1. OÂN TAÄP VEÀ HAØM SOÁ BAÄC 3
(Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)
3 2 2
Giaû söû : y = ax + bx + cx + d vôùi a ≠ 0 coù ñoà thò laø (C). y’ = 3ax + 2bx + c, y” = 6ax
+ 2b
−b
1) y” = 0 ⇔ x = 3a (a ≠ 0 )
−b
x = 3a laø hoaønh ñoä ñieåm uoán. Ñoà thò haøm baäc 3 nhaän ñieåm uoán laøm
taâm ñoái xöùng.
2) Ñeå veõ ñoà thò 1 haøm soá baäc 3, ta caàn bieát caùc tröôøng hôïp sau :
i) a > 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá taêng treân R (luoân luoân taêng)
ii) a < 0 vaø y’ = 0 voâ nghieäm ⇒ haøm soá giaûm (nghòch bieán) treân R (luoân luoân
giaûm)
iii) a > 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
⇒ haøm soá ñaït cöïc ñaïi taïi x1 vaø ñaït cöïc tieåu taïi x2.
Ngoaøi ra ta coøn coù :
+ x1 + x2 = 2x0 vôùi x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán.
+ haøm soá taêng treân (−∞, x1)
+ haøm soá taêng treân (x2, +∞)
+ haøm soá giaûm treân (x1, x2)
iv) a < 0 vaø y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 vôùi x1 < x2
⇒ haøm ñaït cöïc tieåu taïi x 1 vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x 2 thoûa ñieàu kieän x1 + x2 = 2x0 (x0
laø hoaønh ñoä ñieåm uoán). Ta cuõng coù :
+ haøm soá giaûm treân (−∞, x1)
+ haøm soá giaûm treân (x2, +∞)
+ haøm soá taêng treân (x1, x2)
3) Giaû söû y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät vaø y = k(Ax + B)y’ + r x + q vôùi k laø
haèng soá khaùc 0;
thì phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm cöïc trò laø y = r x + q
4) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät
 y' = 0 coù nghieäm ph bieät 1, x 2
 2 aân x
⇔ 
 y(x1).y(x 2 ) < 0


2. 5) Giaû söû a > 0 ta coù :
i) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät > α
 y' = 0 coù nghieäm ph bieät α < x1 < x 2
2 aân thoûa


⇔  y (α ) < 0

 y(x1).y(x 2 ) < 0

ii) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät < α
 y' = 0 coù nghieäm ph bieät x1 < x 2 < α
2 aân thoûa


⇔  y (α ) > 0

 y(x1).y(x 2 ) < 0

Töông töï khi a < 0 .
6) Tieáp tuyeán : Goïi I laø ñieåm uoán. Cho M ∈ (C).
Neáu M ≡ I thì ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.
Neáu M khaùc I thì ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
Bieän luaän soá tieáp tuyeán qua 1 ñieåm N khoâng naèm treân (C) ta coù nhieàu
tröôøng hôïp hôn.
7) (C) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät caùch ñeàu nhau ⇔ y’ = 0 coù 2 nghieäm phaân
bieät vaø y(x0) = 0 (x0 laø hoaønh ñoä ñieåm uoán)
3 2
8) Bieän luaän soá nghieäm cuûa phöông trình : ax + bx + cx + d = 0 (1) (a ≠ 0) khi x = α
laø 1 nghieäm cuûa (1).
Neáu x = α laø 1 nghieäm cuûa (1), ta coù
3 2 2
ax + bx + cx + d = (x - α)(ax + b1x + c1)
2
nghieäm cuûa (1) laø x = α vôùi nghieäm cuûa phöông trình ax + b1x + c1 = 0 (2). Ta
coù caùc tröôøng hôïp sau:
i) neáu (2) voâ nghieäm thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = α
ii) neáu (2) coù nghieäm keùp x = α thì (1) coù duy nhaát nghieäm x = α
iii) neáu (2) coù 2 nghieäm phaân bieät ≠ α thì (1) coù 3 nghieäm phaân bieät
iv) neáu (2) coù 1 nghieäm x = α vaø 1 nghieäm khaùc α thì (1) coù 2 nghieäm.
v) neáu (2) coù nghieäm keùp ≠ α thì (1) coù 2 nghieäm
BAØI TAÄP OÂN VEÀ HAØM BAÄC 3
Cho hoï ñöôøng cong baäc ba (C m) vaø hoï ñöôøng thaúng (Dk) laàn löôït coù phöông trình
laø
3 2
y = −x + mx − m vaø y = kx + k + 1.

