cm”
4/ Tam giaùc ABC coù daïng ñaëc bieät naøo:
a/ Vuoâng taïi A b/ Vuoâng taïi B c/ Vuoâng taïi C
d/ TG thöôøng
5/ Keû ñöôøng cao BH. Ñoä daøi ñoaïn thaúng BH laø:
a/ 34,765cm b/ 35,184cm c/ 35,294cm
d/ 36,012cm
86

87. 6/ Soá ño goùc C laø bao nhieâu:
a/ 61
0
56’ b/ 62
0
57’ c/ 63
0
12’
d/ 64
0
27’
7/ Keát quaû cuûa pheùp tính sin
2
40
0
+ cos
2
40
0
laø:
a/ 0,643 b/ 1,409 c/ 1,876
d/ 1
8/ Ta giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 3a; AC = 4a. Keû phaân giaùc AD cuûa ·BAC
(D thuoäc BC). Ñoä daøi BD laø:
a/
12a
7 b/
15a
7 c/
5a
7
d/
4a
7
9/ Caùi thang daøi 2,5meùt döïng vaøo töôøng vaø khoaûng caùch an toaøn khi
goùc taïo bôõi thang vaø maët ñaát laø 60
0
. vaäy chaân thang caùch töôøng laø
bao nhieâu meùt:
a/ 1,174m b/ 1,215m
c/ 1,305m d/ 1,502m
10/ Vôùi goùc nhoïn α tuyø yù, caâu naøo sai, caâu naøo ñuùng?
a/ sin
2 α + cos
2 α = 1 b/ tgα .cotgα = 1
c/ 1 + tg
2 α = 2
1
cos α d/ Caû a,b,c ñuùng.
Chöông II: ÑÖÔØNG TROØN
ÑEÀ 4
1/ Cho ñöôøng troøn (O;15cm) vaø daây cungAB=24cm. Khoaûng caùch töø daây
AB ñeán O laø:
a/12cm b/ 9cm c/ 8cm
d/ 6cm
2/ Cho ñoaïn thaúng OI=8cm, veõ caùc ñöôøng troøn (O;10cm) vaø (I;2cm). Hai
ñöôøng troøn (O) vaø (I)coù vò trí nhö theá naøo ñoái vôùi nhau ?
a/ (O) vaø (I) caét nhau b/ (O) vaø (I) tieáp xuùc ngoaøi
c/ (O) vaø (I) tieáp xuùc trong
d/ (O) ñöïng (I)
87

88. 3/ Cho ñöôøng troøn (O;6cm) vaø ñöôøng thaúng a coù khoaûng caùch ñeán O laø
d, ñieàu kieän ñeå ñöôøng thaúng a laø caùt tuyeán cuûa döôøng troøn (O) laø:
a/d < 6cm b/ d = 6cm c/ d 6cm≤
d/ d 6cm≥
4/ Goïi d laø khoaûng caùch hai taâm ñöôøng troøn (O;R) vaø (I;r); (R > r >0)?
Ñieàu kieän naøo thì hai ñöôøng troøn (O) vaø (I) ôû ngoaøi nhau :
a/ d < R-r b/ d > R+r c/ d = R+r
d/ d= R-r
5/ baùn kính cuûa ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ñeàu caïnh 6cm laø:
a/ 3 cm b/ 2 3cm c/ 3 3 cm
d/ 6 3cm
Traû lôøi caâu 6,7 vaø 8 vôùi toaùn sau :
“Cho ñoaïn thaúng OI=29cm, veõ ñöôøng troøn (O;R) vaø (I;r) (giaû
söû R > r >0) ”
6/ Ñieàu kieän naøo sau ñaây thì hai ñöôøng troøn (O) vaø(I) caét nhau?
a/ R+r > 29cm b/ R-r < 29cm c/ caû a vaø b
d/ hoaëc a, hoaëc b
7/ Trong tröôøng hôïp hai ñöôøng troøn (O) vaø (I) caét nhau taïi A vaø B, cho
bieát R=21cm. Giaù trò r laø bao nhieâu thì OA laø tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn
(I)?
a/ r=16cm b/ r=18cm c/ r=19cm
d/ r=20cm
8/ Vôí ñieàu kieän ôû caâu 7. Ñoä daøi ñoaïn thaúng AB laø :
a/
20
21
21 cm b/
28
28
29 cm c/
20
20
21cm
d/
28
29
29 cm
9/ Tam giaùc coù ñoä daøi ba caïnh laø 7cm, 24cm, 25cm coù baùn kính ñöôøng
troøn ngoaïi laø :
a/ 12,5cm b/ 10cm c/ 10,5cm
d/ 16,5cm
10/ Hình troøn taâm O, baùn kính 3cm goàm toaøn boä caùc ñieåm caùch O coá
ñònh moät khoaûng d, vôùi :
88

