Chuyen de pt bpt và hpt on thi dh

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –
97
 Chuyeân ñeà 3: ÑAÏI SOÁ
 Vaán ñeà 1: PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI
1.
 
  
 
2n
2n
B 0
A B
A B
(vôùi n 
*
)
2. 2n 2n
B 0 (hayA 0)
A B
A B
  
  
 
(vôùi n 
*
)
3.     
2n 1 2n 1
A B A B (vôùi n 
*
)
4.
 
 

    

  
2
A 0
B 0
A B C
A B C
5.
 
 



    

  

2
2
A 0
B 0
A B C
C 0
A B C
B. ÑEÀ THI
Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011
Giaûi phöông trình:
2
3 2  x  6 2  x  4 4  x 10 3x (x  R).
Giaûi
Ñieàu kieän: –2  x  2.
Ñaët t = 3 2  x  6 2  x
 t
2
= 9(2 + x) – 36 2  x2  x + 36(2 – x) = 9(10 – 3x –
2
4 4  x )
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh t –
2
t
9
= 0  t = 0 hoaëc t = 9.
 Vôùi t = 0: 3 2  x  6 2  x  0  3 2  x  6 2  x
 9((2 + x) = 36(2 – x) 
6
x
5
 (Thoûa ñieàu kieän–2  x  2) .
 Vôùi t = 9: 3 2  x  6 2  x  9 3 2  x  6 2  x  9 (*).
Do –2  x  2 neân
3 2 x 6
6 2 x 9 9
   
   
. Suy ra phöông trình (*) voâ nghieäm.

98
Vaäy phöông trình ñaõ cho coù moät nghieäm
6
x
5
 .
Caùch khaùc:
Ñaët u = 2  x vaø v = 2  x (u  0, v  0) thì :
 u.v =
2
4  x

2
2
u 2 x
v 2 x
   
  
 u
2
+ 4v
2
= 10 – 3x vaø u
2
+ v
2
= 4
Do ñoù phöông trình ñaõ cho trôû thaønh
2 2
2 2
3u 6v 4uv u 4v (1)
u v 4 (2)
     
  
(1)  3u – 6v = u
2
+ 4v
2
– 4uv  3(u – 2v) = (u – 2v)
2
 u – 2v = 0 hoaëc 3 = u – 2v
ª Vôùi u = 2v theá vaøo (2) ta ñöôïc
2
4
v
5
 
2
v
5
 
4
u
5

Suy ra:
4
2 x
5
2
2 x
5

  
  


16
2 x
5
4
2 x
5

  
  


6
x
5

ª Vôùi u = 3 + 2v theá vaøo (2) ta ñöôïc (3 + 2v)
2
+ v
2
= 4  5v
2
+12v +5 = 0
Phöông trình naøy voâ nghieäm vì v  0 .
Giaûi phöông trình       
2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0 (x  ).
Giaûi
Ñieàu kieän:   
1
x 6
3
Vôùi ñieàu kieän
1
x 6,
3
   phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
              
2
3x 1 4 1 6 x 3x 14x 5 0

 
    
   
3x 15 x 5
(x 5)(3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
 x – 5 = 0 hay    
   
3 1
(3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
Nhaän xeùt:  
1
x
3
neân 3x + 1  0
Do ñoù    
   
3 1
(3x 1) 0
3x 1 4 1 6 x
voâ nghieäm
Vaäy phöông trình ñaõ cho chæ coù moät nghieäm x = 5.

99
Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2009
Giaûi phöông trình:   3
2 3x  2  3 6  5x 8  0 x .
Giaûi
Ñieàu kieän x 
6
5
. Khi ñoù ñaët     
3
u 3x 2 vaø v 6 5x, v 0 (*)
Ta coù
   
  
3
2
u 3x 2
v 6 5x
  
3 2
5u 3v 8
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh heä:
  
  
3 2
2u 3v 8
5u 3v 8
 
 
 
          
2
3
8 2u
v
3
8 2u
5u 3 8
3
 
 
 
     
3 2
8 2u
v
3
15u 4u 32u 40 0
  
 
 
 
    

2
8 2u
v
3
u 2 15u 26u 20 0
 u = 2 vaø v = 4 (nhaän)
Theá u = 2 vaø v = 4 vaøo (*), ta ñöôïc:
    
  
3
3x 2 2
6 5x 4
   
 
  
3x 2 8
6 5x 16
x = 2 (nhaän)
Vaäy phöông trình coù nghieäm x =  2
Baøi 4: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI D NAÊM 2007
Giaûi phöông trình:    
2 2
3 x 5x 10 5x x
Giaûi
Ñaët t =  
2
x 5x 10 (vôùi t  0 ) suy ra t
2
= x
2
– 5x + 10  5x – x
2
= 10  t
2
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh: 3t = 10  t
2

t 5 loaïi
t 2
  

 
Vaäy  
2
x 5x 10 = 2  x
2
 5x + 10 = 4 
 

 
x 3
x 2
.
Baøi 5: CAO ÑAÚNG TAØI CHÍNH – HAÛI QUAN NAÊM 2007
Giaûi phöông trình: 3x  7  x 1= 2.
Giaûi
Ñieàu kieän: x  1
Vôùi ñieàu kieän x  1, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:

100
3x  7  x 1 + 2  3x + 7 = x + 5 + 4 x 1
 x + 1 = 2 x 1  (x + 1)
2
= 4(x + 1) 
  

 
x 1
x 3
(thoûa x  1)
Baøi 6: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình:     
2
2x 1 x 3x 1 0 (x  ).
Giaûi
Ñaët t = 
    
