1. Γνωστική Ψυχολογία &
Μαθηματικές Έννοιες:
Η περίπτωση του κλάσματος
Σταφυλίδου Σταματία
Σχολική Σύμβουλος Μαθηματικών

2. Διερεύνηση Μαθηματικών Εννοιών
Ανάπτυξη της
Μαθηματικής Έννοιας
από το Παιδί
Φύση – Ορισμός
Μαθηματικής Έννοιας
Διδασκαλία της
Μαθηματικής
Έννοιας
Ιστορία της
Μαθηματικής
Έννοιας

3. Τα βασικά στοιχεία της θεωρίας
της Εννοιολογικής Αλλαγής είναι:
 Διαδικασία απόκτησης γνώσης όχι πάντα εμπλουτισμού
 Πολλές φορές απαιτεί τη ριζική αναδιοργάνωση της
προϋπάρχουσας γνώσης.
 Η αναδιοργάνωση είναι δύσκολη & χρονοβόρα οι
μαθητές δημιουργούν παρανοήσεις.
 Οι παρανοήσεις και τα λάθη των μαθητών είναι οι
ενδείξεις της προσπάθειά τους να αφομοιώσουν τις
νέες πληροφορίες.

4.  Η Εννοιολογική Αλλαγή δύναται να αποτελέσει ένα
ισχυρό επεξηγηματικό πλαίσιο ερμηνείας των
δυσκολιών των μαθητών και σε μαθηματικές έννοιες
 Κατά την εισαγωγή μαθηματικών εννοιών δεν
λαμβάνονται πάντα υπόψη οι προϋπάρχουσες
γνώσεις των μαθητών με αποτέλεσμα να
δημιουργούνται γνωστικές συγκρούσεις και να
αυξάνονται οι παρανοήσεις και τα λάθη τους.

5. Προβλήματα στη μάθηση των κλασμάτων
 Μαθητές δεν καταφέρνουν να επιτύχουν μια
ολοκληρωμένη εννοιολογική γνώση των κλασμάτων
 Συστηματικά λάθη - λανθασμένες πεποιθήσεις:
 Ο πολλαπλασιασμός σημαίνει αύξηση
 Η διαίρεση σημαίνει ελάττωση
 Εμπόδιο:
 Η προϋπάρχουσα γνώση για τους φυσικούς αριθμούς
 Ιδιότητες των φυσικών (π.χ. η αρχή του επόμενου
αριθμού) δεν ισχύουν για όλους τους αριθμούς

6. Τι αρχικά πιστεύουν τα παιδιά
για την Έννοια του Φυσικού Αριθμού
(Εμπειρικό συμπέρασμα)
 Οι φυσικοί αριθμοί είναι σύμβολα που αναπαριστούν
ποσότητες σε μια ένα προς ένα αντιστοιχία με φυσικά
αντικείμενα
 Για κάθε φυσικό αριθμό υπάρχει ένας επόμενος
 Δεν υπάρχει αριθμός ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς
φυσικούς αριθμούς
 Το 1 είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός

7. ΦΥΣΙΚΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ← → ΚΛΑΣΜΑ
ΣΥΜΒΟΛΟ Ένας αριθμός Δύο φυσικοί αριθμοί
που τους χωρίζει
μια γραμμή
ΔΙΑΤΑΞΗ Υποστηρίζεται από την
ακολουθία των φυσικών
αριθμών (απαρίθμηση)
Ανάμεσα σε δύο αριθμούς
δεν υπάρχει κανείς αριθμός
Δεν υποστηρίζεται από την
ακολουθία των φυσικών
αριθμών
Ανάμεσα σε δύο αριθμούς
υπάρχει πάντα ένας αριθμός
ΠΡΟΣΘΕΣΗ
ΑΦΑΙΡΕΣΗ
Υποστηρίζεται από την
ακολουθία των φυσικών
αριθμών.
Δεν υποστηρίζεται από την
ακολουθία των φυσικών
αριθμών
ΠΟΛ/ΣΜΟΣ Ο πολ/σμός μεγαλώνει τον
αριθμό
Ο πολ/σμός μεγαλώνει ή
μικραίνει τον αριθμό
ΔΙΑΙΡΕΣΗ Η διαίρεση μικραίνει τον
αριθμό
Η διαίρεση μικραίνει ή
μεγαλώνει τον αριθμό
Διαφορές ανάμεσα στους Φυσικούς Αριθμούς και τα Κλάσματα

