[Vnmath.com] chuyen de hinh hoc lop 10

CHUYÊN ĐỀ BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 ( có sử dụng tài liệu từ các nguồn khác).
BIÊN SOẠN : TRẦN MAI SANG 1
CHƢƠNG I - ĐẠI CƢƠNG VỀ VÉCTƠ
A: TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
 Vectô laø ñoaïn thaúng coù dònh höôùng Kyù hieäu : AB;CD hoaëc a ;b
 Vectô – khoâng laø vectô coù ñieåm ñaàu truøng ñieåm cuoái : Kyù hieäu 0
 Hai vectô cuøng phöông laø hai vectô coù giaù song song hoaëc truøng nhau
 Hai vectô cuøng phöông thì hoaëc cuøng höôùng hoaëc ngöôïc höôùng
 Hai vectô baèng nhau neáu chuùng cuøng höôùng vaø cuøng ñoä daøi
TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
 Ñònh nghóa: Cho AB a ; BC b . Khi ñoù AC a b 
 Tính chaát : * Giao hoaùn : a b = b a
* Keát hôïp (a b ) +c = (a b +c )
* Tín h chaát vectô –khoâng a +0=a
 Quy taéc 3 ñieåm : Cho A, B ,C tuøy yù, ta coù : AB+ BC = AC
 Quy taéc hình bình haønh . Neáu ABCD laø hình bình haønh thì AB+ AD = AC
 Quy taéc veà hieäu vec tô : Cho O , B ,C tuøy yù ta coù : CBOCOB 
TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
 Cho kR , k a laø 1 vectô ñöôïc xaùc ñònh:
* Neáu k  0 thì k a cuøng höôùng vôùi a ; k < 0 thì k a ngöôïc höôùng vôùi a
* Ñoä daøi vectô k a baèng k . a 
 Tính chaát :
a) k(m a ) = (km) a
b) (k + m) a = k a + m a
c) k( a + b) = k a + kb
d) k a = 0  k = 0 hoaëc a = 0
 b cuøng phöông a (a 0) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa b =ka
 Ñieàu kieän caàn vaø ñuû ñeå A , B , C thaúng haøng laø coù soá k sao cho AB =k AC
 Cho b khoâng cuøngphöông a ,  x luoân ñöôïc bieåu dieãn x = ma + nb ( m, n duy nhaát )
www.VNMATH.com

I - CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN VÉCTƠ
1) Rút gọn các biểu thức sau:
a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD
AB MN CB PQ CA NM    
2) Chứng minh rằng
a) AB + CD= AD + CB
b) AC + BD= AD + BC
c) AB + CD+ EA = ED+ CB
d) AD + BE + CF = AE + BF + CD = AE + BD+ CE
e) AB + CD+ EF + GA= CB + ED+ GF
3) Chohình bình hành ABCD tâm O.
CMR : AO BO CO DO O    , Với I bất kì 4IA IB IC ID IO   
4) Cho tam gi c C a iểm M N v P n t trung iểm C C CMR:
MN BP ; MA PN .
5) Cho töù giaùc ABCD, goïi M, N, P, Q laàn löôït laø trung ñieåm AB, BC, CD, DA.
Chöùng minh : ;MN QP NP MQ 
6) Cho tam giaùc ABC coù tröïc taâm H vaø O taâm laø ñöôøng troøn ngoaïi tieáp . Goïi B’ laø ñieåm ñoái xöùng
B qua O . Chöùng minh : CBAH ' .
7) Cho hình bình haønh ABCD . Döïng BCPQDCNPDAMNBAAM  ,,, .
Chöùng minh OAQ 
8) Cho 4 iểm bất M N P Q Chứng minh c c ng thức sau:
a. PQ NP MN MQ   ; c) NP MN QP MQ   ;
b. MN PQ MQ PN   ;
9) Cho ng gi c C Chứng minh rằng:
a. 0AD BA BC ED EC     ;
b. AD BC EC BD AE   
10) Cho 6 iểm M N P Q R S Chứng minh:
a) PNMQPQMN  . b) RQNPMSRSNQMP  .
11) Cho 7 ñieåm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chöùng minh raèng :
a. AB + CD + EA = CB + ED
b. AD + BE + CF = AE + BF + CD
c. AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d. AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
12)Cho h nh b nh h nh C c t m O CMR: 0OA OB OC OD    .
thức trung iểm Cho 2 iểm v
13)Cho M trung iểm CMR với iểm bất : 2IA IB IM  .
14)Với N sao cho 2NA NB  CMR với bất : 2 3IA IB IN 
15)Với P sao cho 3PA PB CMR với bất : 3 2IA IB IP  
16) thức trọng t m Cho tam gi c C c trọng t m :
CMR: 0GA GB GC   Với bất : 3IA IB IC IG   .
www.VNMATH.com

M thu c o n v M
1
4
GA . CMR 2 0MA MB MC  
17) thức h nh b nh h nh Cho h nh b nh h nh C t m O CMR:
a) 0OA OB OC OD    ;
b với bất : 4IA IB IC ID IO    .
18)Gọi G là trọng tâm tam gi c C chứng minh rằng :
a) 0GA GB GC   b)  1
3
AG AB AC 
19)Gọi ’ n t à trọng tâm của tam giác ABC và ’ ’C’
a Chứng minh rằng : AA' ' ' 3 'BB CC GG  
b)Gọi M,N,P là các iểm thoả:
1 1 1
, ,
3 3 3
MA MB NB NC PC PA  
Chứng minh rằng các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm
20)Cho hình bình hành C v m t iểm M tùy ý Chứng minh rằng :
MA MC MB MD  
21)Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng Chứng minh rằng
CDGH là hình bình hành
22)Cho tam giác ABC n i tiếp trong ờng tròn O à trực tâm của tam giác
a)Gọi D là iểm ối xứng của A qua tâm O Chứng minh rằng C
b)Gọi K là trung iểm của AH và I là trung iểm của C chứng minh
OK = IH
23)Cho h nh b nh h nh C ọi v F n t trung iểm của hai c nh v C Đ ờng chéo
B n t cắt F v C t i M v N chứng minh rằng :
DM = MN = NB
24)Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Dựng AD = GC và DE = GB
Chứng minh rằng 0
25)Từ iểm nằm ngo i ờng tròn O ta ẻ 2 tiếp tuyến v C với O ọi giao iểm của
O v C Trên ờng trung trực của o n ấy 1 iểm M Từ M ẻ tiếp tuyến M với O Chứng
minh rằng : |MA| = | MF |
26)Cho tam gi c C ên ngo i của tam gi c ta vẽ c c h nh b nh h nh J CPQ C RS Chứng
minh rằng : 0RJ IQ PS  
27)Cho tam gi c C c trung tuyến M Trên c nh C ấy hai iểm v F sao cho F FC
ọi N giao iểm của M v Tính tổng AFAE AN MN  
28)Cho h nh b nh h nh C Trên ờng chéo C ấy iểm O Qua O ẻ c c ờng th ng song song
với c c c nh của h nh b nh h nh cắt v C t i M v N cắt v C t i v F Chứng minh
rằng :
a) OA OC OB OD  
b) BD ME FN 
29)Cho tam gi c ều n i tiếp ờng tròn t m O
a ãy x c ịnh c c iểm M N P sao cho:
OM = OA + OB ; ON = OB + OC ; OP = OC + OA
b)Chứng minh rằng OA + OB + OC = 0
30)Cho tam giác ABC. Gọi ’ à iểm ối xứng với qua ; ’ à iểm ối xứng với C qua ;C’ à
iểm ối xứng với A qua C . Chứng minh rằng với m t iểm O bất kỳ ta có :
' ' 'OA OB OC OA OB OC    
31)Cho n iểm trên mặt ph ng n An ký hi u chúng là A1, A2 … n. B n Bình ký hi u chúng là B1,
B2 … n.
www.VNMATH.com

32)Chứng minh rằng : A1B1 + A2B2 +...+ AnBn = 0
33)Cho nguõ giaùc ñeàu ABCDE taâm O Chöùng minh :
OOEODOCOBOA 
34)Cho luïc giaùc ñeàu ABCDEF coù taâm laø O . CMR :
a) OA +OB+OC+OD +OE +OF =0
b) OA +OC+OE = 0
c) AB+ AO +AF = AD
d) MA+ MC+ ME = MB+MD+MF ( M tuøy yù ).
35)Cho tam giaùc ABC ; veõ beân ngoaøi caùc hình bình haønh ABIF ; BCPQ ; CARS
Chöùng minh raèng : RF + IQ + PS =0
36)cho tứ gi c C ọi J n t trung iểm C v ọi trung iểm J CMR:
0EA EB EC ED    .
37)Cho tam gi c C với M N P trung iểm C C CMR:
a) 0AN BP CM   ; b) AN AM AP  ;
c) 0AM BN CP   .
38)Cho h nh thang C y ớn C y nh gọi trung iểm CMR:
EA EB EC ED DA BC     .
39)Cho 6 iểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)
a) AB CD AD CB   b) AB CD AC DB   c) AD BE CF AE BF CD    
40)Cho tam giác ABC với M, N, P là trung iểm các c nh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :
a) AN BP CM O   b) AN AM AP  c) AM BN CP O  
41)Cho hai iểm A, B. Cho M là trung iểm A, B. Chứng minh rằng với iểm I bất kì ta có :
2IA IB IM  .
42)Với iểm N sao cho 2NA NB  . CMR với I bất kì : 2 3IA IB IN 
43)Vơi iểm P sao cho 3PA PB . CMR với I bất ki : 3 2IA IB IP   .Tổng quát tính chất trên.
44)Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.Chứng minh rằng AG BG CG O   . Với I bất kì
ta có : 3IA IB IC IG   .
M thu c o n AG và
1
4
MG GA . CMR : 2MA MB MC O   . Với I bki
2 4IA IB IC IM   .
45)Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR :
a) 2AD BC MN  b) 2AC BD MN 
c) Tìm vị trí iểm I sao cho IA IB IC ID O   
d) Với M bất kì, CMR : 4MA MB MC MD MI   
46) (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n iểm 1 2, ,..., nA A A .
Gọi G là iểm thoả mãn 1 2 ... nGA GA GA O    . CMR vơi bki M :
1 2 ... nMA MA MA nMG    .
Gọi I là iểm thoả mãn 1 1 2 2 ... n nn IA n GA n GA O    . CMR với M bất kì :
1 1 2 2 1... ( .. )n n nn MA n MA n MA n n MG     
47)Cho lục giác ều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm.
www.VNMATH.com

48)Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S l n l t là trung iểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA.
CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm.
49)Cho hai tam giác ABC và A’
B’
C’
là các iểm thu c BC, CA, AB sao cho :
' ' ' ' ' '
, ,A B kAC B C kB A C A kC B   và 1k  . CMR hai tam giác ABC và A’
B’
C’
cùng
trọng tâm.
50)Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung iểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và
CMQ cùng trọng tâm.
(Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội
tiếp)
51)Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm ờng tròn ngo i tiếp và tâm ờng tròn
n i tiếp.
a) 3OG OA OB OC   b) OH OA OB OC   c) 2HO HA HB HC  
d) aIA bIB cIC O   e) A tanTan HA TanBHB CHC O  
f) Gọi M là iểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : BCM ACM ABMS IA S IB S IC O   (M nằm
ngoài thì không còn úng).
52)(Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung iểm AB
và N là m t iểm trên c nh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung iểm MN.
a) CMR :
1 1
4 6
AK AB AC  . b) D là trung iểm BC. CMR :
1 1
4 3
KD AB AC 
53)Cho tam giác ABC
a X c ịnh iểm I sao cho : 2 0IA IB 
b X c ịnh iểm K sao cho : 2KA KB CB 
Cho tam giác ABC
a)Tìm iểm M thoả mãn : 0AM MB MC  
b)Tìm iểm N thoả mãn : BN AN NC BD  
c)Tìm iểm K thoả mãn : 0BK BA KA CK   
d)Tìm iểm M thoả mãn : 2 0MA MB MC  
e)Tìm iểm N thoả mãn : 2 0NA NB NC  
f)Tìm iểm P thoả mãn : 2 0PA PB PC  
54)Cho hình bình hành ABCD. Tìm iểm M thoả mãn:
4AM AB AC AD  
55)Cho lục giác ABCDEF .Tìm iểm O thoả mãn :
OF 0OA OB OC OD OE     
56)Cho ABC . Tìm M sao cho
a/ 2 3 0MA MB MC  
b/ 2 4 0MA MB MC  
57)Cho tứ gi c C T m M sao cho
a/ 2 2 0MA MB MC MD   
b/ 2 5 2 0MA MB MC MD   
58)Cho tam giác ABC
a X c ịnh các iểm D,E thoả mãn: 4 0 ; 2 0DA DB EA EC   
b)Tìm quĩ tích iểm M thoả mãn: 4 2MA MB MA MC  
59)Cho hai iểm phân bi t A,B
a)Hãy x c ịnh các iểm P,Q,R thoả:
2 3 0; 2 0; 3 0PA PB QA QB RA RB      
www.VNMATH.com

60)Cho tam giác ABC và M, N l n l t là trung iểm AB, AC.Gọi P, Q là trung iểm MN và BC. CMR
: A, P , Q th ng hàng.Gọi E, F thoả mãn :
1
3
ME MN ,
1
3
BF BC . CMR : A, E, F th ng hàng.
61)Cho tam giác ABC, E là trung iểm AB và F thu c thoả mãn AF = 2FC.
Gọi M là trung iểm BC và I là iểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I th ng hàng.
Lấy N thu c BC sao cho BN = 2 NC và J thu c EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N th ng
hàng.
Lấy iểm K là trung iểm EF. Tìm P thu c BC sao cho A, K, P th ng hàng.
62)Cho tam giác ABC và M, N, P là các iểm thoả mãn : 3MB MC O  , 3AN NC , PB PA O  .
CMR : M, N, P th ng hàng. (
1 1 1
,
2 2 4
MP CB CA MN CB CA    ).
63)Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn 2 ,LB LC
1
2
MC MA

 , NB NA O  . CM : L, M, N
th ng hàng.
64)Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 2 3IA IC O  , 2 5 3JA JB JC O   .
65)CMR : M, N, J th ng hàng với M, N là trung iểm AB và BC.
66)CMR J là trung iểm BI.
67)Gọi E là iểm thu c AB và thoả mãn AE kAB . Xác ịnh k ể C, E, J th ng hàng.
68)Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : 2 , 3 2 =IA IB JA JC O  . CMR : Đ ờng th ng IJ i qua G.
II – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT :
 Truïc laø ñöôøng thaúng treân ñoù xaùc ñònh ñieåm O vaø 1 vectô i coù ñoä daøi baèng 1.
Kyù hieäu truïc (O; i ) hoaéc x’Ox
 A,B naèm treân truïc (O; i ) thì AB = AB i . Khi ñoù AB goïi laø ñoä daøi ñaïi soá cuûa AB
 Heä truïc toïa ñoä vuoâng goùc goàm 2 truïc Ox  Oy. Kyù hieäu Oxy hoaëc (O; i ; j )
 Ñoái vôùi heä truïc (O; i ; j ), neáu a =x i +y j thì (x;y) laø toaï ñoä cuûa a . Kyù hieäu a = (x;y)
 Cho a = (x;y) ;b = (x’;y’) ta coù
a  b = (x  x’;y  y’)
k a =(kx ; ky) ;  k  R
b cuøng phöông a (a 0) khi vaø chæ khi coù soá k thoûa x’=kx vaø y’= ky
 Cho M(xM ; yM) vaø N(xN ; yN) ta coù
P laø trung ñieåm MN thì xp =
2
M Nx x
vaø yP =
2
M Ny y
MN = (xM – xN ; yM – yN)
 Neáu G laø troïng taâm tam giaùc ABC thì xG =
3
A B Cx x x 
vaø yG =
2
A B Cy y y 
www.VNMATH.com