2
2
t 1
2x 1 (t 0) t = 2x 1 x =
2
.
Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh:    
4 2
t 4t 4t 1 0
        
2 2
(t 1) (t 2t 1) 0 t 1, t 2 1 (nhaän)
Vôùi t = 1 ta coù x = 1. Vôùi t = 2 1, ta coù x = 2  2
Vaäy phöông trình coù nghieäm: x = 1; x = 2  2
Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
Giaûi phöông trình:        
2
3x 2 x 1 4x 9 2 3x 5x 2 (1)
Giaûi
Ñatë t = 3x  2  x 1 t  0 suy ra
    
2 2
t 4x 3 2 3x 5x 2
2 2
4x  2 3x  5x  2  t  3. Khi ñoù:
(1) trôû thaønh: t = t
2
– 6  t
2
– t – 6 = 0   
 
  

 
t 2 loaïi
t 3 nhaän
Khi ñoù: (1)  3x  2  x 1  3 (*)
Ñieàu kieän:
  
  
  
3x 2 0
x 1
x 1 0
(a)
Vôùi ñieàu kieän x  1, phöông trình (*) töông ñöông:
3x – 2 + x – 1 + 2 3x  2 x 1  9  3x  2 x 1  6  2x

    
    
 
        
2 2
6 2x 0 x 3
3x 2 x 1 6 2x x 19x 34 0

 
   
  
x 3
x 2 x 2
x 17
thoaû ñieàu kieän (a)
Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø x = 2.

101
Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
Giaûi phöông trình: x + 2 7  x = 2      
2
x 1 x 8x 7 1 (x  )
Giaûi
Ñieàu kieän
  

   

   
2
7 x 0
x 1 0
x 8x 7 0
1  x  7
Vôùi ñieàu kieän 1  x  7, phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
x – 1 – 2 x 1  2 7  x  x 17  x = 0
 x 1 x 1  2  7  x  x 1  2 = 0
  x 1  2 x 1  7  x  = 0

x 1 2 x 5
x 1 7 x x 4
    
 
     
Giaûi phöông trình sau: 2 x  2  2 x 1  x 1  4
Giaûi
Ñieàu kieän: x   1
Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
   
 
2
2 x 1 1 x 1 4 2 x 1 1 x 1 4
x 1 2 x 3 nhaän
          
    
Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1  ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005
Giaûi phöông trình: 3x 3  5 x  2x  4 . (1)
Giaûi
Ñieàu kieän:
  
     
   
3x 3 0
5 x 0 2 x 5
2x 4 0
(a)
Vôùi ñieàu kieän 2  x  5, phöông trình (1) töông ñöông:
3x 3  2x  4  5 x
 
        
         
     
   
2
3x 3 2x 4 5 x 2 (2x 4)(5 x)
(2x 4)(5 x) x 2 (2x 4)(5 x) (x 2)
(x 2) 2(5 x) (x 2) 0
x 2 x 4 thoûa ñieàu kieän (a)

102
Baøi 11:
Chöùng minh raèng phöông trình sau coù ñuùng moät nghieäm: x
5
 x
2
 2x  1 = 0.
Giaûi
Ta coù x
5
 x
2
 2x  1 = 0 (1)
(1)  x
5
= (x + 1)
2
 ñieàu kieän x  0
Vôùi 0  x < 1 thì VT < 1 vaø VP  1  (1) voâ nghieäm
Do ñoù chæ xeùt x  1
Xeùt f(x) = x
5
 x
2
 2x  1, x  1
f'(x) = 5x
4
 2x  2 = 2x (x
3
 1) + 2(x
4
 1) + x
4
> 0, x  1
Do ñoù f(x) taêng treân [1; +), f lieân tuïc
Vaø f(1); f(2) < 0 neân f(x) = 0 luoân coù nghieäm duy nhaát.
Baøi 12:
Giaûi phöông trình:       
2
x 4 x 4 2x 12 2 x 16 .
Giaûi
 Ñieàu kieän:
  
  
  
x 4 0
x 4
x 4 0
 Ñaët t = x  4  x  4 t  0  t
2
= 2x + 
2
2 x 16
Phöông trình (1) trôû thaønh: t
2
– t – 12 = 0
 
 
  
t 4
t 3 (loaïi)
 Vôùi t = 4: x  4  x  4  4 2x +  
2
2 x 16 16 vaø x  4
   
2
x 16 8 x vaø x  4 
 
     
   
     
2 2
4 x 8 4 x 8
x 5
x 16 8 x x 5
.
 Vaán ñeà 2: BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA CAÊN
1.
2
B 0
A B A 0
A B
 

   

 
2.
   