8. Πως τα Παιδιά Αναπτύσσουν την
Έννοια του Κλάσματος
Ένα παράδειγμα διερεύνησης στο πλαίσιο
της εννοιολογικής αλλαγής

9. Υποθέσεις - Στόχοι της έρευνας
 Να διαπιστωθεί η τυχόν ύπαρξη ενός αρχικού μη
επιστημονικού επεξηγηματικού πλαισίου, λόγω πιθανών
επιδράσεων από την προηγούμενη γνώση των φυσικών
αριθμών
 Να διερευνηθεί η σταδιακή μεταβολή των ιδεών τους
καθώς προσεγγίζουν την επιστημονική θεώρηση του
κλάσματος ως ρητού αριθμού μέσα από τη διδασκαλία
 Υποθέτοντας ότι στην πορεία για την κατάκτηση της
έννοιας παρουσιάζουν διάφορες παρανοήσεις για το
κλάσμα, να ελεγχθεί κατά πόσο αυτές μπορούν να
ερμηνευτούν με τη βάση τη θεωρητική προσέγγιση της
εννοιολογικής αλλαγής.

10. Αριθμητική αξία ενός κλάσματος
Διάταξη κλασμάτων
Εκτίμηση ορθότητας πράξεων με κλάσματα
Μετατροπή συμβολικών και εικονικών
αναπαραστάσεων πράξεων με κλάσματα
Δείγμα:
200 μαθητές/τριες Ε΄ Δημοτικού έως Α΄ Λυκείου
(2001)
Ερωτήματα / θεματικές ενότητες - Δείγμα

11. Επεξηγηματικά Πλαίσια για το κλάσμα
(Α) Κλάσμα ως δύο ανεξάρτητοι φυσικοί αριθμοί
(Β) Κλάσμα ως μέρος μιας ακέραιας μονάδας
(Γ) Κλάσμα ως σχέση δύο αριθμών (αριθμητή –
παρονομαστή),
και κάποιες υποκατηγορίες τους.
Υποκατηγ. (Γ1) Σχέση δύο αριθμών χωρίς αναφορά στην
απειρία

12. (A) Κλάσμα ως δύο ανεξάρτητοι φυσικοί αριθμοί
Η αξία ενός κλάσματος αυξάνεται, όταν αυξάνονται ο
αριθμητής και ο παρονομαστής του
Η ακέραια μονάδα είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός
(Μονάδα μικρότερη από το κλάσμα)

13.  Το το μικρότερο κλάσμα και το μεγαλύτερο
 Το το μικρότερο και το μεγαλύτερο -υπάρχουν και άλλα
 2/3 < 4/9 γιατί οι αριθμοί είναι μεγαλύτεροι
 1 < 1/7 < 4/3 < 5/6 από το μικρό στο μεγαλύτερο
10000000...
10000000...
1
1
1
1
10
10

14. (A) Κλάσμα ως δύο ανεξάρτητοι φυσικοί αριθμοί
Η αξία ενός κλάσματος αυξάνεται, όταν αυξάνονται ο
αριθμητής και ο παρονομαστής του
Η ακέραια μονάδα είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός
(Μονάδα μικρότερη από το κλάσμα)
Πράξεις με 2 κλάσματα ≡ πράξεις με αριθμ. / παρονομ.

15. Εκτίμηση της ορθότητας πράξεων
Πράξεις ανάμεσα στους αριθμητές και τους παρονομαστές
21
8
3
2
.
7
4
=
1
2
+
1
4
=
3
4
4
7
−
1
3
=
3
4
1
8
+2 =
17
8

16. (A) Κλάσμα ως δύο ανεξάρτητοι φυσικοί αριθμοί
Η αξία ενός κλάσματος αυξάνεται, όταν αυξάνονται ο
αριθμητής και ο παρονομαστής του
Η ακέραια μονάδα είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός
(Μονάδα μικρότερη από το κλάσμα)
Πράξεις με 2 κλάσματα ≡ πράξεις με αριθμ. / παρονομ.
Πολλαπλασιασμός μεγαλώνει⇒ τον αριθμό
Διαίρεση ⇒ μικραίνει τον αριθμό

