Aplicaciones de la propagación de la incerteza en las medidas

1. Teoría del Error
Error en las medidas

2. Error en las medidas
En cualquier medición que se realice, siempre se cometen errores. Estos errores
pueden provenir de dos fuentes: errores sistemáticos y los aleatorios o accidentales.
Los errores sistemáticos son los debidos al aparato de medida y se pueden corregir
utilizando instrumentos adecuados. Para que un aparato sea adecuado, tiene que ser
fiel, exacto y preciso:
• Un aparato es fiel cuando al medir el mismo objeto varias veces, el resultado
es el mismo
• Un aparato es exacto cuando el resultado obtenido coincida con el valor real
• Un aparato es preciso cuando es capaz de medir pequeñas variaciones de
una magnitud.
.
2

3. Los errores aleatorios o accidentales, son los debidos a la persona
que está realizando la medición. Estos errores se dan por defecto y
por exceso. Para reducirlos, se realizan repetidas mediciones y se
utiliza como valor exacto el valor medio.
Por tanto, todas las medidas están afectadas por un error
experimental y es por eso que la medición va acompañada por una
incertidumbre, que es un valor que se obtiene gracias al cálculo del
error absoluto y el error relativo:
3

4. Error absoluto
El error absoluto se define como la diferencia entre el valor
real y el valor aproximado, en valor absoluto:
donde:
• El valor real es el valor que en teoría mide la magnitud
a medir
• El valor aproximado es la media de las diferentes
medidas
4

5. Este valor del error absoluto es el debido a la persona que realiza
la medición. Además, existe el error debido a la precisión del
instrumento de medida, que coincide con la unidad más pequeña
con la que puede medir el aparato.
El error absoluto será el mayor valor entre el error del medidor y
el error del aparato.
El error absoluto se mide en las mismas unidades que la
medición.
5

6. Además, se expresa siempre con una cifra distinta de cero, redondeándose siempre
en exceso. Es decir, no podemos expresar el error absoluto de esta forma:
Sino que el 0,018 debemos redondearlo a 0,02:
Por otro lado, error no puede ser más precisa (en decimales) que la medida. Deben
ser igual de precisas. Si el error está expresado en centésimas, la medición no
puede ir expresada en unidades:
Sino que la medición debe ir también expresada en centésimas:
Si la medición es un número entero, entonces para llegar a las centésimas
añadiríamos ceros después del punto.
6

7. Cálculo del error absoluto
Vamos a ver ahora cómo calcular el error absoluto cuando se realizan
varias medidas directas.
En este caso debemos utilizar la siguiente fórmula:
Simbolizamos el error absoluto como ∆x
7

8. Por lo tanto, expresamos la medida como 𝑥 ± ∆𝑥, la medida con su
error absoluto.
Donde en el numerador tenemos la suma del cuadrado de cada dato
medido menos el valor medio de los datos y en el denominador N es el
número de datos.
Por ejemplo: En un experimento tomamos las siguientes medidas de
tiempo. ¿Cuál es el error absoluto de la medida?:
Cálculo del error absoluto
8

9. Cálculo del error absoluto.
 En primer lugar,
calculamos la
media de las
mediciones, que
será el valor
exacto de la
medición. Para
ello, sumamos
todos los valores
y dividiendo entre
el número de
mediciones, que
en este caso es 5:
Calculamos y nos queda:
9

10. Cálculo del error absoluto
Por tanto, este valor de 17,242 s, lo consideraremos el valor exacto
de la medición.
Vamos a calcular el error absoluto de la medición aplicando la
fórmula: ∆𝑥 = 𝑥𝑟𝑒𝑎𝑙 − 𝑥𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
Lo hacemos igual para el resto de valores y lo vamos escribiendo en
esta columna:
10

11. Necesitamos la calculadora para
realizar y comprobar los siguientes
cálculos.
11

12. Cálculo del error absoluto
Después añadimos otra columna donde elevamos los valores
obtenidos en la segunda columna al cuadrado:
Por ejemplo, para el primer valor de la segunda columna sería:
12

