Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
BÖLÜM 5:
OLASILIK DAĞILIMLARI
Hazırlayan
GülĢah BaĢol
TOKAT - 2013
T.C.
GAZĠOSMANPAġAÜNĠVERSĠTESĠ
EĞĠTĠMFAKÜLTESĠ
Konu BaĢlıkları
• 5.1. Olasılık Dağılımları
• 5.1.1. Kesikli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık Dağılımları
• 5.1.1.1. Bernoulli Da...
Konu BaĢlıkları
• 5.1.2. Sürekli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık Dağılımları
• 5.1.2.1. Üstel Dağılım
• 5.1.2.2. Tekdüze (Unifor...
• Olasılık dağılımlarını bilir.
• Kesikli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını söyler.
• Bernoulli dağılımını bilir.
• ...
• Sürekli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını bilir.
• Üstel dağılımı bilir.
• Tekdüze (Uniform) dağılımı bilir.
• Nor...
Sürekli
Olasılık
Dağılımları
Binom
Hipergeometrik
Poisson
Olasılık
Dağılımları
Kesikli Olasılık
Dağılımları
Normal
Uniform...
5.1. 1. Kesikli Olasılık Dağılımları
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Binom
Hipergeometrik
Poisson
Kesikli Olasılık
Dağılımla...
5.1.1.1. Bernoulli Dağılımı
• Ġsviçreli bilim adamı Jacob Bernoulli tarafından bulunmuĢtur. En basit
kesikli olasılık dağı...
5.1.1.2. Binom Dağılımı
• Bernoulli denemelerinin n kez tekrarlandığı düĢünülsün.
Bu denemelerde baĢarılı sonuçların sayıs...
5.1.1.2. Binom Dağılımına Örnekler
• BeĢ çocuklu bir ailede belli bir sayıda kız veya erkek
çocuğa sahip olma olasılığı,
•...
5.1.1.2.1. Binom Dağılımının Elde Edilmesi
• Örnek1 : Bir lokantada servislerden memnuniyetsizliğin
oranı 0,20‟dur. 4‟er k...
ġġġġ 4 =1
1[0,204 0,800]=0,0016
ġġġM 3 4[0,203 0,801]=0,0064
ġġMġ
ġMġġ
Mġġġ
ġġMM 2 6[0,202 0,802]=0,1536
ġMġM
ġMMġ
MġġM
Mġ...
MMMġ 1 4[0,201 0,803]=0,4096
MMġM
MġMM
ġMMM
MMMM 0 1[0,200 0,804]=0,4096
SONUÇLAR X ras.değ.
X ras.değ.alma
sayısı Olasılı...
Sonuç olarak
Masalardaki ortalama kiĢi sayısı n,
ġikayet sayısı x,
X=x‟in olasılık fonksiyonu;
n,...,3,2,1x,)p1(p
x
n
)xX(...
Örnek2:
• Dört kiĢilik masalarda iki kiĢinin Ģikayet etme olasılığı,
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
1536.0256..680,020,0
)!...
n.pE(x)μ
n.p.qσVar(X)
2
n.p.qσ
Ortalama
Binom Dağılımının Karakteristikleri
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Varyans ve sta...
Binom Olasılık Tablosu
n = 10
x p=.15 p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.1969
0.3474
0.275...
Örnek3:
• 5 çocuklu ailelerde erkek çocuk sayısına iliĢkin dağılımı
oluĢturunuz ve aĢağıdaki soruları cevaplayınız. (X, er...
xnx
qp
)!xn(!x
!n
)xX(PErkek Çocuk Sayısı (X)
0 0313,0
2
1
2
1
0
5
50
1 1563,0
2
1
2
1
1
5
41
2 3125,0
2
1
2
1
2
5
32
3 31...
b- P(X>3)= P(X=4)+ P(X=5)
= 0,1563+0,0313=0,1876
a- P(X 2)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)
= 0,0313+0,1563+0,3125=0,5001
a- 2 ve da...
5.1.1.3. Poisson Dağılımı
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
• Belli bir zaman aralığında, belli bir alanda nadir
rastlanan ola...
!
)(
)(
x
et
xXP
tx
Ģeklindedir.
e=2,71828
x=t birim zaman içinde ilgilenilen olay sayısı,
t=t birim zaman içinde ilgileni...
Yukarıdaki eĢitliğe karĢılık gelen
doğal logaritma değeri e‟dir. e=
2.71828
Eular numarası (2.71828) N
sonsuza ulaĢırken y...
Poisson Dağılımının Karakteristikleri
• Dağılıma iliĢkin ortalama:
• Dağılıma iliĢkin varyans:
• Dağılıma iliĢkin standart...
• Örnek4 : Muhtarlığa bir yılda baĢvuran yardıma muhtaç
mahalle sakini sayısı 40 olsun. Burada raslantı değiĢkeni X
bir Po...
Bir üniversitede yılda 3000 öğrencinin notları girilmekte ve
puan giriĢi yapılırken gerçekleĢen ortalama hata sayısı =0,2
...
Örnek5
• Üniversitenin öğrenci bilgi sisteminde bir yılda hiç
hata yapmayan, 1 öğrencinin notunu yanlıĢ giren, 2
öğrencini...
1637.
!1
)2,0(
)1(
2,01
e
içermehataP
.1637 3000 491.1 adet
0164.
!2
)2,0(
)2(
2,02
e
içermehataP
.0164 3000 49.2 adet
001...
X
t
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90
0
1
2
3
4
5
6
7
0.9048
0.0905
0.0045
0.0002
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0...