17. Εκτίμηση του αποτελέσματος ενός πολ/σμου ή μιας διαίρεσης
 17∙3/8 Μεγαλύτερο γιατί είναι πολλαπλασιασμός ή
Γιατί πολλαπλασιάζω με το 3 και θα βγει
μεγαλύτερο
 17:3/5 Μικρότερο γιατί είναι διαίρεση
 17:2/2 Μικρότερο - αν διαιρέσεις το 17 με το 2 βγαίνει
λιγότερο

18. (A) Κλάσμα ως δύο ανεξάρτητοι φυσικοί αριθμοί
Υποκατηγορία Α1:
Κλάσμα ως δύο ανεξάρτητοι φυσικοί αριθμοί αλλά
αναγνωρίζουν ότι το κλάσμα της μορφής q/q =1
Ίσο γιατί αν το πολλαπλασιάσεις θα βγει ισοδύναμο
του 17 ή γιατί 3/3=1 και 17·1=17
Ίσο με το 17 γιατί διαιρούμε με το 1 ή 17:2/2=17:1=17
Ίσο με το 17 γιατί 2/2=1 και 17:1=17

19. (A) Κλάσμα ως δύο ανεξάρτητοι φυσικοί αριθμοί
Υποκατηγορία Α2 :
Κλάσμα ως δύο ανεξάρτητοι αριθμοί που όσο
μεγαλώνουν, μικραίνει η αξία του κλάσματος
4/5 < 2/5 γιατί μεγαλύτερο αυτό που έχει μικρότερο
αριθμητή
4/3>5/6 γιατί έχει μικρότερο αριθμητή και
μικρότερο παρονομαστή

20. (Β) Κλάσμα ως Μέρος μιας Ακέραιας Μονάδας
Ο αριθμητής και ο παρονομαστής συνδέονται με σχέση
μέρους-όλου ενός φυσικού αντικειμένου
Το κλάσμα ποσότητα πάντα μικρότερη της μονάδας
Διαδικασίες διάταξης των κλασμάτων με σύγκριση
κομματιών

21.  Μικρότερο το και μεγαλύτερο το γιατί
συμπληρώνει μια μονάδα
 Μικρότερο το και μεγαλύτερο το γιατί
παίρνουμε όλο το κομμάτι
 1/7 4/3 5/6 1 από το μικρότερο στο μεγαλύτερο
 2/3 > 4/9 τα κομμάτια της πίτας είναι μεγαλύτερα
 το 5/8 > 4/3 δεν γίνεται από τα 3 να πάρεις 4 κομμάτια
1
1
1
100000000
1
1

22. (Β) Κλάσμα ως Μέρος μιας Ακέραιας Μονάδας
Ο αριθμητής και ο παρονομαστής συνδέονται με σχέση
μέρους-όλου ενός φυσικού αντικειμένου.
Το κλάσμα ποσότητα πάντα μικρότερη της μονάδας
Διαδικασίες διάταξης των κλασμάτων με σύγκριση
κομματιών
Διαίρεση της μονάδας σε ίσα ή άνισα μέρη (κοινή ή μη
κοινή μονάδα αναφοράς)

23. Διαίρεση της μονάδας σε ίσα ή άνισα μέρη
1. Κοινή μονάδα αναφοράς ή 2. Μη κοινή μονάδα αναφοράς
Αναπαράσταση αθροίσματος
Αναπαράσταση γινομένου
1
4
+
2
5
2
3
•
4
7

24. Υποκατηγορία Β1 :
Κλάσμα ως Αφελές Μέρος μιας Ακέραιας Μονάδας
Αναπαράσταση του αποτελέσματος του αθροίσματος ως μέρος
ενός σχήματος
Άμεση αντιστοιχία των σκιαγραφημένων μερών σε μια πράξη
1
4
+
2
5
=
3
9
1
2
+
3
4
=
4
6

25. Γ. Κλάσμα ως Σχέση Δύο Αριθμών
Πηλίκο αριθμητή δια του παρονομαστή
Σχέση με τη μονάδα ≡ σχέση αριθμητή/παρονομαστή
Χρήση διαδικασίας μετατροπής σε ομώνυμα
Χωρισμός σχημάτων σε ίσα μέρη
Αναπαράσταση πράξεων με ίδια μονάδα αναφοράς
Διαφοροποίηση των πράξεων κατά την αναπαράσταση
Αναφορές στην έννοια του άπειρου