   
   
2
B 0 B 0
A B hay
A 0 A B
3.
 
  
 
B 0
A B
A B

103
B. ÑEÀ THI
Giaûi baát phöông trình: 

  
2
x x
1
1 2(x x 1)
Giaûi
Ñieàu kieän x  0. Khi ñoù:


  
2
x x
1
1 2(x x 1)
     

  
2
2
x x 1 2(x x 1)
0
1 2(x x 1)
(*)
Nhaän xeùt:
Maãu soá:
2
2
1 3 3
1 2(x x 1) 1 2 x 1 0
2 4 2
  
            
  
Do ñoù baát phöông trình (*) trôû thaønh:
    
2 x x 1 2(x x 1) ≤ 0
      
2 2(x x 1) x x 1

 
   

      
2
2
x x 1 0
2(x x 1) x x 1

    
        
2 2
x x 1 0
2(x x 1) x x 1 2x x 2x 2 x

    
     
2
x x 1 0
x x 1 2x x 2 x 0

          
2
x x 1 0
(x 1) 2 x(x 1) x 0

    
   
2
x x 1 0
(x 1 x) 0

    
   
x x 1 0
x 1 x 0

     
  
x (1 x) 1 0
x 1 x

  
  
2
0 x 1
x (1 x)

  
   
2
0 x 1
x 3x 1 0

  

 
0 x 1
3 5
x
2
 

3 5
x
2
Caùch khaùc:
Ñieàu kieän: x  0. Vì    
2 1 2(x x 1) 0 neân

104


  
2
x x
1
1 2(x x 1)
     
2 x x 1 2(x x 1) (1)
• x = 0: (1) khoâng thoûa.
• x > 0: Chia hai veá cuûa baát phöông trình (1) cho x ta ñöôïc
(1)  
       
 
1 1
x 1 2 x 1
x x
 
       
 
1 1
2 x 1 x 1
x x
Ñaët      
2
1 1
t x x t 2
x x
(1) trôû thaønh:
  
    
    
2
2 2
t 1
2(t 1) t 1
2t 2 t 2t 1 (*)
(*)
  
   
2
t 1
t 2t 1 0

 
  
  
2
t 1
t 1 0
 t = 1
Do ñoù:      
1
x 1 x x 1 0
x
1 5
x
2 6 2 5 3 5
x
1 5 4 2
x (loaïi)
2
  
 
 
   
  
 
.
Baøi 2: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2009
Giaûi baát phöông trình: x 1  2 x  2  5x 1 x 
Giaûi
x 1  2 x  2  5x 1

  
     
  
           
2
x 2 x 2 x 2
x 1 x 2 2 x x 6 0 2 x 3
 2  x  3.
Baøi 3: CAO ÑAÚNG KYÕ THUAÄT CAO THAÉNG NAÊM 2007
Giaûi baát phöông trình:     
2 2
5x 10x 1 7 2x x . (1)
Giaûi
    
2 2
5x 10x 1 7 2x x
Ñieàu kieän ñeå caên baäc hai coù nghóa laø:
5x
2
+ 10x + 1  0     
 
5 2 5 5 2 5
x hoaëc x
5 5
(*)
Vôùi ñieàu kieän ñoù ta coù: (1)

105
        
2 2
5 5x 10x 1 36 5x 10x 1 (*)
Ñaët    
2
t 5x 10x 1, t 0
(*) trôû thaønh t
2
+ 5t – 36  0  t  4 (nhaän)  t  9 (loaïi)
Vôùi t  4, ta coù:   
2
5x 10x 1 4  x
2
+ 2x – 3  0
 x  3  x  1 (nhöõng giaù trò naøy ñeàu thoûa ñieàu kieän (*)).
Baøi 4: CAO ÑAÚNG BAÙN COÂNG HOA SEN NAÊM 2007
Giaûi baát phöông trình: 
2
x 4x > x – 3. (1)
Giaûi
Ñieàu kieän: x
2
– 4x  0  x  0  x  4
Tröôøng hôïp 1: x – 3 < 0  x < 3: (1) ñuùng so saùnh vôùi ñieàu kieän ñöôïc x  0
Tröôøng hôïp 2: x  3
(1)  x
2
– 4x > x
2
– 6x + 9  x >
9
2
So vôùi ñieàu kieän x  3 ta nhaän x >
9
2
Keát luaän: nghieäm x  0; x >
9
2
Giaûi baát phöông trình: 5x 1  x 1  2x  4
Giaûi
Ñieàu kieän:
  
    
   
5x 1 0
x 1 0 x 2
2x 4 0
Khi ñoù baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
5x 1  2x  4  x 15x 1 2x  4  x 1 2 (2x  4)(x 1)
 x + 2 >        
2 2
(2x 4)(x 1) x 4x 4 2x 6x 4
     
2
x 10x 0 0 x 10
Keát hôïp vôùi ñieàu kieän ta coù:
2  x < 10 laø nghieäm cuûa baát phöông trình ñaõ cho.
Baøi 6: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2
Giaûi baát phöông trình:     
2
8x 6x 1 4x 1 0
Giaûi
    
2
8x 6x 1 4x 1 0     
2
8x 6x 1 4x 1

106
2
2 2
2
1 1
x x
4 2
8x 6x 1 0
1
4x 1 0 x
4
8x 6x 1 (4x 1)
8x 2x 0
1 1
x x
4 2 1 1
x x .
1 4 2
x 0 x
4

   
    
       
         

   
    
   

Giaûi baát phöông trình: 2x  7  5 x  3x  2 (1)
Giaûi
Ñieàu kieän
  
  
   
2x 7 0
5 x 0
3x 2 0
  
2
x 5
3
(a)
(1)  2x  7  3x  2  5 x
 2x  7  3x  2  5 x  2 3x  2 5 x
 3x  2 5 x  2  (3x – 2)(5 – x)  4
 3x
2
– 17x + 14  0  x  1  x 
14
3
So vôùi ñieàu kieän (a) ta coù nghieäm    
2 14
x 1 hay x 5
3 3
Baøi 8:
Giaûi baát phöông trình:    
  
 
2
2 x 16
7 x
x 3
x 3 x 3
Giaûi
Ñieàu kieän
 
   
     
