1. H×nh häc 10

Ch¬ng I - VÐc t¬
I. VÐc t¬:
1. §Þnh nghÜa:
VÐct¬ lµ mét ®o¹n th¼ng cã:
+ Mét ®Çu ®îc x¸c ®Þnh lµ gèc, cßn ®Çu kia lµ ngän.
+ Híng tõ gèc ®Õn ngän gäi lµ híng cña vÐct¬.
+ §é dµi cña ®o¹n th¼ng gäi lµ ®é dµi cña vÐct¬ (M« ®un)
uuu
r uuu
r uuu
r
VÐct¬ cã gèc A, ngän B ®îc kÝ hiÖu lµ AB ; ®é dµi cña AB kÝ hiÖu lµ AB
Mét vÐc t¬ cßn cã kÝ hiÖu bëi mét ch÷ c¸i in thêng phÝa trªn cã mòi tªn nh:
r r r
a; b; c; ...
2. VÐct¬ kh«ng:
r
VÐct¬ kh«ng: 0 lµ vÐct¬ cã:
+ §iÓm gèc vµ ®iÓm ngän trïng nhau.
+ §é dµi b»ng 0.
+ Híng bÊt k×.
3. Hai vÐct¬ cïng ph¬ng:
uuu uuu
r r uuu uuu
r r  AB // CD
Hai vÐct¬ AB; CD gäi lµ cïng ph¬ng: kÝ hiÖu AB // CD ⇔ 
 A,B,C,D th¼ng hµng
4. Hai vÐct¬ cïng híng:
 AB // CD
Hai vÐct¬ AB;CD gäi lµ cïng híng: kÝ hiÖu AB ↑↑ CD ⇔ 
hai tia AB, CDcïng h­íng
5. Hai vÐct¬ ngîc híng:
 AB // CD
Hai vÐct¬ AB;CD gäi lµ ngîcchíng: kÝ hiÖu AB ↑↓ CD ⇔ 
hai tia AB, CD ng­îc h­íng
 AB = CD
6. Hai vÐct¬ b»ng nhau: Hai vÐct¬ AB;CD b»ng nhau: kÝ hiÖu AB = CD ⇔ 
 AB ↑↑ CD
 AB = CD
7. Hai vÐct¬ ®èi nhau: Hai vÐct¬ AB;CD ®èi nhau: kÝ hiÖu AB = − CD ⇔ 
 AB ↑↓ CD
8. Gãc cña hai vÐct¬:
Gãc cña hai vÐct¬ AB;CD lµ gãc t¹o bëi hai tia Ox; Oy lÇn lît cïng híng víi hai
tia AB; CD.
ˆ
+ Khi AB;CD kh«ng cïng híng th× 0o ≤ xOy ≤ 180o .
ˆ
+ Khi AB;CD cïng híng th× xOy = 0o
II. C¸c phÐp to¸n vÐct¬:
1. PhÐp céng vÐct¬:
§Þnh nghÜa: Tæng cña hai vÐct¬ a;b lµ mét vÐct¬ ®îc x¸c ®Þnh nh sau:
+ Tõ mét ®iÓm O tïy ý trªn mÆt ph¼ng dùng vÐct¬ OA = a .
+ Tõ ®iÓm A dùng vÐct¬ AB = b

2. + Khi ®ã vÐct¬ OB gäi lµ vÐct¬ tæng hîp cña hai vÐct¬ a;b : OB = a + b
HÖ thøc Chasles (Qui t¾c ba ®iÓm):
Víi 3 ®iÓm A, B, C bÊt k×, ta lu«n lu«n cã: AB + BC = AC
(HÖ thøc Chasles cã thÓ më réng cho n ®iÓm liªn tiÕp)
PhÐp céng hai vÐct¬ ®ång qui (Qui t¾c h×nh b×nh hμnh): AB + AD = AC (víi
ABCD lµ h×nh b×nh hµnh)
Qui t¾c trung ®iÓm: Víi ®iÓm M tuú ý vµ I lµ trung ®iÓm cña AB ta lu«n cã:
M=
I (
1
2
M +M
A B )
TÝnh chÊt:
- Giao ho¸n: a + b = b + a
( ) (
- KÕt hîp: a + b + c = a + b + c )
- Céng víi kh«ng: a + 0 = a
- Céng víi vÐct¬ ®èi: a + (− a) = 0
2. PhÐp trõ vÐct¬: a − b = a + (−b)
Víi a − b = c ⇔ a = b + c
Qui t¾c ba ®iÓm: Cho ba ®iÓm O, A, B bÊt k× ta cã: AB = OB − OA
3. PhÐp nh©n mét vÐct¬ víi mét sè thùc:
a. §Þnh nghÜa: k.a lµ mét vÐct¬:
- Víi a ≠ 0;k ≠ 0 th× vÐct¬ k.a sÏ cïng ph¬ng víi a vµ sÏ:
+ Cïng híng víi a nÕu k>0.
+ Ngîc híng víi a nÕu k<0.
+ Cã ®é dµi k.a = k . a
- 0.a = k.0 = 0
b. TÝnh chÊt:
+) 1.a = a;(−1).a = − a +) m.(n.a)= (mn)a +) (m + n)a = ma + na
+) m(a + b) = ma + mb +) a;b cïng ph¬ng ⇔ a = kb (a ≠ 0)
4. TØ sè cña hai vÐct¬ cïng ph¬ng:
a //b