5.1.1.4.Hipergeometrik Dağılım
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Hipergeometrik olasılık dağılımı binom olasılık
dağılımına be...
5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılımın Özellikleri
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
1. N sayıda sonlu popülasyondan seçilen n sayıd...
5.1.1.4.Hipergeometrik Dağılımın Formülü
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
N büyüklükteki bir örneklemden seçilen n nesne veya...
5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Örnek6:
Bir kavanozda4‟ü kırmızı, 7‟si sarı olmak ü...
5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Örnek7:
Bir malzeme kutusunda 12‟si 3mm‟lik 8‟i 5mm...
5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Örnek8:
Bir kreĢte 30‟u kız 20‟si erkek olmak üzere...
5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Örnek9:
Bir kreĢte 30‟u kız 20‟si erkek olmak üzere...
5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Örnek10:
Bir sınıftaki 20 öğrenciden 16‟sı sınavın ...
5.1.2. Sürekli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık
Dağılımları
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Sürekli
Olasılık
Dağılımları
Olasılık
D...
5.1.2.1. Üstel Dağılım
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
• Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir
baĢka ifadeyl...
40
Belirli bir zaman aralığında sırada bekleyen yolcu
sayılarının dağılımı Poisson Dağılımındadır.
Yolcuların durağa geliĢ...
41
Üstel Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
iki durumun gözlenmesi için gereken ortalama süre
x : iki durum arasında v...
42
Üstel Dağılımın Beklenen Değeri ve Varyansı
E(X)
Var (X)
1
a
2
2
1
a
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Parametreleri:
( ) 1
ax
P X x e
( ) 1 (1 )
ax ax
P X x e e
Örnek11: Bir telefon operatörüne yapılan bir aramada telefon
görüĢmesi için or...
5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım
• Eğer bir rassal değiĢken için olası değerlerin ortaya çıkma
olasılıkları eĢitse, bu r...
5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
5.1.2.3. Normal Dağılım
• Tüm dağılımların en önemlisidir diyebiliriz. Ġlk olarak
1733’te Moivre tarafından p baĢarı olası...
47
5.1.4.Standart Normal Dağılım
Puanlar standart değerlere dönüĢtürülerek tek bir
tabloda olasılık değerlerine ulaĢmak ve...
48
Normal Dağılımın Özellikleri
Çan eğrisi Ģeklindedir. Normal dağılım çarpıklık
katsayısı basıklık katsayısı 3 olan simet...
49
)(xE
2
)( xVar
f(x )
xOrtalama=Mod=Medyan
Olasılık dağılım fonksiyonu P(a), X değiĢkeninin aldığı
değiĢik a değerlerini...
Rastsal DeğiĢkenler için Beklenen Değer ve
Varyans
• Beklenen Değer ortalamaya eĢittir.
( )
x
E X xP x
BÖLÜM 5: OLASILIK D...
Rastsal DeğiĢkenin Lineer Fonksiyonu
• Fonksiyon:
• Ortalama:
Y a bX
E Y a bE X
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Normal eğri altındaki alan 1‟e eĢittir. Normal dağılımda
herhangi bir X sürekli değiĢkeninin nokta tahmini sıfırdır.
Çünkü...
53
Normal Dağılımda Olasılık Hesabı
?)()(
b
a
bxxfbxaP
Standart normal dağılımda
olasılık eğri altında kalan
alanı ifade e...
54
Standart Normal Dağılımda z Değeri
x
z
f(x )
x
f(z )
z
X ~ N ( , 2 )
Z ~ N ( 0 , 1)
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
55
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
NOT: Ġlk Sütunda z değerleri .10’luk açılımlarla
sıralanmıştır. SÜTUNLAR VĠRGÜLDEN SONRAK...
Standart Normal Dağılımda Alan ĠliĢkileri
 A+ B: Verilen bir z tablo değerinin yüzdelik karĢılığını verir.
 B: Verilen b...
Standart Normal Dağılım
Aritmetik Ortalama
Tepe Değer
Ortanca
)0()0( zaPazP
Standart Normal Dağılımla Olasılık Hesabı
Çarpıklık ve Basıklık Katsayılarının
Hesaplanması
• Dağılımları yorumlamada sıklıkla baĢvurulan bir diğer ölçü
de çarpıklı...
Çarpıklık Katsayısı
Puanlar x ekseninde küçükten büyüğe sıralanırken, bazı
durumlarda solda, bazen de sağda yığılma göster...
Çarpıklık Katsayısı
Basıklık Katsayısı
Basıklık katsayısı dağılımın sivrilik ya da yayvanlık
derecesinin bir ölçüsüdür. Basıklık katsayısı dağ...
63
Parametre DeğiĢikliklerindeki Farklar
2222
CBDADCBA
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
64
Standart Normal Dağılım Tablosunu
Kullanarak Olasılık Hesaplama
3413.)10( zP
f(z )
z
0 1
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
65
1587.)3413.50(.)10(50.
1587.)1(
zP
zP
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
66
Normal dağılım eğrisi simetriktir. Bu nedenle aynı değerler için iĢaretler farklı
da olsa olasılıklar eĢittir. z ile if...
Olasılığın Ġfade Edilmesi
68
f(z )
z-1 10
?)11( zP
( 1 1) ( 1 0) (0 1)
2 * (0 1) 2(0.3413) 0.6826
P z P z P z
P z
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
Ġste...
69
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
?)25.15.1( zP
0388.3944.4332.
)025.1()05.1()25.15.1( zPzPzP
70
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
?)65.165.1( zP
95.475.475.
