2. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 2 -- http://ebook.here.vn
1
1
2
1
)12(66
2
1
22
=⇔
=
≥
⇔
−=+−
≥
x
x
x
xxx
x
B i 1.3 Gi¶i ph−¬ng tr×nh
321 =++− xx
Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
2
)4()2)(1(_
41
4)2)(1(
1
2
=⇔
−=−−
≤≤
⇔
−=+−
≥
⇔ x
xxx
x
xxx
x
B i 1.4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
231 −=−−− xxx
Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
3
326
3
326
3
326
43
0883
43
6524
3
231
3
22
+
=⇔
−
=∨
+
=
≤≤
⇔
=+−
≤≤
⇔
+−=−
≥
⇔
−+−=−
≥
x
xx
x
xx
x
xxx
x
xxx
x
--
B i 1.5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
xxxx −+=−+ 1
3
2
1 2
(§HQG H Néi 2000)
Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
−=−
≤≤
⇔
−+=−+−+
≤≤
22222
3
2
3
2
3
2
10
21
3
4
3
2
3
2
1
10
xxxx
x
xxxxxx
x
=
=
⇔
=∨=
≤≤
⇔
=−−−
≤≤
⇔
1
0
10
10
0)1(
10
22
x
x
xx
x
xxxx
x
B i 1.6: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
( ) 3428316643 −=−−+ xx
Gi¶i:Ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi hÖ:
( ) 2
2
2
2
4
3
3428316643
4
3
=⇔
=
≥
⇔
−=−−+
≥
x
x
x
xx
x
3. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 3 -- http://ebook.here.vn
B i 1.7: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
27593137 −≤−−− xxx (§H DL Ph−¬ng §«ng -2001)
§iÒu kiÖn:
5
27
≥x
BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho t−¬ng ®−¬ng víi:
−+−≤−
≥
93275137
5
27
xxx
x
( )( ) ( )( )
23
59
65762229
044345859
23
5
27
23275932
5
27
275932368137
5
27
2
≤≤
+
⇔
≥+−
≤≤
⇔
−≥−−
≥
⇔
−−+−≤−
≥
⇔
x
xx
x
xxx
x
xxxx
x
B i tËp l m thªm:
B i 1: (PP B§ T§)
2 2
2 2
2
2
1. 3 2 2 1; 2. 3 9 1 2
3. 4 6 4; 4. 2 4 2
5. 3 9 1 | 2 |; 6. 2 3 0;
7. 1 1;
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
x x
− + = − − + = −
− + = + + + = −
− + = − − + =
+ + =
B i 2: (PP B§ T§)
1. 3 6 3;
2. 3 2 1 3;
3. 3 2 1;
4. 9 5 2 4;
5. 3 4 2 1 3;
6. 5 1 3 2 1 0;
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x
+ + − =
− + − =
+ − − =
+ = − +
+ − + = +
− − − − − =
7. 3 4 4 2 ;x x x+ + + =
8. 5 5 10 5 15 10;x x x− + − = −
9. 4 1 1 2 ;x x x+ − − = −
4. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 4 -- http://ebook.here.vn
2
10. 3 2 1 2;
11. 1 5 1 3 2
x x x
x x x
− + − + + =
− − − = −
12. 1 9 2 12x x x+ − − = −
2 2
13. 5 8 4 5x x x x+ − + + − =
2 2
14. 3 5 8 3 5 1 1x x x x+ + − + + =
2 2
15. 9 7 2 5 1 3 2 1x x x x x+ − − = − − − − −
2 2 2
2
16. 3 6 16 2 2 2 4
3 1 1 4 2
17.