89. a/ d = 3cm b d < 3cm c/ d 3≥ cm
d/ d 3≤ cm
ÑEÀ 5
1/ Töø ñieåm A naèm ngoaøi ñöôøng troøn (O), veõ hai tieáp tuyeán AB, AC vôùi
(O), (B, C laø hai tieáp ñieåm). Caâu naøo sau ñaây sai:
a/ AB = AC b/ AO laø trung tröïc cuûa BC
c/ · ·BAO CAO= d/ ∆ ABC ñeàu
2/ Cho (O; 8cm) vaø ñöôøng thaúng a coù khoaûng caùch ñeán O laø OH. Tính
OH ñeå a vaø (O) coù ñieåm chung:
a/ OH = 8 (cm) b/ OH ≤ 8 (cm) c/ OH ≥ 8(cm)
d/ OH < 8(cm)
3/ Cho (O;6cm) vaø (O;8cm) vaø (I;R). Ñieàu kieän cho R ñeå (I) tieáp xuùc vôùi
caû hai ñöôøng troøn treân:
a/ R = 1cm b/ R = 7cm c/ a, b ñuùng
d/ a, b sai.
4/ Ñöôøng troøn (O;4cm) noäi tieáp tam giaùc ñeàu. Ñoä daøi caïnh tam giaùc
ñeàu laø bao nhieâu:
a/ 2 3 cm b/ 4 3 cm c/ 6 3 cm
d/ 8 3 cm
5/ Tam giaùc ABC noäi tieáp (O), bieát AÂ = 65
0
; µB=50
0
. Goïi I, K, L laø trung
ñieåm cuûa AB, AC, BC. Khi ñoù:
a/ OI < OL < OK b/ OL < OK < OI c/ OK < OI < OL
d/ Caû a,b,c sai
6/ Tam giaùc ABC caân taïi A coù ·BAC = 45
0
vaø BC = 6cm noäi tieáp (O; R), khi
ñoù R baèng:
a/ 2 cm b/ 2 2 cm c/ 3 2 cm
d/ 4 2 cm
Traû lôøi caâu 7, 8, 9 vôùi ñeà toaùn sau: “ Cho hình thang vuoâng ABCD (
µ µA D= = 90
0
), AB = 19cm, AD = 12cm, CD = 24cm”
7/ Ñoä daøi caïnh BC laø:
a/ 13cm b/ 15cm c/ 16cm
d/ 17cm
89

