Đề thi thử Đại học môn Toán

1. 1
B GIÁO D C VÀ ðÀO T O ð THI TH ð I H C
MÔN TOÁN KH I A, B
Th i gian làm bài 180 phút (không k th i gian phát ñ )
PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh.
C©u I (2 ®iÓm)
Cho h m sè :
1
2
−
+
=
x
x
y (1)
1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè (1).
2.Chøng minh r»ng mäi tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (1) ®Òu lËp víi hai ®−êng tiÖm cËn mét
tam gi¸c cã diÖn tÝch kh«ng ®æi.
C©u II (2 ®iÓm)
1.T×m );0( π∈x tho¶ m n ph−¬ng tr×nh:
Cotx – 1 = xx
x
x
2sin
2
1
sin
tan1
2cos 2
−+
+
.
2.T×m m ®Ó ph−¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
mxxxx =+−−++ 11 22
C©u III (2 ®iÓm)
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é Oxyz, cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) víi a, b, c > 0.
1. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn mp (ABC)
2. TÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn OIBC trong ®ã I l ch©n ®−êng cao kÎ tõ C cña ABC∆ .
C©u IV (2 ®iÓm)
1. TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ −
−2
1 10
1
dx
x
xx
2. Cho x, y, z l c¸c sè thùc d−¬ng tho¶ m n: x + y + z = xyz.
T×m GTNN cña A =
)1()1()1( zxy
zx
yzx
yz
xyz
xy
+
+
+
+
+
.
PhÇn riªng.
ThÝ sinh chØ ®−îc l m 1 trong 2 c©u: V. a hoÆc V.b
C©u V. a. D nh cho ban C¬ B¶n (2 ®iÓm).
1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 25lg)20.155.10lg( +=+ xxx
2.TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô ®Òu ABC.A
'
B
'
C
'
biÕt mp(ABC
'
) hîp víi ®¸y gãc 600
v diÖn
tÝch tam gi¸c ABC
'
b»ng
2
3a
C©u V. b. D nh cho ban KHTN (2 ®iÓm).
1.Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
32
4
)32()32( 1212 22
−
≤−++ −−+− xxxx
2.Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y l h×nh b×nh h nh cã AB = a, gãc ABC = 300
; hai mÆt
bªn SAD v SBC vu«ng t¹i A, C cïng hîp víi ®¸y gãc α .
CMR: (SAC) ⊥ (ABCD) v tÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD.
------------------------------ HÕt -------------------------------
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. 2
H−íng dÉn chÊm m«n to¸n
C©u ý Néi dung §iÓm
I 2
1 Kh¶o s¸t- vÏ ®å thÞ (1 ®iÓm)
Ta cã:
1
3
1
−
+=
x
y
• TX§: D = R {1}
• Sù biÕn thiªn:
+ Giíi h¹n – TiÖm cËn:
+∞=+
→
y
x 1
lim
−∞=−
→
y
x 1
lim ⇒§THS cã tiÖm cËn ®øng: x = 1
1lim =
+∞→x
y ⇒§THS cã tiÖm cËn ngang: y = 1
0,25
+ B¶ng biÕn thiªn:
'y = 0
)1(
3
2
<
−
−
x
, Dx∈∀
x
y’
y
∞− ∞+1
- -
1
∞−
∞+
1
HS nghÞch biÕn trªn c¸c kho¶ng (-∞ ; 1) v (1; +∞ )
HS kh«ng cã cùc trÞ
0,5
• §å thÞ:
y
xO-2
-2
1
1
KL: §å thÞ h m sè nhËn giao hai tiÖm cËn l m t©m ®èi xøng.
0,25

3. 3
2 CMR: Mäi tiÕp tuyÕn ……..diÖn tÝch kh«ng ®æi (1 ®iÓm)
Gi¶ sö M 





−
+
1
2
;
a
a
a thuéc ®å thÞ (1)
TiÕp tuyÕn cña (1) t¹i M:
1
2
))(('
−
+
+−=
a
a
axayy
= 2
2
2
)1(
24
)1(
3
−
−+
+
−
−
a
aa
x
a
0,25
TC§: x = 1 ( 1∆ ) ; TCN: y = 1( 1∆ )
Gäi I l giao 2 tiÖm cËn ⇒I(1; 1)
A = d ∩ 1∆ ⇒A(1;
1
5
−
+
a
a
) ; B = d ∩ 2∆ ⇒B(2a-1; 1) 0,25