k > 0 nÕua ↑↑ b

a
= k k < 0 nÕua ↑↓ b
b 
 a
k =
 b


3. ph©n lo¹i bµi tËp vÒ VÐc t¬ vµ c¸c phÐp to¸n
D¹ng 1. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc vÐct¬
*Ph¬ng ph¸p:
+ Sö dông qui t¾c ba ®iÓm (Chasles); h×nh b×nh hµnh; trung ®iÓm.
+ VËn dông c¸c c¸c chøng minh ®¼ng thøc: biÕn ®æi VT thµnh VP vµ
ngîc l¹i; biÕn ®æi hai vÕ cïng thµnh mét ®¼ng thøc; biÕn ®æi ®¼ng thøc ®·
cho thµnh mét ®¼ng thøc lu«n ®óng.
*Bµi tËp minh ho¹:
Bµi 1. Cho 4 ®iÓm A, B, C, D chøng minh r»ng:
a. AB + CD = AD + CB b. AB − CD = AC − BD
c. AB + DC + BD + CA = 0 d. AB + CD + BC + DA = 0
Bµi 2. Cho tam gi¸c A, B, C. G lµ träng t©m cña tam gi¸c vµ M lµ mét ®iÓm
tuú ý trong mÆt ph¼ng. CM:
a. GB + GB + GC = 0 b. M + M + M = 3M
B B C G
Bµi 3. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD t©m I. AO = a;BO = b
a. Chøng minh r»ng: AB + AD = 2AI
b. TÝnh AC;BD;AB;BC;CD;DA theo a;b .
uuur uuu uuu uuu uuu uuu
r r r r r
Bµi 4. Cho 6 ®iÓm A, B, C, D, E, F. Chøng minh r»ng: AD + BE + CF = AE + BF + CD
Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC. I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c. CM:
uu
r uu
r uur r
a.IA + b.IB + c.IC = 0
Bµi 6. Cho hai tam gi¸c ABC vµ A'B'C'. Gäi G lµ träng t©m cña G vµ G'.
Chøng minh r»ng:
uuur uuur uuuu r uuuu
r
AA ' + BB ' + CC ' = 3GG '
Bµi 7. Cho 4 ®iÓm A, B, C, D; M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, CD. Chøng
minh r»ng:
uuur uuu uuur uuu
r r uuuu
r
AD + BD + AC + BC = 4MN
Bµi 8. Gäi O; H; G lÇn lît lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp, trùc t©m; träng t©m
cña tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng:
a) HA + HB + HC = 2HO b) HG= 2GO
Bµi 9. Cho tam gi¸c ®Òu ABC t©m O. M lµ mét ®iÓm tuú ý bªn trong tam gi¸c;
D, E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña nã trªn BC, CA, AB. Chøng minh r»ng:
3
M +M +M = M
D E F O
2
Bµi 10. Cho tam gi¸c ABC. VÏ ra phÝa ngoµi cña tam gi¸c c¸c h×nh b×nh hµnh
ABIF, BCPQ, CARS. Chøng m×nh: RF + IQ + PS = 0

4. Bµi 11. Cho 4 ®iÓm A, B, C, D; I, F lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC, CD. CM:
( )
2 AB + AI+ FA + DA = 3DB
Bµi 12. Cho tam gi¸c ABC víi G lµ träng t©m; H lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua G.
CM:
a. AH=
2
3
1
AC− AB ;
3
CH= −
1
3
( )
AB + AC
1 5
b. M lµ trung ®iÓm cña BC. CM: M =
H AC− AB
6 6