90. 8/ Soá ño goùc C laøm troøn ñeán phuùt laø:
a/ 66
0
33’ b/ 67
0
23’ c/ 69
0
23’
d/ 70
0
10’
9/ Baùn kính ñöôøng troøn taâm D, tieáp xuùc vôùi BC laø:
a/ 20
1
13cm b/ 22
2
13cm c/ 21
2
13cm
d/ Keát quaû khaùc
10/ Cho (O; R) vaø hai baùn kính OA, OB vuoâng goùc vôùi nhau, caùc tieáp
tuyeán taïi A, B cuûa (O) caét nhau taïi S. Caâu naøo sai:
a/ OASB laø hình vuoâng b/ SA = SB = R
c/ ·SAB = 45
0
d/ Caû a,b,c ñuùng
ÑEÀ 6
1/ Goïi d laø khoaûng caùch hai taâm cuûa (O;R) vaø (I; r) bieát ( R > r > 0 ) laø:
a/ d > R + r b/ d < R – r c/ d = R + r
d/ d = R – r
2/ Cho (O;8cm) vaø I vôùi OI = 10cm. Giaù trò naøo cuûa R thì (I;R) tieáp xuùc vôùi
(O)
a/ 2cm b/ 18cm c/ 2cm hoaëc 18cm
d/ Ñaùp aùn khaùc
3/ Cho tam giaùc ABC noäi tieáp (O;5cm). Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp
tam giaùc ABC laø bao nhieâu:
a/ 5 3 cm b/ 5cm c/ 10 3 cm
d/ 10cm
4/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 15cm; AC = 20cm.Veõ (A; R).Giaù trò R
ñeå BC laø tieáp tuyeán cuûa (A)
a/ R = 12cm b/ R = 15cm c/ R = 10cm
d/ R = 17,5cm
5/ Cho (O;15cm) vaø (I;13cm) caét nhau taïi A vaø B. Bieát khoaûng caùch hai
taâm hai ñöôøng troøn laø: 14cm. Ñoä daøi daây chung laø:
a/ 12cm b/ 14cm c/ 24cm
d/ 28cm
6/ Cho (O; 4cm) vaø hai daây AB, AC sao cho AB = AC vaø ·BAC = 45
0
.Ñoä daøi
daây BC laø:
90

91. a/ 4 2 cm b/ 6cm c/ 4 3 cm
d/ 8cm
Chöông III: GOÙC VÔÙI ÑÖÔØNG TROØN
ÑEÀ 7
1/ Treân (O) laáy thöù töï 4 ñieåm A, B,C, D sao cho sñ »BC=60
0
, sñ »CD = 130
0
,
caùch xeáp naøo ñuùng:
a/ AB>BC>CD>DA b/ AB>BC>DA>CD c/ CD>AB>DA>BC
d/CD>AB>BC>DA
2/ Cho tam giaùc ABC noäi tieáp ñöôøng troøn (O), bieát µ µ0 0
A 70 ,C 40= = , caâu
naøo sai:
a/ sñ »AB= 80
0
b/ » »AC BC= c/ · ·AOC BOC=
d/ Caû a,b,c ñuùng
3/ Dieän tích hình vaønh khaên giôùi haïn bôõi (O;10cm) vaø (O ; 6cm) laø:
a/ 64π (cm
2
) b/ 60π (cm
2
) c/ 72π (cm
2
)
d/ Ñaùp aùn khaùc
4/ Cho (O;4cm) vaø cung AB coù sñ »AB= 80
0
. Ñoä daøi cung AB laø ( π = 3,14)
a/ 4,85cm b/ 5,58cm c/ 5,85cm
d/ 6,58cm
5/ Treân (O) laáy cung AB coù sñ »AB= 60
0
, treân cung AB lôùn laáy C, D (C thuoäc
cung AD) sao cho sñ »CD = 150
0
, AD caét BC taïi I, AC caét BD taïi K. soá ño caùc
goùc · ·CID;CKD laø:
a/ 75
0
; 30
0
b/ 150
0
; 60
0
c/ 105
0
; 45
0
d/ 75
0
; 60
0
Traû lôøi caâu 6,7,8 vôùi baøi toaùn sau: “Cho tam giaùc ABC (AB < AC)
nhoïn noäi tieáp ñöôøng troøn (O;R) vôùi caùc ñöôøng cao AD; BE; CF, tröïc taâm
H”.
6/ Töù giaùc naøo noäi tieáp ñöôïc ñöôøng troøn:
a/ BFEC b/ AEDB c/ CEHD
d/ Caû a,b,c ñuùng]
7/ Cho sñ »AB= 90
0
, sñ »AC= 120
0
, Goùc EFD coù soá ño laø bao nhieâu:
a/ 60
0
b/ 90
0
c/ 45
0
d/ 105
0
8/ Ñoä daøi ñoaïn thaúng BC (tính theo R) laø:
91