3 9 9
x x x x x x
x
x x x
+ + + + = + +
+
= + +
2
18. 1 2 5x x x− = − −
19. 11 11 4x x x x+ + + − + =
20. 1 1 8x x x+ − = − +
--------------------------------------------------------------------------
2.ph−¬ng ph¸p §Æt mét Èn phô
D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( ) ( ) 0=++ CxfBxAf
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt ( ) ( ) ( ) 2
0 txfttxf =⇔≥= ;
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh : ( )002
≥=++ tCBtAt
L m t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng: ( ) ( ) 0≥++ CxfBxAf
D¹ng 2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 =++++ CDxgxfBxgxfA
(Víi ( ) Dxgxf =+ )( )
Ph−¬ng ph¸p gi¶i :
§Æt ( ) ( ) ( ) ( )xgxfDtttxgxf 20)( 2
+=⇔≥=+
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh : ( )002
≥=++ tCAtBt
L m t−¬ng tù víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng:
( ) ( )( ) ( )( ) 0)(2 ≥++++ CDxgxfxgxfA
bµi tËp ¸p dông:
B i 2.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
)1(75553,1 22
+−=+− xxxx
5. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 5 -- http://ebook.here.vn
)2(3012.2,2 22
=++ xx (§H DL Hång l¹c-2001)
Gi¶i1: )1(75553,1 22
+−=+− xxxx
§Æt )0(552
≥=+− ttxx
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
±
=
=
=
⇔
=+−
=+−
⇔
=
=
⇔=+−
2
215
4
1
455
155
2
1
023 2
2
2
x
x
x
xx
xx
t
t
tt
Gi¶i2: )2(30122,2 22
=++ xx
§Æt )0(122
>+= txt
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
−=
=
⇔=−+
)(7
)(6
0422
Lt
tmt
tt
VËy 626122
±=⇔=+ xx
--------------------------------------------------------------------------
B i 2.2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh
)1(4
2
47
.1
2
x
x
xx
=
+
++
(§H §«ng ®«-2000).
)2(4324.2 22
xxxx −+=−+ (§H Má -2001)
Gi¶i2:
§Æt )0(4 2
≥−= yxy
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
=−+
=−+
⇔
+=+
=+
23
42)(
32
4 222
xyyx
xyyx
xyyx
yx
6. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 6 -- http://ebook.here.vn
Gi¶i hÖ ®èi xøng n y ta ®−îc nghiÖm:
+
−=
=
=
⇔
=∧=
=∧=
3
142
2
0
02
20
x
x
x
yx
yx
Gi¶i1:§iÒu kiÖn: 0≥x §Æt )0( ≥= ttx
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
04874 234
=+−+− tttt
Gi¶i ph−¬ng tr×nh bËc 4 :
XÐt t=0 kh«ng l nghiÖm
XÐt t ≠ 0 ,chia hai vÕ cho t2
v ®Æt )22(
2
≥+= u
t
tu
Ta ®−îc ph−¬ng tr×nh
=
=
⇔
=
=
⇔
=
=
⇔=+−
4
1
2
1
3
)(1
0342
x
x
t
t
u
Lu
uu
B i 2.3: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
123342.1 22
>−−++ xxxx (§HDL Ph−¬ng §«ng -2000)
2)2(4)4(.2 22
<−++−− xxxxx (§H QG HCM -1999)
Gi¶i1:
§iÒu kiÖn: 13 ≤≤− x
§Æt: )0(23 2
≥−−= txxt
BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
2
5
0
0
2
5
1
0
0532 2
<≤⇔
≤
<<−
⇔
≤
>++−
t
t
t
t
tt
Thay v o c¸ch ®Æt: 13
0
4
13
2
13
2
≤≤−⇔
≥++
≤≤−
x
xx
x
Gi¶i2:
2)2(4)4(.2 22
<−++−− xxxxx