)65.10()065.1()65.165.1( zPzPzP
71
BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
?)58.258.2( zP
99.485.485.
)58.20()058.2()58.258.2( zPzPzP
 μ ± 1σ arasında puanların %68.26’sı i bulunur.
 μ ± 2σ arasında puanların %95.44’ü bulunur.
 μ ± 3σ arasında puanların...
5.1.5.Merkezi Limit Teoremi
• Merkezi limit teoremi, evrene ait dağılım bilinmediğinde ya da
evren dağılımı normal olmadığ...
Örneklemden hesaplanan her değer evren ortalaması olan
μ’nün bir tahminidir. Buna göre örneklem değiştikçe tahmin
değeri d...
Aritmetik Ortalamanın Alt ve Üst Sınırı
Aritmetik ortalamanın örneklem hatası aritmetik ortalamaya
bir kere eklenip çıkarı...
5.1.6.Normal Dağılıma Yakınsamalar
• Normal koĢullarda örneklem büyüklüğü 30‟un üzerine
çıktığında dağılımlar normale dönü...
Binom Dağılımının Normal Dağılıma
Yakınsaması
• Büyük n değerleri için yaklaĢık olarak standart normal
• Dağılıma dönüĢür....
Poisson Dağılımının Normal Dağılıma
Yakınsaması
• Beklenen değer büyüdükçe Poisson olasılık dağılımı
normal dağılıma yakla...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Olasılık Dağılımları

78,384 views

Published on

Published in: Science
  • Justin Sinclair has helped thousands of women get their Ex boyfriends back using his methods. Learn them at: ★★★ http://t.cn/R50e5nn
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Değerli paylaşımınız için teşekkürler...
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Ve geometrik dagilm da anlatilmamis :(
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • sanirim ,30 slaytda bir hata var,denemelerin bagimli olmasi gerekmiyor mu?
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

Olasılık Dağılımları

  1. 1. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Hazırlayan GülĢah BaĢol TOKAT - 2013 T.C. GAZĠOSMANPAġAÜNĠVERSĠTESĠ EĞĠTĠMFAKÜLTESĠ
  2. 2. Konu BaĢlıkları • 5.1. Olasılık Dağılımları • 5.1.1. Kesikli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık Dağılımları • 5.1.1.1. Bernoulli Dağılımı • 5.1.1.2. Binom Dağılımı • 5.1.1.3. Poisson Dağılımı • 5.1.1.3. Hipergeometrik Dağılımı BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  3. 3. Konu BaĢlıkları • 5.1.2. Sürekli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık Dağılımları • 5.1.2.1. Üstel Dağılım • 5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım • 5.1.2.3. Normal Dağılım • 5.1.4. Standart Normal Dağılım • 5.1.5. Merkezi Limit Teoremi • 5.1.6. Normal Dağılıma Yakınsamalar BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  4. 4. • Olasılık dağılımlarını bilir. • Kesikli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını söyler. • Bernoulli dağılımını bilir. • Binom dağılımını bilir. • Poisson dağılımını bilir. • Hipergeometrik dağılımı bilir. • Sürekli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını bilir. • Üstel dağılımı bilir. • Tekdüze (Uniform) dağılımı bilir. • Normal dağılımı bilir. • Standart normal dağılımı bilir. Kazanımlar BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  5. 5. • Sürekli değiĢkenler için olasılık dağılımlarını bilir. • Üstel dağılımı bilir. • Tekdüze (Uniform) dağılımı bilir. • Normal dağılımı bilir. • Standart normal dağılımı bilir. • Merkezi Limit Teoremini bilir. • Kesikli ve sürekli dağılımların belli koĢullarda normal dağılıma yakınsama özellikleri olduğunu bilir. Kazanımlar BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  6. 6. Sürekli Olasılık Dağılımları Binom Hipergeometrik Poisson Olasılık Dağılımları Kesikli Olasılık Dağılımları Normal Uniform Üstel Bernoulli 5.1. Olasılık Dağılımları BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  7. 7. 5.1. 1. Kesikli Olasılık Dağılımları BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Binom Hipergeometrik Poisson Kesikli Olasılık Dağılımları Bernoulli
  8. 8. 5.1.1.1. Bernoulli Dağılımı • Ġsviçreli bilim adamı Jacob Bernoulli tarafından bulunmuĢtur. En basit kesikli olasılık dağılımdır., tek denemede gerçekleĢen iki çıktılı (geçme/kalma, doğru yapma/yanlıĢ yapma, atanma/atanamama) (Bernoulli deneyi) olayların olasılığının hesaplanmasında kullanılır. • Olayın olma olasılığı p, olmama olasılığı 1-p , • Beklenen olasılık değeri E(X), • Beklenen varyans p.(1-p)‟dir. • E(X)= =p n = 0 ise p(n) = 1-p, n = 1 ise p(n) = p, Olasılık fonksiyonunun gösterimi: • f(x) = P(X=x)=px . (1-p) 1-x , x=0,1 BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  9. 9. 5.1.1.2. Binom Dağılımı • Bernoulli denemelerinin n kez tekrarlandığı düĢünülsün. Bu denemelerde baĢarılı sonuçların sayısı X raslantı değiĢkeni kadardır. Bir deney • Ġki çıktılı sonuç veriyorsa, • Deney boyunca yapılan denemeler (n), aynı koĢullar altında gerçekleĢtiriliyorsa, • Tek deneme için baĢarılı olma olasılığı p ve baĢarısızlık olasılığı q ise ve bu olasılık her deneme için aynıysa, • Denemeler birbirinden bağımsızsa, • n deney boyunca sabitse deney binom dağılımındadır. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  10. 10. 5.1.1.2. Binom Dağılımına Örnekler • BeĢ çocuklu bir ailede belli bir sayıda kız veya erkek çocuğa sahip olma olasılığı, • Bir paranın 4 kez atılmasında belli bir sayıda yazı veya tura gelmesi olasılığı, • Belli sayıda gruplarda olasılık bilindiğinde farklı senaryolar için bir olayın olması ve olmaması olasılığı. • BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  11. 11. 5.1.1.2.1. Binom Dağılımının Elde Edilmesi • Örnek1 : Bir lokantada servislerden memnuniyetsizliğin oranı 0,20‟dur. 4‟er kiĢilik masalarda servilerden memnuniyetsizliğin dağılımını oluĢturunuz. • Bu olayda karĢılaĢılacak olan sonuçlar, X raslantı değiĢkeninin değerleri ve olasılıkları aĢağıda verilmiĢtir: BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  12. 12. ġġġġ 4 =1 1[0,204 0,800]=0,0016 ġġġM 3 4[0,203 0,801]=0,0064 ġġMġ ġMġġ Mġġġ ġġMM 2 6[0,202 0,802]=0,1536 ġMġM ġMMġ MġġM MġMġ MMġġ SONUÇLAR X ras.değ. X ras.değ.alma sayısı Olasılık 4 4 4 3 4 6 2 4
  13. 13. MMMġ 1 4[0,201 0,803]=0,4096 MMġM MġMM ġMMM MMMM 0 1[0,200 0,804]=0,4096 SONUÇLAR X ras.değ. X ras.değ.alma sayısı Olasılık 1 4 0 4 ġ: Ģikayet M: memnuniyet BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  14. 14. Sonuç olarak Masalardaki ortalama kiĢi sayısı n, ġikayet sayısı x, X=x‟in olasılık fonksiyonu; n,...,3,2,1x,)p1(p x n )xX(P xnx Yani n‟in x‟li kombinasyonu çarpı bir olayın tekrarlı olma ve olmama olasılıklarının çarpımı n,...,3,2,1x,qp )!xn(!x !n )xX(P xnx Ģeklinde verilebilir. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  15. 15. Örnek2: • Dört kiĢilik masalarda iki kiĢinin Ģikayet etme olasılığı, BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI 1536.0256..680,020,0 )!24(!2 !4 )2( 242 XP
  16. 16. n.pE(x)μ n.p.qσVar(X) 2 n.p.qσ Ortalama Binom Dağılımının Karakteristikleri BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Varyans ve standart sapma
  17. 17. Binom Olasılık Tablosu n = 10 x p=.15 p=.20 p=.25 p=.30 p=.35 p=.40 p=.45 p=.50 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1969 0.3474 0.2759 0.1298 0.0401 0.0085 0.0012 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.1074 0.2684 0.3020 0.2013 0.0881 0.0264 0.0055 0.0008 0.0001 0.0000 0.0000 0.0563 0.1877 0.2816 0.2503 0.1460 0.0584 0.0162 0.0031 0.0004 0.0000 0.0000 0.0282 0.1211 0.2335 0.2668 0.2001 0.1029 0.0368 0.0090 0.0014 0.0001 0.0000 0.0135 0.0725 0.1757 0.2522 0.2377 0.1536 0.0689 0.0212 0.0043 0.0005 0.0000 0.0060 0.0403 0.1209 0.2150 0.2508 0.2007 0.1115 0.0425 0.0106 0.0016 0.0001 0.0025 0.0207 0.0763 0.1665 0.2384 0.2340 0.1596 0.0746 0.0229 0.0042 0.0003 0.0010 0.0098 0.0439 0.1172 0.2051 0.2461 0.2051 0.1172 0.0439 0.0098 0.0010 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 p=.85 p=.80 p=.75 p=.70 p=.65 p=.60 p=.55 p=.50 x n = 10, p = .25, x = 4: P(x = 4|n =10, p = .25) = .1460 n = 10, p = .70, x = 3: P(x = 3|n =10, p = .70) = .0090 BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  18. 18. Örnek3: • 5 çocuklu ailelerde erkek çocuk sayısına iliĢkin dağılımı oluĢturunuz ve aĢağıdaki soruları cevaplayınız. (X, erkek çocuk sayısı, ailede erkek çocuğu olma olasılığı p=1/2‟dir.) • 2 ve daha az erkek çocuk olma olasılığı nedir? • 3 den daha çok erkek çocuk olma olasılığı nedir? BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  19. 19. xnx qp )!xn(!x !n )xX(PErkek Çocuk Sayısı (X) 0 0313,0 2 1 2 1 0 5 50 1 1563,0 2 1 2 1 1 5 41 2 3125,0 2 1 2 1 2 5 32 3 3125,0 2 1 2 1 3 5 23 4 1563,0 2 1 2 1 4 5 14 5 0313,0 2 1 2 1 5 5 05 BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  20. 20. b- P(X>3)= P(X=4)+ P(X=5) = 0,1563+0,0313=0,1876 a- P(X 2)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2) = 0,0313+0,1563+0,3125=0,5001 a- 2 ve daha az erkek çocuk olma olasılığı nedir? P(X 2) b- 3’den daha çok erkek çocuk olma olasılığı nedir? P(X>3) BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  21. 21. 5.1.1.3. Poisson Dağılımı BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI • Belli bir zaman aralığında, belli bir alanda nadir rastlanan olayların olasılık dağılımları Poisson dağılımı ile modellenebilir. Poisson dağılımı ortalaması ve varyansı aynı olan tek parametreli ( lambda) bir dağılımdır. Örnekler • Bir bölgede görülen Kırım Kongo Kanamalı AteĢi vaka sayısı, • Postanede bir iĢ gününde belli bir bankoya gelen müĢteri sayısı, • Bir kavĢakta bir ayda gerçekleĢen trafik kazalarının sayısı, • Boğaz köprüsünden bir saatte geçen araç sayısı.