BÀI TẬP
69)Cho a = (1;3),b = (2;– 5),c = (4;1)
a T m tọa vectơ u = 2 a – b + 3c
b T m tọa vectơ x sao cho x + a = b – c
c T m c c số v h sao cho c = k a + hb
70)Cho (2; 3); (5;1); ( 3;2)a b c     .
a/ T m tọa của vectơ 2 3 4u a b c  
b/ T m tọa vectơ x sao cho 2x a b c  
c/ T m c c số h v sao cho c ha kb 
71)Cho c c vectơ a = (3;1) , b = (2;1) c = (4;1)
72)T m c c số x y sao cho x a + y.b + 7 c = 0
Cho u = 2 i – 3 j và v = k i + 4 j T m c c gi trị của ể hai vectơ u và v cùng ph ơng
73)Cho c c vectơ a = (– 1;4),b = (2;– 3), c = (1;6) Phân tích c theo a và b
74)Cho 3 vectơ a = (m;m) , b = (m – 4;1) , c = (2m + 1;3m – 4 T m m ể a + b cùng ph ơng với c
75)Xét xem c c cặp vectơ sau c cùng ph ơng hông?Nếu cùng ph ơng th c cùng h ớng hông?
a) a = (2;3) , b = (– 10;– 15) b) a = (2;3) , b = (– 10;– 15)
c) a = (0;7) , b = (0;8) d) a = (– 2;1) , b = (– 6;3)
e) a = (0;5) , b = (3;0)
76)Trong mặt ph ng Oxy cho 3 iểm 1;-2 ; 3;2 ; C 0;4 T m tọa M trong mỗi tr ờng h p sau:
a/ 2 3CM AB AC 
b/ 2 4AM BM CM 
c/ ABCM là hình bình hành.
77)Trong mặt ph ng Oxy cho 3 iểm 1;4 ; 3;1 ; C -1;2 T m tọa M trong mỗi tr ờng h p sau:
a/ 2 5AM BM CM 
b/ 2 3 0MA MB 
c/ ABMC là hình bình hành.
d/ T m tọa trọng t m của tam gi c C
e/ T m tọa trung iểm M N P n t trung iểm của c c c nh C C
78)Trong mặt ph ng Oxy cho tam gi c 1;1 ; 2;4 ; C 3;2
a/ T m tọa trọng t m của tam gi c C
b/ T m tọa trung iểm M N P n t trung iểm của c c c nh C C
79)Trong mặt ph ng Oxy cho tam gi c 6;-3); B(1;0); C(3;2).
a/ T m tọa trọng t m của tam gi c C
b/ T m tọa trung iểm M N P n t trung iểm của c c c nh C C
c/ T m ể C h nh b nh h nh T m tọa t m của h nh b nh h nh
80)Trong mặt ph ng Oxy cho 3 iểm -2;1); B(0;2); C(4;4).
a/ Chứng minh rằng 3 iểm C th ng h ng
b/ T m tọa giao iểm của ờng th ng v trục Ox
c/ T m tọa giao iểm của ờng th ng v trục Oy
81)Trong mặt ph ng Oxy cho 3;4 ; 2;5
a/ T m a ể C a;1 thu c ờng th ng
b/ T m M ể C trung iểm M.
82)Trong mặt ph ng Oxy cho 1;3 ; 0;1 ; C 0;3 ; 2;7 Chứng minh // C
83)Trong mặt ph ng Oxy cho -1;1); B(1;3); C(-2;0)
www.VNMATH.com

a/ Chứng minh C nằm trên ờng th ng i qua
b/ T m giao iểm của ờng th ng v trục Oy
c/ Chứng minh: O hông th ng h ng
84)Trong mặt ph ng Oxy cho 1;-1); B(3;1); C(y;2).
a/ T m y ể C th ng h ng
b/ T m giao iểm giữa v Ox
c/ T m giao iểm v Oy
85)Trong mặt ph ng Oxy cho 4;5 ; C -2;1)
a/ T m tọa trung iểm của o n C
b/ Chứng minh: O C hông th ng h ng
c/ T m M ể O MC h nh b nh h nh
86)Cho A(-1;5) , B(3;-3)
a/ T m tọa trung iểm M của
b/ T m tọa N sao cho trung iểm N
c/ T m tọa P sao cho trung iểm P
d/ Đ ờng th ng i qua cắt Ox t i K T m tọa K
e/ Đ ờng th ng i qua cắt Oy t i L T m tọa L
f/ T m tọa iểm C sao cho OC AB .
g/ T m tọa sao cho 3DA DB AB 
87)Cho A(1,2); B(2; 4); C(3,-3)
a/ Chứng minh rằng C ập th nh m t tam gi c
b/ X c ịnh trọng t m của tam gi c C
c/ T m tọa sao cho O trọng t m tam gi c
d/ T m tọa ể C h nh b nh h nh
e/ T m tọa F sao cho O F h nh b nh h nh
f/ Cho a 1 X c ịnh tọa ể C th ng h ng
g/ X c ịnh K Ox ể KC h nh thang
h/ T m tọa giao iểm của ờng th ng i qua v ờng th ng i qua O C
88)Cho c c iểm ’ -2;1 ; ’ 4;2 ; C’ -1;-2 n t trung iểm c c c nh C C của tam gi c
C T m tọa c c ịnh của tam gi c C Chứng minh rằng trọng t m tam gi c C v ’ ’C’
trùng nhau.
89)Cho c c iểm – 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2).
a T m tọa trọng t m tam gi c C
b T m tọa iểm sao cho C trọng t m tam gi c
c T m tọa iểm sao cho C h nh b nh h nh
90)Cho 3 iểm – 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1)
a T m iểm sao cho C h nh b nh h nh
b ọi iểm ối xứng với qua Chứng minh rằng C h nh b nh h nh
91)Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3 ỉnh C nằm trên trục Oy v trọng t m nằm trên trục Ox
Tìm to ỉnh C
92)Cho tam gi c C biết trọng t m 1;2 trung iểm của C – 1;– 1 trung iểm c nh C
3;4 T m to c c ỉnh C
93)Cho c c iểm 2;3 9;4 M x;– 2 T m x ể 3 iểm M th ng h ng
94)Cho c c iểm 1;1 3;2 C m + 4;2m + 1 T m m ể C th ng h ng
95)Cho 3 iểm – 1;8 1;6 C 3;4 Chứng minh rằng: C th ng h ng
96)Cho 4 iểm 0;1 1;3 C 2;7 0;3 Chứng minh rằng: hai ờng th ng v C song song
97)Cho 4 iểm – 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5 Chứng minh rằng: hai ờng th ng v C
song song
98)Cho c c iểm – 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3)
a Chứng minh rằng: ba iểm C t o th nh m t tam gi c
b T m tọa iểm sao cho AD = – 3 BC + AC
www.VNMATH.com

c T m tọa iểm sao cho O trọng t m của tam gi c
99)Cho tam gi c C c c c nh C C n t c trung iểm M – 2;1) ,N(1;– 3) ,P(2;2)
a T m tọa c c ỉnh C
b Chứng minh rằng: c c tam gi c C v MNP c trọng t m trùng nhau
CHƢƠNG II – TÍCH VÔ HƢỚNG CỦA HAI VÉCTƠ VÀ ỨNG
DỤNG
§1: GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ ( TÖØ
00
ñeán 1800
)
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT
 Ñònh nghóa : Treân nöûa döôøng troøn ñôn vò laáy ñieåm M thoûa goùc xOM =  vaø M( x ; y)
*. sin goùc  laø y; kyù hieäu sin  = y
*. cos goùc  laø x0; kyù hieäu cos  = y0
*. tang goùc  laø
y
x
( x  0); kyù hieäu tan  =
y
x
*. cotang goùc  laø
x
y
( y  0); kyù hieäu cot  =
x
y
 Baûng giaù trò löôïng giaùc cuûa caùc goùc ñaëc bieät
BÀI TẬP
100) Tính giaù trò bieåu thöùc
A = Cos 200
+ cos 800
+ cos 1000
+ cos1600
101) Tính giaù trò bieåu thöùc:
 00
300
450
600
900
Sin  0
2
1
2
2
2
3
1
Cos  1
2
3
2
2
2
1
0
tan  0
3
3
1 3 
Cot   3 1
3
3
0
www.VNMATH.com

A=( 2sin 300
+ cos 135 0
– 3 tan 1500
)( cos 1800
-cot 600
)
B= sin2
900
+ cos 2
1200
- cos2
00
- tan2
600
+ cot2
1350
102) Ñôn gianû caùc bieåu thöùc:
a) A= Sin 1000
+ sin 800
+ cos 160
+ cos 1640
b) B= 2 Sin (1800
- ) cot - cos(1800
- ) tan  cot(1800
- ) . (Vôùi 00
< <900
)
103) Chöùng minh raèng sin2
x +cos2
x = 1 ( 00
 x  1800
)
104) Tính sinx khi cosx =
3
5
105) Tính sinx.cosx neáu sinx – cosx =
2
3
106) Chöùng minh raèng 1 + tan2
x = 2
1
cos x
( Vôùi x  900
)
107) Chöùng minh raèng 1 + cot2
x = 2
1
sin x
( Vôùi 00
< x < 18000
)
108) Tính giaù trò bieåu thöùc:
A = cos 00
+ cos100
+ cos200
+ . . . . . . + cos 1700
B= cos2
1200
- sin2
1500
+2 tan1350
109) Cho tam giaùc ABC , Chöùng minh raèng
sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinCcos(A + C) + cos B = 0
tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0
110) Cho tam giaùc ñeàu ABC coù troïng taâm G . Tính goùc giöõa
a) AB vaø AC b) AB vaø BC c) AG vaø BC
d) GB vaø GC c) GA vaø AC
§2: TÍCH VOÂ HÖÔÙNG 2 VEÙCTÔ
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT:
 Cho OA = a vaø OB= b . Khi ñoù goùc AOB laø goùc giuõa 2 vectô a vaø b Kyù hieäu ( a ; b )
Neáu a = 0 hoaëc b= 0 thì goùc ( a ; b ) tuøy yù
Neáu ( a ; b ) = 900
ta kyù hieäu a  b
 ),cos(. bababa =
Bình phöông voâ höôùng a 2
=  a 2
.
www.VNMATH.com

 Caùc quy taéc: Cho  a b c ;  k R
a . b = b . a ( Tính giao hoaùn)
a . b = 0 <=> a  b
(k a , b = k ( a b )
a ( b c ) = a b  a c (Tính chaát phaân phoái ñoái vôùi pheùp coäng vaø tröø )
 Phöông tích cuûa moät ñieåm ñoái vôùi moät ñöôøng troøn
Cho ñöôøng troøn (O,R) vaø moät ñieåm M coá ñònh, Moät ñöôøng thaúng  thay ñoåi,
luoân ñi qua ñieåm M caét ñöôøng troøn (O,R) taïi A, B
Phöông tích cuûa ñieåm M, ñoái vôùi ñöôøng troøn (O,R): kí hieäu: P M/(O)
P M/(O) = MO2
– R2
= .MA MB
Neáu M ôû ngoaøi ñöôøng troøn (O,R), MT laø tieáp tuyeán thì P M/(O) = MT2
 Bieåu thöùc toaï ñoä cuûa tích voâ höôùng
Cho
→
a = (x, y) ,
→
b = (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta coù
→
a .
→
b = x.x' + y.y'
|
→
a | = 22
+ yx
Cos (
→
a ,
→
b ) = 2222
'+'.+
'+'
yxyx
yyxx
→
a 
→
b  xx' + yy' = 0
MN = |
→
MN | = 22
)_(+)_( NMNM yyxx
BÀI TẬP
111) Trên mặt ph ng Oxy hãy tính g c giữa hai vectơ a và b trong c c tr ờng h p sau :
a)    2;3 , 6;4a b
b)    3;2 , 5; 1a b 
c)    2; 1 , 1;3a b 
d) a = (4,3); b = (1,7)
e) a = (2,5); b = (3,-7)
f) a = (6,8); b = (12,-9)
g) a = (2,6); b = (3,9)
h)    2; 2 3 , 3; 3a b 
i)    2; 3 , 1; 3a b 
112) cho  ñeàu ABC caïnh a vaø troïng taâm G; tính
AB . AC ; AC .CB ; AG . AB ;GB .GC ; BG . AG ;GA. BC
113) Trong Mp oxy cho 2 ñieåm M(-2;2),N(4,1)
a)Tìm treân truïc ox ñieåm P caùch ñeàu 2 ñieåm M,N
b)Tính cos cuûa goùc MON
114) Cho hai vectơ a vàb Chứng minh rằng :
www.VNMATH.com

a .b =
1
2 




 
222
baba

=
1
2 




 
222
baba

=
1
4 




 
22
baba

115) Cho hai vectơ a ,b có a = 5 , b = 12 và a b 13 Tính tích vô h ớng  a a b và suy
ra g c giữa hai vectơ a và a b
116) Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AB = a ; BC = 2a
Tính tích voâ höôùng CA.CB
117) Cho tam gi c ều C c nh a ọi trung iểm C tính
a) AH . BC b) AB . AC c) AC .CB
118) Cho ABC ều c nh bằng a ờng cao Tính c c tích vô h ớng sau:
a) ABAC b) ( )(2 )AB AC AB BC 
119) Cho h nh vuông C t m O c nh a Tính:
a) .AB AC b) .OA AC c) .AC CB
120) Tam giác ABC có AC = 9 ,BC = 5 ,C = 90o
,tính .AB AC
121) Tam giác ABC có AB = 5 ,AC = 4 ,A = 120o
a)tính .AB BC b ọi M trung iểm C tính .AC MA
122) Tam giác ABC có AB = 5 ,BC = 7 ,CA = 8
a)Tính AB . AC rồi suy ra gi trị g c
b)Tính .CACB
c ọi iểm trên c nh C sao cho C
1
3
CA .Tính .CDCB
123) Trên mặt ph ng Oxy cho 4 iểm        7; 3 , 8;4 , 1;5 , 0; 2A B C D  Chứng minh rằng
ABCD là hình vuông.
124) Cho hai vectơ a và b th a mãn |a | = 3 , |b | = 5 và ( a ,b ) = 120o
.Với gi trị n o của m thì
hai vectơ a + mb và a – mb vuông góc nhau
125) Tam giác ABC có AB = 4 ,AC = 8 và góc A = 60o
Trên tia C ấy iểm M v ặt
AM k AC .T m ể M vuông g c với trung tuyến của tam gi c C
126) Cho tam gi c C c n ỉnh c nh bên a v hai trung tuyến M CN vuông g c nhau
Tính cosA
127) Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11
a)Tính .AB AC
b)Trên c nh AB lấy iểm M sao cho AM = 2.Trên c nh AC lấy iểm N sao cho AN = 4.Tính
.AM AN
Cho O là trung iểm AB,M là m t iểm tuỳ ý Chứng minh rằng :
.MAMB = OM2
– OA2
128) Cho h nh vuông C t m O M iểm thu c c nh C Tính .MA AB và .MO AB
129) Cho tứ gi c C trung iểm C chứng minh rằng :
a) .AB AC = IA2
– IB2
b) .AB AC =
1
2
(AB2
+ AC2
– BC2
)
c) .ABCD=
1
2
(AD2
+ BC2
– AC2
– BD2
)
www.VNMATH.com

130) Cho h nh thang vuông C ờng cao 2a y ớn C 3a y nh 2a
a) Tính . ; . ; .ABCD BD BC AC BD
b) ọi trung iểm của C tính .AI BD Từ suy ra g c của v
131) Cho h nh thang vuông C ờng cao iết
2 2 2
. 4 , . 9 , . 6AC AB a CACB a CBCD a   .
a) Tính c c c nh của h nh thang
b) ọi J ờng trung b nh của h nh thang tính d i h nh chiếu của J trên
c) ọi M iểm trên C v AM k AC Tính ể M  CD.
132) Cho tam gi c C c trọng t m Chứng minh rằng :
MA2
+ MB2
+ MC2
= 3MG2
+ GA2
+ GB2
+ GC2
133) Cho tam gi c C c 3 ờng trung tuyến CF Chứng minh rằng
: . . . 0BC AD CA BE ABCF  
134) Cho nửa ờng tròn t m O ờng ính 2R ọi M N hai iểm trên (O) và I =
M∩ N Chứng minh rằng :
a) . .AI AM AI AB
b) . .BI BN BI BA
c) 2
. . 4AI AM BI BN R 
135) Cho 4 iểm C tuỳ ý
a) Chứng minh rằng : . . . 0ABCD AC DB AD BC  
b) Từ chứng minh rằng trong m t tam gi c ba ờng cao ồng qui
136) Cho tam gi c C c n t i ọi trung iểm của C v h nh chiếu của trên
C M trung iểm của Chứng minh rằng M BD
137) Cho h nh vuông C ọi M v N n t trung iểm C v C Chứng minh rằng :
AN  DM
138) Cho h nh chữ nhật C ọi K h nh chiếu vuông g c của trên C M v N n t
trung iểm của K v C Chứng minh rằng : M  MN
139) Cho h nh thang C vuông t i v h c nh y a C b T m iều
i n giữa a b h ể
a) AC  BD b) IA  với trung iểm C
140) Cho tam giác ABC có AB = 3 ;AC = 6 và A = 45o
ọi L ch n ờng ph n gi c trong
của g c
a)Tính .AB AC
b)Tính AL theo AB và AC  d i của L
c M iểm trên c nh C sao cho M x T m x ể L  BM
141)
Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120o
a) Tính BC và .BA BC
b) ọi N iểm trên c nh C sao cho N x Tính AN theo AB và AC ,x
c) T m x ể N  BM
142) Cho tứ gi c C chứng minh rằng: 2
– BC2
+ CD2
– DA2
= 2 AC . DB
143) Cho tam gi c C c trực t m v M trung iểm của C
www.VNMATH.com