§iÒu kiÖn: 40 ≤≤ x
§Æt: 042
≥+−= xxt
7. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 7 -- http://ebook.here.vn
Thay v o BPT § cho v gi¶i ra ta ®−îc 1>t
Thay v o c¸ch ®Æt ta ®−îc: 3232 +<<− x
B i 2.4: Gi¶i c¸c bÊt ph−¬ng tr×nh sau
7
2
1
2
2
3
3.1 −+<+
x
x
x
x (§H Th¸i Nguyªn -2000)
3)7)(2(72.2 ≤−++−++ xxxx
Gi¶i1: BiÕn ®æi bÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
( )
09
2
1
3
2
1
2
9
2
1
12)
2
1
(3
2
2
2
>−
+−
+⇔
−
++<+
x
x
x
x
x
x
x
x
§Æt: 2
2
1
≥⇒+= t
x
xt
BPT ® cho trë th nh:
+>
−<<
⇔>+⇔
>⇔
>−−
≥
7
2
3
4
7
2
3
40
3
2
1
3
0932
2
2
x
x
x
x
t
tt
t
Gi¶i 2:
§iÒu kiÖn: 72 ≤≤− x
§Æt )0(72 ≥−++= txxt
VËy
2
9
)7)(2(
2
−
=−+
t
xx
BÊt ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
=
−=
⇔
≤−++
≤≤−
⇔
≤≤⇔≤−+
7
2
9)7)(2(29
72
3001522
x
x
xx
x
ttt
B i tËp.B i tËp.B i tËp.B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau:
8. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 8 -- http://ebook.here.vn
B i 1:
2 2
2 2
2 2
2
1. 3 5 5 5 7;
2. 2 12 30;
3. 13 7;
4. ( 5)(2 ) 3 3 ;
x x x x
x x
x x x x
x x x x
− + = − +
+ =
− − − + =
+ − = +
2
6. ( 4)( 1) 3 5 2 6;x x x x+ + − + + =
2 2
11. 2( 2 ) 2 3 9;x x x x− + − − =
2 2
12. ( 3) 3 22 3 7;x x x x− + − = − +
( )( ) 2
15. 1 2 1 2 2 ;x x x x+ − = + −
( )2 2
16. 2 2 2 3 9 0;x x x x− + − − − =
2 2
17. 3 15 2 5 1 2;x x x x+ + + + =
B i 2:
2 2
5. 3 3 3 6 3;x x x x− + + − + =
2 2
7. 5 2 2 5 9 1;x x x x+ + + + − =
9. 1 4 ( 1)(4 ) 5;x x x x+ + − + + − =
2 2
10. 4 2 3 4 ;x x x x+ − = + −
2 2
13. 2 5 2 2 5 6 1;x x x x+ + − + − =
2 2
14. 3 2 2 6 2 2;x x x x+ + − + + = −
2 2 2
18. 4 1 2 2 9;x x x x x x+ + + + + = + +
2 2 2
8. 4 8 4 4 2 8 12;x x x x x x+ + + + + = + +
2 2
19. 1 2 1 2;x x x x− − + + − =
2 2
20. 17 17 9;x x x x+ − + − =
22
21.1 1 ;
3
x x x x+ − = + −
24 4
22. 16 6;
2
x x
x x
+ + −
= + − −
2
23. 3 2 1 4 9 2 3 5 2;x x x x x− + = = − + − +
9. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 9 -- http://ebook.here.vn
2
24. 2 3 1 3 2 2 5 3 16;x x x x x+ + + = + + + −
25. 2 2 5 2 3 2 5 7 2;x x x x− + − + + + − =
( ) ( )
3 3
5 5
26. 7 3 8 7 3 7;x x
−
− − − =
2
27. 2 3 2 ;
2 3
x
x x
x
+ + =
+
4 2 2
28. 1 1 2;x x x x− − + + − =
2 2
29. 5 14 9 20 5 1;x x x x x+ + − − − = +
( )3 2
30.10 8 3 6 ;x x x+ = − −
3 2
31. 1 3 1;x x x− = + −
2
32. 1 ( 1) 0;x x x x x x− − − − + − =
§Æt Èn phô ®Ó trë th nh ph−¬ng tr×nh cã 2 Èn:
* L viÖc sö dông 1 Èn phô chuyÓn ®Ó chuyÓn PT ban ®Çu th nh 1 PT víi 1 Èn phô
nh−ng c¸c hÖ sè vÉn cßn chøa x
* PP n y th−êng ®−îc SD ®èi víi nh÷ng PT khi lùa chän 1 Èn phô cho1 BT th× c¸c BT
cßn l¹i kh«ng BD ®−îc triÖt ®Ó qua Èn phô ®ã hoÆc nÕu BD ®−îc th× c«ng thøc BD
qu¸ phøc tap.
* Khi ®ã th−êng ta ®−îc 1 PT bËc 2 theo Èn phô (hoÆc vÉn theo Èn x) cã biÖt sè ∆ l
1 sè chÝnh ph−¬ng.