13. Cálculo del error absoluto.
Lo hacemos igual para el resto de datos:
13

14. Cálculo del error absoluto.
Estamos buscando la suma del valor de cada dato menos la media al
cuadrado, por tanto, para obtenerlo, sólo tenemos que sumar todos los
valores de la tercera columna:
14

15. Cálculo del error absoluto
Determinamos la sumatoria de las diferencias al cuadrado:
(𝑡 − 𝑡)2
= 0.1699 𝑠2
Sustituimos este valor en la fórmula, N lo sustituimos por 5, que es el
número de datos que tenemos y calculamos:
∆𝑥 =
(𝑥 − 𝑥)2
𝑁(𝑁 − 1)
→ ∆𝑥 =
0.1699
5(5 − 1)
→ ∆𝑥 = 0.09217 𝑠
Este error absoluto corresponde al error del medidor: ∆x=0.09217 s
El error debe tener una cifra significativa ∆x=0.1 s
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16. La medida final la expresamos como el valor exacto, que era la media
de las medidas con su error absoluto:
𝑡 = 17.242 ± 0.1 𝑠
Como el valor de la medición y el error deben tener la misma
precisión, ajustamos el valor exacto a los decimales del error,
por lo que nos queda:
𝑡 = 17.2 ± 0.1 𝑠
16

17. Cálculo del error relativo
El error relativo se calcula dividiendo el error absoluto entre
la medida, por lo tanto, puede ser:
𝜺𝒓% = 0.006(100%)=0.6%
Se establece que el resultado de la medición es “aceptada”, en base al
concepto de error relativo.
Error relativo unitario: 𝜺𝒓 =
∆𝒙
𝒙
error relativo porcentual: 𝜺𝒓% =
∆𝒙
𝒙
. 𝟏𝟎𝟎%
Para el ejemplo: 𝜀𝑟 =
0.1
17.2
= 0.0058 ≈ 0.006
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18. Cálculo del error absoluto en medidas indirectas.
Para el cálculo del
error absoluto de
una medición
indirecta debemos
de tomar en cuenta
la propagación de
la incerteza en el
proceso.
Cuando en la
expresión matemática
aparecen productos,
divisiones y potencias,
el error relativo del
producto es la suma de
los errores relativos de
las diferentes
magnitudes
implicadas,
multiplicadas por sus
exponentes.
Cuando en la
expresión
matemática sólo
aparecen sumas y
restas, el error
absoluto es la suma
de los errores
absolutos de las
medidas directas
18