92. a/ R 3 b/
R( 3 1)
2
+
c/
R( 2 6)
2
+
d/
R( 3 2)
2
+
9/ Hình troøn ngoaïi tieáp luïc giaùc ñeàu caïnh A coù dieän tích laø:
a/ 5π(cm
2
) b/ 10π(cm
2
) c/ 16π(cm
2
)
d/ 25π(cm
2
)
10/ Cung AB cuûa (O;R) coù soá ño laø 120
0
. Vaäy dieän tích hình quaït OAB tính
theo R laø:
a/
2
R
3
π
b/
2
2 R
3
π
c/
23
R
2
π
d/
25
R
3
π
ÑEÀ 8
1/ Hình 1, bieát
»
»
sñAC
sñAB
=
2
1 , soá ño cuûa goùc α baèng bao nhieâu:
a/ 40
0
b/ 30
0
c/ 60
0
d/ 50
0
2/ Dieän tích hình troøn laø 25 π (cm
2
). Vaäy chu vi hình troøn laø:
a/ 10π (cm) b/ 8π (cm)
c/ 6π (cm) d/ 5π (cm)
3/ Cho (O; R) vaø daây AB = R. Treân cung nhoû AB laáy ñieåm M . Khi ñoù: ·AMB
baèng:
a/ 60
0
b/ 90
0
c/ 150
0
d/ 120
0
4/ Treân (O; R) laáy hai ñieåm A, B bieát soá ño cung lôùn AB laø 270
0
. Ñoä daøi
daây AB tính theo R laø:
a/ R b/ R 2 c/ R 3
d/
R 3
2
5/ Caâu naøo sau ñaây chæ soá ño cuûa 4 goùc noäi tieáp:
a/ 60
0
; 105
0
; 120
0
; 85
0
b/ 75
0
; 85
0
; 105
0
; 95
0
c/ 80
0
; 90
0
; 110
0
; 90
0
d/ 68
0
;92
0
;112
0
;98
0
92

93. 6/ Moät hình troøn coù chu vi laø 37,68cm thì dieän tích vôùi ( 3,14π ≈ ) laø:
a/ 113,04cm
2
b/ 112,64cm
2
c/ 110,74cm
2
d/ 108,74cm
2
7/ Cho (O; 5cm) vaø daây AB = 5 3 cm. Ñoä daøi cung nhoû AB vôùi ( 3,14π ≈ )
laø:
a/ 10,74cm b/ 11,36cm c/ 10,47cm
d/ 11,63cm
ÑEÀ 9
1/ Cho hình troøn (O; R) hai baùn kính OA, OB sao cho ·AOB =120
0
. Soá ño cung
lôùn AB laø:
a/ 120
0
b/ 210
0
c/ 240
0
d/ Ñaùp aùn khaùc
2/ Cho (O) vaø hai daây AB, AC sao cho ·BAC= 50
0
. Khi ñoù sñ »BC nhoû laø:
a/ 100
0
b/ 260
0
c/ 130
0
d/ 50
0
3/ Hình veõ, bieát · »0
ASB 25 ;sñAB= =80
0
. Soá ño cung CD laø:
a/ 50
0
b/ 30
0
c/ 45
0
d/ 25
0
4/ Moät hình quaït troøn cuûa ñöôøng troøn (O;R) coù dieän tích laø:
2
R
3
π
(ñvdt).
Ñoä daøi cung troøn laø:
a/
R
3
π
b/
2 R
3
π
c/
3 R
2
π
d/ Keát quaû khaùc.
5/ Treân (O) ñaët lieân tieáp caùc ñieåm A,B,C,D sao cho sñ »AB:
» » »sñBC:sñCD :sñDA = 4:3:2:1. AC caét BD taïi I. Soá ño ·AIB laø:
a/ 54
0
b/ 60
0
c/ 100
0
d/ 108
0
ÑEÀ 10
1/ Vôùi ñieàu kieän naøo sau ñaây thì töù giaùc ABCD noäi tieáp ñöôïc:
93

