Документ представляет собой лекцию по начертательной геометрии, охватывающую взаимное положение плоскостей и прямых. Основное внимание уделяется методам нахождения линий пересечения, параллельности и перпендикулярности плоскостей, а также особенностям их построения. Включены задачи и примеры, касающиеся различных случаев пересечения и взаимного расположения элементов в пространстве.

1. Начертательная геометрия
5. 1 В З А ИМН О Е П О Л ОЖЕ Н И Е П Л О С К О С Т Е Й
5.2 В З А ИМН О Е П О Л ОЖЕ Н И Е П Р ЯМО Й И
П Л О С К О С Т И
ЛЕКЦИЯ 5

2. 5.1 Взаимное положение двух плоскостей
5.1.1 Пересечение двух плоскостей
1. Найти точку пересечения горизонтальных следов - это точка М (её проекции М1=М
и М2).
2. Найти точку пересечения фронтальных следов - это точка N (её проекции N1 и
N2=N).
3. Построить линию пересечения плоскостей, соединив одноименные проекции
полученных точек: М1N1 и М2N2: МN – линия пересечения плоскостей.
2

3. 5.1.2 Частные случаи пересечения плоскостей
Задача 1. Дано: две плоскости a
и β общего положения заданы
следами, при этом их
горизонтальные следы
параллельны.
Построить линию пересечения
заданных плоскостей.
Прямая пересечения заданных
плоскостей задаётся точкой N,
которая
находится на пересечении
фронтальных следов плоскостей
a и β, и направлением:
прямой пересечения заданных
плоскостей является прямая
уровня – горизонталь h.
3

4. Задача 2. Дано: две плоскости a
и β заданы следами: плоскость a
общего положения, плоскость β -
горизонтально-проецирующая.
Построить линию пересечения
заданных плоскостей.
Прямая пересечения заданных
плоскостей задаётся двумя
точками M и N, которые лежат
на пересечении горизонтальных
и фронтальных следов заданных
плоскостей a и β .
Прямой пересечения заданных
плоскостей является прямая
общего положения MN.
4

5. Задача 3. Дано: две
плоскости a и sзаданы
следами: a - плоскость
общего положения; σ -
горизонтальная плоскость
уровня.
Построить линию
пересечения заданных
плоскостей.
Прямая пересечения
заданных плоскостей
задаётся точкой N, которая
находится на пересечении
фронтальных следов
плоскостей a и σ, и
направлением:
прямой пересечения
заданных плоскостей
является прямая уровня –
горизонталь h.
5

6. Задача 4. Дано: две
плоскости a и β общего
положения заданы
следами.
Построить линию
пересечения заданных
плоскостей.
Прямая пересечения
заданных плоскостей
задаётся двумя точками
M и N, которые лежат на
пересечении
горизонтальных и
фронтальных следов
заданных плоскостей a и
β .
Прямой пересечения
заданных плоскостей
является прямая общего
положения MN.
6

7. 5.1.3 Общий случай
пересечения плоскостей
Дано: две плоскости α и β,
заданные треугольниками.
Построить линию пересечения
заданных плоскостей.
Порядок решения задачи:
1. Ввести вспомогательную
секущую плоскость уровня γ,
одновременно пересекающую две
заданные a и β, соответственно,
по прямым 1-2 и 3-4;
2. Прямые 1-2 и 3-4 пересекаются
в точке М, принадлежащей
плоскости γ и заданным
плоскостям a и β;
3. Ввести вспомогательную
секущую плоскость уровня δ,
одновременно пересекающую две
заданные a и β, соответственно,
по прямым 5-6 и 7-8;
4. Прямые 5-6 и 7-8 пересекаются
в точке N, принадлежащей
плоскости δ и заданным
плоскостям a и β ;
5. Соединив точки M и N,
получим искомую прямую MN.
7

8. 8

9. 5.1.4 Параллельность двух плоскостей
Две плоскости параллельны, если две
пересекающиеся прямые одной
плоскости (АС и ВС) соответственно
параллельны двум пересекающимся
прямым (а и b) другой плоскости.
У параллельных плоскостей
следы попарно параллельны.
9

10. 5.1.5 Перпендикулярность двух плоскостей
Две плоскости взаимно
перпендикулярны,
если прямая, лежащая в
одной плоскости,
перпендикулярна к
другой плоскости:
плоскость ΔABC
перпендикулярна
плоскости a =(a∩b), т.к.
ba и b перпендикулярна
горизонтали и фронтали
плоскости ΔABC .
10

11. 5.2 Взаимное положение прямой и плоскости
5.2.1 Пересечение прямой и плоскости
Для построения линии пересечения прямой с плоскостью необходимо:
1. Заключить прямую а во вспомогательную плоскость β (β – горизонтально-
проецирующая плоскость);
2. Построить линию пересечения вспомогательной плоскости β с заданной плоскостью a;
3. Найти точку пересечения K заданной прямой а с линией пересечения плоскостей MN.
11

12. 5.2.2 Перпендикулярность прямой плоскости
Если прямая перпендикулярна заданной плоскости, то её проекции
перпендикулярны одноимённым следам этой плоскости или (если плоскость
задана не следами) наклонным проекциям горизонтали и фронтали, лежащим в
этой плоскости.
12

13. 5.2.3 Параллельность прямой плоскости
Прямая
параллельна
плоскости, если
она параллельна
любой прямой,
лежащей в этой
плоскости:
прямая
а// γ=(ΔABC ), т.к.
а//AC  γ=(ΔABC ).
13

14. 5.2.4 Принадлежность
точки и прямой
плоскости
1. Прямая
принадлежит
плоскости, если она
проходит через две точки,
лежащие в этой
плоскости.
2. Точка принадлежит
плоскости, если она
принадлежит прямой,
лежащей в этой
плоскости.
3. Следы прямой,
лежащей в плоскости,
лежат на
одноименных следах
этой плоскости.
14

15. • Электронный учебно-методический комплекс по дисциплине
«Начертательная геометрия» - http://cadinstructor.org/ng/
• С лекцией «Ортогональные проекции плоскости» в полном объеме
можно ознакомиться по ссылке.
• Индивидуальные консультации и дополнительное обучение по
начертательной геометрии - http://cadinstructor.org/tutoring/
15