      
2
x 3
x 3 0
x 4 x 4
x 16 0
x 4
Baát phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi
            
2 2
2 x 16 x 3 7 x 2 x 16 10 2x

   
2 2 2
10 2x 0 10 2x 0
V
x 16 0 2 x 16 10 2x
       
 
       

107

 

  

     

x 5
4 x 5
10 34 x 10 34
 x 10  34
Baøi 9:
Giaûi baát phöông trình      
2 2
x 3x 2x 3x 2 0
Giaûi
     
2 2
x 3x 2x 3x 2 0

   
    
  
2
2
2
2x 3x 2 0
2x 3x 2 0
x 3x 0

1
1 x < V x > 2
x x = 2 2
2
x 0 x 3

 
    
    
 x  
1
2
 x  3  x = 2.
Baøi 10: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ TP. HCM
Giaûi baát phöông trình: x 1  x 1  4
Giaûi
   
     
       
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1 4
2x 2 x 1 16 x 1 8 x

    
 
      
  
     
2 2
x 1
1 x 8
65
8 x 0 1 x 65
x 16
x 1 x 16x 64 16
 Vaán ñeà 3: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
Daïng 1:
  
    
  
1 1 1 2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 2
A x B y C
, Vôùi A A B B 0
A x B y C
Laäp:   
1 1
1 2 2 1
2 2
A B
D A B A B
A B
  
1 1
x 1 2 2 1
2 2
C B
D C B C B
C B
;   
1 1
y 1 2 2 1
2 2
A C
D A C A C
A C

108
Neáu D  0: heä coù duy nhaát nghieäm:

 
 

Dx
x
D
Dy
y
D
Neáu
 
  
D 0
Dx 0 (hoaëc Dy 0)
: heä voâ nghieäm.
Neáu: D = Dx = Dy = 0: heä coù voâ soá nghieäm
Daïng 2: Ñoái xöùng loaïi 1:
f(x, y) 0 f(x, y) f(y, x)
vôùi
g(x, y) 0 g(x, y) g(y, x)
   
 
   
Ñaët:
  
 
 
2
S x y
(ñieàu kieän S 4P)
P x.y
Ta ñöôïc heä:
F(S, P) 0
ta tìm ñöôïc S, P
E(S, P) 0
 
 
Khi ñoù x,y laø nghieäm cuûa phöông trình:   
2
X SX P 0
Daïng 3: Ñoái xöùng loaïi 2:
f(x, y) 0 (1)
f(y, x) 0 (2)
 
 
Laáy (1) tröø (2) veá theo veá ta ñöôïc : (y  x). h(x, y) = 0
y x (a)
h(x, y) 0 (b)
 
 
 
Keát hôïp: 

(a) vaø (1)
(b) vaø (1)
Daïng 4: Heä toång quaùt: Thöôøng bieán ñoåi ñeå nhaän ra aån soá phuï, sau ñoù duøng
phöông phaùp theá ñeå giaûi tieáp.
B. ÑEÀ THI
Giaûi heä phöông trình:
 
   
2 2 3
2 2 2
5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)
xy x y 2 x y (2)
      
    
(x, y  R).
Giaûi
Ta coù : (2)    2 2 2 2
xy x  y  2  x  y  2xy
      2 2
x  y xy 1  2 xy 1  0
    2 2
xy 1 x  y  2  0
2 2
xy 1 x  y  2 .
Tröôøng hôïp 1:   2 2 3
5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)
xy 1 (3)
      
 

109
Ta coù: (3)  
1
y
x
(Vì x = 0 khoâng laø nghieäm) theá vaøo (1) ta ñöôïc:
(1) 
2 3
2
1 1 1 1
5x 4x 3 2 x 0
x x x x
       
            
       

3
4 3 2
5x 2x 0
x x x
     
3
6 3
3x 0
x x
   
4 2
3x  6x  3  0
    
2
2
3 x 1 0 
x 1 y 1
x 1 y 1
   

     
.
Tröôøng hôïp 2:   2 2 3
2 2
5x y 4xy 3y 2 x y 0 (1)
x y 2 (4)
      
  
Theá (4) vaøo (1) ta ñöôïc:
(1)     2 2 3 2 2
5x y  4xy  3y  x  y x  y  0

2 2 3 3
4x y  5xy  2y  x  0

2 3
x x x
4 5 2 0
y y y
   
       
   
(*) (Chia hai veá cho y
3
 0)
Ñaët t =
x
y
. Phöông trình (*) trôû thaønh:
2 3
4t  5t  2  t  0 
3 2
t  4t  5t  2  0   
2
t 1 t  2  0
 t = 1 hay t = 2.
Vaäy (*) 
x
y
= 1 hay
x
y
= 2
 Vôùi
x
y
= 1 ñaõ xeùt ôû tröôøng hôïp 1.
 Vôùi
x
y
= 2  x = 2y theá vaøo  
2 2
x y 2 ta ñöôïc:
   
2
2
2y y 2  
2
2
y
5
10 2 10
y x
5 5
10 2 10
y x
5 5

   
 

     
Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm:
x 1
y 1
 
 
 
x 1
y 1
  
 
  
2 10
x
5
10
y
5

 
 

 
2 10
x
5
10
y
5

  

  
.