5. D¹ng 2. X¸c ®Þnh ®iÓm tho¶ m·n mét ®¼ng thøc
vÐct¬
*Ph¬ng ph¸p chung:
+ BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®· cho vÒ d¹ng: OM= a trong ®ã O vµ a ®· biÕt.
+ NÕu muèn dùng ®iÓm M, ta lÊy O lµm gèc dùng mét vÐct¬ b»ng
vÐct¬ a . Khi ®ã ngän cña vÐct¬ nµy chÝnh lµ ®iÓm M.
*Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Cho hai ®iÓm A, B. X¸c ®Þnh ®iÓm M biÕt: 2M − 3M = 0
A B
Bµi 2. Cho hai ®iÓm A, B vµ mét vÐc t¬ v . X¸c ®Þnh ®iÓm M biÕt: M + M = v
A B
Bµi 3. Cho tam gi¸c ABC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB vµ N lµ mét ®iÓm trªn
c¹nh AC sao cho NC=2NA.
a. X¸c ®Þnh ®iÓm K sao cho: 3AB + 2AC − 12AK = 0
b. X¸c ®Þnh ®iÓm D sao cho: 3AB + 4AC − 12KD = 0
Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC.
a. X¸c ®Þnh ®iÓm I sao cho: IA + 2IB = 0
b. X¸c ®Þnh ®iÓm K sao cho: KA + 2KB = CB
c. X¸c ®Þnh ®iÓm M sao cho: M + M + 2M = 0
A B C
Bµi 5. Cho c¸c ®iÓm A, B, C, D, E. X¸c ®Þnh c¸c ®iÓm O, I, K sao cho:
a.OA + 2OB + 3OC = 0
b.IA + IB + IC + ID = 0
c.KA + KB + KC + 3(KD + KE)= 0
Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M sao cho: M + M + 2M = 0
A B C
Bµi 7. Cho tam gi¸c ABC. X¸c ®Þnh c¸c ®iÓm M, N sao cho:
a. M + 2M = 0
A B b. NA + 2NB = CB
Bµi 8. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. X¸c ®Þnh ®iÓm M tho¶ m·n:
3AM= AB + AC+ AD
Bµi 9. Cho tø gi¸c ABCD. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm O tho¶ m·n:
OA + OB + OC + OD = 0
Bµi 10. Cho tam gi¸c ABC cè ®Þnh. Chøng minh a = M + 4M − 5M kh«ng phô
A B C
thuéc vÞ trÝ cña ®iÓm M.
Bµi 11. Cho tø gi¸c ABCD. Chøng minh chØ cã mét ®iÓm M tho¶ m·n hÖ
thøc: 2M + 3M − 5M + M = 0
A B C D

6. D¹ng 3. Chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng
*Ph¬ng ph¸p chung:
Muèn chøng minh ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng, ta chøng minh:
AB = kAC (k ∈ R). §Ó chøng minh ®îc ®iÒu nµy ta cã thÓ ¸p dông mét trong hai
ph¬ng ph¸p:
+ C¸ch 1: ¸p dông c¸c quy t¾c biÕn ®æi vÐct¬.
+ C¸ch 2: X¸c ®Þnh hai vÐct¬ trªn th«ng qua tæ hîp trung gian.
*Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC; D vµ E lµ hai ®iÓm sao
cho: BD = DE = EC
a. Chøng minh: AB + AC = AD + AE
b. TÝnh vÐct¬: AS = AB + AD + AC + AE theo AI
c. Suy ra ba ®iÓm A, I, S th¼ng hµng.
Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC. §Æt AB = u; AC = v
a. Gäi P lµ ®iÓm ®èi xøng víi B qua C. TÝnh AP theo u; v ?
1 1
b. Qäi Q vµ R lµ hai ®iÓm ®Þnh bëi: AQ = AC; AR = AB . TÝnh RP;RQ theo u; v
2 3
.
c. Suy ra P, Q, R th¼ng hµng.
Bµi 3. Cho tam gi¸c ABC, träng t©m G. LÊy ®iÓm I, J sao cho: 2IA + 3IC = 0 ,
2JA + 5JB + 3JC = 0
a. CMR: M, N, J th¼ng hµng víi M, N lµ trung ®iÓm cña AB vµ BC.
b. CMR: J lµ trung ®iÓm cña BI.
Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC, träng t©m G. LÊy c¸c ®iÓm I, J tho¶ m·n: IA = 2IB ;
3JA + 2JC = 0
Chøng minh IJ ®i qua träng t©m G cña tam gi¸c ABC.
Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC. LÊy c¸c ®iÓm M, N, P tho¶ m·n:
M + M = 0; 3AN − 2AC = 0; PB = 2PC
A B
Chøng minh M, N, P th¼ng hµng.
Bµi 6. Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. LÊy c¸c ®iÓm I, J tho¶ m·n:
3JA + 2JC − 2JD = 0; JA − 2JB + 2JC = 0
Chøng minh I, J, O th¼ng hµng víi O lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD.
Bµi 7. Cho tam gi¸c ABC. Gäi O, G, H theo thø tù lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp,
träng t©m, trùc t©m cña tam gi¸c ABC. CMR: O, G, H th¼ng hµng.
Bµi 8. Cho tam gi¸c ABC. LÊy c¸c ®iÓm M, N, P sao cho: M − 3M = 0 , AN = 3NC,
B C
PA + PB = 0
Chøng minh r»ng M, N, P th¼ng hµng.
D¹ng 4. Chøng minh hai ®iÓm trïng nhau
*Ph¬ng ph¸p chung:
§Ó chøng minh M vµ M' trïng nhau, ta lùa chän mét trong hai híng:

7. C¸ch 1: Chøng minh M ' = 0
M
C¸ch 2: Chøng minh OM= OM víi O lµ ®iÓm tuú ý.
'
*Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC. LÊy c¸c ®iÓm A1 ∈ BC;B1 ∈ AC;C1 ∈ AB sao cho:
AA1 + BB1 + CC1 . Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ABC vµ A1B1C1 cã cïng träng
t©m.
Bµi 2. Cho tø gi¸c låi ABCD. Gäi M, N, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, BC,
CD, DA. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ANP vµ CMQ cã cïng träng t©m.
D¹ng 5. Quü tÝch ®iÓm
*Ph¬ng ph¸p chung:
§èi víi c¸c bµi to¸n quü tÝch, häc sinh cÇn nhí mét sè quü tÝch c¬ b¶n sau:
- NÕu M = M víi A, B cho tríc th× M thuéc ®êng trung trùc cña ®o¹n AB.
A B
- NÕu M = k. AB víi A, B, C cho tríc th× M thuéc ®êng trßn t©m C, b¸n kÝnh
C
b»ng k. AB .
- NÕu M = kBC th×
A
+ M thuéc ®êng th¼ng qua A song song víi BC nÕu k∈ R
+ M thuéc nöa ®êng th¼ng qua A song song víi BC vµ cïng híng BC
nÕu k∈ R+
+ M thuéc nöa ®êng th¼ng qua A song song víi BC vµ ngîc híng BC
nÕu k∈ R−
*Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tho¶ m·n:
3
a. M + M + M =
A B C M +M
B C
2
b. M + 3M − 2M = 2M − M − M
A B C A B C
Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC. M lµ ®iÓm tuú ý trong mÆt ph¼ng.
a. CMR: vÐct¬ v = 3M − 5M + 2M kh«ng ®æi.
A B C
b. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M tho¶ m·n: 3M + 2M − 2M = M − M
A B C B C

8. trôc to¹ ®é vµ hÖ trôc to¹ ®é

PhÇn 1. Trôc to¹ ®é
Bµi 1. Trªn trôc x'Ox cho 2 ®iÓm A, B cã täa ®é lÇn lît lµ −2 vµ 5.
→
a/ T×m täa ®é cña AB .
b/ T×m täa ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB
→ → r
c/ T×m täa ®é cña ®iÓm M sao cho 2 MA + 5 MB = 0
d/ T×m täa ®é ®iÓm N sao cho 2 NA + 3 NB = −1
Bµi 2. Trªn trôc x'Ox cho 3 ®iÓm A, B, C cã täa ®é lÇn lît lµ a, b, c.
a/ T×m täa ®é trung ®iÓm I cña AB
→ → → r
b/ T×m täa ®é ®iÓm M sao cho MA + MB − MC = 0
→ → →
c/ T×m täa ®é ®iÓm N sao cho 2 NA − 3 NB = NC
Bµi 3. Trªn trôc x'Ox cho 2 ®iÓm A, B cã täa ®é lÇn lît lµ −3 vµ 1.
a/ T×m täa ®é ®iÓm M sao cho 3 MA − 2 MB = 1
c/ T×m täa ®é ®iÓm N sao cho NA + 3 NB = AB
Bµi 4. Trªn trôc x'Ox cho 4 ®iÓm A (−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
1 1 2
a/ CMR : + =
AC AD AB
2
b/ Gäi I lµ trung ®iÓm AB. CMR: IC . ID = IA
c/ Gäi J lµ trung ®iÓm CD. CMR: AC . AD = AB . AJ
phÇn 2. HÖ to¹ ®é ®Ò c¸c vu«ng gãc