94. a/
· ·0 0
DAB 120 ;BCD 60= = b/ · ·DAC DBC= c/ · ·ADC ABC+ =180
0
d/Moät trong ba ÑK
2/ Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp vaø ñöôøng troøn noäi tieáp hình vuoâng
caïnh 8 laàn löôït laø:
a/ 4 2 cm, 4cm b/ 8 2 cm, 4cm c/ 6 2 cm,6cm
d/ 4 2 cm,6cm
Chöông IV: HÌNH TRUÏ – HÌNH NOÙN – HÌNH CAÀU
1/ Dieän tích maët caàu baùn kính 5cm laø:
a/ 628cm
2
b/ 314cm
2
c/ 942cm
2
d/ 471cm
2
2/ Dieän tích xung quanh cuûa hình truï laø 452,16mm
2
, chieàu cao hình truï laø
12mm. Vaäy baùn kính ñöôøng troøn ñaùy laø:
a/ 2cm b/ 3cm c/ 4cm
d/ 6cm
3/ Moät hình noùn coù dieän tích xung quanh laø 37,68cm
2
, baùn kính ñöôøng
troøn ñaùy laø 3cm. Ñoä daøi ñöôøng sinh laø: a/ 3cm
b/ 4cm c/ 5cm d/ 6cm
4/ Hình chöõ nhaät ABCD, AB = 10cm, AD = 12cm, quay moät voøng quanh caïnh
AB, theå tích hình sinh ra laø:
a/ 4521,6cm
3
b/ 4641,6cm
3
c/ 4812,6cm
3
d/ 4920,6cm
3
5/ Moät hình caàu coù theå tích laø 7134,56dm
3
. Vaäy baùn kính hình caàu laø:
a/ 15dm b/ 13dm c/ 12dm
d/ 10dm
6/ Dieän tích xung quanh cuûa hình 1 laø:
a/ 2586,13cm
2
b/ 2865,31cm
2
c/ 2658,13cm
2
d/ 2568,31cm
2
7/ Theå tích cuûa hình 2 laø:
a/ 14130cm
3
b/ 7065cm
3
c/ 9420cm
2
d/ Keát quaû khaùc
94

95. 8/ Hình truï coù theå tích laø 2826cm
3
,chieàu cao hình truï laø 25cm,dieän tích
ñaùy laø:
a/ 131,04cm
2
b/ 113,04cm
2
c/ 134,01cm
2
d/ 143,10cm
2
9/ Hình noùn coù dieän tích ñaùy laø 113,04cm
2
, chieàu cao laø 8cm, ñoä daøi
ñöôøng sinh laø bao nhieâu:
a/ 5cm b/ 6cm d/ 8cm
d/ 10cm
10/ Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 5cm, AC = 12cm. Quay moät voøng
quanh caïnh AC. Dieän tích xung quanh hình phaùt sinh laø:
a/ 188,40cm
2
b/ 392,50cm
2
c/ 204,10cm
2
d/ 489,84cm
2
ÑEÀ 11:
1/ Hình truï coù theå tích laø 200cm
3
, dieän tích ñaùy laø 100cm
2
, chieàu cao
baèng:
a/ 1cm b/ 2cm c/ 3cm
d/ 4cm
2/ Dieän tích maët caàu laø 314dm
2
, baùn kính laø:
a/ 5dm d/ 4dm c/ 3dm
d/ 2dm
3/ Hình noùn coù chu vi ñaùy laø 50,24cm, chieàu cao laø 6cm. Ñoä daøi ñöôøng
sinh laø:
a/ 9cm b/ 10,5cm c/ 10cm
d/ 12cm
4/ Tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = 18cm, AC = 24cm. Quay moät voøng quanh
caïnh AB. Dieän tích toaøn phaàn cuûa hình sinh ra laø:
a/ 2034,72cm
2
b/ 1356,48cm
2
c/ 4069,44cm
2
d/ 2260,8cm
2
5/ Cho nöûa ñöôøng troøn ñöôøng kính AB = 20mm, quay moät voøng quanh
caïnh AB. Tính theå tích hình phaùt sinh
a/ 4293,18mm
3
b/ 4186,67mm
3
c/ 4412,20mm
3
d/ 4520,18mm
3
95