110
      
    
2
2 2
(4x 1)x (y 3) 5 2y 0 (1)
4x y 2 3 4x 7 (2)
(x, y  ).
Giaûi
Ñieàu kieän: 
3
x
4
. Ñaët u = 2x; v  5  2y
Phöông trình (1) trôû thaønh
u(u
2
+ 1) = v(v
2
+1)  (u  v)(u
2
+ uv + v
2
+ 1) = 0  u = v
Nghóa laø:

  
   
  

2
3
0 x
4
2x 5 2y
5 4x
y
2
Phöông trình (2) trôû thaønh     
2 4
25
6x 4x 2 3 4x 7 (*)
4
Xeùt haøm soá     
4 2
25
f(x) 4x 6x 2 3 4x
4
treân
3
0;
4
 
 
 
  

2
4
f '(x) 4x(4x 3)
3x 4
< 0
Maët khaùc:  
  
 
1
f 7
2
neân (*) coù nghieäm duy nhaát x =
1
2
vaø y = 2.
Vaäy heä coù nghieäm duy nhaát x =
1
2
vaø y = 2.
     
   
2 2
2 2x y 3 2x y
x 2xy y 2
(x, y  ).
Giaûi
     
   
2 2
2 2x y 3 2x y (1)
x 2xy y 2 (2)
. Ñieàu kieän : 2x + y  0 (*)
(1)  (2x  y)  2 2x  y  3  0  2x  y 1 hay 2x  y  3 (loaïi)
 2x + y = 1  y = 1 – 2x (3)
Thay (3) vaøo (2) ta coù: x
2
– 2x(1 – 2x) – (1 – 2x)
2
= 2
 x
2
+ 2x – 3 = 0  x = 1 hay x = –3
Khi x = 1 thì y = –1 thoûa maõn (*); khi x = –3 thì y = 7 (thoûa maõn (*))

111
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø
 
  
x 1
y 1
hay
  
 
x 3
y 7
Giaûi heä phöông trình:   2 2 2
xy x 1 7y
x, y
x y xy 1 13y
   
 
   
.
Giaûi
Vì y = 0 khoâng thoûa maõn heä ñaõ cho, neân
Heä ñaõ cho töông ñöông:

   
   

2 2
2
x 1
x 7 (chia 2 veá cho y)
y y
x 1
x 13 (chia 2 veá cho y )
y y
Ñaët a = 
1
x
y
; b =
x
y
Ta coù a = 
1
x
y
   
2 2
2
1 x
a x 2
y y
   
2 2
2
1
x a 2b
y
Heä trôû thaønh
  
   
2
a b 7
a 2b b 13

  
  
2
a b 7
a b 13

  
   
2
a b 7
a a 20 0

 
 
a 4
b 3
hay
  
 
a 5
b 12
.
Vaäy

  
 

1
x 4
y
x
3
y
hay

   
 

1
x 5
y
x
12
y

    
 
2 x 4x 3 0
x 3y
hay
    
 
2 x 5x 12 0
x 12y
(VN)

 
 
x 1
1
y
3
hay
 
 
x 3
y 1
Heä coù 2 nghieäm (x; y) =
1
(1; )
3
; (x; y) = (3; 1).
Giaûi heä phöông trình
 
 
2  
2
x x y 1 3 0
5 x, y
x y 1 0
x
    
 
    
.

112
Giaûi
Ñieàu kieän x  0
Heä ñaõ cho töông ñöông:
   
   
2 2 2
x(x y) x 3
x (x y) x 5
(*)
Ñaët t = x(x + y). Heä (*) trôû thaønh:
            
     
             
2 2 2
t x 3 t x 3 t x 3 x 2 x 1
t x 5 (t x) 2tx 5 tx 2 t 1 t 2
Vaäy
 
      
     
          
x 2
x 2 x 1 x 1
3
x(x y) 1 x(x y) 2 y y 1
2

      
     

2 3 2
4 2
5
x y x y xy xy
4
5
x y xy(1 2x)
4
Giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi :

      
    

2 2
2 2
5
x y xy(x y) xy
4
5
(x y) xy
4
Ñaët u = x
2
+ y, v = xy ta coù heä:

    
   

2
5
u u.v v (1)
4
5
u v (2)
4
Laáy (2) tröø (1) veá theo veá ta ñöôïc:
u
2
– u – uv = 0  u(u – 1 – v) = 0 
 

  
u 0
v u 1
 Tröôøng hôïp 1: u = 0 thay vaøo (2)   
5
v
4
Vaäy

       
  
  
     
    
2 2 3
3
3
5
x y 0 y x x
4
5 5
xy x 25
4 4 y
16
 Tröôøng hôïp 2: v = u – 1 thay vaøo (2) ta ñöôïc:
         
2
5 1 3
u u 1 u v
4 2 2

113
Vaäy:
 
            
  
           
2 2
1 3 1
x y x x 1
2 2x 2
3
3 3 y
xy y 2
2 2x
Heä phöông trình coù 2 nghieäm laø: 3 3
5 25
;
4 16
 
    
 
vaø
3
1;
2
 
  
 
.
    
 
   
4 3 2 2
2
x 2x y x y 2x 9
(x, y )
x 2xy 6x 6
Giaûi
4 3 2 2
2
x 2x y x y 2x 9
(x, y )
x 2xy 6x 6
    
 
   

   
  
         
     

2 2
2
2
2
2
(x xy) 2x 9
x
x 3x 3 2x 9
x
3
xy 3x 3
2
 x
4
+ 12x
2
+48x
2
+ 64x = 0  x(x + 4)
3
= 0 
 

  
x 0
x 4
 x = 0 khoâng thoûa maõn heä phöông trình
 x = 4   
17
y
4
Nghieäm cuûa heä phöông trình laø:
17
4;
4
 
  
 
.
    