I. To¹ ®é vÐc t¬ - To¹ ®é ®iÓm:
Bµi 1. BiÓu diÔn vÐc t¬ u = xi + y j biÕt a) u(2;−5) b) u(−4;0)
Bµi 2. X¸c ®Þnh to¹ ®é cña vÐc t¬ u biÕt: a) u = −5i − 2j b) u = 3i c) u = −7j
Bµi 3. X¸c ®Þnh to¹ ®é vµ ®é dµi cña vÐc t¬ c biÕt
a) c = a + 3b ; a(2;−1); b(3;4) b) c = 3a − 5b ; a(−2;3); b(3;−6)
Bµi 4. Cho ba ®iÓm A(-1;1); B(1;3)
a) X¸c ®Þnh to¹ ®é cña c¸c vÐc t¬: AB;BA b) T×m to¹ ®é ®iÓm M sao cho
BM3;0)
(
c) T×m to¹ ®é ®iÓm N sao cho NA(1;1)
II. BiÓu diÔn VÐc t¬:
Bµi 1. BiÓu diÔn vÐc t¬ c theo c¸c vÐc t¬ a;b biÕt:
a) a(2;−1);b(−3;4);c(−4;7) b) a(1;1);b(2;−3);c(−1;3)

9. Bµi 2. Cho bèn ®iÓm A(1;1); B(2;-1); C(4;3); D(16;3). H·y biÓu diÔn vÐc t¬ AD
theo c¸c vÐc t¬ AB ; AC
Bµi 3. BiÓu diÔn vÐc t¬ c theo c¸c vÐc t¬ a;b biÕt:
a) a(−4;3);b(−2;−1);c (0;5) b) a(4;2);b(5;3);c(2;0)
Bµi 4. Cho bèn ®iÓm A(0;1); B(2;0); C(-1;2); D(6;-4). H·y biÓu diÔn vÐc t¬ AD
theo c¸c vÐc t¬ AB ; AC
III. X¸c ®Þnh ®iÓm tho¶ m·n mét ®¼ng thøc vÐc t¬, ®é dµi:
Bµi 1. Cho tam gi¸c ABC víi A(1;0); B(-3;-5); C(0;3)
a. X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm E sao cho AE = 2BC
b. X¸c ®Þnh to¹ ®é ®iÓm F sao cho AF=CF=5
c. T×m tËp hîp ®iÓm M biÕt: 2(M + M )− 3M = M − M
A B C B C
Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC víi A(-1;3); B(2;4); C(0;1). X¸c ®Þnh to¹ ®é:
a) Träng t©m G b) VÐc t¬ trung tuyÕn AA 1 c) T©m I cña ®êng
trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c.
d) §iÓm D sao cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
Bµi 3. Cho M(1+2t; 1+3t). H·y t×m ®iÓm M sao cho xM + yM nhá nhÊt.
2 2
Bµi 4. Cho tam gi¸c ABC víi A(4;6); B(1;4); C(7; 3 )
2
a. CM: ∆ABC vu«ng b. T×m to¹ ®é t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC.
c. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M tho¶ m·n: 2M + 2M − 3M = M − M
A B C A C
Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC víi A(1;-2); B(0;4); C(3;2). T×m to¹ ®é cña:
a. Träng t©m G cña tam gi¸c b. VÐc t¬ trung tuyÕn øng víi
c¹nh BC
c. §iÓm D sao cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh. d. T©m I ®êng trßn ngo¹i
tiÕp tam gi¸c ABC.
e. §iÓm M biÕt: CM= 2AB − 3AC f. §iÓm N biÕt: AN+ 2BN− 4CN = 0
Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC víi A(-3;6); B(1;-2); C(6;3). T×m to¹ ®é cña:
a. Träng t©m G b. T©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp c. §iÓm M
biÕt 2AM− 3CM= AB
Bµi 7. Cho tam gi¸c ABC víi A(0;3); B(4;6); C(3;3).T×m to¹ ®é ®iÓm D sao
cho ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
Bµi 8. Cho ®iÓm A(3;1)
a. T×m to¹ ®é c¸c ®iÓm B, C sao cho OABC lµ h×nh vu«ng vµ ®iÓm B n»m
trong gãc phÇn t thø nhÊt.
b. ViÕt ph¬ng tr×nh hai ®êng chÐo cña h×nh vu«ng OABC.
Bµi 9. Cho M(1-2t; 1-3t). H·y t×m ®iÓm M sao cho xM + yM nhá nhÊt.
2 2
IV. VÐc t¬ cïng ph¬ng - Ba ®iÓm th¼ng hµng:
Bµi 1. Cho A(0;4); B(3;2).
a. Chøng minh A,B,C biÕt C(-6-3t;8+2t) b. A, B, D kh«ng th¼ng hµng
biÕt D(3;0). TÝnh chu vi ∆ABD.
Bµi 2. Cho A(2;1); B(6;-1). T×m to¹ ®é:
a. §iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho A,B,M th¼ng hµng.