Chứng minh rằng : MH . MA =
1
4
BC2
144) Cho tứ gi c C ai ờng chéo cắt nhau t i O ọi K n t trực t m của c c
tam gi c O v C O; v J trung iểm của v C Chứng minh rằng K  IJ
145) Cho ờng tròn O;R v hai d y cung ’ ’ vuông g c nhau t i S ọi M trung
iểm của chứng minh rằng: SM  ’ ’
§3 : HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC
TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT :
 Caùc kyù hieäu trong  ABC
Ñoä daøi : BC = a, CA = b, AB = c
ma, mb, mc : ñoä daøi trung tuyeán öùng vôùi ñænh A,B,C
ha, hb, hc : Ñoä daøi ñöôøng cao öùng vôùi ñænh A,B,C
P =
2
++ cba
: nöõa chu vi  ABC
S : dieän tích tam giaùc
R,r : baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp, noäi tieáp .
 Ñònh lyù Coâsin : a2
= b2
+ c2
- 2bc cos A
 Ñònh lyù sin : R
c
c
B
b
A
a
2=
sin
=
sin
=
sin
 Coâng thöùc trung tuyeán :
4
c2+b2
=
22 2
2
a
a-
m
 Coâng thöùc tính dieän tích
a. S =
1
2
a.ha =
1
2
b.hb =
1
2
c.hc
b. S =
1
2
b.c. sinA =
1
2
c.a. sinB =
1
2
a.b. sinC
c. S =
R
abc
4
d. S = p.r
e. S = c)-h)(p-(pa)-p(p ( Coâng thöùc Heâ – roâng)
B a
A
C
c b
ha ma
www.VNMATH.com

BÀI TẬP
146) Cho  ABC coù a = 7, b = 8, c = 5; tính : AÂ, S, ha, R, r, ma
147) Cho tam giaùc ABC coù a= 6 cm ; b= 2cm ; c= ( 3 + 1) cm ;
a) Tính soá o goùc A
b) Tính soá o goùc B
c) Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R :
d) Chieàu cao ha ø :
148) Cho tam giaùc ABC coù b= 4 ; c = 5 ; goùc A = 1200
thì dieän tích laø
149) Cho tam giaùc ABC coù b= 2 ; c = 3 ; a = 19 thì giaù trò goùc A laø :
150) Cho tam giaùc ABC coù a= 8 ; c= 3 ; goùc B = 600
. Ñoä daøi caïnh b laø bao nhieâu
151) Cho tam giaùc ABC coù a= 3 ; b= 7 ; c= 8 ; goùc B baèng bao nhieâu
152) Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù a= 10 cm ; c= 6cm ; baùn kính ñöôøng troøn noäi tieáp r laø
153) Cho tam giaùc ABC coù a= 10 cm ; b= 6cm ; c= 8 cm ; ñöôøng trung tuyeán AM coù ñoä daøi
154) Cho hình bình haønh ABCD coù AB = a ; BC = a 2 vaø goùc BAC = 450
. Tính dieän tích hình
bình haønh ø
155) Cho tam giaùc ABC coù b= 8 cm ; c= 5cm vaø goùc A = 600
.
a) Caïnh BC
b) Dieän tích tam giaùc :
c) Baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp R :
d) Chieàu cao ha ø :
156) Cho tam giaùc ABC: a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc . R, r
157) Cho tam giaùc ABC : a= 2 3 ; b= 2 2 ; c= 6 - 2 . Tính 3 goùc
158) Cho tam giaùc ABC : b=8; c=5; goùc A = 600
. Tính S , R , r , ha , ma
159) Cho tam giaùc ABC : a=21; b= 17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma
160) Cho tam giaùc ABC : A = 600
; hc = 3 ; R = 5 . tính a , b, c
161) Cho tam giaùc ABC : A=1200
;B =450
;R =2. tính 3 caïnh
162) Cho tam giaùc ABC : a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung ñieåm AB)
163) Cho tam giaùc ABC : Cho goùc A nhoïn, b = 2m 2 ,c = m , S = m2
. Tính a . la
164) Cho tam giaùc ABC : C = 3 , b = 4 ; S = 3 3 . Tính a.
Neáu A = 900
. CMR:
*. la =
2
sin
( )sin
bc A
A
b c
*.r = 2 21
2
(b c b c   ) *.
1 1 1 1
a b cr h h h
  
*. M BC; goùc BAM = . CMR: AM =
.cos .sin
bc
b c 
www.VNMATH.com

165) Cho tam giaùc ABC : CMR : *. cotA + cotB + cotC =
2 2 2
a b c R
abc
 
*.
2 2 2
2 2 2
tan
tan
 

 
A a c b
B b c a
166) Cho tam giaùc ABC :
3 3 3
2
2 .cos
b c a
a
b c a
a b C
  

 
 
. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
167) Cho tam giaùc ABC : S = p(p – c) . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
168) Cho tam giaùc ABC : S =
1
4
(a + b – c)(a + c - b). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì
169) Cho tam giaùc ABC : acosB = bcosA. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì.
170) Cho tam giaùc ABC : mb
2
+mc
2
= 5ma
2
. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì.
171) Cho tam giaùc ABC : 2
sin
.cos
sin
A
C
B
 . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì.
172) Cho tam giaùc ABC : Cho AB = k . Tìm taäp hôïp M thoûa MA2
+ MB2
=
2
5
2
k .
173) Cho tam giaùc ABC : Goïi G laø troïng taâm tam giaùc . Chöùng minh raèng:
a) *.GA2
+ GB2
+ GC2
= 1/3 (a2
+ b2
+ c2
)
b) *. ma
2
+mb
2
+mc
2
=
3
4
(a2
+b2
+c2
)
c) *. 4ma
2
= b2
+ c2
+ 2bc.cosA
174) Cho tam giaùc ABC : CMR
a) S =2R2
sinA.sinB.sinC
b) S=Rr(sinA + sinB + sinC)
c) a =b.cosC + c.cosB
d) ha = 2RsinBsinC
e) sinB.cosC +sinC.cosB = sinA
175) Cho tam giaùc ABC : Cho b + c = 2a . Chöùng minh raèng
2 1 1
a b ch h h
 
176) Cho tam giaùc ABC : Ñònh x ñeå x2
+x+1 ; 2x+1 ;x2
-1 laø 3 caïnh tam giaùc. Khi ñoù CMR tam giaùc
coù goùc = 1200
www.VNMATH.com

177) Cho tam giaùc ABC : Ñöôøng troøn noäi tieáp tieáp xuùc 3 caïnh tam gíac taïi A1;B1;C1. CMR :
SA1B1C1 =
2
2
pr
R
178) Cho tam giaùc ABC : 2 trung tuyeán BM = 6, CN = 9 vaø hôïp vôùi nhau 1 goùc 1200
tính caùc caïnh
cuûa  ABC .
179) Cho tam giaùc ABC : Cho töù giaùc ABCD. Goïi  laø goùc hôïp bôûi 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD.
a) CMR SABCD =
1
2
AC.BD.sin
b) Veõ hình bình haønh ABDC’. Chöùng minh raèng : SABCD = SACC’
180) Cho töù giaùc ABCD coù I, J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa 2 ñöôøng cheùo AC vaø BD.
181) Chöùng minh raèng : AB2
+ BC2
+CD2
+ DA2
= AC2
+ BD2
+ 4 IJ2
CHƢƠNG III – PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG
I. ÑÖÔØNG THAÚNG :
LÝ T UYẾT:
1.Phöông trình : Ñöôøng thaúng () qua ñieåm M0 (x0 ; y0) vaø nhaän ;u a b ,
;n A B laàn löôït laø veùc tô chæ phöông vaø veùc tô phaùp tuyeán
 Phöông trình tham soá : 0
0
x x at
ty y bt
u n
 Phöông trình chính taéc:
0 0x x y y
a b
()
* Löu yù :
+ () // Ox  0
:
0
x x at
ty y
+ () // Oy <=>
0
:
0
x x
ty y bt
 Phöông trình toång quaùt :
A(x – x0 ) + B(x – x0) = 0 hay Ax + By + C = 0 ( vôùi C = - (Ax0 + by0) )
www.VNMATH.com

* Löu yù : + () qua goác toaï ñoä coù p/t laø : Ax + By = 0
+ () // Ox coù p/t laø : By + C = 0
+ () // Oy coù p/t laø : Ax + C = 0
2.Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng :
Cho hai ñöôøng thaúng :
(D1) : A1 x + B1 y + C1 = 0 vaø (D2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
a) Toaï ñoä giao ñieåm cuûa (D1) vaø (D2) laø nghieäm cuûa heä :
A 01 1 1
02 2 2
x B y C
A x B y C
Dxx
D
Dy
y
D
Dxx
D
Dy
y
D
Trong ñoù : 1 1 1 1 1 1
; ;
2 22 2 2 2
A B B C C A
D D DB CA B C Ax y
b) Vò trí töông ñoái cuûa (D1) vaø (D2) ñöôïc xaùc ñònh :
(d1) caét (d2) 
1 1
2 2
A B
A B
. Hoaëc D  0
(d1) // (d2) 
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
. Hoaëc
0
0
0
D
Dx
Dy
(d1)  (d2) 
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
. Hoaëc D = D x = Dy = 0
3. Goùc giöõa hai ñöôøng thaúng :
Cho hai ñöôøng thaúng laàn löôït coù phöông trình : (d1) :A1x + B1y + C1= 0 ;
(d2) : A2x + B2y + C2 = 0 .Goïi  laø goùc hôïp bôûi hai ñöôøng thaúng treân (0o
   90o
),
Ta coù:cos =
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A A B B
A B A B
Heä quaû: (d1)  (d2)  A1A2 + B1B2 = 0
4. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng :
Trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy ,cho ñöôøng thaúng (D):Ax + By + C = 0 vaø ñieåm
Mo(xo ; yo). Khoaûng caùch hình hoïc (hay coøn goïi laø khoaûng caùch) töø ñieåm Mo ñeán ñöôøng
thaúng (D), kí hieäu: d(Mo , D) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
d( Mo , D) = t  =
2 2
Ax By Co o
A B
www.VNMATH.com

5. Phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc taïo bôûi hai ñöôøng thaúng :
Trong maët phaúng vôùi heä toaï ñoä Oxy , cho hai ñöôøng thaúng (d1), (d2) caét nhau laàn löôït coù
phöông trình : (d1) : A1x + B1y + C1= 0 vaø (d2) : A2x + B2y + C2 = 0 (A1B2  A2B1).
Phöông trình hai ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc hôïp bôûi hai ñöôøng thaúng treân laø :
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
A x B y C A x B y C
A B A B
(t1= t2 )
 Chuù yù: Ñeå xaùc ñònh phaân giaùc cuûa goùc nhoïn hoaëc goùc tuø ta coù keát quaû sau :
BÀI TẬP
182) Viêt PTTS PTCT PTTQ của ờng th ng biết :
a) Đ ờng th ng ã qua A(1;3) và có VTCP

u (2;3).
b) Đ ờng th ng ã qua B(2;-4) và có VTPT )5;2(

n
c) Đ ờng th ng ã qua C(5;-3 v c h số g c 4
d) Đ ờng th ng ã qua hai iểm M 10;3 v N 4;-2).
e) Đ ờng th ng ã là ờng trung trực của o n biết 1;4 -3;2).
f) Viết ph ơng trình ờng th ng qua M 1;3 v song song với ờng d : 3x-7y+1=0.
g) Viết ph ơng trình ờng th ng qua N 2;-1 v vuông g c với ờng d :4x-y+6=0.
183) Cho A(2;2), B(-1;6), C(-5;3)
a Viết pt c c ờng th ng C C
b Viết pt ờng cao K của tam gi c C
c Chứng minh tam gi c C vuông c n t m di n tích tam gi c
184) Cho tam gi c C biết 1;-1), B(-2;1), C(3;5)
a) Viết pt ờng th ng qua vuông góc BC
b) Viết pt ờng trung tuyến M
c) T m tọa iểm ’ ối xứng iểm qua C
185) Viết pt i qua giao iểm của hai ờng th ng 2x – 3y + 15 = 0
x –12y + 3 0 v th a m t trong c c iều i n sau :
a) Đi qua iểm M 2;0 b Vuông g c với t x – y – 100 = 0
c) Có véc tơ chỉ ph ơng là u =(5;-4)
186) Cho tam gi c C c trọng t m - 2; - 1 c nh nằm trên ờng th ng 4x + y + 15
0 c nh C nằm trên ờng th ng 2x + 5y + 3 0
a T m to v trung iểm M của C
Goùc
nhoïn tuø
. 01 2n n t1 = t2 t1 = –t2
. 01 2n n t1 = – t2 t1 = t2
www.VNMATH.com

b T m to v viết ph ơng tr nh C
187) Cho tam giác ABC có A(-1;-3).
a Trung trực c nh c ph ơng tr nh 3x + 2y – 4 0 Trọng t m 4;-2 T m to C
b iết ờng cao c pt 5x + 3y – 25 0 ờng cao CK: 3x + 8y – 12 0 T m to
B,C.
188) Cho tam giác ABC có M(-2;2 trung iểm của c nh c nh C c ph ơng tr nh : x
–2y –2 0 C c ph ơng tr nh 2x + 5y + 3 0 ãy x c ịnh to c c ỉnh của tam
giác ABC.
189) Lập ph ơng tr nh tổng qu t của ờng th ng i qua iểm -2;3 v c ch ều hai iểm
A(5;-1) và B(3;7).
190) Trong mặt ph ng Oxy cho iểm 2;1 0;1 C 3;5 - 3;- 1).
a Tính di n tích tứ gi c C
b Viết ph ơng tr nh c c c nh h nh vuông c hai c nh song song i qua v C v hai c nh còn i
qua B và D
191) Lập ph ơng tr nh c c c nh của tam gi c C biết C 4; - 1 ờng cao v ờng trung
tuyến ẻ từ m t ỉnh c ph ơng tr nh t ơng ứng 2x – 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0
192) Ph ơng tr nh 2 c nh của tam gi c C 5x – 2y + 6 = 0 và 4x + 7y – 21 0 Viết
ph ơng tr nh c nh thứ 3 biết trực t m trùng với gốc to
193) Cho M 3;0 v hai ờng th ng d1:2x – y – 2 = 0 và d2: x + y + 3 0 Viết ph ơng tr nh
ờng th ng d qua M cắt d1 ở cắt d2 ở sao cho M M
194) :Lập ph ơng tr nh c c c nh của tam gi c C biết 1;3 v hai ờng trung tuyến c
ph ơng trình x– 2y + 1 = 0 và y – 1 = 0.
195) Lập ph ơng tr nh c c c nh h nh vuông biết m t ỉnh - 4;5 v m t ờng chéo c
ph ơng tr nh 7x – y + 8 = 0.
196) Cho 1;1 T m iểm trên ờng th ng d1:y 3 v C trên trục ho nh sao cho tam gi c
C tam gi c ều
197) Cho tam gi c C biết 4;0 0;3 di n tích S 22 5 ; trọng t m của tam gi c thu c
ờng th ng x – y – 2 0 X c ịnh to ỉnh C
198) Cho tam gi c C với 1; - 1); B(- 2;1); C(3;5).
a Viết ph ơng tr nh ờng vuông g c ẻ từ ến trung tuyến K của tam giác ABC.
b Tính di n tích của tam gi c K
199) T m iểm C thu c ờng th ng x–y +2 0 sao cho tam gi c C vuông t i C biết 1;-2)
và B(-3;3).
200) Cho tam gi c C c nh C c trung iểm M 0;4 hai c nh ia c ph ơng tr nh : 2x +
y – 11 = 0 và x + 4y – 2 0 a X c ịnh to ỉnh
201) ọi C ỉnh nằm trên ờng th ng x + 4y – 2 0 N trung iểm C T m iểm N rồi
tính to ; C
202) Cho tam gi c C iết iểm -2;1) và và ph ơng tr nh hai ờng cao ẻ từ C 2x +
y –4 = 0 , -x + 3y - 1 0 Viết pt c c c nh tam gi c
203) Trong mặt ph ng Oxy cho tam gi c C c ỉnh 1 1 ờng cao từ v C n t c
ph ơng trình : - 2x + y – 8 = 0 và 2x + 3y –6 0 Lập ph ơng trình ờng cao h từ v x c
ịnh tọa ỉnh C của tam gi c C
204) Cho h nh chữ nhật C c pt hai c nh 3x – 2y + 4 = 0, 2x + 3y – 1 0 v m t ỉnh
1;5 Viết pt hai c nh còn i v hai ờng chéo của h nh chữ nhật
205) Lập pt c c c nh của tam gi c C nếu 1;3 v hai trung tuyến c
pt : x – 2y + 1 = 0 , y – 1 = 0
206) Cho tam giác ABC có ỉnh -1 0 hai trung tuyến xuất ph t từ v C n t c
ph ơng trình : 5x+ y – 9 = 0 và 4x +5y – 10 = 0
www.VNMATH.com

a.Xác ịnh tọa trọng t m của tam gi c C
b Lập ph ơng tr nh tổng qu t của ba c nh tam gi c C
207) Cho tam giác có iểm M -1,1) là trung iểm của m t c nh còn hai c nh ia c ph ơng
trình là : x +y – 2 = 0 và 2x +6y +3 = 0 . Hãy xác ịnh tọa c c ỉnh tam gi c
208) Cho h nh chữ nhật C c pt hai c nh 3x – 2y + 4 = 0, 2x + 3y – 1 0 v m t ỉnh
1;5 Viết pt hai c nh còn i v hai ờng chéo của h nh chữ nhật
209) Viết pt c c c nh của tam gi c C biết 5 ; 5 pt ờng cao v trung tuyến vẽ từ 1 ỉnh
là x + 3y – 8 = 0 ; x + 5y – 14 = 0
210) Lập PT c c c nh của tam gi c ABC biết ỉnh  3;5C , ờng cao v ờng trung tuyến ẻ
từ m t ỉnh c PT :    1 2:5 4 1 0, :8 7 0d x y d x y      .
211) Lập PT c c c nh của tam gi c ABC biết  3;1A v hai ờng trung tuyến c PT
   1 2: 2 1 0, : 1 0d x y d x     .
212) PT hai c nh của m t tam gi c 3 24 0,3 4 96 0x y x y      Viết PT c nh còn i của
tam gi c biết trực t m tam gi c
32
0;
3
H
 