 
    
2 2
xy x y x 2y
(x, y )
x 2y y x 1 2x 2y
Giaûi
Heä phöông trình:
    
 
    
2 2
xy x y x 2y (1)
(x,y )
x 2y y x 1 2x 2y (2)
Ñieàu kieän:
   
x 1
y 0
(1)  xy + y
2
+ x + y – (x
2
– y
2
) = 0
 y(x + y) + x + y – (x + y)(x – y) = 0

114
 (x + y)(2y – x + 1) = 0 
  

  
y x
x 2y 1
* Tröôøng hôïp 1: y = x. Do ñieàu kieän y  0  x  0 loaïi
* Tröôøng hôïp 2: Thay x = 2y + 1 vaøo (2) ta ñöôïc:
(2y 1) 2y  y 2y  2y  2   
  

      

 
y 1
(y 1) 2y 2 0 y 2 y 2
y 0
Vaäy heä coù nghieäm x = 5; y = 2.
Baøi 9: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI A NAÊM 2007
    
   
3
3
x 2y x 2
y 2x y 2
Giaûi
    
   
3
3
x 2y x 2
y 2x y 2

    
    
      
3
2 2
x 2y x 2
x y x xy y x y

 
 
   

   
    

    
3
3
2 2
x 2y x 2
I
x y
x 2y x 2
II
x xy y 1
(I) 
    
  
    
x 1 x 2
y 1 y 2
; (II)  x
2
+ xy + y
2
+ 1 = 0
Do   y
2
 4(y
2
+ 1) < 0 neân (II) voâ nghieäm.
Vaäy heä coù nghieäm (1; 1); (2; 2)
x y xy 3
(x, y )
x 1 y 1 4
   
 
    
Giaûi
Ñieàu kieän: x  1, y  1, xy  0. Ñaët t = xy (t  0).
Töø phöông trình thöù nhaát cuûa heä suy ra: x + y = 3 + t.
Bình phöông hai veá cuûa phöông trình thöù hai ta ñöôïc:
x  y  2  2 xy  x  y 1 16 (1)
Thay xy = t
2
, x + y = 3 + t vaøo (1) ta ñöôïc:
           
2 2
3 t 2 2 t 3 t 1 16 2 t t 4 11 t

115

     
   
        
2 2 2
0 t 11 0 t 11
t 3
4(t t 4) (11 t) 3t 26t 105 0
Vôùi t = 3 ta coù x + y = 6, xy = 9.
Suy ra nghieäm cuûa heä laø: (x; y) = (3; 3).
Baøi 11: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006
     
    
2
2
x 1 y(y x) 4y
(x 1)(y x 2) y
(x, y  ).
Giaûi
 Xeùt y = 0 heä phöông trình trôû thaønh
   
   
2
2
x 1 0
(x 1)(x 2) 0
voâ nghieäm
 Xeùt y  0. Chia 2 veá cuûa hai phöông trình trong heä cho y ta ñöôïc:
 
   
 
   
2
2
x 1
y x 4
y
x 1
(y x 2) 1
y
(*)
Ñaët: 

2
x 1
u
y
vaø v = y + x – 2 thì (*) trôû thaønh:
    
 
   
u v 2 u 1
u.v 1 v 1
Vaäy:
 
        
  
      
   
2
2 2
x 1
1 x 1 y x 1 3 x
y
y 3 x y 3 x
y x 2 1

    
 
   
x 1 x 2
hay
y 2 y 5
.
Baøi 12: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006
    
   
2 2
2 2
(x y)(x y ) 13
(x y)(x y ) 25
(x, y  )
Giaûi
       
  
       
2 2 2 2
2 2 2
(x y)(x y ) 13 (x y)(x y ) 13 (1)
(x y)(x y ) 25 (x y)(x y) 25 (2)

     
  
      
3
2
(x y) 1 x y 1
(x y) 25 x y 5
 (3; 2) hoaëc (2;  3)
Baøi 13: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006
     
    
2 2
2 2 2
x xy y 3(x y)
x xy y 7(x y)
(x, y  ).

116
Giaûi
Ñaët u = x  y, v = xy
Ta coù:
       
    
     
2
2
u 3u v 0 u 0 u 1
v 2u v 0 v 2

   
  
   
u 0 x 0
v 0 y 0

      
   
      
u 1 x 2 x 1
hoaëc
v 1 y 1 y 2
Baøi 14: DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005
   
     
     
2 2
x y x y 4
x x y 1 y y 1 2
Giaûi
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông
      
     
2 2
2 2
x y x y 4 0
x y x y xy 2

      
  
2 2
x y x y 4 0
xy 2
(I)
 Ñaët S = x + y, P = x.y
(I) 
     
  
2
S 2P S 4 0
P 2

 
 
  
 
 
  
 
  
2
2
P 2
thoûa maõn S 4P
S 0
P 2
thoûa maõn S 4P
S 1
 Vôùi S = 0, P = 2 thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: X
2
– SX + P = 0
X
2
– 2 = 0 
 

  
1
2
X 2
X 2
.
Vaäy nghieäm cuûa heä
    
  
    
x 2 x 2
y 2 y 2
 Vôùi S = 1, P = 2 thì x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: X
2
– SX + P = 0
X
2
+ X – 2 = 0 
 

  
1
2
X 1
X 2
Vaäy nghieäm cuûa heä
    
  
    
x 1 x 2
y 2 y 1
Toùm laïi: Heä coù 4 caëp nghiemä ( 2;  2), ( 2; 2), (1; 2), (2; 1) .