10. b. §iÓm N trªn trôc tung sao cho A, B, N th¼ng hµng.
c. §iÓm P kh¸c ®iÓm B sao cho A, B, P th¼ng hµng vµ PA = 2 5 .
Bµi 3(§HNN97): Cho A(1;1); B(3;3); C(2;0)
a. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. B. T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm M trªn
trôc Ox sao cho gãc AMB nhá nhÊt.
Bµi 4. T×m ®iÓm P trªn trôc hoµnh sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ P tíi A vµ B
lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(2;-4) b) A(1;2) vµ B(3;4)
Bµi 5. Cho M(4;1) vµ hai ®iÓm A(a;0); B(0;b) víi a,b>0 sao cho A,B,M th¼ng
hµng. X¸c ®Þnh to¹ ®é A vµ B sao cho:
a. DiÖn tÝch ∆OAB lín nhÊt. b. OA+OB nhá nhÊt c.
1 1
+ nhá nhÊt.
OA OB2
2
Bµi 6. Cho A(-1;-4); B(3;4). T×m to¹ ®é:
a. §iÓm M trªn trôc hoµnh sao cho A,B,M th¼ng hµng.
b. §iÓm N trªn trôc tung sao cho A, B, N th¼ng hµng.
c. §iÓm P kh¸c ®iÓm B sao cho A, B, P th¼ng hµng vµ PA = 3 5 .
Bµi 7: Cho A(1;3); B(3;1); C(2;4)
a. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ABC. B. T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm M trªn
trôc Ox sao cho gãc AMB nhá nhÊt.
Bµi 8. T×m ®iÓm P trªn trôc hoµnh sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ P tíi A vµ B
lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;2) vµ B(3;4) b) A(1;1) vµ B(2;-5)
Bµi 9. T×m ®iÓm P trªn trôc tung sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ P tíi A vµ B lµ
nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-3)
Bµi 10. T×m ®iÓm P trªn ®êng th¼ng (d): x+y=0 sao cho tæng kho¶ng c¸ch
tõ P tíi A vµ B lµ nhá nhÊt, biÕt:
a) A(1;1) vµ B(-2;-4) b) A(1;1) vµ B(3;-2)
Bµi 11. Cho M(1;4) vµ hai ®iÓm A(a;0); B(0;b) víi a,b>0 sao cho A,B,M th¼ng
hµng. X¸c ®Þnh to¹ ®é A vµ B sao cho:
a. DiÖn tÝch ∆OAB lín nhÊt. b. OA+OB nhá nhÊt c.
1 1
+ nhá nhÊt.
OA2 OB2
Bµi 12. Cho M(1;2) vµ hai ®iÓm A(a;0); B(0;b) víi a,b>0 sao cho A,B,M th¼ng
hµng. X¸c ®Þnh to¹ ®é A vµ B sao cho:
a. DiÖn tÝch ∆OAB lín nhÊt. b. OA+OB nhá nhÊt c.
1 1
+ nhá nhÊt.
OA OB2
2
Bµi tËp tù luyÖn:
r r r r
Bµi 1. ViÕt täa ®é cña c¸c vect¬ sau: r = i − 3 j , b = 1 i + j ; r = − i + 3
r r
a c
2 2
r r r r r
j ; d = 3 i ; e = −4 j .
r r
Bµi 2. ViÕt díi d¹ng r = x i + y j , biÕt r»ng:
u
r r r r r
u = (1; 3) ; u = (4; −1) ; u = (0; −1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0)