 
 
.
213) Cho tam giác ABC với      2;1 , 2;5 , 4;1A B C Viết PT c c ờng trung trực của c c
c nh của tam gi c ABC từ suy to t m ờng tròn ngo i tiếp ABC.
214) Cho tam giác ABC với      2;2 , 1;6 , 5;3A B C  .
1 Viết PT c c c nh của ABC.
2 Viết PT ờng th ng chứa ờng cao AH của ABC.
3) CMR: ABC là tam giác vuông cân.
215) M t h nh b nh h nh c hai c nh nằm trên hai ờng th ng x + 3y –6 = 0 và 2x – 5y – 1 =
0 t m h nh b nh h nh 3;5 Viết pt hai c nh còn i của h nh b nh h nh
216) Trong mặt ph ng Oxy cho M 5/2 2 v hai ờng th ng c ph ơng trình :
217) y = x/2 ; y – 2x 0 Lập ph ơng trình ờng th ng di qua M v cắt hai ờng th ng
n i trên t i hai iểm v sao cho M trung iểm
218) Cho tam giác có M(-1;1) là trung iểm của m t c nh còn hai c nh ia c ph ơng tr nh n
l t : x + y – 2 = 0 ; 2x + 6y + 3 = 0. Hãy xác ịnh to c c ỉnh của tam gi c
219) Lập ph ơng trình các c nh của tam gi c C biết ỉnh C 4; -1), ờng cao v trung tuyến
ẻ từ m t ỉnh c ph ơng trình là: 2x – 3y + 12 = 0 và 2x + 3y = 0.
220) Cho A(1;1),B(-1;3 v ờng th ng d: x + y + 4 0
a T m trên d iểm C c ch ều hai iểm
b Với C t m c t m sao cho C h nh b nh h nh Tính di n tích h nh b nh h nh
ABCD
221) Cho a2
+ b2
>0 v hai ờng th ng d1:(a – b)x + y = 1; d2:(a2
– b2
)x + ay = b.
a X c ịnh giao iểm của d1 và d2.
b T m iều i n ối với a b ể giao iểm nằm trên trục ho nh
www.VNMATH.com

 Ñöôøng thaúng (D) caét Ox taïi A(a ; 0) vaø caét Oy taïi B (0 ; b) coù PT : 1
x y
a b
(ñöôøng thaúng
chaén treân hai truïc toaï ñoä Ox ; Oy caùc ñoaïn baèng ;a b )
 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng () ñi qua ñieåm M0 (x0 ; y0) vaø taïo vôùi ñöôøng thaúng (D) 1 goùc
baèng 
PP: + Phöông trình ñöôøng thaúng () coù daïng :
A(x – x0) + B(y – y0) = 0
+ Laäp pt baäc hai hai aån A , B :
cos [() ; (D)] = cos (*)
+ Giaûi pt (*) vôùi aån A (hoaëc B) , vôùi tham soá B (hoaëc A )
+ Choïn B => A ( hoaëc choïn A => B )
 Vieát p/t ñöôøng thaúng () ñoái xöùng vôùi ñöôøng thaúng
(D1):A1x + B1y + C1 = 0 qua ñöôøng thaúng (D2) : A2 x + B2 y + C2 = 0
 Tröôøng hôïp (D1) // (D2) :
B1 : Laáy ñieåm M0  (D1) . Tìm toaï ñoä ñieåm M0
/
ñoái xöùng vôùi M0
qua (D2)
B2 : Vieát p/t ñöôøng thaúng () Qua M0
/
vaø song song vôùi (D1) hoaëc
(D2)
 Tröôøng hôïp (D1) caét (D2) :
CAÙCH 1 :
 B1: Tìm giao ñieåm M0(x0 ; y0) cuûa hai ñöôøng thaúng (D1) vaø (D2)
 B2 : Laáy ñieåm M1  (D1) (M1  M0 ) , tìm toaï ñoä ñieåm M2 ñoái xöùng vôùi M1
qua (D2)
 B3 : Vieát p/t ñöôøng thaúng ( ) qua hai ñieåm M0 , M2
CAÙCH 2 :
 B1: Tìm giao ñieåm M0(x0 ; y0) cuûa hai ñöôøng thaúng (D1) vaø (D2)
 B2 : p/t ñöôøng thaúng () qua ñieåm M0 coù daïng : A(x – x0) + B(y – y0) = 0
 B3 : Laäp p/t baäc hai hai aån A , B : cos [ () ; (D2) ] = cos [ () ; (D1) ] . choïn 1 trong hai soá A hoaëc
B tìm aån coøn laïi
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng () ñi qua ñieåm M0 (x0 ; y0) vaø caùch ñieåm
M1(x1 ; y2) moät ñoaïn baèng d
PP : + Phöông trình ñöôøng thaúng () coù daïng :
A(x – x0) + B(y – y0) = 0
+ Laäp pt baäc hai hai aån A , B : d[ M1 ; ()] = d
+ Giaûi pt (*) vôùi aån A (hoaëc B) , vôùi tham soá B (hoaëc A )
+ Choïn B => A ( hoaëc choïn A => B )
www.VNMATH.com

BÀI TẬP
222) Xét vị trí t ơng ối của c c cặp ờng th ng sau y nếu cắt nhau th t m tọa giao
iểm
a) 2x + 3y + 1 = 0 và 4x + 5y – 6 = 0 b) 4x – y +2 = 0 và -8x +2y + 1 = 0
c)





ty
tx
23
5
và
x 4 2t'
y 7 3t'
d)





ty
tx
22
1
và
x 2 3t'
y 4 6t'
223) Tính g c t o bởi hai ờng th ng :
x+ 2y + 4 = 0 ,  
3 3
1
x t
t R
y t
  

 
; b) 1 2
x 2t x 1 3t'
D : ; (D ): .(t,t' )
y 3t y 3 6t'
224) Tính hoảng c ch từ iểm M 4;-5 ến c c t sau y :
a) 3x – 4y + 8 = 0 b)





ty
tx
32
2
225) tính khoûang caùch töø ñieåm ñeán ñöôøng thaúng ñöôïc cho tröôùc töông öùng nhö sau :
a/ A(3;5) vaø (d1) : 4x + 3y + 1 = 0
b/ B(1;2) vaø (d2) : 3x – 4y + 1 = 0
226) Tính hoảng c ch giửa hai ờng th ng : 3x + 4y – 50 = 0 và  
2 4
1 3
x t
t
y t
 

  
R
227) laäp phöông trình ñöôøng phaân giaùc cuûa caùc goùc giöõa hai ñöôøng thaúng:
(d1) : 2x + 4y + 7 = 0 vaø (d2) : x – 2y – 3 = 0
(d1) : x + 4y + 1 = 0 vaø (d2) : x – y – 1 = 0
228) tìm phöông trình taäp hôïp caùc ñeáu hai ñöôøng thaúng :
(d1) : 5x + 3y – 3 = 0 vaø (d2) : 5x + 3y + 7 = 0
www.VNMATH.com

229) Trong mặt ph ng Oxy cho ờng th ng ờng th ng d:3x + 4y – 12 = 0.
a X c ịnh to c c giao iểm của d với Ox Oy
b Tính to h nh chiếu của gốc O trên ờng th ng d
c Viết ph ơng tr nh ờng th ng d' ối xứng với O qua ờng th ng d
230) Trong mặt ph ng Oxy cho 2 ờng th ng d1: 4x – 3y – 12 = 0; d2: 4x + 3y – 12 = 0.
a T m to c c ỉnh của tam gi c c 3 c nh nằm trên d1,d2 v trục tung
b X c ịnh t m v b n ính ờng tròn n i tiếp tam gi c n i trên
231) Lập ph ơng tr nh c c c nh của tam gi c MNP biết N 2;- 1 ờng cao h từ M c
ph ơng tr nh
3x – 4y + 27 0 ờng ph n gi c trong ẻ từ P c ph ơng tr nh x + 2y – 5 = 0.
232) Cho tam giác ABC có A(-1;3 ờng cao nằm trên ờng th ng y x ờng ph n
gi c trong của g c C nằm trên ờng th ng x + 3y + 2 0 Viết ph ơng tr nh c nh C
233) Cho iểm M 1;6 v ờng th ng d:2x – 3y + 3 = 0.
a Viết ph ơng tr nh d2 qua M v vuông g c với d
b X c ịnh to h nh chiếu vuông g c của M ên d
234) Viết ph ơng trình ờng th ng qua C 4;-3) và cắt Ox Oy t i 2 iểm
sao cho tam giác OAB cân.
235) Viết ph ơng trình ờng th ng qua 3;-5 v cắt trục Ox Oy t i P Q sao cho trung
iểm PQ
236) Viết ph ơng trình ờng th ng qua J 4;-4 v t o với 2 trục to m t tam gi c c di n
tích là 4 ( vdt).
237) Cho iểm 2;1 Viết pt ờng th ng d qua chắn trên hai trục tọa bằng nhau
238) Viết ph ơng tr nh ờng th ng c h g c -3/4 v t o với hai trục to m t tam gi c
c di n tích 24
239) Viết ph ơng trình ờng th ng qua 4; 1 v t o với hai hai nửa trục d ơng Ox Oy t i
hai iểm M N sao cho :
a.OM + ON nh nhất b.di n tích tam gi c OMN nh nhất c. 2 2
1 1
OM ON
nh nhất
240) Trong mặt ph ng Oxy cho c c iểm 1 0 ; 5 2 v ờng th ng c phuơng
trình : 2x – y +1 = 0
a.Xác ịnh giao iểm của với ờng th ng i qua hai iểm
b.Tìm iểm C trên ờng th ng sao cho tam gi c C c n t i C
241) Viết pt ờng th ng d
1) Qua N(1;-1 v t o với trục ho nh m t g c 60o
2) Qua I(1;-1 v t o với ờng th ng d’ : 3x – y + 2 0 m t g c 45o
3 Đi qua iểm  1;2B v t o với h ớng d ơng của trục Ox m t g c 0
30  .
4 Đi qua iểm  3;4C v t o với trục Ox m t g c
0
45  .
5 Đi qua iểm 2 ; 1 v t o với ’ :2x + 3y + 4 0 g c 450
242) Viết pt hai c nh g c vuông của m t tam gi c vuông c n biết
1 M t ỉnh -3;2 v c nh huyền c pt : 3x + 4y – 1 = 0
www.VNMATH.com

2 M t ỉnh 0;1 v c nh huyền c pt : -2x + y + 3 = 0
243) Cho  C c n t i pt c nh áy BC : 3x – y +5 0 ; pt c nh bên
AB : x + 2y – 1 0 Lập pt c nh C biết n i qua iểm M 1;-3)
244) Tam gi c C c n c nh y C: x + 3y + 1 0 c nh bên : x – y + 5 = 0 . Đ ờng
th ng chứa c nh C i qua iểm M -4 1 T m tọa ỉnh C
245) Lập ph ơng tr nh ờng th ng i qua P 2; -1 v cùng với hai ờng th ng
(d1) : 2x - y + 5 = 0 và (d2) : 3x + 6y - 1 0 t o th nh m t tam gi c c n c ỉnh giao
iểm của d1) và (d2)
246) Cho iểm M 2;5 v t d : x + 2y – 2 = 0
a T m tọa iểm M’ ối xứng với iểm M qua d
b Viết pt t d’ ối xứng với d qua M
247) Cho ờng th ng d :





ty
tx
23
2
và iểm -1;4 Viết pt ờng th ng d1) ối
xứng của d qua
248) Cho ờng th ng  :3 4 12 0d x y   .
a X c ịnh to c c giao iểm A, B của d n t với trục Ox, Oy.
b T m to h nh chiếu H của gốc to O trên (d).
c Viết ph ơng tr nh của ờng th ng  1d ối xứng của d) qua O.
249) Cho ờng th ng  : 2 3 3 0d x y   v iểm  5;13M  .
a Viết PT ờng th ng d1) qua M v song song với d).
b Viết PT ờng th ng ối xứng với qua d1)
250) Cho ờng th ng :
x 1 3t
t
y 2 t
viết ph ơng tr nh ờng th ng ’ :
a Đối xứng với qua 1) : 2x + y + 3 = 0
b Đối xứng với qua 2) : 2x + 6y - 3 = 0
251) T m quỹ tích c c iểm c ch ờng th ng :
a) (D): –2x + 5y – 1 0 m t hoảng bằng 3 ; b ’ : 2x - y + 3 0 m t hoảng bằng 5
252) T m quỹ tích c c iểm c ch ều hai ờng th ng
a) 5x + 3y – 3 = 0 và 5x + 3y + 7 = 0 ; b) 4x – 3y + 2 = 0 và y – 3 = 0
253) Viết pt ờng th ng :
a Qua 2;7 v c ch 1;2 m t o n bằng 1
b Qua 2;2 v c ch ều hai iểm 1;1 C 3 ; 4
c C ch ều 3 iểm -1 ; 1) ,B(4 ; 2) , C(3 ; -1)
d) qua iểm M 2;5 v c ch ều hai iểm P -1;2) , Q(5;4)
254) Cho ờng d : x – y + 2 + 0 Định ể hoảng c ch từ 3;5 ến d bằng 3
255) Cho tam gi c C c 2;3 v C 4 biết pt C: 3x + y + 1 0 Tính di n tích tam
giác ABC
www.VNMATH.com

256) Cho h nh chữ nhật biết pt hai c nh 4x – y + 3 = 0 , x + 4y –5 0 v m t ỉnh 7;-1)
1 Tính di n tích h nh chữ nhật ; 2 Viết pt hai c nh còn i của h nh chữ nhật
257) Cho hình vuông ABCD có A(- 4 ; 5) và ờng th ng chứa 1 ờng chéo c pt: 7x – y
+8 0 Lập pt c c c nh và ờng chéo thứ hai của hvuông
258) Cho hình vuông ABCD có pt AB: 3x + 4y + 1 = 0 và pt CD: 3x + 4y – 10 = 0
a Tính di n tích h nh vuông
b Viết pt hai c nh còn i nếu biết 1;-1)
259) Cho h nh vuông c m t ỉnh 0 ;5 v m t ờng chéo nằm trên ờng th ng c
ph ơng trình : 7x – y + 8 0 Viết ph ơng tr nh c c c nh v ờng chéo thứ hai của h nh
vuông ó .
260) Cho tam giác ABC có B(2,-1) , ờng cao qua c ph ơng trình 3x – 4y + 27 = 0 ,
phân giác qua C có ph ơng trình 2x – y + 5 = 0
a/ Viết ph ơng trình ờng th ng chứa c nh C v t m tọa ỉnh C
b/ Lập ph ơng trình ờng th ng chứa c nh C
261) Cho tam giác ABC có A(2,-1) và ph ơng trình hai ờng ph n gi c trong của g c v
C n c dB): x – 2y + 1 = 0 , (dC): x + y + 3 = 0 . Tìm ph ơng tr nh c c c nh
262) Trong mặt ph ng Oxy cho tam gi c C c -1;3), ờng cao c pt: y x ;
ờng ph n gi c trong g c C của tam gi c c pt : x + 3y - 2 = 0 .
b Viết pt t c c c nh của tam gi c C c T m chu vi của tam gi c C
263) Lập pt c c c nh tam gi c biết 2 ; - 1), ờng cao : 3x – 4y + 27 = 0 ; ờng ph n
giác trong CD : x + 2y – 5 = 0
264) Cho ờng th ng d : x – y + 2 0 v hai iểm O 0;0 2;0
a CMR hai iểm O nằm về cùng m t phía ối với ờng d
b T m iểm ối xứng của O qua d
c T m trên d iểm M sao cho d i ờng gấp húc OM ngắn nhất
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG
265) (ĐHSPKT K Trong mặt ph ng Oxy Cho tam gi c C biết ỉnh -1,2) , B(2,0) ,
C(-3,1)
1/ Xác ịnh t m ờng tròn ngo i tiếp tam gi c C
2/ Tìm iểm M trên ờng th ng C sao cho di n tích tam gi c M bằng 1/3 di n tích
tam giác ABC
266) (ĐHKTQD ập ph ơng tr nh c c c nh tam gi c C biết -4,5) và hai ờng cao
h từ hai ỉnh còn i của tam gi c c pt: 5x + 3y – 4 = 0 và 3x + 8y +13 = 0
267) (ĐHTCKT) cho ờng cong Cm : x2
+ y2
+2mx – 6y +4 – m = 0
1/ CMR (Cm) là ờng tròn với mọi m T m tập h p t m ờng tròn hi m thau ổi
2/ Với m 4 hãy viết ph ơng trình d ờng th ng vuông g c với d ờng th ng 3x-4y+10
0 v cắt ờng tròn t i hai iểm sao cho 6
www.VNMATH.com