3. (I) PHAÀN I. Trong phaàn naøy cho m = 3. Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (C)
cuûa haøm soá.
1) Goïi A vaø B laø 2 ñieåm cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu cuûa (C) vaø M laø ñieåm baát kyø treân
cung AB vôùi M khaùc A , Bø . Chöùng minh raèng treân (C) ta tìm ñöôïc hai ñieåm taïi
ñoù coù tieáp tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M vôùi (C).
2) Goïi ∆ laø ñöôøng thaúng coù phöông trình y = 1. Bieän luaän soá tieáp tuyeán vôùi (C)
veõ töø E ∈ ∆ vôùi (C).
3) Tìm E ∈ ∆ ñeå qua E coù ba tieáp tuyeán vôùi (C) vaø coù hai tieáp tuyeán vuoâng goùc
vôùi nhau.
4) Ñònh p ñeå treân (C) coù 2 tieáp tuyeán coù heä soá goùc baèng p, trong tröôøng hôïp
naøy chöùng toû trung ñieåm cuûa hai tieáp ñieåm laø ñieåm coá ñònh.
5) Tìm M ∈ (C) ñeå qua M chæ coù moät tieáp tuyeán vôùi (C).
(II) PHAÀN I I.Trong phaàn naøy cho tham soá m thay ñoåi.
6) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa (C m). Ñònh m ñeå hai tieáp tuyeán taïi hai ñieåm coá ñònh naøy
vuoâng goùc nhau.
7) Ñònh m ñeå (Cm) coù 2 ñieåm cöïc trò. Vieát phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 ñieåm
cöïc trò.
8) Ñònh m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.
9) Ñònh m ñeå : a) haøm soá ñoàng bieán trong (1, 2). b) haøm soá nghòch bieán trong (0,
+∞).
10) Tìm m ñeå (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm coù hoaønh ñoä taïo thaønh caáp soá coäng.
11) Tìm ñieàu kieän giöõa k vaø m ñeå (D k) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät. Tìm k ñeå (D k)
caét (Cm) thaønh hai ñoaïn baèng nhau.
12) Vieát phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) vaø ñi qua ñieåm (-1, 1).
13) Chöùng minh raèng trong caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù
heä soá goùc lôùn nhaát.
BAØI GIAÛI
PHAÀN I : m = 3
Khaûo saùt vaø veõ ñoà thò (ñoäc giaû töï laøm)
1) Goïi n laø hoaønh ñoä cuûa M. Vì haøm soá ñaït cöïc tieåu taïi x = 0
2
vaø ñaït cöïc ñaïi taïi x = 2 neân 0 < n < 2; y' = – 3x + 6x ⇒ heä soá
2
goùc cuûa tieáp tuyeán taïi M laø k1 = – 3n + 6n ∈ (0, 3] (vì n ∈ (0,
2)). Ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M coù heä
1
−
soá goùc laø k2 = k1 (vôùi 0 < k1 ≤ 3). Hoaønh ñoä cuûa tieáp

4. 2
tuyeán vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán M laø nghieäm cuûa – 3x + 6x
1 1
− 2 −
= k1 (= k2) ⇔ 3x – 6x k1 = 0. Phöông trình naøy coù a.c < 0, ∀
k1 ∈ (0, 3] neân coù 2 nghieäm phaân bieät, ∀ k1 ∈ (0, 3]. Vaäy treân
(C) luoân coù 2 ñieåm phaân bieät maø tieáp tuyeán ñoù vuoâng
goùc vôùi tieáp tuyeán taïi M.
2) E (e, 1) ∈ ∆. Phöông trình tieáp tuyeán qua E coù daïng y = h(x – e) +
 − x3 + 3n2 − 3 = h(x − e) + 1
1 (D). (D) tieáp xuùc (C) ⇔ heä  − 3x 2 + 6x = h coù nghieäm.

