ディジタル信号処理 課題解説 その7
- 2. LTIシステムとz変換
• 復習
• 課題43 連続時間と離散時間のインパルス関数
• 課題44 2次元離散時間信号の因果性
• 課題45 LTIシステムの出力の因果性の証明
• 課題46 IIRフィルタがLTIシステムであることの証明
• 課題47 システム関数の安定性条件
• 課題48 非線形フィルタの周波数特性
- 3. LTIシステムの復習１
• 入力x[n]があり何かしらの変換を行って出力された応答をy[n]
としたとき
𝑦 𝑛 = 𝐿[𝑥[𝑛]]
と表す
• この講義ではLは線形時不変システム(LTI)であるとする
• 線形…𝐿 𝑎𝑥1 𝑛 + 𝑏𝑥2 𝑛
= 𝑎𝑦1 𝑛 + 𝑏𝑦2 [𝑛]
• 時不変…y 𝑛 = 𝐿[𝑥[𝑛]] ↔ 𝑦 𝑛 − 𝑘 = 𝐿[𝑥[𝑛 − 𝑘]]
• LTIシステムであることは以下の式が成り立つ（下式の立式に
上二つの式を用いる）
𝑦 𝑛 =
∞
𝑘=−∞
𝑥 𝑘 ℎ[𝑛 − 𝑘]
• hはシステムのインパルス応答である（ℎ 𝑛 = 𝐿[𝛿[𝑛]]）
• 要するに入力とシステムのインパルス応答の畳み込みで求まる
- 4. LTIシステムの復習２
LTIシステムの種類
• 有限長インパルス応答システム(FIR)
• インパルス応答
単位インパルス𝛿[𝑛]をシステム
に入力した時の応答
ℎ 𝑛 = 𝐿[𝛿[𝑛]]
• インパルス応答の長さが有限
• 𝑦 𝑛 =
𝑀
𝑘=0
𝑥 𝑛 − 𝑘 ℎ[𝑘]
• 無限長インパルス応答システム(IIR)
• インパルス応答の長さが無限
• 通常の畳み込みの計算は無限の総和になるため計算できないが，再帰
的に計算すれば有限の総和で計算可能
𝑀
𝑁
• 𝑦 𝑛 = 𝑘=0 𝑎 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 − 𝑘=0 𝑏 𝑘 𝑦 𝑛 − 𝑘
• 例:ℎ 𝑛 = 𝛼 𝑛 𝑢0 [𝑛]の場合（𝑢0 [𝑛]はステップ関数）
𝑦 𝑛 = ∞ 𝛼 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 = ∞ 𝛼 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑘 + 𝛼 0 𝑥[𝑛]
𝑘=0
𝑘=1
∞
𝑙+1 𝑥 𝑛 − 𝑙 + 1
=
+ 𝑥[𝑛] (𝑙 = 𝑘 − 1)
𝑙=0 𝛼
= 𝛼 ∞ 𝛼 𝑙 𝑥 (𝑛 − 1) − 𝑙 + 𝑥[𝑛]
𝑙=0
= 𝛼𝑦 𝑛 − 1 + 𝑥[𝑛] と記述できる．一般化すると上式になる
- 6. z変換の復習
• 定義
𝑋 𝑧 =
∞
𝑛=0
𝑥 𝑛 𝑧 −𝑛
• z変換はラプラス変換の離散化したものである
• 導出はフーリエ→ラプラスの時と同様に離散フーリエから始め
る
• 離散フーリエに1．𝑒 −𝑐𝑛 をかける2.単位ステップ関数をかける3.𝑒 𝑐+𝑗𝜔𝑛 を
zと置く
• このようにｚを置くことによって特性がわかりやすくなる
• ディジタルフィルタをz変換して記述するとn時刻分の遅延を
𝑧 −𝑛 で表すことが出来る．
- 12. 課題45
因果的なシステムにおいて以下が成り立つ
ℎ 𝑘 = 0 (𝑘 < 0)
∞
𝑦 𝑛 = ∞
𝑘=−∞ 𝑥 𝑘 ℎ[𝑛 − 𝑘] =
𝑘=0 𝑥 𝑘 ℎ[𝑛 − 𝑘]
さらにx[n]が因果的であるならば𝑥 𝑘 = 0 (𝑘 < 0)を満たす．
以上より𝑦 𝑘 = 0 (𝑘 < 0)となりｙは因果的になることが証明さ
れた．
- 14. 課題46
LTIシステムである↔線形性・時不変性を満たす
• 線形性
𝑦1 𝑛 =
𝑀
𝑘=0
𝑀
𝑘=0
𝑎 𝑘 𝑥1 𝑛 − 𝑘 −
𝑁
𝑘=1
𝑁
𝑘=1
𝑏 𝑘 𝑦1 [𝑛 − 𝑘]
𝑦2 𝑛 =
𝑎 𝑘 𝑥2 𝑛 − 𝑘 −
𝑏 𝑘 𝑦2 [𝑛 − 𝑘]
𝑝𝑦1 𝑛 + 𝑞𝑦2 𝑛 =
𝑀
𝑁
𝑘=0 𝑎 𝑘 {𝑝𝑥1 𝑛 − 𝑘 + 𝑞𝑥2 𝑛 − 𝑘 } −
𝑘=1 𝑏 𝑘 {𝑝𝑦1 𝑛 − 𝑘 + 𝑞𝑦2 𝑛 − 𝑘 }
• 時不変性
𝑛 → 𝑛 − 𝑙とすると
𝑀
𝑦 𝑛 − 𝑙 = 𝑘=0 𝑎 𝑘 𝑥 𝑛 − 𝑙 − 𝑘 −
𝑁
𝑘=1
𝑏 𝑘 𝑦 [𝑛 − 𝑙 − 𝑘]
- 16. 課題47
ℎ[𝑛]が絶対総和可能↔ ∞
𝑛=−∞ ℎ 𝑛 < ∞
極𝑧 𝑛 がすべてz平面の単位円内に存在する↔ 𝛽 𝑛 < 1
伝達関数H[z]が以下の形で表せるとする
𝐻 𝑧 = 𝐶
𝑀 (1−𝛼 𝑧 −1 )
𝑚
𝑚=1
𝑁
−1
𝑛=1(1−𝛽 𝑛 𝑧 )
部分分数分解して
𝐴1
𝐴2
𝐵1
𝐵2
𝐵𝑁
𝐻 𝑧 = 𝐴0 +
+ 2 + ⋯+
+
+ ⋯+
−1
−1
𝑧
𝑧
1 − 𝛽1 𝑧
1 − 𝛽2 𝑧
1 − 𝛽 𝑁 𝑧 −1
これを逆z変換すると
ℎ 𝑛 = 𝐴0 𝛿 𝑛 + 𝐴1 𝛿 𝑛 − 1 + 𝐴2 𝛿 𝑛 − 2 + ⋯ + 𝐵1 𝛽1𝑛 + 𝐵2 𝛽2𝑛 + ⋯
h[n]が絶対総和可能なので|𝛽 𝑛 | < 1よって極は全て単位円内に存在する
