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![例：リストの結合
xs=[1; 2; 3; 4]
ys=[5; 6; 7; 8]
zs=xs++ys
手続き型言語（たとえばC言語）では？
xs ys
1 2 3 4 5 6 7 8
zs
これだと、実行後xsの値が書き変わってしまう
（永続的ではない）
永続性の保証のためには、事前にデータのコピーが必要](https://image.slidesharecdn.com/random-111111013236-phpapp01/85/slide-10-320.jpg)
![準備：リストの基本操作
a=[1;2;3]
head a => 1 a 1 2 3
1
b=tail a => [2;3]
a 1 2 3
b
c=Cons(0,a) => [0;1;2;3]
c 0 1 2 3
a
すべて永続性を保持しても計算量O(1)](https://image.slidesharecdn.com/random-111111013236-phpapp01/85/slide-14-320.jpg)
![純粋関数型なキューのアルゴリズ
ム
• キューを２つのリストの組(f,r)として表す
– ただし、常にfが空にならないように管理する
– fが空になった時は、(reverse r, [])を返す
• 新しく値を加える（snoc）ときは、rの頭
に加える
• 値を取得する（head）ときは、fの頭の値
を取得する
• 値を削除する（tail）ときは、fの頭を削除
する](https://image.slidesharecdn.com/random-111111013236-phpapp01/85/slide-17-320.jpg)
![通常のリストによる表現 純粋関数型データ構造
q1=snoc (empty,1)
([], [1])
[1]
([1], [])
q2=snoc (q1,2)
q3=snoc (q2,3)
q4=snoc (q3,4)
[1;2;3;4] ([1], [4;3;2])
q5=tail q4
([], [4;3;2])
[2;3;4]
([2;3;4], [])
q6=tail q5
[3;4] ([3;4], [])
q7=snoc q6 5
[3;4;5] ([3;4], [5])](https://image.slidesharecdn.com/random-111111013236-phpapp01/85/slide-18-320.jpg)
![基本的アイデア
• reverseの遅延評価版「rotate」を考える
• rのサイズがfのサイズより1大きいときに
限ってrotateが動くこととする
– 非遅延版はf=[]のときにreverseが走った
– 今度はf++reverse rを計算したい
• しかしそのまま直接では、遅延評価版を
作れないので、アキュムレータを入れる
(f,r,a)のタプルを考える
fun rotate ($Nil, Cons(y,_), a)=$Cons(y,a)
| rotate ($Cons(x,xs), Cons(y,ys), a) 注：ｒについては非遅延リストでいい
=$Cons(x,rotate(xs,ys,$Cons(y,a)))](https://image.slidesharecdn.com/random-111111013236-phpapp01/85/slide-31-320.jpg)
![例 fun rotate ($Nil, Cons(y,_), a)=$Cons(y,a)
| rotate ($Cons(x,xs), $Cons(y,ys), a)
=$Cons(x,rotate(xs,ys,$Cons(y,a)))
f=[1;2], r=[5;4;3] の場合
f2=rotate($Cons(1,$Cons(2,$Nil)), [5;4;3], $Nil)
=> $Cons(1, rotate($Cons(2,$Nil),[4;3],$Cons(5,$Nil))) ここで停止する
次にtailをとると・・・
f3=tail f2
=>rotate($Cons(2,$Nil),[4;3],$Cons(5,$Nil))
=>$Cons(2, rotate($Nil,[3],$Cons(4,$Cons(5,$Nil)))) ここで停止する
またまたtailをとると・・・
f4=tail f3
=>rotate($Nil,[3],$Cons(4,$Cons(5,$Nil)))
=>$Cons(3,$Cons(4,$Cons(5,$Nil)))
ここで停止する
以下tailをとる操作は自明
以上のようなrotateを部品として使う
ほかにも工夫が必要だが、説明略](https://image.slidesharecdn.com/random-111111013236-phpapp01/85/slide-32-320.jpg)
純粋関数型アルゴリズム入門
- 1. 純粋関数型アルゴリズム入門 日本ユニシス株式会社 総合技術研究所 加藤公一
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- 3. ツイッター界隈での認識 私 一時期10位以内にいたことも・・・ 田中さん
- 4.
- 5.