⇒ Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :
3 2 2
– x + 3x – 3 = (– 3x + 6x)(x – e)+ 1 (1)
3 2
⇔ – x + 3x – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)
2
⇔ (x – 2)(x – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)
2 2
⇔ x = 2 hay x – x – 2 = 3x – 3ex
2
⇔ x = 2 hay 2x – (3e – 1)x + 2 = 0 (2)
2
(2) coù ∆ = (3e – 1) – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) coù nghieäm x = 2 ⇔ 8 – 2(3e – 1) + 2 = 0 ⇔ e = 2
5
Ta coù ∆ > 0 ⇔ e < – 1 hay e > 3 .
Bieän luaän :
5
i) Neáu e < – 1 hay 3 < e < 2 hay e > 2
⇒(1) coù 3 nghieäm phaân bieät ⇒ coù 3 tieáp tuyeán.
5
ii) Neáu e = – 1 hay e = 3 hay e = 2
⇒ (1) coù 2 nghieäm ⇒ coù 2 tieáp tuyeán.
5
iii) Neáu – 1 < e < 3 ⇒ (1) coù 1 nghieäm ⇒ coù 1 tieáp tuyeán.
Nhaän xeùt : Töø ñoà thò, ta coù y = 1 laø tieáp tuyeán taïi (2, 1) neân
phöông trình (1) chaéc chaén coù nghieäm x = 2, ∀ e.
3) Vì y = 1 laø tieáp tuyeán qua E (e, 1), ∀ e vaø ñöôøng x = α khoâng
laø tieáp tuyeán neân yeâu caàu baøi toaùn.
⇔ (2) coù 2 nghieäm phaân bieät x1, x2 thoûa : y'(x1).y'(x2) = – 1

5.  5
 e < −1∨ e > 3

⇔  x1, x 2 laønghieäm (2)
cuûa
 ( −3x 2 + 6x )( −3x 2 + 6x ) = −1
1 1 2 2


 5
 e < −1 hay e > 3

 x + x = 3e − 1
⇔  1 2
 x .x = 1 2
 1 2
 9x1.x 2 ( x1 − 2)( x 2 − 2) = −1

 5
 e < −1 haye >
⇔  3
 9[1 − (3e − 1) + 4] = −1

55  55 
⇔ e= . Vaäy E  ,1
27  27 
4) Tieáp ñieåm cuûa tieáp tuyeán (vôùi (C)) coù heä soá goùc baèng p
laø nghieäm cuûa :
2
y' = p ⇔ 3x – 6x + p = 0 (3)
Ta coù ∆' = 9 – 3p > 0 ⇔ p < 3
Vaäy khi p < 3 thì coù 2 tieáp tuyeán song song vaø coù heä soá
goùc baèng p.
Goïi x3, x4 laø nghieäm cuûa (3).
Goïi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) laø 2 tieáp ñieåm. Ta coù :
x3 + x 4 − b
= =1
2 2a
y 3 + y 4 − (x3 + x 3 ) + 3( x3 + x 2 ) − 6
3 4
2
4
= = −1
2 2
Vaäy ñieåm coá ñònh (1, –1) (ñieåm uoán) laø trung ñieåm cuûa
M3M4.
5) Caùch 1 : Ñoái vôùi haøm baäc 3 (a ≠ 0) ta deã daøng chöùng minh
ñöôïc raèng :
∀ M ∈ (C), ta coù :
i) Neáu M khaùc ñieåm uoán, ta coù ñuùng 2 tieáp tuyeán qua M.
ii) Neáu M laø ñieåm uoán, ta coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M.