B i tËp.B i tËp.B i tËp.B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau:
B i 1:
2 2
1. 1 2 2 ;x x x x− = −
2 2
2. 1 2 2;x x x− = +
2 2
3. (4 1) 1 2 2 1;x x x x− + = + +
2 2
4. 4 4 (2 ) 2 4;x x x x x+ − = + − +
2 2
5. 3 1 (3 ) 1;x x x x+ + = + +
2 2
6. (4 1) 4 1 8 2 1;x x x x− + = + +
2
7. 4 1 1 3 2 1 1 ;x x x x+ − = + − + −
10. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 10 -- http://ebook.here.vn
2 2
2 2
2
8. 2(1 ) 2 1 2 1;
9. 1 2 4 1 2 1;
10. 12 1 36;
1 1 1
11. 2 1 3 0;
x x x x x
x x x x
x x x
x
x x
x x x
− + − = − −
+ − = − − +
+ + + =
−
+ − − − − =
3.Ph−¬ng ph¸p §Æt hai Èn phô
D¹ng 1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( ) ( )( ) ( ) 0)( =+++ CxgxfBxgxfA nnn
(Víi ( ) Dxgxf =+ )( )
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt:
( )
( )
Dvu
vxg
uxf nn
n
n
=+⇒
=
=
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
( )
=+
=+++
Dvu
CBuvvuA
nn
0
D¹ng 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
( ) ( )( ) ( ) 0)( =++− CxgxfBxgxfA nnn
(Víi ( ) ( ) Dxgxf =− )
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §Æt:
( )
( )
Dvu
vxg
uxf nn
n
n
=−⇒
=
=
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
( )
=−
=++−
Dvu
CBuvvuA
nn
0
bµi tËp ¸p dông:
B i 3.1: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
)x6)(2x(x62x −+=−++ (§H Ngo¹i Ng÷-2001)
Gi¶i :
§Æt )0v,u(
vx6
u2x
≥
=−
=+
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
2vu
08uv2)uv(
vuuv
vuuv
8vu
2
22
==⇔
=−−
+=
⇔
+=
=+
VËy:
11. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 11 -- http://ebook.here.vn
2x2x62x =⇔=−=+
B i 3.2:Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
13x22x 33
=+−+ (An Ninh-01)
Gi¶i :
§Æt:
=+
=+
v3x
u22x
3
3
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
−=
=
⇔
−==
==
⇔
=
=−
30x
5x
2u;3v
3u;2v
6uv
1vu
B i 3.3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
541xx56 44
=++−
§Æt:
)0uv(
v41x
ux56
4
4
≥
=+
=−
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh:
=
−=
⇔
==
==
⇔
=+
=+
40x
25x
2v;3u
3v;2u
97vu
5vu
44
B i tËp l m thªm: Gi¶i c¸c pt:
20 20
1. 6;
x x
x x
+ −
− =
42. 6 2 2(1 (6 )( 2);x x x x− + − = − − −
3
3
3
2 2
33
3. 2 1 1;
4. 9 2 1;
5. 9 1 7 1 4;
6. 3 10 5;
7. 9 ( 3) 6;
x x
x x
x x
x x
x x
− = − −
− = − −
− + + + + =
+ + − =
− = − +
3
3
4 4
2 2
8. 24 12 6;
9. 7 1;
10. 5 1 2;
11. 3 3 3 6 3;
12. 1 8 ( 1)(8 ) 3;
x x
x x
x x
x x x x
x x x x
+ + − =
+ − =
− = − =
− + + − + =
+ + − + + − =
19. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 19 -- http://ebook.here.vn
VËy ®Ó ph−¬ng tr×nh ® cho cã nghiÖm th×:
( ) 44512 ≤≤− m
8.Ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ hai vÕ
Ph−¬ng ph¸p:
Sö dông bÊt ®¼ng thøc ®Ó chøng minh VPVTVPVT ≤∨≥ v t×m ®iÒu kiÖn ®Ó dÊu
b»ng x¶y ra
bµi tËp ¸p dông:
B i 8.1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
2152.1 2
=−++− xxx
11414.2 2
=−+− xx (§HQG H Néi-2001)
Gi¶i1: )1(2152.1 2
=−++− xxx
§iÒu kiÖn: 1
01
0522
≥⇔
≥−
≥+−
x
x
xx
Ta cã: ( ) xxxx ∀≥+−=+− 44152
22
VPxxxVT =≥−++−=⇒ 21522
DÊu b»ng x¶y ra khi x=1.
VËy pt ® cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1
Gi¶i 2: 11414.2 2
=−+− xx
§iÒu kiÖn:
2
1
2
1
4
1
≥⇔
≥
≥
x
x
x
VËy VPxxVT =≥−+−= 11414 2
DÊu b»ng x¶y ra khi
2
1
014
114
2
=⇔
=−
=−
x
x
x
VËy pt ® cho cã nghiÖm: 2
1=x
B i 8.2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
xxxxxxx 32 +++=++
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: 0≥x
NhËn thÊy x=0 l mét nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh
20. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 20 -- http://ebook.here.vn
Víi x>0
xxxxxxx
xxxx
xxx
32
32
+++<++⇒
+<+
+<
DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>0
KÕt luËn:nghiÖm x=0
B i 8.3: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
0321 333
=+++++ xxx
Gi¶i:
NhËn thÊy x=-2 l mét nghiÖm
Víi x>-2 th× x+1>-1
0
13
02
11
3
3
3
>⇒
>+
>+
−>+
⇒ VT
x
x
x
DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x>-2
T−¬ng tù víi x<-2
0
13
02
11
3
3
3
<⇒
<+
<+
−<+
⇒ VT
x
x
x
DÊu b»ng kh«ng x¶y ra nªn pt v« nghiÖm víi x<-2
KÕt luËn : nghiÖm x=0
B i tËp l m thªm : C¨n bËc ba.