−
=
→
1
6
;0
a
IA ⇒IA =
1
6
−a
; ( )0;22 −=
→
aIB ⇒IB =
2 1−a
0,25
DiÖn tÝch IAB∆ : S IAB∆ = IBIA.
2
1
= 6 (®vdt) ⇒§PCM 0,25
II 2
1 T×m x );0( π∈ tho¶ m·n pt (1 ®iÓm)
§K:



−≠
≠
⇔



≠+
≠
1tan
02sin
0cossin
02sin
x
x
xx
x
Khi ®ã pt xxx
xx
xx
x
xx
cossinsin
sincos
cos.2cos
sin
sincos 2
−+
+
=
−
⇔
xxxxxx
x
xx
cossinsincossincos
sin
sincos 22
−+−=
−
⇔
0,25
⇔ )2sin1(sinsincos xxxx −=−
⇔ 0)1sincos)(sinsin(cos 2
=−−− xxxxx
0,25
⇔ 0)32cos2)(sinsin(cos =−+− xxxx
⇔ 0sincos =− xx ⇔ tanx = 1 )(
4
Zkkx ∈+=⇔ π
π
(tm) 0,25
( )
4
0;0
π
π =⇒=⇒∈ xkx
KL:
0,25
2 T×m m ®Ó pt cã nghiÖm (1 ®iÓm)
XÐt hs: 11)( 22
+−−++= xxxxxf

4. 4
12
12
12
12
)('
22
+−
−
−
++
+
=
xx
x
xx
x
xf



++−=+−+
≥−+
⇔=
)1()12()1()12(
0)12)(12(
0)(' 2222
xxxxxx
xx
xf
0,25




=
−
≤∨≥
⇔
)(0
2
1
2
1
lx
xx
Rxf ∈∀>= ,01)0(' ⇒HS )(xf ®ång biÕn trªn R.
0,25
1)(lim;1)(lim −==
−∞→+∞→ xx
xfxf 0,25
PT cã nghiÖm khi: -1 < m < 1. 0,25
III 2
1 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (ABC) (1 ®iÓm)
PT mp(ABC): 1=++
c
z
b
y
a
x 0,5
0=−++⇔ abcabzcaybcx O,25
( ) 222222
)(,
accbba
abc
ABCOd
++
= 0,25
2 TÝnh thÓ tÝch khèi ®a diÖn OIBC (1 ®iÓm)
→
AB=( )0;;ba− => PTTS cña AB:





=
=
−=
0z
bty
atax
0,25
)0;;( btataIABI −⇒∈ ⇒
→
IC =( )cbtaat ;;−−
→
IC ⊥
→
AB
→
⇔ IC .
→
AB= 0 22
2
222
0)(
ba
a
ttbaa
+
=⇔=+−⇔
⇒ 





++
0;; 22
2
22
2
ba
ba
ba
ab
I
0,25
0,25

5. 5
IV 2
1 TÝnh tÝch ph©n (1 ®iÓm)
§Æt tdtdxxtxt 211 2
=⇒−=⇒−=
§æi cËn: x = 1 0=⇒ t
x = 2 1=⇒ t
0,25
Khi ®ã: dt
t
t
t
dttt
I ∫∫ 





−
++=
−
+
=
1
0
2
2
1
0
2
22
9
90
102
9
2)1(
0,25
=
1
0
1
0
3
3
3
ln3010
3
2
+
−
+





+
t
t
t
t
= 2ln30
3
62
2
1
ln30
3
62
−=+
0,5
2 T×m GTNN (1 ®iÓm)
C¸ch 1:
• CM: Víi mäi a, b > 0 th× 





+≤
+ baba
11
4
11
(1)
DÊu “ =” x¶y ra ba =⇔
A = 





+
+
+
+
+
−++
xyzzxyzyxyzxzyx
111111
A = 





++
+
++
+
++
−++
yxzxzyzyxzyx 2
1
2
1
2
1111
• ¸p dông (1) ta cã:
A






+
+
+
+
+
+++−++≥
yxxzzyzyxzyx
111
2
1
2
1
2
1
4
1111






++=





++−++≥
zyxzyxzyx
111
4
3111
4
1111
• CM: Víi mäi a, b, c th×: ( ) ( )cabcabcba ++≥++ 3
2
(2)
DÊu “=” x¶y ra cba ==⇔
¸p dông (2) ta cã:
0,25
0,25
0,25
( )0;0;
00
0
;
0
00
;
0
0
, bc
b
cc
b
OCOB =