268) (ĐHHH) cho M(5/2,2) và hai ờng th ng c ph ơng trình : y = x/2 ; y – 2x 0 Lập
ph ơng trình ờng th ng di qua M v cắt hai ờng th ng n i trên t i hai iểm v
B sao cho M là trung iểm
269) (ĐHMĐC) ãy viết ph ơng trình ờng tròn ngo i tiếp tam gi c C biết ph ơng
trình AB: y –x –2 = 0 , BC: 5y – x +2 = 0 và AC: y+x – 8 = 0
270) (ĐHGTVT) cho h nh b nh h nh C c số o di n tích bằng 4 iết tọa ỉnh
A(1,0) , B(2,0) và giao iểm của hai ờng chéo C nằm trên ờng th ng y x
ãy t m tọa c c ỉnh C v
271) (Học viện QS) Tam gi c C c n c nh y C: x + 3y + 1 0 c nh bên : x – y
+ 5 = 0 . Đ ờng th ng chứa c nh C i qua iểm M -4 1 T m tọa ỉnh C
272) (ĐHHàng không) Cho tam giác ABC có B(2,-1) , ờng cao qua c ph ơng trình 3x
– 4y + 27 = 0 , phân giác qua C có ph ơng trình 2x – y + 5 = 0
1/ Viết ph ơng trình ờng th ng chứa c nh C v t m tọa ỉnh C
2/ Lập ph ơng trình ờng th ng chứa c nh C
273) (ĐHQS) cho A(2,-4) , B(4/3,2/3) , C(6,0) . Tìm tâm và bán kính ờng tròn n i tiếp
tam giác ABC
274) (ĐHMở bán công cho tam gi c C với c c ỉnh 1 2 0 1 C -2,1)
1/ Viết ph ơng trình ờng th ng chứa c nh
2/ Lập ph ơng trình ờng cao C của tam gi c C
3/ Lập ph ơng trình ờng tròn ngo i tiếp của tam gi c C
275) (ĐH An Giang KD) cho hình thoi ABCD có A(1,3) , B(4,-1)
a iết c nh song song với trục Ox và ỉnh c ho nh m T m tọa c c ỉnh C
và D
b Lập ph ơng trình ờng tròn n i tiếp h nh thoi C
276) (ĐH thƣơng mại) Cho tam giác ABC có A(2,-1) và ph ơng trình hai ờng ph n gi c
trong của g c v C n c dB): x – 2y + 1 = 0 , (dC): x + y + 3 = 0 . Tìm ph ơng
tr nh c nh C
277) (ĐH tây nguyên ập ph ơng tr nh tổng qu t của ờng th ng i qua iểm -2,3) và
cách ều hai iểm 5 -1) , B(3,7)
278) (ĐHSP HàNội KA) cho tam giác ABC có ỉnh 1 1 ờng cao từ v C n t
có ph ơng trình : - 2x + y – 8 = 0 và 2x + 3y –6 0 Lập ph ơng trình ờng cao h từ
và xác ịnh tọa ỉnh C của tam gi c C
279) (ĐH ngoại ngữ) cho 3 iểm -1,7) ; B(4,-3) ; C(-4;1 Lập ph ơng trình ờng tròn
nôi tiếp tam gi c
280) ĐHQG:(2000) cho Parabol (P) : y2
= 4x và hai ờng thảng :
(D): m2
x +my + 1 = 0 (L): x – my + m2
0 với m tham số thực h c 0
a.CM (D) vuông góc (L) và giao iểm của v L di ng trên m t ờng th ng cố
ịnh hi m thay ổi
b.CM (D) và (L) luôn tiếp xúc với P ôi v n t c c tiếp iểm của v
L với P Chứng minh ờng th ng uôn i qua m t iểm cố ịnh hi m thay ổi
281) (CĐCN4) Cho tam giác ABC có ỉnh -1 0 hai trung tuyến xuất ph t từ v C n
l c c ph ơng trình : 5x+ y – 9 = 0 và 4x +5y – 10 = 0
a.Xác ịnh tọa trọng t m của tam gi c C
www.VNMATH.com

b Lập ph ơng tr nh tổng qu t của ba c nh tam gi c C
282) (ĐHANinh) Cho tam giác có iểm M -1,1) là trung iểm của m t c nh còn hai c nh
kia có ph ơng trình là : x +y – 2 = 0 và 2x +6y +3 = 0 . Hãy xác ịnh tọa c c ỉnh tam
giác
283) (CNTin học Trong mặt phãng Oxy cho c c iểm 1 0 ; 5 2 v ờng th ng
có phuơng trình : 2x – y +1 = 0
a.Xác ịnh giao iểm của với ờng th ng i qua hai iểm B
b.Tìm iểm C trên ờng th ng sao cho tam gi c C c n t i C
284) (Đề khối A - 2006) Trong mặt ph ng cho ba ờng th ng
1 2 3: 3 0; : 4 0; : 2 0.d x y d x y d x y       
285) T m to iểm M nằm trên ờng th ng d3 sao cho hoảng c ch từ M ến ờng
th ng d1 bằng hai n hoảng c ch từ M ến ờng th ng d2.
286) (Đề thi khối A năm 2005) Trong mặt với h to Oxy cho hai ờng th ng d1: x – y
= 0 và d2: 2x + y – 1 = 0.
287) T m to c c ỉnh của h nh vuông C biết rằng ỉnh thu c d1, ỉnh C thu c d2
và các ỉnh thu c trục ho nh
PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN
Phöông trình chính taéc :
Ñöôøng troøn (C) taâm I(a ; b) ; baùn kính R > 0 coù p/t chính taéc laø :
(x – a)2
+ (y – b)2
= R2
löu yù : * Neáu a = b = 0 thì p/t ñöôøng troøn coù daïng :
x2
+ y2
= R2
- laø p/t ñöôøng troøn taâm O baùn kính R .
* Ñöôøng troøn taâm I(a ; b) vaø qua goác toaï ñoä O coù phöông trình :
(x – a)2
+ (y – b)2
= a2
+ b2
* Ñöôøng troøn taâm I(a ; b) vaø tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh Ox coù phöông trình:
(x – a)2
+ (y– b)2
= b2
* Ñöôøng troøn taâm I(a ; b) vaø tieáp xuùc vôùi truïc tung Oy coù phöông trình:
(x – a)2
+ (y – b)2
= a2
Phöông trình toång quaùt :
Phöông trình coù daïng: x2
+ y2
+ 2Ax + 2By + C = 0 (vôùi A2
+ B2
– C > 0 )ñeàu xaùc
ñònh moät ñöôøng troøn (C) coù taâm I(–A ; –B) vaø baùn kính R=
2 2
A B C ; ñöôïc
goïi laø phöông trình toång quaùt cuûa ñöôøng troøn.
Löu yù : + Neáu C = 0 ñöôøng troøn (C) ñi qua goác toaï ñoä
1. Vò trí töông ñoái cuûa ñöôøng troøn vôùi ñöôøng thaúng :
www.VNMATH.com

Cho ñöôøng troøn C(I ; R) vaø ñöôøng thaúng (D) .
 d[I ; (C)] < R  (D) caét (C) taïi taïi hai ñieåm phaân bieät . d
 [ I ; (C)] > R  (D) khoâng caét (C)
 d [ I ; (C) ] = R  (D) tieáp xuùc vôùi (C)
4. Phöông tích cuûa dieåm M(x0 ; y0 ) ñoái vôùi ñöôøng troøn (C):
Neáu (C) : x2
+ y2
+2Ax + 2By + C = 0 thì :
P M / (C) = f(xo ; yo) = xo
2
+ yo
2
+ 2Axo + 2Byo + C
Neáu (C) : ( x – a)2
+ (y – b)2
= R2
thì : P M / (C) = f(xo ; yo) = (x0 – a)2
+ (y0 – b)2
= R2
Nhaän xeùt: * P M / (C) > 0  M ôû ngoaøi (C)
* P M / (C) < 0  M ôû trong (C)
* P M / (C) = 0  M  (C)
5. Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn :
cho hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C 2) khoâng ñoàng taâm laàn löôït coù phöông trình:
(C 1) : f1(x ; y) = x2
+ y2
+ 2A1x + 2B1y + C1
(C2 ) : f2(x ; y) = x2
+ y2
+ 2A2x + 2B2y + C2
Truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn (C 1) vaø (C 2) coù phöông trình :
f1(x ; y) = f2(x ; y) Hay 2(A1 – A2)x + 2(B1 – B2)y + C1 – C2 = 0
PP GIAÛI 1 SOÁ DAÏNG TOAÙN VEÀ ÑÖÔØNG TROØN :
Vaán ñeà 1 : vieát phöông trình đường tròn
Xaùc ñònh taâm vaø baùn kính cuûa 1 ñöôøng troøn
CAÙCH 1 : Ñoàng nhaát p/t ñaõ cho vôùi p/t : x2
+ y2
+2Ax + 2By + C = 0 .Töø ñoù tìm
caùc heä soá A ; B ; C , roài suy ra taâm I( - A ; - B) ; baùn kính R= 2 2
A B C
CAÙCH 2 : Ñöa p/t veà daïng ( x – a)2
+ ( y – b)2
=R2
=> Taâm I(a ; b) ; baùn kính laø
R
Vieát phöông trình ñöôøng troøn (C)
CAÙCH 1 : + Giaû söû p/t ñöôøng troøn caàn tìm coù daïng : x2
+ y2
+ 2Ax + 2By + C = 0
(1)
+ döïa vaøo caùc giaû thieát baøi toaùn cho laäp heä 3 p/t 3 aån A , B , C
+ Giaûi heä tìm A , B , C . Roài vieát p/t ñöôøng troøn
CAÙCH 2 : + Tìm taâm I(a ; b)
+ Tìm baùn kính : * Neáu A  (C) thì R = IA;
* Neáu ñöôøng thaúng (D) tieáp xuùc vôùi (C) thì : R = d[ I ; (D)]
+ Vieát p/t ñöôøng troøn daïng : (x – a)2
+ (y – b)2
= R2
; (2)
www.VNMATH.com

Ghi chuù :
 (C) ñi qua 3 ñieåm phaân bieät A , B , C cho tröôùc : Theá toaï ñoä 3 ñieåm vaøo (1) ,tìm 3
heä soá A , B , C
 Tìm toaï ñoä taâm I cuûa (C) caàn laäp ñöôïc 1 heä p/t . Vôùi moãi giaû thieát döôùi ñaây seõ
chuyeån thaønh 1 p/t tìm taâm :
a) Ñöôøng troøn qua hai ñieåm A , B  IA2
= IB2
b) Ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng (D) taïi A  I thuoäc ñöôøng thaúng (D’)
vuoâng goùc vôùi (D) taïi A (Nghóa laø toaï ñoä ñieåm I thoaû p/t ñöôøng thaúng (D’) ñi qua A
vaø (D’)  (D)
c) Ñöôøng troøn ñi qua A vaø tieáp xuùc vôùi (D)  d[ I ; (D) ] = IA
d) Ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng song song (D) vaø (D’)
 d[ I ; (D) ] = d[ I ; (D’) ]
e) Ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi hai ñöôøng thaúng caét nhau (D) vaø (D’)

d[ I ; (D) ] = d[ I ; (D') ]
I ; 'D Dthuoäc ñöôøng phaân giaùc cuûa
f) Ñöôøng troøn coù taâm I  (D)  toaï ñoä taâm I thoaû p/t cuûa (D)
Ñaëc bieät : Tìm taâm I cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp  ABC, khi ñaõ bieát toaï ñoä 3 ñieåm A, B,
C
* Tìm toaï ñoä ñieåm D laø chaân ñöôøng phaân giaùc trong veõ töø
A , qua heä thöùc : .
AB
DB DC
AC
* Toaï ñoä taâm I thoaû heä thöùc :
BA
IA ID
AD
BÀI TẬP
288) T m t m v b n ính của c c ờng tròn sau
a) x2
+ y2
– 2x – 2y – 2 = 0 b) 16x2
+ 16y2
+ 16x – 8y = 11
c) 7x2
+ 7y2
– 4x + 6y – 1 = 0
289) Viết ph ơng trình ờng tròn ờng ính với :
1/ A(-1,1) , B(5,2) 2/ A(-1,-2) , B(2,1) 3) A(1;1), B(7;5) 4/A(1;3), B(5;1)
290) Lập pt vòng tròn qua 3 iểm
1/ A(1,3) , B(5,6) , C(7,0) 2/ A(5,3) , B(6,2) , C(3,-1)
www.VNMATH.com

3/ A(1;2) , B(5;2) , C(1;-3) 3/ A(0;1), B(1;-1), C(2;0)
291) Lập pt ờng tròn biết :
1/ Tâm I(2,2) , bán kính R = 3
2/ Tâm I(1,2) , và i qua A(3,1) 2) Tâm I(2;-3) và qua A(1;4)
3/ Tâm I(-4;2 v tiếp xúc với d : 3x + 4y – 16 = 0
4/Tâm I(-1;2 v tiếp xúc với d : x – 2y + 7 = 0
5/ T m thu c d : x + y – 1 = 0 và qua A(-2;1), B(4;2)
6/ Qua A(1,2) , B(3,1) và có tâm trên (d) 7x + 3y +1 = 0
7/ Đi qua 3 1 5 5 v c t m nằm trên trục ho nh
8/ Đi qua M(-1 3 N 2 1 v c t m nằm trên ờng ph n gi c của g c ph n t thứ nhất
292) Lập pt ờng tròn tiếp xúc với c c trục tọa v
1/Qua A(2,4) 2/ c t m nằm trên ờng th ng 3x – 5y – 8 = 0
3) Qua M(2,-1)
293) Laäp phöông trình cuûa ñöøông troøn (C) trong caùc tröôøng hôïp sau :
a/ (C ) coù taâm I(-1;2) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng (d) : x- 2y + 7 = 0
b/ (C ) coù ñöôøng kính laø AB vôùi A(1 ;1) vaø B(7 ;5)
294) trong maët phaúng Oxy , haõy laäp phöông trình cuûa ñöôøng troøn (C ) coù taâm laø ñieåm I(2
;3) vaø thoõa maõn ñieàu kieän sau :
a/ (C ) coù baùn kính laø 5 b/ (C ) ñi qua goác toïa ñoä
c/ (C) tieáp xuùc vôùi truïc Ox d/ (C) tieáp xuùc vôùi truïc Oy
e/ (C) tieáp xuùc vôùi ñöôøng thaúng (d) :4x + 3y -12 = 0
295) laäp phöôngtrình cuûa ñöôøng troøn (C) ñi qua hai ñieåm A(1;2) vaø B(3;4) ñoàng thôøi tieáp
xuùc vôùi ñöôøng thaúng (d):3x + y -3 = 0.
296) Trong mặt ph ng Oxy cho ờng tròn C :
297) Lập ph ơng tr nh ờng tròn ối xứng với C qua ờng th ng : x-2 = 0 .
298) cho 3 ñieåm A(1;4) ,B(-7;4) ,C(2;-5)
a/ laäp phöông trình ñöôøng troøn (C) ngoïai tieáp tam giaùc ABC.
b/ tìm taâm vaø baùn kính cuûa (C)
299) Viết ph ơng trình ờng tròn trong c c tr ờng h p sau :
a) Đ ờng tròn tiếp xúc trục Ox t i -1,0) và qua B(3,2)
b) Đ ờng tròn t m v tiếp xúc với ờng th ng
c) Qua 4 2 v tiếp xúc 2 uờng th ng x - 3y - 2 = 0 và x - 3y + 18 =0
d) Có tâm trên ờng th ng x 5 v tiếp xúc với 2 ờng th ng 3x – y + 3 = 0 và
x – 3y + 9 = 0
e) Qua 1 2 3 4 V tiếp xúc với d y 3 – 3x
f) T m nằm trên ờng th ng d : 4x + 3y – 2 0 v tiếp xúc với hai ờng th ng
g) (d1): x + y + 4 = 0, (d2): 7x – y + 4 = 0
h) Tiếp xúc với d 3x – 4y – 31 0 t i 1 -7) và R = 5
www.VNMATH.com

300) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho:
ờng tròn v ờng th ng .
301) T m tọa iểm sao cho ờng tròn t m có b n ính gấp ôi b n ính ờng
tròn tiếp xúc ngo i với ờng tròn .
302) Viết ph ơng tr nh ờng tròn c ho nh t m a 9 b n ính R 2 v tiếp xúc với
ờng th ng d : 2x+y-10=0
303) Trong mặt ph ng cho tam gi c ọi ch n
ờng cao ẻ từ M v N trung iểm của c c c nh v C Viết ph ơng tr nh
ờng tròn i qua c c iểm M N
304) Cho (d) : (1 – m2
)x + 2my + m2
– 4m +1 0 Viết ph ơng trình ờng tròn tiếp xúc
với d với mọi m
305) Viết ph ơng trình ờng tròn ngo i tiếp tam gi c c 3 c nh trên 3 ờng th ng sau 5y
= x – 2 , y = x + 2 , y = 8 – x
306) Viết pt ờng tròn n i tiếp tam gi c O biết :
1) Cho A(4,0) , B(0,3) 2) A(4,0) , B(0,4)
307) Cho tam giác ABC có A(1/4, 0) ; B(2,0) ; C(-2,3)
1/ T m g c C của tam gi c 2/ Lập pt ờng tròn n i tiếp tam gi c C
3/ Viết pttt của ờng tròn n i tiếp Tam gi c v song song C
308) Cho (d1) : 4x – 3y – 12 = 0 , (d2) : 4x + 3y –12 0 Tính tọa c c ỉnh của tam gi c
c 3 c nh n t nằm trên c c ờng th ng d1) , (d2 v trục tung .Xác ịnh t m v b n
kính ờng tròn n i tiếp của tam gi c n i trên
309) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho tam gi c C c ba g c nhọn biết 5 ; 4
v 2 ; 7 ọi v F hai ờng cao của tam gi c ãy viết ph ơng tr nh của
ờng tròn ngo i tiếp tứ gi c F
310) Tìm m ể ph ơng trình sau là ph ơng trình ờng tròn
1/ x2
+ y2
+ 4mx –2my +2m + 3 = 0 2/ x2
+ y2
–2(m+1)x +2my +3m2
– 2 = 0
311) Cho (Cm) : x2
+ y2
– 2(m +2)x + 4my +19m – 6 = 0
1/ Tìm m ể Cm vòng tròn c b n ính R 10 2/Tìm m ể Cm vòng tròn
3/T m tập h p t m của Cm
312) Cho (Cm) : x2
+ y2
+ (m + 2)x – (m + 4)y + m + 1 = 0
1/Định m ể Cm c b n ính nh nhất 2/ T m tập h p t m của Cm
3/CMR : (Cm) luôn qua 2 iểm cố ịnh với mọi m
4/ T m tất cả c c iểm của Cm hông thể i qua
Cho (Ca) : x2
+ y2
+ 2(1 – cosa)x - 2ysina + 3 = 0 , a ]2,0[ 
1/ Tìm a ể Ca vòng tròn 2/ T m tập h p t m ờng tròn Ca
313) Cho (Cm) : x2
+ y2
– 2x – (m-1)y + m2
– 4 = 0
1/ Tìm m ể Cm i qua A(2,3) .Xác ịnh t m v b n ính của ờng tròn ứng m t m
c
2/ Tìm m ể Cm c b n ính ớn nhất
314) Cho họ ờng tròn Cm : x2
+ y2
–2mx – 2(m+1)y + 2m – 1 = 0
1/ CMR : khi m thay ổi họ ờng tròn Cm uôn i qua 2 iểm cố ịnh
www.VNMATH.com

2/ CMR : với mọi m họ ờng tròn Cm uôn cắt trục tung t i 2 diểm ph n bi t
315) Cho các ờng tròn C x2
+ y2
= 1 và (Cm) x2
+ y2
–2(m+1)x + 4my = 5
1/ CMR có 2 ờng tròn Cm1) , (Cm2 Tiếp xúc với ờng tròn C ứng với 2 gi trị m1
, m2 của m
2/Xác ịnh pt ờng th ng tiếp xúc với cả 2 ờng tròn C1) , (C2)
316) Cho họ ờng cong Ct : x2
+ y2
– 2(1+cost)x –2(sint)y + 6cost – 3 = 0
1/ Chứng t Ct uôn ờng tròn thực
2/ T m quỹ tích t m ờng tròn Ct hi t thay ổi
3/ Chứng t Ct uôn i qua 1 iểm cố ịnh
4/ Trong họ Ct c ờng tròn n o b n ính 1 3 hông ?
Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn
Daïng 1: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñt (C) taïi ñieåm M0(x0 ; y0)
( M0  (C) )
CAÙCH 1 :
* Xaùc ñònh toaï ñoä taâm I cuûa ñt(C)
* Tieáp tuyeán laø ñöôøng thaúng qua M0 vaø coù veùc tô phaùp tuyeán laø
IM
CAÙCH 2 :
* Duøng PP phaân ñoâi toaï ñoä :
+ Neáu ñöôøng troøn (C) coù p/t : x2
+ y2
+ 2Ax +2by + C = 0 thì p/t tieáp tuyeán laø
xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0
+ Neáu ñöôøng troøn (C) coù p/t : (x – a)2
+ (y – b)2
= 0 thì p/t tieáp tuyeán laø :
(xo – a) (x – a) + (yo – b) (y – b) = R2
Daïng 2: Vieát p/t tieáp tuyeán cuûa (C) coù phöông cho tröôùc ( töùc laø bieát heä soá
goùc k cuûa tieáp tuyeán , hoaëc tieáp tuyeán song song , hoaëc tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi
ñöôøng thaúng cho tröôùc )
www.VNMATH.com

Phöông phaùp :
 Xaùc ñònh taâm I vaø baùn kính R cuûa ñöôøng troøn (C)
 Vieát p/t tieáp tuyeán () cuûa (C) :
 Neáu tieáp tuyeán () coù heä soá goùc k thì p/t coù daïng : y = kx + b ( vôùi heä soá b
chöa bieát )
 Neáu () // (D) : Ax + By + C = 0 thì p/t () coù daïng : Ax + By + C’ = 0 ( vôùi
C’ chöa bieát )
 Neáu ()  (D) : Ax + By + C = 0 thì p/t () coù daïng : Bx – Ay + C’ = 0 ( voùi
C’ chöa bieát )
 Duøng ñ/ k : () tieáp xuùc vôùi (C)  d[ I ; () ] = R . Ñeå tìm heä soá chöa bieát
Daïng 3: Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa (C) xuaát phaùt töø ñieåm A(x0 ; y0) (
A (C) )
Phöông phaùp :
CAÙCH 1 :
 p/t tieáp tuyeán coù daïng : A(x - x0 ) + B (y – y0) = 0 ( Vôùi heä soá A , B chöa bieát )
 Duøng ñ/k : tieáp xuùc d[ I ; () ] = R . laäp p/t aån soá A , vôùi
tham soá B (hoaëc aån B tham soá A) .
 Giaûi p/t treân , roài choïn B => A ( hoaëc choïn A => B)
CAÙCH 2 :
 p/t tieáp tuyeán coù daïng : y = k(x – x0) + y0  kx – y – kx0 +
y0 = 0
 Duøng ñ/k : d[ I ; () ] = R laäp p/t baäc hai 1 aån k . Roài giaûi tìm k
Ghi chuù :
 Neáu tìm ñöôïc 2 giaù trò k thì coù hai tieáp tuyeán vôùi (C) ñi qua A
 Neáu tìm ñöôïc 1 giaù trò k thì caàn xeùt tröôøng hôïp ñöôøng thaúng () qua A(x0;y0)
song song vôùi Ox coù p/t : x = x0  x – x0 = 0 ,coù phaûi laø tieáp tuyeán cuûa (C)
khoâng . Baèng caùch kieåm tra
?
;d I R , neáu ñuùng thì tieáp tuyeán thöù hai laø
ñöôøng thaúng x = x0
Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng troøn – Tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn
1. Vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng troøn :
 Xaùc ñònh taâm I1 ; I2 ; baùn kính R1 ; R2 cuûa hai ñöôøng troøn (C1) vaø (C2)
www.VNMATH.com

 Tính d = I1I2 ( ñoaïn noái hai taâm)
 So saùnh :
 Neáu 1 2 1 2
R R d R R thì (C1) caét (C2)
 Neáu d = R1 + R2 thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc ngoaøi
 Neáu d = 1 2R R thì (C1) vaø (C2) tieáp xuùc trong
 Neáu d > R1 + R2 thì (C1) vaø (C2) naèm ngoaøi nhau
 Neáu d < 1 2R R thì (C1) vaø (C2) ñöïng nhau
2. Tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn : ( chæ xeùt tröôøng hôïp R1  R2 )
CAÙCH 1 :
 Xaùc ñònh vò trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng troøn
 Xeùt caùc tröôøng hôïp :
 Tröôøng hôïp 1: Neáu (C1) vaø (C2) naèm ngoaøi nhau thì coù 4 tieáp tuyeán chung :
+ Tìm giao ñieåm M cuûa hai tieáp tuyeán chung ngoaøi qua heä thöùc :
1
1 2
2
R
MI MI
R
+ Tìm giao ñieåm N cuûa hai tieáp tuyeán chung trong qua heä thöùc :
1
1 2
2
R
NI NI
R
+ Vieát p/t tieáp tuyeán cuûa (C1) hoaëc (C2) ñi qua ñieåm M vaø N
 Tröôøng hôïp 2:Neáu (C1) vaø (C2) caét nhau thì coù hai
tieáp tuyeán chung ngoaøi . Tìm gioáng nhö TH1 , ñoái vôùi
tieáp tuyeán chung ngoaøi
 Tröôøng hôïp 3 : Neáu (C1) vaø (C2) tieáp xuùc ngoaøi coù hai
tieáp tuyeán chung ngoaøi ( tìm gioáng TH1 ) ; vaø 1tieáp tuyeán
chung trong laø truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn
 Tröôøng hôïp 4 : Neáu (C1) vaø (C2) tieáp
xuùc trong coù 1 tieáp tuyeán chung trong laø
truïc ñaúng phöông cuûa hai ñöôøng troøn
www.VNMATH.com

 Tröôøng hôïp 5 : Neáu (C1) vaø (C2) ñöïng nhau thì hai ñöôøng troøn khoâng coù tieáp
tuyeán chung
CAÙCH 2 :
 Xaùc ñònh taâm I1 , I2 vaø baùn kính R1 , R2 cuûa hai ñöôøng troøn , vaø suy ra VTTÑ
cuûa hai ñöôøng troøn
 P/t tieáp tuyeán chung () coù daïng y = kx + b hay kx – y + b = 0
 Duøng ñieàu kieän :
() laø tieáp tuyeán chung cuûa hai ñöôøng troøn 
;1 1
*
;2 2
d I R
d I R
.
 Giaûi heä pt tìm k & b
 Xeùt tröôøng hôïp () : x + c = 0 duøng heä (*) tìm c neáu coù
CAÙCH 1 :
 P/t () coù daïng : Ax + By + C = 0 (A2
+ B2
 0)
 () laø tieáp tuyeán chung 
;1 1
*
;2 2
d I R
d I R
. Ta khöû aån C Töø hai p/t ,
ñöôïc p/t baäc hai vôùi aån A (hoaëc B) . Giaûi p/t tìm aån A theo B ( hoaëc B theo A) , roài
choïn B => A ( hoaëc choïn A => B )
Ghi chuù : Neáu R1 = R2 thì hai tieáp tuyeán chung ngoaøi song song vaø caùch ñeàu ñöôøng
noái taâm I1I2 moät khoaûng laø R1 . Coøn tieáp tuyeán chung trong laø truïc ñaúng phöông cuûa
hai ñöôøng troøn
* * * * * * * *
www.VNMATH.com

BÀI TẬP
317) vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn (C) :    
2 2
1 2 25x y    taïi ñieåm
M(4;2) thuoäc ñöôøng troøn (C).
318) laäp phöông trình tieáp tuyeán vôùi ñöôøng troøn 2 2
4 2 0x y x y    bieát raèng tieáp
tuyeán ñi qua ñieåm A (3;-2)
319) vieát phöông trình tieáp tuyeán (d) vôùi ñöôøng troøn 2 2
4 6 3 0x y x y     bieát raèng
(d) song song vôùi ñöôøng thaúng (d1) : 3x – y + 2010 = 0 .
320) cho ñöôøng troøn (C) : 2 2
7 0x y x y    vaø ñöôøng thaúng (d):3x + 4y – 3 = 0
a/ tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa (d) vaø (C).
b/ laäp phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) taïi caùc giao ñieåm ñoù.
c/ tìm toïa ñoä giao ñieåm cuûa hai tieáp tuyeán.
321) laäp phöông trình tieáp tuyeán (d) cuûa ñöôøng troøn (C) : 2 2
6 2 0x y x y    bieát raèng
(d) vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng (d1): 3x – y + 4 = 0
322) cho ñöôøng troøn (C) : 2 2
6 2 6 0x y x y     vaø ñieåm A(1;3)
a/ chöùng toû raèng ñieåm A naèm ngoøai ñöôøng troøn (C).
b/ laäp phöông trình tieáp tuyeán vôùi (C) xuaát phaùt töø A.
laäp phöông trình ñöôøng troøn (C) ñi qua hai ñieåm A(1;2) , B(3;4) vaø tieáp xuùc vôùi ñöôøng
thaúng (d) : 3x + y – 3 = 0
323) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho ờng tròn C : và
iểm X c ịnh tọa t m v b n ính của ờng tròn C Viết ph ơng tr nh c c
tiếp tuyến của ờng tròn C ẻ từ iểm
324) Cho ờng tròn T c ph ơng tr nh :
a X c ịnh t m v b n ính của T
b Viết ph ơng tr nh tiếp tuyến của T biết tiếp tuyến n y vuông g c với ờng th ng d c
ph ơng tr nh 12x - 5y + 2 = 0.
ờng th ng d : 3x - 4y + 23 0 Viết ph ơng tr nh tiếp tuyến của ờng tròn C biết
tiếp tuyến n y vuông g c với ờng th ng d
326) Trong mặt ph ng Oxy cho ờng tròn Lập ph ơng tr nh
tiếp tuyến với ờng tròn C biết rằng tiếp tuyến qua
327) Trong mặt ph ng Oxy cho ờng tròn C : Viết ph ơng tr nh
c c tiếp tuyến của C i qua iểm F 0; 3
www.VNMATH.com

328) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho ờng tròn C c ph ơng tr nh :
a Viết ph ơng tr nh tiếp tuyến của ờng tròn biết c c tiếp tuyến n y vuông g c với ờng
th ng .
b T m iều i n của m ể ờng th ng tiếp xúc với ờng tròn
329) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho tam gi c C biết 4; - 2) , B (- 2; 2) , C (- 4
; - 1 Viết ph ơng tr nh ờng tròn C ngo i tiếp tam gi c C v ph ơng tr nh tiếp
tuyến với C t i
330) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho ờng tròn .
Tìm tất cả c c tiếp tuyến của song song với ờng th ng .
331) Trong mặt ph ng với h tọa Đềc c vuông g c Oxy cho iểm v ờng
tròn (O) :
1 Chứng minh rằng m t iểm nằm ngo i ờng tròn O
2 Viết ph ơng tr nh c c ờng th ng i qua iểm v tiếp xúc với ờng tròn O
332) Trong mặt ph ng với h tọa Đềc c vuông g c Oxy cho ờng th ng
v hai iểm
1 Viết ph ơng tr nh ờng tròn i qua và có tâm .
2 Viết ph ơng tr nh ờng tiếp tuyến t i với ờng tròn .
3 Viết ph ơng tr nh c c tiếp tuyến với biết tiếp tuyến i qua T m tọa tiếp iểm
.
333) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho iểm - 2; 1 v ờng th ng d : 3x - 4y = 0
a Viết ph ơng tr nh ờng tròn C c t m v tiếp xúc với ờng th ng d
b Viết ph ơng tr nh tập h p c c iểm m qua c c iểm vẽ c hai tiếp tuyến ến C
sao cho hai tiếp tuyến vuông g c với nhau
334) Cho ờng tròn
V ờng th ng
a. Chứng minh rằng hông cắt
www.VNMATH.com

b. Từ iểm M thu c ẻ c c tiếp tuyến M M tới C c c tiếp iểm Chứng
minh rằng hi M thay ổi trên th uôn i qua m t iểm cố ịnh
335) Cho họ ờng tròn c ph ơng tr nh:
T m tập h p t m của khi thay ổi
336) Viết ph ơng tr nh ờng tròn i qua 1 0 v tiếp xúc với hai ờng th ng
337) Trong mặt ph ng tọa cho ờng tròn v m t iểm
.
Viết ph ơng tr nh ờng th ng i qua v cắt theo m t d y cung c d i 8
338) Trong mặt ph ng với h Đề c c trực chuẩn cho ờng tròn và
ờng th ng
Chứng minh rằng từ m t iểm M bất ỳ trên ta uôn ẻ c hai tiếp tuyến ph n bi t tới
(C).
a. iả sử hai tiếp tuyến từ M tới C c c c tiếp iểm v Chứng minh rằng hi M
ch y trên ờng th ng uôn i qua m t iểm cố ịnh
339) Cho ờng tròn v ờng th ng (
tham số
a Chứng minh rằng luôn cắt t i hai iểm ph n bi t .
b. Tìm ể d i o n uôn t gi trị ớn nhất nh nhất
Chứng minh rằng uôn tiếp xúc với hai ờng th ng cố ịnh
341) Trong mặt ph ng tọa cho c ph ơng tr nh Viết
ph ơng tr nh c c tiếp tuyến ẻ từ iểm ến .
342) Cho hai ờng tròn
c t m n t và
1 Chứng minh tiếp xúc ngo i với v t m tọa tiếp iểm .
2 ọi m t tiếp tuyến chung hông i qua của và T m tọa giao iểm
của v ờng th ng .
3.Viết ph ơng tr nh ờng trong i qua v tiếp xúc với hai ờng tròn và t i
.
www.VNMATH.com