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3
3 3
1. 1 2 2 3;
2. 5 6 2 11;
3. 1 3 1 1;
4. 1 1 2
5. 2 1 2 1 2;
x x x
x x x
x x x
x x
x x x x
− + − = −
+ + + = +
+ + + = −
+ + − =
+ − + − − =
B i tËp.B i tËp.B i tËp.B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau:
2
3 2 2
2
2
1. 2 5 1 2;
2. 2 7 11 25 12 6 1;
1 1
3. 2 2 4 ;
4. 2 1 3 4 1 1;
x x x
x x x x x
x x
x x
x x x x
− + + − =
− + − = + −
− + − = − +
− − + + − − =
21. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 21 -- http://ebook.here.vn
( )
2 2
3 2 2
5. 1 1 2;
6. 1 2 2 1 2 2 1;
7. 2 2 1 2 1 3;
8. 2 5 3 3 2 6 1;
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
− − + + − =
− + − − − − − =
+ − − − − = +
+ + − = + −
2
6
9. 2 1 19 2
10 24
x x
x x
− + − =
− + −
2 2 3 3 4 43 3 4 4
10. 1 1 1 1 1 1 6;x x x x x x+ + − + + + − + + + − =
4 4 4
11. 1 1 2 8;x x x x+ − + + − = +
4 24
2 4 4 34
2 44 4
12. 2 3 4;
13. 2 1;
14. 2 2 4;
5
15. 2 2 1 2 2 1 ;
2
x x x
x x x x
x x x x
x
x x x x
− = − +
− = − +
+ + − + − =
+
+ + + + + − + =
16. 3 4 1 15 8 1 6;
17. 6 9 6 9 6;
18. 5 4 1 2 2 1 1;
19. 2 2 2 1 2 2 3 4 2 1 3 2 8 6 2 1 4;
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x
+ + − + + − − =
+ − + − − =
+ − + + + − + =
− − − + − − + + − − =
9.Ph−¬ng ph¸p Tam thøc bËc hai
D¹ng : B i to¸n biÖn luËn sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh f(x)=m theo tham sè m.
Trong ®ã ta ®Æt ®−îc: ( ) ( )0≥= ttxu ;
B i to¸n khi ®ã trë th nh :BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh bËc
hai
02
=++ cbtat
B¶y b i to¸n so s¸nh nghiÖm cña tam thøc bËc hai víi mét sè, hai sè:
21
21
21
,3
,2
,1
xx
xx
xx
<<
<<
<<
α
α
α
βα
βα
βα
βα
βα
<<<
<<<
<<<
<<<
<<<
21
21
21
21
21
,7
,6
,5
,4
xx
xx
xx
xx
xx
Ba b i to¸n c¬ b¶n cña tam thøc bËc hai:
1, T×m ®iÒu kiÖn ®Ó f(x)>0 víi mäi x thuéc R
22. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 22 -- http://ebook.here.vn
2, T×m ®iÒu kiÖn ®Ó f(x)>0 víi mäi x thuéc kho¶ng (α;+∞);
3, T×m ®iÒu kiÖn ®Ó f(x)>0 víi mäi x thuéc kho¶ng (α;β);
bµi tËp ¸p dông:
--------------------------------------------------------------------------
B i 9.1:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
( )( ) 01562
=−−++− xxmxx (C§ SP HCM-2001).
--------------------------------------------------------------------------
Gi¶i: §iÒu kiÖn: 51 ≤≤ x
§Æt ( )( ) ( ) 2043415
22
≤≤⇒≤−−=⇒=−− txttxx
B i to¸n ® cho trë th nh:
T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh t2
-t+5-m=0
cã nghiÖm [ ]2;0∈t ,nghÜa l
<≤<
≤≤≤
≤≤≤
20
20
20
21
21
21
tt
tt
tt
HÖ ®iÒu kiÖn trªn t−¬ng ®−¬ng víi:
( ) ( )
( )
( )
<<
>
>
≥∆
≤
2
2
0
02
00
0
02.0
s
f
f
ff
( )( )
7
4
19
2
2
1
0
7
5
4
19
075
≤≤⇔
<<
<
<
≥
≤−−
⇔ m
m
m
m
mm
--------------------------------------------------------------------------
B i 9.2:T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm
mxxxx ++−=−+ 99 2
(C§ Y HCM-1997).