96. 6/ Moät hình caàu coù theå tích laø 113,04cm
3
, vaäy dieän tích maët caàu laø:
a/ 200,96cm
2
b/ 226,08mm
2
c/ 150,72cm
2
d/ 113,04cm
2
7/ Hình truï coù ñöôøng kính ñöôøng troøn ñaùy laø 30cm, chieàu cao 10cm thì
dieän tích toaøn phaàn laø:
a/ 2099cm
2
b/ 2221,11cm
2
c/ 2355cm
2
d/ 2831,67cm
2
8/ Hình noùn coù baùn kính ñöôøng troøn ñaùy laø 3cm, chieàu cao laø 4cm.
Dieän tích xung quanh laø:
a/ 37,68cm
2
b/ 62,80cm
2
c/ 47,10cm
2
d/ KQ khaùc.
Chöông I: CAÊN BAÄC HAI – CAÊN BAÄC BA
ÑEÀ 1
1/ Keát quaû cuûa pheùp tính: ( )
2
2 27 3 12 2 3− + − laø:
a/ 2 2 2+ b/ 2 3− c/ 2 3+
d/ 2 4 3−
2/ Bieåu thöùc 2 4x− coù nghóa khi :
a/
1
x
2
≤ b/
1
x
2
≥ c/ x<
1
2
d/ x >
1
2
3/ Caùc saép xeáp naøo sau ñaây ñuùng :
a/2 6 >4 2 >3 3 b/ 3 3 2 6 4 2> > c/ 4 2 3 3 2 6> >
d/4 2 2 6 3 3> >
4/ Caên baäc ba cuûa -216laø:
a/ -6 b/ 6 c/ -36
d/ Khoâng tính ñöôïc
* Traû lôøi caùc caâu hoûi 5 vaø 6 vôùi bieåu thöùc sau
2
x 6x 9
A x 3
x 3
− +
= − +
−
96

97. 5/ Bieåu thöùc ruùt goïn cuûa bieåu thöùc A khi x< 3 laø :
a/ 3-x b/ x-2 c/ 2-x
d/ x-3
6/ giaù trò cuûa bieåu thöùc A khi x= 4 laø :
a/ -7 b/ -6 c/ 7
d/ 6
7/ Phöông trình
2
x 1 2+ = coù nghieäm laø:
a/ x=1 hoaëc x= -1 b/ x 2= hoaëc x 2= − c/ x 3= hoaëc x 3= −
d/ Voâ nghieäm
8/ Vôùi ñieàu kieän naøo thì
2
a a= − :
a/ a= o b/ a≤ 0 c/ a 0≥
d/ ñaúng thöùc khoâng
theå xaûy ra
9/ Caâu naøo ñuùng? Caâu naøo sai? (I) A.B A. B=
(II)
A A B
BB
= (vôùi B > 0)
a/ (I) ñuùng, (II) sai b/ (I) sai ,(II) ñuùng c/ (I) ñuùng ,(II) ñuùng
d/ (I) sai, (II) sai
10/ Nghieäm gaàn ñuùng cuûa phöông trình x
2
= 150 laø ( laøm troøn ñeán chöõ
soá thaäp phaân thöù ba ) :
a/ 12,247 b/ 12,681 c/ 12,405
d/ 12,717
ÑEÀ II:
1/ Keát quaû cuûa pheùp tính ( ) ( )
22
3 2 2 4− − − + laø :
a/ 0 b/1 c/2
d/ -1
2/ Phöông trình x 4 0+ = coù nghieäm laø:
a/ x = 4 b/ x = -4 c/ x = 4 hay x = -4
d/ voâ nghieäm
*Traû lôøi caùc caâu hoûi 3,4,5 vôùi bieåu thöùc sau:
97