117
      
  
2x y 1 x y 1
3x 2y 4
Giaûi
      
     
2x y 1 x y 1
(2x y 1) (x y) 5
. Ñieàu kieän: x + y  0; 2x + y + 1  0 (*)
Ñaët u = 2x  y 1  0 ; v  x  y  0
Heä trôû thaønh:
  
         
              
  
1
2 2 1
2
u 2
u v 1 2x y 1 4 x 2
v 1
u v 5 x y 1 y 1
u 1 loaïi
(thoûa maõn (*) neân laø nghieäm)
Baøi 16:

   

  
3
1 1
x y
x y
2y x 1
Giaûi
Ñieàu kieän: xy  0. Heä phöông trình töông ñöông vôùi:
 
        
  
       
  
3 4
3
y x
x y y x 0 xy 1
xy hoaëc
2y x 1 x x 2 0
2y x 1

 
2 2
3 2
xy 1
y x 0
hoaëc
1 1 3
x 2x 1 0 x x 0 voâ nghieäm
2 2 2
  
   
    
            
   

   
  
    
2
y x 0
x 1 x x 1 0
 x = y = 1  x = y = 5 1.
Baøi 17:
 
 
  

2
2
2
2
y 2
3y
x
x 2
3x
y
Giaûi
Nhaän xeùt: Vôùi xy  0 thaáy veá phaûi döông neân suy ra x > 0, y > 0 .

118
Ta coù heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông  
 
2 2
2 2
3yx y 2 1
3xy x 2 2
   
  
(1)  (2) ta ñöôïc 3xy (x  y) = (y  x) (y + x)
 (x  y) (3xy + x + y) = 0

 
1
2
x 1
x 2 loaïi
 

  
 y = x, theá vaøo (1) ta ñöôïc 3x
3
 x
2
 2 = 0
 (x  1) (3x
2
+ 2x + 2) = 0  x = 1  y = 1 (thoûa maõn)
Vaäy heä phöông trình coù moät nghieäm
    
  
    
x 2 x 2
y 2 y 2
.
Baøi 18:
    
    
3 x y x y
x y x y 2
Giaûi
Ñieàu kieän
  
  
x y 0
x y 0
Khi ñoù heä phöông trình     
 
    
    
2 3
2
x y x y
x y x y 2

   
2
x y 0 x y = 1 x y 0 x y 1
x+y x y 2 0 x y 2 x + y = 1 (loaïi)
          
  
         


  
  
   

3
x =
x 1 2
y 1 1
y
2
.
Baøi 19: CAO ÑAÚNG BAÙN COÂNG HOA SEN
   
  
2 2
x y y x 6
x y y x 20
Giaûi
Ñieàu kieän: x  0; y  0 (*)
Ñaët u = x  0,v  y  0

119
Ñöa veà heä:
   
  
2 2
4 2 2 4
u v uv 6
u v u v 20
Giaûi heä naøy ta ñöôïc
   
 
   
u 1 u 2
;
v 2 v 1
Nghieäm cuûa heä ñaõ cho (x; y) = (4; 1) hay (x; y) = (1; 4) .
 Vaán ñeà 4: PHÖÔNG TRÌNH, HEÄ PHÖÔNG TRÌNH
BAÁT PHÖÔNG TRÌNH COÙ CHÖÙA THAM SOÁ
A. ÑEÀ THI
Tìm m ñeå heä phöông trình sau coù nghieäm.
  3 2
2
2x y 2 x xy m
x x y 1 2m
     
    
(x, y R).
Giaûi
Ta coù:   3 2
2
2x y 2 x xy m
x x y 1 2m
     
    

3 2 2
2
2x x y 2x xy m
x x 2x y 1 2m
     
     

   
   
2
2
x 2x y x 2x y m
x x 2x y 1 2m
     
     
   
   
2
2
x x 2x y m
x x 2x y 1 2m
   

     
(*).
Ñaët: u = x
2
– x =
2
1 1
x
2 4
 
   
 

1
u
4
  .
v = 2x – y  v  R .
Heä (*) trôû thaønh:
uv m
u v 1 2m
 

   

u1 2m u m
v 1 2m u
    
   

  2
u u m 2u 1
v 1 2m u
    
   

2
u u
m (1)
2u 1
v 1 2m u
 
 
 
    
.
Ñaët:
2
u u
f(u)
2u 1
 


, vôùi
1
u
4
  .
Ta coù:
 
2
2
2u 2u 1
f '(u)
2u 1
  


,
1 3
u (Loaïi)
2
f '(u) 0
1 3
u (Nhaän)
2
  
 
 
  
 

120
u 1
4
 1 3
2
  + 
f'(u) + 0 
f(u) 2 3
2

5
8
 – 
Döïa vaøo baûng bieán thieân ta coù:
Heä ñaõ cho coù nghieäm  (1) coù nghieäâm u thuoäc 1
;
4
 
 
 