  22. 22. ! )( )( x et xXP tx Ģeklindedir. e=2,71828 x=t birim zaman içinde ilgilenilen olay sayısı, t=t birim zaman içinde ilgilenilen olayın ortalama oluĢ sayısı. Genellikle t= 1 alınır. Bu durumda Poisson dağılımının olasılık fonksiyonu aĢağıdaki Ģekildedir. !x e)( )xX(P x X Poisson raslantı değiĢkeninin olasılık fonksiyonu, BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Lambda‟nın beklenen değerinin gerçekleĢme olasılığı )( XP
  23. 23. Yukarıdaki eĢitliğe karĢılık gelen doğal logaritma değeri e‟dir. e= 2.71828 Eular numarası (2.71828) N sonsuza ulaĢırken yukarıdaki eĢitliğin limitidir. a’ nın alacağı pek çok değer için f(x) = ax. e x=0 iken ax = 1, f(x)=e‟dir. Mavi eğri ex‟i gösterir. KarĢılaĢtırma amaçlı noktalı eğri 2x ve kesik çizgili eğri ise 4x„ü göstermektedir. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  24. 24. Poisson Dağılımının Karakteristikleri • Dağılıma iliĢkin ortalama: • Dağılıma iliĢkin varyans: • Dağılıma iliĢkin standart sapma: BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Var(X) E(X) 2 σ
  25. 25. • Örnek4 : Muhtarlığa bir yılda baĢvuran yardıma muhtaç mahalle sakini sayısı 40 olsun. Burada raslantı değiĢkeni X bir Poisson dağılımı göstersin. Üç ayda gelecek ortalama yoksulluk baĢvuru sayısı ve üç ayda 1 hasta gelme olasılığı nedir? • Burada 3 aylık zaman diliminin [t=12 (1/4)=3] yani, ¼‟ü kullanılmıĢtır. • t=1 yıl iken =10, • t=1/4 ay iken t=40 1/4=10 olur. • 3 ayda1 yoksulluk baĢvurusu olma olasılığı, • • Yoksulluk baĢvuru sayısı ise bu oranın 40 ile çarpımının sonucudur. • 40*. 000045. !1 )10( )1( 101 e XP BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  26. 26. Bir üniversitede yılda 3000 öğrencinin notları girilmekte ve puan giriĢi yapılırken gerçekleĢen ortalama hata sayısı =0,2 olan Poisson dağılımına sahiptir. X raslantı değiĢkeni hata sayısı olup, X raslantı değiĢkeninin olasılık fonksiyonu; ...3,2,1,0, ! )2,0( )( 2,0 x x e xXP x dir. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  27. 27. Örnek5 • Üniversitenin öğrenci bilgi sisteminde bir yılda hiç hata yapmayan, 1 öğrencinin notunu yanlıĢ giren, 2 öğrencinin notunu yanlıĢ giren ve 3 öğrencinin notunu yanlıĢ giren öğretim üyesi olması olasılıklarını ve 3000 dosyada kaç adet hatalı giriĢ bulunacağını hesaplayınız. 8187. !0 )2,0( )( 2,00 e içermemehataHiçP . 8187 3000 …2456.1 adet BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  28. 28. 1637. !1 )2,0( )1( 2,01 e içermehataP .1637 3000 491.1 adet 0164. !2 )2,0( )2( 2,02 e içermehataP .0164 3000 49.2 adet 0011. !3 )2,0( )3( 2,03 e içermehataP .0011 3000 3.3 adet BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  29. 29. X t 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 0 1 2 3 4 5 6 7 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.8187 0.1637 0.0164 0.0011 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0003 0.0000 0.0000 0.0000 0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.0001 0.0000 0.0000 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.0002 0.0000 0.0000 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 0.0000 0.0000 0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.0007 0.0001 0.0000 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.0002 0.0000 0.4066 0.3659 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 0.0003 0.0000 .0072 2! e(0.40) ! )( )2( 0.402 x et xP tx Örneğin: t = .40 için P(x = 3) BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  30. 30. 5.1.1.4.Hipergeometrik Dağılım BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Hipergeometrik olasılık dağılımı binom olasılık dağılımına benzer. Ġkisinin arasındaki temel fark hipergeometrik olasılık dağılımında denemelerin bağımsız olmasıdır. Bu nedenle de “baĢarılı” sonucu elde etme olasılığı her deneme için farklı olacaktır.
  31. 31. 5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılımın Özellikleri BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI 1. N sayıda sonlu popülasyondan seçilen n sayıda örnek söz konusudur. 2. Örnekler yerine konmadan elde edilir. 3. Ġki çıktılıdır. Geçti/Kaldı, BaĢarılı/BaĢarısız gibi. 4. Denemeler birbirinden bağımsızdır. pn.OrtalamaAritmetik ) 1 ).(1.(. N nN ppnVaryans
  32. 32. 5.1.1.4.Hipergeometrik Dağılımın Formülü BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI N büyüklükteki bir örneklemden seçilen n nesne veya kiĢinin ilgilenilen yani gelmesi istenen sonucun sayısı ise x ile gösterilir. Aise istenen x‟in örneklemdeki sayısıdır. N- A diğer sonucun sayısı, n-x ise kalan seçimlerin sayısıdır. Olasılık değeri 0 ile 1 arasında bulunur. 0<P(X)<1. 0 ve 1 aralığında elde edilen olasılıkların toplamı 1‟e eĢittir. Hipergeometrik olasılılıkları hesaplama formülü: n N xn AN x A xXP . )( n: Örnek gözlem sayısı, N: Popülasyon üye sayısı, A: Popülasyondaki üye sayısı, X: Örnekteki baĢarılı sonuç sayısı Burada olasılık değerini elde etmek için iki adet payda bir adet paydada olmak üzere toplam üç adet kombinasyon değeri hesaplanır.