11. r
Bµi 3. Trong mp Oxy cho r = (−1; 3) , b = (2, 0). T×m täa ®é vµ ®é dµi
a
cña c¸c vect¬:
r r r r r r r r 1 r
a/ u = 3 a − 2 b b/ v = 2 a + b c/ w = 4 a − b
2
Bµi 4. Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)
→ → →
a/ T×m täa ®é cña c¸c vect¬ AB , AC , BC b/ T×m täa ®é trung
®iÓm I cña AB
→ → →
c/ T×m täa ®é ®iÓm M sao cho: CM = 2 AB − 3 AC
→ → → r
d/ T×m täa ®é ®iÓm N sao cho: AN + 2 BN − 4 CN = 0
Bµi 5. Trong mp Oxy cho ∆ABC cã A (4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a/ CMR : ∆ABC c©n. TÝnh chu vi ∆ABC.
b/ T×m täa ®é ®iÓm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
c/ T×m täa ®é träng t©m G cña ∆ABC.
Bµi 6. Trong mp Oxy cho ∆ABC cã A (0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1).
a/ CMR : ∆ABC vu«ng. TÝnh diÖn tÝch ∆ABC. b/ Gäi D (3; 1). CMR : 3
®iÓm B, C, D th¼ng hµng.
c/ T×m täa ®é ®iÓm D ®Ó tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh.
Bµi 7. Trong mp Oxy cho ∆ABC cã A (−3; 6) , B(9; −10) , C(−5; 4).
a/ CMR : A, B, C kh«ng th¼ng hµng. b/ T×m täa ®é träng t©m G cña
∆ABC.
c/ T×m täa ®é t©m I cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC vµ tÝnh b¸n kÝnh ®-
êng trßn ®ã.
Bµi 8. Trong mp Oxy cho A(−3; 2) , B(4; 3). H·y t×m trªn trôc hoµnh c¸c
®iÓm M sao cho ∆ABM vu«ng t¹i M.
Bµi 9. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ H·y t×m trªn trôc hoµnh 1 ®iÓm C sao cho ∆ABC c©n t¹i C.
b/ TÝnh diÖn tÝch ∆ABC. c/ T×m täa ®é ®iÓm D ®Ó tø gi¸c ABCD
lµ h×nh b×nh hµnh.
Bµi 10. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(−1; −1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C kh«ng th¼ng hµng. b/ T×m täa ®é träng t©m G cña
∆ABC.
c/ CMR : ∆ABC vu«ng c©n. d/ TÝnh diÖn tÝch ∆ABC.
Chóc c¸c em «n tËp tèt!
(Tãm l¹i lμ ph¶i ch ¨m chØ nhiÒu vμo míi cã thÓ giái ® îc!!!!)

12. TÝch v« híng
I. LÝ thuyÕt:
1. §Þnh nghÜa: a.b = a .b .cos a,b ( )
⇒ a.b > 0 ⇔ cos ( a,b) > 0 ⇔ 0 ≤ ( a,b) < 90o
a.b = 0 ⇔ cos ( a,b) = 0 ⇔ ( a,b) = 90 ⇔ a ⊥ b
o
a.b < 0 ⇔ cos ( a,b) < 0 ⇔ 90 < ( a,b) ≤ 180
o o
2. TÝnh chÊt:
a. Giao ho¸n b. TÝnh chÊt ph©n phèi c.
a.b = b.a ( )
a. b + c = ab + ac (ma)b = m(a.b)
3. BiÓu thøc to¹ ®é cña tÝch v« híng:
NÕu a(x1;y1);b(x2;y2 )⇒ a.b = x1y1 + x2y2
4. C«ng thøc h×nh chiÕu:
a. NÕu bèn ®iÓm A, B, C, D cïng ë trªn mét trôc th×: AB.CD = AB.CD
b. NÕu A', B' lµ h×nh chiÕu cña A, B lªn gi¸ cña CD th×:
AB.CD = A'B'.CD
II. Bµi tËp ¸p dông:
TÝnh tÝch v« híng
Bµi 1. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a, träng t©m G.
a. TÝnh c¸c tÝch v« híng AB.CD;AB.BC b. Gäi I lµ ®iÓm tho¶ m·n IA − 2IB + 4IC = 0
. Chøng minh r»ng:
(
BCIG lµ h×nh b×nh hµnh tõ ®ã tÝnh IA AB + AC ;IB.IC;IA.IB )
Bµi 2. Cho tam gi¸c ABC c¹nh a, b, c.
a. TÝnh AB.AC tõ ®ã suy ra: AB.AC+ BC.CA + CA.AB
b. Gäi M lµ trung ®iÓm BC, G lµ träng t©m tam gi¸c ABC. TÝnh ®é dµi ®o¹n
AM tõ ®ã suy ra ®é dµi AG vµ cosin gãc nhän t¹o bëi AG vµ BC.
Bµi 3. Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, t©m O, M lµ ®iÓm tuú ý trªn ®êng trßn
néi tiÕp h×nh vu«ng, N lµ ®iÓm tuú ý trªn c¹nh BC. TÝnh:
a. M .M + M .M
A B C D b. NA.NB c. NO.BA
Bµi 4. Cho ba vÐc t¬ a;b;c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a = a; b = b; c = c vµ a + b + 3c = 0 .
TÝnh: A = ab + bc + c a
Bµi 5. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a, ®êng cao AH
a. TÝnh c¸c tÝch v« híng AB.HC ( )(
b. AB − AC . 2AB + BC )