26. Το μικρότερο και το μεγαλύτερο κλάσμα
 Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε έναν τόσο μικρό
αριθμό. Θα μπορούσα όμως να δώσω το κλάσμα
με αριθμητή το 1 και παρονομαστή τον μεγάλο
περιοδικό αριθμό και πρόσημο «-».
 Μικρότερο το ή 1/ν ή 1/ ∞
 Μεγαλύτερο το , αν και είναι άπειρα.
 Δεν υπάρχει γιατί οι αριθμοί είναι άπειροι.
−
1
1000
1
−∞
+∞
1
1000

27. Αριθμητική αξία – διάταξη κλασμάτων
 Μετατροπή σε ομώνυμα
 Για να τα συγκρίνω τα κάνω ομώνυμα
2/7 = 2∙6/7∙6 = 12/42
5/6 = 5∙7/6∙7= 35/42 άρα το 5/6
 Διαίρεση
 4/5 > 2/5 γιατί αν διαιρέσω βγαίνει μεγαλύτερο
 Σύγκριση με βάση τη σχέση αριθμητή – παρονομαστή
Το 4/3 είναι μεγαλύτερο από το 5/8 γιατί είναι μεγαλύτερο
της μονάδας (αριθμητή μεγαλύτερο του παρονομαστή)

28.  Σ
 Λ
4
7
−
1
3
=
3
4
1
2
+
1
4
=
3
4
Εκτίμηση Πράξεων: μετατροπή σε ομώνυμα

29. Αναπαριστούν διαφορετικά τις δύο πράξεις
Πχ. Αναπαριστούν το άθροισμα 1/4+2/5 ως εξής:
Ενώ στο γινόμενο αναπαριστούν το αποτέλεσμα
4/72/3 = 8/21
Κανένα παιδί δεν αναπαράστησε
έτσι τον πολλαπλασιασμό.
Αναπαράσταση πράξεων

30. Συμπεράσματα
 Τα παιδιά δεν υιοθετούν αυτόματα την επιστημονική
θεώρηση του κλάσματος ως ρητού αριθμού.
 Οι γνώσεις τους για τους φυσικούς αριθμούς
περιορίζουν το Επεξηγηματικό Πλαίσιο με το οποίο
ερμηνεύουν αρχικά τα κλάσματα.
 Προσπαθούν να συμβιβάσουν τις αρχικές τους ιδέες με
τις νέες πληροφορίες.
 Σταδιακά αναδιοργανώνουν τις αρχικές τους
ερμηνείες υιοθετώντας διαφορετικά Επεξηγηματικά
Πλαίσια.
 Μέσω παρανοήσεων και λαθών προσεγγίζουν την

31. Υπάρχει μια εξέλιξη στα Ε. Π. που χρησιμοποιούν τα
παιδιά σε σχέση με την ηλικία τους.
 Ε΄ δημοτικού: 39,5% (Α) - 21% (Β) - 7,9% (Γ) Ε.Π.
 ΣΤ΄ δημοτικού: 32,5% (Α) - 42,5% (Β) - 7,5% (Γ) Ε.Π.
 Α΄ γυμνασίου: 35% το (Β) Ε. Π. και ίδιο ποσοστό τα
υπόλοιπα Ε. Π. και τις υποκατηγορίες τους.
 Β΄ γυμνασίου: 32,5% (Γ) Ε. Π. με αναφορά στην
απειρία.
 Α΄ Λυκείου: 42,5% (Γ) Ε. Π. με αναφορά στην απειρία

32.  Για την κατάκτηση της έννοιας του κλάσματος
απαιτείται ριζική αναδιοργάνωση των ιδεών τους
για την έννοια του αριθμού (εννοιολογική αλλαγή)
 Η εννοιολογική αλλαγή μπορεί να επιτευχθεί μέσα
από διδακτικές παρεμβάσεις που δεν βασίζονται
στον εμπλουτισμό των γνώσεων, αλλά
κατευθύνουν τους μαθητές μέσα από
δραστηριότητες σε γνωστικές συγκρούσεις που
οδηγούν σε ανατροπή των προηγούμενων
πεποιθήσεών τους.

33. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
Γαγάτσης, Α., Ιωάννου, Κ., Σιημητρά-Κωνσταντίνου, Α. & Χριστοδουλίδου, Ο. (2006). Γιατί οι μαθητές δυσκολεύονται στα κλάσματα;, Πρακτικά 9ου
Παγκύπριου Συνεδρίου Παιδαγωγικής Εταιρείας Κύπρου, 99-110. Λευκωσία.
Christou, K. P. & Vosniadou, S. (2012). What kinds of numbers do students assign to literal symbols? Aspects of the transition from arithmetic to algebra.
Mathematical Thinking and Learning, 14(1), 1-27. http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/10986065.2012.625074
Fischbein, E., Deri, M., Nello, M., & Marino, M. (1985). The role of implicit models in solving problemsin multiplication and division. Journal for Research in
Mathematics Education, 16, 3–17.
Hartnett, P. & Gelman, R. (1995). Early understandings of Numbers: Paths or Barriers to the Construction of New Understanding? Learning and Instruction,
18, 341–374.
Κολέζα, Ε. & Φακούδης, Ε. (2009). Το Πρόβλημα της Επιλογής Πλαισίου για την Εισαγωγή Μαθηματικών Εννοιών. Η Περίπτωση της Πρόσθεσης και
Αφαίρεσης Ρητών Αριθμών στα Νέα Σχολικά Εγχειρίδια. Πρακτικά του 3ου
Πανελλήνιου Συνέδριου της Ένωσης Ερευνητών της Διδακτικής των
Μαθηματικών. [επιμ: Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών], 373-382. Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ρόδος. http://enedim2009.ltee.gr/?p=31
National Council of Teachers of Mathematics (2007). The learning of mathematics: 69th NCTM yearbook. Reston, VA: National Council of Teachers of
Mathematics.
Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S., & Peled, I. (1989). Conceptual bases of arithmetic errors: The case of decimal fractions.
Journal for Research in Mathematics Education, 20, 8–27.
Σταφυλίδου , Σ. (2001). Μαθηματικές Έννοιες και Διαδικασίες Μάθησης: Η Ανάπτυξη της Έννοιας του Κλάσματος. Διδακτορική Διατριβή. Αθήνα. http
://www.didaktorika.gr/eadd/handle/10442/21927
Σταφυλίδου , Σ. (2014). Η επίδραση των Αναλυτικών Προγραμμάτων Σπουδών στα Επεξηγηματικά Πλαίσια των Μαθητών για την έννοια του Κλάσματος και
τις Πράξεις Κλασματικών αριθμών. Εισήγηση στην 6ης
Μαθηματικής Εβδομάδας ” (Πρακτικά υπό δημοσίευση).
Stafylidou, S., & Vosniadou, S. (2004). Students’ understanding of the numerical value of fractions: A conceptual change approach. Learning and Instruction,
14, 503–518.
Vamvakoussi, X., & Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set of rational numbers: A conceptual change approach. Learning and
Instruction, 14, 453–467.
Vamvakoussi, X. & Vosniadou, S. (2010). How many decimals are there between two fractions? Aspects of secondary school students’ understanding of
rational numbers and their notation. Cognition and instruction, 28(2), 181–209.
Vamvakoussi , X. & Vosniadou, S. (2012): Bridging the Gap Between the Dense and the Discrete: The Number Line and the “Rubber Line” Bridging Analogy,
Mathematical Thinking and Learning, 14:4, 265-284. To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/10986065.2012.717378
Vosniadou, S. (1994). Capturing and modelling the process of conceptual change. Learning and Instruction, 4, 45–69.
Vosniadou, S. & Verschaffel, L. (2004). Extending the conceptual change approach to mathematics learning and teaching. In: L. Verschaffel, & S. Vosniadou
(Guest Eds), The conceptual change approach to mathematics learning and teaching, Special Issue of Learning and Instruction, 14, 445–451.
Vosniadou, S. (2006). The the conceptual change approach to mathematics learning and teaching of Mathematics: An introduction. In Novotná, J.,
Moraová, H., Krátká, M. & Stehlíková, N. (Eds.). Proceedings 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics
Education, Vol. 1, pp. 155-184 Prague: PME.