  33. 33. 5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Örnek6: Bir kavanozda4‟ü kırmızı, 7‟si sarı olmak üzere11 Ģeker vardır. Kavanoza tekrariade edilmeksizin 4 Ģeker çekiliyor.X hipergeometrik değiĢken olmak üzereçekilen Ģekerlemelerin 3‟ünün sarı olması olasılığı nedir? P(x=3) 4 11 34 711 . 3 7 )37(P
  34. 34. 5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Örnek7: Bir malzeme kutusunda 12‟si 3mm‟lik 8‟i 5mm‟lik 20 adet vida bulunmaktadır. Bu kutudan iade edilmeksizin 4 vida seçildiğinde X hipergeometrik değiĢken olmak üzere çekilen vidaların 4‟ünün de 3 mm‟lik olması olasılığı nedir? P(x=4) 4 20 44 1220 . 4 12 )412(P
  35. 35. 5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Örnek8: Bir kreĢte 30‟u kız 20‟si erkek olmak üzere 50 bebek bulunmaktadır.Bu kreĢte kıĢ aylarında bebeklersık sık hastalanmaktadır.5 bebek hastalanıp kreĢe gelemediğinde X hipergeometrik değiĢken olmak üzere bu bebeklerden 2‟sinin kız olması olasılığı nedir? P(x=2) 5 50 25 3050 . 2 30 )230(P
  36. 36. 5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Örnek9: Bir kreĢte 30‟u kız 20‟si erkek olmak üzere 50 bebek bulunmaktadır. Bu kreĢte kıĢ aylarında bebekler sık sık hastalanmaktadır. 5 bebek hastalanıp kreĢe gelemediğinde X hipergeometrik değiĢken olmak üzere bu bebeklerden 3‟ ünün erkek olması olasılığı nedir? P(x=3) 5 50 35 2050 . 3 20 )320(P
  37. 37. 5.1.1.4.Hipergoemetrik Dağılıma Örnekler BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Örnek10: Bir sınıftaki 20 öğrenciden 16‟sı sınavın tekrar edilmesini geriye kalan 4 öğrenci ise notlarından memnun olduklarını ifade etmektedir. X hipergeometrik değiĢken olmak üzere bu sınıftan seçilecek 10 kiĢiden 5‟ inin sınavın tekrar edilmesini isteyen öğrencilerden oluĢmasıolasılığı nedir? P(x=5) 10 20 510 1620 . 5 16 )516(P Bu çocuklardanen az ikisinin sınavın tekrarınıistemesi olasılığı nedir? P(X=>2)=P(2)+P(3)+P(4)+P(5)
  38. 38. 5.1.2. Sürekli DeğiĢkenler Ġçin Olasılık Dağılımları BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Sürekli Olasılık Dağılımları Olasılık Dağılımları Uniform Üstel Normal
  39. 39. 5.1.2.1. Üstel Dağılım BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI • Meydana gelen iki olay arasındaki geçen süre veya bir baĢka ifadeyle ilgilenilen olayın bir kere daha olması için geçen sürenin dağılımıdır. Sırada bekleme sorunlarının çözmede kullanılır. Örnek: • Bir bankada veznede yapılan iĢlemler arasındaki geçen süre, • Bir taksi durağında gelen müĢteriler arasındaki bekleme süresi, • Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki geçen süre, • Bir kumaĢta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk (metre).