--------------------------------------------------------------------------
Gi¶i: §iÒu kiÖn: 90 ≤≤ x
§Æt : ( ) ( )
4
81
2
9
4
1
09
2
2
≤
−−=⇒≥=− xtttxx
2
9
0 ≤≤⇒ t
B i to¸n ® cho trë th nh:
T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh t2
-2t+m-9=0
23. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 23 -- http://ebook.here.vn
cã nghiÖm
∈
2
9
;0t ,nghÜa l
<≤<
≤≤≤
≤≤≤
2
9
0
2
9
0
2
9
0
21
21
21
tt
tt
tt
HÖ ®iÒu kiÖn trªn t−¬ng ®−¬ng
víi:
( )
( )
( )
10
4
9
109
9
4
9
0
4
9
09
010
0
4
9
9
2
2
0
0
2
9
00
0
0
2
9
.0
'
≤≤−⇔
<<
≤≤−
⇔
>+
>−
≥+−
<
+−
⇔
<<
>
>
≥∆ ′
≤
m
m
m
m
m
m
mm
s
f
f
ff
10.HÖ ph−¬ng tr×nh
HÖ ®èi xøng lo¹i 1:
L hÖ ph−¬ng tr×nh m khi thay ®æi vai trß cña x v y th× mçi ph−¬ng tr×nh cña hÖ
kh«ng thay ®æi.
C¸ch gi¶i: + §Æt ( )PS
Pxy
Syx
42
≥
=
=+
+ Gi¶i hÖ víi hai Èn S,P
+ Thö ®k v lÊy x,y l hai nghiÖm pt X2
-SX+P=0
bµi tËp ¸p dông:
B i 10.1:
Gi¶i hÖ:
=+
+=+
78
1
7
xyyxyx
xyx
y
y
x
(§H H ng H¶i 1999).
Gi¶i:HÖ ® cho t−¬ng ®−¬ng víi: ( )
=+
=−+
>
78
7
0,
xyyx
xyyx
yx
24. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 24 -- http://ebook.here.vn
§Æt
>
>
=
+=
0
0
;
v
u
xyv
yxu
HÖ ® cho trë th nh
=
=
⇔
=
=−
6
13
78
7
v
u
uv
vu
Gi¶i ra ta ®−îc 2 nghiÖm ( ) ( )4;9;9;4
HÖ ®èi xøng lo¹i 2:
- L hÖ ph−¬ng tr×nh m khi thay ®æi vai trß cña x v y th× hai ph−¬ng tr×nh cña hÖ
®æi chç cho nhau.
C¸ch gi¶i: -Trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ®Ó ®−îc mét ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
tÝch.
- HÖ ® cho sÏ t−¬ng ®−¬ng víi tuyÓn hai hÖ ph−¬ng tr×nh.
- Gi¶i hai hÖ n y ®Ó t×m nghiÖm x v y.
bµi tËp ¸p dông:
B i 10.2: Cho hÖ:
=−++
=−++
mxy
myx
21
21
1,Gi¶i hÖ khi m=9;
2,T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm (§H SP HCM 2001).
Gi¶i:
§iÒu kiÖn: 0;2;1 ≥≥≥ myx
B×nh ph−¬ng hai vÕ ta ®−îc hÖ:
( )( )
( )( )
=−++−+
=−++−+
mxyyx
myxyx
211
211
Trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh trªn ta ®−îc hÖ:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
−+=−+
=
⇔
=−++−+
−+=−+
xmxx
yx
mxyyx
xyyx
21212211
2121
1, Víi m=9 ta cã hÖ:
( )( )
( )( ) ( )
3
521
5
521 2
==⇔
−=−+
=
≤
⇔
−=−+
=
yx
xxx
yx
x
xxx
yx
2,T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm :
HÖ ( )( )
++
=
+
≤=≤
≥
⇔
−+=−+
=
m
mm
x
m
yx
m
xmxx
yx
4
82
2
1
2
0
21212
2
25. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 25 -- http://ebook.here.vn
§iÒu kiÖn mmmmm
m
x 22928
2
1
2 22
+≤++≤⇔
+
≤≤
( ) 3
3
03
09
096 2
2
2
≥⇔
≥
≥−
⇔
≥−
≥+−
⇔ m
m
m
m
mm
KÕt luËn: 3≥m .