98. x x x 1
A
x x 1
− −
= +
−
3/ Ñieàu kieän ñeå bieåu thöùc A coù nghóa:
a/x 0≠ vaø x 1≠ b/ x > 0 c/ x > 0 vaø x 1≠
d/ x >1
4/ Bieåu thöùc ruùt goïn cuûa bieåu thöùc A laø:
a/ 2 x b/ 2 c/ 2 x 2+
d/ x 1+
5/ Tìm x ñeå giaù trò cuûa bieåu thöùc A laø 2
a/ x = 0 b/ x = 1 c/ x = 1 hay x = -1
d/ voâ nghieäm
6/ Keát quaû cuûa pheùp tính
( ) ( )
2 2
25 16
1 3 1 3
−
− + laø:
a/
9 3
2
−
b/
9 3 1
2
−
c/
9 3
2
+
d/
9 3 1
2
+
7/ Bieåu thöùc vieát döôùi daïng bình phöông moät hieäu laø:
a/ ( )
2
6 6− b/ ( )
2
3 2 6− c/ ( )
2
3 3 2 2−
d/ ( )
2
3 2 2 3−
8/ Caùc keát naøo sau ñaây ñuùng :
a/ 64 36 64 36+ = + b/ 5 2 2 5<
c/
25 49 15
:
36 81 14
=
d/ khoâng coù caâu naøo ñuùng
9/ Phöông trình
3 x 2 8
3x 1
+
=
+
coù nghieäm :
a/ x = 4 b/ x = -4 c/ x = 4 hay x = -4
d/ voâ nghieäm
10/ Ñeå thöïc hieän pheùp tính 2 3 2 3− − + , baïn Haân thöïc hieän nhö sau :
Ñaët A 2 3 2 3= − − +
98

99. Ta coù ( ) ( )
2 2
2
A 2 3 2 2 3. 2 3 2 3= − − − + + +
(1)
= 2 3 2 4 3 2 3− − − + + (2)
= 4 – 2 = 2 (3)
Vaäy A = 2 (4)
Baïn Haân ñaõ thöïc hieän sai ôû phaàn naøo :
a/ (1) b/ (1) vaø (2) c/ (4)
d/ Haân thöïc hieän
khoâng sai
Chöông III: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT HAI AÅN
ÑEÀ 8
1/ Phöông trình naøo laø phöông trình baäc nhaát hai aån:
a/ xy + x = 2 b/ 2x – y = 0 c/ x + y = xy
d/ Caû a,b,c
2/ Heä
x 2y 3
x 3y 2
+ =