6. Caùch 2 : Goïi M(x0, y0) ∈ (C). Phöông trình tieáp tuyeán qua M coù
daïng :
3 2
y = k(x – x0) − x 0 + 3x 0 − 3 (D)
Phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D) vaø (C) laø :
− x 3 + 3 x 2 − 3 = (−3 x 2 + 6 x)( x − x0 ) − x0 + 3 x0 − 3
3 2
(5)
3
⇔ x − x3
0 − 3(x − 2
x 2 ) + (x
0
2
− x 0 )( −3x + 6x) = 0
⇔ x − x 0 = 0 ∨ x 2 + xx 0 + x 2 − 3x − 3x 0 − 3x 2 + 6x = 0
0
⇔ x = x 0 hay 2x 2 − (3 + x 0 )x − x 2 + 3x 0 = 0
0
⇔ x = x 0 hay (x − x 0 )(2x + x 0 − 3) = 0
3 − x0
⇔ x = x 0 hay x =
2
Do ñoù, coù ñuùng 1 tieáp tuyeán qua M (x0, y0) ∈ (C)
3 − x0
⇔ x0 = ⇔ x0 = 1
2
Suy ra, y0 = 1. Vaäy M(1, –1) (ñieåm uoán).
Nhaän xeùt : vì x0 laø 1 hoaønh ñoä tieáp ñieåm neân pt (5) chaéc
chaén coù nghieäm keùp laø x0
2
Phaàn II : Tham soá m thay ñoåi. y' = – 3x + 2mx
6) (Cm) qua (x, y), ∀m
3 2
⇔ y + x = m (x – 1) , ∀m
2
 x − 1= 0  x= 1  = − 1x
⇔
 3 ⇔  hay
y =+ 0x  = − 1y  y= 1
Vaäy (Cm) qua 2 ñieåm coá ñònh laø H(1, –1) vaø K(–1, 1).
2
Vì y' = – 3x + 2mx neân tieáp tuyeán vôùi (C m) taïi H vaø K coù heä
soá goùc laàn löôït laø :
a1 = y'(1) = – 3 + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m.

7. 2 tieáp tuyeán taïi H vaø K vuoâng goùc nhau.
2 ± 10
⇔ a1.a2 = – 1 ⇔ 9 – 4m = – 1 ⇔ m = 2 .
7) Haøm coù cöïc trò ⇔ y' = 0 coù 2 nghieäm phaân bieät.
2
⇔ 3x = 2mx coù 2 nghieäm phaân bieät.
2m
⇔ x = 0 vaø x = 3 laø 2 nghieäm phaân bieät.
⇔ m ≠ 0. Khi ñoù, ta coù :
2  1 1 
y =  m2x − m  +  x − m y'
 9   3 9 
vaø phöông trình ñöôøng thaúng qua 2 cöïc trò laø :
2 2
y= m x −m (vôùi m ≠ 0)
9
8) Khi m ≠ 0, goïi x1, x2 laø nghieäm cuûa y' = 0, ta coù :
2m
x1.x2 = 0 vaø x1 + x2 = 3
2 2  2 2 
⇒ y(x1).y(x2) =  9 m x1 − m  9 m x 2 − m 
  
2 2 2 4 4 2
= − 9 m (x1 + x 2 ) + m = − 27 m + m
Vôùi m ≠ 0, ta coù y(x1).y(x2) < 0
4 2
⇔ − m +1 < 0
27
27 3 3
⇔ m2 > ⇔ m>
4 2
Vaäy (Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm phaân bieät.
y' = 0 coù nghieäm
2 phaân
bieät 1, x 2
x
⇔ 
y( x1).y( x 2 ) < 0
3 3
⇔ m >
2
Nhaän xeùt :
3 3
i) Khi m <−
2 thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm aâm vaø 1
nghieäm döông.
3 3
ii) Khi m> thì phöông trình y = 0 coù 2 nghieäm döông vaø 1
2
nghieäm aâm.
2
9) a) Haøm ñoàng bieán treân (1,2) ⇔ – 3x + 2mx ≥ 0, ∀x ∈ (1,2).
2m
Neáu m ≠ 0 ta coù hoaønh ñoä 2 ñieåm cöïc trò laø 0 vaø 3 .

8. 2m 
i) Neáu m < 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân  3 ,0
  . Vaäy loaïi
tröôøng hôïp m < 0
ii) Neáu m = 0 ⇒ haøm luoân nghòch bieán (loaïi).
 2m 
iii) Neáu m > 0 thì haøm chæ ñoàng bieán treân 0, 3 
 
 2m 
Do ñoù, ycbt ⇔ m > 0 vaø [1,2] ⊂ 0,
 3 
2m
⇔ ≥2 ⇔m ≥3
3
b) Töø caâu a, ta loaïi tröôøng hôïp m > 0.
 2m 
,
Khi m ≤ 0 ta coù haøm soá nghòch bieán treân −∞
 3 
 vaø haøm
soá cuõng nghòch bieán treân [0, +∞).
Vaäy ñeå haøm nghòch bieán treân [0, +∞) thì m ≤ 0.
Ghi chuù : neân laäp baûng bieán thieân ñeå thaáy roõ raøng hôn.
m
10) y" = – 6x + 2m , y" = 0 ⇔ x = 3
(Cm) caét Ox taïi 3 ñieåm caùch ñeàu nhau.
⇔ y = 0 coù 3 nghieäm phaân bieät vaø ñieåm uoán naèm treân
truïc hoaønh.
 3 3  3 3
m>
 m>