- 6. 今日の話 この本の解説 Purely Functional Data Structure Chris Okazaki リストとキューの話しかしません （それでも十分難しい）
- 7. 関数型言語の利点 • 本を読め！ byC.Okazaki – J.Backus 1978 – J.Hughes 1989 – P.Hudak and M.P. Jones 1994 • それだとあんまりなので、適宜説明しま す
- 8. データ永続性（persistency） • 変数に割り当てられた値は一切変更され ることはない – 破壊的代入が行われない – いつ参照しても同じ値が返ってくる • 永続性により保守性が高まる 例： 1. aにある値を代入 2. bにある値を代入 3. a,bの値を表示 4. aとbにある操作をしてその結果をcに代入 5. a,bの値を表示 この間に値が変わらないのが、永続性
- 9. 純粋関数型データ構造 （アルゴリズム） • データの永続性が保証されるデータ構造 （アルゴリズム）である • つまり永続性による保守性と、計算効率 を同時に考慮する
- 10. 例：リストの結合 xs=[1; 2; 3; 4] ys=[5; 6; 7; 8] zs=xs++ys 手続き型言語（たとえばC言語）では？ xs ys 1 2 3 4 5 6 7 8 zs これだと、実行後xsの値が書き変わってしまう （永続的ではない） 永続性の保証のためには、事前にデータのコピーが必要
- 11. 純粋関数型アルゴリズム すべてをコピーする必要はない！ xs ys 1 2 3 4 5 6 7 8 xs’ 1 2 3 4 片方だけコピーすればよい zs 通常 純粋関数型 計算 O(1) O(n) 量： 損している？→もっといい方法がある（後で説明）
- 12. 純粋関数型アルゴリズムを 学ぶメリット • （非純粋）関数型言語を使っている人： 一部を純粋関数型にすることで保守性を 高めることができる • 純粋関数型言語を使っている人：計算効 率の良いプログラムが書ける • 手続き型言語を使っている人：保守性を 高めることができる – 解く問題によっては・・・
- 13. 以下の疑似コード表記ルール • 遅延評価がデフォルトだとみなしたくな いので、ML風に疑似コードを書きます – アルゴリズムを明示的に理解するため – MLを知らない人でも大丈夫です。多分読めま す。 • Haskellのハラワタを示していると解釈して もいい
- 14. 準備：リストの基本操作 a=[1;2;3] head a => 1 a 1 2 3 1 b=tail a => [2;3] a 1 2 3 b c=Cons(0,a) => [0;1;2;3] c 0 1 2 3 a すべて永続性を保持しても計算量O(1)
- 15. ならし計算量 (Amortized Complexity) • 一連の操作の中で、ならして（平均的 な）計算量を考える • 一連の操作の中で一部計算量が多いこと があったとしても、平均すると計算量が 小さいということがある
- 16. 例：キュー（queue） • 先入れ先出しリスト • ここでは以下の３つの操作を考える – head：キューの最初の値を取得する – tail：キューから最初の値を削除する – snoc：キューに値を追加する snoc 1 snoc 2 snoc 3 head => 1 tail head => 2 head => 2
- 17. 純粋関数型なキューのアルゴリズ ム • キューを２つのリストの組(f,r)として表す – ただし、常にfが空にならないように管理する – fが空になった時は、(reverse r, [])を返す • 新しく値を加える（snoc）ときは、rの頭 に加える • 値を取得する（head）ときは、fの頭の値 を取得する • 値を削除する（tail）ときは、fの頭を削除 する
- 18. 通常のリストによる表現 純粋関数型データ構造 q1=snoc (empty,1) ([], [1]) [1] ([1], []) q2=snoc (q1,2) q3=snoc (q2,3) q4=snoc (q3,4) [1;2;3;4] ([1], [4;3;2]) q5=tail q4 ([], [4;3;2]) [2;3;4] ([2;3;4], []) q6=tail q5 [3;4] ([3;4], []) q7=snoc q6 5 [3;4;5] ([3;4], [5])
- 19. 計算量 • reverse rの計算量が大きい：rのサイズmと するとO(m) • しかしreverseはたまにしか起こらないの で、ならすと大きな計算量増加にはなら ない→ならし計算量の考え方
- 20. 詳細な解析 • snocの計算量は1（rの先頭に要素を加える だけ） • tailの計算量は – 通常は1（fのtailをとる） – fの要素数が1のときはm+1（fのtailを取ってか らrのreverse）
- 21. ならし計算量 • snocの計算量は2だと思う（実際には1なの で、1貯金する） • tailの計算量は – 通常は1 – fの要素数が1のときは貯金を使って1（rのサ イズがmになるまではsnocがm回行われている →貯金はmある） • つまり、ならせばすべての操作の計算量 はO(1)であるとみなしてよい
- 22. 銀行家法（Banker’s Method） • このように、実際にかかっていない計算 量をかかったとみなして貯金し、必要に 応じて（大きな計算量が必要なときに） その貯金を使うという考え方を、銀行家 法と呼ぶ。
- 23. ここまでのまとめ • ならし計算量でみると、キューの操作の 計算量は、純粋関数型でもO(1) • ここでの計算量評価法は「銀行家法」が 使われた – ほかには物理学者法（Physicist’s method）があ る • でもなんかだまされたような気がす る・・・
- 24. 遅延評価（Lazy evaluation） • 実際に必要になるまで評価は行わない • 代入時点では「式」を覚えている • 一度評価されたら値を覚えている • Haskellではデフォルトの動作