− = −
coù nghieäm laø :
99

100. a/ ( - 1 ; 2) b/ (2 ;
1
2 ) c/ (1 ; 1)
d/ (- 2 ;
5
2 )
3/ Phöông trình ñöôøng thaúng ñi qua hai ñieåm A(-2 ;0) vaø B(-2 ;1) laø :
a/ y = -x – 2 b/ x = - 2 c/ y = -2
d/ y = x + 2
4/ Coâng thöùc nghieäm toång quaùt cuûa phöông trình x – 2y = 0 laø :
a/ (x ∈ R, y = 2x) b/ (x∈R ; y =
x
2 ) c/ (x = 2 ; y∈R)
d/ (x = 0 ; y∈R)
* Traû lôøi caâu 5,6,7 vôùi ñeà toaùn sau : « Moät hình chöõ nhaät coù chieàu
daøi lôùn hôn chieàu roäng laø 3m, neáu taêng moãi chieàu leân 3m thì dieän tích
hình chöõ nhaät taêng theâm 90m
2
. Tính chu vi hình chöõ nhaät”
5/ Vôùi x (m) : chieàu roäng (x > 0), y(m) laø chieàu daøi (y > 3) thì heä phöông
trình laäp ñöôïc laø :
a/
y x 3
x y 81
= +

+ =
b/
y x 3
x y 27
= +

+ =
c/
x x 3
x y 87
= +

+ =
d/
y x 3
x y 30
= +

+ =
6/ Chieàu roäng hình chöõ nhaät tìm ñöôïc laø:
a/ 12m b/ 15m c/ 18m
d/ 20m
7/ Chu vi hình chöõ nhaät laø:
a/ 66m b/ 78m c/ 86m
d/ 54m
ÑEÀ 9
1/ Tìm m, n ñeå heä
mx 2y 1
x ny 2
− =

+ = −
nhaän caëp soá (-2;1) laøm nghieâm.
a/ m=2; n = 0 b/ m =
1
2 ; n = 0 c/ m = -
1
2 ; n = 1
d/ m =
1
2 ; n =1
2/ Heä
3x y 2
2x 5y 3
+ =

− =
töông ñöông vôùi heä naøo?
100

101. (I)
y 3x 2
17x 13
= − +

=
(II)
3x y 2
17x 5
+ =

=
a/ Heä (I) b/ Heä (II) c/ Heä (I) vaø (II)
d/ Khoâng T ñöông
3/ Toaï ñoä giao ñieåm cuûa hai ñöôøng thaúng x – y = 0 vaø x + 2y = 3 laø:
a/ (3;3) b/ (2;2) c/ (-1;-1)
d/ (1;1)
4/ Giaù trò naøo cuûa a thì heä:
2
a x y 1
x y a
 + =

+ =
coù voâ soá nghieäm
a/ a = 1 b/ a = -1 c/ a = 1 hoaëc a = -1
d/ Ñaùp aùn khaùc
5/ Heä naøo sau ñaây voâ nghieäm:
(I)
y 3x 1
y 3x 1
= −

= − +
(II)
y 2 4x
y 4x
= −

= −
a/ Heä (I) b/ Heä (II) c/ Caû (I) vaø (II)
d/ Khoâng coù
* Traû lôøi caâu hoûi 6,7 vôùi baøi toaùn sau:“ Tìm hai soá bieát soá thöù
nhaát gaáp 3 laàn soá thöù hai vaø hieäu cuûa chuùng laø 10”
6/ Hai soá phaûi tìm laø x, y. Baïn Haân vaø Tuyeát laäp ñöôïc heä phöông trình
sau, haõy cho bieát ai ñuùng, ai sai:
Haân:
y 3x
y x 10
=

− =
Tuyeát:
x 3y
x 10 y
=

= −
a/ Haân ñuùng, Tuyeát sai b/ Haân sai, Tuyeát
ñuùng c/ Caû hai cuøng ñuùng d/ Caû hai cuøng sai
7/ Soá nhoû tìm ñöôïc laø:
a/ 15 b/ 10 c/ 5
d/ 3
ÑEÀ 10
1/ Cho haøm soá y = ax + b coù ñoà thi (d), bieát (d) qua hai ñieåm A(1;3), B(2;2).
Vaäy giaù trò cuûa a, b laø:
a/ a = -1; b = 4 b/ a = 2;b = 2 c/ a = 1; b = 3
d/ a = -4; b = -1
101