statisktik

1. UKURAN PEMUSATAN
Merupakan nilai tunggal yang mewakili semua
data atau kumpulan pengamatan dimana nilai
tersebut menunjukkan pusat data.
Yang termasuk ukuran pemusatan :
1. Rata-rata hitung
2. Median
3. Modus
4. Rata-rata ukur
5. Rata-rata harmonis

2. 1. RATA-RATA HITUNG
Rumus umumnya :
1. Untuk data yang tidak mengulang
2. Untuk data yang mengulang dengan frekuensi
tertentu
data
nilai
Banyaknya
data
nilai
semua
Jumlah
hitung
rata
-
Rata 
n
X
n
X
...
X
X
X n
2
1 





f
fX
f
...
f
f
X
f
...
X
f
X
f
X
n
2
1
n
n
2
2
1
1











3. RATA-RATA HITUNG (lanjutan)
1. Dalam Tabel Distribusi Frekuensi
Interval Kelas Nilai Tengah
(X)
Frekuensi fX
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
45
112
164
432
804
1840
558
Σf = 60 ΣfX = 3955
65,92
60
3955
f
fX
X 





4. RATA-RATA HITUNG (lanjutan)
2. Dengan Memakai Kode (U)
Interval Kelas Nilai Tengah
(X)
U Frekuensi fU
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
-3
-2
-1
0
1
2
3
3
4
4
8
12
23
6
-9
-8
-4
0
12
46
18
Σf = 60 ΣfU = 55
65,92
60
55
13
54
f
fU
c
X
X 0 



















5. RATA-RATA HITUNG (lanjutan)
3. Dengan pembobotan
Masing-masing data diberi bobot.
Misal A memperoleh nilai 65 untuk tugas, 76 untuk
mid dan 70 untuk ujian akhir.
Bila nilai tugas diberi bobot 2, Mid 3 dan Ujian
Akhir 4, maka rata-rata hitungnya adalah :
70,89
4
3
2
(4)70
(3)76
(2)65
X 






6. a. Median (Md)
ialah suatu ukuran gejala pusat yang menunjukan letak dan
membagi sekumpulan bilangan menjadi 2 sehingga separo
bilangan > median dan separo bilangan < median
1) Ungrouped data
Posisi Me = N + ½, dengan data harus dalam bentuk array
/ urutan
Contoh :
2 4 100 7 3 2 7 ---- array 2 2 3 4 7 7 100
Posisi Me = 8/2 = 4, nilai Me = 4
MEDIAN

7. 2. MEDIAN
Untuk data berkelompok
median
kelas
frekuensi
f
median
mengandung
yang
kelas
sebelum
kelas
semua
frekuensi
jumlah
F
median
kelas
bawah
batas
L
f
F
-
2
n
c
L
Med
0
0


















8. MEDIAN (lanjutan)
Contoh :
Letak median ada pada
data ke 30, yaitu pada
interval 61-73, sehingga :
L0 = 60,5
F = 19
f = 12
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60 72,42
12
19
-
2
60
13
60,5
Med 















9. 3. MODUS
Untuk data berkelompok
modus
kelas
sesudah
kelas
satu
tepat
frekuensi
dengan
modus
kelas
frekuensi
antara
selisih
b
modus
kelas
sebelum
kelas
satu
tepat
frekuensi
dengan
modus
kelas
frekuensi
antara
selisih
b
modus
kelas
bawah
batas
L
b
b
b
c
L
Mod
2
1
0
2
1
1
0















10. MODUS (lanjutan)
Contoh :
Data yang paling sering
muncul adalah pada interval
74-86, sehingga :
L0 = 73,5
b1 = 23-12 = 11
b2 = 23-6 =17
Interval
Kelas
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60 78,61
17
11
11
13
73,5
Mod 










11. HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-RATA
HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
Ada 3 kemungkinan kesimetrian kurva
distribusi data :
1) Jika nilai ketiganya hampir sama maka
kurva mendekati simetri.
2) Jika Mod<Med<rata-rata hitung, maka
kurva miring ke kanan.
3) Jika rata-rata hitung<Med<Mod, maka
kurva miring ke kiri.

12. KELEBIHAN & KEKURANGAN
MEAN, MEDIAN, MODUS
UKURAN
PEMUSATAN
KELEBIHAN KEKURANGAN
RATA-RATA HITUNG 1. Mempertimbangkan semua nilai
2. Dpt menggambarkan mean populasi
3. Variasinyastabil
4. Cocok untuk data homogen
1. Peka atau mudah terpengaruh
oleh nilai ektrem
2. Kurang baik untuk data
heterogen
MEDIAN 1. Tidak peka atau tidak terpengaruh
oleh nilai ekstrem
2. Cocok untuk data heterogen
1. Tidak mempertimbangkan
semua nilai
2. Kurang dapat menggambarkan
mean populasi
MODUS 1. Tidak peka oleh nilai ektrem
2. Cocok untuk data homogen
maupun hiterogen
1. Kurang menggambarkan
mean populasi
2. Modus bisa lebih dari satu

13. HUBUNGAN EMPIRIS ANTARA NILAI RATA-
RATA HITUNG, MEDIAN, DAN MODUS
(lanjutan)
Jika distribusi data tidak simetri, maka terdapat
hubungan :
Rata-rata hitung-Modus = 3 (Rata-rata hitung-Median)
 