  40. 40. 40 Belirli bir zaman aralığında sırada bekleyen yolcu sayılarının dağılımı Poisson Dağılımındadır. Yolcuların durağa geliĢlerinden otobüse biniĢlerine kadar geçen sürenin dağılımı ise Üstel Dağılıma göredir. Üstel Dağılımın parametresi a‟dır. Üstel ve Poisson Dağılımlarının parametreleri arasındaki iliĢki: 1 a BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  41. 41. 41 Üstel Dağılımın Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu iki durumun gözlenmesi için gereken ortalama süre x : iki durum arasında veya ilk durumun ortaya çıkması için gereken süre ya da uzaklık. , 0 0 a x a e x f x d ig er d u ru m la rd a 0a f(x) x üstel dağılan değiĢkeninin üstel dağılım fonksiyonudur. Üstel dağılımın parametresi a’dır. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  42. 42. 42 Üstel Dağılımın Beklenen Değeri ve Varyansı E(X) Var (X) 1 a 2 2 1 a BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Parametreleri:
  43. 43. ( ) 1 ax P X x e ( ) 1 (1 ) ax ax P X x e e Örnek11: Bir telefon operatörüne yapılan bir aramada telefon görüĢmesi için ortalama bekleme süresinin 5 dakika olduğu belirtilmektedir. Bir arayanın 10 dakikadan çok beklemesi olasılığı nedir? P(X>10)=? 5 1 1 5 a BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  44. 44. 5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım • Eğer bir rassal değiĢken için olası değerlerin ortaya çıkma olasılıkları eĢitse, bu rassal değiĢken ayrık tekdüze dağılıma sahiptir denir. Bu Ģekilde herhangi bir olay için olasılık Tekdüze olur. Hilesiz bir zar atıldığında ortaya çıkan sonuçların olasılığı buna örnek verilebilir. Her bir değer için (1,2,3,4,5,6) olasılık 1/6‟dır. Hatasız bir paranın yazı veya tura gelmesi de buna örnek olabilir. • a ile b sayıları arasında tanımlanmıĢ tekdüze bir dağılımın E(X)=: (a+b)/2 Var(X)= (b-a)^2/12 BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Parametreleri:C
  45. 45. 5.1.2.2. Tekdüze (Uniform) Dağılım BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  46. 46. 5.1.2.3. Normal Dağılım • Tüm dağılımların en önemlisidir diyebiliriz. Ġlk olarak 1733’te Moivre tarafından p baĢarı olasılığı değiĢmemek koĢulu ile binom dağılımının limit Ģekli olarak ele alınmıĢtır. 1774’te Laplace üzerinde çalıĢmıĢ, 19. yüzyılın ilk yıllarında Gauss 'un katkılarıyla da normal dağılım istatistikte yerini almıĢtır. • Dağılım doğada çıkan olası sonuçları ifade ettiği için normal olarak adlandırılmıĢtır. • Pek çok kesikli veya sürekli dağılım belli koĢullar oluĢtuğunda normale dönüĢür bu nedenle de normal dağılım sıklıkla kullanılmaktadır. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  47. 47. 47 5.1.4.Standart Normal Dağılım Puanlar standart değerlere dönüĢtürülerek tek bir tabloda olasılık değerlerine ulaĢmak ve farklı örneklemleri karĢılaĢtırmak mümkün olur. Standart normal dağılım ortalaması 0 , varyans ise 1 olan simetrik bir dağılımdır. Standart normal dağılımda z değerlerinin dağılımı ele alınır. Bu yüzden z dağılımı da denir. Ortalaması 0 varyansı 1‟dir. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  48. 48. 48 Normal Dağılımın Özellikleri Çan eğrisi Ģeklindedir. Normal dağılım çarpıklık katsayısı basıklık katsayısı 3 olan simetrik bir dağılımdır. • Normal dağılım eğrisinin fonksiyonu: xexf x , 2 1 )( 2 2 1 ... e = 2,71828 = popülasyon standart sapması = popülasyon ortalaması BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  49. 49. 49 )(xE 2 )( xVar f(x ) xOrtalama=Mod=Medyan Olasılık dağılım fonksiyonu P(a), X değiĢkeninin aldığı değiĢik a değerlerinin olasılığını veren fonksiyondur. Parametreleri: BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılık Dağılım Fonksiyonu
  50. 50. Rastsal DeğiĢkenler için Beklenen Değer ve Varyans • Beklenen Değer ortalamaya eĢittir. ( ) x E X xP x BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI • Varyans 22 X E X E X
  51. 51. Rastsal DeğiĢkenin Lineer Fonksiyonu • Fonksiyon: • Ortalama: Y a bX E Y a bE X BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  52. 52. Normal eğri altındaki alan 1‟e eĢittir. Normal dağılımda herhangi bir X sürekli değiĢkeninin nokta tahmini sıfırdır. Çünkü normal eğri altında sonsuz sayıda X noktası olduğundan aralık tahmini yapılır. Evren aritmetik ortalaması ve standart sapması kullanılarak z değerleri bulunur ve bu değerlere karĢılık gelen alan hesaplanır. Normal Dağılım Tablosunun Kullanırken: • Öncelikle örneklem dağılımının aritmetik ortalaması ve standart sapması kullanılarak ilgili puana karĢılık gelen z değeri bulunur. • Standart normal dağılım tablosunda istenilen alan karalanır. • Tablo değerine bakılarak eğri üzerinde uygun alan hesaplanır. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  53. 53. 53 Normal Dağılımda Olasılık Hesabı ?)()( b a bxxfbxaP Standart normal dağılımda olasılık eğri altında kalan alanı ifade eder. 1)()( bxxfxP BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  54. 54. 54 Standart Normal Dağılımda z Değeri x z f(x ) x f(z ) z X ~ N ( , 2 ) Z ~ N ( 0 , 1) BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  55. 55. 55 BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI NOT: Ġlk Sütunda z değerleri .10’luk açılımlarla sıralanmıştır. SÜTUNLAR VĠRGÜLDEN SONRAKĠ ĠKĠNCĠ RAKAMI GÖSTERMEKTEDĠR.
  56. 56. Standart Normal Dağılımda Alan ĠliĢkileri  A+ B: Verilen bir z tablo değerinin yüzdelik karĢılığını verir.  B: Verilen bir z değeri ile aritmetik ortalama arasında kalan bireylerin yüzdesini verir.  C: Belli bir z değerinin üzerinde puan alanların (sol tarafta ise altında puan alanların) yüzdesini verir.
  57. 57. Standart Normal Dağılım Aritmetik Ortalama Tepe Değer Ortanca )0()0( zaPazP
  58. 58. Standart Normal Dağılımla Olasılık Hesabı
  59. 59. Çarpıklık ve Basıklık Katsayılarının Hesaplanması • Dağılımları yorumlamada sıklıkla baĢvurulan bir diğer ölçü de çarpıklık ve basıklık katsayılarıdır.