13. Bµi 6. Cho tam gi¸c ABC cã AB=6, AC=8, BC=10
a. TÝnh AB.AB b. Trªn AB lÊy M sao cho AM=2; trªn c¹nh AC lÊy N sao
ch0o AN=4. TÝnh AMAN
.
Bµi 7. Cho h×nh thang vu«ng ABCD cã ®êng cao AB=2, ®¸y lín BC=3; ®¸y nhá
AD=2
TÝnh c¸c tÝch v« híng AB.CD;BD.BC;AC.BD
Bµi 8. Cho ba vÐc t¬ a;b;c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a = 3; b = 2; c = 1 vµ a + b + 3c = 0 .
TÝnh: A = ab + bc + c a
Chøng minh ®¼ng thøc vÒ tÝch v« híng hay vÒ ®é dµi
Bµi 9. Cho hai ®iÓm A vµ B, O lµ trung ®iÓm cña AB vµ M lµ mét ®iÓm tuú ý.
Chøng minh r»ng: M .M = OM − OA2
A B 2
Bµi 10. Cho MM1 lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. A lµ ®iÓm
cè ®Þnh vµ OA=d. Gi¶ sö AM c¾t (O) t¹i N.
a. Chøng minh r»ng tÝch v« híng AMAM cã gi¸ trÞ kh«ng phô thuéc M.
. 1
b. CMR: AMAN cã gi¸ trÞ kh«ng phô thuéc M.
.
Bµi 11. Cho nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB cã AC, BD lµ hai d©y thuéc nöa ®-
êng trßn c¾t nhau t¹i E.
Chøng minh r»ng: AE.AC+ BE.BD = AB2
Bµi 12. Cho tam gi¸c ABC, trùc t©m H, M lµ trung ®iÓm cña BC.
Chøng minh r»ng:
1 1
a. M .M = .BC2
H A b. M 2 + M 2 = AH2 + BC2
H A
4 2
Bµi 13. Cho bèn ®iÓm tuú ý M, A, B, C. Chøng minh r»ng:
AMBC+ M .CA + M .AB = 0
. B C
Chøng minh tÝnh vu«ng gãc - thiÕt lËp ®iÒu kiÖn vu«ng gãc
Bµi 14. Chøng minh r»ng trong tam gi¸c ba ®êng cao ®ång quy.
Bµi 15. Cho tam gi¸c ABC cã gãc A nhän. VÏ bªn ngoµi c¸c tam gi¸c vu«ng c©n
®Ønh A lµ ABD, ACE. Gäi M lµ trung ®iÓm BC. Chøng minh r»ng: AM⊥DE
Bµi 16. Cho bèn ®iÓm A, B, C, D. Chøng minh r»ng: AB⊥CD
⇔ AC2 + BD2 = AD2 + BC2
Bµi 17. Cho h×nh thang vu«ng ABCD, hai ®¸y AD=a; BC=b, ®êng cao AB=h.
T×m hÖ thøc gi÷a a, b, h sao cho:
a. BD⊥CI b. AC⊥DI c.BM⊥CN víi M, N theo thø tù lµ
trung ®iÓm cña AC vµ BD.

14. Bµi 18. Cho tø gi¸c ABCD biÕt AB.AD+ BA.BC+ CB.CD+ DC.DA = 0 . Tø gi¸c ABCD lµ
h×nh g×? V× sao?
§iÓm tho¶ m·n ®¼ng thøc vÒ tÝch v« híng hay ®é dµi
Bµi 19. Cho tam gi¸c ®Òu ABC c¹nh a. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M sao cho:
a2
M .M + M .M + M .M =
A B B C C A
4
Bµi 20. Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M sao cho:
( )(
A B A C )
a. M + M . M + M = 0 b. 2M 2 + M .M = a2 víi BC=a.
B B C
Bµi 21. Cho tam gi¸c ABC. T×m tËp hîp nh÷ng ®iÓm M sao cho:
a. AMAB = AC.AB
. b. MA2-MB2+CA2-CB2=0