Med
X
3
Mod
-
X 


14. 4. RATA-RATA UKUR
Digunakan apabila nilai data satu dengan yang
lain berkelipatan.
Untuk data tidak berkelompok
Untuk data berkelompok
n
n
2
1 ....X
.X
X
G 





 

n
X
log
antilog
G









f
X
log
f
antilog
G

15. RATA-RATA UKUR (lanjutan)
Contoh :
Interval
Kelas
Nilai Tengah
(X)
Frekuensi log X f log X
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
1,18
1,45
1,61
1,73
1,83
1,90
1,97
3,54
5,8
6,44
13,84
21,96
43,7
11,82
Σf = 60 Σf log X = 107,1
60,95
60
1
,
107
antilog
G 








16. 5. RATA-RATA HARMONIS
Biasanya digunakan apabila data dalam bentuk
pecahan atau desimal.
Untuk data tidak berkelompok
Untuk data berkelompok








X
1
n
RH









X
f
f
RH

17. RATA-RATA HARMONIS
(lanjutan)
Contoh :
Interval
Kelas
Nilai Tengah
(X)
Frekuensi f / X
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
0,2
0,143
0,098
0,148
0,179
0,288
0,065
Σf = 60 Σf / X = 1,121
53,52
121
,
1
60
RH 


18. KUARTIL, DESIL, PERSENTIL
1. Kuartil
Kelompok data yang sudah diurutkan
(membesar atau mengecil) dibagi empat bagian
yang sama besar.
Ada 3 jenis yaitu kuartil pertama (Q1) atau kuartil
bawah, kuartil kedua (Q2) atau kuartil tengah,
dan kuartil ketiga (Q3) atau kuartil atas.

19. KUARTIL (lanjutan)
Untuk data tidak berkelompok
Untuk data berkelompok
L0 = batas bawah kelas kuartil
F = jumlah frekuensi semua
kelas sebelum kelas kuartil Qi
f = frekuensi kelas kuartil Qi
  1,2,3
i
,
4
1
n
i
-
ke
nilai
Qi 


1,2,3
i
,
f
F
-
4
in
c
L
Q 0
i 















20. KUARTIL (lanjutan)
Contoh :
Q1 membagi data menjadi 25 %
Q2 membagi data menjadi 50 %
Q3 membagi data menjadi 75 %
Sehingga :
Q1 terletak pada 48-60
Q2 terletak pada 61-73
Q3 terletak pada 74-86
Interval
Kelas
Nilai
Tengah
(X)
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60

21. KUARTIL (lanjutan)
Untuk Q1, maka :
Untuk Q2, maka :
Untuk Q3, maka :
54
8
11
-
4
1.60
13
47,5
Q1 














72,42
12
19
-
4
2.60
13
60,5
Q2 














81,41
23
31
-
4
3.60
13
73,5
Q3 















22. Q1= nilai ke = nilai ke 11/4 = nilai ke 2,75
= Nilai ke-2 + 0,75 (nilai ke-3- nilai ke-2)
= 45 + 0,75 (50-45)
= 45 +0,75 (5)
= 45+3,75
= 48,75
Q2 = nilai ke- (2(10+1))/4 = 21/4 = 5 1/4
= nilai ke-5+ 1/4(nilai ke-6-nilai ke-5)
= 75+1/4(78-75)
= 75+0,75
= 75,75
Q3 = nilai ke- (3(10+1))/4 = 31/4 =7 3/4
= nilai ke 7 + 0,75 (nilai 8 –nilai 7)
= 80 + 0,75 (80-80)
= 80 + 0
= 80
50, 40, 45, 60, 75, 80, 80,78, 90, 100
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengurutkan data:
40, 45, 50, 60, 75, 78, 80, 80, 90, 100

23. KUARTIL, DESIL, PERSENTIL
(lanjutan)
2. Desil
Kelompok data yang sudah diurutkan
(membesar atau mengecil) dibagi sepuluh
bagian yang sama besar.

24. DESIL (lanjutan)
Untuk data tidak berkelompok
Untuk data berkelompok
L0 = batas bawah kelas desil Di
F = jumlah frekuensi semua
kelas sebelum kelas desil Di
f = frekuensi kelas desil Di
  9
1,2,3,...,
i
,
10
1
n
i
-
ke
nilai
Di 


9
1,2,3,...,
i
,
f
F
-
10
in
c
L
D 0
i 















25. DESIL (lanjutan)
Contoh :
D3 membagi data 30%
D7 membagi data 70%
Sehingga :
D3 berada pada 48-60
D7 berada pada 74-86
Interval
Kelas
Nilai
Tengah
(X)
Frekuensi
9-21
22-34
35-47
48-60
61-73
74-86
87-99
15
28
41
54
67
80
93
3
4
4
8
12
23
6
Σf = 60

26. DESIL (lanjutan)
58,875
8
11
-
10
3.60
13
47,5
D3 














79,72
23
31
-
10
7.60
13
73,5
D7 















27. KUARTIL, DESIL, PERSENTIL
(lanjutan)
3. Persentil
Untuk data tidak berkelompok
Untuk data berkelompok
  99
1,2,3,...,
i
,
100
1
n
i
-
ke
nilai
Pi 


99
1,2,3,...,
i
,
f
F
-
100
in
c
L
P 0
i 















28. SOAL LATIHAN
 Data sebagai berikut :
 5 7 14 9 11 3 27 15 16 18 9 9 20 15 17
18 12
 Tentukan nilai :
 Mean, median, modus.
 Kuartil K1,K2 dan K3