  60. 60. Çarpıklık Katsayısı Puanlar x ekseninde küçükten büyüğe sıralanırken, bazı durumlarda solda, bazen de sağda yığılma gösterirler. Standart normal bir dağılımda aritmetik ortalama, ortanca ve tepe değer aynı noktadadır ve çarpıklık 0 dır. Çarpıklığın pozitif olması dağılımın sağa çarpık olduğu, negatif olması ise dağılımın sola çarpık olduğu anlamına gelir.
  61. 61. Çarpıklık Katsayısı
  62. 62. Basıklık Katsayısı Basıklık katsayısı dağılımın sivrilik ya da yayvanlık derecesinin bir ölçüsüdür. Basıklık katsayısı dağılımın aritmetik ortalama etrafında yığılma veya aritmetik ortalamadan uzaklaĢma eğilimi gösterir. Puanların az çeĢitlilik gösterdiği, herkesin yaklaĢık benzer notlar aldığı bir dağılım sivridir, puanların çeĢitlendiği bir dağılım ise basıktır. Basıklık katsayısı 0‟dan büyükse dağılım sivri, 0‟dan küçükse dağılım basıktır.
  63. 63. 63 Parametre DeğiĢikliklerindeki Farklar 2222 CBDADCBA BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  64. 64. 64 Standart Normal Dağılım Tablosunu Kullanarak Olasılık Hesaplama 3413.)10( zP f(z ) z 0 1 BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  65. 65. 65 1587.)3413.50(.)10(50. 1587.)1( zP zP BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  66. 66. 66 Normal dağılım eğrisi simetriktir. Bu nedenle aynı değerler için iĢaretler farklı da olsa olasılıklar eĢittir. z ile ifade edilen değerler normal dağılım için kullanılır. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  67. 67. Olasılığın Ġfade Edilmesi
  68. 68. 68 f(z ) z-1 10 ?)11( zP ( 1 1) ( 1 0) (0 1) 2 * (0 1) 2(0.3413) 0.6826 P z P z P z P z BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI Ġstenen bölge tarandıktan sonra düĢük değer önce olmak üzere (negatif değerler için düĢük değer sayısal değeri büyük olan değer olacaktır) z değerinin istenen aralığı yazılır.
  69. 69. 69 BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI ?)25.15.1( zP 0388.3944.4332. )025.1()05.1()25.15.1( zPzPzP
  70. 70. 70 BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI ?)65.165.1( zP 95.475.475. )65.10()065.1()65.165.1( zPzPzP
  71. 71. 71 BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI ?)58.258.2( zP 99.485.485. )58.20()058.2()58.258.2( zPzPzP
  72. 72.  μ ± 1σ arasında puanların %68.26’sı i bulunur.  μ ± 2σ arasında puanların %95.44’ü bulunur.  μ ± 3σ arasında puanların %99.7’si bulunur. xμ 2σ 2σ xμ 3σ 3σ 95.44% 99.72% BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI x %68.26 1σ 1σ μ
  73. 73. 5.1.5.Merkezi Limit Teoremi • Merkezi limit teoremi, evrene ait dağılım bilinmediğinde ya da evren dağılımı normal olmadığında, normal dağılımdan yararlanarak olasılık hesaplamak için kullanılan bir teoremdir. • Bu teoremin fonksiyonu: • Bu teoreme göre aritmetik ortalaması (µ) ve varyansı • olan sonlu olan bir evren dağılımı örneklem büyüklüğü arttıkça örneklemin aritmetik ortalaması (µ) ve varyansı olan normal bir dağılıma dönüĢeceği varsayılır. • Böylelikle örneklem büyüklüğü 30‟un üzerindeyken elimizdeki dağılımla ilgili olarak normal dağılımın özelliklerinden yararlanılarak yorumlarda bulunulabilir. );(~)(lim 2 nNXf n )( 2 n )( 2
  74. 74. Örneklemden hesaplanan her değer evren ortalaması olan μ’nün bir tahminidir. Buna göre örneklem değiştikçe tahmin değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Parametre değerinden olan sapmalara örnekleme hatası denir. Örnekleme hatası aritmetik ortalamaların dağılımının standart sapmasıdır. Aşağıdaki formülle örnekleme hatasını hesaplayabiliriz: Örnekleme Hatası )( 2 nX
  75. 75. Aritmetik Ortalamanın Alt ve Üst Sınırı Aritmetik ortalamanın örneklem hatası aritmetik ortalamaya bir kere eklenip çıkarıldığında bulunan aralık puanların %68 alt ve üstü sınırını verir. X X X X .1 .1 Aritmetik ortalamanın örneklem hatası aritmetik ortalamaya 1.96 oranında eklenip çıkarıldığında bulunan aralık puanların %95 alt ve üstü sınırını verir. X X X X .96.1 .96.1 X X X X .58.2 .58.2 Aritmetik ortalamanın örneklem hatası aritmetik ortalamaya 2.58 oranında eklenip çıkarıldığında bulunan aralık puanların %99 alt ve üstü sınırını verir.
  76. 76. 5.1.6.Normal Dağılıma Yakınsamalar • Normal koĢullarda örneklem büyüklüğü 30‟un üzerine çıktığında dağılımlar normale dönüĢür. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  77. 77. Binom Dağılımının Normal Dağılıma Yakınsaması • Büyük n değerleri için yaklaĢık olarak standart normal • Dağılıma dönüĢür. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI
  78. 78. Poisson Dağılımının Normal Dağılıma Yakınsaması • Beklenen değer büyüdükçe Poisson olasılık dağılımı normal dağılıma yaklaĢır. BÖLÜM 5: OLASILIK DAĞILIMLARI

×