- 25. 記法 • 既存関数を遅延評価するときは頭に$を付 ける • 遅延評価する関数を新たに定義するとき は、関数名の前にlazyを付ける • 強制的に評価するときには、force関数を 適用 例：n番目の素数を返す関数primes n val p=$primes 1000000 一瞬で終わる（計算しない） val q=force p 時間がかかる val r=force p 一瞬で終わる（答を覚えている）
- 26. 遅延付きリスト（ストリーム） ～アイデア～ • リストの結合は最終的な目的ではない • 通常リストについての操作で最終的な目 的は、リストの一部を表示または他の計 算に使うこと • 以下、２つのリストを結合した後にtake k （最初のk個の要素をとる）をするという ストーリを考える
- 27. リストはConsの遅延で表現する val p=$Cons(1,$Cons(2,$Cons(3,$Cons(4,$Nil)))) 1 2 3 4 val q=$Cons(4,$Cons(5,$Cons(6,$Cons(7,$Nil)))) 4 5 6 7 fun lazy ($Nil)++t=t | ($Cons(x,s))++t=$Cons(x,s++t) fun lazy take(0,s) = $Nil | take(n,$Nil) = $Nil | take(n,$Cons(x,s)) = $Cons(x,take(n-1,s))
- 28. fun lazy ($Nil)++t=t | ($Cons(x,s))++t=$Cons(x,s++t) fun lazy take(0,s) = $Nil | take(n,$Nil) = $Nil | take(n,$Cons(x,s)) = $Cons(x,take(n-1,s)) val p=$Cons(1,$Cons(2,$Cons(3,$Cons(4,$Nil)))) val q=$Cons(4,$Cons(5,$Cons(6,$Cons(7,$Nil)))) val r=take(2,p++q) val s=force r take(2, $Cons(1,$Cons(2,$Cons(3,$Cons(4,$Nil)))) ++$Cons(4,$Cons(5,$Cons(6,$Cons(7,$Nil))))) => take(2, $Cons(1,$Cons(2,$Cons(3,$Cons(4,$Nil))) ++$Cons(4,$Cons(5,$Cons(6,$Cons(7,$Nil)))))) => $Cons(1,take(1,$Cons(2,$Cons(3,$Cons(4,$Nil))) ++$Cons(4,$Cons(5,$Cons(6,$Cons(7,$Nil)))))) => $Cons(1,take(1,$Cons(2,$Cons(3,$Cons(4,$Nil)) ++$Cons(4,$Cons(5,$Cons(6,$Cons(7,$Nil))))))) => $Cons(1,$Cons(2,take(0,$Cons(3,$Cons(4,$Nil)) ++$Cons(4,$Cons(5,$Cons(6,$Cons(7,$Nil))))))) => $Cons(1,$Cons(2,$Nil)
- 29. 計算量 • 結合（++）してtake kする計算量は、純粋 関数型でもO(k) • 結合対象のリストのサイズには依存しな い
- 30. キューの遅延評価版 • キューは、遅延評価版を考えることで、 「ならし」の部分が消滅する – つまり、ならさなくてもO(1)に
- 31. 基本的アイデア • reverseの遅延評価版「rotate」を考える • rのサイズがfのサイズより1大きいときに 限ってrotateが動くこととする – 非遅延版はf=[]のときにreverseが走った – 今度はf++reverse rを計算したい • しかしそのまま直接では、遅延評価版を 作れないので、アキュムレータを入れる (f,r,a)のタプルを考える fun rotate ($Nil, Cons(y,_), a)=$Cons(y,a) | rotate ($Cons(x,xs), Cons(y,ys), a) 注：ｒについては非遅延リストでいい =$Cons(x,rotate(xs,ys,$Cons(y,a)))
- 32. 例 fun rotate ($Nil, Cons(y,_), a)=$Cons(y,a) | rotate ($Cons(x,xs), $Cons(y,ys), a) =$Cons(x,rotate(xs,ys,$Cons(y,a))) f=[1;2], r=[5;4;3] の場合 f2=rotate($Cons(1,$Cons(2,$Nil)), [5;4;3], $Nil) => $Cons(1, rotate($Cons(2,$Nil),[4;3],$Cons(5,$Nil))) ここで停止する 次にtailをとると・・・ f3=tail f2 =>rotate($Cons(2,$Nil),[4;3],$Cons(5,$Nil)) =>$Cons(2, rotate($Nil,[3],$Cons(4,$Cons(5,$Nil)))) ここで停止する またまたtailをとると・・・ f4=tail f3 =>rotate($Nil,[3],$Cons(4,$Cons(5,$Nil))) =>$Cons(3,$Cons(4,$Cons(5,$Nil))) ここで停止する 以下tailをとる操作は自明 以上のようなrotateを部品として使う ほかにも工夫が必要だが、説明略
- 33. まとめ • 純粋関数型アルゴリズムは便利 –計算は速いし、保守性も高い – もちろん多少の犠牲（オーバーヘッド）は伴 う • 純粋関数型アルゴリズムを設計するうえ で遅延評価は重要 – 計算量に直接効いてくる – ならし計算量がならさなくてもよくなる （deamortalization）