 2 3
m
2

 .
Tìm caùc giaù trò cuûa tham soá thöïc m ñeå phöông trình sau coù nghieäm:
6  x  2 (4  x)(2x  2)  m 4 4  x  2x  2 ( xR ).
Giaûi
Ñieàu kieän: 1  x  4
Ñaët t = 4  x  2x  2 vôùi x  [1; 4]
t' =
1 1
2 4 2 2
 
 x x 
=
2 4 2 2
2 4 2 2
  
 
x x
x x
t' = 0  2 4  x  2x  2  16 – 4x = 2x – 2  6x = 18  x = 3  t = 3
Ñieàu kieän: 3  t  3 x 1 3 4
Ta coù: t
2
= 2 + x + 2 (4  x)(2x  2) t' + 0
 x + 2 (4  x)(2x  2) = t
2
 2 t 3
(1) thaønh: 4 + t
2
= m + 4t
 t
2
– 4t + 4 = m (2)
3 6
Xeùt f(t) = t
2
– 4t + 4 vôùi t  [ 3 ; 3]
f'(t) = 2t – 4, f'(t) = 0  t = 2  f(t) = 0
t
3 2 3
f'  0 +
f
7  4 3 1
0
(1) coù nghieäm  (2) coù nghieäm t  [ 3 ; 3]  0  m  1.
Tìm giaù trò cuûa tham soá m ñeå heä phöông trình
  
  
x my 1
mx y 3
coù nghieäm (x; y)
thoûa maõn xy < 0.

121
Giaûi
Ta coù:
  
  
x my 1
mx y 3
2
x y
1 m 1 m 1 1
D 1 m , D 1 3m, D 3 m
m 1 3 1 m 3
 
        
Ta thaáy: m, D = 1 + m
2
 0  heä luoân coù nghieäm:
        
 
    
  
2
2
Dx 1 3m
x x
D 1 m
Dy 3 m
y y
D 1 m
Heä coù nghieäm (x; y) thoûa xy < 0   

 
2 2
1 3m 3 m
. 0
m 1 m 1
 (1 + 3m)(3 – m) < 0   
1
m
3
hay m > 3
Baøi 4: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI
Ñònh m ñeå heä phöông trình sau voâ nghieäm:
   
   
2 2
x y xy m
x y xy m 1
Giaûi
S = x + y, P = xy
Heä trôû thaønh
  
     
  
2
S P m
S vaø P laø nghieäm phöông trình: X mX m 1 0
PS m 1
 X = 1 hay X = m – 1
Vaäy (S = 1, P = m – 1) hay (S = m – 1, P = 1)
Heä voâ nghieäm  S
2
– 4P < 0 
   
   
2
1 4(m 1) 0
(m 1) 4 0

5
4
< m < 3.
Tìm m ñeå phöông trình sau coù hai nghieäm thöïc phaân bieät:    
2
x mx 2 2x 1
Giaûi
Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät:    
2
x mx 2 2x 1 (1)

 
2 2
2
1
2x 1 0 x
2
x mx 2 (2x 1)
f x 3x (m 4)x 1 0 (2)

     
 
           
(1) coù 2 nghieäm phaân bieät  (2) coù hai nghieäm x
1
, x
2
thoûa maõn:
1 2
1
x x
2
  

122

2
(m 4) 12 0
S m 4 1
2 6 2
1 3 m 4
f 1 0.
2 4 2
    

 
  


         
  
 
9
m
2
Baøi 6:
Tìm m ñeå heä phöông trình sau
   
   
x y 1
x x y y 1 3m
coù nghieäm
Giaûi
   
   
x y 1
x x y y 1 3m
(I)
Ñieàu kieän x  0, y  0
Ñaët
3
u  x u  x x, u  0
3
v = y  v  y y, v  0
(I) 
3 3
u v 1
u v 1 3m
  
   
 u
3
+ (1  u)
3
= 1  3m  u
2
+ u = m (0  u  1)
Khaûo saùt f(u) =  u
2
+ u; f'(u) =  2u + 1; f’(u) = 0  u =
1
2
Baûng bieán thieân
u 0
1
2
1
f'(u) + 0 
f(u)
1
4
0 0
Nhôø baûng bieán thieân ta choïn 0  m 
1
4
.
Cho phöông trình  
       
 
2 2 2 3
5
x m x 4 2 m 0
3
Chöùng minh raèng vôùi moïi m  0 phöông trình luoân coù nghieäm.
Giaûi
 
       
 
2 2 2 3
5
x m x 4 2 m 0
3
(1)

123
Ñaët   
2
t x 4 2  t
2
= x
2
+ 4  x
2
= t
2
– 4
(1)  t
2
– 4 +  
  
 
2
5
m t
3
+ 2 – m
3
= 0
 f(t) = t
2
+  
  
 
2
5
m t
3
 2 – m
3
= 0 (2)
Xeùt 1.f(2) =  
        
 
3 2 3 2
4 4
m 2m m 2m h(m)
3 3
 h'(m) = 3m
2
+ 4m; h'(m) = 0  m = 0  
4
m
3
 Baûng bieán thieân:
x
0
4
3
+
h'(m) + 0 
h (m)
4
27
4
3

 Vaäy khi m  0 thì h(m) < 0  a.f(2) < 0  (2) coù nghieäm t
1
< 2 < t
2
 (1) luoân coù nghieäm m
Baøi 8: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ ÑOÁI NGOAÏI
Xaùc ñònh m ñeå phöông trình sau ñaây coù nghieäm:  
2
x 2x 3  m = 0
Giaûi
Phöông trình   
2
x 2x 3 = m, ñieàu kieän m  0
 x
2
 2x + 3 = m
2
 (x – 1)
2
= m
2
– 2
YCBT  m
2
– 2  0  m
2
 2  m  2 (vì m  0)

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