11.Ph−¬ng ph¸p ®Æc biÖt
1.Ph−¬ng tr×nh chøa c¨n bËc hai vµ luü thõa bËc hai
B i to¸n tæng qu¸t:
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( )Iedxvuxrbax +++=+
2
Víi a ≠ 0, u ≠ 0 , r ≠ 0 ;
Ph−¬ng ph¸p gi¶i:
§iÒu kiÖn dÓ ph−¬ng tr×nh cã nghÜa: 0≥+ bax
§Æt Èn phô : ( )1)( 2
baxvuybaxvuy +=+⇔+=+
Víi ®iÒu kiÖn 0≥+ vuy
Lóc ®ã (I) trë th nh : evdxuyvuyr −+−=+ 2
)(
Gi¶ sö c¸c ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ m n: u=ar +d v v=br+e
Lóc ®ã ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh hÖ
( )
( ) ( )
+−+=+
+=+
brxuaruyvuxr
brarxvuyr
2
2
Gi¶i hÖ trªn b»ng c¸ch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh , ®−îc mét tuyÓn hai hÖ
ph−¬ng tr×nh trong ®ã cã mét nghiÖm x=y
bµi tËp ¸p dông:
--------------------------------------------------------------------------
B i 11.1:
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( )1203232152 2
−+=+ xxx
(T¹p chÝ To¸n Häc Tuæi TrÎ – Sè 303)
--------------------------------------------------------------------------
Lêi gi¶i: §iÒu kiÖn 0152 ≥+x
BiÕn ®æi ph−¬ng tr×nh (1) th nh: ( ) 28242152
2
−+=+ xx
§Æt Èn phô : ( )024152)24(15224 2
≥++=+⇔+=+ yxyxy .
Ph−¬ng tr×nh (1) trë th nh : 152)24( 2
+=+ yx
VËy ta cã hÖ:
+=+
+=+
152)24(
152)24(
2
2
xy
yx
HÖ n y l hÖ ®èi xøng lo¹i hai
Gi¶i hÖ trªn b»ng c¸ch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ,
Ta ®−îc 2 nghiÖm l
16
2219
2
1
21
−−
=∧= xx
2.Ph−¬ng tr×nh chøa c¨n bËc ba vµ luü thõa bËc ba
26. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 26 -- http://ebook.here.vn
B i to¸n tæng qu¸t:
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( )IIedxvuxrbax +++=+
33
Víi a ≠ 0, u ≠ 0 ,
r ≠ 0 ;
Ph−¬ng ph¸p gi¶i:
§Æt Èn phô : ( )1)( 33
baxvuybaxvuy +=+⇔+=+
Lóc ®ã (II) trë th nh : evdxuyvuxr −+−=+ 3
)(
Gi¶ sö c¸c ®iÒu kiÖn sau ®−îc tho¶ m n: u=ar +d v v=br+e
Lóc ®ã ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh hÖ
( )
( ) ( )
+−+=+
+=+
brxuaruyvuxr
brarxvuyr
3
3
Gi¶i hÖ trªn b»ng c¸ch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh , ®−îc mét tuyÓn hai
hÖ ph−¬ng tr×nh trong ®ã cã mét nghiÖm x=y.
bµi tËp ¸p dông:
B i 11.2:
Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( )2255336853 233
−+−=− xxxx
(T¹p chÝ To¸n Häc Tuæi TrÎ – Sè 303)
--------------------------------------------------------------------------
Lêi gi¶i: ( ) ( ) ( )2232532
33
+−−=−⇔ xxxPT
§Æt Èn phô : ( ) 53325332
33
−=−⇔−=− xyxy
Lóc ®ã (2) trë th nh ( ) 5232
3
−+=− xyx
Lóc ®ã ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh hÖ
( )
( )
−=−
−+=−
5332
5232
3
3
xy
xyx
Gi¶i hÖ trªn b»ng c¸ch trõ vÕ víi vÕ cña hai ph−¬ng tr×nh ,
Ta ®−îc 3 nghiÖm:
4
35
;
4
35
;2 321
−
=
+
== xxx
B i tËp.B i tËp.B i tËp.B i tËp. Gi¶i c¸c PT sau:
3 3
1. 1 2 2 1;x x+ = −
( )3 33 3
2. 35 35 30;x x x x− + − =
3 3
2
2
2 2
3. 3 3 2 2;
4. 1 1;
5. 5 5;
6. 5 (5 ) ;
7. 3 3 ;
x x
x x
x x
x x
x x
− + =
+ + =
+ + =
= − −
+ + =
27. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 27 -- http://ebook.here.vn
2 2
8. ( ) ;x a b a bx= − −
3.Sö dông tÝnh chÊt vÐc t¬:
baba
ϖϖϖϖ
+≤+
DÊu b»ng x¶y ra khi hai vÐc t¬ a
ϖ
v b
ϖ
cïng h−íng , t−¬ng ®−¬ng víi:
( )0>= kbka
ϖϖ
;
D¹ng :Gi¶i ph−¬ng tr×nh
( ) ( ) ( ) ( )222222