343) Trong mặt ph ng với h t o vuông g c Oxy xét họ ờng tròn c ph ơng tr nh
( tham số
344) X c ịnh tọa của t m ờng tròn thu c họ ã cho m tiếp xúc với trục Oy
345) Cho họ ờng tròn c ph ơng trình:
Tim ể tiếp xúc với
Tìm ể tiếp xúc với ờng tròn
347) Cho ờng tròn c ph ơng tr nh: Viết ph ơng tr nh tiếp
tuyến của ờng tròn i qua .
348) T m c c gi trị của a ể h sau c úng hai nghi m
349) Trong mặt ph ng Oxy cho ờng tròn C : v ờng th ng
c ph ơng tr nh :
350) T m tọa iểm T trên sao cho qua T ẻ c hai ờng th ng tiếp xúc với C t i
hai iểm v
351) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho ờng tròn : và
iểm ọi và c c tiếp iểm của c c tiếp tuyến ẻ từ ến Viết
ph ơng tr nh ờng th ng .
ờng th ng d: T m tọa iểm M nằm trên d sao cho ờng tròn t m M c
b n ính gấp ôi b n ính ờng tròn C tiếp xúc ngo i với ờng tròn C
353) Trong mặt ph ng với h tọa 0xy cho hai iểm 2; 0 v 6; 4 Viết ph ơng trình
ờng tròn C tiếp xúc với trục ho nh t i iểm v hoảng c ch từ t m của C ến iểm
bằng 5
354) Cho hai ờng tròn :
1. X c ịnh c c giao iểm của và .
2. Viết ph ơng tr nh ờng tròn i qua 2 giao iểm v iểm 0; 1
355) Trong mặt ph ng với h tọa Đềc c vuông g c Oxy cho ờng tròn C :
www.VNMATH.com

v ờng th ng d : .
Viết ph ơng tr nh ờng tròn C' ối xứng với ờng tròn C qua ờng th ng d T m tọa
c c giao iểm của C v C'
356) Cho ờng tròn C : Lập ph ơng tr nh ờng tròn C' ối
xứng với ờng tròn C qua ờng th ng d : .
357) T m d i d y cung x c ịnh bởi ờng th ng 4x + 3y - 8 0 v ờng tròn t m 2;
1 tiếp xúc với ờng th ng 5x - 12y + 15 = 0.
358) Trong mặt ph ng Oxy cho hai ờng th ng . Viết ph ơng tr nh
ờng tròn qua v tiếp xúc với ờng th ng t i giao iểm của với
trục tung
359) Trong mặt ph ng với h tọa Đềc c vuông g c Oxy Viết ph ơng tr nh ờng th ng
i qua v tiếp xúc với ờng tròn
360) Trong mặt ph ng với h tọa Đềc c vuông g c Oxy cho c c iểm
X c ịnh tọa iểm t m ờng tròn n i tiếp tam gi c
.
361) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho parabol (P) : v iểm .
Viết ph ơng tr nh ờng tròn có tâm v tiếp xúc với tiếp tuyến của
t i .
362) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho hai iểm 2;0 v 6;4 Viết ph ơng tr nh
ờng tròn C tiếp xúc với trục ho nh t i iểm v hoảng c ch từ t m của C ến iểm
bằng 5
363) Trong mặt ph ng với h tọa Đêcac vuông g c Oxy cho ờng tròn
v ờng th ng
Viết ph ơng tr nh ờng tròn C' ối xứng với ờng tròn C qua ờng th ng d T m tọa
c c giao iểm của C v C'
364) Cho ờng tròn v iểm Viết ph ơng tr nh ờng
th ng i qua M cắt ờng tròn t i 2 iểm sao cho M trung iểm của o n
365) Trong mặt ph ng Oxy cho họ ờng tròn:
Chứng minh rằng học uôn tiếp xúc với hai ờng th ng cố ịnh
366) Trong mặt ph ng Oxy cho họ ờng tròn:
.T m m ể cắt ờng tròn t i hai iểm ph n bi t và Chứng
minh rằng hi ờng th ng c ph ơng hông ổi
367) Trong mặt ph ng tọa Oxy cho hai ờng th ng :
www.VNMATH.com

1 T m tọa c c ỉnh của tam gi c c ba c nh n t nằm trên c c ờng th ng
v trục tung
2 X c ịnh tâm và bán ính ờng tròn n i tiếp của tam gi c n i trên
368) Lập ph ơng tr nh ờng th ng qua gốc tọa v cắt ờng tròn :
th nh m t d y cung c d i bằng 8.
369) Cho vòng tròn (C) : v iểm 3; 5 ãy t m ph ơng tr nh
c c tiếp tuyến ẻ từ ến vòng tròn iả sử c c tiếp tuyến tiếp xúc với vòng tròn t i M, N.
ãy tính d i MN
370) Cho họ vòng tròn :
1 Chứng minh rằng hi m thay ổi họ vòng tròn uôn uôn i qua hai iểm cố ịnh
2 Chứng minh rằng với mọi m họ vòng tròn uôn uôn cắt trục tung t i hai iểm ph n bi t
371) Trong mặt ph ng cho ờng tròn :
T m m ể tồn t i duy nhất m t iểm P m từ ẻ c 2 tiếp tuyến P P tới C
c c tiếp iểm sao cho tam gi c P ều
372) Trong mặt ph ng Oxy cho ờng tròn C : v ờng th ng D)
c ph ơng tr nh : Viết ph ơng tr nh ờng th ng vuông g c với v tiếp
xúc với ờng tròn
373) Trong mặt ph ng Oxy cho ờng tròn C : v ờng th ng
c ph ơng tr nh : Viết ph ơng tr nh ờng th ng song song với v cắt
ờng tròn t i hai iểm M N sao cho d i MN bằng 2
374) Trong mặt ph ng với h tọa Oxy cho ờng tròn C : .
ãy viết ph ơng tr nh c c tiếp tuyến của C biết c c tiếp tuyến vuông g c với ờng
th ng x + y 0
375) Cho ba iểm 0 ; 1 ; 2 ; 0 ; C 3 ; 2 Tập h p c c iểm M x ; y sao cho :
376) Cho 1; 1 v 2 ; 3 tập h p c c iểm M sao cho :
377) Cho hai ờng tròn C : v C’ : , M là
iểm di sao cho d i tiếp tuyến ẻ từ M tới C gấp hai n d i tiếp tuyến ẻ từ M tới
C’ T m quỹ tích M Với gi trị n o của m th d i tiếp tuyến ph t xuất từ 5 ; 4 ến
ờng tròn C : bằng 1?
www.VNMATH.com

378) Trong mặt ph ng với h trục tọa Oxy cho 2;1 v 2 ờng th ng
và Viết PT ờng tròn tiếp xúc t i v c t m thu c .
379) M t ờng tròn qua iểm 3;5 v cắt Oy t i iểm 0;4 v iểm 0;-2 Viết
ph ơng tr nh ờng tròn cho biết t m v b n ính
380) Cho hai ờng th ng (d) và ( c ph ơng tr nh n t : 2x-y+2=0 và 2x+y-4=0 .
Viết ph ơng tr nh ờng tròn C c b n ính R nằm trong g c nhọn của hai ờng
th ng d v v tiếp xúc với chúng
381) Trong hông gian Oxy cho 2 ờng tròn :
Lập ph ơng tr nh tiếp tuyến chung của 2 ờng tròn
382) Trong mặt ph ng to Oxy cho iểm M 6;2 v ờng tròn C :
383) Lập ph ơng tr nh ờng th ng d qua M v cắt C t i 2 iểm ; sao cho
384) Trong mặt ph ng Oxy ập ph ơng tr nh uờng tròn qua 1;2 ; 3;1 v c t m
thu c ờng th ng : 7x+3y+1 0
385) Trong mặt ph ng to Oxy cho họ ờng cong :
a Chứng minh rằng họ ờng tròn v tồn t i 1 ờng th ng trục ng
ph ơng của tất cả c c ờng tròn
b Chứng minh rằng c c ờng tròn của họ uôn tiếp xúc với nhau t i 1 iểm cố
ịnh T m iểm
386) Cho 2 ờng tròn 0 v 0' tiếp xúc ngo i t i ựng g c C vuông trong
thu c O v C thu c O' T m quĩ tích trung iểm của BC.
387) Trong mặt ph ng Oxy ập ph ơng tr nh ờng tròn C tiếp xúc với ờng th ng : x-y-
2 0 t i iểm M 3;1 v t m thu c ờng th ng : 2x-y-2=0 .
388) Trong mặt ph ng Oxy cho 2 ờng tròn :
a Chứng minh rằng ; và cắt nhau t i 2 iểm ph n bi t v
b Viết ph ơng tr nh ờng tròn qua v tiếp xúc với ờng th ng ; x-2y+4=0
389) Cho ờng tròn O;R 2 ờng ính MN Tiếp tuyến t i cắt M t i cắt N
t i K P Q n t trung iểm của v K Chứng minh t m ờng tròn ngo i tiếp
tam gi c PQ di chuyển trên m t ờng th ng cố ịnh với cố ịnh
390) Cho ờng tròn C c ph ơng tr nh: v iểm 4;7
a Lập ph ơng tr nh ờng tròn C' tiếp xúc với C biết C' i qua iểm
www.VNMATH.com

b Trong tr ờng h p C' tiếp xúc ngo i C hãy t m trên C iểm M trên C' iểm N sao
cho tam gi c MN c di n tích ớn nhất Với t m của ờng tròn C
391) Cho ờng tròn C : x2
+ y2
+ 4x - 4y - 1 0; iểm 0;1 v ờng th ng : x - y =
0.
1 Viết ph ơng tr nh tổng qu t của c c tiếp tuyến d1);(d2 của ờng tròn C di qua
2 Tính cosin c c g c nhọn t o bởi n t với d1),(d2).
392) Cho ờng tròn C : Viết c c ph ơng tr nh tiếp tuyến t i
c c iểm c to những số nguyên thu c ờng tròn
393) Cho hai iểm và
1 T m quỹ tích c c iểm sao cho
2 T m quỹ tích c c iểm sao cho trong m t số cho tr ớc
394) Cho 2 họ ờng tròn n t c ph ơng tr nh:
T m trục ng ph ơng của Chứng minh
rằng hi m thay ổi c c trục ng ph ơng uôn i qua 1 iểm cố ịnh
www.VNMATH.com

E LÍP :
 PHÖÔNG
TRÌNH :
 Ñænh treân truïc
lôùn :
 Ñænh treân truïc
nhoû:
 Ñoä daøi 2 truïc
 Tieâu ñieåm :
 Tieâu cöï :
 Taâm sai :
 Baùn kính tieâu
 PT ñöôøng
chuaån :
 PT tieáp tuyeán
taïi ñieåm
M0(x0 ; y0) :
 Ñk tieáp xuùc
cuûa (E) vôùi
2 2
1
2 2
x y
a b
(b2
= a2
– c2
; a,b,c > 0 )
A1( -a ; 0) ; A2 (a ; 0)
B1(0 ; -b ) ; B2( 0 ; b)
2a ; 2b
F1(-c ; 0) ; F2 (c ; 0)
2c
e =
c
a
<1
MF1 = a + ex ; MF2 = a – ex
2
a a
x
e c
0 0 1
2 2
xx yy
a b
(coâng thöùc phaân ñoâi toaï ñoä)
2 2
1
2 2
x y
b a
(b2
=
a2
–
c2
;
a,b,c
> 0 )
A1(0 ; -a) ; A2(0 ; a)
B1(- b ; 0) ; B2(b ; 0)
2a ; 2b
F1(0 ; - c) ; F2(0 ; c)
2c
e =
c
a
< 1
MF1 = a +ey; MF2 = a – ey
2
a a
y
e c
www.VNMATH.com

PP GIAÛI MOÄT SOÁ DAÏNG TOAÙN VEÀ E – LÍP
Vaán ñeà 1 :
 Xaùc ñònh caùc yeáu toá cuûa E – líp
 Laäp PT chính taéc cuûa E – líp
 Tìm ñieåm treân E – líp
( Döïa vaøo giaû thieát baøi toaùn aùp duïng caùc tính chaát cuûa E – líp coù lieân quan , ñeå giaûi
baøi toaùn )
Vaán ñeà 2 :  Vieát PT tieáp tuyeán cuûa E – Líp (E) :
2 2
1
2 2
x y
a b
Daïng 1: Tieáp tuyeán taïi ñieåm M0(x0 ; y0)(E)(Duøng coâng thöùc phaân ñoâi toaï ñoä)
Daïng 2: Tieáp tuyeán (D) coù phöông cho tröôùc ( Tieáp tuyeán coù heä soá goùc k cho
tröôùc ; Tieáp tuyeán song song hoaëc vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng cho tröôùc )
CAÙCH 1 :  Vieát daïng p/t tieáp tuyeán (D) ( Nhö ôû baøi ñöôøng troøn – daïng 2)
 Duøng ñk tieáp xuùc ñeå tìm heä soá coøn laïi cuûa tieáp tuyeán . Roài vieát p/t tieáp tuyeán
CAÙCH 2 : ( Tìm toaï ñoä tieáp ñieåm , roài vieát p/t tieáp tuyeán )
 Goïi I (x0 ; y0) laø tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (D) vôùi (E )=>p/t (D) coù daïng :
0 0
1
2 2
xx yy
a b
 Duøng ñk coù cuøng heä soá goùc hoaëc tích hai heä soá goùc baèng – 1 , ñeå laäp phöông trình
baäc nhaát hai aån x0 , y0 . (Ví duï : (D) song song vôùi ñöôøng thaúng Ax + By + C
= 0
0 0
2 2 0
x y
a b
A B
)
():Ax+By+C=0 A2
a2
+ B2
b2
= C2
0 0 1
2 2
xx yy
b a
(coâng thöùc phaân ñoâi toaïñoä)
A2
b2
+ B2
a2
= C2
www.VNMATH.com

 Töø p/t treân keát hôïp vôùi p/t Baäc hai 2 aån x0 , y0 :
2 2
0 0
1
2 2
x y
a b
(vì M0 (E) )
laäp heä . Giaûi tìm x0 , y0
 Laäp p/t tieáp tuyeán vôùi x0 , y0 vöøa tìm ñöôïc
Daïng 3: Vieát p/t tieáp tuyeán qua ñieåm M (x1 ; y1) ( M  (E ) )
CAÙCH 1 :
 Xeùt ñöôøng thaúng (D) qua ñieåm M vaø coù heä soá goùc k : y = k(x – x1) + y1
 Duøng ñk tieáp xuùc ñeå giaûi tìm k
* Neáu tìm ñöôïc hai giaù trò k , ta vieát ñöôïc hai phöông trình tieáp tuyeán cuûa ( E )
qua M
* Neáu tìm ñöôïc moät giaù trò k , Ta xeùt ñöôøng thaúng qua M coù p/t : x – x1 = 0 . Kieåm
tra qua ñk tieáp xuùc xem ñöôøng thaúng coù phaûi laø tieáp tuyeán cuûa (E ) khoâng
CAÙCH 2 :  Goïi M(x0 ; y0) laø tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (E ) , khi ñoù p/t tieáp tuyeán coù
daïng :
0 0
1
2 2
xx yy
a b
 Ta coù heä :
2 2
0 0 1 02 2
. .1 0 1 0
1
2 2
x y
M E
a b
x x y y
M D
a b
. Giaûi heä tìm x0 , y0 ; roài vieát
p/t tieáp tuyeán
Vaán ñeà 3 : Taäp hôïp ñieåm M (x ; y) laø E – líp
Aùp duïng : Taäp hôïp ñieåm M laø E – Líp (E ) neáu thoaû 1 trong 2 tính chaát sau :
1. Toång khoaûng caùch töø M ñeán hai ñieåm coá ñònh F1 ; F2 laø 1 haèng soá baèng 2a ( a
> 0 ) . Nghóa laø :
(E ) = { M / F1M + F2M = 2a } . trong ñoù F1 , F2 laø hai tieâu ñieåm cuûa (E ) , vaø F1F2 =
2c ( a > c )
www.VNMATH.com