19. Modelo de aplicación:
En un experimento se introducen dos líquidos en un matraz y se quiere hallar
la masa total del líquido. Se conocen: 𝑀1 = 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑎𝑧 1 +
𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 = 540 ± 10 𝑔.
𝑚1 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑎𝑧 1 = 72 ± 1 𝑔.
𝑀2 = 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑎𝑧 2 + 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 = 940 ± 20 𝑔.
𝑚2 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑎𝑧 2 = 97 ± 1 𝑔.
La masa de líquido será:
𝑀 = 𝑀1 − 𝑚1 + 𝑀2 − 𝑚2 = 540𝑔 − 72𝑔 + 940𝑔 − 97𝑔 = 1311 𝑔.
Suma y resta.
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20. El error es:
∆𝑀 = 10𝑔 + 1𝑔 + 20𝑔 + 1𝑔 = 32𝑔.
El resultado se expresará:
𝑀 = 1311 ± 32 𝑔
𝑀 ≈ 13.1.× 102 ±0.3 × 102 𝑔
𝑀 ≈ 13.1 ± 0.3 × 102
𝑔.
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21. Producto.
Modelo de aplicación:
Se tienen las medidas de los lados de un rectángulo de base
𝑏 = 37.2 ± 0.2𝑚 y altura ℎ = 20.3 ± 0.5 𝑚.
Determinar su área.
Solución:
Fórmula 𝑨 = 𝒃. 𝒉 = (37.2 ± 0.2𝑚)(20.3 ± 0.5 𝑚)
Calculamos la medida del área:
𝐴 = 37.2𝑚 20.3𝑚 = 755.16𝑚2
≈ 755𝑚2
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22. Producto.
Calculamos los errores relativos de ambos factores:
𝜀𝑟1 =
∆𝑥
𝑥
=
0.2
37.2
= 0.00537 ≈ 0.005
𝜀𝑟2 =
∆𝑥
𝑥
=
0.5
20.3
= 0.0246 ≈ 0.02
𝜀𝑟 = 𝜀𝑟1 + 𝜀𝑟2 = 0.005 + 0.02 = 0.025 ≈ 0.03
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23. Producto.
Calculamos el error absoluto del área:
∆𝐴 = 𝐴. 𝜀𝑟 = 755𝑚2
0.03 = 22.65 ≈ 23𝑚2
Expresamos el resultado de la medición:
𝐴 = 755 ± 23𝑚2
𝐴 = 7.55 × 102
± 0.23 × 102
𝑚2
𝐴 ≈ (7.6 ± 0.2) × 102𝑚2
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24. Potencia.
Modelo de aplicación:
Calcular el volumen de una esfera de radio 𝑟 = 0.029 ± 0.005 𝑚.
Solución: Fórmula V =
4
3
𝜋𝑟3
𝑉 =
4
3
𝜋 0.029 ± 0.005 𝑚 3
Calculamos la medida del volumen:
𝑉 =
4
3
𝜋 0.029 𝑚 3
= 1.02 × 10−4
𝑚3
≈ 1 × 10−4
𝑚3
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25. Potencia
Calculamos el error relativo para la potencia:
𝜀𝑟𝑛 = 𝑛
∆𝑥
𝑥
𝜀𝑟𝑛 = 3
0.005
0.029
𝜀𝑟𝑛 = 0.517
𝜀𝑟𝑛 ≈ 0.5
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26. potencia
Calculamos el error absoluto del volumen:
∆𝑉 = 𝑉. 𝜀𝑟𝑛 = 1 × 10−4𝑚3 0.5
∆𝑉 = 5 × 10−5𝑚3
Expresamos el resultado de la medición:
𝑉 = 1 × 10−4
± 5 × 10−5
𝑚3
𝑉 = 10 × 10−5
± 5 × 10−5
𝑚3
𝑉 = 10 ± 5 × 10−5
𝑚3
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27. Modelos de aplicación
En la medición de una longitud se obtuvieron los siguientes resultados
en cm: 1.32; 1.30; 1.32; 1.33; 1.32; 1.31; 1.31; 1.32; 1.31; 1.31; 1.31; 1.30.
Encuentre el resultado de la medida y su error relativo.
Ordenando los datos:
𝑥𝑖(𝑐𝑚) =1.30; 1.30; 1.31; 1.31; 1.31; 1.31; 1.31; 1.32; 1.32; 1.32; 1.32; 1.33.
Fórmulas: 𝑥 =
𝑥𝑖
𝑁
∆𝑥 =
(𝑥−𝑥)2
𝑁(𝑁−1)
𝜀𝑟=
∆𝑥
𝑥
𝜀𝑟%=
∆𝑥
𝑥
. 100%
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28. Modelo de aplicación
Calcular la densidad de un cubo de aluminio que posee un volumen
V= 29.65 ± 0.05 𝑐𝑚3 y masa de 𝑚 = 81.2 ± 0.2 𝑔.
Solución: Fórmula 𝝆 =
𝒎
𝑽
=
81.2±0.2 𝑔
29.65±0.05 𝑐𝑚3

29. Modelo de aplicación
Con un tornillo micrométrico se mide la arista de un cubo obteniendo a=
42.65± 0.01 cm. ¿Cuál es el volumen del cubo?
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎𝑠 𝑉 = 𝑙3
𝑉 = (42.65 ± 0.01 𝑐𝑚)3

30. Modelo de aplicación.
Se miden los lados de un triángulo y se obtienen los siguientes resultados:
𝐿1 = 25.4 ± 0.3 𝑐𝑚; 𝐿2 = 30.2 ± 0.3 𝑐𝑚, ; 𝐿3 = 17.3 ± 0.3 𝑐𝑚. Determine
el perímetro del triángulo.
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑃 = 𝐿1 + 𝐿2 + 𝐿3
𝑃 = 25.4 ± 0.3 𝑐𝑚 + 30.2 ± 0.3 𝑐𝑚 + 17.3 ± 0.3 𝑐𝑚
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