BAxhBxgAxf ++=+++
Víi
( ) ( ) ( )
=+
=+
CBA
xhxgxf
DÆt :
( )( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )( )BAxhBAxgxfba
Bxgb
Axfa
+=++=+⇒
=
=
;;
;
; ϖϖ
ϖ
ϖ
;
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh baba
ϖϖϖϖ
+=+ DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi v chØ khi
hai vÐc t¬ a
ϖ
v b
ϖ
cïng h−íng , t−¬ng ®−¬ng víi: ( )0>= kbka
ϖϖ
;
bµi tËp ¸p dông:
--------------------------------------------------------------------------
B i 11.3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
2003267108168 22
=++++− xxxx
(TuyÓn tËp ®Ò thi Olimpic 30-4 -2003 )
--------------------------------------------------------------------------
Gi¶i:
§Æt
( )
( )
( )231;9
211;5
220;4
=+⇒
+=
−=
ba
xb
xa ϖϖ
ϖ
ϖ
VËy ta cã:
2003
;26710;8168 22
=+
++=+−=
ba
xxbxxa
ϖϖ
ϖϖ
Ph−¬ng tr×nh ® cho trë th nh baba
ϖϖϖϖ
+=+
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi v chØ khi hai vÐc t¬ a
ϖ
v b
ϖ
cïng h−íng , t−¬ng
®−¬ng víi: ( )0>= kbka
ϖϖ
; Gi¶i ra ®−îc
31
56−
=x
----------------------------------------------------
a
ρ b
ϖ
ba
ϖϖ
+
28. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 28 -- http://ebook.here.vn
3.Sö dông phÐp ®Æt l−îng gi¸c:
D¹ng 1: B i to¸n cã chøa 2
1 x− .
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §iÒu kiÖn 1≤x .Dùa v o ®iÒu kiÖn n y ta ®Æt x=sint
víi
ΠΠ
−∈
2
;
2
t ; hoÆc x=cost víi [ ]Π∈ ;0t ; v gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c.
D¹ng 2: B i to¸n cã chøa 12
−x .
Ph−¬ng ph¸p gi¶i : §iÒu kiÖn 1≥x .Dùa v o ®iÒu kiÖn n y ta ®Æt t
x
sin
1
=
víi
ΠΠ
−∈
2
;
2
t ; hoÆc t
x
cos
1
= víi [ ]Π∈ ;0t ; v gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng
gi¸c.
bµi tËp ¸p dông:
--------------------------------------------------------------------------
B i 11.4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: :
xxx 341 22
−=− ;
(TuyÓn tËp ®Ò thi Olimpic 30-4 -2003 )
--------------------------------------------------------------------------
Gi¶i: §iÒu kiÖn 1≤x .Dùa v o ®iÒu kiÖn n y ta ®Æt x=cost víi [ ]Π∈ ;0t ; v gi¶i
ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c:
( )
Π
+
Π
−=
Π
+
Π
=
⇔
−
Π
=⇔
>=⇔=−
24
28
2
cos3cos
0sinsin3cossincos3cos4 23
kt
kt
tt
tttttt
Do [ ]Π∈ ;0t nªn ta chän:
+−
=
+
=
−
=
⇔
Π
=
Π
=
Π
=
4
22
4
22
2
2
8
5
8
4
3
x
x
x
t
t
t
--------------------------------------------------------------------------
B i 11.5: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: :
12
35
1 2
>
−
+
x
x
x ;
(TuyÓn tËp ®Ò thi Olimpic 30-4 -2003 )
29. Lª ThÞ Ph−¬ng Hoa
Tr−êng THPT Tam D−¬ng II -- 29 -- http://ebook.here.vn
--------------------------------------------------------------------------
Gi¶i : §iÒu kiÖn 1>x .V× vÕ tr¸i lu«n d−¬ng nªn yªu cÇu x > 0 , do ®ã x>1
Dùa v o ®iÒu kiÖn n y ta ®Æt :
t
x
cos
1
= víi
Π
∈
2
;0t ; v gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c
( )
( )
( )
( )
<<
>
⇔
<<
<<
⇔
<<
<<
⇔
<−<⇔<<⇔<<⇔
=<−−⇔
>+⇔
>+⇔>+
4
5
1
3
5
1cos
5
4
5
3
cos0
1cos
25
16
25
9
cos0
625
144
cos1cos0
25
12
cossin0
25
12
0
cossin0144144.21225
cossin1225cossin21144
cossin35cossin12
12
35
sin
1
cos
1
2
2
22
2
22
x
x
t
t
t
t
tttty
ttyyy
tttt
tttt
tt
---------------------------------------------------------------------------