=


 →→
22
3
.,
ba
cab
OIOCOB
+
=





⇒
→→→
( )22
3
6
.,
6
1
ba
cab
OIOCOBVOIBC
+
=





=
→→→
(®vtt)
0,25

6. 6
3.3
111
3
111
2
=
++
=





++≥





++
xyz
zyx
zxyzxyzyx
• Do x, y, z > 0 nªn 3
111
≥++
zyx
⇒A
4
33
≥
KL:
4
33
min
=A ®¹t ®−îc khi 3=== zyx
C¸ch 2:
A = 





++
+
++
+
++
−++
yxzxzyzyxzyx 2
1
2
1
2
1111
Theo C«Si:
A








++−++≥
444 4
1
4
1
4
1111
xyzzxyyzxxyzzyx
A 





++++++++−++≥
zyxzyxzyxzyx
211121112
16
1111
A 





++≥
zyx
111
4
3
(C¸ch 1)
0,25
V.a D nh cho ban C¬ B¶n 2
1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1 ®iÓm)
PT ( ) ( )xxx
10.25lg20.155.10lg =+⇔ 0,25
xxx
10.2520.155.10 =+⇔
0102.254.15 =+−⇔ xx
0,25
§Æt )0(2 >= tt x
, ta ®−îc: 15t
2
- 25t +10 = 0




=
=
⇔
)(
3
2
)(1
tmt
tmt
0,25
1=t 012 =⇔=⇒ xx






=⇔=⇒=
3
2
log
3
2
2
3
2
2xt x
KL:
0,25
2 TÝnh thÓ tÝch l¨ng trô (1 ®iÓm)

7. 7
A
H
B
C
C’
B’
A’
Gäi H l trung ®iÓm AB



⊥
⊥
⇒
ABHC
ABCH
'
( ) 0
60')',()(),'( ===⇒ CHCHCCHABCABC
22
'
32'.3 aABHCaS ABC
=⇔=∆
(1)
XÐt 'HCC∆ vu«ng t¹i C: 3
60cos
' 0
AB
HC
HC == (2)
Tõ (1),(2) 6';2 aHCaAB ==⇒
aHCCC
2
23
60sin'.' 0
==
202
2
3
60sin
2
1
aABS ABC
==∆
3
'''.
4
63
'. aCCSV ABCCBAABC
== ∆
(®vtt)
0,25
0,25
0,25
0,25

8. 8
V.b D nh cho ban KHTN 2
1 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh (1 ®iÓm)
Bpt ( ) ( ) 43232
22 22
≤−++⇔
−− xxxx
§Æt ( ) )0(32
22
>+=
−
tt
xx
, ta ®−îc: 4
1
≤+
t
t
0142
≤+− tt 3232 +≤≤−⇔ t (tm)
0,5
Khi ®ã: ( ) 323232
22
+≤+≤−
− xx
121 2
≤−≤−⇔ xx
⇔ 21210122
+≤≤−⇔≤−− xxx
KL:
0,5
2 CM: (SAC) ⊥(ABCD) v tÝnh thÓ tÝch S.ABCD (1 ®iÓm)
S
A
B C
D
O
CM: (SAC) ⊥(ABCD):
BCSA
BCAD
ADSA
⊥⇒


⊥
//
)()()( ABCDSACSACBCBCSC
⊥⇒⊥ → ⊥
TÝnh thÓ tÝch:
( ) ( ) α== →



⊥
⊥ =∩
ACSCABCDSBC
ACBC
SCBC BCABCDSBC
,)(),()()(
(1)
T−¬ng tù ( ) ( ) α==⇒ ACSAABCDSAD ,)(),( (2)
Tõ (1), (2) α==⇒ SCASAC
SAC∆ c©n t¹i S )(ABCDSOACSO SOBC
⊥ →⊥⇒ ⊥
ABC∆ vu«ng t¹i C : AC = AB.sin300
=
2
a
0,25
0,25
0,25

9. 9
20
4
3
60sin..
2
1
.22 aACABSS ABCABCD
===
SOA∆ vu«ng t¹i O: AO =
42
1 a
AC =
SO = AO.tan αα tan
4
1 4
a=
αtan
48
3
.
3
1 3
.
aSO SV ABCDABCDS
== (®vtt).
0,25