2. Tyû soá giöõa khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñieåm coá ñònh F , vôùi khoaûng caùch töø
M ñeán 1 ñöôøng thaúng coá ñònh () laø 1 haèng soá döông nhoû hôn 1 ( Kyù hieäu laø e < 1,
vaø goïi laø taâm sai ) . Nghóa laø :
(E ) : {M /
[ , ]
MF
e
d M
} . Vôùi F goïi laø tieâu ñieåm , () goïi laø ñöôøng chuaån .
BÀI TẬP
395) Cho elip   2 2
:9 4 36E x y  .
1) Tìm to các ỉnh, tiêu iểm, tính tâm sai của (E).
2) Cho  1;1M , lập PT ờng th ng qua M và cắt (E) t i hai iểm A, B : MA MB .
396) Lập PT chính tắc cuae elip (E) , biết:
1) (E) i qua các iểm    3 3;2 , 3;2 3M N .
2) Hai tiêu iểm    1 22;0 , 2;0F F  và
a) trục lớn có dài bằng 4.
b) (E) i qua gốc to .
397) Cho elip   2 2
:16 25 100E x y  .
2) Tìm to của iểm  M E , biết 2Mx  . Tính khoảng cách từ M ến hai tiêu iểm
cuae (E).
Tìm tất cả các giá trị của b ể ờng th ng y x b  có iểm chung với (E).
Cho elip   2 2
: 4 9 36E x y  .
2) Cho  1;1M , lập PT ờng th ng qua M và cắt (E) t i hai iểm A, B : MA MB .
398) Trong h to Oxy cho hai iểm      1 24;0 , 4;0 0;3vµF F A .
1) Viết PT chính tắc của elip (E) i qua A và nhận 1 2;F F làm các tiêu iểm.
2) Tìm tọa iểm  M E sao cho 2 12MF MF .
www.VNMATH.com

399) Viết PT chính tắc cuae elip (E), biết:
1) Trục lớn thu c Ox, dài trục lớn bằng 8; trục nh thu c Oy có dài bằng 6.
2) Trục lớn thu c Oy có dài bằng 10, tiêu cự bằng 6.
3) Hai tiêu iểm thu c Ox; trục lớn có dài bằng 26, tâm sai
12
13
e  .
4) (E) i qua các iểm    4;0 , 0;3M N .
5) Hai tiêu iểm:    1 21;0 , 5;0F F ; tâm sai
3
5
e  .
6) (E) có tâm  1;1I , tiêu iểm  1 1;3F , trục nh có dài bằng 6.
400) Tìm tâm sai của elip (E) ,biết:
1) Các ỉnh trên trục nh nhìn o n th ng nối hai tiêu iểm d ới m t góc vuông.
2) Đ dài trục lớn bằng hai l n dài trục nh .
3) Khoảng cách giữa hai ỉnh, m t ỉnh trên trục lớn và ỉnh kia thu c trục nh bằng tiêu
cự của (E).
401) Chứng t rằng PT: 2 2
0 . 0, . 0víiAx By F A B A F    
1) Là PT của m t elip có tâm  0;0O nếu A B . Tìm to các tiêu iểm của elip.
2) Là PT của m t ờng tròn tâm  0;0O nếu A B .
402) Chứng t rằng PT: 2 2
0 0víiax by cx dy e ab     
1) Là PT của m t elip nếu
2 2
0
4 4
c d
a e
a c
 
   
 
. Tìm to các tiêu iểm của elip.
2) Là m t iểm nếu
2 2
0
4 4
c d
e
a c
   .
403) Cho elip   2 2
: 4 9 36E x y  .
1) Viết (E) d ới d ng chính tắc, từ xác ịnh to các ỉnh, các tiêu iểm và tính tâm
sai của (E).
2) Tìm tất cả các giá trị của m ể ờng th ng  : 2 0d x y m   tiếp xúc với (E).
3) Tìm tất cả các giá trị của m ể ờng th ng (d) cắt (E) t i hai iểm A,B: 1AB  .
. TIẾP TUYẾN CỦA ELIP.
404) Viết PT tiếp tuyến của elip  
2 2
: 1
16 9
x y
E   , biết:
1) Tiếp tuyến i qua iểm  4;0A .
2) Tiếp tuyến i qua iểm  2;4B .
3) Tiếp tuyến song song với ờng th ng  : 2 6 0x y    .
4) Tiếp tuyến vuông góc với ờng th ng  : 0x y   .
www.VNMATH.com

405) Viết PT tiếp tuyến của elip  
2 2
: 1
9 4
x y
E   biết tiếp tuyến t o với ờng th ng
 : 2 0x y   m t góc 0
45  .
406) Viết PT tiếp tuyến chung của hai elip sau:
   
2 2 2 2
1 2: 1, : 1
9 4 4 9
x y x y
E E    .
407) Viết PT các ờng th ng chứa các c nh của hình vuông ngo i tiếp elip
2 2
1
3 6
x y
  .
408) Cho elip  
2 2
: 1
9 4
x y
E   . Viết PT tiếp tuyến với (E) i qua iểm  3;2A . Tìm to
của tiếp iểm ?
1) Viết PT của elip  E có tiêu cự bằng 8, tâm sai 4
5
e  và các tiêu iểm nằm trên Ox,
ối xứng nhau qua trục Oy.
2) Viết PT các tiếp tuyến của (E) i qua iểm  150;
4
A .
3) Tính di n tích hình ph ng chắn bởi (E) và hai tiếp tuyến nói trên.
409) Cho elip  
2 2
: 1
9 5
x y
E   . M t hình chữ nhật c gọi là ngo i tiếp e ip nếu mỗi
c nh của hình chữ nhật ều tiếp xúc với (E). Trong tất cả các hình chữ nhật ngo i tiếp (E),
hãy xác ịnh:
1) Hình chữ nhật có di n tích nh nhất.
2) Hình chữ nhật có di n tích nh nhất.
410) Viết PT các c nh của hình vuông ngo i tiếp elip  
2 2
: 1
24 12
x y
E   .
QUỸ TÍCH ĐỐI VỚI ELIP.
411) (ĐH Huế_96) Cho elip  
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
  . Gọi 1 2A A là trục lớn của (E). Kẻ các tiếp
tuyến 1 1 2 2,At A t của (E). M t tiếp tuyến qua iểm  M E , cắt 1 1 2 2At A tvµ theo thứ tự t i
1 2T Tvµ .
1) CMR: Tích số 1 1 2 2.AT A T không phụ thu c vào vị trí iểm M .
412) Cho họ elip    
2
2
: 2 0 1
x
E y x m
m
    .
1) Đ a (E) về d ng chính tắc, xác ịnh to của tâm, các tiêu iểm 1 2,F F và các ỉnh
1 2,A A thu c trục lớn của (E).
2) Tìm quỹ tích các ỉnh 1 2,A A khi m thay ổi.
3) Tìm quỹ tích các tiêu iểm 1 2,F F khi m thay ổi.
www.VNMATH.com

413) CMR: Điều ki n c n và ủ ể ờng th ng  : 0d Ax By C    2 2
0A B  tiếp
xúc với elip  
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
  là : 2 2 2 2 2
C A a B b  .
414) CMR: Điều ki n c n và ủ ể ờng th ng  :d y kx m  tiếp xúc với elip
 
2 2
2 2
: 1
x y
E
a b
  là : 2 2 2 2
m k a b  .
BÀI TẬP HYPEBOL
415) Lập pt chính tắc của ypebo biết:
1 Nửa trục thực bằng 4 tiêu cự bằng 10
2 Tiêu cự bằng 132 m t ti m cận : xy
3
2

3, tâm sai 5e , (H) qua )6;10(M
4 d i trục ảo bằng 12 t m sai
4
5
e
5 1 ỉnh -10; 0 v m t ti m cận : xy
5
2

6 i qua 2 iểm )52;25(A và )40;45(B
7 qua M 24;5 v m t ti m cận: xy
12
5

8 g c giữa 2 ti m cận bằng 600
, (H) qua M(6;3)
9 i qua )3;24(M c tiêu iểm trùng với tiêu iểm của : 2x2
+7y2
=70
10, (H) qua )
5
9
;
5
344
(M v M nh n 2 tiêu iểm d ới 1 g c vuông
416) T m t m sai của : 12
2
2
2

b
y
a
x
biết:
1 hoảng c ch giữa tiêu iểm v ỉnh trên trục ảo bằng d i trục thực
2 Đỉnh trên trục ảo nh n F1, F2 d ới 1 g c 1200
3 ypebo c hai ti m cận vuông g c gọi ypebo vuông
4 d i trục thực gấp 2 n d i trục ảo
417) Cho Hypebol (H): 12
2
2
2

b
y
a
x
M m t iểm tuỳ ý trên d1); (d2 n t c c
ờng th ng qua M v song song với 2 ti m cận của CMR di n tích h nh b nh h nh
t o bởi d1), (d2 v ti m cận hông ổi
www.VNMATH.com

418) Lập ph ơng tr nh chính tắc của ypebo biết tổng d i 2 b n trục: a+b 7 v
ph ơng tr nh hai ti m cận : .
4
3
xy 
419) Cho họ ờng cong Cm): 1
252
2
2
2



m
y
m
x
( 5;0  mm )
1 Tuỳ theo gi trị của m hãy x c ịnh hi n o Cm) là elip, khi nào là Hypebol?
2 iả sử 1 iểm tuỳ ý trên ờng th ng x 1 v hông thu c trục ho nh CMR qua
c 4 ờng cong của họ Cm i qua Trong 4 ờng ấy c bao nhiêu elip, bao nhiêu
Hypebol?
420) Trong mp to Oxy cho -2; 0); B(2; 0) và M(x; y).
1 X c ịnh to M biết M nằm phía trên trục ho nh v số o g c 0
90AMB ; số o g c
MAB = 300
.
2 Khi x y thay ổi sao cho số o g c M gấp ôi số o g c M i M ch y trên
ờng cong n o?
421) Cho Elip (E): x2
+ 3y2
= 9
ọi hypebo c c c tiêu iểm trùng với 2 ỉnh trên trục ớn của ; 2 ti m cận chứa 2
ờng chéo của h nh chữ nhật cơ sở của Viết pt của
422) Cho Hypebol (H): 5x2
– y2
– 4 = 0.
T m c c ỉnh tiêu iểm t m sai c ph ơng tr nh c c ti m cận
Cho (H): 9x2
– 16y2
– 144 = 0
1 T m c c tiêu iểm c c ỉnh t m sai v ph ơng tr nh c c ti m cận của
2 Viết pt chính tắc của ip c c c tiêu iểm trùng với c c tiêu iểm của v ngo i
tiếp h nh chữ nhật cơ sở của
423) Cho (H): 1
94
22

yx
1 X c ịnh to c c ỉnh c c tiêu iểm t m sai v c c ti m cận của Vẽ
2 T m n ể ờng th ng y nx – 1 c iểm chung với
424) Cho hypebol (H): )0(12
2
2
2
 ba
b
y
a
x
Cho m t số thực d ơng Xét c c ờng
th ng d1): y = kx; (d2): x
k
y
1

a. Hãy tìm k sao cho (d1) và (d2 ều cắt
b ọi v C n t giao iểm của d1 với nằm trong g c ph n t thứ nhất
ọi v n t giao iểm của d2 với nằm trong g c ph n t thứ hai ãy t m
sao cho h nh thoi C c di n tích nh nhất
164
22

yx
.
www.VNMATH.com

1 T m ph ơng tr nh ờng chéo của h nh chữ nhật t m O c 4 ỉnh thu c sao cho h
số g c c c ờng chéo số nguyên
2 ọi m t ờng th ng bất ỳ cắt hai ti m cận t i P Q; cắt t i R S Chứng
minh rằng: PR QS
3 Lấy iểm K thu c Từ K ẻ hai ờng th ng n t song song với hai ti m cận
Chứng minh di n tích h nh b nh h nh giới h n bởi hai ờng th ng v hai ti m cận c
di n tích hông ổi
4 iả sử hai ờng th ng qua t m O v vuông g c với nhau cắt t i 4 iểm t o th nh
m t h nh thoi Viết ph ơng tr nh hai ờng th ng hi h nh thoi c di n tích nh nhất
5. Cho A(-2 0 T m hai iểm C thu c nh nh phải của sao cho tam gi c C tam
gi c ều
426) Trong mặt ph ng Oxy cho Hyperbol (H) : 1
94
22

yx
ọi d ờng th ng qua O c h số g c ; d' ờng th ng qua O v vuông g c với d
a T m iều i n của ể d v d' ều cắt
b Tính theo di n tích của h nh thoi với 4 ỉnh 4 giao iểm của d;d' v ).
427) Trong mặt ph ng tọa Oxy cho yperbo c ph ơng tr nh : 9x2
- 16y2
= 144
a T m tọa ỉnh tiêu iểm t m sai ti m cận của
b Lập ph ơng ờng tròn C ờng ính F1F2 Với F1 F2 hai tiêu iểm của
428) Trong mặt ph ng Oxy cho hypebo c ph ơng tr nh :
12
2
2
2

b
y
a
x
Tiêu iểm F1 T m iểm M trên sao cho d i MF1 ngắn nhất d i nhất
429) Trong mặt ph ng Oxy cho ip : 1
49
22

yx
Và Hyperbol (H) : 1
41
22

yx
www.VNMATH.com

Lập ph ơng tr nh ờng tròn i qua giao iểm của ip v yperbo
430) Trong mặt ph ng to Oxy cho yperbo c ph ơng tr nh :
20x2
- 25y2
= 100
a Tính hoảng c ch từ iểm c ho nh 10x ến 2 tiêu iểm
b T m b ể ph ơng tr nh ờng th ng : y x+b c iểm chung với yperbol trên.
431) Trong mặt ph ng Oxy cho yperbo c ph ơng tr nh :
(H): 12
2
2
2

b
y
a
x
a Tính hoảng c ch từ iểm M thu c ến ti m cận của n
b Từ iểm M ẻ c c ờng th ng song song với 2 ti m cận v cắt chúng t i P;Q Tính
di n tích tứ giác OPMQ
916
22

yx
Lập pt chính tắc e ip biết c 2 tiêu iểm 2
tiêu iểm của v i qua c c ỉnh của h nh chữ nhật cơ sở của
2
2
2

b
y
a
x
CMR: Tích hoảng c ch từ 1 iểm M0 bất ỳ trên ến 2 ờng ti m cận 1 số hông
ổi
36
22

yx
T m to iểm M thu c sao cho M nh n 2 tiêu
iểm F1, F2 của d ới 1 g c 900
.
435) Cho Elip (E): 4x2
+ 9y2
36 Lập pt ypebo c 2 tiêu iểm trùng với 2 tiêu iểm cua
v i qua )1;22( A
436) Cho (H): 1
124
22

yx
T m M trên sao cho hoảng c ch từ M ến tiêu iểm tr i gấp
ôi hoảng c ch từ M ến tiêu iểm phải của
437) Cho A(-a; 0 ; a;0 ọi C ờng tròn thay ổi qua ; MM’ ờng ính của
C uôn song song với Ox T m quỹ tích M v M’
438) Cho M( )tan;
cos
tb
t
a
, ( )
2
)12(

 kt T m quỹ tích iểm M
www.VNMATH.com

T m quỹ tích t m c c ờng tròn chắn trên Ox v Oy hai o n th ng c d i n t
2a và 2b
2
2
2

b
y
a
x
.
CMR: với mọi M trên ta c :
1, OM2
– MF1.MF2 = a2
– b2
.
2, (MF1 + MF2)2
= 4(OM2
+ b2
)
440) Cho (H): 1
54
22

yx
T m iểm M trên nh n 2 tiêu iểm d ới 1 g c 1200
.
441) Cho (H): 1
169
22

yx
M t ờng th ng d qua tiêu iểm F1 vuông g c với trục thực cắt
t i M N Tính MN
442) Cho (E): 16x2
+ 9y2
= 144
1 Viết pt chính tắc của c cùng h nh chữ nhật cơ sở với
2 T m M trên nh n 2 tiêu iểm d ới 1 g c 600
.
3, Tìm M trên (H) sao cho 2 b n ính qua tiêu vuông g c với nhau
443) Cho F 4; 0 v ờng th ng d : 4x – 9 = 0.
T m tập h p c c iểm M trên mp to sao cho tỷ số hoảng c ch từ M ến F v từ M ến d
bằng
3
4
444) Tính di n tích h nh chữ nhật c ỉnh nằm trên : 1
1620
22

yx
hai c nh i qua 2 tiêu
iểm v song song với Oy
445) Cho (H): 1
425
22

yx
v ờng th ng d : 2x + 15y – 10 = 0
1 CMR: d uôn cắt t i 2 iểm ph n bi t xA>0). Tính AB
2 T m C trên sao cho tam gi c C c n ở A.
446) Cho (H): x2
– 2y2
6 v M 3;1 Lập pt ờng th ng d qua M cắt t i 2 iểm v
B sao cho MA = MB.
447) Cho (H): x2
– 4y2
32 v ờng th ng d : x + 6y 0
1 CMR: d uôn cắt t i 2 iểm ph n bi t Tính
2 T m iểm C nằm trên sao cho tam gi c C c di n tích bằng 30
448) Cho A(4; 1) và (H): 1
42
22

yx
. Tìm M trên sao cho M ngắn nhất
www.VNMATH.com

www.VNMATH.com

[Vnmath.com] chuyen de hinh hoc lop 10

More Related Content

What's hot

Similar to [Vnmath.com] chuyen de hinh hoc lop 10

More from Tuân Ngô

Recently uploaded

[Vnmath.com] chuyen de hinh hoc lop 10