2 ⇔ 2
⇔  m  3 2
 y  = 0
   − m + m. m − m = 0
  3
  27
 9
 3 3
m>
 ±3 6
 2 ⇔m=
⇔ 2
 2m − 1 = 0 2
 27

11) Phöông trình hoaønh ñoä giao ñieåm cuûa (Cm) vaø (Dk) laø
3 2
– x + mx – m = kx + k + 1
2 3
⇔ m(x – 1) = k(x + 1) + 1 + x
2
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = k + 1 – x + x
2
⇔ x = – 1 hay x – (m + 1)x + k + m + 1 = 0 (11)
a) Do ñoù, (Dk) caét (Cm) taïi 3 ñieåm phaân bieät

9. ⇔ (11) coù 2 nghieäm phaân bieät khaùc – 1
 1+ m + 1+ k + m + 1 ≠ 0
⇔  2
 (m + 1) − 4( k + m + 1) > 0
 k ≠ − 2m − 3
 2
⇔ (*)  k < m − 2m − 3

 4
b) Vì (Dk) qua ñieåm K(–1,1) ∈ (Cm) neân ta coù :
(Dk) caét (Cm) thaønh 2 ñoaïn baèng nhau.
 m 2m3 
 ;
 3 27 − m 
⇒ (Dk) qua ñieåm uoán 

 cuûa (Cm)
2m3 m 
⇒ − m = k  + 1 + 1
27 3 
3
2m − 27m − 27
⇒ k= (**)
9(m + 3)
Vaäy ycbt ⇔ k thoûa (*) vaø (**).
12) Phöông trình tieáp tuyeán vôùi (Cm) ñi qua (–1,1) coù daïng :
y = k(x + 1) + 1 (Dk)
Vaäy, phöông trình hoaønh ñoä tieáp ñieåm cuûa (D k) vaø (Cm) laø :
3 2 2
– x + mx – m = (– 3x + 2mx)(x + 1) + 1 (12)
2 2 3
⇔ m(x – 1) = (– 3x + 2mx)(x + 1) + 1 + x
2 2
⇔ x + 1 = 0 ∨ m(x – 1) = – 3x + 2mx + 1 – x + x
2
⇔ x = – 1 hay 2x + (1 – m)x – m – 1 = 0 (13)
m +1
⇔ x = – 1 ∨ x= 2
y' (–1) = – 2m – 3
2
 m + 1  m + 1  m + 1 1 2
y'   = −3  + 2m  = 4 (m – 2m – 3)
 2   2   2 
Vaäy phöông trình cuûa 2 tieáp tuyeán qua (–1, 1) laø :
y = – (2m + 3)(x + 1) + 1
1 2
y = 4 (m – 2m – 3)(x + 1) + 1
Nhaän xeùt : Coù 1 tieáp tuyeán taïi tieáp ñieåm (–1, 1) neân phöông
trình (12) chaéc chaén coù nghieäm keùp laø x = – 1 vaø phöông
trình (13) chaéc chaén coù nghieäm laø x = – 1.

10. 13) Caùc tieáp tuyeán vôùi (Cm) taïi tieáp ñieåm cuûa hoaønh ñoä x
coù heä soá goùc laø :
2
h = – 3x + 2mx
b m
Ta coù h ñaït cöïc ñaïi vaø laø max khi x =− =
2a 3 (hoaønh ñoä
ñieåm uoán)
Vaäy tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn nhaát.
2
 m m2 m2
Nhaän xeùt : − 3x 2 + 2mx = −3 x 2 −  + ≤
 3 3 3
Ghi chuù : Ñoái vôùi haøm baäc 3
3 2
y = ax + bx + cx + d, ta coù :
i) Neáu a > 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc nhoû
nhaát.
ii) Neáu a < 0 thì tieáp tuyeán taïi ñieåm uoán coù heä soá goùc lôùn
nhaát.
PHAÏM HOÀNG DANH
(Trung taâm Luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)